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Dynamique de réseaux stochastiques hétérogènes :impact de la
variabilité sur les transitions entrefonctions physiologiques et
états pathologiques
Luis Carlos Garćıa del MolinoSaint Malo, Octobre 2012
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Présentation Projet M2 Projet doctoral
1 Présentation
2 Projet M2
3 Projet doctoral
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Présentation Projet M2 Projet doctoral
CV
2009 - License en Physique, Universitat de Barcelona
2011 - M1 Systèmes Complexes, University of WarwickCondensation
in randomly perturbed zero-rangeprocessesGarćıa del Molino et al.
2012, Journal of Physics A
2012 - M2 Systèmes Complexes, École PolytechniqueDynamics of
randomly connected systems withapplications to neural networks
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Présentation Projet M2 Projet doctoral
Contexte
Uhlhaas, Singer 2006, Neuron
Quel est l’effet de l’hétérogeneité parmi les
connectionssynaptiques dans la dynamique des réseaux
neuronaux?
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Présentation Projet M2 Projet doctoral
Contexte
Maintenant est le bon moment:
Progrès en techniques expérimentales
Progrès en puisance de calcul
Progrès de la théorie mathématique
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Présentation Projet M2 Projet doctoral
Introduction
Les connections synaptiquessont hétérogènes.Il n’est pas
suffisant deconnâıtre la connectivité maisaussi l’intensité
précise desconnections.
Schultz 2006, Nature Neuroscience
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Présentation Projet M2 Projet doctoral
Méthodologie
Analyse de stabilité linéaire: Théorie des
matricesaléatoires.
Théories de champ moyen.
Exploration numérique: Simulation de systèmes de grandetaille
(CUDA).
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Modèle
ẋi = −xi +N∑
j=1
(µMj + σJij)S(xj)
S(x) = tanh(x)
Mj =
√
1N
1−pp
si j < pN
−√
1N
p1−p si j ≥ pN
Jij ∼ N(
0, 1√N
)
On s’intéresse particulièrement aux états balancés∑N
j=1 (σJij + µMj) = 0Shadlen, Newsome 1994, Nature
Haider et al. 2006, The Journal of Neuroscience
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Présentation Projet M2 Projet doctoral
Exploration numérique σ = 0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2N=2000, g=1, σ=0.5
t
x i
< x >
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Présentation Projet M2 Projet doctoral
Exploration numérique µ = 0
Modèle de champ moyen (N → ∞)Amari 1972, IEEE
Sompolinsky et al. 1988, Physical Review Letters
Ben-Arous, Guionnet 1995, Annals of Probability
σ < 1: 0 est globalement asymptotiquement stable
σ > 1: le seul attracteur est chaotique
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2N=2000, g=1, σ=0.5
t
x i
< x >
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10N=2000, g=1, σ=3
t
x i
< x >
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Présentation Projet M2 Projet doctoral
Exploration numérique µ > 0, σ > 0
Ces observations n’ont jamais êté décrites.
0 50 100 150 200 250 300−3
−2
−1
0
1
2
3N=2000, g=1, σ=1.5, µ=2
t
x i
< x >
0 50 100 150 200 250 300−3
−2
−1
0
1
2
3N=2000, g=1, σ=1.5, µ=10
t
x i
< x >
0 50 100 150 200 250 300−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3N=2000, g=1, σ=1.5, µ=20
t
x i
< x >
0 50 100 150 200 250 300−15
−10
−5
0
5
10
15N=2000, g=1, σ=4, µ=2
t
x i
< x >
0 50 100 150 200 250 300−15
−10
−5
0
5
10
15N=2000, g=1, σ=4, µ=10
t
x i
< x >
0 50 100 150 200 250 300−15
−10
−5
0
5
10N=2000, g=1, σ=4, µ=20
tx i
< x >
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Présentation Projet M2 Projet doctoral
Stabilité linéaire
Sompolinsky et al. 1988, Physical Review Letters
ẋi = −xi +N∑
j=1
σJijS(xj)
0 est toujours un point fixeLinéarisation en 0
ẋi = −xi +N∑
j=1
σJijxj
Stabilité de 0 est donnée par la valeur propre maximale de−1 +
σJ
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Présentation Projet M2 Projet doctoral
Theorem (Circular law for iid matrices)
Let J be a random iid matrix. Then µJ converges a.s. to the
circular measure µc where dµc :=1π1|z|≤1dz.
Girko 1984, Teor. Veroyatnost. i Primenen
Tao, Vu 2010, Annals of Probability
Conséquence: spectre de −1 + σJ avec N = 256.
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
Im(λ
)
Re(λ)Le desordre devient régulier quand N → ∞.
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Stabilité linéaire
ẋi = −xi +N∑
j=1
(µMj + σJij)S(xj)
0 est toujours un point fixeLinéarisation en 0
ẋi = −xi +N∑
j=1
(µMj + σJij)xj
Stabilité de 0 est donnée par la valeur propre maximale de−1 +
µM + σJ
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Theorem (Circular law for matrices with zero row-sum)
Let J be a random iid matrix and P = (δij −1N)1≤i,j≤N . Then
µJP+M converges a.s. to the circular measure µc.
Tao 2011
Rajan, Abbott 2006, Physical Review Letters
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
Im(λ
)
Re(λ)
µ=0µ=20
Le spectre de σJ + µM est identique a celui de σJ
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Présentation Projet M2 Projet doctoral
Résultats
Theorem
Si D est une matrice diagonale avec éléments {di}i=1,··· ,N ,
alorsquand N → ∞ le rayon spectral de JD converges vers
ρ(JD) →
√
√
√
√
1
N
N∑
i
d2i
Conséquence: 0 est une solution globalement
asymptotiquementstable de (1).
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Résultats
Modèle original:
xi = 〈x〉+ yi ,
˙〈x〉 = −〈x〉+ µN∑
j
MjS(〈x〉+ yi) ,
ẏi = −yi + σN∑
j
JijS(〈x〉 + yi) .
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Présentation Projet M2 Projet doctoral
Résultats
Modèle de champ moyen:
X = 〈X〉+ Y ,
˙〈X〉 = −〈X〉+ µζ〈X〉,Y ,
Ẏ = −Y + σξ〈X〉,Y .
E[ζ〈X〉,Y ] = 0 ,
E[ζ〈X〉,Yt ζ
〈X〉,Ys ] = µ
2Cov [S(〈X〉t + Yt)S(〈X〉s + Ys)] ,
E[ξ〈X〉,Y ] = 0 ,
E[ξ〈X〉,Yt ξ
〈X〉,Ys ] = σ
2Cov [S(〈X〉t + Yt)S(〈X〉s + Ys)] .
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Résultats
Pour µ = 0, gσ < 1 il y a une taille finie qui maximise
laprobabilité d’observer activité spontanée (instabilité de
0).Wainrib, Garćıa del Molino, en préparation
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
10 100 1000
P[λ
>_0]
N
σ=0.95σ=0.96σ=0.97σ=0.98σ=0.99
σ=1
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Conclusions
Observations de phénomènes nouveaux
Analyse linéaire
Modèle champ moyen
Effets de taille finie
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Dynamique de réseaux stochastiques hètérogènes :impact de la
variabilité sur les transitions entrefonctions physiologiques et
états pathologiques
Generaliser l’analyse des éffets de l’hétérogèneité à
d’autresparamètres.
Etudier le lien avec les pathologies.
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