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Nombre dOR Rectangles dOr Divine proportion

Avertissement On na pas toujours pu dterminer de faon certaine si les proportions observes dans les uvres architecturales et les ouvrages dart rvlaient une intention plus ou moins consciente de l'artiste, ou si ce ntait qu'une grille de lecture place a posteriori sur une uvre ( Il faut dans ce domaine rester modeste et ne pas vouloir tout prix faire apparatre le nombre d'or partout )

Ces limites tant poses, on peut nanmoins prsenter quelques exemples d'oeuvres o le nombre d'or semble jouer un rle important

Partons donc la dcouverte du Nombre dOr

Un petit test : Regardez simplement chacun des rectangles de la diapositive suivante et retenez celui que vous jugez le plus harmonieux

Retenez bien le n choisi 1 4 5 362

Refaisons le mme test 5 1 3 2 6 4

Les rectangles d'or sont respectivement les n os .

Il parat (*) que ces rectangles sont le plus souvent choisis... Leurs proportions donnent une belle impression d'harmonie. (*) Les rectangles d'or sont respectivement les n os 3 et 4 ! Daprs une tude du Philosophe allemand Gustav Feshner en 1876 Gustav Feshner en 1876

longueur longueur Le rapport ------------- Le rapport ------------- largeur largeur vaut peu prs 1,62 vaut peu prs 1,62

On dsigne gnralement le nombre dor par la lettre grecque en hommage au sculpteur grec Phidias ( 490 430 avant J.C. ) qui dcora le Parthnon Athnes.

La Section dore est une appellation qui remonte 1830. Elle tait appele par les Grecs partage dun segment en moyenne et extrme raison

Principe : Ce principe est sens raliser en architecture, en peinture, en sculpture, les proportions les plus quilibres, les plus harmonieuses Dans un ensemble compos de 2 parties, le tout est la plus grande comme celle-ci est la plus petite.

m partage le segment [ a, b ] selon ce principe si abm

m partage le segment [ a, b ] selon ce principe si abm Le tout

m partage le segment [ a, b ] selon ce principe si abm Le tout La plus grande

m partage le segment [ a, b ] selon ce principe si abm Le tout La plus grande La plus petite

Un peu de math

abm Le tout La plus grande La plus petite =

abm Le tout La plus grande La plus petite or =

abm On a donc

Rduisons au mme dnominateur = 1 +

2 - - 1 = 0

Lquation 2 - - 1 = 0 possde deux solutions car

= 1 = = 2 =

Lquation 2 - - 1 = 0 possde deux solutions car = 1 = = 2 = Seule la 1 re solution correspond un point m

Constructions du Nombre dOr

Une construction simple c 1 2 a b

Traons la parallle [ab] par le milieu de [ bc] c 1 2 a b

c 1 2 a b

prenons notre compas c 1 2 a b

c 1 2 a b

Et voil le Nombre dOR ! c 1 2 a b

Variante

Rectangles dOr b a Considrons un rectangle dOr

Rectangles dOr b a Inscrivons-y le plus grand carr possible

Rectangles dOr b a b a - b Carr

b a b a - b Carr Examinons le rapport des dimensions du rectangle obtenu

b a b a - b Le nouveau rectangle obtenu est donc un rectangle dOr Carr

En inscrivant successivement le plus grand carr aux rectangles obtenus

Rectangle dor On obtient une succession de rectangles dOr Carr

Rectan gle dor On obtient une succession de rectangles dOr

Spirale des rectangles dOr

La spirale des rectangles d'or est une fausse spirale parce qu'elle est constitue d'arcs de cercles au lieu d'avoir une variation continue du rayon. Cependant les raccordements des arcs sont parfaits car les centres des arcs sont chaque fois situs sur la mme droite et il y a une unique tangente chaque point de raccordement.

Elle tend rapidement vers un centre Z. Le segment de droite qui joint le centre Z un point de la courbe crot en progression gomtrique. La longueur du rayon vecteur est multiplie par le nombre d'or chaque fois que sa direction tourne d'un quart de tour.

Cette spirale se rencontre beaucoup dans la nature

Nautile

modle mathmatique

Quelques repres Historiques

Il y a 10 000 ans Premiers signes de la connaissance par lhomme ( Temple dANDROS dcouvert sous la mer des Bahamas )

2800 Avant J C : Pyramide de Kheops Selon la lgende, les prtres gyptiens disaient que le carr construit sur la hauteur verticale galait exactement la surface de chacune des faces triangulaires a h

Encore un peu de math H = a.h H a h Daprs Herodote

H a h H = a.h

H a h h - a = a.h

H a h H = a.h h - a = a.h Divisons les deux membres par ah :

H a h H = a.h h - a = a.h Divisons les deux membres par ah : Posons

H a h On retrouve lquation qui nous a permis de trouver le nombre dOr

donc la proportion entre la hauteur ( h) d'une face triangulaire et la moiti (a) du ct de la base est gale au nombre d or a h

Pythagore (- 580;-500)

mathmaticien et philosophe grec tait passionn par l'harmonie et les proportions. Son trait sur la musique est clbre. On lui doit la dcouverte de l'irrationalit de certains nombres : et que l'on trouve dans le nombre d'or et le pentagone rgulier Pythagore (-580;-500)

Les Pythagoriciens voyaient dans les nombres les principes de toute chose Le pentagramme tait le symbole des pythagoriciens. pentagramme

Pentagones et dcagones rguliers

C5 72 Pentagone rgulier

C5 Pentagone toil ( Pentagramme ) E5

a b C10 36 72 o r d c Dcagone rgulier

a b C10 36 72 o r c Dcagone rgulier

a b C10 36 72 o r d c Dcagone rgulier

a b C10 36 72 o j r d c

a b C10 36 72 36 o Construisons la bissectrice aj de ob j 36 r d c

a b C10 36 72 36 o j 72 r d c

a b C10 36 72 36 o j 72 S aob ajb r d c

a b C10 36 72 36 o j 72 S aob ajb oa aj ab jb r d c

a b C10 36 72 36 o j 72 oa aj ab jb r r d c

a b C10 o d c R Le nombre dOr est donc prsent dans le dcagone rgulier

C5 E5 On montre aussi par les triangles semblables que

447-432 av.JC Le sculpteur grec Phidias utilise le nombre dOr pour dcorer le Parthnon Athnes, en particulier pour sculpter la statue dAthna Partnos.

Le Parthnon sinscrit dans un rectangle dor

= AB F G CD E

= Sur la toiture, on a aussi

a n b entre autre Statue dAphrodite

Le thatre dEpidaure ( IV me sicle av.J-C )

les rapports et sont

Retenons bien les nombres 21, 34 et 55 On y reviendra dans quelques instants ! On y reviendra dans quelques instants !

III me sicle av. J-C. Premires traces crites : Dans ses Elments , Euclide explique le partage dun segment en extrme et moyenne raison raison

Une droite est dite coupe en extrme et moyenne raison quand, comme elle est toute entire relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit (Euclide, Elments, livre IV, 3eme dfinition )

Lonard de Pise, plus connu sous le nom de Fibonacci, est l'origine du premier modle mathmatique de la croissance des populations.

Il tudia du point de vue numrique la reproduction des lapins.

L'unit de base est un couple de lapins, il considre qu'un couple de jeunes lapins met une saison devenir adulte, attend une deuxime saison de gestation, puis met au monde un couple de jeunes lapins chaque saison suivante

En supposant que les lapins ne meurent jamais , on obtient donc le schma suivant :

Lorsque l'on compte le nombre de couples de lapins chaque saison, cela donne... la suite de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610............ pour laquelle on a un = un-1 + un-2 5 + 8 = 13 8 + 13 = 21 13 + 21 = 34 21 + 34 = 55 Etc

Et revoici le Nombre dOr on remarque que le rapport entre un nombre de la suite et son prcdent s'approche de plus en plus du nombre d'or:

~ ~ 1,61803398 21/13 ~ 1,615 34/21 ~ 1,619 144/89 ~ 1,617 610/377 ~ 1,618

La pomme de pin montre clairement les spirales de Fibonacci : 8 vertes dans un sens, 13 rouges dans l'autre sens. Fibonacci dans la nature

La fleur de tournesol forme deux sries de spirales tournant en sens contraire: 13 spirales partent de son centre dans une direction, 21 dans l'autre

Ananas :13 spirales droite et 8 spirales gauche

Escargot : la spirale de base

Les btisseurs de cathdrales Aux XIe et XIIe sicles,hritire des traditions anciennes, lorganisation ouvrire du compagnonnage o les savoirs se transmettaient oralement de matre compagnon , a fait des rgles du nombre dor le principe du savoir-faire des btisseurs

Notre-Dame de Paris

Cathdrale de Strasbourg

ab c d py o

Le clbre Taj Mahl, immense monument funraire construit en Inde par un architecte persan assist de nombreux compagnons de nationalits diffrentes, a t construit galement selon les proportions du nombre dor

Les coupoles de plusieurs basiliques et mosques clbres furent proportionnes selon la Section d'Or et elles reposent sur une base cubique, comme, par exemple, celles de la Basilique Sainte Sophie Istanbul, de la Basilique Saint Pierre Rome

Les btisseurs de cathdrales Les btisseurs de cathdrales utilisaient une pige constitue de cinq tiges articules, correspondant chacune une unit de mesure de lpoque, relatives au corps humain : la paume, la palme, lempan, le pied et la coude

Les btisseurs de cathdrales Les btisseurs de cathdrales utilisaient une pige constitue de cinq tiges articules, correspondant chacune une unit de mesure de lpoque, relatives au corps humain : la paume, la palme, lempan, le pied et la coude Coude Paume empan palme

Coude Pied empan palme Paume Les longueurs taient donnes en lignes ( une ligne mesurant 2,247 mm ) 347,64 palme5512,63 empan8920 Pied14432,36 Coude23352,36 Lignes cm

Coude Pied empan palme Paume 347,64 palme5512,63 empan8920 Pied14432,36 Coude23352,36 Lignes cm On retrouve les termes de la suite de Fibonacci !!

1498 Fra Luca Pacioli, un moine professeur de mathmatique, crit De divina proportionne

De divina proportionne Lonard de Vinci (1452-1519) a dessin les polydres pleins ou creux qui illustrent le trait de Luca Pacioli, son matre de gomtrie .

D E C Dans ce tableau de Jicopo de Barbari, o Fra Luca Pacioli explique un thorme, on a = 1,62

icosadre dodcadre

Pour Platon, le Dodcadre ne symbolise rien moins que lUnivers

Lonard de Vinci, philosophe humaniste de la renaissance, comme plusieurs autres peintres clbres a utilis la proportion dOr dans ses toiles Le visage de sa clbre Joconde est inscrit dans un rectangle dor

Le Saint Jrome de Leonard de Vinci est aussi parfaitement intgr dans un rectangle dor

LAnnonciation ( Leonard de Vinci ) a b m c x y

Leonardo de Vinci est aussi clbre par ses observations du corps humain

L'Homme est inscrit dans un cercle. Quand il lve les bras et a les jambes cartes, le centre du cercle correspond au nombril. S'il se tient jambes serres et bras l'horizontale, il s'inscrit dans un carr.

Le nombril divise la hauteur de l'homme en deux segments qui sont dans le rapport d'Or Le rapport entre la distance comprise entre l'extrmit de la main droite et l'paule gauche et celle comprise entre l'paule gauche et l'extrmit de la main gauche correspond au Nombre d'Or.

Dessin de Leonard de Vinci ( sans doute autoportrait ) certains des rectangles de la grille sont des rectangles dOr

L homme parfait d Aggripa Von Nettesheim ( 1553) (Mdecin, philosophe et alchimiste allemand )

Bien que les peintres aient souvent travaill en se laissant guider par un sens inn de l harmonie des volumes et des formes, la construction gomtrique de la peinture dans certaines uvres n est pas le fruit d une spculation, mais bien une ralit.

L'tude de l illustration des Grandes Chroniques de France peintes par Jean Fouquet a t l occasion de vrifier l existence d un trou de compas dans une scne mettant en uvre le pentagone rgulier

Souvent, le peintre, place l lment, le personnage ou l vnement dans la section dore du tableau pour que le regard du spectateur y soit naturellement attir Voici quelques autres exemples

La Naissance de Venus ( Boticelli )

LAdoration des Mages ( Velasquez )

Le format du tableau correspond un rectangle dOr Le tableau s'organise autour de la diagonale. Les visages de Marie et du personnage qui est ses cts s'inscrivent galement dans un Rectangle d'or.

Plus contemporains Pablo Picasso

La Parade ( Seurat )

g f e a hi

Le Sacrement du Dernier Repas de Salvator Dali (1904-1989) est peint lintrieur dun rectangle dor et des proportions dores auraient t utilises pour positionner les personnages A B

A B une partie dun gigantesque dodcadre symbolisant lUnivers surplombe la table

Autres exemples dutilisation de la proportion dOr en architecture

Santa Maria Novella ( Florence ) Renaissance Italienne

Tempietto de Bramante ( Rome )

Villa Farnese ( Rome )

La Villa Farnese est btie suivant un plan pentagonal

Un dessin de Francesco Giorgio Martini associe la forme du corps humain et le plan d'une glise le rapport des dimensions est analogue celui de San Spirito Florence conue par Brunelleschi (1377-1446)

Rectangle Rectangle dOr San Spirito (Florence )

Chteau de Thoiry Larchitecture de Philibert de LOrme dans ce chteau est entirement rgle par les nombres. Les proportions des ailes, fentres, chemines sont toujours bases sur la longueur du chteau selon des sous-multiples des entiers fondamentaux 1, 2, 3 et 5

le nombre dor y joue un grand rle ; le vestibule a les proportions de la chambre funraire de la pyramide de Cheops ) Chteau de Thoiry ( Philibert de LOrme )

Un plan de porte Rectangle dor Rectangle 2

Cette proportion fut tudie l' poque moderne puisque Le Corbusier, architecte franais d origine suisse (1887;1965) l'a immortalise dans Le Modulor. Cette proportion fut tudie l' poque moderne puisque Le Corbusier, architecte franais d origine suisse (1887;1965) l'a immortalise dans Le Modulor. Le ModulorLe Modulor

Prsent en avril 1947 par le Corbusier, Le Modulor est un systme de mesure bas sur les proportions du corps humain

Dessin et photo de la maison dAmde Ozenfant par Le Corbusier

Chapelle de Ronchamps ( Le Corbusier )

Faut-il voir le nombre dOr partout ??? Collection "Pratique du dessin et de la peinture", Bordas, 1973. Tir du semestriel des "Amis de Herg" n 6 du mois de dcembre 1987

Recherches ralises par les lves de 5LM-SA au cours de Math complmentaires de Mr Colin

Bilal Fatima Soufian e

Chanthim Laetitia Youness

Farah Ikram

Nadir Rani Suleyman Ayoub Imad

Sources : http://trucsmaths.free.fr/nombre_d_or.htm http://www.bib.ulb.ac.be/coursmath/rectangl.htm http://www.sciences-en- ligne.com/momo/chronomath/chrono1/Fibonacci.html http://www.rtsq.qc.ca/aiguillart/projet/rech/artmath/no_or/intropas.htm http://pedagogie.ac-aix-marseille.fr/etablis/lycees/craponne/or/partheno.htm http://users.hol.gr/~helen/index.files/LE%20NOMBRE%20DOR%202.htm http://www.ac-nice.fr/artsap/fichedocumen/nombredor.html http://www.thoiry.tm.fr/thfhchno.htm http://www.tintin.be/fr/doss_fr/regl1_fr.html

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