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Zeitschr. 1. math. Logik und Urundlagen d. Math. Bd. 28, S. 413- 430 (1982)

ORDRE DE RUDIN-KEISLER ET POIDS DANS LES THEORIES STABLES

par DANIEL LASCAR B Paris (France)

1. Introduction

Dans cet article, nous Btudions deux ordres dBfinis sur les types complets sur des modbles d’une thBorie : l’ordre de Rudin-Keisler et l’ordre D. L’ordre de Rudin-Keisler a Bt6 int,roduit dans le contexte de la thBorie des modhles dans [2]. Nous pensons qu’il peut aider la classification des modhles d’une thkorie, comme en tkmoignent d’ailleurs [l] et [3]. Ici, nous en faisons une Btude systematique pour les types sur un modble d’une thBorie wstable. Si p et q sont des types B un nombre fini de variables, non necessairement le meme, sur un modble M , on dit que p est infdrieur d q pour l’ordre de Rudin-Keisler ( p q) si p est rQalisB dans toute extension BlBmentaire de M oh q est r6alisP. Kous obt’enons ainsi un prPordre, et on appelle RK(M) l’ensemble. ordonne qui s’en dPduit. Une autre notion importante est celle de perpendicularitk: p est per- pemliculaire d q si p ( x ) u q ( y ) est un type complet.

Les types R’K-minimaux (c’est a dire non algbbriques et minimaux dans RK(M)) sont exactement ceux qui sont Bquivalents (pour I’ordre RK) B un type fortement rPgulier ( [ 5 ] , Chapitre V). Pour ces types, &re comparables est Bquivalent 8. ne pas &re perpendiculaires. Nous voyons ensuite comment ces notions passent par hkritage, puis dans la section 4, nous ddcoinposons tout type en une suite de types RK- minimaux ; ceci permet de montrer, par exemple que la perpendicularitk se conserve par hkritage.

Toute cette Ptude, et les consequences que l’on peut espkrer en tirer sur les modbles, n’est. rendue possible que griice a l’existence de modhles premiers. Dans le cas d’une thCorie stable ou superstable, cette exist,ence n’est plus assurBe ; cependant on sait,, grdce A SHELAH ( [5 ] , Chapitre IV), que si on se place dans la cetkgorie des modkles ayant quelques propriBt6s de saturation (K,-saturation pour les theories stables dC- nombrahles, F&-saturat.ion pour les theories supershbles), il y a de nouveau Bxistence de mod6les premiers. On est donc amen6 8. la definition suivante; si p et q sont des types sur un modhle N,-sature, p est supkrieur d q pour l’ordre D ( p ~ q ) si toute ex- tension Plementaire de iVI w,-sature oh p est rBalisB rBalise aussi q. En fait nous donnons une definition algPbrique de l’ordre D et ce qui prechde devient une proposition. Pour simplifier I’Pxpos6 et miniiniser les connaissances requises nous nous bornons aux theories denornbrables et la K,-saturation est la seule notion de saturation que nous manipulons. Mais on pourrait voir sans peine (en adaptant la proposition 5.3) que si T est superstable, on obtient exactement le m6me ordre en remplaqant ti,-saturk par F:o-satur4. Remarquons que si T est o-stable, &re Ft0-saturB est Bquivalent a &re so-sat&, et on obtient en general un ordre qui n’est pas l’ordre RK. Cependant si T n’est pas mult,idimensionnelle ( [5 ] , Chapitre V), ces deux ordres sont les m6mes pourvu que I’on se place sur un modble ti,-saturB.

NOUS voyons dans la, section 6 comment c0s notions se comportent par heritage, puis nous relions encore la notion de --minimalit& A celle de rBgularit6. Mais il faut I‘hypothi.se de superstabilite pour pouvoir ddmontrer que les D-minimaux sont denses.

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AIors on peut voir que tout type sur un modde K,-saturB est b--equivalent au produit d’un nombre fini de types rBguliers (ce qui inontre que, sous certains aspects, I’ordre D

se conduit mieux que I’ordre RK). Ce nombre fini est un invariant important c’est le poids du type consider6 (voir encore [5] , Chapitre V). Important aussi est le r h l t a t suivant: Si B est un ensemble libre dont aucun point n’est independant avec a? alors la cardinalit6 de B est bornee par le poids du type de a.

La structure de D ( M ) (les types sup M ordonnks par c-) eat done particulierement Claire si T est superstable (c’est un treillis distributif librement engendre par les D-

minimaux). Par contre je ne sais pas grand chose dans le cas d’une th6orie stable (est- ce un treillis? modulaire? ; peut on dire plus si x I N D ( T ) est fini?). Les mgmes questions se posent pour RK(M), mgme si M est sature. A propos de cet ordre, une autre question interessante est due ii LACHLAN [l].

Soient p et q des types sur un modhle ill et p’ et q’ leur heritier respectif sur Jl‘ > M ; supposons que p‘ 2 q’. A-t-on necessairement p 2 q? Remarquons que la r6ponse est oui si p est RK-minimal.

Un certain nombre de notions et de resultats se trouvent dejd dam le Chapitre V du livre de SHELAH (rBgularit6, regularit6 forte, orthogonalit6, poids ; l’ordre D n’est autre que I’ordre &). En fait, nous esperoiis que cet article Bclaircira toutes ces notions et pourra servir d’introduction B ce Chapitre V.

Nous utiliserons librement les rBsultats de [4]. C’est avec les bases de la th6orie de,s moddes les seules coiinaissances requises.

No ta t ions e t convent ions. On supposera dans tout cet article que T est une th6orie st’able et d6nonibrable;

M , M’, . . .) N , . . . ddsignent toujours des rnodkles de T. Nous ne ferons que rareinent des differences entre 616ments de M et suites finies extraites de M ; nous designoils cependant les secondes par des symboles comme 6 , b , . . . La suite obtenue par con- catenation de a et b sera notke (a, 6) ; si h = (a l , a2, . . . , a,,), nous Bcriroiis A w {a) pour A u {al, a2, . . . , a,,). Pour nous type veut dire type complet; le type de ii au dessus de A est not6 t(ti I A ) ; X,,(A) est l’ensemble des types A n variables sin A et 4 A ) = u #,(A).

IIEW

Deux suites ii et b sont independantes au dessus de A , ou A-ind6pendaiites, si t(a I A u (6)) ne bifurque pas au dessus de A . On utilisera librement les propri6tbs de symetrie et de transitivite de la relation d’indkpendance. Remarquons aussi que si A E B et si t(a, b I B ) ne bifurque pas au dessus de A, ti et b sont indkpendants au dessus de A si et seulement si ils le sont au dessus de B. Un ensemble B de suites est libre au dessus de A , ou A-libre, si pour tout 6 E B et tout sous ensemble (b,, b,, . . . , 6,) ne contenant pas b, b et (b l , b,, . . .) bJ sont A-independantes. Xoient p et q deux types sur un modde M ; par definition le produit p x q est le type realist! par (a, b ) au dessus de M oil t(6 I M ) = p , t (b I M ) = q et a et b sont M-ind6pendant’s.

La borne d’un type p (voir [4] pour la d6finition) sera notee #l(p); on Bcrira p(a 1 A ) pour /3(t(a 1 A ) ) . On utilisera le fait que si T est superstable et n E o, l’ensemble {#?(p); A dans un modele de T , p E S,,(A)} est bien fond6 lorsqu’il est ordonne par inclusion.

Lorsque M est un modde d’une thBorie o-stable et p E X ( M ) , M ( p ) designe le mo- dhle, defini ii M-isomorphisme pr& premier au dessus de M u (a) oh t(a I M ) = p. Le rang de Morley d’un type p est not6 RM(p).

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2. Perpendicularit6 et types RK-minimaux

Dans cette section on supposera T o-stable ; notre but est d’etudier les extensions

2.1. Defini t ion. Soient p , q E X ( M ) ; on dit gue p est supirieur ou dgal d q pour l’ordre de Rudin-Keisler ( p 2 q) si q est realis6 dans M ( p ) . Si p 2 q et q 2 p , on dira que p et q sont RK iquivalents et on Bcrira p N q,

La relation 2 induit une reIation d’ordre sur les classes modulo -; I’ensemble ordonne ainsi obtenu sera note R K ( M ) .

2.2. Defini t ion. Soient p , q E S ( M ) ; on dit que p est perpendiculaire ci psi p(x ) A q(y) est un type complet.

La relation de perpendicularit6 est evidemment syin6trique. Dire que p est per- pendiculaire k q revient k dire que pour tout ti, 6 rblisant respectivement p et q au dessus de M , 6 et 6 sont M-indkpendanh; or :

2.3. Proposi t ion. Supposons que ii et b sont M-indipendants et que M’ est un mo- dile atomique au dessus de M u ( a } ; alors t(b I M‘) est l’hiritier de t (b I M ) .

D 6 m o ns t r a t i o n. On comrnencera par montrer :

2.3.1. Lemme. Supposons que 6 et 6 sod M-indkpeiidants et que q(x , a) est 9me formule ci paramktres duns iW w {a) qui axiornaiise t(F 1 IW u {a}). A1or.s cette natnze formule axiomatise t(E 1 M u {a, 6)).

DBmonstrat ion de 2.3.1. Supposons le contraire. Alors il existe E et E‘ satisfaisant q ( F , a) et q(Z, a) mais n’ayant pas m6me type au dessus de iM w (a, b}. I1 existe donc une formule y telle que M k y( t , ti, 6 ) A iy(C’, 6, 6); donc

niinimales d’un modkle donne.

36, 6’(v(@, 3) A $??(a’, 3) A y(0, 3, 6) A ly(@’, 5, 6 ) ) E t(6 1 111 U ( b } ) , et puisque ce type est I’hPritier de t(ii 1 M ) il existe % dans M tel que

.&f k 3v, v‘(cp(’8, ~) A fp(e‘, 6) A y ) ( f i , 6, ?%) A lW(6’, a, %))

et ceci contredit le fait que p(%, a) d6fiiiit un type coniplet sur iM u {a ] . On voit alors que si d et b sont M-independants et si t ( F 1 LU u {a } ) est isol6. alors

ce type n’a qu’une seule extension sur M u {a, 6) gui est donc non-bifurquante, et qui est aussi t ( C 1 M u {a, 6)). On en dBduit que (a, C) et 6 sont M-independants et la proposition en d6coule.

Une double application de la proposition 2.3 donne :

2.3.2. Corollaire. Soient A et B deux ensembles M-inddpendccnts et M’ et M” des modkles respectivement premiers sur M u A et M u B. Alors M’ et MI‘ sont M-indt5pen- dants.

Pour en revenir aux types perpendiculaires entre eux:

2.3.3. Propos i t ion . p est perpendiculaire d q si et seubment si p n’a qu’une mule

La proposition suivante fournira la plupart dea exemplea rle types pcrpondiculaires.

2.4. Proposi t ion. Soient p E S ( M ) et ~ ( 6 ) une formule Ci. parambtres dans M . Suppo-

eztension sup M(p).

sons que v ( M ) = v ( M ( p ) ) . Alors p est perpendiculaire ci tout type contenant ~ ( 5 ) .

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DBmonstrat ion. Soient ii, b, M’ tels que t(ii 1 M ) = p , M ’ est premier au dessus de M v {ii} et 6 satisfait p(6). I1 s’agit de montrer que ii et 6 sont M-indBpendants. Soit y(B, B‘) une formule Ci parametres dans M telle que y(h, 6) est vrai. Alors on a :

M‘ b 3B(y(G, e ) A p(B))

et si T est une suite de M’ satisfaisant y(G, C ) A p(F) alors C est necessairement dans M (parce yue p(M) = p(M’)). On en conclut que t ( G I M w (6)) est heritier de t(ii 1 M ) .

2.5. Defini t ion. On dit que p E S ( M ) est RK-minimal si p n’est pas algbbrique et p est, minimal pour l’ordre RK parmi les types non algebriques sur 31.

2.6. Dbfini t ion. Soient p E S,(M) et p(v) une formule Ci parametres dans M; on dit que ( p , p) est rkgulier si 1) p n’est pas algkbrique, 2) p ( x ) ~ p , 3) pour tout

2.6.1. DBfinition. On dit que p E S , ( M ) est fortement rdgulier s’il existe g, telle

On ya maintenant voir les rapports entre r6gularit6 et RK-minimalit6 :

2.7. Propos i t ion . Si p est fortement rPgulier, il est RK-minimal.

DBmonstrat ion. Supposons que ( p , 9) est rCgulier et que y 5 p y E S ( M ) , q non algkbrique. On va montrer que p 5 q. Soient a realisant p , M’ un model0 premier au dessus de M u {a), b E M’ dont le type sur M est q et M” < M’ un modele premier au dessus de M u (6). I1 est, clair que a et b ne sont pas indkpendants au dessus de M , e t done (proposition 2.4) p(M”) =!= p(X). Soit, done c E p(M”) - p(M); puisque ( p , 9) est regulier, t ( c 1 M ) = p et p 5 q.

2.8. Proposi t ion. Soient 171 < M‘, M + M’; tzlors il existe a E M ’ tel que t(a I M ) est f o r t e n t e ~ t rdgulier.

DPmonstrat ion. On va montrer lkgkrement plus fort:

2.8.1. Lemme. En plus des hypothbses de la proposition, 2.8 supposons que y(v) est un.e jorm.ule ci parambtres d a m M telle que y ( N ) +: y ( M ‘ ) ; alors il existe a E y ( M ) tel pile t(n I M ) est fortement rPgulier.

Dbmonstrat ion. Choisissons a E y ( M ’ ) - 31 t,el que le rang de Morley RM(a I M ) est un ClPment minimum de (RM(b [ Ail ) ; b ~ y ( i W ’ ) - M ) ; soit p(u) une formule isolant t(a I X ) parmi les points de m6me rang. On voit alors que ( t (a 1 M ) , p) est rdgulier.

Remarque . On aurait aussi bien pu utiliser le rang de Cant>or-Bendixson plGt’ot que le rang de Morley.

Des propositions 2.7 et 2.8, on dkduit,:

2.8.2. Corollaire. Soit p E S ( M ) ; p est RK rrhiinsal si et seulemed si il existe p‘ E S,(N), fortement rdqulier tel que p - p’.

Le resultat suivant, que nous empruntons A A. PELAY est une version plus precise de la proposition 2.7.

2.9. Proposi t ion. Xupposons que (t(a I M ) , p) est rdgulier, que M’ est un modPle premier au dessus de M w (a} et que b E M’ - M ; alors t(a I M w { b ) ) est isold.

DPmonstrat ion. On voit d’abord que a et b ne sont pas indkpendants au dessus de M: et que par conskquent il existe une formule ~ ( v , v’) Ci parametres dans M telle

a E p(l)il(p)) - M , t(a 1 M ) = p .

que ( p , 9) est rBgulier.

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que pour tout rn E M , M’ k X(a, b ) A i x ( r n , b ) ; soit y(a , x) la formule axiomatisant t(b I M u {a}). Nous affirmons que la formule O(x) = ~ ( z ) A y ( x , 6 ) A x(z, b ) axiomatise t (a I Jf u { b } ) . Pour le prouver, prenons un point c satisfaisant O(c) et montrons qu’il realise t (a I M u ( 6 ) ) . Puisque ~ ( c , 6 ) est vrai, c 4 M ; puisque X‘ I= p(c), t(c 1 M) = t (a I M ) et puisque M’ k y(c, b), on voit que t(c, b 1 M ) = t (a , b 1 M ) , ce qui niontre ce que nous voulions.

En utilisant le corollaire 2.8.2 et la proposition 2.9 le lecteur montrera sans peine: 2.9.1. Corollaire. Xupposons que p E X(M) est RK-minimal, et b E M ( p ) - M ;

alors M ( p ) est premier au dessus de M u {b} . 2.9.2. Corollaire. Soient p et q E S(M), tout deux RK-rninirnaux; alors p N q si et

Peulement s i M ( p ) est M-isornorphe ci M(q) . Kous ne savons pas si cela reste vrai si l’on ne suppose pas p ou q RK-minimal.

On peut toutefois le montrer si T a des fonctions d0 Skolem ou si p est de rang fini. 2.10. Propos i t ion . i3oient p , p’, q E X(M), p 2 p‘, p perpendiculaire d q; alors p‘

est perpendiculaire d q. Demonst ra t ion . Soient ii’ et 6 rkalisant respectivement p’ et q au dessus de M ;

puisque p’ p , il existe ii rdalisant p au dessus M tel que t(ii‘ 1 M w {a } ) est isol6; alors (lemme 2.3.1) t(6 I M u { i i ’ } ) est h6ritier de q,

Deux types non alghbriques perpendiculaires entre eux ne sont pas RK-Bquivalents. Pour les R,K-minimaux la rkciproque est vraie:

2.11. Propos i t ion . Soientpet qdeuxtypessur M , RK-minirnauxnon RK-Cquivalents; a.1or.s il existe une formule y(v) d pararnktres dans M tel que soit, y ( M ( p ) ) = y ( M ) +

Dbnionstrat ion. On remarque gue l’on ne change en rien les hypotheses si on remplace respectivement p et q par n’importe quels types rdalisds dans M ( p ) - M e t M ( q ) - -11. On peut donc supposer que p , q E S1(M) et qu’il existe des formules p(v), ~ ’ ( I J ) telles que ( p , cp) et (q, y’) soient rkguliers. Si v’ (M(p)) = y’(M), c’est terming; sinon il existe a E iM(p) - M satisfaisant pl’(a). Puisque t ( a 1 M) + q. il existe y”(v) t’ellr que X ( p ) 1 $’(a) A y’(u) et p”(x) $ q. Mais (q , y’) est rPgulier et donc

* y(Jf(q)), soit y ( M ( q ) ) = Y ( l W * y ( M ( p ) ) .

y‘ A g ” ( i $ f ( q ) ) = y’ A F’’(41).

Avec l‘aide de la proposit’ion 2.4 on en dBduit :

2.11.1. Corollaire. S’oie~t p et q deux types sur M , RK-minim.aicx; alors p et q s o d HK-r‘qui,calents s i et seulement si p n’est pas perpendiculaire d q.

3. HPrit.age On va voir dans ce th section comment les notions introduites prdcddemment se

conservent par h6ritage; on supposera toujours la th6orie T to-stable. Voyons ce qui se passe d’abord pour l’ordre de Rudin-Keisler :

3.1. Propos i t ion . Soient p et q des types sur M , p’ et q’ leur he‘ritier sur M‘ > M . Supposons que p 2 q : alors p‘ 2 4’ .

Demonst ra t ion . Soit ii un point dont le type sur M ‘ est p‘; consid6rons 31; un modde premier au deaaus de M’ u { i i ) et MI < M‘ un modeIe premier au dessus de i W u {a). On sait que q est rQalist5 dans M I par un point 6, et d’apres la propositition 2.3, b et, M’ sont $1-independants.

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Convenons que N , N’ ou N , designent toujours des modeles o-satures; nous ne savons pas si la reciproque de la proposition 3.1 est vraie. Cependant :

3.2. Proposit ion. Soient p et q des types sur N et p’ et q‘ leur hdritier sur ikf > N . Xupposons que p’ 2 q’; alors p 2 q.

Demonstration. Soient 6 un point realisant p’ au dessus de M , M‘ et M” des modeles premiers respectivement au dessus de M u {a} et N u {a } ; on sait qu’il existe 6 E M‘ tel que t(6 I M ) = q’. Le type de 6 sur M u (61 est axiomatis6 par une formule p(a, d,Z) B parametres dans N U {d} u {ti}, ou d est une suite finie de M . D’antre part, il existe un ensemble fini A N tel que les types de 6,6, d, (ti, 6) sur N ne bi- furquent pas au dessus de A , et de plus ce sont les seules extensions non bifurquanter de t (d I A ) , t(6 1 A ) , t(a 1 A ) , et t(a, 6 1 A ) respectivement. Quitte it agrandir A . on peut supposer aussi que la formule p(a, d, 3) a ses parametres dans A u ( d } u {ti}. On remarque alors que t(6 I N u (6)) ne bifurque pas au dessus de A v {a} . Maintenant il existe une suite d’ dans N telle que t(d‘ 1 A ) == t(d I A ) ; par sym6trie t(d‘ 1 B u {ti]) ne bifurque pas au dessus de A et par consequent t(d‘ I A v {ti}) = t(d I A u {ti}); la formule p(6,d‘, 3) definit donc un type complet sur M u {ti}, de m6me que sur N u {a} . Ces types ne bifurquent done pas au dessus de A v {6} u {d‘}. On peut trouver dans M” un point 6‘ satisfaisant p(G, d‘, 6‘), et on vient de voir que t(6’ I N u {6}) ne bifurque pas au dessus de A u {ti) u {d‘} ; il est clair que t(n. 6’, 6‘ I A ) = t(ti, 6, d 1 A ) , et donc que t(6’ I A u (d‘} u {ti}) ne bifurque pas au dessus de A u {ti} ; par transitivite t(6’ 1 N u {ti}) ne bifurque pas au dessus de A u {a}. Mais puisque t ( a I N ) ne bifurque pas au dessus de A , t ( 6 , 6‘ I N ) ne bifurque pas au dessus de A , et grace au choix de A , on est assure que t(6, 6‘ I N ) = t ( t i , 6 I N ) . Le type q est donc realist5 dans M“.

3.3. Proposit ion. Xoient p E S , ( M ) , p’ S O ~ L hkritier d M’ > M , et supposons que ( p , 9) est rdgulier; alors (p‘, 91) est rdgulier.

Demonstration. On va supposer que (p‘ , p) n’est pas regulier et montrer que ( p , p) ne l’est pas non plus. Soit a un point realisant p‘ au dessus de M’ et considkrons M , et M i les modeles premiers au dessus de M J {a} et iV’ u {a}. I1 existe un point b E M i - M’ satisfaisant p(b) dont le type sur M’ n’est pas p’; on trouve done une formule y(w, y) A parametres dans 31 et une suite i? de M’ telles que:

M i I: p(b)r\ i y ( b , Z ) ~ y(a,F’). D’autre part, a et 6 ne sont pas MI-indkpendants et il existe une formule x(g, y, v) telle que pour tout fii, rn de M’

k i x ( f i i , rn, a ) , mais il existe d‘ dans M‘ tel que

M i k ~ ( d ‘ , b , a ) . Alors

Mf k 3w(p(w) A iy(w, I?) A y(a, C‘) A ~ ( d ’ , w, a) )

et puisque t (a 1 M’) est heritier de t ( a I M ) , il existe E 0t d dans M tels que

k 3v(p(V) A ly(w, F ) A y(a7 C) A X(d7 21, a ) ) a

Remarquons que si m satisfait x(d, m, a) , il ne peut 6tre dans M ; il en d6coule que ( p , 9) n’est pas regulier.

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ORDRE DE RUDIR-KEISLER ET POIDS DAWS LES THEORIES STABLES 419

3.4. Proposi t ion. Soint p E X ( M ) et p‘ son he‘ritier ii M’ > M ; alors p est RK- minimal si et seulement si p’ l’est.

D6monstrat ion. Un sens est donne par la proposition preckdante et le corollaire 2.8.2. RBciproquenient supposons que p‘ est RK-minimal. Soient 6 realisant p‘ au dessus de M’, Mi un modhle premier au dessus de M’ u {a} et Ml < M i premier au dessus de M u (6). On sait que JI, et M’ Font M-indkpendants. Soit b E M , - M . Nous allons montrer que t(Z I M u { b } ) est isold. On sait dBj& que t (h I M’ u { b } ) est isole (corollaire 2.9.1) de plus t(6 I M‘ u { b } ) ne bifurque pas au dessus de M u ( b } parce que t(6, b I M’) est heritier de t (6 , b 1 M ) . Donc (thBorhme 5.12 de [a] par exemple) t(a I ill u { b } ) est aussi isole.

Voyons maintenant ce qu’il advient de la perpendicularite. La dBnionstration de la proposition suivante est analogue B celle de la proposition 3.3.

3.5. Proposi t ion. Soient p E S ( M ) , p’ son he‘ritier sur M‘ > M et supposons que

3.5.1. Corollaire. Xoieiit p et q des types sur M, RK-minimaux et p‘ et q’ leur hkritiey sur M’ > M ; alors p est perpendiculaire d p s i et seulement s i p‘ est perpendiculaire Ci q’.

Demonstrat ion. Si p n’est pas perpendiculaire B q, il lui est RK-Bquivalent (co- rollaire 2.11.1) et p’ est RK-Bquivalent B p’ (proposition 3.1). Xi p est perpendiculaire & q, on peut appliquer la proposition 2.11 et obtenir par exemple, une formule y telle que y ( M ( p ) ) = y(M) $. y(M(q)); mais on sait alors que y(M’(p’)) = y(M’) . D’autre part, il existe q1 N q, q E X,(i71) contenant y ( x ) . Soit qi 1’hPritier de q1 sur M’; alors p; N p‘ (proposition 3.1) et p’ est perpendiculaire B q; (proposition 2.4) et B q‘ (proposi- tion 2.10).

Y ( M ( P ) ) = y(M); Y(M‘(P’)) = y(M’) .

4. Suites rkgulieres

L’idBe dam cette section est de dBcomposer tout type en un suite de types rPguliers; T est toujours une thkorie o-stable.

4.1. DPfinition. Une suite re‘gulikre entre M et M’ ( M < MI) est une chaine 816- mentaire de modkles M , < Af, < M , . . . < M,, avec M o = M, M, = M‘, telle que pour tout i, 0 5 i < n, Mlt l est premier au dessus de M c u {a,} oh t (a , I M , ) est fortement rhgulier.

4.2, Proposi t ion. Pour tout p E S(M) il existe une suite re‘guli8re entre M et M ( p ) . DBmonstrntion. M ( p ) est premier au dessus de M u {b} 06 t(b I M ) = p ; nous

savons (proposition 2.8) qu’il y a un point a , dans M ( p ) dont le type sur M est forte- ment rBgulier. Soient M, < M(p) un modele premier au dessus de M u {al} e t M i < M’ un modhle premier au dessus de M , u {b}. Si M, =t= Mi on recommence: on dBfinit ainsi par recurrence sur n E Q des sous modhles Mn et MA de M(p) tels que

M < M , < M , < . . .<Jf ,k<M:k<MA-l< . . . < M A < M ( p ) , et si M:,-l + Mn-, alors illn est premier au dessus de Mn-l v (an>, 06 t(an I est fortement rBguliere et oh MA est premier au dessus de M , u { b } . Montrons d’abord qu’il existe un entier n tel que M, = MA : Sinon pour tout i E o, b et a,+l ne sont pas M,-indBpendants, e t donc

RM(B 1 -< RM(6 I M & u ( u k f l ) ) < RM(b I M L )

29*

Page 8: Ordre de Rudin-Keisler et Poids Dans les Theories Stables

420 DANIEL LASCAR

et on construit ainsi une suite infinie d’ordinaux strictement d6croissante ce qui est contradictoire. Par construction ( M , M,, . . . , Mn) est une suite rPguli8re entre M et M : t . Mais il est clair que M,: est premier au dessus de M u ( b ) , donc M-isomorphe A M P ) .

Donnons uiie premiere application de ce rksultat : 4.3. Propos i t ion . Soient p et q des types sur M et supposon,s que p est RK-minimal;

alors p est perpendiculaire d q s i et seulement si p n’est pas rdalisd dam M(q) . Dkmonst ra t ion . Soient M = M, < 211, < . . . < Mn = M ( q ) une suite r6gulihre

et pour chaque i; 0 5 i < n, un point a i E Mi+, tel que Mi+, est, premier au dessus de M i w (ai> et t(ai 1 M i ) est fortement rkgulier. Supposons que p n’est pas realis6 dans M ( q ) ; alors il n’est pas rBalis6 dans M, et est done perpendiculaire a t (a , I M,) (corollaire 2.11.1). I1 n’a done qu’une seule extension p1 sur MA, qui est son hdritier; p , est done RK-minimal (proposition 3.4) et n’est pas r6alisk dans M ( q ) , pas plus que dans M,. I1 n’a done qu’une seule extension pz sur M,, et on mont,re ainsi par re- currence que p n’a qu’une extension sur M ( q ) . La rkciproque est Gvidente.

4.4. Propos i t ion . Soien,t p et q deux types sur M , p’ et q’ beur hdritier sur M’ > M ; alors p et q sowt perpe,elLdiculaires entre eux si et seuleme?Lt s i p’ et q’ le sont.

Dkmonst ra t ion . Supposons d’abord que p’ est perpendiculaire a q’. Soient a et 6 r6alisant) p et q au dessus de M , et plapons M’ de t8elle faqon que t (6 , b I 31’) soit hkritier de t (a , b 1 X ) . Alors t(a 1 M ’ ) = p’ , t(b M’) = q’ et t (6 I M’ u (6)) est l’heritier de p’, done de p ; d et 6 sont done M-indBpendants.

q. Le lecteur devra lire le raisonnement qui suit deux fois: la premibre en supposant le type q RK-minimal, la seconde en sachant d4ja que la proposition est vraie si l’un des deux types p ou q est RK-minimal. Soient a et b realisant respectivement p‘ et q‘ au dessus de M‘, L‘ un modele premier au dessus de M’ u (a> et L > L’ un modble premier au dessus de M w ( a ) . On sait qn’il exist>e une suite rdguliere M = M , < M A < X 2 < . . . < M,, = L, done des points a,,, a,, . . . , a,,-, tels que pour tout i, 0 i < 71 , Mi+l est premier au dessus de M i u (aj> et t ( a j 1 M i ) est fortement rkgulier. Exploitons le fait que p est perpendiculaire a q: pour tout i , 0 5 i < n, t(b I Mi) est hdritier de q , et on voit ais6- ment que ce type est perpendiculaire t ( a I illc), donc a t(a; I M i ) (parceque t(a,[ 1 M i ) 5 t (a 1 iWj).

Rdciproquement supposons que p est perpendiculaire

Const,ruisonF alors par recurrence sur i, 0 _I i 5 n, un modele M: tel que:

1) M’ < x; < 111:+1 < L‘, 2) M : + , est, premier au dessus de M i u (a;},

3) Hi < M ; ; 4) ill,! et L sont Mi-indkpendants.

Nous dGnisrrons avec M,!, = M’. Supposons maintenant que nous avoiis construit M i ; par hypot’hkse de recurrence MI et L sont Mi-indkpendants, et done t (a i I M,’) est hkritier de t(u,, 1 M , ) ; pour toute suite finie % de Mi+l, t ( m I &Ii: u ( a ; } ) est isole (lemme 2.3.1). Par consequent tout modele premier au dessus de Jl,! u Mi+l est aussi premier au dessus de MI u (a,}, et on peut trouver un tel inodele M,‘+, dans L‘. Tou- jours par liypoth8se de recurrence Mi et L sont M;+l-indPpeiidants et (corollaire 2.3.2),

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ORDRE DE RUDIN-REISLER ET POIDS DANS LES THEORIES STABLES 421

et L sont ,lili+,-indPpendants. I1 est clair que la suite ( M : ; 0 5 i 5 n ) ainsi con- struite est r6gulikre puisque t ( a j I MI) est fortement r6gulier (proposition 3.3). Voyons maintenant par recurrence sur i, 0 i 5 n, que t (b 1 M j ) est I’hkritier de q : C’est clair pour i = 0; traitons le cas i + 1. On sait alors que t (a i I M i ) et t (h I MI!) sont les h6ritiers respect,ifs de t(ai 1 M j ) et t (b I M i ) qui on l’a vu sont perpendiculaires entre eux. On applique soit le corollaire 3.5.1 en premiere lecture, soit la conclusion de la premikre lecture en seconde lecture et on infBre que t (ai I MI) est perpendicu- laire B t(b 1 X;). et done t(6 1 est I’hGritier de t(b 1 MI!), lui m6me &ant h6ritier de q. Comme a E M,‘, on voit, que a et b sent, MI-indhpendants.

4.5. Proposit,ion. Si p est un, type sur M , il n’existe pas duns M ( p ) - M d’ensemble in f in i libre.

Ddmonst ra t ion . Supposons que M ( p ) est premier au dessus de M U { b } oh t(b 1 31) = p et que {arL; n E w } est un sous ensemble libre de M ( p ) - N. Pour tout n E w, t(a,< 1 Mu { u i ; i < n} v { b ) ) n’est pas l’hkritier de t(a,, 1 M ) et donc bi- furque au dessus de Mu ( a i ; i < n}. Par symBtrie RM(b 1 M u { a i ; i < n}) > > RM(b I X u { a , ; i < n + l}), ce qui donne une suite infinie d6croissante d’or- d’ inaux .

4.5.1. Corollaire. Soient ( p i ; i E I ) une famille de types sur M non algdbriques, per- pendieulaires d e w d d e w ; supposons de plus que q E S ( M ) et que pour tout i E I: pi 5 p; alors I est f ini .

Retournons maint,enant aux moddes w-saturks ; rappelons que nous avons convenu de noter N , N ‘ ou ii, de tels mod8les.

4.6. Proposi t ion. Soierit p E X(N), p’ son he‘ritier sur M > N et r E S(iM). S ~ p p o - sons que r est RK-niiaimal et r p’. Alors il existe q E X ( N ) dont l’he‘ritier y’ sicr Jf est RK-e‘quivalent d r .

DBmonstrat ion. On supposera dans un premier temps que M est saturB et fl > fl. Soit B, c M , B, fini, tel que r ne bifurque pas au dessus de B, et est la seule extension non bifurquante de r 1 B,. Soit 6, une suite BnumPrant B. On peut trouver dans M un ensemble N-libre {6,,; ) L 2 0 } tel que pour tout n, t(6, I N ) = t (b , [ N ) . Cet ensemble est done indiscernable au dessus de N et pour chaque n E o il existje un N-automor- phisme de M tel que a,,@,) = bf1 ; ces automorphismes agissent sur l’espaces des types sur 1M et posons r,, = B ( r ) (i.e. pl(& z) E rrl si et seulement si p(oc(ti), x ) E r ) . Les r,, sont RK-minimaux, ne bifurquent pas au dessus de B, (si B,, est l’ensemble Bnum6r6 par 6,,) et sont les seules extensions non bifurquantes de r,, 1 B,?. On voit que si a: est un autre automorphisme tel que cu:,(6,) = b,, alors a:,(?-) = r,. D’autre part pour tout n e m : & , , ( P I ) est une extension de p ne bifurquant pas au dessus de N , done est Bgal B p’. Par consequent oclt(p’) = p’ 2 r,, = ci,,(r), et des corollaires 2.11.1 et 4.5.1 il rbsulte qu’il existe n + n’ t,els que rrl - rtt, . Mais il existe un N-automorphisme @ de M tel que p(b,, 6,) = ( b , z , 6,,,). Puisque p(6,) = b,,, on voit que p ( r ) = r,, et P(rn) = r ; rnais @al(bo) = 6,?, ~ donc @,(r ) = r,,, et p-l(rfLr) = r l . Par consequent r N r l . Main- tenant on sait qu’il existe un ensemble A g N , A fini, tel que t(b, I N ) ne bifurque pas au dessus de A et est la seule extension non bifurquante de t (6 , I A ) . Puisque N est w-saturC il existc unc suite C E N telle que t(c 1 A ) = t(6 I A ) ; soit C l’ensemble 6nurnBr6 par c. Les suites b,, b, et C realisent le m6me types au dessus de A et sont A-indBpendantes. I1 existe done un A-automorphisme y de M tel que y(6,) = 6, e t

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422 DANIEL LASCAR

y(6J = F. On a alors vu que y ( r ) = r et posons y ( r l ) = q ’ ; qr est un type RK-minimal qui ne bifurque pas au dessus de C, donc qui est hhritier de sa restriction q 8. N . D’autre part pnisque r - rl, y ( r ) = r - y(r,) = q’. I1 ne nous reste plus qu’a Bliminer l’hypo- these $1 sature. Considerons M’ > M , saturh, M’ > fl, et p”, r r les heritiers de p‘ et r sup JT. Alors on sait que p“ 2 rr (proposition 3.1) et r’ est RK-minimal (proposi- tion 3.4); r‘ est equivalent A q“ oh q” est I’hBritier d’un type q E X ( N ) . Par consequent r et qf = q“ M ne sont pas perpendiculaires entre eux et sont done RIC-Bquivalents.

4.7. Proposit ion. Xoient p et q des types sur N ; alors les coi~i%tions suivantes sont kquivalentes :

1) p est perpendiculaire ci q, 2 ) pour tout r E S ( N ) , RK-minimal, r est perpendiculaire d p ou CE q, 3) il n’existe pas de type non algkbrique infbrieur d la fois d p et ci q, 4) aucune extension propre de N ne peut se plonger d la fois dans N ( p ) et N(q) .

DBmonstration. Avec la proposition 4.3, il est B peu pres clair que 2), 3) et 4) sont equivalents et sont impliques par 1) . Supposons done 3 ) dans 1’8spoir de mont- rer 1). C’est Bvident si l’un des deux types p ou q est RK-minimal. Soient N = 41, < < . . . < M,, = N ( p ) une suite rkgulikre et pour i = 0, 1, . . . , n - 1, a , E N ( p ) tel que est premier au dessus de -UL u {a , ) , et t (a , 1 N ! ) est fortement rBgulier. Soit d’autre part un point b rblisant q au dessus de N ; inontrons par r6cur- rence sur i que t(b I M , ) est hBritier de q. Supposons que t(b I L+I,+~) n’est pas hBritier de q alors que t(b I M , ) l’est. Alors t(a, I M , ) n’est pas perpendiculaire b t(b 1 H,) et t (a , M , ) t(b 1 M ) . Grace B la proposition 4.6, on sait qu’il existe r E X(N) dont I’hBritier r‘ sur M , est RK-equivalent 8. t(al 1 M [ ) ; r est done RK-minimal (proposi- tion 3.4). r 5 q (parce que r n’est pas perpendiculaire & q ) . et r‘ est r6alisi. dam M,+l done r est rBalisB dam N ( p ) ce gui est contradietoire.

5. L’ordre D

Nous supposerons ici et dans les sections suivantes que T est une theorie stable. Notre but est d’introduire l’ordre D qui jouera un r6le analogue a 1’01-dre RK.

5.1. DBfinition. Soient M un modele de T, A E M , d et b des suites de M ; on dit que d domine 6 au dessus de A , ou que (a 1 A) domine 6, si pour toute suite 5: (prise dans une extension BlBmentaire de M ) , si si et 5: sont A-indkpendants, alors b et C sont aussi A-indkpendants. Pour des sous ensembles A, et B, de M on dit que A , domine Bo au desms de A ((Ao I A) domine B,) si pour toute suite F, si t(F I A, u A ) ne bifur- que pas au dessus de A, alors il en est de m6me de t(F I B, u A ) .

Par exemple, il d8coule de la proposition 2.3 que si t(6 I ill u {a } ) est isolB, alors (ti I M ) domine 6. La relation de domination est clairement transitive et reflexive.

On remarque que (6 I A ) domine A u {a); de plus si b n’est pas algkbrique sur A et si (ii 1 A ) domine b, alors ii et b ne sont pas independants au dessus de ,4.

5.2. DBfinition. Soient p et q deux types sur un modkle M ; on dit que p b q s’il existe 6 et 6 dans une extension de M rblisant respectivement p et q et tel que h domine b au dessus de M .

I1 est b peu prhs clair que si p D q et si t(a I M ) = p , il existe un point 6 realisant q et domine par (6 1 M ) . On voit alors que la relation est une relation de pr6ordre. Nous

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ORDRE DE RUDIN-KEISLER ET POIDS DANS LES THEORIES STABLES 423

noterons 0 la relation d’kquivalence associke. Les types minimaux pour D sont exacte- ment ceux qui sont rkalisks dans M. Si T est o-stable et si p > q alors p ~ > q .

Nous allons maintenant souligner I’analogie entre l’ordre de Rudin-Keisler et I’ordre D.

5.3. Propos i t ion . Soient M un modkle N,-sature‘ et p et p des types sur M ; alors p D q si et seulement si q est rhlise‘ duns tout modBle N,-sature‘ contenant M et rhlisant p .

La demonstration decoule des trois rksultats suivants :

5.3.1. Lemme. Supposons que t(6, b I B) ne bifurque pas au dessus A (B 2 A); a7or.s (a I A) domine b si et seulement si (6 I B) domine 6.

Demonst ra t ion . Supposons d’abord que (6 I A ) domine 6, et que E et 6 sont B-indkpendants. Alors pour tout 6’ E B, (a , 6‘) et 6 sont A-indkpendants, done (a, 6‘) et b sont A-indkpendants. Par consequent t(6 I B w { a } ) ne bifurque pas au dessus de d et b et C sont B independants. Supposons maintenant que (8 1 B) domine 6, et que C et 6 sont indkpendants au dessus de A. On peut trouver une suite i? tel que t(a, 6, F’ I B) est une extension non bifurquante de t(6, 6, I? I A). Alors 6 et E’ sont B-in- dependants, ainsi gue b et Cf. Mais puisque t(6, C‘ I B) ne bifurque pas au dessus de A , b et F’ sont A-indkpendaiits, et comrne t(b, c 1 A) = t(6,F’ I A), il en est de m&me de b et F .

5.3.2. Corollaire. Suppsons M N,-saturC, p , q E X ( M ) et p D q; alors q est rh l i sd duns tout modRle K,-sature‘ contenant M et rhlisant p .

Demonst ra t ion . Soient 6 tel que t(6 I M ) = p et M‘ =I M U (61, M‘ N,-saturk. I1 s’agit de trouver dans M’ une suite rkalisant q. I1 existe (dans une extension de M’) une suite b telle que t(b I M ) = q et (6 I M ) domine 6. Soit M , < M, M, denombrable, tel que t(a, 6 I M) est heritier de t(6, 6 1 M,) ; on sait alors que 6 domine 6 au dessus de H,. I1 existe 6‘ dans M’ tel que t(6, 6’ I No) = t(&, b I M,); ii domine aussi 6’ au dessus de X, , et puisque 6 et M sont indkpendants au dessus de M,, il en est de m&me de b’ et M . Done t(b’ I M ) est l’h6ritier de t(6’ I M) qui est prkciskment q.

5.3.3. Proposi t ion. Soient M > N des modkles Nl-sature‘s et A, c N ; alors il existe uvi modble M‘, s,-sature‘, M v A , c M’ < N , tel que A , domine M’ au dessus de M.

Demonst ra t ion . Soit A , M wA, c A c N tel que (A, I M ) domine A et A maximal pour ces propriktes; nous allons voir que A est en fait un modble K,-saturB. Soient en effet B E A. B denombrable et p E S,(B), et montrons que p est realist5 dans A. On voit d’abord qu’il existe un ensemble C dknombrable, B E C A et une extension q de p sur A tel que q [ C n’a pas d’estension bifurquente sur A: sinon on pounait construire une chaine croissante (Ch; i < ml) de sous ensembles de A et T E &(A) tels que pour tout i < ml, r CL+, bifurque au dessus de Ci. I1 existe un point b E N tel que t(b I C) = q 1 C et nous allons montrer que b E A, en prouvant que (A, 1 M ) domine A u (6). Supposons le contraire: il existe une suite telle que A , et E sont M-indkpendants et quo A , et A w (6) ne le sont pas. Remarquons que t (c 1 A ) est h6ritier de t(c 1 M) (parceque (A , I M) domine A) et done b et E ne sont pas independants au dessus de A. Soit D denombrable, C & D 5 A tel que t (b , C I A ) ne bifurque pas au dessus de D ; alors b et F ne sont pas independants au dessus de D. Considkrons maintenant un mod& M , < M , denombrable, tel que t ( D v { c } 1 M) ne bifurque pas au dessus de M,; D et F sont done M,-indkpendants. On sait qu’il

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424 DANIEL LASCAR

existe C’ E M tel que t ( 8 1 M,) = t(c 1 M , ) , et alors D et C’ sont aussi indCpendants au dessus de M,. Par consequent t(C’ I M, LJ D ) = t(c I M, u D) et il existe un point b’ tel que t(b, c I M, u D ) = t(b‘, c’ I M, v D). Alors b’ et F’ ne sont pas independants au dessus de D et done t(6‘ 1 A ) est une extension bifurquante de t(b’ 1 C) = t (b 1 C) ce qui est contraditoire avec le choix de q.

Voyons maintenant ce qui se passe par hBritage:

5.4. Propos i t ion . Soient p et q des types sur iK, p’ et q‘ leur hCritier sur M’ >. M; s i p D q alors p‘ D q’; si M et M sont a,-saturb et p’ D q‘, alors p D q.

Dkmonst ra t ion . On montre facilement A partir du lemme 5.3.1 que p ~q im- plique p’ D p‘. Supposons que p’ D q‘, et soient, ti et b rkalisant respectivement p’ et q’, et tel que 6 domine b au dessus de M’. I1 existe un modble M , < 31, dBnom- brable, tel que ni p’ ni q’ ne bifurqu e audessus de M,, et M,, M , < M, < M’, M, dknombrable, tel que t (6 , b I M ) ne bifurque pas au dessus de M, (et done 6 domine 6 au dessus de Ml). Mais il existe dans M un mod&le M i , M,-isomorphe a W,, et on peut donc trouver des points 6‘ et 6‘ tels que t(h, 6 , M I 1 M,) = t(d’, 6‘, Mi I M,) , et on peut exiger de plus que t(6’, 6’ I M) est l’hhritier de t(6’, 6‘ I M i ) ; alors h’ domine b’ au dessus de M i , done aussi au dessus de M . Or t(6’ I M) et t(6’ 1 M ) ne bifurqnent pas au dessus de M,, et sont donc rkspectivement Bgaux A p et q.

Avant d’etudier les types minimaux pour D, dans la section suivante, nous avons besoin de deux rksultats techniques :

5.5. Proposi t ion. Xupposons que h et b )be sorct pas inde‘pendunts a u dessus de M ; alors il existe M’ >- M tel que:

1) t(8 1 M’) est Z’hdritier de t ( h 1 M ) , De plus, si fi ne domine pus b au dessus de M , alors t(b 1 M ’ ) n’est pas E’hCritier de t(b I M).

Remarquons que b n’est pas dans &I (parce que 6 et b ne sont pas M-ind6pendants) et done 6 n’est pas dans M‘ (parce que t ( h 1 M’) e3t hhritier de t ( h I M ) ) .

DBmonstrat ion. Evidemment il n’y a quelque chose B montrer que si h ne domine pas 6 au dessus de M. I1 existe alors une suite 6 telle que h et C sont M-indhpendants alors que b et C ne le sont pas. Soit Ml 3 M LJ (c} tel que t(6 I H,) est hBritier de t(6 1 M ) . Alors 6 et 6 ne sont pas M,-ind&pendants, et t(b I M I ) n’est pas hhritier de t(b I M ) . Si on suppose qu’il n’y a pas de modBle M’ temoignant que la proposition est vraie, on peut recommencer l’opkration et construire par induction sur 01 < K, une chaine de moddes (Ma, 01 < N ~ ) telle que :

2 ) h domine 6 au dessus de M‘.

1) pour tout 01, t (a I Ma) ne bifurque pas au dersus de M , 2) pour 6 limite, Md = IJ Ma, 3) pour 01 = j3 + 1, t(b I Ma) bifurque au dessus de M P ,

a<d

et on sait bien que ceci est impossible.

5.6. Propos i t ion . Soient p et q deux types sur sun modBle M N,-sature‘, et supposons que p D q; alors il 6xiste 6 et 6 rkalisant respectivewwnt p et q et te2s que 6 domine (a , 6 ) au dessus de M.

Demonst ra t ion . DBcoule immediatemelit de la, proposition 5.3.3.

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ORDRE DE RUDIN-KEISLER ET POIDS DANS LES THEORIES STABLES 425

6 . RCgularitl

Notre but ici est d’dtudier les types minimaux pour i’ordre D.

6.1. Dkfini t ion. Soient p et q deux types sup A ; on dit que p et q sont orthogonaux si pour tout B 2 A et pour tout p’ et q‘ extensions non bifurquantes de p et q rk- spectivement sur B, p‘(x) u q ‘ (y ) est un type complet.

On remarqueque si p et q sont des types orthogonaux sur B et si p’ et q‘ en sont des extensions non bifurquantes sur B 2 A , alors p’ et q‘ sont orthogonaux. La pro- position 4.4 nous apprend aussi qye si T est w-stable et si p et q sont des types sur M , alors p est perpendiculaire B q si et seulement si il lui est orthogonal. Le lecteur pourra aussi montrer que si p et q sont des types sur un modde tx,-saturB p est orthogonal B q si et seulement si p ( x ) wq(y) est un type complet (en supposant seulement T stable).

6.2. Dkfini t ion. Soit p E X ( M ) ; on dit que p est rdgulier si pour tout M’ > A! et p‘ extension bifurquante de p sur M’, p’ et l’hkritier de p sur M’ sont orthogonaux.

6.3. Propos i t ion . Supposons T co-stable; alors un type fortement re‘gulier est re‘gulier.

Cela provient immediatement de :

6.3.1. Propos i t ion . Xoient p E S ( M ) et p’ son he‘ritier sur M’ > M . Xupposons que ( p , p1) est re‘gulier et que p1 E X,(M’), p , + p‘ et p(x) E p , . Alors p‘ et p1 sont orthogonaux.

Demonst ra t ion . On sait que (p’ , 9) est rBgulier (proposition 3.3). Soit y ( c ) une formule B paramktres dans M‘ appartenant L p , mais pas B p’ ; alors q A y(M’(p‘)) = = p A y(M’) et p’ est orthogonal B p , (proposition 2.4).

C’est sous la forme suivante que nous utiliserons le plus souvent la rAguiarit6:

6.4. Proposi t ion. Xoient p un type rdgulier sur M , A =I M , a et (z‘ des points r h l i - sant rispectivement sur A une extension bifurquante et non bifurquante de p ; alors t(a’ I A u { a } ) est l’hkritier de p .

DBmonstrat ion. Consid6rons un modhle M‘ 3 ,4 tel que t(6, 6’ 1 M’) ne bifur- que pas au dessus de A. Le type de sur M’ est rnanifestement une extension bifur- quante de p tandis que celui de ti’ est l’heritier de p. Par regularit6 t(6’ I M‘ w {a } ) est encore heritier de p , ainsi que t(a’ I A u {ti)).

6.5. Proposi t ion. Xoient p E S ( M ) . p‘ son hdritier sur 41‘ > M ; alors p e.rt re‘gulier si et seulement si p’ Pest.

DCmonstration. I1 est d’abord clair d’aprks la dkfinition que p’ est regulier si p l’est. Supposons p‘ regulier; soient M , > M , p , l’hkritier de p sur M,, a‘ rPalisant p1 et 6 r6alisant une extension bifurquante de p sur MI. I1 s’agit de montrer que 6 et a’ sont M,-indBpendants. On peut placer M’ de fayon B ce que t(M’ 1 M I u {ti. a’}) soit l’hdritier de t(M’ 1 M ) . Dans ces conditions, t(a’ 1 M’) = p‘ = t(6 I M’) et de plus, t ( 2 I M‘ u M,) est heritier de p1 donc de p et de p‘. Manifestement t(a I M‘ u lMl) n’est pas hCritier de p , donc bifurque au dessus de M’, et (proposition 6.4) t(6’ 1 M‘ w M , w {a } ) est I’hBritier de p’; a et a‘ sont donc inddpendants itu dessus de M .

6.6. DBfinition. On dit gue p E S ( N ) est b-minimal s’il n’est pas algebrique et est minimal pour l’ordre D parmi les types non algebriques sup M .

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426 DANIEL LASCAR

6.7. Proposit ion. Supposons que M est un modble N,-saturk, que t(6 I M) est un type rigulier et que 6 et 6 ne sont pas M-inclLpendants; alors b domine 6 au dessus de M.

Demonstration. On va d’abord trouver un moditle N tel que t(6 I N ) est h6ritier de t (6 I M ) , (6 1 M ) domine N v (b} , et b domine 6 au dessus de N . Consid6rons les moditles M‘ > M satisfaisant aux conditions suivantes: t (6 I M’) est l’h6ritier de t(ri I M ) et b domine M’ u (a}. On voit que ces conditions se conservent par union de chaines Bldmentaires et on peut trouver un tel moditle N‘ tel que p ( b I N’) est minimal. Soit M , > M un moditle N1-satur6 contenant N’ et 6 et domin6 par ( N ‘ v ( 6 ) I M) (proposition 5.3.3); on voit facilement .que b domine aussi M , au dessus de AN. Soit maintenant N , N < N < M, un modkle s,-saturk domin6 par N’ au des- sus de M ; il est alors B peu pr6s clair que b domine N w (6) au dessus de M , et comme t (6 I N ’ ) est heritier de t(6 I M) et (N’ 1 M) domine N , t(6 I N ) est l’hkritier de t (6 1 M ) . Reste A montrer que b domine 6 au dessus de N . Soit M , < N un modkle dhombrable tel que t (6 , b 1 N ) ne bifurque pas au dessus de M,; alors t (d [ M,) est rkgulier (propo- sition 6.5), 6 et b ne sont pas Mo-ind6pendants (parce qu’ils ne sont pas N-indCpendants) et il suffit de voir que b domine 6 au dessus de N o (lemme 5.3.1). On va supposer le contraire pour obtenir une contradiction. I1 existe donc Mi > M , tel que t (b I Mi) est l’heritier de t(6 [ M,), t(6 1 M,) n’est pas l’h6ritier de t(6 [ M,) et b domine d au dessus de Mi (proposition 5.5). I1 est facile de voir qu’on peut supposer M i dknom- brable, et on peut donc trouver dans N un moditle M,, qui est M,-isomorphe a MI; alors t (b [ M,) est sup6rieur pour l’ordre B a une extension bifurquante non alghbri- que de t(6 I M,) et (proposition 5.4) t(6 I N ) est sup6rieur B une extension bifurquante lion algebrique de t(a I M,) sur N . 11 existe donc un point 6‘ dans M, - N tel que t(6’ I N ) est une extension bifurquante de t (6 1 M,,) et b domine 6’ au dessus de N (pro- position 5.3.2). Mais 6 et 6‘ sont N-indkpendants (parce que t(6 I M,) est rkgulier), et soit N , < M,, contenant N U {a’} et domink par (a’ [ N ) ; alors t (6 I N,) est l’h6ritier de t(6 1 M,) donc de t (6 I M), 6 domine Nl u { b } au dessus de M (parce que N , v ( 6 ) c M,) et t(b I N , ) bifurque au dessus de N , et ceci contredit la minimalit6 de (b I 8). Terminons en montrant que b domine 6 au dessus de M : soit F une suite M-indkpendante avec b ; alors t(F I N u (6)) est l’hkritier de t(C 1 M ) et donc aussi de t(F 1 N ) , et 6 et C sont N-indhpendants; par transitivit6 on voit que d et C sont M-in- d6pendants.

6.7.1. Corollaire. Si p est un type rigulier non algkbrique sur un modRle N,-saturL, p est c--minimal.

6.7.2. Corollaire. Soient p et q deux types sur u n modble N1-saturi et supposons p rigulier; alors q c-p ou bien p est orthogonal d q.

Kous supposerons partir de maintenant que T est une thkorie superstable; on va alors pouvoir montrer l’existence de types rkguliers.

6.8. Proposit ion. Soient M un modble s,-saturk et p un type non algbbrique sur M ; alors il eziste r E S ( M ) rkgulier tel que p D r .

DBmoiistration. On choisit parmi les types non algitbriques q inferieurs il p pour I’ordre D un type r tel que P(T) est minimal. On va montrer que r est r6gulier: Nous laissons au lecteur le soin de se convaincre de la remarque suivante: soient M , > M , M, N,-saturB, p1 et r1 les h6ritiers de p et r sur M ; alors P(r l ) posskde la m b e proprihtk de minimalit6 que P( r ) ; donc la seule extension non algitbrique de

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ORDRE DE RUDIN-KEISLER ET POIDS DANS LES THEORIES STABLES 427

r qui est inferieur L p, est prkcishment r,. Supposons r non rdgulier; il existe donc M’ > M et q une extension bifurquante de r sur M’ tel que r‘ l’heritier de r et q ne sont pas orthogonaux. Avec la proposition 5.5, on voit qu’il existe M ‘ > M’ et q‘ une extension non algebrique de q sur M” tels que, si r” est l’hdritier de r sur MI’, r r ‘ ~ q ‘ . Soit p” 1’hBritier de p sur iM”; alors (proposition 5.4) p” ~ r ” ~ q ‘ , et ceci contredit la remarque prkcedente.

6.8.1. Corollaire. Soit p un type non alge‘brique sur un modble M N,-saturk; alors les trois conditions suivantes sont Cquivalentes:

1) p est D-minimal.

2 ) il eriste r E S ( M ) . r rigulier tel que r 0 p ,

3) il n’esiste pa.9 de suites ti, 6 , C telles que t(Ci I M) = p , b et C sont M-indipendants, ii et b tie sont pas ill-indipendants, et ii e f C ne sont pas M-inddpendants.

DCmonstrat ion. Le fait que 1) et 2) sont equivalents est clair d’aprks la proposi- tion 6.8 et le corollaire 6.7.1. Supposons que 2) est vrai; alors il existe 8 et a‘ realisant respectivement p et r et tel que (ii‘ I M) domine 6, donc ti, et a’ ne sont pas M-inddpen- dants, et 6 domine a‘ au dessus de M (proposition 6.7). Si b et C sont M-independants et 6 et ii ne le sont pas. b et ii‘ ne le sont pas non plus, et 6 domine 8’ au dessus de M ; donc C et a‘ sont &I-independants ainsi que 5 et ii: ceci montre que 3) est vrai. La con- dition 3) reut exactement dire que si ii et b ne sont pas M-indhpendants, alors (6 I M ) domine a : p est donc D-minimal.

alors p est b-minimal si et seulement si p‘ l’est.

types p-minimaux.

6.8.2. Corollaire. Xoieizt p E S(iM), p’ son hdritier sur M’ > M, M et M’ n,-saturC;

On va voir maintenant comment on peut dPfinir une notion de dimension pour les

6.9. Propos i t ion . Xoient M un modble n,-saturd, et A un ensemble tel que, pour tout a E A , t(a 1 M ) est b-minimal. Soient A , un sous ensemble de A , M-libre et maximal pour ees proprie‘te‘s et b E ,4. Alors il existe c E A , tel que (A , - { c } ) w { b ) est amsi M-libre et maximal.

Dkmonst ra t ion . Montrons d’abord un lemme:

6.9.1. Lemme. Xupposons que t(a I M ) est b-minimal et que t(a I B ) en est l’hbitier ( M N,-saturP, M 5 B). Soient 6 et C deux suites B-inddpendantes. Alors a et 6 ou bien a et sont R-inddpeiidantes.

DBmonstration. I1 suffit de considerer un modele N contenant B et N,-saturB tel que t(a, b , C l N ) ne bifurque pas au dessus de B.

Retournons maintenant 8. la preuve de la proposition 6.9. Comme A, est maximal, nous savons qu’il existe {a,, a,, . . . , a,,} c A , tel que t(b I M u {a,, a,, . . . , a,]) n’est pas I’hCritier de t(b 1 M) alors que t(b I M w {a,, a,, . . ., l’est. Montrons que A , = (A,, - {a,,}) w {b} est M-libre et maximal.

1) A, ebt X-libre: en effet a, et A , - {a,, a,, . . . , a,} sont independants au dessus de M w {u,, a,, . . . , a,+,}, alors que b et a,, ne le sont pas; en appliquant le lemme 6.9.1, on voit que b et A,, - {a,, a,, . . . , arL} sont independants au dessus de M u {a,, a l , . . . , a,-,}, et cela suffit pour montrer que A, est M-libre.

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425 D-PNIEL LASCAR

2 ) 8 , est maximal: soit d E A ; il convient de montrer que t(d 1 M u A,) n’est pas I’hkritier de t(d I M ) ; c’est clair si t(d I M U A,, - (an ) ) bifurque au dessus de M ; dans le cas contraire d et a,, sont dependants au dessus de M u (A , - {a,,)), de m6me que b et a,,. Appliquons le lemme 6.9.1, et nous voyons que b et d sont dkpendants au dessus de M u ( A , - {all}) .

6.9.3. Corollaire. Soient M un modble N,-saturd, et A tm ensemble tel que pour tout a E A , t(a. I M ) est r>-minimal; alors deux sous ensembles libres et maximaux de A oiit la ndmv cardinalite‘.

Nous laissons au lecteur les demonstrations des deux propositions suivantes qui soiit analogues aux demonstrations de 4.5.1 et 4.6.

6.10. Propos i t ion . Soien,t ( p i ; i E I ) u,ne famille de types sur un mod& M s,-sa- ture‘, deur b deux orthogon.aux, et supposons que q E S(M) et que q D p pour tout i E I ; alors I est fini.

6.11. Propos i t ion . Soient p E S(M) , p‘ son hdritier sur M’ > J!l, o k M et M‘ sont des modkles K,-saturds, et supposons que r E X ( M ’ ) est r>-?ninimal et p’ D r ; alors il existe q E S ( M ) dont l’hdritier q’ sur M‘ est p-dquivalent d r .

Nous pouvons maintenant montrer I’analogue de la proposition 4.7.

6.12. Propos i t ion . Soient p et q deux types sur ‘un modAle M N,-saturk; alors les

1) p est orthogonal a q, 2 ) il n’existe pas de type r E S ( M ) , --minimal tel que p D r et q

Demonst ra t ion . Supposons d’abord que p est orthogonal B q et que p D r . Mon- trons que r est orthogonal B q : En effet considerom .? et b realisant respectivement r et q. I1 existe une suite 6 rkalisant p , telle gue (6 I M ) domine T ; or h et b sont M-in- dependants. Donc b et F le sont aussi.

Montrons maintenant que 2) implique 1) par induction sur p(q) : Soient h et b realisant respectivement p et q et M‘ un modele R,-saturB contenant M et, b et domine par b au dessus de M (proposition 5.3.3). On sait qu’il existe un point c E M‘ tel que t(c 1 iV) est D-minimal, et soit M“ -< M ’ , M U {c} 3 N“ , M“ s,-xaturB tel que (c, M ) do- mine M”. Mais d’aprks 2 ) , t(c I M ) et p sont orthogonaux, et t(6 I 31’‘) est I’hCritier de p . Pour montrer que d et 6 sont M-indkpendants il suffit de montrer qu’ils sont MI’-independants. Or l ( b I N ” ) < ,B(b I M ) ; on utilisera l’hypothhe d’induction pour montrer que t ( h I M”) et t(6 I M”) sont orthogonaux, et on supposera pour obtenir une contradiction qu’il existe r“ E S(M”) , minimal, tel que t (a I Af”) D r“ et t ( b 1 M I ’ ) D r “ . D’aprits la proposition 6.11, on peut supposer que r“ est, I’h6ritier d’un type r E S(M), et donc p D r par la proposition 5.4; mais r” est realis6 dans M’ (corollaire 5.3.2) par un point d . Alors t(d 1 M) = T , et b domine d au dessus de 31, ce qui implique que q D r , contradiction.

conditions suivantes sont Cquivalentes :

r .

7. Poids

Nous supposerons ici que T est une theorie superstable.

7.1. Propos i t ion . Soit p un type sur un modble M N,-sature‘; alors p eat ~ -hqu iva len t b un p r o d d fini de types rdguliers.

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ORDRE DE RUDIN-KEISLER ET POIDS DANS LES THEORIES STABLES 429

Demonst ra t ion . Soient a une rkalisation de p et M’ un modhle Nl-saturQ con- tenant &! u {ti} et domink par (ti I M ) . Par le lemme de Zorn, on voit qu’il Bxist,e dans M‘ un ensemble 3, M-libre, dont tout les points rkalisent un type regulier au dessus de 1cf et maximal pour ces propri6tks; alors 3 est fini (proposition 6.10) et soit b une suit.e l’knumhrant. Nous allons montrer que (6 1 M) domine ii, et cela suffira puisque t(b I M ) est un produit de types rkguliers et que t(ii I M) ~ t ( b I M ) . I1 existe un modirle M”, K,-saturh, M u B =I M” > M’, dominh par (6 I M ) ; remarquons que ii domine M“ w {a } au dessus de M. Soit C une suite telle que 6 et F sont M-ind6- pendants; alors t(C I MI’) est l’hkritier de t(E I M ) . Supposons dans l’espoir d’une con- tradiction, que E et. 6 ne sont pas M-indBpendants. 11s ne sont alors pas 22”-indC- pendants, et done t ( C I M ” ) et t (a I M”) ne sont pas orthogonaux; il existe r“ E X(M”), rkgulier, t8el que t(a I M”) D r“ et t(c I M”) D r“ (proposition 6.12). On peut de plus supposer que r“ est hkritier de r EX(M) (proposition 6.11). Mais on sait alors que r” est realis6 par un point d E M’ (proposition 5.3) et B w { d } thmoigne que B n’est pas maximal. ce qui est la contradiction cherchhe.

Soie.nt p,, p,> . . . ~ p,, , q,, q2, . . . , q,,, des types rkguliers sur un modhle M, N,-SB-

turA; d‘aprPs le corollaire 6.9.2, si p , x p , x . . . x p,l 0 q1 x q, x . . . x q,,,, alors n = ni ; la de‘finition suivante est done licite.

7.2. D6finition. Soit p un type sur un modhle N,-saturQ; on appelle poids de p l’entier ‘n tel qu’il existe des types rkguliers p l , p 2 , . . .. , p,, satisfaisant P O P , x P2 x . . . x P,h. Le poids de p sera note w ( p ) ; on Qcrira w(a I M) platot que w(t (a I M ) ) . Remar-

quons que 2u(p) = 1 si et seulement si p est un type r>-minimal.

I1 s’agit maintenant de definir le poids des types sur un ensemble quelconque de paramhtres.

7.3. Lemme. Supposons que pour tout i, 1 5 i 5 n., pi 0 pi; alors

D4monst ra t ion . I1 suffit clairement de prouver le lemme pour n = 2. Soient 6, et a,, X-indkpendants realipant respectivement pl et p2 (et donc t(h,, ti, 1 M ) = = pl x p 2 ) . I1 existe des points a; et ti; rkalisant respectivement p i et p; et dominks respectivement par ti, et ti2 au dessus de M . Tout d’abord on voit grace aux relations de domination que ti; et ti; sont iW-inddpendants. Montrons que ( E l , ii2) domine (ti;, a;) au dessus de M : soit C tel que et (ti,, a,) sont M-indhpendants; alors l’en- semble (al, ti,, F } est libre, et il en est de mhme de (a;, a,, C> et de {a;, ii;, E ) .

p1 x P, x . . . x Pn 0 p; x Pi x . . . x P,’,-

7.3.1. Lemme. Soien,t p un type sur un mode‘le M N,-saturC, et p’ son hdritier sur M‘ > M , M’ N,-iiature‘; alors w(p ) = w(p‘).

Dhmonst ra t ion . Soient qi , 1 i 5 Y L = w(p’), des types rQguliers sur M’ tels que p‘ 0 ql x q, x . . . x qn. On sait que pour tout i , 1 5 i 5 n, qi 0 r i , oh r: est l’hkritier de ri E S ( M ) . Alors, par le lemme 7.3, p’ 0 r; x r i x . . . x r:, , et (proposi- tion 5.4) p 0 rl x r z x . . . x r,.

7.3.2. Proposi t ion. Soient p E X(A), MI et M , deux rnodkles N,-saturts coiiteaant A , p , et p , de3 extensions ?&on bifurquuntes de p sur M I et M , respectivement; alors IdP1) = N P J .

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4.30 DANIEL LASCAR

DCmonstrat ion. Soient a, et a2 des points realisant p1 et p , rkspectivenient. Puis- que t(al 1 A) = t(a, I A), il existe M i tel que t ( M i v {a,) 1 A) = t ( M , v {a,} 1 A); on peut de plus exiger que t (M; I M , v {a,}) ne bifurque pas au dessus de A u {a,). Remerquons d’abord que t(a, I M i ) est A-isomorphe B p,, donc w(a, [ N l ) = w(p2), et de plus $(a, 1 M i ) ne bifurque pas au dessus de A. Par consequent t (M; 1 A u {a,}) ne bifurque pas au dessus de ,4, et par sym6trie et transitivite, on voit que t(al 1 M , u M i ) ne bifurque pas au dessus de A. On peut donc construire un modkle M’, N1-saturk et contenant M , v M i tel que t(a I M ) est l’heritier de t(a, 1 M,) et de t(a, I H;); alors en utilisant le lemme 5.3.1, w(p,) = w(al I M,) = w(al I M’) =

7.3.3. Dkfini t ion. Soit p EX(A); on appelle poids de p le poids d’une de sea ex-

I1 est d’autre part clair que: 7.3.4. Propos i t ion . X i p’ est une extension non bifurpuante de p , alors ~ ( p ) = ~ ( p ‘ ) . 7.4. Propos i t ion . Xupposons que B est un ensemble de suites libre au dessus de A ,

et que pour tout 6 E B, 6 et ii .Ize sont pas A-indLpendants; alors IlBll 5 w(ii I A). DBmonstrat ion. On prouvera la proposition par rCccurence sur le poid..; de

p = t (a I A ) : Le cas w ( p ) = 1 se dkmontre immkdiatement b partir du corollaire 6.8.1 en considerant un modkle M R,-saturB contenant A et tel que t(a v B 1 M ) ne bifur- que pas au dessus de A . De plus, pour montrer la proposition pour w ( p ) = 72 la m6me considCration nous permet de supposer que A est un modkle N,-saturk. Soit donc a,, a2, . . . , a, un ensemble A-libre dont tout les cildments rkalisent un type regulier sur A et dominant ii au dessus de A. I1 en decode que pour tout 6 E B, b et ( a l , a,, . . . , a,,) ne sont pas A-independants. On distingue deux cas:

1) t(a, I A u B ) est I’hdritier de t(a, I A ) . Dans ce cas l’ensemble B est libre au dessus de A w (a,}, et pour tout 6 E B, b et (a,) a3 , . . . , a,) ne sont pas indkpendants au dessus de A v {al) . Or il est clair que w(a,, a s , . . . , a, 1 A v {a l ) ) = zo(a2, a3 , . . . , a,, 1 A ) = 71. - 1, et par hypothBse de rtkurrence, llBlj 5 n - 1.

2 ) t(a, 1 A v B ) n’est pas l’h6ritier de t(a, 1 A ) . On peut trouver un sous ensemble fini B, 5 B et E B - B, tels que t(a, I A u B,) est l’hkritier de t(a, I A ) , tandis que t(a, I A w B, v (F)) ne l’est pas. Alors C et B - (B, u ( a ) ) sont independants au dessus de A v B,; or w(al I A v B,) = 1, et puisque a, et C ne sont pas indCpen- dants au dessus de A LJ B,, a, et B - (B, v (C}) doivent 1’6tre; on en deduit que t(a, I A u ( B - { a } ) ) est l’h6ritier de t(a, I A). Comrne prkcedemment, B - {C} est libre au dessus de A w {a,), et pour tout 6 E B -- {C), (02, a3, . . ., a,) et 6 ne sont pas independants au dessus de A u { a l ) ; donc IIB - {F}jl 5 n - 1, et ]lB[l 5 n.

= w(a1 I M ; ) = W ( P Z ) .

tensions non bifurquantes sur un modBle N,-satur6.

Bibliographie

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(Eingegangen a.m 23. Januar 1981)