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iii

b

Avant propos

Le cours porte sur la mécanique des milieux continus tridimensionnels. Quatre as-pects sont plus particulièrement considérés :

1. La modélisation macroscopique des milieux continus et de leur mouvement, eny décrivant les déformations et en rappelant les lois de conservation que doitrespecter tout mouvement ;

2. la description des efforts qui génèrent le mouvement des milieux continus, avecl’introduction de la notion de contraintes et l’écriture des équations globales quiles régissent ;

3. L’introduction à l’échelle microscopique des comportements élémentaires qui per-met de compléter la modélisation en introduisant les relations de comportementtraduisant le lien local entre déformations et efforts ;

4. La résolution de problèmes d’équilibre élastique. Cette étape de résolution deproblèmes globaux utilise le principe des puissances virtuelles pour écrire, analy-ser et résoudre les problèmes posés, et pour en valider les solutions. Elle permetd’aborder de nombreuses situations pratiques et de sensibiliser les étudiants auxproblèmes de distribution d’efforts, de discontinuités de solutions, d’incompatibi-lité de déformations, et d’instabilités géométriques.

5. la résolution de problème de Saint-Venant, qui est le problème de base de laRésistance des Matériaux Sidoroff (2010).

Il ne s’agit pas dans ce cours de présenter une théorie fermée, mais de faire découvrirun domaine scientifique en évolution, avec ses enjeux, ses problèmes ouverts, et sesnombreuses implications scientifiques, techniques ou industrielles. Les notes de coursne cherchent pas non plus à être un document de référence. Elles définissent plutôt unpoint de départ pour développer une démarche, susciter une réflexion, accompagner lecours oral et aider au travail en petites classes.

iv

�

Notations et Symboles

Variables :

x, α, scalaire (lettre majuscule ou miniscule, caractère règulier ou italique).

ρ : Masse volumique.

Φi(XJ , t) : Equation paramétrée en t de la trajectoire de la particule identifiée parla position M0 en description Lagrangienne.

ψI(XJ , t) : Equation paramétrée en t de la trajectoire de la particule identifiée parla position M0 en description Eulérienne.

Vecteurs :

X⃗, x⃗ : Vecteur de position (généralement minuscule ou majuscule).

−−−−−→u(XJ , t) : Vecteur déplacement

−−−−−→V (M, t) : Vecteur vitesse.

−−−−→γ(M, t) : Vecteur accélération.

Tenseur :

ε ; σ : Tenseur de déformation et de contrainte (généralement double soulignementpour indiquer la dimension)

F : Tenseur gradient ou application linéaire tangente. Il permet de caractériser lesdifférentes transformations.

C : Tenseur de Cauchy-Green droit.

B : Tenseur de Cauchy-Green gauche.

A :Tenseur des déformations d’Euler-Almansi.

E : Tenseur des déformations de Green-Lagrange.

vi

S : Tenseur sphérique.

D : Tenseur de déviateur de contrainte.

Table des matières

Table des matières xi

Table des figures xiii

Liste des tableaux xiv0.1 Présentation générale du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Introduction 1

I Cinématique et dynamique des milieux continus 3

1 Descriptions de la Mécanique des Milieux Continus 41.1 Domaine d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Le cadre mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Définitions élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Milieu continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2 Point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Hypothèse de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.1 Continuité du domaine matériel étudié . . . . . . . . . . . . . . 81.4.2 Continuité de la transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Variables d’études . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.1 Référentiels - Repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.2 Description Lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.3 Description Eulérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.4 Dérivation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7 Execices d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7.1 Ex :1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7.2 Ex :2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7.3 Ex :3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Déformations d’un milieu continu 17

viii

2.1 Tenseur Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.1 Exemple dans le cas d’une déformation homogène triaxiale . . . 202.1.2 Etude tridimensionnelle des déformations . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Interprétation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.1 Base principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.2 Tenseur des déformations linéarisé . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.3 Etude des petites perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.4 Directions principales ; déformations principales . . . . . . . . . 33

2.3 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4 Conditions de compatibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5 Vitesse de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5.1 Taux de déformation lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5.2 Taux de déformation eulérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5.3 Interprétation du tenseur taux de déformation . . . . . . . . . . 43

2.6 Execices d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.6.1 Ex :1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.6.2 Ex :2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.6.3 Ex :3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 Etat de contrainte dans les milieux continus 463.1 Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.1 Dérivée particulaire d’une intégrale de volume . . . . . . . . . . 473.2 Théorème de l’intégrale nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3 Théorème de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.4 Expression générale d’une loi de conservation . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4.1 Exemple : Equation de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.5 Contraintes dans un domaine matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5.1 Loi fondamentale de la mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.5.2 Vecteur contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.5.3 Tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.5.4 Equilibre dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.5.5 Propriétés du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.6 Cercle de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.6.1 Principe de la représentation de Mohr . . . . . . . . . . . . . . 653.6.2 Domaine engendré par l’extrémité du vecteur contrainte dans le

plan de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.6.3 Description des cercles principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.6.4 Quelques conséquences pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.6.5 Etats de contraintes remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.7 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

ix

3.7.1 Poutre droite de section circulaire sollicitée en flexion pure com-binée avec de la torsion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.7.2 Critére de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

II Lois de Comportement et élasticité linéaire 79

4 Lois de Comportement des milieux continus 804.1 Bilan des Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.1.1 Théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.2 Thermodynamique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2.1 Premier Principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . 854.2.2 Second Principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . 864.2.3 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.3 Thermo-élasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.3.1 Première approche de l’élasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . 904.3.2 Deuxième approche de l’élasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . 914.3.3 Convention d’écriture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.3.4 Symétrie plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.3.5 Matériau orthotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.3.6 Matériau isotrope transverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.3.7 Matériau isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.4 Execices d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.4.1 Ex :1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5 Elasticité linéaire 1035.1 Loi de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.2 Equations supplémentaires en élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.3 Critères de limite élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.3.1 Les résultats d’essai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.3.2 Les différents critères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.4 Les schémas de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.4.1 Théorème d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.5 Schémas de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.5.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.6 Elasticité bidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.6.1 Définition des états plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.6.2 Fonction d’Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.6.3 Exemple d’application : flexion simple d’une poutre rectangulaire 1245.6.4 Elasticité plane en coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . 1265.6.5 Application en coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . 127

x

6 Équations du mouvement 1316.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.2 Forme locale des équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.3 Conditions de saut et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . 133

6.3.1 Relations de saut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.3.2 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.4 Exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.4.1 Équilibre d’un tronçon de poutre en traction, flexion et torsion

uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7 Problème de Saint-Venant 145

III Annexes 167.1 Ex :1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168.2 Ex :2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169.3 Ex :3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169.4 Ex :4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170.5 Ex :5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170.6 Ex :1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7 Ex :2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8 Ex :3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.9 Ex :4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.10 Formulaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Acronymes 175

A Quelques formules 177A.1 Convention de sommation d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177A.2 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

A.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178A.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179A.2.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179A.2.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

A.3 Jacobien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181A.3.1 Gradient d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182A.3.2 Jacobien et matrice jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182A.3.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

B Théorèmes en analyse vectorielle 185B.1 Théorème de Green-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

B.1.1 Interprétation physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

xi

B.1.2 Autres relations : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186B.2 Analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

C Paramètres caractéristiques des matériaux : 193

D Récapitulatif des formiles essentielles : 195D.1 Elasticité linéaire en coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

E Résolution 199E.1 Réponses des exercices chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

E.1.1 Réponse - Ex :1) (1.7.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199E.1.2 Réponse - Ex :2) (1.7.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199E.1.3 Réponse - Ex :3) (1.7.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

E.2 Réponses des exercices chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200E.2.1 Réponse - Ex :3) (2.6.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

E.3 Réponses des exercices chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201E.3.1 Réponse - Ex :2) (3.7.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

F Description 202

G Porosimetrie 203

Bibliographie 203

Table des figures

1.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Dislocation coin et propagation des fissures . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Configuration d’un domaine matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Positionnement d’un milieu continu dans un repère orthonormé . . . . 12

2.1 Matriçage d’un bloc Salençon (2007) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Positionnement d’un milieu continu dans un repère orthonormé . . . . 182.3 Variation de volume suite à un champs de déplacement . . . . . . . . . 202.4 Transformation de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5 variation d’un angle entre deux vecteurs initialement droit . . . . . . . 262.6 Composantes d’un champ de déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . 302.7 Différentes cas de charge d’une poutre console . . . . . . . . . . . . . . 312.8 Application du tenseur de déformation et du tenseur sphérique . . . . 342.9 Lieu décrit dans l’espace des vecteurs propres(Ellipsoïde de Lamé) . . . 362.10 Projection normale et tangentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.11 Représentation du cercle de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.12 Chemin de déformation suivi lors du mouvement entre une configuration

de référence C0 et une configuration actuelle Ct . . . . . . . . . . . . . 40

3.1 Décomposition du domaine D0 en deux sous domaines D+ et D− . . . . 473.2 Répartition des forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3 Exemple d’une poutre droite circulaire sollicitée en traction simple. . . 553.4 Tétraédre ayant trois faces de normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.5 Vecteurs contraintes associés aux facettes normales à E⃗1, E⃗2, E⃗3. . . . . 603.6 Représentation de Mohr : facette et plan de Mohr. . . . . . . . . . . . . 663.7 Cercles de Mhor (ou cercles principaux). . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.8 Cercles de Mhor (réduite). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.9 Description du cercle de mohr (grand). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.10 Construction du cercle de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.11 Etat de contrainte en un point d’une surface libre. . . . . . . . . . . . . 733.12 Etat de contrainte uniaxial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.13 Etat de contrainte triaxial de révolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.14 Cisaillement simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

xiii

3.15 Construction du cercle de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.1 Action extérieurs et déformé d’une poutre console. . . . . . . . . . . . . 814.2 Le plan E⃗1, E⃗2 est un plan de symétrie matérielle. . . . . . . . . . . . . 97

5.1 Etat de contrainte en traction simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.2 Etat de contrainte en compression simple. . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.3 Etat de contrainte en torsion simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.4 Plaque percée d’un trou circulaire de rayon a et soumise, loin du trou, à

une sollicitation de traction simple d’intensité σ. . . . . . . . . . . . . . 1285.5 Profils des contraintes radiale et orthoradiale normalisées par la contrainte

appliquée en partant du pôle (θ = 0) et de l’équateur (θ = π/2) en fonc-tion de la distance relative r/a par rapport au trou. . . . . . . . . . . . 129

5.6 Représentation par lignes de niveaux du champ de contraintes autourd’un trou dans une plaque en traction selon la direction 1. Les grandeursreprésentées sont : (a) la composante σθθ, (b) la plus grande contrainteprincipale en chaque point, (c) la plus petite contrainte principale enchaque point. Toutes les contraintes sont normalisées par la valeur de lacontrainte axiale loin du trou. Pour des raisons de symétrie, un quartseulement de la plaque trouée est représenté. . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.1 Géométrie du cube élémentaire. On observe que les moments autour deei ne peuvent s’annuler que si σkj = σjk. . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.2 Équilibre des résultantes sur le cube élémentaire. Salençon (2007) p.213 133

1 Poutre chargée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

E.1 Construction des cercles de Mohr et détermination du critére de Coulomb.201

Liste des tableaux

3.1 Coordonnée des points et composante du vecteur contrainte . . . . . . 61

4.1 Relations entre les différentes paramètres caractéristiques des matériaux 924.2 Relations entre les différentes composantes de la matrice C . . . . . . . 95

5.1 Paramètres caractéristiques des matériaux . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.2 Valeurs des paramètres caractéristiques des matériaux pour une tempé-

rature de 20̊ C (ouvrage de G. DUVAUT) . . . . . . . . . . . . . . . . 105

C.1 Valeurs des paramètres caractéristiques des matériaux . . . . . . . . . 194

xv

�

1

0.1 Présentation générale du cours

Au sens strict du terme, la mécanique des milieux continus (abrégée M.M.C.) est labranche de la mécanique qui se propose d’étudier l’étude des mouvements, des défor-mations,des champs de contraintes au sein de milieux continus.

Définitions :

1. . Nous désignons par "milieu",tout fluide (solide, liquide, gaz ou plasma selonce que nous avons vu en thermodynamique), déformable ou non, quand nous leconsidérons d’un point de vue macroscopique, par opposition a une descriptioncorpusculaire.

2. . Nous désignons par "milieu continu", un milieu tel que si M et M ′ appartiennenta un milieu et si M ′ appartient au voisinage M , alors quelle que soit la déformationsubie par ce milieu, dM ′ appartiendra au voisinage de dM .

Cette branche apparaît souvent comme la science de l’ingénieur qui permet de com-prendre et de décrire le monde matériel qui nous entoure et les phénomènes courantsqui s’y déroulent : mouvements de liquides, de gaz, vol des avions, hélicoptères, fusées,satellites, navigation des bateaux, déformations des corps solides, structure interne desétoiles, etc. Par ses attaches a la mécanique thermique (thermodynarrique), elle s’étendjusqu’ala thermique, l’énergétique, l’acoustique.

Cet ouvrage scientifique propose une présentation des concepts généraux de la mé-canique des milieux continus, de la théorie classique de l’élasticité, et des milieux cur-vilignes. Trois notions, retenues comme directrices, aideront à en faire la présentation :(échelle, modélisation, validation).

L’échelle à la quelle on se place est, en général, qualifiée de macroscopique. Guidépar des applications qui descendent peu en dessous de l’échelle humaine, il a en effetrecours à une à des modélisations qui, pour être pertinentes, sont construite à une échellesuffisamment proche de celle des applications concernées et donc supérieure, souvent deplusieurs ordre de grandeur, à celle que l’on serait tenté d’attribuer au physicien.

La partie pédagogique de l’ouvrage exige des choix dans les notions introduite etdans leur présentation. Dans ces choix j’ai choisie celle qui est la plus fréquente dansles écoles d’ingénieurs au monde, et spécialement en Tunisie. Ainsi ces notations sontprises dans les travaux de recherches.

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D’autre part la partie consacrée aux concepts généraux de la mécanique des milieuxcontinus retrouve-t-elle :

– la modélisation "milieu continu" du point de vue géométrique,– la modélisation des efforts intérieurs.

La présentation de la théorie classique de l’élasticité s’articule autours :– de l’introduction de la loi de comportement thermo-élastique,– des méthodes de résolutions des problèmes de thermo-élasticité directes ou varia-

tionnelles.

Première partie

Cinématique et dynamique desmilieux continus

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Table des matièresTable des figuresListe des tableauxIntroductionPrésentation générale du cours

I Cinématique et dynamique des milieux continusDescriptions de la Mécanique des Milieux ContinusDomaine d'étudeLe cadre mathématiqueDéfinitions élémentairesMilieu continuPoint matériel

Hypothèse de continuitéContinuité du domaine matériel étudiéContinuité de la transformation

Variables d'étudesRéférentiels - RepèresDescription LagrangienneDescription EulérienneDérivation temporelle

CommentairesExecices d'applicationsEx:1)Ex:2)Ex:3)

Déformations d'un milieu continuTenseur GradientExemple dans le cas d'une déformation homogène triaxialeEtude tridimensionnelle des déformations

Interprétation des résultatsBase principaleTenseur des déformations linéariséEtude des petites perturbationsDirections principales; déformations principales

Représentations graphiquesConditions de compatibilitéApplication

Vitesse de déformationTaux de déformation lagrangienTaux de déformation eulérienInterprétation du tenseur taux de déformation

Execices d'applicationsEx:1)Ex:2)Ex:3)

Etat de contrainte dans les milieux continusLois de conservationDérivée particulaire d'une intégrale de volume

Théorème de l'intégrale nulleThéorème de la divergenceExpression générale d'une loi de conservationExemple: Equation de continuité

Contraintes dans un domaine matérielLoi fondamentale de la mécaniqueVecteur contrainteTenseur des contraintesEquilibre dynamiquePropriétés du tenseur des contraintes

Cercle de MohrPrincipe de la représentation de MohrDomaine engendré par l'extrémité du vecteur contrainte dans le plan de MohrDescription des cercles principauxQuelques conséquences pratiquesEtats de contraintes remarquables.

ApplicationsPoutre droite de section circulaire sollicitée en flexion pure combinée avec de la torsion.Critére de Coulomb.

II Lois de Comportement et élasticité linéaireLois de Comportement des milieux continusBilan des EquationsThéorème de l'énergie cinétique

Thermodynamique des milieux continusPremier Principe de la thermodynamiqueSecond Principe de la thermodynamiqueEquation de la chaleur

Thermo-élasticité linéairePremière approche de l'élasticité linéaireDeuxième approche de l'élasticité linéaireConvention d'écritureSymétrie planeMatériau orthotropeMatériau isotrope transverseMatériau isotrope

Execices d'applicationsEx:1)

Elasticité linéaireLoi de comportementEquations supplémentaires en élasticitéCritères de limite élastiqueLes résultats d'essaiLes différents critères

Les schémas de résolutionThéorème d'unicité

Schémas de résolutionApplication

Elasticité bidimensionnelleDéfinition des états plansFonction d'AiryExemple d'application : flexion simple d'une poutre rectangulaireElasticité plane en coordonnées polairesApplication en coordonnées polaires

Équations du mouvement Introduction Forme locale des équations du mouvement Conditions de saut et conditions aux limites Relations de saut Conditions aux limites

Exemples d'application Équilibre d'un tronçon de poutre en traction, flexion et torsion uniformes

Problème de Saint-Venant

III AnnexesEx:1.Ex:2.Ex:3.Ex:4.Ex:5.Ex:1.Ex:2.Ex:3.Ex:4.Formulaire:

AcronymesQuelques formulesConvention de sommation d'EinsteinProduit tensoriel Définition Exemple Propriétés Exemples

Jacobien Gradient d'une fonction Jacobien et matrice jacobiennePropriétés

Théorèmes en analyse vectorielleThéorème de Green-OstrogradskiInterprétation physiqueAutres relations:

Analyse vectorielle

Paramètres caractéristiques des matériaux:Récapitulatif des formiles essentielles:Elasticité linéaire en coordonnées polaires

Résolution Réponses des exercices chapitre 1Réponse - Ex:1) (1.7.1)Réponse - Ex:2) (1.7.2)Réponse - Ex:3) (1.7.3)

Réponses des exercices chapitre ??Réponse - Ex:3) (2.6.3)

Réponses des exercices chapitre 3Réponse - Ex:2) (3.7.2)

DescriptionPorosimetrieBibliographie