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Page 1: PHYSIQUE : une approche moderne

PCSIMPSIPTSI

1re ANNÉE

PHYSIQUEUne approche moderne

COURSEXERCICES CORRIGÉSOUTILS MATHÉMATIQUES

Cet ouvrage rassemble dans un seul volume tout le programme de physique de première année des trois filières des classes préparatoires aux grandes écoles : PCSI, MPSI et PTSI.

Les programmes de ces trois filières sont très proches et ne diffèrent que surquelques points précis indiqués dans le texte.• Les auteurs ont suivi la démarche pédagogique suggérée par le programme officiel, tant sur le contenu que sur la progression des enseignements, en illustrant chaque leçon par des exemples et des ordres de grandeur.• Le livre est découpé en 44 leçons, chacune étant suivie de questions de cours,d’exercices d’applications directes et de problèmes inspirés de ceux posés auxconcours, tous corrigés en détail.• L’ouvrage propose un rappel de l’essentiel des outils mathématiques de basenécessaires à l’enseignement de la physique en classes préparatoires.• Les 44 leçons se terminent par une section Ouvertures qui souligne l’actualitédu sujet et présente des éléments indispensables de physique moderne. L’ouvrage intéressera également les étudiants de première année des universitéset des classes préparatoires intégrées, ainsi que les candidats aux concours de l’enseignement secondaire. PH

YSIQUE

Une approche moderne

+ Strictement conforme au programme+ De nombreux exemples avec ordres de grandeur+ De nombreux exercices et problèmes corrigés+ Des ouvertures pour la préparation aux épreuves

d’ADS et de TIPE+ Des outils mathématiques de base

ISBN : 978-2-8041-6226-9

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www.deboeck.com

TOUT-EN-UN

Sous la direction de JOSÉ-PHILIPPE PÉREZ

CHRISTOPHE LAGOUTE • OLIVIER PUJOL • ÉRIC DESMEULES

Conformeau programme

José-Philippe Pérez, Professeur émérite de l’Université de Toulouse au UPS-OMP, IRAP.Christophe Lagoute, Professeur au Lycée Bellevue de Toulouse.Olivier Pujol, Maître de conférences à l’Université de Lille au LOA.Éric Desmeules, Professeur au Lycée Bellevue de Toulouse, en CPGE-MP.

PCSIMPSIPTSI

PREPAPHY1:Mise en page 1 13/07/11 17:53 Page1

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Sommaire

Avant-propos

Constantes, notations et symboles

Les grands noms de la physique en CPGE 1ère année

Leçons

1. Qu'est-ce que la physique? I. Unité et dimensions II. Constantes fondamentales de la physique III. Les quatre interactions fondamentales

2. Cinématique du point I. Cadre spatio-temporel de la cinématique II. Vitesse et accélération d'un mobile ponctuel III. Ouvertures

3. Dynamique du point matériel I. Force II. Loi fondamentale de la dynamique III. Première loi de Newton ou principe de l'inertie IV. Exemples d'application V. Ouvertures

4. Énergétique d'un point matériel I. Énergie cinétique d'un point matériel II. Puissance et travail d'une force III. Théorème de l'énergie cinétique IV. Énergie potentielle V. Énergie mécanique d'un point matériel VI. Ouvertures

5. Lois de l'électrocinétique I. Régimes stationnaire et quasi stationnaire II. Tension et courant électriques III. Dipôles électrocinétiques IV. Dipôles linéaires et dipôles non linéaires V. Lois de Kirchhoff

6. Circuits linéaires I. Systèmes linéaires II. Association de dipôles linéaires passifs III. Générateurs IV. Théorème de Millman V. Aspects énergétiques dans un circuit RLC VI. Ouvertures

7. Oscillateur harmonique. Amortissement visqueux I. Oscillateur harmonique II. Influence d'un amortissement visqueux

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III. Applications

8. Régimes transitoires I. Réponse à un échelon de tension II. Circuit électrique RC III. Circuit électrique RL IV. Circuit RLC série V. Applications

9. Bases de l'optique géométrique I. Aspect ondulatoire de la lumière II. Approximation de l'optique géométrique III. Lois de Snell-Descartes IV. Applications des lois de Snell-Descartes V. Ouvertures 10. Formation des images géométriques I. Image en optique géométrique II. Stigmatisme approché, approximations de Gauss III. Systèmes centrés focaux ou afocaux IV. Aberrations V. Ouvertures

11. Lentilles minces I. Lentilles II. Constructions géométriques III. Relations de conjugaison et grandissements IV. Aberrations V. Ouvertures

12. Miroirs sphériques I. Propriétés générales II. Relations de conjugaison et grandissements III. Télescopes réflecteurs et cavités optiques IV. Ouvertures

13. TP-cours: Sources et détecteurs I. Source de lumière II. L'œil III. Ouvertures

14. TP-cours (PSCI): Instrumentation optique I. Lentilles et miroirs II. Projection d'images III. Instrumentation usuelle IV. Ouvertures

15. Circuit RLC série en régime sinusoïdal. Résonance I. Signaux sinusoïdaux en électricité II. Oscillations électriques forcées. Résonance III. Excitation d'amplitude déterminée IV. Applications

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16. Circuits en régime sinusoïdal I. Impédance et admittance complexes II. Lois de Kirchhoff en régime sinusoïdal III. Puissance en régime sinusoïdal

17. TP-cours: Instrumentation électrique I. Signaux usuels II. Sources électriques usuelles III. Oscilloscope IV. Multimètres V. Ouvertures

18. TP-cours (PCSI): Amplificateur opérationnel I. Description et fonctionnement (PCSI, PTSI) II. Montagnes d'AO en régime de saturation (PSCI, PTSI) III. Montagnes d'AO en régime linéaire IV. Ouvertures

19. Fonction de transfert des filtres I. Fonction de transfert d'un filtre II. Classification des filtres III. Filtres passifs IV. Filtres actifs

20. TP-cours (PCSI): Redressement et modulation I. Caractéristique courant-tension d'une diode II. Redressement III. Modulation et démodulation d'amplitude

21. Critère de stabilité (PCSI) I. Stabilité et instabilité II. Systèmes linéaires du premier ordre III. Systèmes du deuxième ordre

22. Théorème du moment cinétique pour un point matériel I. Moment cinétique d'un point matériel II. Moment d'une force en un point III. Théorème du moment cinétique IV. Pendule circulaire V. Ouvertures

23. Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives I. Champ de forces centrales conservatives II. Mouvements à force centrale conservative III. Analyse préalable du mouvement de Kepler IV. Trajectoire dans le problème de Kepler (PCSI, MPSI) V. Étude directe des trajectoires circulaires VI. Ouvertures

24. Changement de référentiels. Force d'inertie I. Différents mouvements d'un repère II. Changements de référentiel en cinématique galiléenne

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III. Composition des vitesses IV. Composition des accélérations V. Relativité galiléenne VI. Forces d'inertie VII. Ouvertures

25. Système de deux points matériels (PCSI, MPSI) I. Éléments cinétiques du système II. Référentiel du centre de masse III. Théorèmes fondamentaux IV. Aspects énergétiques V. Système isolé de deux points matériels VI. Ouvertures

26. Référentiels galiléens approchés I. Différentiels référentiels galiléens approchés II. Dynamique terrestre III. Marées (PCSI) IV. Ouvertures

27. Introduction à la thermodynamique I. Description d'un système en thermodynamique II. Échange d'énergie par travail III. État stationnaire et état d'équilibre IV. Grandeurs extensives et intensives

28. Gaz parfaits: approche microscopique I. Mouvement brownien II. Hypothèses microscopiques et lois statistiques III. Pression et température cinétique IV. Énergie interne d'un gaz parfait V. Ouvertures

29. Fluides réels I. Étude expérimentale des gaz réels II. Le modèle de Van der Waals III. Phases condensées IV. Ouvertures

30. Statistique des fluides I. Pression dans un fluide au repos II. Fluides compressibles et homogènes III. Gaz parfait dans le champ de pesanteur IV. Actions exercées par les fluides au repos V. Ouvertures

31. Premier principe de la thermodynamique I. Énoncé du premier. Énergie interne II. Transferts d'énergie III. Enthalpie. Détente de Joule et Thomson£ IV. Mesures calorimétriques V. Ouvertures

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32. Deuxième principe de la thermodynamique I. Évolutions irréversibles II. Deuxième principe III. Énoncés historiques du deuxième principe IV. Relation fondamentale de la thermodynamique V. Entropie d'un gaz VI. Création d'entropie dans une phase gazeuse VII. Entropie d'une phase condensée VIII. Ouvertures

33. Entropie statistique. Troisième principe I. État macroscopique et état microscopique (PCSI) II. Entropie statistique (PCSI) III. Troisième principe IV. Ouvertures

34. Corps pur diphasé I. Approche expérimentale II. Diagrammes d'équilibre III. Aspects énergétique et entropique (PCSI) IV. Équilibre liquide-vapeur V. Ouvertures

35. Machines thermiques I. Machine thermique ditherme II. Machines thermiques réelles III. Ouvertures

36. Champ et potentiel électrostatique I. L'interaction coulombienne II. Champ électrostatique III. Potentiel électrostatique IV. Énergie d'un système de deux charges V. Champ, potentiel et énergie de gravitation VI. Ouvertures

37. Symétries en électrostatique I. Symétries des charges et conséquences II. Invariances des distributions de charge III. Utilisation des symétries IV. Ouvertures

38. Théorème de Gauss. Applications I. Théorème de Gauss II. Détermination de champs électrostatiques III. Condensateur (PCSI, PTSI) IV. Analogie gravitationnelle V. Ouvertures

39. Dipôles électrostatiques (PCSI, MPSI) I. Moment dipolaire II. Potentiel et champ

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III. Dipôle dans un champ extérieur IV. Ouvertures

40. Particules chargées dans des champs électromagnétiques I. Champ magnétique II. Particule chargée dans un champ électrique III. Particule dans un champ magnétique IV. Ouvertures

41. Particules chargées dans un conducteur I. Mouvement d'une charge dans un conducteur II. Loi d'Ohm (PCSI, PTSI) III. Effet HALL (PCSI, PTSI) IV. Force de Laplace (PCSI) V. Ouvertures

42. Loi de Biot et Savart. Symétries du champ magnétique I. Sources du champ magnétique II. Symétries des courants et conséquences III. Influence des invariances des sources IV. Calculs de champs magnétiques V. Ouvertures

43. Propriétés du champ magnétique I. Conservation du flux du champ magnétique II. Théorème d'ampère III. Calculs de champs par le théorème d'ampère IV. Ouvertures

44. Dipôle magnétique (PCSI) I. Moment d'un dipôle magnétique II. Champ produit par un dipôle magnétique III. Exemples de dipôles magnétiques IV. Actions d'un champ magnétique extérieur V. Bilan comparatif des champs E et B statiques VI. Ouvertures

Outils mathématiques

1. Opérations sur les vecteurs I. Base directe et base indirecte II. Produit scalaire III. Produit vectoriel IV. Produit mixte V. Technique de projection VI. Double produit vectoriel

2. Trigonométrie I. Formules de base II. Application aux diamètres apparents III. Angle solide

3. Coniques I. Définition

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II. Équation polaire III. Équation cartésienne IV. Propriétés fondamentales des coniques

4. Dérivées et développements limités I. Dérivée d'une fonction II. Dérivées partielles III. Dérivée d'une fonction composée IV. Dérivée logarithmique V. Dérivée d'un vecteur VI. Développements limités

5. Fonctions hyperboliques I. Définition II. Propriétés III. Développements limités

6. Nombres complexes I. Définition II. Force cartésienne III. Représentation d'un nombre complexe IV. Forme polaire d'un nombre complexe V. Formules d'Euler VI. Multiplication par le nombre complexe exp(jα) VII. Application au tracé des diagrammes de Bode

7. Matrice I. Définitions II. Algèbre des matrices III. Déterminants de matrices carrées 2x2 IV. Inversion d'une matrice carrée régulière V. Vecteurs propres et valeurs propres

8. Équations différentielles I. Équations différentielles linéaires II. Équations différentielles non linéaires

9. Différentielles I. Différentielles d'une fonction II. Systèmes de coordonnées III. Formes différentielles

10. Probabilités I. Langage des probabilités II. Probabilités III. Variables aléatoires IV. Lois de probabilité V. Intégrales gaussiennes

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José-Philippe Perez

Professeur émérite de physique de l’Université de Toulouse au LATT-OMP (Agrégé, Docteur-ès-sciences) :

membre du jury de l’agrégation, du CAPES, du concours de « Centrale-Paris », des Instituts Nationaux

polytechnique.

Christophe Lagoute

Professeur de physique au Lycée Bellevue, attaché au laboratoire au lycée Bellevue de Toulouse, et

chercheur associé au Laboratoire d’Astrophysique de l’Observation Midi-Pyrénées (agrégé de physique et

docteur en astrophysique). Membre du jury du concours des « Mines et Ponts ».

Olivier Pujol Maître de conférences à l’Université de Lille et chercheur au Laboratoire d’Optique atmosphérique (Agrégé,

Docteur en Physique de l’Atmosphère), enseignant à la préparation à l’agrégation.

Eric Desmeules Professeur en CPGE-MP (Normalien Saint-Cloud, Agrégé) au lycée Bellevue de Toulouse. Il est membre du

jury du concours des « Mines et Ponts ».

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“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/6/27 — 11:35 — page xxvii — #27�

Avant-propos

Cet ouvrage rassemble, en un seul volume, tout le programme de physique de premièreannée des classes préparatoires aux Grandes Écoles : PCSI, MPSI et PTSI. Comme lesprogrammes de ces trois sections ne diffèrent que sur quelques points bien précis, nousavons indiqué clairement dans le texte les rares parties qui ne concernent qu’une filièrespécifique, considérant que proposer trois livres distincts n’aurait eu aucun intérêtscientifique ou pédagogique.

Adhérant à la démarche pédagogique du programme officiel, nous avons volon-tairement été fidèles au contenu et à la progression des enseignements qu’il propose.Aussi n’avons-nous procédé qu’à deux seules interversions, afin de rendre ce pro-gramme encore plus efficace :

i) nous commençons par les lois de Kirchhoff en régimes stationnaire et quasi station-naire, avant de les appliquer aux circuits en régime transitoire ;

ii) nous étudions les transitions de phase du corps pur avant les machines thermiques.

Il nous a paru pédagogiquement intéressant de découper ce cours en leçons quasiautonomes. Un tel découpage a entraîné quelques redites, qu’on voudra bien considérercomme des points importants, qu’il est toujours utile de rappeler. On dénombre entout 44 leçons, dont la première, intitulée « Qu’est-ce que la physique ? », est uneintroduction générale, centrée sur les constantes fondamentales, les ordres de grandeuret les lois fondamentales en physique. Les 43 autres se distinguent clairement de simplesformulaires, c’est dire que les exemples d’illustration, les aspects expérimentaux, maisaussi historiques, voire épistémologiques, qui relèvent de la culture scientifique, ytiennent une place significative.

Ajoutons que chaque leçon se termine par une section « Ouvertures » proposant desprolongements de la leçon, dans lesquels nous avons, autant que possible, soulignél’actualité du sujet et présenté des éléments de physique moderne. Ces complémentscontribueront notamment à préparer efficacement les étudiants aux épreuves d’ADS(Analyse de Documents Scientifiques) ou de TIPE (Travaux d’Initiative PersonnelleEncadrés), lesquelles dépassent souvent largement le cadre du programme en faisantappel à des notions de physique du XXe siècle. Ainsi, nous n’avons pas hésité à rappelerque la chute libre dans le vide est une illustration des fondements physiques de larelativité générale d’Einstein.

Cet ouvrage s’adresse d’abord aux étudiants : il doit donc être clair, efficace et peucoûteux. Aussi la typographie est-elle volontairement aérée, le renvoi à des formuleséloignées pratiquement inexistant, les outils mathématiques ajustés au strict nécessaire.

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“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/6/27 — 11:35 — page xxviii — #28�

xxviii Avant-propos

Évidemment, chaque leçon est suivie de travaux dirigés, dans lesquels on trouvetout d’abord dix questions de cours essentielles, auxquelles l’étudiant devrait pouvoirrépondre sans difficulté avant d’aborder la suite, puis des exercices et des problèmesd’application, tous corrigés, constituant ainsi une excellente préparation aux interro-gations orales ou écrites. Parmi les quelque 300 exercices et problèmes, résumés parun titre explicite, beaucoup sont inspirés de ceux posés aux concours nationaux ; ilsont été parfois modifiés afin de souligner leur intérêt physique et fournir des ordres degrandeur réalistes. En outre, certains exercices et problèmes sont originaux, au pointqu’ils pourraient apparaître dans les sessions de concours à venir.

Les solutions de tous les exercices et problèmes, réunies à la fin de l’ouvrage, permet-tront à l’étudiant, et plus largement à l’autodidacte, de tester sa propre compréhensiondu cours, d’enrichir sa réflexion sur le contenu, de développer sa capacité de travailautonome, et surtout de favoriser considérablement sa réussite à l’épreuve de physiqueaux différents concours.

C’est aussi pour cela que nous avons pensé judicieux de rappeler l’essentiel desoutils mathématiques de base nécessaires au développement de la physique. Dans cecontexte, il n’est pas inutile d’ajouter que la grande expérience acquise par les auteursdans la préparation aux grands concours scientifiques (concours des Grandes Écoles,Capes et Agrégation) constitue un atout précieux de l’ouvrage.

Par son contenu structuré en leçons, sa progression prudente, sa modernité et sapédagogie synthétique, ce livre sera certainement très utile aussi aux étudiants depremière année des Universités, aux étudiants des Classes Préparatoires Intégrées,ainsi qu’aux étudiants préparant les concours du professorat en physique.

Les auteurs, juin 2011

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« Es ist das schönste Los einer physikalischen Theorie, wenn sie selbst zur Aufstellung einer umfassenden Theorie den Weg weist, in welcher sie als Grenzfall weiterlebt. » (« C’est le plus beau sort d’une théorie physique que d’ouvrir la voie à une théorie plus vaste dans laquelle elle continue à vivre comme un cas particulier. ») Albert Einstein 1916, Über die spezielle und die allgemeine Reltivitäts-theorie, Springer, Seite 50, 2009.

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Leçon 3Dynamique du point matériel

La dynamique est l’étude du mouvement des corps en liaison avec les causes, appeléesforces, qui le produisent. Avec la cinématique, c’est-à-dire la seule description géomé-trique du mouvement à l’aide de la vitesse et de l’accélération (cf. Leçon 2), la dyna-mique forme la mécanique, dont les lois ont été énoncées au XVIIe siècle, d’abord parle physicien italien Galilée dans son ouvrage « Discours et démonstrations mathématiquesconcernant deux sciences nouvelles » (1638), puis par le physicien anglais Isaac Newtondans le célèbre traité intitulé « Principes mathématiques de la philosophie naturelle » ou« Philosophiae Naturalis Principia mathematica » (1687).

On se propose dans ce chapitre de recenser les différentes forces et d’exprimer leuraction sur le mouvement. Ainsi, nous allons voir que, par rapport à une catégorieparticulière de référentiels, qualifiés de galiléens, la relation de causalité entre les forceset le mouvement est particulièrement simple.

I FORCE

Les forces sont les causes du mouvement ; ce sont des grandeurs vectorielles notées FFF quiagissent sur des objets ponctuels en faisant apparaître des caractéristiques physiquestelles que la charge électrique, la masse grave, etc.

On distingue deux types de forces : les forces fondamentales, en raison de leuruniversalité, au nombre de quatre (cf. Leçon 1), et les forces dites de contact, qui,contrairement aux précédentes, existent, comme leur nom l’indique, parce qu’il y a uncontact entre le point matériel considéré A et son environnement proche ; ces dernièresne sont pas fondamentales, car elles n’apparaissent pas à l’échelon microscopique ;cependant, elles ont un rôle essentiel dans la vie courante.

I.1 Forces fondamentales

Les forces fondamentales agissent à distance, comme nous le verrons par l’intermédiairede champs divers (cf. Leçons 26, 36, 37, 42). Énumérons-les : la force de gravitationuniverselle, la force de Lorentz ou force électromagnétique, qui est une généralisation

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54 3 Dynamique du point matériel

de la force électrostatique entre deux charges ponctuelles au repos, la force nucléairedite forte et la force nucléaire faible (cf. Leçon 1).

a) Force de gravitation

La force de gravitation est celle que subit un point matériel A1 de la part d’un autrepoint A2 distant de r (Fig. 3.1) :

FFF2→1 = −Gm�

1 m�2

r2 eeer où eeer =rrrr

et rrr = AAA2AAA1 = rrr1 − rrr2

où G ≈ 6,67 × 10−11 SI est la constante de Newton (cf. Leçon 1). Les quantités scalairespositives m�

1 et m�2 sont les masses graves des points A1 et A2 respectivement. Chacune

traduit la capacité d’un corps matériel à interagir par gravitation avec un autre corpsmatériel.

O

x

y

z

r2

r1

F1→2

F2→1

A2

A1

Figure 3.1 Force de gravitation universelle

Remarque

L’expression de cette force, qui fut introduite par Newton pour interpréter le mouve-ment des corps du Système Solaire (planètes, satellites, comètes), est parfois appelée,de nos jours, la cinquième loi de Newton. Les trois premières sont celles relatives à ladynamique et la quatrième concerne l’hypothèse d’universalité du temps (cf. Leçon 24).

Nous verrons ultérieurement que la gravitation se manifeste localement sur Terresous la forme de la force de pesanteur, ou poids, d’un corps (cf. Leçon 26). On admettra,en attendant, l’expression suivante du poids m∗���, ��� étant le champ de pesanteur terrestreet m∗ la masse grave du corps considéré.

On peut trouver un ordre de grandeur de � en réduisant la pesanteur à sa contribu-tion essentielle qui est la force de gravitation exercée par la Terre supposée sphérique(masse M∗

T, rayon RT). En effet, il vient, en assimilant la Terre à un point matériel demasse M∗

T placé en son centre T, on trouve :

m∗� = Gm∗M∗

T

R2T

soit � = GM∗

T

R2T≈ 6,67 × 10−11 × 6 × 1024

(6 400 × 103)2 ≈ 9,77 m.s−2

ce qui est proche de la valeur expérimentale mesurée, 9,80 m.s−2.

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I Force 55

Remarque

La direction de ��� définit la verticale (cf. Leçon 26) ; tout plan perpendiculaire à ��� esthorizontal.

b) Force électromagnétique de Lorentz

La force de gravitation est formellement analogue à la force d’interaction entre deuxcharges ponctuelles au repos dans le vide ; son expression est donnée par la loi deCoulomb, du nom du physicien français Charles Coulomb qui l’a établie à la fin duXIXe siècle :

FFF2→1 =1

4πε0

q1q2

r2 eeer où eeer =rrrr

et rrr = AAA2AAA1 = rrr1 − rrr2

Une différence réside cependant : la force de gravitation est toujours attractive, alorsque la force coulombienne ne l’est que si q1q2 < 0 ; si q1q2 > 0 elle est répulsive.Rappelons que cette force est bien plus intense que la précédente (cf. Leçon 1).

Dans le cas général d’une charge q en mouvement à la vitesse vvv par rapport à unréférentielR, située dans une région de l’espace où règne un champ électromagnétique(EEE, BBB), la force d’interaction est la force de Lorentz, du nom du physicien néerlandaisHendrik Lorentz qui l’a proposée en 1895 :

FFF = q(EEE + vvv ×BBB)

c) Forces nucléaires

Rappelons que la force nucléaire forte permet d’expliquer la cohésion des nucléons (cf.Leçon 1) ; elle est cent fois plus intense que les forces électromagnétiques et de trèscourte portée, de l’ordre de 1 fm = 10−15 m. Quant à la force nucléaire faible, qui permetd’interpréter certaines formes de radioactivité, sa portée est encore plus faible : 10−18 m.

I.2 Forces de contact

a) Force de rappel d’un ressort

Modifions la longueur au repos l0 d’un ressort, soit en allongeant ce dernier de sorteque sa longueur l devienne supérieure à l0, soit en le comprimant pour que l < l0.

Pour une petite déformation |l − l0| l0, le ressort exerce une force proportionnelle àsa déformation (Fig. 3.2) :

FFF = −K(l − l0) eeex

où K est une constante caractéristique du ressort qui s’exprime en N.m−1, appeléeraideur, et eeex le vecteur unitaire porté par la direction du ressort et orienté selon le sensde son allongement (l− l0 > 0). Cette expression est parfois appelée loi de Hooke du nomdu physicien anglais Robert Hooke (contemporain de Newton) qui l’a établie.

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56 3 Dynamique du point matériel

O FF AA

ll l – l0< 0

l – l0> 0l

0

xO

x

Figure 3.2 Allongement et compression d’un ressort horizontal

b) Tension d’un fil

Un fil, à l’extrémité duquel on a accroché une masselotte, exerce sur cette dernière,lorsqu’il est tendu, une force de tension TTT. Dans le cas d’un pendule simple, constituéd’un fil inextensible en kevlar (longueur constante l), c’est cette tension qui contraintla masselotte à décrire un arc de cercle de rayon l malgré le poids (Fig. 3.3).

O

A(m)

g

Tl

Figure 3.3 Force de tension du fil dans un pendule simple

c) Contact avec un support

Lorsqu’un point matériel A est posé sur un support, une table par exemple, ce dernierexerce une force de réaction RRR qui empêche A de s’y enfoncer.

En l’absence de frottement, la réaction est normale au plan de la table : RRR = Reeen, oùeeen désigne le vecteur unitaire normal à ce plan (Fig. 3.4a). En présence de frottement,le support exerce sur A une réaction RRR qui présente deux contributions, l’une normaleRRRn et l’autre tangentielle RRRt (Fig. 3.4b) :

RRR = RRRn +RRRt avec RRRn = Rn eeen et RRRt = Rt eeet

eeet étant le vecteur unitaire tangent à la table.Si A est en mouvement sur la table, on a RRRn · vvv = 0. En outre, on constate expé-

rimentalement que RRRt est de sens opposé à vvv : RRR · vvv = RRRt · vvv < 0 (Fig. 3.4c). Enfin, lescomposantes normale Rn et tangentielle Rt sont reliées par des lois expérimentalesdites lois de Coulomb, qu’il est inutile de donner ici.

d) Force de frottement fluide

Si le point matériel est en mouvement dans un milieu fluide, par exemple l’eau oul’air, ce dernier s’oppose au mouvement du point A par une force de frottement fluideFFFf opposée à la vitesse vvv de A par rapport au référentiel lié au fluide. Ces forces defrottement visqueux ont été analysées très tôt par Galilée puis par Newton. On lesreprésente en distinguant deux cas, selon la valeur de la vitesse.

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II Loi fondamentale de la dynamique 57

R Rt

Rn

R

A

a) b) c)

en

ene

t

g

Rn

Rt v

R

A

g

A

Support horizontal Support incliné

Figure 3.4 a) Réaction normale d’un support sur un point immobile en l’absence de frottementb) Réaction normale et tangentielle en présence de frottement c) Cas où A possède une vitesse non nulle

i) Pour des vitesses suffisamment faibles, la relation entre FFFf et vvv est linéaire :

FFF f = −αvvv

α étant un coefficient directement relié à la capacité du fluide à s’opposer au mou-vement de A, précisément sa viscosité. Cette loi est connue sous le nom de loi deStokes et la force est dite de Stokes, du nom du physicien anglais Georges Stokes quil’explicita en 1840. La dimension physique de α est [M][T]−1.

ii) Pour des vitesses plus grandes, la force de frottement est proportionnelle au carré dela vitesse :

FFF f = −βv2 eeev où eeev =vvvv

est le vecteur unitaire porté par la vitesse. Le coefficient β, que l’on appelle souventcoefficient de Venturi, du nom du physicien italien du XVIIIe siècle Giovanni Venturi,dépend notamment du fluide. La dimension de β, qui diffère de celle de α, est[M][L]−1.

II LOI FONDAMENTALE DE LA DYNAMIQUE

La loi fondamentale de la dynamique a été énoncée par Newton dès les toutes premièrespages de son œuvre Principia Mathematica, sous l’intitulé « deuxième loi ». Elle exprimela relation entre les forces qui agissent sur un point matériel et une caractéristique deson mouvement, appellée quantité de mouvement.

Il est instructif de rappeler la formulation historique de la deuxième loi de Newton.

II.1 Énoncé historique de la loi fondamentale de la dynamique

« Le changement de mouvement est proportionnel à la force imprimée et s’effectue suivant ladroite par laquelle cette force est imprimée. »

Il vient, en caractérisant le mouvement, comme l’a fait Newton, par la quantité demouvement ppp et en désignant par FFF la force imprimée :

dpppdt= FFF

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58 3 Dynamique du point matériel

Il devient alors nécessaire de préciser ce concept de quantité de mouvement d’un pointmatériel, concept apparu pour la première fois avec René Descartes en 1645, puis reprispar Newton, en 1687, à la première page de son traité !

II.2 Quantité de mouvement d’un point matériel

Par rapport à un référentiel R, on appelle quantité de mouvement d’un point matérielA, caractérisé par sa masse grave m�, sa charge électrique q, etc., le produit de sa vitessevvvA/R par un coefficient scalaire constant m, appelé masse inerte, dont les propriétés et lasignification physique apparaîtront clairement avec l’énoncé de la loi fondamentale :

ppp = mvvvA/R

Remarques

1) La quantité de mouvement est appelée aussi impulsion ou moment linéaire, du la-tin « momentum » qui est une contraction des mots « movimentum » (mouvement) et« movere » (déplacer). Ces noms trouvent leur justification en physique moderne ouselon le problème étudié ; par exemple le terme « impulsion » est souvent utilisé dansl’étude des collisions. Nous le réservons à la quantité de mouvement généralisée d’uneparticule chargée dans un champ électromagnétique.2) On montre que l’on peut choisir m = m∗ avec une précision relative meilleure que10−13 (cf. Leçon 26).

II.3 Énoncé actuel

On obtient la formulation actuelle de la loi fondamentale de la dynamique en combinantles deux relations précédentes, ce qui donne :

Relativement à un référentiel galiléen R, le mouvement d’un point matériel A, de quantitéde mouvement ppp, soumis à plusieurs forces, de somme

PFFF, satisfait à la relation :

dpppdt=X

FFF avec ppp = mvvvA/R soit maaaA/R =X

FFF

puisque m est une constante.

II.4 Analyse de la loi fondamentale de la dynamique

a) Inertie

La masse m qui intervient dans la loi fondamentale de la dynamique traduit la propriétéd’inertie, c’est-à-dire la capacité d’un corps à résister à la modification de sa quantitéde mouvement, d’où le qualificatif « inerte ». Plus m est grand, plus le corps résiste :l’expérience courante montre bien qu’il est plus aisé de communiquer une vitessedonnée à une balle de ping-pong qu’à une boule de pétanque. Réciproquement, uneforce déterminée communiquera une vitesse plus petite à un corps de masse importantequ’à un corps de masse plus faible.

L’unité de masse inerte est le kilogramme (cf. Leçon 1).

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II Loi fondamentale de la dynamique 59

Remarques

1) Très souvent, par abus de langage, la masse inerte est simplement appelée masse.Plus important, on l’a historiquement confondue avec la masse grave, pourtant toutesdeux a priori différentes, puisque la masse grave n’a de sens que relativement à la forcede gravitation. Il est vrai, qu’à l’analyse, ces deux masses s’avèrent égales, mais au prixd’une révolution majeure : l’abandon de la gravitation comme force par Einstein danssa théorie de la relativité générale.2) On voit parfois la force de frottement visqueux de Stokes écrite sous la formecontestable suivante, FFF f = −m/τvvv, faisant apparaître la masse inerte m, et ainsi laissantpenser, à tort, que cette force serait proportionnelle à la masse. Si l’introduction de ladurée τ = m/α, qui dépend de m, dans l’analyse du mouvement est judicieuse, cellea priori dans l’expression de la force est malheureuse. Rappelons que la seule force quisoit, après analyse, proportionnelle à la masse est la force de gravitation, la pesanteurn’étant qu’une adaptation terrestre de cette dernière (cf. Leçon 26), ce qui constitue unesingularité en physique, comme on vient de le dire précédemment.

b) Référentiels galiléens

Dans sa formulation, la loi fondamentale suppose l’existence de référentiels particu-liers, qualifiés de galiléens. Le référentiel du laboratoire, par rapport auquel les expé-riences quotidiennes sont conduites, peut être considéré comme une bonne réalisationd’un tel référentiel. Dans la suite immédiate, nous nous contenterons de ce résultat dontla justification est d’abord expérimentale. Nous verrons ultérieurement que certainsdésaccords irréductibles entre théorie et expérience ont conduit à substituer au référen-tiel du laboratoire d’autres référentiels qui réalisent, eux, une meilleure approximationd’un référentiel galiléen (cf. Leçon 26).

Remarque

Dans l’étude du mouvement en cinématique galiléenne, on n’a attribué aucun caractèregaliléen au référentiel d’étude (cf. Leçon 2). Ce n’est que dans la recherche des causes dumouvement, c’est-à-dire dans sa relation aux forces, que l’on est conduit à donner auréférentiel d’étude un statut particulier, galiléen ou non. Dans la théorie de la relativitéd’Einstein, qui généralise celle de Galilée et Newton, au contraire, il est nécessaire depréciser la nature physique des référentiels dès la cinématique ; aussi dit-on que larelativité a fait entrer, en 1905, la cinématique dans le domaine des sciences physiques.

c) Détermination d’une force

Réciproquement, la loi fondamentale permet, lorsque le mouvement est connu, dedéterminer les forces, voire d’en découvrir de nouvelles. C’est précisément à partirdes lois de Kepler sur le mouvement des planètes autour du Soleil (cf. Leçon 23) queNewton put établir l’expression de la force de gravitation en 1/r2. C’est à partir dumouvement d’un point dans un milieu que l’on a pu déduire les expressions des forcesde frottement visqueux ; c’est aussi en étudiant les conditions du mouvement ou durepos d’un point matériel en contact avec un support que l’on a pu connaître, au moinspartiellement, l’expression de la réaction de contact RRR qu’exerce le support. De nosjours, c’est en analysant le mouvement des satellites artificiels en orbite basse que l’ondétermine précisément le champ de gravitation terrestre (cf. Leçon 36).

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60 3 Dynamique du point matériel

III PREMIÈRE LOI DE NEWTON OU PRINCIPE DE L’INERTIE

III.1 Énoncé historique et énoncé actuel

a) Énoncé historique de Newton

Cet énoncé figure dans les premières pages du traité de Newton :« Tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme, sauf si

des forces “imprimées” le contraignent d’en changer. »

b) Énoncé actuel

Par rapport à tout référentiel galiléen R, tout point matériel A, éloigné de tout autre corps(P

FFF = 000), a un mouvement rectiligne uniforme : vvv = CteCteCte.En effet, d’après la deuxième loi de Newton, si

PFFF = 000, alors :

dpppdt= 0 d’où ppp = CteCteCte et vvv = CteCteCte

Notons que la vitesse et la quantité de mouvement sont des constantes vectorielles.Le mouvement de A est alors rectiligne et uniforme, ce qui caractérise un point matériellibre, car soumis à une force nulle. Le repos correspond évidemment à une valeur nullede la vitesse.

c) Point matériel isolé et point matériel pseudo-isolé

On distingue parfois un point matériel isolé, lequel n’est soumis à aucune force (FFF = 000),d’un point matériel pseudo-isolé, soumis à un ensemble de forces dont la somme estnulle :

PFFF = 000.

Remarques

1) En énonçant cette première loi de Newton, on ne peut s’empêcher de penser à l’erreurhistorique d’Aristote « Il n’y a pas de mouvement (vitesse) sans moteur (force) ».2) C’est Descartes qui énonça le premier, de façon satisfaisante, le principe de l’inertiesous sa forme définitive, avec mouvement rectiligne et uniforme, dans « Principe deschoses matérielles » publié en 1644 (Newton n’avait que deux ans). Galilée, lui, n’avaitconsidéré que les mouvements circulaires uniformes comme ses prédécesseurs, enomettant le caractère rectiligne dans le principe de l’inertie. Ajoutons, pour l’anecdote,que, dans son énoncé original, Descartes associait explicitement la conservation de lavitesse d’un point matériel isolé à l’immuabilité de Dieu !3) Il ne faut pas confondre un point matériel libre, pour signifier isolé ou pseudo-isolé,et l’état libre que peut acquérir un point matériel en interaction avec un centre attractifparce qu’il peut s’éloigner infiniment de ce dernier (cf. Leçon 4).4) En dernière analyse, comme l’a fait remarquer le physicien autrichien Ernst Mach(prononcez « mar »), cette première loi de Newton n’est qu’une conséquence de la loifondamentale de la dynamique, lorsque le point matériel est isolé ou pseudo-isolé.

Page 21: PHYSIQUE : une approche moderne

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IV Exemples d’application 61

d) Équilibre mécanique

Un point matériel, isolé ou pseudo-isolé, est dit en équilibre ou au repos lorsque savitesse est nulle, ce qui suppose que sa vitesse initiale le soit. En effet :X

FFF = 000 d’où vvv = CteCteCte = 000

Par exemple, une masselotte A, soumise à son poids m��� et à la tension TTT d’un fil, est enéquilibre si :

m��� +TTT = 000 et vvv = 000

III.2 Référentiel inertiel

Un référentiel est qualifié d’inertiel si on peut y réaliser le principe de l’inertie.C’est le cas, pour le référentiel du laboratoire, lorsque la pesanteur n’est pas prise

en compte, parce que négligeable dans ses effets, ou si elle est compensée par une autreforce ; référentiel du laboratoire et référentiel inertiel coïncident alors.

Une table à coussin d’air, qui permet de compenser la pesanteur m��� par la réac-tion normale qu’exerce de l’air soufflé par la table, est un référentiel galiléen, qui estaussi inertiel à deux dimensions. Nous verrons plus loin (cf. Leçons 24 et 26) qu’unecabine d’ascenseur en chute libre ou un vaisseau spatial sans propulsion réalisent unréférentiel inertiel à trois dimensions, bien que non galiléen.

De façon générale, le référentiel du laboratoire est galiléen, avec une excellenteapproximation (cf. Leçon 26), mais il n’est pas inertiel, pour tout mouvement à troisdimensions, précisément en raison de la pesanteur qui empêche d’y réaliser le principede l’inertie.

IV EXEMPLES D’APPLICATION

IV.1 Conditions initiales

Si l’on connaît, à un instant particulier, l’état mécanique d’un point matériel A, c’est-à-dire sa position et sa vitesse, ou sa quantité de mouvement, la loi fondamentale permetde déterminer l’état mécanique de A, à tout instant antérieur ou postérieur. On ditque la loi fondamentale est déterministe ou qu’il y a déterminisme, selon l’expressionintroduite par le mathématicien Pierre Simon Laplace dans son traité de mécaniquecéleste.

En général, un instant particulier est choisi comme instant initial, c’est-à-dire commeorigine des temps. Comme la loi fondamentale est du second ordre de dérivation parrapport au temps, on obtient la vitesse à partir de l’accélération par une premièreintégration, ce qui exige de connaître la vitesse à un instant déterminé, le plus souventà l’instant initial t = 0. Une seconde intégration permet d’obtenir la position, mais lacondition initiale sur la position est alors nécessaire. Ainsi, pour chaque degré de liberté,il y a deux conditions initiales.

Comme nous le verrons dans des cas simples, tels que la chute des corps, les condi-tions initiales modifient considérablement la nature des trajectoires relevant pourtantde la même application de la loi fondamentale.

L’étude du mouvement d’un point matériel nécessite de respecter une stratégieprécise. Le système considéré se réduisant à un seul point matériel A, en mouvement

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62 3 Dynamique du point matériel

par rapport au référentiel terrestre R, supposé galiléen, on doit successivement :i) effectuer le bilan des forces qui s’exercent sur le point matériel considéré ;ii) appliquer la loi fondamentale de la dynamique de Newton ;iii) exploiter l’équation obtenue en conservant le plus longtemps possible sa forme

vectorielle ;iv) projeter, si nécessaire, l’égalité vectorielle précédente dans la base la plus simple,

laquelle ne coïncide pas nécessairement avec celle B du référentiel R ;v) analyser qualitativement les expressions littérales obtenues ;vi) enfin s’assurer du respect des dimensions physiques et des ordres de grandeur.

IV.2 Chute libre dans le champ de pesanteur

a) Chute libre sans vitesse initiale

Abandonnons (sans vitesse initiale) un point matériel A, de masse m suffisammentimportante de telle sorte que l’on puisse négliger les forces de frottement de l’air,comme l’a supposé Galilée. Il en résulte que le point matériel n’est soumis qu’à sonpoids m���. Il est alors commode de choisir la base du référentiel R de telle sorte que Oxcoïncide avec la verticale descendante définie par la direction et le sens du champ depesanteur ��� (cf. Leçon 26).

Par rapport au référentiel terrestre, supposé galiléen, la loi fondamentale s’écrit :

maaa = m��� d’où aaa = ���

Ainsi, dans le vide, l’accélération de A est indépendante de sa masse, comme le confirmel’expérience dite du tube de Newton (cf. Leçons 1 et 26) : tous les corps tombentdans le vide avec la même accélération. Précisons que ce résultat exceptionnel a pourfondement l’égalité, admise ici, des masses inerte et grave (cf. Leçon 26).

On en déduit aisément l’expression de la vitesse du point A en intégrant unepremière fois par rapport au temps :

vvv = ���t + vvv0 = ���t

puisque la vitesse initiale vvv0 est nulle.Une seconde intégration donne le vecteur position OAOAOA au cours du mouvement :

OAOAOA =12���t2 +OAOAOA0

OAOAOA0 donnant la position initiale. Projetons ces vecteurs dans la base cartésienne B ={eeex, eeey, eeez}. Il vient, pour aaa, vvv et OAOAOA, respectivement, puisque eeex est orienté selon laverticale descendante :

aaa =

B

˛˛ x

y

z

=

B

˛˛ �0

0

vvv =

B

˛˛ x

y

z

=

B

˛˛ �t0

0

OAOAOA =

B

˛˛ x

y

z

=

B

˛˛ �t2/2

0

0

si initialement A0 est en O. Ainsi, seule la coordonnée x est affectée :

x = � x = �t et x =�t2

2

Page 23: PHYSIQUE : une approche moderne

“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 63 — #107�

IV Exemples d’application 63

On en déduit la durée de chute tc, entre la position initiale et la hauteur h parcourue :

tc =

„2h�

«1/2

ORDRE DE GRANDEUR

Du sommet de la tour de Pise (h = 54,5 m), en Italie, où une légende affirme que Galiléelaissa tomber des corps de masse différente pour étudier la chute libre, on trouve, ennégligeant les frottements, tc = 3,3 s.

Remarques

1) Galilée avait conscience de l’influence des forces de frottement. Son génie fut dedéduire d’expériences approximatives la loi précédente vraie dans le vide.2) Einstein considérait que l’expérience de la chute des corps dans le vide, avec lamême accélération, en raison de l’exceptionnelle égalité de la masse grave et de lamasse inerte, était la plus belle expérience de physique fondamentale qu’un professeurde physique pouvait montrer à ses étudiants.3) Très souvent, on désigne par Oz l’axe vertical ascendant. Un tel choix n’était pas iciadapté, car le mouvement de chute privilégie la verticale descendante.

b) Chute libre avec vitesse initiale

Si le point A est lâché avec une vitesse initiale vvv0 faisant un angleθ0 avec l’axe horizontalOy (Fig. 3.5), la trajectoire n’est plus rectiligne, alors que l’équation du mouvement,issue de la loi fondamentale, est toujours la même : aaa = ���.

En effet, si on projette, comme précédemment, cette équation dans la base B ={eeex, eeey, eeez}, on obtient :

aaa =

B

˛˛ x

y

z

=

B

˛˛ �0

0

d’où vvv =

B

˛˛ x

y

z

=

B

˛˛ �t + Cte = �t + v0 cosθ0

Cte = v0 sinθ0

0

puisqu’initialement les composantes de la vitesse sont respectivement v0 cosθ0 etv0 sinθ0. Une seconde intégration donne :

OAOAOA =

B

˛˛ x

y

z

=

B

˛˛ �t2/2 + (v0 cosθ0) t + Cte = �t2/2 + (v0 cosθ0) t

v0 sinθ0 t + Cte = v0 sinθ0 t

0

puisqu’à l’instant initial les coordonnées de A étaient nulles.L’équation de la trajectoire s’obtient en éliminant le temps, précisément en expri-

mant t en fonction de y et en remplaçant l’expression de t ainsi obtenue dans x. Ontrouve :

t =y

v0 sinθ0d’où x =

12

v20 sin2 θ0

y2 +y

tanθ0

La trajectoire est donc une parabole (Fig. 3.5 et cf. OM3).

Page 24: PHYSIQUE : une approche moderne

“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 64 — #108�

64 3 Dynamique du point matériel

O y

x

g θ0 v

0

Figure 3.5 Chute libre pour une vitesse initiale non nulle

Retenons que, selon la direction de la vitesse initiale vvv0, le mouvement est rectiligneou parabolique ; les conditions initiales jouent donc un rôle essentiel dans la nature dela trajectoire dans des mouvements dynamiquement équivalents. Le cas où θ0 = π/2donne la parabole avec sommet en O :

x =�

2v20

y2

IV.3 Chute avec frottement de Stokes

En présence d’un frottement de Stokes (FFF f = −αvvv), la loi fondamentale appliquée à unpoint matériel A devient :

mdvvvdt= maaa = m��� − αvvv soit

dvvvdt+

vvvτ= ��� où τ =

est un coefficient homogène à une durée. Explicitons cette équation vectorielle dans lamême base que précédemment, en introduisant les trois composantes de la vitesse, vx,vy, vz ; on obtient :

B

˛˛ vx

vy

vz

+

B

˛˛ vx/τ

vy/τ

vz/τ

=

B

˛˛ �0

0

d’oùdvx

dt+

vx

τ= �

a) Vitesse initiale nulle

La solution de cette équation différentielle du premier ordre, à coefficients constantsavec second membre, est la somme de la solution de l’équation différentielle homogène(sans second membre) et de la solution particulière définie par vx constant (cf. OM8).

La première solution s’écrit :

Cte × expĄ− tτ

Ńoù Cte désigne une constante. Comme la seconde solution est �τ, il en résulte l’expres-sion générale suivante de la vitesse :

vx(t) = Cte × expĄ− tτ

Ń+ �τ

Page 25: PHYSIQUE : une approche moderne

“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 65 — #109�

IV Exemples d’application 65

Puisqu’à l’instant initial vx = 0, on trouve :

0 = Cte + �τ d’où Cte = −�τ et vx(t) = �τŢ1 − exp

Ą− tτ

ŃŸAinsi, on a, vectoriellement :

vvv = �τŢ1 − exp

Ą− tτ

ŃŸeeex

La figure 3.6 montre l’évolution de la vitesse du point matériel A. On constate qu’aubout d’une durée de quelques τ, la vitesse de A atteint la valeur limite vl = �τ = m�/α.

τtO

vl

vx

Figure 3.6 Évolution de la vitesse de chute d’un point matériel avec frottement de Stokes

ORDRES DE GRANDEUR

i) Dans l’expérience de Millikan (cf. Leçon 1), la vitesse limite de chute dans l’air d’unegoutte d’huile, assimilée à un point matériel, est de l’ordre de 0,1 mm.s−1. On trouvealors comme ordre de grandeur de α, en prenant pour masse volumique de l’huileρm,h = 810 kg.m−3, et pour rayon de la goutte r = 1 μm :

α =m�vl=

4πρm,hr3�

3vl≈ 4 × π × 810 × 10−18 × 9,80

3 × 10−4 ≈ 3,3 × 10−10 kg.s−1

ii) De même, une gouttelette d’eau d’un nuage tombe avec une vitesse de l’ordre de10 cm.s−1. Dans ce cas, l’ordre de grandeur de α est, puisque la masse volumique del’eau est ρm,e = 1 000 kg.m−3, pour une gouttelette de rayon 10 μm :

α =4πρm,er3�

3vl≈ 4 × π × 1 000 × 10−15 × 9,80

3 × 0,1≈ 4,2 × 10−10 kg.s−1

La position du point A s’obtient en intégrant l’expression précédente de vx :

x(t) = �τt + �τ2 expĄ− tτ

Ń+ Cte

Si initialement x(0) = 0, on trouve :

0 = �τ2 + Cte d’où Cte = −�τ2 et x(t) = �τt − �τ2Ţ1 − exp

Ą− tτ

ŃŸ

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“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 66 — #110�

66 3 Dynamique du point matériel

Remarques

1) La vitesse limite était prévisible sans calcul. Au début de la chute sans vitesseinitiale, le terme de Stokes est nul, mais au fur et à mesure que la vitesse croît, sa valeuraugmente jusqu’à atteindre une valeur égale au poids. Les deux forces se neutralisentalors et le corps acquiert une vitesse telle que m� = αvl.2) La mesure de vl permet de déterminer le coefficient α. Une telle technique sert ainsià mesurer la viscosité d’un fluide, laquelle intervient dans α ; l’appareil correspondantest un viscosimètre à chute.3) Nous avons vu qu’en l’absence de frottement le point matériel décrivait une trajec-toire rectiligne selon une loi quadratique (en t2), pour une vitesse horizontale nulle.Cette évolution n’est plus quadratique en présence d’un frottement de Stokes.

b) Vitesse initiale selon l’horizontale

Le point A est, cette fois, lancé selon l’horizontale, précisément avec une vitesse vvv0 =v0 eeey. Comme la vitesse initiale selon la verticale Ox est toujours nulle, on a encore :

vx(t) = �τŢ1 − exp

Ą− tτ

ŃŸet x(t) = �τt − �τ2

Ţ1 − exp

Ą− tτ

ŃŸSelon Oy, l’équation différentielle traduisant l’évolution de vy est maintenant :

dvy

dt+

vy

τ= 0 d’où vy(t) = Cte × exp

Ą− tτ

ŃPuisqu’initialement vy = v0, Cte = v0 ; par conséquent :

vy(t) = v0 expĄ− tτ

ŃOn en déduit aisément l’évolution de y en intégrant par rapport au temps :

y(t) = −v0 τ expĄ− tτ

Ń+ Cte

Or, avec y = 0 à l’instant initial, Cte = v0τ. On en déduit :

y(t) = v0 τŢ1 − exp

Ą− tτ

ŃŸLa trajectoire n’est donc plus une parabole comme en l’absence de frottement (cf.Exercices). Cependant, dans l’air, pour des objets courants, l’écart avec la chute libren’est pas très significatif, car α ≈ 10−4 kg.s−1, et donc 1/τ = α/m négligeable, sauf pourdes masses très faibles.

IV.4 Chute avec frottement de VenturiComme on suppose que le point matériel est maintenant soumis à une force de frot-tement fluide de type Venturi, FFFf = −βv2 eeev, avec eeev = vvv/v, l’équation du mouvementdevient :

mdvvvdt= maaa = m��� − βv2 eeev

En raison de la présence du terme quadratique v2, cette équation différentielle n’estpas linéaire et est donc délicate à résoudre (cf. OM8). Dans ce contexte, la simulationnumérique est un outil précieux.

Page 27: PHYSIQUE : une approche moderne

“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 67 — #111�

IV Exemples d’application 67

a) Vitesse initiale selon la verticale

Projetée dans la même base cartésienne que précédemment, cette équation donne,puisque v2 = v2

x :

B

˛˛ vx

vy

vz

mB

˛˛ v2

x

0

0

=

B

˛˛ �0

0

d’où mdvx

dt= m� − βv2

x

Montrons que vx tend vers la limite (m�/β)1/2. Au départ, le terme de pesanteur estprépondérant si la vitesse initiale v0 n’est pas trop importante ; au fur et à mesure quevx augmente à partir de sa valeur initiale v0, l’influence du terme de frottement croîtjusqu’à atteindre la valeur de m�. La vitesse vx n’évolue alors plus car dvx/dt = 0 etprend la valeur limite telle que :

βv2l = m� soit vl =

„m�β

«1/2

L’équation différentielle s’écrit donc :

dvx

dt= �

Ć1 − v2

x

v2l

Ň

La résolution de cette équation donne une solution de la forme (cf. OM8) :

vx = vl tanhĄ�tvl+ Cte

Ńavec Cte = argtanh

Ąv0

v&

Ń

La figure 3.7 représente l’évolution de la vitesse : lorsque t est faible, vx − v0 ≈ �t ;lorsqu’on fait tendre t vers l’infini, vx tend évidemment vers vl.

v0

v

t

vx

0

Figure 3.7 Évolution de la vitesse d’un point matériel en chute avec frottement de type Venturi

Page 28: PHYSIQUE : une approche moderne

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68 3 Dynamique du point matériel

ORDRES DE GRANDEUR

i) Pour un corps humain, assimilé à un point de masse m = 70 kg, la vitesse limite dechute dans l’atmosphère est environ 200 km.h−1, soit 55,5 m.s−1. On obtient alors :

β =9,80 × 70

55,52 ≈ 0,22 kg.m−1

Le coefficient β dépend de l’orientation du corps. La vitesse limite peut atteindre voiredépasser 100 m.s−1.ii) Lors d’une sévère averse de pluie, les gouttes tombent avec une vitesse de l’ordre de9 m.s−1. Pour une goutte de diamètre D = 2r = 6 mm, on trouve ρe désignant la massevolumique de l’eau :

β =4πρer3�

3v2l≈ 4 × π × 1 000 × (3 × 10−3)3 × 9,80

3 × 92 ≈ 1,37 × 10−5 kg.m−1

Remarque

Si la vitesse initiale v0 était importante, le terme de frottement dominerait dès l’instantinitial : ce dernier diminuerait alors la vitesse vx jusqu’à ce qu’il soit compensé par lapesanteur et que dvx/dt = 0. La vitesse serait alors la vitesse limite v&.

b) Vitesse initiale selon l’horizontale

Si la vitesse initiale n’est pas nulle et fait un angleθ0 avec la verticale, la loi fondamentales’explicite selon :

B

˛˛ x

yz+β

mB

˛˛ (x2 + y2)1/2 x

(x2 + y2)1/2 y0

=

B

˛˛ �0

0

d’où, les équations suivantes du mouvement :

x = � − βm

(x2 + y2)1/2x et y = − βm

(x2 + y2)1/2 y

La résolution de ces équations passe nécessairement par un ordinateur. Sur la figure 3.8,on a représenté la trajectoire obtenue pour une boule de pétanque avec m = 0,71 kg,β = 2 kg.m−1 et θ0 = π/2.

20

20

y (m)

x (m)

β = 3,67 × 10−4 kg.m−1

β = 0g

Figure 3.8 Chute avec force de frottement de Venturi et vitesse initiale selon l’horizontale

Page 29: PHYSIQUE : une approche moderne

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IV Exemples d’application 69

IV.5 Oscillations d’un ressort

Une masselotte, assimilée à un point matériel A (masse m), est attachée à l’extrémitéd’un ressort, de raideur K et de longueur au repos l0, dont l’autre extrémité est fixée à unpoint fixe O ; l’ensemble est placé dans le champ de pesanteur définissant la verticaledescendante Ox (Fig. 3.9a).

X

K

A

Ox

b)a)

g

O

le

l0

AX

x

Figure 3.9 Oscillateur élastique a) Vertical b) Horizontal

Analysons le mouvement lorsqu’initialement on allonge le ressort et qu’on le lâche.En l’absence de frottement de l’air, les seules forces qui s’exercent sur A sont le poidsm��� et la force de rappel −K(x − l0) eeex du ressort. La loi fondamentale s’écrit, dans leréférentiel terrestre R :

maaa = m��� − K(x − l0)eeex soit mx = m� − K(x − l0)

en projection selon Ox.Notons qu’à l’équilibre, la somme des forces étant nulle, on a :

0 = m� − K(xe − l0) d’où xe = l0 +m�K

Il est alors judicieux d’introduire la longueur le = l0+m�/K qui correspond à la longueurà l’équilibre du ressort, avant son allongement. On obtient, en posant X = x − le :

mx = −K(x − le) d’où X + ω20X = 0 avec ω2

0 =Km

Cette équation différentielle est caractéristique d’un mouvement oscillant sinusoïdalautour de la position d’équilibre de période T0 = 2π/ω0 (cf. Leçon 7 et OM8). C’est bience que montre l’expérience réalisée avec K = 15 N.m−1 et m = 300 g. En mesurant lapériode de 10 oscillations avec un chronomètre, on trouve bien une valeur proche decelle calculée, T0 ≈ 0,9 s.

Remarque

Si la masselotte oscille sans frotter sur un axe horizontal (Fig. 3.9b), on obtient desrésultats similaires, à condition de remplacer le par l0 dans les relations précédentes.

IV.6 Pendule simple dans le champ de pesanteur

On réalise un pendule simple en attachant une masselotte, assimilée à un point matérielA (masse m), à l’extrémité d’un fil tendu, inextensible (longueur l), l’autre extrémité

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70 3 Dynamique du point matériel

Tθg

A

O

x

y

er

Figure 3.10 Pendule simple dans le champ de pesanteur

étant fixée en un point fixe O d’un référentiel terrestre R (Fig. 3.10). Si on lâche un telpendule, une fois écarté de la verticale d’un angle θ, on observe des oscillations.

En l’absence de frottement, les seules forces qui s’exercent sur A sont le poids m��� etla tension TTT du fil. La loi fondamentale s’écrit, par rapport à R :

maaa = m��� +TTT = m��� − TOAOAOA

lpuisque la tension est orientée vers le point de fixation O. En explicitant cette équationvectorielle dans la base polaire, définie par le vecteur unitaire radial eeer et le vecteurunitaire orthoradial eeeθ, on trouve :

0 = m� cosθ − T et mlθ = −� sinθ soit θ + ω20 sinθ = 0 avec ω2

0 =�

lLa première équation donne T = m� cosθ, ce qui montre que la tension du fil nepeut être déterminée qu’une fois le mouvement connu. La seconde en θ est l’équationdifférentielle du mouvement ; elle n’est pas linéaire puisque sinθ est une fonctionnon linéaire de θ. Cependant, si θ est suffisamment petit, on a sinθ ≈ θ, ce qui rendl’équation linéaire et donc simple à résoudre :

θ + ω20θ = 0

C’est l’équation caractéristique d’un oscillateur harmonique (cf. Leçon 7).

V OUVERTURES

V.1 Loi fondamentale de la dynamique d’Einstein

Lorsque la vitesse v d’un point mobile n’est pas négligeable devant la constanted’Einstein c, comme c’est le cas avec des particules chargées en mouvement dansun champ électrique, on constate des écarts irréductibles entre les résultats expéri-mentaux et la loi fondamentale newtonienne de la dynamique. La deuxième loi deNewton doit être remplacée par une loi plus précise qui l’englobe, la loi fondamentaled’Einstein de la dynamique, dite relativiste. Il n’est cependant pas inutile de préciserque cette nouvelle loi a été établie par Einstein, en 1905, à partir d’une constructionintellectuelle, la relativité restreinte, et non sous la pression d’une expérience difficileà interpréter dans le cadre newtonien.

La modification apportée par Einstein, dans sa théorie de la relativité restreinte, porteessentiellement sur la quantité de mouvement, puisqu’on a toujours :

dpppdt=X

FFF mais avec ppp =mvvv

(1 − v2/c2)1/2 et non ppp = mvvv

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V Ouvertures 71

Évidemment, dans l’approximation des faibles vitesses (v c), la loi fondamentaled’Einstein restitue celle de Newton, puisque :

ppp = mvvv„

1 − v2

c2

«−1/2

≈ mvvv„

1 +v2

2c2

«≈ mvvv

La précision de l’approximation newtonienne reste cependant excellente ; en effet, tantque v < 3 000 km.s−1, (v/c < 0,01), soit cent fois la vitesse de la Terre sur son orbiteautour du Soleil, le terme correctif sans dimension v2/(2c2) est inférieur à 5 × 10−5, cequi est négligeable.

Remarque

Certains auteurs attribuent, à tort, à m/(1− v2/c2)1/2, qui a la dimension d’une masse, lestatut physique de masse variable avec la vitesse. À l’analyse, ce concept s’avère inutileet source de confusion. Précisons qu’il n’apparaît pas dans la publication originaled’Einstein, mais uniquement dans des textes écrits par des vulgarisateurs.

V.2 Indéterminisme expérimental et chaos

D’après ce qui précède, le mouvement d’un point matériel serait parfaitement connu àpartir de son état mécanique à un instant ; c’est le déterminisme de Laplace. Ce dernierest en fait uniquement théorique, car on ne peut définir un tel état avec une précisioninfinie, les mesures de position et de quantité de mouvement étant toujours entachéesd’erreurs.

Parfois, cette indétermination sur l’état ne présente pas d’importance, car elle restedu même ordre de grandeur au cours du mouvement. C’est le cas notamment lorsqueles équations du mouvement sont linéaires (cf. Leçon 21). Le déterminisme théoriquedevient alors expérimental.

Dans certains cas de systèmes non linéaires, l’indétermination peut évoluer expo-nentiellement ; l’état mécanique n’est alors plus prévisible : le système est chaotique. C’estce que l’on constate avec l’atmosphère, comme l’a souligné le météorologue américainEdward Lorenz en 1963, ou avec trois corps et plus en interaction gravitationnelle,comme le montra le physicien français Henri Poincaré au début du siècle dernier.

CONCLUSION

Retenons les points essentiels suivants.

1) Les forces traduisent la présence de corps dans l’environnement d’un point maté-riel A. On distingue les forces fondamentales, au nombre de quatre, qui agissent àdistance et qui sont toujours présentes, même à l’échelle microscopique, des forcesmacroscopiques de contact (réaction d’un support, frottement solide et fluide, ten-sion d’un fil, tension d’un ressort).

2) La loi fondamentale de la dynamique de Newton, relie les forces au mouvement. Parrapport au référentiel du laboratoire supposé galiléen, le mouvement de A satisfaità l’équation vectorielle :

dpppdt=X

FFF où ppp = mvvv

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72 3 Dynamique du point matériel

est la quantité de mouvement de A, m étant un coefficient constant, la masse inerte.Comme ppp = mvvv, cette loi fondamentale se réduit à :

maaa =X

FFF

3) La masse inerte doit être fondamentalement distinguée de la masse grave m�, quiintervient dans l’expression de la force de gravitation, bien qu’égale à cette dernière.Cependant, l’égalité m = m� est établie avec une incertitude relative qui atteintactuellement 10−13.

4) Le référentiel du laboratoire peut être considéré comme galiléen avec une excellenteapproximation pour la plupart des expériences quotidiennes.

5) Les conditions initiales jouent un rôle déterminant puisqu’elles permettent deconnaître le mouvement d’un point matériel à tout instant. Du point de vue méca-nique, l’état de ce dernier est caractérisé par sa position et sa quantité de mouvement,ce qui nécessite deux conditions initiales.

6) La première loi de Newton, ou principe de l’inertie, apparaît, après analyse, commeune conséquence de la loi fondamentale ; si le point est isolé ou pseudo-isolé (

PFFF =

000), sa quantité de mouvement est une constante vectorielle ; le mouvement estrectiligne uniforme.Un référentiel dans lequel on peut réaliser la première loi de Newton est quali-fié d’inertiel. Ainsi, une table à coussin d’air forme un référentiel inertiel à deuxdimensions dans un plan horizontal.

7) La loi fondamentale de la dynamique de Newton du point matériel n’est qu’uneapproximation de celle d’Einstein qui l’englobe dans le cas où les vitesses ne sontplus très faibles devant c.

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Travaux dirigés 73

TRAVAUX DIRIGÉSQuestions de cours

Q3-1 Rappeler la nature des quatre forces fondamentales. Donner les expressionsde la force de gravitation et de la force électrostatique entre deux points matériels.

Q3-2 Quelles sont les expressions des diverses forces de frottement, visqueux etsolide ?

Q3-3 Énoncer la deuxième loi de Newton à l’aide du concept de quantité demouvement.

Q3-4 Énoncer la première loi de Newton.

Q3-5 Qu’appelle-t-on référentiel inertiel ? Exemple de réalisation.

Q3-6 Montrer sur l’exemple de la chute libre le rôle essentiel des conditionsinitiales dans la nature de la trajectoire.

Q3-7 Quand dit-on qu’un point matériel est isolé ou pseudo-isolé ? Exemple.

Q3-8 À quelle condition un point matériel est-il au repos par rapport au référentielterrestre ? Exemple.

Q3-9 Comment définit-on l’état mécanique d’un point matériel ? En quoi consistele déterminisme laplacien ?

Q3-10 Quel est le résultat essentiel de la chute libre dans le vide ? En quoi est-il exceptionnel ? Donner l’expression einsteinienne de la loi fondamentale de ladynamique qui généralise celle de Newton.

Exercices

E3-1 Lancé vertical d’une balleUne balle, assimilée à un point matériel de masse m, est lancée avec une vitesseinitiale v0 non nulle, selon la verticale ascendante Ox, depuis un point situé à unehauteur h = 1,20 m du sol. On néglige les frottements visqueux de l’air.

1. Établir la loi horaire du mouvement.

2. a) Déterminer l’altitude maximale atteinte par la balle et la durée séparant l’ins-tant initial du lancé de l’instant où la balle touche le sol.

b) Calculer cette durée pour une vitesse initiale de 5 m.s−1.

E3-2 Parachute de freinage d’un avionUn avion de chasse, de masse m = 10 t, se pose, réacteurs coupés, à une vitesse de240 km.h−1. À l’instant initial où le train d’atterrissage entre en contact avec le sol,le pilote déploie un parachute de freinage. On néglige la force de frottement fluide TR

AVAU

XDI

RIGÉ

S

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74 3 Dynamique du point matériel

de l’air sur l’avion ainsi que les forces de frottement dues au contact avec le sol. Lesfrottements de l’air sur le parachute sont modélisés par une force de type Venturi,de coefficient β = 6 kg.m−1.

1. Établir l’équation différentielle à laquelle obéit la vitesse vvv de l’avion. En déduirel’évolution de la vitesse de l’avion.

2. Pourquoi est-il nécessaire d’actionner un système de freinage, agissant sur lesroues, pour immobiliser l’avion ?

3. Le pilote actionne les freins des roues lorsque la vitesse de l’avion par rapport ausol atteint 100 km.h−1. À cet instant, quelle a été la distance parcourue sur la piste ?

E3-3 Tir d’un ballonUn ballon de football, posé au sol, est frappé avec une vitesse initiale v0 = 30 m.s−1,faisant un angle θ0 = 30◦ avec l’horizontale Ox. Durant son vol, le ballon, assimiléà un point matériel de masse m = 0,43 kg, est soumis à des frottements aérodyna-miques ; on suppose qu’ils sont de type Stokes avec α = 0,2 kg.s−1.

1. Établir l’équation vectorielle du mouvement décrivant l’évolution du vecteurvitesse vvv ?

2. Déterminer la solution vvv(t). Montrer qu’il existe une vitesse limite v& dont ondonnera l’expression. Que peut-on en déduire quant à la forme de la trajectoire duballon ? Tracer son allure.

3. a) Déterminer le vecteur position OAOAOA. En déduire les coordonnées x(t) et y(t) duballon, l’axe Oy étant défini par la verticale ascendante.

b) Montrer que la coordonnée x est limitée par une valeur xp, dite portée du tir, quel’on déterminera.

4. Calculer les coordonnées de la flèche F de la trajectoire du ballon, c’est-à-direcelles du point d’altitude maximale.

5. a) Quelle portée et quelle flèche seraient-elles atteintes en l’absence de frotte-ment ?

b) Comparer numériquement les différences ; sont-elles significatives ?

E3-4 Pendule coniqueUn pendule simple, constitué d’une masselotte attachée à l’extrémité A d’un fildont l’autre extrémité O est fixe, est mis en mouvement circulaire uniforme, le filformant avec la verticale descendante Oz un angle α constant. La trajectoire de lamasselotte du pendule est donc contenue dans le plan horizontal Oxy. La longueurl = OA du fil est 25 cm.

1. a) Écrire la loi fondamentale de la dynamique en y faisant apparaître la tension TTTdu fil exprimée en fonction de sa valeur T et du vecteur OAOAOA.

b) En la projetant sur la base cylindrique, déterminer la vitesse angulaire ω de A enfonction de �, l et α.TR

AVAU

XDI

RIGÉ

S

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356 14 TP-cours (PCSI) : Instrumentation optique

Il s’agit précisément de deux lentilles épaisses accolées, de diamètre important (≈8 cm),équivalent à une lentille mince convergente d’assez courte distance focale (≈10 cm)que l’on approche au plus près de l’objet afin qu’une grande portion de ce dernier soitéclairée (Fig. 14.8).

II.3 Mise au point

On s’assure d’abord que la distance minimale objet-écran, 4 fi, soit respectée, afin qu’ob-jet et image soient réels (cf. Leçon 11). On recherche alors les deux positions de la lentillepour lesquelles l’objet et l’image sont conjuguées l’une de l’autre ; généralement, onchoisit la position de la lentille pour laquelle l’image est plus grande que l’objet. Leslentilles de courtes focales, 10 à 15 cm, doivent être préférées, si l’on souhaite un fortgrandissement transversal.

II.4 Réglage du « tirage » source-condenseur

Afin de se placer dans les conditions de Gauss, on règle la distance condenseur-sourcede sorte que l’image de la source donnée par le condenseur, généralement le filamentde la lampe, se forme au centre de la lentille (Fig. 14.8). Ce réglage s’effectue soit entranslatant la source, soit en reculant le condenseur. On évite ainsi que la lentille neforme à son tour, au voisinage de l’écran, l’image de la source.

Remarque

Si l’objet est diffusant, par exemple s’il s’agit d’un verre dépoli, le condenseur estfacultatif. La lumière issue de la source éclaire alors directement l’objet.

III INSTRUMENTATION USUELLE

III.1 Loupe

La loupe est un instrument destiné à augmenter l’angle sous lequel on voit un objet.C’est souvent une lentille épaisse, de courte distance focale image fi, de l’ordre dequelques centimètres.

a) Utilisation

L’objet est généralement placé au foyer de la lentille afin qu’un œil puisse observerl’image sans accommoder, laquelle est virtuelle (cf. Leçon 13).

Sans instrument, on examine les détails d’un objet en plaçant ce dernier à la pluscourte distance de l’œil possible, c’est-à-dire la distance minimale de vision distinctedm ≈ 25 cm (Fig. 14.9a). La présence de l’instrument a donc pour effet de remplacer dmpar fi et ainsi d’augmenter l’angle sous lequel on voit l’objet puisque fi < dm (Fig. 14.9b).

b) Grossissement

Le grossissement G est défini par la valeur absolue du rapport de l’angle θi sous lequelon voit l’objet, à travers l’instrument, et de l’angle θ d’observation à l’œil nu :

G =|θi|θ

avec θi =AoBo

fiet θ =

AoBo

dmd’où G =

dm

fi

Page 36: PHYSIQUE : une approche moderne

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III Instrumentation usuelle 357

B0

A0

θ

dm

B0

A0

Fi

O

αi

αi

a) b)

Figure 14.9 Loupe a) Vision directe d’un objet b) Vision d’un objet à travers la loupe

pour la loupe. Généralement, le grossissement caractérise les instruments qui donnentd’un objet virtuel une image virtuelle, comme un microscope par exemple (cf. III.6).

ORDRE DE GRANDEUR

Pour fi = 5 cm, G = 25/5 = 5. Les fabricants mentionnent généralement le grossissementsur la monture de la loupe ; dans ce cas, une telle loupe portera l’inscription : ×5.

c) Latitude de mise au point

La capacité d’accommodation de l’œil autorise une certaine latitude de réglage de ladistance objet lentille, appelée latitude de mise au point. L’image donnée par la loupepourra être observée nettement par l’œil, uniquement si elle se situe entre le punctumproximum et le punctum remotum.

Évaluons la latitude de mise au point en maintenant la distance lentille-œil fixe, parexemple en positionnant l’œil au foyer image Fi de la loupe L.

i) Si l’objet se trouve au foyer objet Fo de L, son image, qui se forme à l’infini, constituepour l’œil emmétrope, un objet au punctum remotum (Fig. 14.10a).

O Fi

Ai

dm

Bi

F0

A0

LoupeLoupea) b)

B0

O Fi

A0

F0

B0

Figure 14.10 Image d’un objet donnée par une loupe a) Objet au punctum remotum pour l’œilb) Objet au punctum proximum pour l’œil

ii) Si l’image de l’objet donnée par L se trouve au punctum proximum : FiAi = −dm. Enutilisant la relation de conjugaison de Newton, on trouve la position correspondantede l’objet (Fig. 14.10b) :

FoAo FiAi = − f 2 d’où FoAo =f 2

dm

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358 14 TP-cours (PCSI) : Instrumentation optique

Ainsi, pour cette position de l’œil en Fi, l’accommodation est possible si l’objet estplacé entre Fo et Ao, ce qui donne comme latitude de mise au point Lm :

Lm =f 2

dm=

dm

G2

Pour une loupe de grossissement 5, cette latitude mise au point vaut Lm = 1 cm.

III.2 Oculaire

Les oculaires (du latin « ocularis», relatif à l’œil) sont des systèmes optiques généralementconstitués de deux lentilles (Fig. 14.11). Analogues aux loupes, on les préfère à cesdernières, notamment en raison des possibilités qu’offre la configuration de doubletpour la correction des aberrations chromatiques (cf. Leçon 11).

eL1

L2

A0

F0, 1

F0, 2

Fi, 2

Fi, 1

O1

O2

Figure 14.11 Fonctionnement d’un oculaire de Ramsden. Détermination du foyer objet

a) Caractérisation d’un doublet

On caractérise généralement un doublet de deux lentilles minces L1 L2, de distancesfocales images f1 et f2, séparées par une distance e, par un triplet de petits nombresentiers m, l, p proportionnels à f1, e, f2, respectivement :

f1m=

el=

f2p= u

où u désigne ce rapport commun. Notons que les entiers m, l, p ne sont pas forcé-ment positifs. Parmi les doublets connus, citons l’oculaire symétrique 3, 2, 3 de JesseRamsden, opticien britannique du XVIIIe siècle et l’oculaire 3, 2, 1 d’Huygens. Ce der-nier présente l’avantage d’être pratiquement achromatique lorsque les deux lentilles,taillées dans le même verre, sont séparées par une distance égale à la demi-somme desdistances focales images :

e =f1 + f2

2soit l =

m + p2

En effet, on montre, à partir de la distance focale image fi de l’ensemble, laquelledépend de f1, f2, mais aussi de e, que la variation de fi, lorsque la longueur d’onde durayonnement varie, peut être négligée si la condition précédente est satisfaite.

b) Fonctionnement

Dans des conditions d’observation où l’œil n’accommode pas, l’image d’un pointobjet Ao par l’oculaire doit être à l’infini ; Ao doit donc se trouver dans le plan focal

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III Instrumentation usuelle 359

objet de l’oculaire. Pour cela, L1 doit former l’image de Ao dans le plan focal objet deL2. On obtient la position de Ao à l’aide de la relation de conjugaison de Descartes(cf. Leçon 11), ce qui donne pour le doublet de Ramsden 3, 2, 3 (Fig. 14.11) :

1pi− 1

po=

1f1=

13u

avec pi = O1Fo,2 = O1O2 +O2Fo,2 = 2u − 3u = −u d’où :

po = O1Ao = −34

u

Ainsi, pour u = 5 mm, on trouve po = 3,75 mm.

Remarque

On peut constater la proximité du plan focal objet d’un oculaire en s’en servant commed’une loupe.

c) Oculaire réticulé

Puisque l’image de Ao donnée par le doublet se forme à l’infini, Ao est dans le planfocal objet de l’oculaire. On utilise parfois ce plan pour y placer un fin réticule, dontl’image à travers l’oculaire se superpose alors à celle de l’objet.

De tels réticules se présentent souvent sous la forme :i) d’une croix permettant de pointer un objet, par exemple une étoile afin d’orienter

le télescope dans la direction d’observation souhaitée,ii) d’un ruban gradué appelé micromètre, permettant de mesurer une distance ou,

indirectement, un angle.

III.3 Viseur

Un viseur est un système optique servant à repérer précisément la position d’un objetsitué dans un plan de front à plusieurs centimètres ou décimètres de l’entrée de l’ins-trument. Ce dernier étant destiné à l’œil, le plan de front appelé plan de visée doit setrouver dans le plan focal objet du viseur afin de former une image à l’infini.

Ce système est constitué d’un objectif L1 convergent et d’un oculaire, que l’onassimile, pour simplifier, à une lentille mince L2 (Fig. 14.12a). L’objectif forme l’imagedu plan de visée dans un plan contenant un réticule, lequel joue le rôle d’objet pourl’oculaire.

Le réglage d’un viseur consiste à mettre au point l’image du réticule à traversl’oculaire, en agissant sur une crémaillère ou un dispositif de réglage équivalent. Ladistance entre l’objectif et le réticule détermine alors la distance du viseur au plande visée, indépendamment du tirage de l’oculaire, et conformément à la relation deconjugaison de Descartes :

1O1Ai

− 1O1Ao

=1f1

f1 étant la distance focale image de l’objectif.Un viseur permet de déterminer, sur un banc d’optique, la position d’une image

réelle ou virtuelle. Par exemple, pour mesurer la distance AoAi entre un objet réel AoBo

et son image virtuelle AiBi à travers une lentille mince divergente L (Fig. 14.12b), onvise successivement :

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360 14 TP-cours (PCSI) : Instrumentation optique

A0

O1

O2

Ai

Objectif OculaireRéticule

Crémaillère B0

A0

Bi

O

Ai

Fi

za zz

p

L

A0A

i

b)

ViseurObjectif Oculaire

a)

Figure 14.12 Viseur a) Fonctionnement b) Visée d’une image virtuelle

i) l’objet réel en l’absence de L et on lit sur le banc l’abscisse za du viseur,

ii) l’image virtuelle, en présence de L, en mesurant la nouvelle abscisse zp du viseur. Ladistance recherchée est alors AoAi = zp − za.

Remarques

1) Lorsque la distance de l’objectif au réticule n’est pas réglable, le viseur est dit àfrontale fixe, la distance du plan de visée à l’objectif étant fixée par construction.2) Un oculaire est capable de réaliser la même fonction qu’un viseur. Ce qui l’en dis-tingue, c’est notamment la distance entre le plan focal objet et l’entrée de l’instrument,laquelle n’est que de quelques millimètres pour un oculaire, ce qui rend impossiblel’observation d’images virtuelles.

III.4 Collimateur

Certains instruments d’optique, comme le spectroscope à prisme (cf. III.7), nécessitent,pour fonctionner, un objet à l’infini. Un collimateur est un instrument d’optique quipermet précisément de réaliser un objet à l’infini (Fig. 14.13).

LampeCrémaillère

Verre dépoli Objectif

Figure 14.13 Fonctionnement d’un collimateur

Le collimateur comporte un verre dépoli sur lequel est gravé un réticule que l’onéclaire à l’aide d’une source de lumière éventuellement incorporée à l’instrument. Àl’aide d’une crémaillère, on place le réticule au foyer objet d’une lentille convergente,l’objectif du collimateur, ce qui permet de former son image à l’infini.

On vérifie le réglage du collimateur en observant son image à l’aide d’un autreinstrument, dont la vocation est précisément d’observer un objet à l’infini : la lunette.

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III Instrumentation usuelle 361

III.5 Lunette

a) Fonctionnement

Une lunette est un instrument afocal voué à l’observation d’objets situés à grandedistance (à l’infini). Elle se compose d’un objectif L1, d’un oculaire, que l’on assimilerapar simplicité à une lentille mince L2, et parfois d’un réticule (Fig. 14.14).

Réglage 1 Réglage 2

OculaireObjectif Réticule

Figure 14.14 Lunette de visée

L’objectif L1 forme, dans son plan focal image, l’image de l’objet, laquelle est reprisepar l’oculaire. Le réticule doit donc se trouver aussi dans le plan focal de L1.

Remarque

On voit à travers l’exemple de la lunette que l’association deux systèmes convergents,peut donner un système non convergent, dans ce cas afocal.

b) Réglages

Le réglage d’une lunette s’effectue en deux étapes :

i) Mise au point sur le réticule

En agissant sur la crémaillère de réglage (2) de l’oculaire (Fig. 14.14), on cherche àobtenir une image nette du réticule en partant de la position la plus éloignée possiblede l’oculaire (Fig. 14.15a). Dans cette configuration initiale, l’image que donne la lunetteest virtuelle pour l’œil, qui par conséquent, ne peut l’observer.

En rapprochant progressivement l’oculaire du réticule, la première image nette duréticule que l’on voit se forme au punctum remotum de l’œil. C’est le réglage qu’ilconvient de retenir, car il limite la fatigue oculaire due à l’accommodation (Fig. 14.15b).

En rapprochant encore l’oculaire du réticule, l’œil accommode par réflexe. L’imagereste nette tant qu’elle se forme au delà du punctum proximum, mais le confort visuelest perdu en raison de l’effort d’accommodation (Fig. 14.15c).

ii) Réglage de l’objectif

En agissant sur la crémaillère de réglage (1) de la position de l’objectif (Fig. 14.14), onforme l’image qu’il donne de l’objet visé dans le plan du réticule ; lorsque l’image estnette, le plan focal image de l’objectif coïncide avec le plan du réticule.

Une fois ces réglages effectués, si un second utilisateur souhaite observer à traversl’instrument, le seul réglage à reprendre est celui de la mise au point sur le réticule,pour l’adapter à son œil. Le réglage de l’objectif reste évidemment inchangé.

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362 14 TP-cours (PCSI) : Instrumentation optique

a)

Œil

OculaireRéticule

b)

Œil

OculaireRéticule

c)

Œil

OculaireRéticule

Figure 14.15 Mise au point sur le réticule a) Configuration initiale b) Réglage optimal pour l’œilnormal c) Réglage entraînant une fatigue oculaire

Remarque

En pratique, on peut être amené à retoucher sporadiquement la mise au point sur leréticule, en raison de légères modifications de l’état de l’œil lors d’observations delongue durée. Il ne faut évidemment pas hésiter à revenir sur ce réglage, la prioritédevant être naturellement donnée au confort visuel, car l’inconfort altère la qualité desmesures.

c) Lunette autocollimatrice

Le réglage de l’objectif d’une lunette, munie d’un réticule, nécessite la visée d’unobjet très éloigné (à l’infini), ce qui n’est pas toujours possible, dans l’enceinte d’unlaboratoire. Une lunette autocollimatrice permet, elle, d’effectuer ce réglage.

Une lunette autocollimatrice diffère d’une lunette quelconque par la possibilitéqu’elle offre d’éclairer le réticule grâce à une petite lampe incorporée dans l’instrument.Le réglage de la mise au point sur le réticule reste le même que celui qui vient d’êtredécrit, en agissant sur la crémaillère de mise au point : réglage (2) (Fig. 14.16a). L’objectif,quant à lui, peut désormais être réglé par autocollimation :i) on commence par éclairer le réticule, lequel est un objet lumineux pour l’objectif,ii) on dispose ensuite d’un miroir plan, qui peut être tenu à la main, devant l’objectif.

Ce dernier donne du réticule une image reprise par le miroir, puis à nouveau parl’objectif (Fig. 14.16a). L’image observée à travers l’oculaire est alors la superpositionde l’image nette du réticule et de la nouvelle image du réticule formée par l’objectif etle miroir. On met cette seconde image au point à l’aide de la crémaillère de réglage (1)de la distance réticule objectif (Fig 14.16a). Lorsque la netteté est satisfaisante, leréticule se trouve dans le plan focal objet de l’objectif et l’on voit se superposerdeux images nettes du réticule, qui sont légèrement décalées si le miroir n’est pasexactement orthogonal à l’axe optique (Fig. 14.16b).

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III Instrumentation usuelle 363

Réglage 1Miroir plan Réglage 2

OculaireLampe

Objectif

a) b)

Figure 14.16 Lunette autocollimatrice a) Réglage b) Double image du réticule observée à traversla lunette

d) Télescope réfracteur

Le télescope réfracteur (lunette astronomique), est un instrument dédié à l’observationdu ciel nocturne. L’élément le plus coûteux du télescope est son objectif, qui doit être degrand diamètre, afin de collecter un maximum de lumière, et corrigé des aberrationschromatiques. La présence d’un réticule au foyer de l’objectif étant d’intérêt limitépour l’observation astronomique (il gêne l’observation de l’image), ces télescopes ensont généralement dépourvus. Le réglage de l’instrument se réduit donc à celui del’oculaire.

Une caractéristique importante de l’instrument est son grossissement G, valeurabsolue du rapport de l’angle αi sous lequel on voit l’objet à travers le télescope surl’angle θ sous lequel on le voit à l’œil nu. En assimilant pour simplifier, l’oculaire àune lentille mince convergente (Fig. 14.17), on a, si AiBi est l’image que donne l’objectifdans son plan focal image :

θ ≈ tanθ =AiBi

f1et θi ≈ tanθi =

AiBi

f2

a) b)

O

Bi

Ai

F0, 2

Fi, 1

θ θi

Ai

Bi

Ai

Cercleoculaire

Oculaire

OculaireObjectifMonture

de l’objectif

θi

Figure 14.17 Télescope réfracteur a) Grandissement angulaire b) Cercle oculaire

puisque le plan focal image de l’objectif coïncide avec le plan focal de l’oculaire. On entire l’expression suivante du grossissement :

G =|θi|θ=

f1f2

qui dépend de l’oculaire utilisé. Notons que l’instrument renverse l’image.

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364 14 TP-cours (PCSI) : Instrumentation optique

EXEMPLE

Pour un télescope, de focale d’objectif f1 = 1 m et de focale d’oculaire f2 = 20 mm,G = 1/0,02 = 50. Le diamètre apparent des anneaux de Saturne étant d’environ θ ≈ 40 ′′,le télescope permet de les observer sous un angle |θi| = 50 × 40 = 33 ′, qui est biensupérieur à la limite de résolution angulaire de l’œil ; on dit que l’instrument permetde les résoudre.

Remarques

1) L’utilisation d’un oculaire divergent à la place d’un oculaire convergent donne uninstrument ne renversant pas l’image : c’est la lunette terrestre ou lunette de Galilée(cf. Leçon 11).2) Il existe deux limites de la résolution des images observées à travers un télescope.La première est due à la diffraction de la lumière, c’est-à-dire à son éparpillement enraison de la limitation spatiale imposée par l’objectif au faisceau de lumière entrant dansl’instrument. Pour une lunette de 20 cm de diamètre par exemple, cela représente unelimite de résolution de 0,6 ′′. La deuxième est due à la présence de l’atmosphère qui enraison de son inhomogénéité et de sa turbulence, dégrade les images, au point qu’uneétoile a l’apparence d’une petite tache, dont le diamètre apparent varie de quelquesdixièmes de secondes d’arc dans les meilleurs sites d’observation astronomique àquelques secondes d’arc. Cette petite tache dans le plan focal de l’objectif du télescopeest appelée « seeing » par les astronomes (de l’anglais “see” qui signifie voir).3) Rappelons qu’une lunette munie d’un oculaire est un système afocal, puisqu’elledonne d’un objet à l’infini, une image à l’infini.

e) Disque oculaire

Le disque oculaire, encore appelé disque de pleine lumière, est le disque centré sur l’axeoptique d’où semble émerger toute la lumière entrant dans l’instrument ; c’est doncl’image de la monture de l’objectif donnée par l’oculaire (Fig. 14.17b).

Comme f2 f1, le disque oculaire se situe à proximité de la face de sortie del’oculaire, peu après son foyer image. Aussi, l’œil se place-t-il naturellement au centrede ce disque puisque c’est à cet endroit que l’image est la plus lumineuse.

f) Élargisseur de faisceau laser

Un élargisseur de faisceau laser est un système constitué de deux lentilles L1 et L2 destinéà augmenter le diamètre d’un faisceau incident parallèle à l’axe optique (Fig. 14.18).Le faisceau émergent étant, lui aussi parallèle à l’axe optique, il conjugue, comme unelunette astronomique, un objet et une image situés tous deux à l’infini : le système estafocal, le foyer image de L1 coïncide donc avec le foyer objet de L2.

Le rapport du diamètre Di du faisceau émergent sur celui De du faisceau incidentest alors (Fig. 14.18) :

Di

De=

f2f1> 1

f1 et f2 étant les distances focales des deux lentilles. Comme Di/De > 1 on en déduitf2 > f1 : un élargisseur de faisceau laser est donc une lunette inversée.

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III Instrumentation usuelle 365

Di

De

F0, 2

Fi, 1

f1

f2

OculaireObjectif

Figure 14.18 Élargisseur de faisceau laser

ORDRE DE GRANDEUR

Avec un faisceau laser, de 1 mm de diamètre, qui pénètre dans un élargisseur constituéde deux lentilles de focales f1 = 5 mm et f2 = 8 cm, on obtient, en sortie, un faisceaude diamètre (80/5) × 1 = 1,6 cm.

III.6 Goniomètre

a) Description

Un goniomètre, du grec « gônia » qui signifie « angle », est un instrument destiné à lamesure des angles. Il comporte (Fig. 14.19) :

i) un plateau circulaire gradué (1), dont la finesse des graduations, de 0◦ à 360◦,détermine la précision de l’instrument,

ii) un collimateur rotatif (2), destiné à former l’image à l’infini d’une fente source (3),laquelle est éclairée par une source de lumière auxiliaire (4),

iii) une lunette de visée rotative (5), munie d’un réticule en forme de croix, permettantde mesurer la direction de l’image de la fente source,

Au centre du plateau, on place le système de déviation de l’image de la fente sourceque l’on désire étudier, par exemple un prime ou un réseau de diffraction.

Lampe (4)

Fente source (3)

Plateaucirculaire (1)

Collimateur (2)

Lunette (5)Prismen

i A

D

Figure 14.19 Goniomètre

b) Réglages

Les étapes du réglage sont les suivantes :

i) on règle la lunette selon la procédure habituelle décrite précédemment,

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366 14 TP-cours (PCSI) : Instrumentation optique

ii) une fois réglée, la lunette donne une image nette d’un objet à l’infini. Il suffit alorsde viser le collimateur et de régler celui-ci de telle sorte que l’image de la fente, vueà travers la lunette, soit nette.

Remarque

On doit veiller à effectuer le réglage précédent avec une fente peu ouverte afin d’éviterl’éblouissement. De façon générale, en optique, il est prudent de ne jamais placer l’œildirectement derrière un oculaire, mais plutôt de s’approcher progressivement le longde l’axe de visée. Cela permet de déceler d’assez loin une image de forte intensitélumineuse et ainsi de se protéger d’un éblouissement dangereux.

c) Spectrogoniomètre à prisme

Un spectrogoniomètre (ou spectroscope) à prisme est un goniomètre équipé d’un prismequi dévie la lumière par dispersion (cf. Leçon 9).

Les différentes composantes monochromatiques de l’image de la fente source, à lasortie du collimateur, subissent une déviation qui dépend de l’indice du verre, lequelest fonction de la fréquence du rayonnement, ou de la longueur d’onde correspondantedans le vide. En mesurant l’angle de déviation, on accède soit à l’indice n d’un verre àune longueur d’onde déterminée, soit à une longueur d’onde pour un indice connu.

Remarque

Il existe des spectrogoniomètres plus performants, équipé de réseaux, qui sont dessystèmes optiques périodiques provoquant une dispersion de la lumière par diffraction(cf. Leçon 9).

d) Incertitudes sur la mesure des angles

Les angles sont mesurés par rapport à une origine arbitraire sur le plateau. Commecette direction ne coïncide généralement pas avec l’axe du collimateur, on s’arrangepour mesurer deux angles α1 et α2 correspondants à deux directions D1 et D2, d’oùl’on déduit la différence α = α2 − α1.

L’incertitude sur la mesure dépend évidemment de la précision de l’instrument.En écrivant sous la forme suivante, la relation entre un angle α, sa mesure αexp et sonincertitude Δα (cf. Leçon 1) :

α = αexp ± Δα

on a, pour un plateau gradué en minutes d’arc :

Δα1 = 1 ′ et Δα2 = 1 ′ d’où Δα = Δ (α2 − α1) = Δ (α1) + Δ (α2) = 2 ′

les incertitudes s’ajoutant (cf. Leçon 1).

e) Mesure de l’angle au sommet d’un prisme

La première étape de toute mesure qui utilise un prisme consiste à déterminer l’angleau sommet de ce dernier. Deux méthodes sont envisageables selon que l’on utilise uncollimateur ou une lunette autocollimatrice.

Page 46: PHYSIQUE : une approche moderne

“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 367 — #411�

III Instrumentation usuelle 367

i) Avec un collimateur, on s’arrange pour que la lumière incidente tombe sur l’arête duprisme en l’éclairant symétriquement. Les visées successives dans les directionsD1et D2 des images réfléchies sur les faces donnent par différence l’angle α = α2 −α1, lequel est le double de l’angle au sommet du prisme (Fig. 14.20a) : A = α/2.L’incertitude sur la mesure est alors : ΔA = Δα/2 = 1 ′.

D1

D2

α = 2 A

A2

A2

A1

A1

A2A

1I1

I2

A

Lunette

Lunette α = π – A

D1

D2

A2

A1

Lunette

Lunette

a) b)

Figure 14.20 Mesure de l’angle au sommet d’un prisme a) Avec un collimateur b) Avec unelunette autocollimatrice

ii) Avec une lunette autocollimatrice, on commence par éclairer et mettre au point leréticule. Ensuite, on forme par réflexion sur une face d’un prisme, une secondeimage du réticule. On tourne alors la lunette de façon à superposer les deux imagesdu réticule, ce qui garantit l’orthogonalité de l’axe de visée avec la face du prismepour la direction D1. En effectuant une mesure analogue pour la direction D2 surl’autre face du prisme, on en déduit l’angle α = π − A1 − A2 = π − A (Fig. 14.20b),d’où A = π − α.Cette méthode est moins précise que la précédente, puisque :

ΔA = Δ(π − α) = Δα = 2′

f) Mesure de l’indice d’un prisme

On utilise une source spectrale et un tableau de référence indiquant les longueursd’ondes dans le vide λ0 des raies les plus intenses avec leurs couleurs.

Après avoir identifié la raie choisie, de longueur d’onde λ0, on tourne lentement leprisme afin de le placer dans la position qui donne le minimum de déviation Dm dela lumière incidente issue du collimateur. Au cours de la rotation, on observe, dans lechamp de la lunette, le déplacement régulier de la raie, puis, lors du franchissement dela position du prisme donnant le minimum de déviation, un changement de sens dudéplacement. On centre alors le réticule sur cette direction minimale de déviation D1(Fig. 14.21a), et on mesure l’angle α1 correspondant.

En procédant de même pour la position symétrique du prisme par rapport à l’axedu collimateur, on mesure l’angle α2 correspondant à la directionD2, d’où l’on déduitla différence : α = α2 − α1 = 2Dm (Fig. 14.21b).

L’indice du prisme, à la longueur d’onde choisie, s’obtient alors à l’aide de la relation(cf. Leçon 9) :

n =sinŤĂ

A + Dm

Ł/2Ů

sinĂ

A/2Ł

En mesurant l’indice du prisme à différentes longueurs d’onde, on peut obtenir les pre-miers coefficients du développement de l’indice en fonction de la longueur d’onde λ0

Page 47: PHYSIQUE : une approche moderne

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368 14 TP-cours (PCSI) : Instrumentation optique

Minumumde déviation

Raie choisie

Prisme

Base

Lunette

Positionsymétrique

2Dm

a) b)

Dm D

m

Figure 14.21 Minimum de déviation a) Visée dans la lunette b) Mesure de 2Dm

et vérifier la loi de Cauchy :

n ≈ A0 +A1

λ20

Les mesures obtenues avec les raies d’une lampe spectrale à vapeur de mercure, pourun verre flint extra dense, donnent le graphe de n en fonction de λ−2

0 de la figure 14.22.On obtient une droite d’équation :

n = 1,707 +16,3 × 10−3

λ20

la longueur d’onde étant exprimée en μm.

1,74

1,76

1,78

1,80

n

6 λ0–2(μm–2)420

Figure 14.22 Vérification de la loi de Cauchy pour un verre flint extra dense

g) Mesure des longueurs d’onde

La mesure d’une longueur d’onde λ0 inconnue nécessite, au préalable, de tracer unecourbe d’étalonnage donnant la déviation minimale Dm(λ0) en fonction de la longueurd’onde, à l’aide de sources spectrales dont on connaît le spectre. On peut utiliser uneou plusieurs sources afin de resserrer les mesures dans le domaine spectral de la raie àmesurer.

Page 48: PHYSIQUE : une approche moderne

“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 369 — #413�

IV Ouvertures 369

On détermine ensuite un angle minimal de déviation pour la raie à déterminer ; lacourbe d’étalonnage fournit la valeur de λ0.

IV OUVERTURES

Le microscope est un instrument d’optique destiné à l’observation des détails invisiblesà l’œil nu (cellules vivantes, défauts d’un matériau, structures minérales, etc.). Une foisréglé, il donne donc d’un objet réel, une image rejetée à l’infini, que l’œil observe avecun fort grossissement.

IV.1 Description

Il existe plusieurs types de microscope, le plus courant étant celui à transmission delumière, c’est-à-dire muni d’un système d’éclairage situé sous l’objet (Fig. 14.23).

Platine porte-objet

Diaphragme

Miroir condenseur

Objectif

Oculaire

Crémaillère

Vis micrométrique

Figure 14.23 Microscope

Il comporte les éléments suivants :– une platine porte objet sur laquelle on dispose l’échantillon à observer, que l’on

prépare préalablement sur une lame de verre, éventuellement recouverte d’une finelamelle ;

– un miroir qui joue le rôle d’un condenseur, afin d’éclairer l’objet par transmission ;– un diaphragme qui permet de réduire l’éclairement de l’objet ;– des objectifs amovibles de différentes distances focales, que l’on sélectionne à l’aide

d’une plate-forme rotative. Ces objectifs, de focales typiques comprises entre 2 et45 mm, sont destinés à former une image agrandie de l’objet, que l’on observe àl’aide d’un oculaire ;

– un oculaire de focale typique de quelques dizaines de millimètres, maintenu à unedistance fixe de l’objectif ;

– un système à crémaillère qui permet d’approcher l’objectif de l’objet (tout en veillantà ne pas briser ce dernier avec l’extrémité de l’objectif) ;

– une vis micrométrique de mise au point, nécessaire en raison de la faible latitude demise au point (cf. ci-après).

Page 49: PHYSIQUE : une approche moderne

“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 1129 — #1173�

OM 3Coniques

I DÉFINITION

Une conique est l’ensemble des points M d’un plan tels que le rapport de la distance MF,à un point F, et de celle HM, à une droiteD, est constant :

FMHM

= Cte = e

Le nombre positif e est l’excentricité , F un foyer etDune directrice de la conique (Fig. 3.1).On introduit généralement la distance p, appelée paramètre de la conique, et on écrit ladistance de F àD sous la forme :

FH0 =pe

H0 étant la projection de F surD.

x

x

y

y

M

H0

H

rϕF

Dp/e

Axe focal

Figure 3.1 Définition géométrique d’une conique à partir d’un foyer et d’une droite directrice

Page 50: PHYSIQUE : une approche moderne

“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 1130 — #1174�

1130 3 Coniques

Remarque

Le mot « conique » vient de la définition géométrique de ces courbes obtenues parintersection d’un cône avec un plan.

II ÉQUATION POLAIRE

En coordonnées polaires, r = FM et ϕ = (Fx, FMFMFM), l’équation FM = e HM s’écrit aussi :

r = eĄp

e+ r cosϕ

Ń= p + er cosϕ puisque HM = H0F + FM =

pe+ r cosϕ

Il en résulte :

r =p

1 − e cosϕsoit aussi r =

p1 + e cos(ϕ − π)

Remarquons que l’angle ϕ − π est l’angle (−Fx, FMFMFM) que fait le rayon vecteur FMFMFM avecl’axe −Fx. On distingue trois types de coniques selon la valeur de e.i) Si e < 1, la conique est une ellipse :

rmin ≤ r ≤ rmax où rmin =p

1 + eet rmax =

p1 − e

ii) Si e > 1, la conique est une hyperbole :

rmin ≤ r < ∞ où rmin =p

1 + e

iii) À la limite e = 1, la conique est une parabole :

rmin ≤ r < ∞ où rmin =p2

Remarque

La signification de p est immédiate : p = r lorsque ϕ = π/2.

III ÉQUATION CARTÉSIENNE

Pour établir l’équation cartésienne d’une conique, il est naturel d’adopter le systèmed’axes H0xy. Pour cela, exprimons en fonction des coordonnées x et y la relationFM2 = e2HM2. Il vient :Ą

x − pe

Ń2+ y2 = e2x2 soit x2

Ă1 − e2

Ł− 2px

e+ y2 +

p2

e2 = 0 (E)

C’est une équation du deuxième degré en x et en y.

III.1 Parabole

Pour la parabole (e = 1), l’équation (E) précédente se réduit à y2 = 2p(x − p/2). Enintroduisant le nouveau système d’axes SXY, défini par X = x − p/2 et Y = y (Fig. 3.2),l’équation de la parabole se met sous la forme canonique suivante :

Y2 = 2pX

Page 51: PHYSIQUE : une approche moderne

“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 1131 — #1175�

III Équation cartésienne 1131

ϕx

y

H0

MH

Axe focal

p

p

FS

Parabole

Figure 3.2 Parabole

III.2 Ellipse et hyperbole

Pour e � 1, multiplions les deux membres de l’équation (E) par (1 − e2)/p2. Il vient :Ă1 − e2

Ł2

p2 x2 −2Ă1 − e2

Łx

ep+ y2 1 − e2

p2 +1 − e2

e2 = 0

soit, en considérant les deux premiers termes comme le début d’un carré remarquable :Ă1 − e2

Ł2

p2

»x − p

e (1 − e2)

–2

− 1e2 + y2 1 − e2

p2 +1 − e2

e2 = 0

Dans le nouveau système d’axes CXY (Figs. 3.3 et 3.4) défini par :

X = x − pe (1 − e2)

et Y = y

l’équation (E) devient :X2Ă

1 − e2Ł2

p2 +Y2Ă

1 − e2Ł

p2 = 1

Les anciennes coordonnées de la nouvelle origine C sont : xC = p/[e(1 − e2)] et yC = 0.

a) Ellipse

Axe focal

Ellipse

P A x

M

C F�F

y Y

p

p /e

ϕ

H0

Figure 3.3 Ellipse

Page 52: PHYSIQUE : une approche moderne

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1132 3 Coniques

Pour une ellipse (e < 1), l’équation (E) se met sous la forme canonique suivante :

X2

a2 +Y2

b2 = 1 avec a =p

1 − e2 et b =p

(1 − e2)1/2

Comme e < 1, l’origine C se trouve sur H0x à droite de F (Fig. 3.3). La distance c entreles points C et F vaut :

c = CF = H0C −H0F =p

e (1 − e2)− p

e=

pe1 − e2 = ea d’où e =

ca

En outre, entre a, b et c, on a la relation c2 = e2a2 = a2 − a2(1 − e2) = a2 − b2 soit, puisqueb = p(1 − e2)−1/2 = a(1 − e2)1/2 :

a2 = c2 + b2

b) Hyperbole

Axe focal

Hyperbole

y

H0CF� S� FS

ϕ

M

p

Y

p /e

Figure 3.4 Hyperbole

Quant à l’hyperbole (e > 1), elle admet pour équation canonique :

X2

a2 −Y2

b2 = 1 avec a =p

e2 − 1et b =

p(e2 − 1)1/2

Comme e > 1, l’origine C se trouve sur H0x à gauche de D : xC < 0 (Fig. 3.4). Ladistance c entre les points C et F vaut :

c = CF = CH0 +H0F =p

e (e2 − 1)+

pe=

pee2 − 1

= ea d’où e =ca

En outre, entre a, b et c, on a la relation : c2 = e2a2 = a2+ a2(e2− 1) = a2+ b2, soit, puisqueb = p(e2 − 1)−1/2 = a(e2 − 1)1/2 :

a2 = c2 − b2

Page 53: PHYSIQUE : une approche moderne

“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 1133 — #1177�

IV Propriétés fondamentales des coniques 1133

IV PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DES CONIQUES

IV.1 Parabole

Comme e = 1, MF =MH. La parabole est donc l’ensemble des points M du plan situésà égale distance d’un point F et d’une droiteD.

IV.2 Ellipse et hyperbole

Introduisant ε = ±1, les équations de l’ellipse et de l’hyperbole s’écrivent toutes deux :

X2

a2 +Y2

εb2 = 1 avec a2 = c2 + εb2

ε = 1 donnant l’ellipse et ε = −1 l’hyperbole.Il en résulte que :

X2

a2 +Y2

a2 − c2 = 1 soit X2 + Y2 + c2 = a2 +c2X2

a2

En ajoutant ±2cX aux deux membres de cette équation, on obtient :

(X + c)2 + Y2 =

Ąa +

cXa

Ń2

et (X − c)2 + Y2 =

Ąa − cX

a

Ń2

a) Ellipse

Dans le système d’axes CXY, dans lequel F a pour coordonnées (−c, 0) (Fig. 3.3),FMFMFM a pour composantes (X + c, Y). Par conséquent, la première des deux équationsprécédentes se met sous la forme :

FM2 =

Ąa +

cXa

Ń2

Notant F′ le point symétrique de F par rapport à C, la seconde équation prend la formeanalogue :

F′M2 =

Ąa − cX

a

Ń2

Or |X|/a ≤ 1 et c < a entraînent c|X|/a < a. On en déduit :

FM = a +cXa

F′M = a − cXa

et FM + F′M = 2a

L’ellipse est donc l’ensemble des points M du plan tels que la somme des distances àdeux points F et F′, appelés foyers, est constante.

b) Hyperbole

Dans le système d’axes CXY, dans lequel F a pour coordonnées (c, 0) (Fig. 3.4), FMFMFM apour composantes (X − c, Y). On peut donc écrire, comme précédemment :

FM2 =

Ąa − cX

a

Ń2

et F′M2 =

Ąa +

cXa

Ń2

Page 54: PHYSIQUE : une approche moderne

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1134 3 Coniques

F′ étant le symétrique de F par rapport à C. Comme c est supérieur à a, on a :ĄXa

Ń2

= 1 +Y2

c2 − a2 > 1 d’oùc|X|

a> c > a

Deux cas se présentent donc selon la position de M.

i) X > 0Comme cX/a > a, il vient :

FM =cXa− a F′M =

cXa+ a et F′M − FM = 2a

Le point M décrit la branche droite de l’hyperbole (Fig. 3.4).

ii) X < 0Comme −cX/a > a, on a a + cX/a < 0, d’où :

FM = a − cXa

F′M = −cXa− a et FM − F′M = 2a

Le point M décrit la branche gauche de l’hyperbole (Fig. 3.4). Ainsi :

|FM − F′M| = 2a

L’hyperbole est donc l’ensemble des points M du plan tels que la différence desdistances à deux points F et F′, appelés foyers, est constante. Lorsque l’abscisse X deM tend vers ±∞, l’équation de l’hyperbole donne :

Y2

b2 =X2

a2 − 1 ≈ X2

a2

L’hyperbole admet donc deux asymptotes, Y = bX/a et Y = −bX/a, qui se coupenten C.

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“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 1143 — #1187�

OM 6Nombres complexes

I DÉFINITION

Un nombre complexe est le couple ordonné (a, b) de deux nombres réels a et b. L’ensembledes nombres complexes est muni de deux opérations :

i) la somme, (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

ii) le produit, (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc).

Le produit est commutatif puisque :

(a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc) = (ca − db, da + cb) = (c, d)(a, b)

II FORME CARTÉSIENNE

Le nombre complexe z = (a, b) peut s’écrire, compte tenu de la définition :

z = (a, 0) + (0, b) = (1, 0)a + (0, 1)b

Le nombre complexe (1, 0) a les mêmes propriétés que le nombre réel 1. Quant aunombre complexe (0, 1), qui est tel que (0, 1)(0, 1) = (−1, 0), il est appelé l’unité imagi-naire. Il est généralement noté i, sauf en électricité, où on le désigne par j afin d’éviterun conflit de notation avec l’intensité du courant. C’est ce que nous ferons ici :

z = (a, b) = a + jb avec j2 = −1

où a et b sont respectivement les parties réelle et imaginaire de z : a = Re{z} et b = Im{z}.

Remarque

On prendra soin de ne pas confondre j, tel que j2 = −1, avec la racine cubique de −1souvent désignée par la même lettre.

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“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 1144 — #1188�

1144 6 Nombres complexes

III REPRÉSENTATION D’UN NOMBRE COMPLEXE

Le nombre complexe (a, b) peut être représenté, dans un plan cartésien Oxy, par le pointM de coordonnées a et b ; Ox est l’axe réel et y l’axe imaginaire (Fig. 6.1a). La distance dentre l’origine O et M est le module |z| du nombre complexe z :

d = |z| = (a2 + b2)1/2

Si M1 et M2 représentent les nombres complexes z1 = a1 + jb1 et z2 = a2 + jb2 respecti-vement, la distance M1M2 est égale au module du nombre complexe z2 − z1 (Fig. 6.1b) :

M1M2 = |z2 − z1| =Ť(a2 − a1)2 + (b2 − b1)2

Ů1/2

Le carré du module de z = a + jb, qui vaut a2 + b2, s’écrit aussi :

|z|2 = (a + jb)(a − jb) soit |z|2 = zz� où z� = a − jb

est le nombre complexe conjugué de z. Les parties réelle et imaginaire de z sont souventécrites en fonction de z et z� :

a = Re{z} = z + z�

2et b = Im{z} = z − z�

2 j

θ|z |

a

b

O

M

x

y

a)

Ox

y

b)

a2 a1

b1

b2

M1

M2

d

Figure 6.1 a) Représentation géométrique d’un nombre complexe z b) Représentation géométriquedu module de la différence z1 − z2

IV FORME POLAIRE D’UN NOMBRE COMPLEXE

D’après la représentation géométrique, si θ est l’angle (Ox, OMOMOM), on a : a = |z| cosθ etb = |z| sinθ, d’où la forme polaire de z :

z = a + jb = |z| (cosθ + j sinθ)

V FORMULES D’EULER

Rappelons les développements limités en 0 des fonctions cos x, sin x et exp x, x étantune variable réelle :

cos x = 1− x2

2!+

x4

4!− x6

6!+ . . . sin x = x− x3

3!+

x5

5!− x7

7!+ . . . exp x = 1+x+

x2

2!+

x3

3!+ . . .

Page 57: PHYSIQUE : une approche moderne

“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 1145 — #1189�

VI Multiplication par le nombre complexe exp(jα) 1145

Pour tout nombre complexe z, on peut généraliser l’écriture précédente en posant :

exp z = 1 + z +z2

2!+

z3

3!+ . . .

Si z est imaginaire pur, alors il peut s’écrire z = jx avec x réel, et :

exp( jx) = 1 + jx − x2

2!− jx3

3!+ . . .

En comparant exp( jx) à cos x et sin x, on trouve les formules d’Euler, du nom dumathématicien suisse Leonhard Euler :

exp( jx) = cos x + j sin x cos x =exp( jx) + exp(− jx)

2et sin x =

exp( jx) − exp(− jx)2 j

Il en résulte que la forme polaire d’un nombre complexe s’écrit :

z = |z| exp( jθ) avec exp( jθ) = cosθ + j sinθ

EXEMPLES

j = exp`

jπ/2´

− 1 = exp( jπ) 1 + j =√

2 exp`

jπ/4´

VI MULTIPLICATION PAR LE NOMBRE COMPLEXE exp(jα)

Multiplions le nombre complexe z = |z| exp( jθ), représenté par le point M du plancartésien Oxy (Fig. 6.2), par exp( jα), de module unité. On obtient le nombre complexez′ suivant :

z′ = z exp( jα) = |z| exp[ j(θ + α)]

C’est un nombre complexe de même module que z, mais dont l’angle polaire a aug-menté de α. Le vecteur OMOMOM′ représentant z′ s’obtient donc à partir du vecteur OMOMOM parune rotation de l’angle α autour de l’axe Oz perpendiculaire au plan Oxy.

Notons que la multiplication d’un nombre complexe par un nombre réel ne modifieque son module.

θ

M�

O x

y

Figure 6.2 Interprétation de la rotation d’un vecteur dans un plan à l’aide d’un nombre complexe

Page 58: PHYSIQUE : une approche moderne

“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 1146 — #1190�

1146 6 Nombres complexes

VII APPLICATION AU TRACÉ DES DIAGRAMMES DE BODE

Les diagrammes de Bode, associés à la fonction de transfert d’un filtre, fournissentun exemple d’illustration du calcul du module et de la phase d’un nombre complexe.Comme le tracé point par point de ces diagrammes est fastidieux, il est judicieuxd’utiliser un outil informatique, par exemple gnuplot, disponible en libre accès surInternet et largement adopté par les scientifiques. On donne ici les éléments de basequi permettent d’obtenir rapidement un graphique, en excluant les divers raffinementsque permet gnuplot.

VII.1 Position du problème

On veut tracer, en fonction de la fréquence réduite w, les diagrammes de Bode d’un filtrede Sallen-Key (cf. Leçon 19), dont la fonction de transfert canonique a pour expression :

H = H0

1 − w2 + jw/Q=

H0

1 + 102W + j10W/Q

en introduisant la variable plus adaptée W = lg w. Pour cela, on précise que H0 = 5 eton considère pour Q les deux valeurs Q1 = 10 et Q2 = 1.

VII.2 Lignes de commandes sur gnuplot

Il est parfois utile d’initialiser le logiciel avec la commande reset.

a) Taille de la figure et bornes des axes

On commence par préciser les valeurs limites des abscisses et des ordonnées.

xmin = -1.1xmax = 1.1ymin=-20ymax=40set xrange [xmin:xmax]set yrange [ymin:ymax]

Avec set grid, on affiche la grille du graphique. Précisons que la commande set degnuplot permet d’attribuer une caractéristique au dessin.

b) Tracé des axes

On donne un nom aux deux axes x et y avec xlabel et ylabel respectivement :

set xlabel "W"set ylabel "Gu(dB)"

Avec set xtic et set ytic, on demande de tracer des repères (« tic » en anglais) lelong des deux axes.

set xticset ytic

Page 59: PHYSIQUE : une approche moderne

“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 1147 — #1191�

VII Application au tracé des diagrammes de Bode 1147

c) Tracé du module

Avant d’écrire la fonction complexe, on doit introduire le nombre complexe j, à l’aidede j={0,1} et rappeler les valeurs des paramètres H0, Q1 et Q2. On obtient alors le tracédes deux courbes donnant Gu (dB) = 20 lg |H| pour les deux valeurs de Q à l’aide de lacommande plot (« graphe » en anglais) :

j={0,1}H0=5Q1=10Q2=1plot 20*log10(abs(H0/(1-10**(2*x) + j*10**x/Q1))) title "Q = 10",20*log10(abs(H0/(1-10**(2*x) + j*10**x/Q2))) title "Q = 1"

l’instruction title donnant en légende Q = 10 pour la courbe 1 et Q = 1 pour lacourbe 2.

Remarques

1) Le module du nombre complexe est obtenu avec abs.2) En promenant la souris sur le graphique affiché, on a, en bas à gauche, les coordon-nées du point courant.3) Dans gnuplot, les lignes précédées du symbole # ne sont pas prises en compte.4) On peut aussi travailler à l’aide d’un fichier texte (“script” en anglais), dans lequelon rassemble toutes les instructions précédentes. On doit alors ouvrir un éditeur detexte, par exemple Bloc-notes sous windows ou vi sous linux, et créer un fichierintitulé Bode-sk.txt, l’extension .txt indiquant qu’il s’agit d’un texte. À l’aide degnuplot, on trace le graphe en chargeant (load) le fichier « Bode-sk.txt », selon load"Bode-sk.txt".

VII.3 Tracé de la phase

Pour le tracé de la phase φ, argument du nombre complexe H(w), on procède dela même manière. On change l’intervalle de valeurs des ordonnées ymin=-2*pi etymax=2*pi, on modifie le nom de l’axe correspondant set ylabel "Phase (rad)" eton trace :

plot arg(H_0/(1-10**(2*x) + j*10**x/Q1)) title "Q = 10",plot arg(H_0/(1-10**(2*x) + j*10**x/Q2)) title "Q = 1"

Les diagrammes de Bode obtenus sont ceux représentés sur la figure 19.16 de laLeçon 19.

Remarque

Ici aussi, on peut travailler à l’aide d’un fichier texte, comme précédemment.

Page 60: PHYSIQUE : une approche moderne

“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 825 — #869�

VII Entropie d’une phase condensée 825

Écrivons les bilans énergétique et entropique pour le système isolé :

ΔU = 0 avec ΔU = ΔU1 + ΔU2 = C(Tf − T1) + C(Tf − T2)

etΔS = S(c) > 0 avec ΔS = ΔS1 + ΔS2

On en déduit :Tf =

CT1 + CT2

C + C=

T1 + T2

2Les variations d’entropie de chacun des corps s’obtiennent en imaginant des cheminsréversibles entre les mêmes états extrêmes. Désignant par T′1 et T′2 les températuresgénériques respectives des matériaux au cours de ces chemins, il vient :

ΔS1 =

ZδQ1

T′1=

Z T f

T1

C dT′1T′1

et ΔS2 =

ZδQ2

T′2=

Z T f

T2

C dT′2T′2

Il en résulte que :

ΔS = C ln„

Tf

T1

«+ C ln

„Tf

T2

«= S(c) > 0

ORDRE DE GRANDEUR

Pour T1 = 300 K, T2 = 372 K, on trouve Tf = 336 K, ce qui donne, avec C = 25 J.K−1 :

ΔS = 25 × lnĄ336

300

Ń+ 25 × ln

Ą336372

Ń≈ 0,29 J.K−1

Le résultat précédent s’applique sans modification à la variation d’entropie d’unnageur (phase condensée) qui plonge, depuis un tremplin dans l’air, à 303 K (30◦),dans l’eau d’une mer à 293 K (20◦). Si sa capacité thermique massique est 4 kJ.K−1.kg−1

(proche de celle de l’eau), sa variation d’entropie est, pour une masse de 70 kg, unefois l’équilibre thermique atteint dans l’eau :

ΔS = mcV ln„

Tf

Ti

«= 70 × 4 × 103 × ln

Ą303293

Ń≈ 9,4 kJ.K−1

VII.3 Conducteur ohmique parcouru par un courant stationnaire

Effectuons, pendant la durée élémentaire dt, les bilans énergétique et entropique dansun conducteur ohmique, de résistance R, parcouru par un courant stationnaire, d’in-tensité I (Fig. 32.10a). Si Ta est la température à la surface du conducteur, l’applicationsuccessive des deux principes donne :

dU = 0 = δW + δQ avec δW = −δQ = RI2 dt

dS = δS(r) + δS(c) avec dS = 0 et δS(r) =δQTa= −δS(c)

Il en résulte la création d’entropie suivante :

δS(c) =δWTa=

RI2 dtTa

> 0

Page 61: PHYSIQUE : une approche moderne

“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 826 — #870�

826 32 Deuxième principe de la thermodynamique

I

R

a)

Sources decourant

b)

I

A B

R1I

1

I2

R2

Figure 32.10 Création positive d’entropie a) Dans un conducteur parcouru par un courantstationnaire b) Dans deux conducteurs

Il est instructif d’évaluer la création d’entropie dans deux conducteurs ohmiques,de résistances R1 et R2, en parallèle entre deux points A et B et tels que la maille ainsiformée soit alimentée par une source de courant d’intensité I (Fig. 32.10b). L’entropiecréée dans ce système, à la température Ta, pendant la durée dt, est :

δS(c) =R1I2

1 + R2I22

Tadt =

R1I21 + R2(I − I1)2

Tadt

en désignant par I1 et I2 = I − I1 les intensités des courants qui parcourent les deuxconducteurs respectivement. On en déduit le flux entropique créé :

δS(c)

dt=

R1I21 + R2(I − I1)2

Ta

Cherchons le minimum de ce flux lorsqu’on fait varier I1, I étant constant. Il vient :

ddI1

ĆδS(c)

dt

Ň= 2

R1I1 − R2(I − I1)Ta

= 0 si R1I1 − R2I2 = 0

c’est-à-dire si la loi des mailles (cf. Leçon 5) est vérifiée. En dérivant une seconde fois,on constate que cet extrémum est un minimum, puisque :

d2

dI21

ŰδS(c)

dt

Ź=

2(R1 + R2)Ta

> 0

Ainsi, la loi des mailles réalise le minimum du flux entropique créé. Ce résultat remar-quable est une illustration simple d’un théorème établi par Prigogine, en 1945, selonlequel le fonctionnement d’un système linéaire, en régime stationnaire, est caractérisépar une création d’entropie minimale. Il fut remarqué et publié, pour la première fois,par Maxwell en 1876, sans aucune justification ni référence au deuxième principe de lathermodynamique !

VIII OUVERTURES

Comme pour le premier principe, il est instructif d’établir l’expression du deuxièmeprincipe de la thermodynamique pour les systèmes ouverts, lesquels échangent ausside la matière avec le milieu extérieur. Les exemples d’application sont nombreux,puisqu’ils concernent la plupart des machines thermiques et tous les êtres vivants.

Page 62: PHYSIQUE : une approche moderne

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Leçon 35Machines thermiques

Les machines thermiques ont joué un rôle historique majeur en physique, puisqueleur construction, au cours du XIXe siècle, est à l’origine de la thermodynamique.Les premières ont été réalisées par le physicien français Denis Papin au XVIIe siècleet l’ingénieur Écossais James Watt au XVIIIe siècle. De nos jours, la lutte contre legaspillage de l’énergie relance l’intérêt des machines thermiques les plus efficaces etles moins polluantes, d’où la modernité du sujet.

On sait, depuis l’énoncé historique de Thomson du deuxième principe de la ther-modynamique, qu’un système, tel qu’un fluide, en contact avec une seule source ther-mique, ne peut, au cours d’un cycle, fournir du travail (W < 0) et recevoir de la chaleur(Q > 0). Un tel système doit nécessairement être en relation avec au moins deux sourcesthermiques.

On distingue deux types de machines thermiques :

– les moteurs, qui fournissent du travail (W < 0), généralement mécanique, en recevantde la chaleur (Q > 0) ;

– les machines inversées, qui au contraire reçoivent du travail (W > 0) et fournissent dela chaleur (Q < 0). Il s’agit essentiellement des réfrigérateurs et des pompes à chaleur.

On se propose dans cette leçon d’étudier principalement les machines thermiquesdithermes, dans lesquelles un fluide évolue en contact successivement avec deux sourcesthermiques stationnaires : une source froide, de température fixée Tf , et une sourcechaude, de température déterminée Tc (Fig. 35.1).

I MACHINE THERMIQUE DITHERME

I.1 Bilans énergétique et entropique

Le fluide évoluant de façon cyclique, les variations d’énergie totale E et d’entropie S,après un cycle, sont nulles, d’où les bilans énergétique et entropique suivants :

ΔE =W +Qc +Qf = 0 et ΔS =Qc

Tc+

Qf

Tf+ S(c) = 0 avec S(c) > 0

Page 63: PHYSIQUE : une approche moderne

“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 884 — #928�

884 35 Machines thermiques

WMachinethermique

Qc

Tc

Qf

Tf

Figure 35.1 Schéma synoptique d’une machine thermique ditherme

Rappelons que, dans ces expressions, W est le travail reçu par le fluide, Qc et Qf leschaleurs reçues provenant respectivement de la source chaude et de la source froide.

I.2 Diagrammes de Raveau

Le diagramme de Raveau, du nom de l’ingénieur français Raveau du XIXe siècle, est lareprésentation graphique, dans le plan (Qf , Qc), des bilans énergétique et entropique. Ilpermet de déterminer le point de fonctionnement F d’une machine ditherme. Ce dernierest, en effet, le point d’intersection de deux droites d’équations respectives :

Qc = −Qf −W et Qc = −Tc

TfQf − TcS(c)

la première, de pente −1, étant issue du premier principe et la seconde, de pente−Tc/Tf < −1, du deuxième. Cette dernière droite passe par l’ordonnée à l’originenégative −TcS(c) < 0, puisque Tc > 0 et S(c) > 0 ; elle est déterminée une fois lestempératures des thermostats fixées et le terme d’irréversibilité S(c) connu. Comme lapremière droite passe, elle, par l’ordonnée à l’origine −W, deux cas se présentent.

Qc

Qc = –Q

f – W

Qc = –Q

f – W

Qf

Qc

Qf

F

F

W

–W

0 0–T

cS(c) –T

cS(c)

Qc = – Q

f – T

cS(c)T

c

Tf

Qc = – Q

f – T

cS(c)T

c

Tf

a) b)

Figure 35.2 Diagrammes de Raveau a) D’un moteur b) D’une machine inversée

i) Si W < 0, comme dans un moteur, le point de fonctionnement F se situe dans lequart de plan Qc > 0 et Qf < 0 (Fig. 35.2a). Aussi un moteur reçoit-il de la chaleurde la part de la source chaude et fournit-il de la chaleur à la source froide.

ii) Si W > 0, comme dans un réfrigérateur ou une pompe à chaleur, F se trouve dans lequart de plan Qc < 0 et Qf > 0 (Fig. 35.2b). Aussi une machine inversée fournit-ellede la chaleur à la source chaude et reçoit-elle de la chaleur de la part de la source

Page 64: PHYSIQUE : une approche moderne

“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 652 — #696�

652 25 Système de deux points matériels (PCSI, MPSI)

E25-9 Masse volumique de l’UniversUn ensemble de points matériels est réparti uniformément dans un volume sphé-rique, de centre O et de rayon R. La vitesse v de chaque point de la distribution estradiale, orientée vers l’extérieur du volume et proportionnelle à sa distance r à O,selon la loi expérimentale donnée par Edwin Hubble en 1929 :

v = Hr avec H−1 = 13,7 Gan

(1 Gan = 1 milliard d’années) ; H est la constante de Hubble.

1. À l’aide de considérations dimensionnelles, donner une expression de l’énergiepotentielle de gravitation de cette distribution sphérique homogène, de rayon R etde masse M, en précisant et en justifiant son signe. Le facteur correctif est 0,6.

2. Montrer que l’énergie cinétique de l’ensemble peut se mettre sous la forme :

Ek = αMH2R2

α étant un facteur numérique à déterminer. On désignera parρm la masse volumiquedu système.

3. Les observations les plus récentes en astrophysique conduisent à admettre quel’énergie mécanique de cet ensemble est nulle.

a) Quelle est l’expression de la masse volumique ρm en fonction de H et G ?

b) Calculer sa valeur en unité SI. À quel nombre de nucléons par unité de volumecette valeur correspond-elle ?

E25-10 Mécanique des systèmes vivantsLes systèmes vivants sont des systèmes mécaniques déformables auxquels s’ap-pliquent évidemment les trois théorèmes de la mécanique (quantité de mouvement,moment cinétique et énergie mécanique).

1. Un chat, de masse Mc = 3 kg, tombe accidentellement d’une hauteur h = 10 m,les pattes en l’air. On constate qu’il touche le sol, recouvert de sable, sur ses quatrepattes. Les forces de frottement dues à l’air sont négligeables.

a) Appliquer les trois théorèmes de la mécanique.

b) Montrer que cette aptitude du chat à se retourner au cours de sa chute estconforme à ces théorèmes.

2. On sait qu’une danseuse augmente son énergie cinétique initiale en ramenantses bras le long de son corps.

a) Appliquer les théorèmes du moment cinétique et de l’énergie mécanique à ladanseuse.

b) Justifier l’augmentation de l’énergie cinétique. Où la danseuse puise-t-elle cetteaugmentation d’énergie ?

3. Un aquarium de 5 kg, reposant sur le plateau de gauche d’une balance, est enéquilibre avec une tare, de même masse, placée sur le plateau de droite. Il contientun poisson initialement immobile de masse 100 g.

a) Appliquer le théorème de la quantité de mouvement à chacun des plateaux dela balance.TR

AVAU

XDI

RIGÉ

S

Page 65: PHYSIQUE : une approche moderne

“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 653 — #697�

Travaux dirigés 653

b) Comment évolue l’équilibre initial, lorsque le poisson, effrayé par un intrus,se déplace brutalement vers la surface avec un vecteur accélération vertical de5 m.s−2 ?

E25-11 Équilibre d’un point matériel et point de Fermat d’un triangleUne masselotte A (masse m) est maintenue en équilibre par trois fils, aux extrémitésdesquels on a fixé trois masses ponctuelles m1, m2 et m3. Comme le montre lafigure 25.11, ces trois fils passent par trois orifices ponctuels A1, A2, A3 que l’on aaménagés sur une table horizontale.

1. Établir la condition d’équilibre. Trouver la position d’équilibre dans les deux cassuivants.

a) L’une des masses (m3) est très inférieure aux deux autres.

b) L’une des masses (m3) est très supérieure aux deux autres.

2. Lorsque les trois masses sont égales, la position d’équilibre est appelée point deFermat ou point de Torricelli.

a) D’après ce qui précède, proposer une définition d’un tel point.

b) Montrer que ce point n’existe que si le triangle A1A2A3 n’a pas d’angle supérieurà 2π/3.

3. a) Quelle est l’énergie potentielle d’un tel système, en fonction des cotes des troismasses, comptées le long d’un axe vertical descendant Ox dont l’origine est prisedans le plan de la table ?

b) Que peut-on dire de la somme des distances AAi à l’équilibre ? En déduire uneautre définition du point de Fermat.

4. Montrer que le point de Fermat d’un triangle peut être obtenu par l’intersectionde trois cercles circonscrits aux triangles équilatéraux A1A3B2, A1A2B3 et A2A3B1,adossés aux trois côtés du triangle A1A2A3.

AA1

m1

m3

m2

A2

A3

O

x

g

Figure 25.11 Équilibre d’un point matériel

E25-12 Peintre sur une nacelle avec pouliePour se hisser le long d’un mur, un peintre, de masse Mp = 70 kg, utilise une nacelle,de masse Mn = 20 kg, et une corde enroulée sur une poulie. L’une des extrémités estattachée à la nacelle, en N, et l’autre, en K,à un contrepoids de masse Mk (Fig. 25.12).Par contact au point H de la corde qui porte le contrepoids, le peintre exerce la forcede tension FFFp→c dirigée selon la verticale. La corde est supposée inextensible et demasse négligeable. TR

AVAU

XDI

RIGÉ

S

Page 66: PHYSIQUE : une approche moderne

“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 1332 — #1376�

1332 Corrections des exercices des travaux dirigés

(1 Man = 106 an), ce qui est beaucoup plus faible que l’âge généralement admispour le Soleil qui est de 5 Gan (1 Gan = 109 an). On en conclut que l’effondrementgravitationnel ne permet pas d’expliquer l’âge du Soleil. Le physicien américainHans Bethe a montré que ce sont les réactions de fusion nucléaire au sein du Soleilqui permettent de l’estimer correctement.

S25-9 Masse volumique de l’Univers

1. L’énergie potentielle de gravitation est proportionnelle au carré d’une massedivisé par une distance ; elle doit donc pouvoir se mettre sous la forme suivante :Ep = −GM2/R, le signe moins traduisant le caractère attractif de l’interaction. Uncalcul précis montre que le facteur correctif est 3/5 (cf. Leçon 36).

2. Quant à l’énergie cinétique de la distribution, elle s’écrit :

Ek =12

Xi

miv2i =

H2

2

Xi

mir2i

En effectuant cette dernière sommation, on obtient, en introduisant la masse volu-mique ρm :

Xi

mir2i =

ZVρmr2 dV = ρm

Z R

0r24πr2 dr = 4πρm

Z R

0r4 dr = 4πρm

jr5

5

ffR

0

= 4πρmR5

5=

35

MR2

puisque M = 4πρmR3/3. On en déduit : Ek = αMH2R2 avec α = 3/10.

3. Puisque Em = 0, il vient :

310

MH2R2 − 35

GM2

R= 0 d’où

H2R3

2= GM = G

4πR3ρm

3et ρm =

3H2

8πG

Concrètement, on trouve ρm ≈ 9,57 × 10−27 kg.m−3, soit, puisque ρm = nvmp :

nv =ρm

mp=

9,57 × 10−27

1,67 × 10−27 = 5,7 m−3

Ainsi, le nombre moyen de nucléons par unité de volume dans l’Univers est infé-rieur à 6.

S25-10 Mécanique des systèmes vivants

1. a) L’application du théorème de la quantité de mouvement donne, en négligeantl’influence de l’air :

dPPPdt=McaaaC =Mc��� d’où aaaC = ��� vvvC = ���t et xC =

�t2

2

Ox étant la verticale descendante, si la vitesse initiale est nulle et l’origine prise à laposition initiale. Le centre de masse C du chat a donc la même trajectoire que celled’un boulet. La durée de chute est alors donnée par :

t =„

2h�

«1/2

=

Ą2 × 109,8

Ń1/2

≈ 1,43 sCORR

ECTI

ONSD

ESEX

ERCI

CES

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“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 1333 — #1377�

Corrections des exercices des travaux dirigés 1333

L’application du théorème du moment cinétique, au centre de masse mobile C,donne, puisqu’en ce point le moment du poids est nul :

dLLLC

dt= 000 d’où LLLC = CteCteCte

Rien n’empêche physiquement le chat de se retourner tout en se déformant afin deconserver son moment cinétique initial.

Quant à l’application du théorème de l’énergie mécanique, il fait apparaître letravail des forces intérieures non conservatives :

dEm = δW(nc)in avec Em =

12

Mcx2c + E�k −Mc�xC

E�k étant l’énergie cinétique dans le référentiel du centre de masse.

b) Évidemment, pour pouvoir se retourner, autour de C, le chat utilise le travail desforces intérieures non conservatives, lequel peut être positif en raison de l’énergieemmagasinée par tout être vivant, grâce à son alimentation, et restituée par sonmétabolisme.

2. a) Au cours du mouvement, le centre de masse est pratiquement fixe sous l’actiondu poids de la danseuse et de la réaction qu’exerce le sol sur ses pointes en O. Laprojection du moment cinétique selon l’axe de rotation se conserve, puisque lemoment des actions de contact est nul en O. On a ainsi :

dLLLO

dt= OCOCOC ×m��� qui donne

dLLLO

dt· eeez = (OCOCOC ×m���) · eeez soit

dLO,z

dt= 0

les vecteurs ��� et eeez étant colinéaires. Ainsi, le moment cinétique selon l’axe derotation est une constante :

LO,z = Cte avec LOz =

Xi

OAOAOAi ×mivvvi

!· eeez

Le théorème relatif à l’énergie mécanique donne, lui, puisqu’il n’y a pas de variationd’énergie potentielle de pesanteur : dEk = δW(nc)

in .

b) En diminuant les longueurs des bras et donc des vecteurs OAOAOAi, on conçoit que ladanseuse puisse augmenter alors la vitesse des différents points qui la constituent,et donc son énergie cinétique. Cette dernière augmentation provient du travailpositif des forces intérieures non conservatives, fourni par le métabolisme de ladanseuse.

3. a) Lorsque le poisson se met en mouvement dans l’aquarium, la quantité demouvement du système constitué par l’aquarium n’est pas constante, mais variepuisque le centre de masse du système {aquarium-poisson} se déplace. Notons quele système n’est pas isolé : certes le poids de l’aquarium demeure constant, maispas la réaction qu’exerce le plateau sur lui. L’équilibre de la balance est celui desplateaux, précisément des forces de réaction RRR� et RRRd qu’exercent respectivementl’aquarium sur le plateau de gauche et la tare sur le plateau de droite. Appliquonsle théorème de la quantité de mouvement à l’aquarium à gauche, puis à la tare àdroite. On obtient respectivement :

dPPP�dt= RRR� +M� ��� et

dPPPd

dt= RRRd +Md ��� CO

RREC

TION

SDES

EXER

CICE

S

Page 68: PHYSIQUE : une approche moderne

“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 1334 — #1378�

1334 Corrections des exercices des travaux dirigés

Il en résulte, puisque M� =Md :

RRR� = RRRd +dPPP�dt− dPPPd

dtsoit R� = Rd +

dPx,�

dt− dPx,d

dt

en projection selon l’axe Ox vertical descendant.

b) Initialement, il y a équilibre des plateaux car les quantités de mouvement sonttoutes deux nulles. Si le poisson acquiert un mouvement selon la verticale, l’équi-libre est rompu :

R� = Rd +dPx,�

dtL’avantage est au plateau de droite si le poisson initialement au fond de l’aquariumremonte brutalement :

dPx,�

dt≈ −0,1 × 5 = −0,5 N

à comparer à R� et Rd qui valent à l’équilibre 5× 1× 9,8 ≈ 49 N. Cette différence estaisément détectable avec une balance suffisamment sensible.

S25-11 Équilibre d’un point matériel et point de Fermat d’un triangle

1. Pour établir la condition d’équilibre, écrivons que la somme des forces de tensionde fil qui s’exercent sur la masselotte A est nulle :

TTT1 +TTT2 +TTT3 = 000 soit T1 eee1 + T2 eee2 + T3 eee3 = 000

en introduisant les vecteurs unitaires définis par AAAAAA1, AAAAAA2 et AAAAAA3 respectivement.Ces tensions sont directement reliées aux poids, puisque les trois masses étant enéquilibre, on a, la tension ne variant pas le long des fils mi� − Ti = 0. Il en résulte :

m1� eee1 +m2� eee2 +m3� eee3 = 000 d’où m1 eee1 +m2 eee2 +m3 eee3 = 000

a) Si la masse m3 est très inférieure au deux autres masses, il vient m1eee1 +m2eee2 ≈ 000.Le point A se trouve pratiquement sur la droite A1A2, précisément au centre demasse de A1 et A2.

b) Si la masse m3 est très supérieure aux deux autres masses, alors l’approximationm3 eee3 ≈ 000 n’a pas de sens physique. On lève la difficulté en introduisant, dans lebilan des forces, la force supplémentaire de réaction en raison du contact de Aavec A3.

2. Puisque m1 = m2 = m3, le point de Fermat est tel que : eee1 + eee2 + eee3 = 000.

En A, les trois vecteurs unitaires eee1, eee2 et eee3 forment entre eux des angles égaux à2π/3. De même pour A1 et A2.

b) Pour que le point A existe, il faut que de A3 on puisse couper, par des droites, lesdirections des vecteurs eee1 et eee2, ce qui suppose que l’angle A3 soit inférieur à 2π/3.

3. a) L’énergie potentielle d’un tel système, en fonction des cotes zi = AiMi despoints Mi, a pour expression :

Ep = −m� (z1 + z2 + z3) = −m�X

i

ziCORR

ECTI

ONSD

ESEX

ERCI

CES

Page 69: PHYSIQUE : une approche moderne

“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 1463 — #1507�

Index 1463

Clapeyron, xxxviiiDiagramme de, 691Formule de, 869

Clausius, xxxix(Énoncé de), 813

Climatiseur, 885Coefficient

d’amortissement, 170de compressibilité, 733des liquides et des solides, 738de dilatation, 686de performance, 887

Cohen-Tannoudji (Claude), 719Colatitude magnétique, 1103Collimateur, 360Comète de Hale-Bopp, 570Comparaison des champs E et B, 1107Comparateur, 462

à hystérésis, 462simple, 462

Complexe (Amplitude), 383Condensateur, 117, 407, 974Condensation, 857, 858Condenseur, 356, 889Condition des sinus d’Abbe, 255Conductance, 115, 406

dynamique, 120Conducteur ohmique, 115, 1045Conductivité, 1034Conique, 572, 1129Conservation

du flux du champ magnétique, 1079du moment cinétique, 546, 566de l’énergie mécanique, 567

Constanteconventionnelle classique, 12d’Einstein, 3, 11dérivée classique, 13dérivée quantique, 13de Boltzmann, 12de couplage, 19de Faraday, 13de gravitation, 6, 11de Newton, 6, 11de Planck, 13de structure fine, 14de von Klitzing, 14des gaz parfaits, 13fondamentale, 2, 11

Constante des gaz parfaits, 693Constantes fondamentales, xxixConstructions géométriques

Dioptres, 221Lentilles, 276Miroirs sphériques, 308

Conventiongénérateur, 113récepteur, 113

Coordonnéescartésiennes, 31, 1163cylindriques, 31, 1164sphériques, 32, 1165systèmes de, 1163

Copernic, xxxvCoriolis, xxxviiiForce de, 610Corps noir, 333Corps pur, 728, 855Coulomb, xxxviiCoupure (Fréquence de), 489Courant

de polarisation, 477de conduction, 110de convection, 109de court-circuit, 123de diffusion, 110électrique, 109électromoteur, 123volumique, 1031

Courbed’ébullition, 874de fusion, 865de rosée, 859de sublimation, 866

Covolume, 736Création d’entropie

(Interprétation microscopique de la), 847Critique (Isotherme), 729Cube de la physique, 15Cycle

de Beau de Roches, 900de Carnot, 887de Stirling, 894

Cyclotron, 1016Cylindre de combustion, 891

D

Dalton (John), 712Debye, xlii, 988Déclinaison magnétique, 1102Défaut de masses, 100Degrés de liberté, 33Démodulation d’amplitude, 515Dérivation (Branchement en), 125Dérivée

d’un produit scalaire, 1138d’un produit vectoriel, 1138d’un vecteur, 1137d’une fonction, 1135logarithmique, 1137partielle, 1136

Descartes, xxxviDescription

eulérienne, 732lagrangienne, 732microscopique, 688

Désordre, 841

Page 70: PHYSIQUE : une approche moderne

“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 1464 — #1508�

1464 Index

Desormes, 831Déterminants, 1152Détecteur de crête, 201Détente

dans une tuyère, 798, 828de Gay-Lussac et Joule, 784, 804, 822de Joule, 798de Joule et Kelvin, 828de Thomson, 798de Joule et Thomson, 789, 822isenthalpique, 789, 790

Déterminisme, 71Deuxième principe, 811Déviation

angulaire par un prisme, 225électrostatique, 436, 1009magnétique, 1013vers l’est, 671

Dewar (Vase), 793Diagramme

d’Amagat, 734de Bode, 486d’équilibre d’un corps pur, 866de Raveau, 884

Diamètre apparent, 257, 1126Différentielle, 1161

Forme, 1166logarithmique, 1161

Diffraction, 217Diffusion, 395

de Rutherford, 580Rayleigh, 395Rayleigh résonnante, 396Thomson, 396

Dimension physique, 4Diode

à jonction, 119électroluminescente, 336idéale, 118Zener, 119

Dioptre, 219plan, 248succession de, 252

Dipôleactif, 114électrique, 691électrocinétique, 112électrostatique, 988générateur, 115magnétique, 1097passif, 114récepteur, 115terrestre, 1101

Discernables (Particules), 837Discussion qualitative de mouvement, 92Dispersion, 216, 227Dissipatif, 527Distance minimale de vision distincte, 339

Distributionde Boltzmann, 852de Maxwell, 718des vitesses de Maxwell, 706linéique de charge, 916surfacique, 915symétrique, 949

Diviseurde courant, 141de tension, 140

Doubletde charges identiques, 941de charges opposées, 944

Drude, xli, 1030Modèle de, 1030

Durée de relaxation, 170Dynode, 343

E

Ébullition, 863(Courbe d’), 730

Écart-type, 1173Échange d’énergie, 688Échantillonnage, 443Échelle

astronomique, 17Celsius, 686Fahrenheit, 686macroscopique, 17

Échelon de tension, 188Écliptique, xxxÉcoulement, 731Effet

Hall, 1038Joule, 130photo-électrique, 342Purkinje, 339

Efficacitéd’un moteur thermique, 885d’une machine inversée, 886d’une machine thermique, 885

Einstein, xlii, 27Électrocinétique, 107Électromagnétisme, 1Électron élastiquement lié, 394Électronique, 107Électronvolt, 13, 78, 922Ellipse, 573Ellipsoïde, 320Énergie, 77

(Bilan d’), 129cinétique

d’un point matériel, 77d’un système matériel, 631

dans un circuit électrique, 150de masse, 98d’une particule en relativité, 99interne, 775

Page 71: PHYSIQUE : une approche moderne

“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 1467 — #1511�

Index 1467

électromagnétique, 18électrostatique, 911faible, 19fondamentale, 18forte, 19gravitationnelle, 18newtonienne, 913nucléaire, 649

Invariancedes distributions de charge, 945par rotation autour d’un axe, 947, 1065par translation, 945, 1065

Irréversibilité(Causes d’), 807

Isenthalpique(Détente), 789, 790

Isoénergétique(Détente), 784

Isolant, 1045Isothermes

d’Andrews, 728

J

Jet atomique, 719Joule, xxxix

(Détente de Gay-Lussac et), 784,798, 822(détente de et Thomson), 789, 822

K

Kelvin, xxxix, 4, 686(Énoncé de), 814

Kepler, xxxviKilogramme, 3Kilowatt-heure, 78Kirchhoff, xxxix

Lois de, 126Kœnig, xxxviiKœnig (Théorèmes de), 625

L

Lame à faces parallèles, 237à incandescence, 334quartz-iode, 334

Lampes, 334Laplace, xxxvii, 71

Force de, 1041Laser, 319Latitude, 602

de mise au point, 357, 371Lawrence, 1016Leibniz, 78Lentilles, 349liaison

bilatérale, 96hydrogène, 997unilatérale, 548, 550

Lignes de champd’un dipôle électrostatique, 992d’un dipôle magnétique, 1099électrostatique, 919magnétique, 1058

Limite de Roche, 667Liquéfaction, 856, 862

(Palier de), 729Loi

binomiale, 1175d’Avogadro, 712d’Ohm, 115de Biot et Savart, 1055, 1057de Boltzmann, 758, 844de Boyle et Mariotte, 712de Cauchy, 216de Charles, 712de Coulomb, 55de Dalton, 712de Descartes, 219de Gay-Lussac, 712de Hooke, 55de Joule (première), 718de Kepler, 570de Kirchhoff, 126, 128de Newton, 57, 60, 627de Snell, 219de Stokes, 57de Venturi, 57des mailles, 127, 129, 412des nœuds, 127, 129, 411fondamentale, 1

de l’optique géométrique, 232de la dynamique de Newton, 57de la dynamique d’Einstein, 70, 98

maxwellienne, 706Longueur d’onde de Compton, 14Lorentz, xliLoupe, 356Lune, xxxiLunette, 361

astronomique, 363autocollimatrice, 362

M

Méthodede Badal, 354de Bessel, 352de Silbermann, 353des mélanges, 794

Mètre, 3Mécanique, 1Machine thermique

ditherme, 883fermée, 891inversée, 883ouverte, 891réelle, 891

Macroétat, 835

Page 72: PHYSIQUE : une approche moderne

“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 1469 — #1513�

Index 1469

Limite de résolution angulaire, 339Œrsted, xxxviiiOhm, xxxviii

Loi d’, 115Onde

électromagnétique, 212lumineuse, 212Surface d’, 212Vitesse de propagation d’une, 212

Opposition des actions réciproques, 627Orientation

de l’espace, 1007d’une surface, 963

Oscillateur, 163Oscillation

forcée, 382libre, 163

Oscilloscope, 436

P

Palier de liquéfaction, 729Paraboloïde, 321Parallèle (Association en), 140Parsec, xxx, 18Particules discernables à deux états, 838, 840Pascal, xxxvi, 708

(Théorème de), 750(Tonneau de), 752

Pendulecirculaire, 547de Foucault, 661paramétrique, 552simple, 8, 97

inversé, 551Analyse énergétique, 95

Perméabilité magnétique du vide, 12, 1056Permittivité diélectrique du vide, 13, 912Perrin (Jean), 703Pesanteur, 658Phase

à l’origine, 164, 379condensée, 738Portrait de, 96, 169, 178

Phillips (William), 719Photodétecteurs, 342

à transfert de charge, 344Photodiode, 342Photomultiplicateur, 343Photon, 20Physique, 1

classique, 11quantique, 11, 13, 169, 569, 578, 837, 878,

1047Plan

d’antisymétrie, 943, 1064de symétrie, 940, 1062d’incidence, 219focaux, 256, 306

Planètes du système solaire, xxxi

Plana, 679Planck, xli, 211

Grandeurs de, 15Poids d’un corps, 658Point

critique, 730, 859triple, 860

Point matérielÉquilibre d’un, 61isolé, 60pseudo-isolé, 60Repos d’un, 61

Points conjugués, 244Point (thermodynamique)

critique, 729triple, 860

Polymère unidimensionnel, 852Pompe à chaleur, 883, 885Pont

de Graetz, 512de Maxwell, 412de Wheatstone, 128résonance, 394

Portrait de phase, 96, 169, 178Positions de Gauss, 1101Postulat de Nernst-Planck, 843Potentiel, 911

créé par un dipôle, 990de gravitation, 928de référence, 126électrostatique, 921scalaire magnétique, 1099

Potentiomètre, 140Précession de Larmor, 1109Précision d’une mesure, 10Premier principe

de la thermodynamique, 774Presbytie, 341Presse hydraulique, 751Pression

d’un fluide au repos, 747de vapeur saturante, 861dynamique, 736Force de, 747Origine physique, 707cinétique, 707partielle, 712

Prigogine, xliiiPrincipe, 1

de l’équivalence, 780de l’action et de la réaction, 627zéro de la thermodynamique, 815(Troisième), 843d’Huygens, 234de l’inertie, 60

Prismeà réflexion totale, 226Condition d’émergence d’un, 226

Page 73: PHYSIQUE : une approche moderne

“prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 1470 — #1514�

1470 Index

Déviation par un, 225Minimum de déviation, 225

Probabilitéconditionnelle, 1171conjointe, 1171Densité de, 1172

Production d’entropie, 811Produit vectoriel, 6Projection d’image, 355Pseudo-période, 171Pseudo-vecteur, 1007, 1062Puissance

active, 416d’une force, 79électrique, 113instantanée, 415moyenne, 416musculaire, 80

Pulsationcyclotron, 1011de Larmor, 1427d’un oscillateur, 39

Punctumproximum, 339remotum, 339

Pupille, 339

Q

Quantique, 2Quantité de mouvement, 58Quantum

de charge électrique, 12de conductance, 1047d’énergie, 13de flux magnétique, 13de mouvement cinétique, 1105de résistance, 1047

Quark, 20

R

Raveau (Diagramme de), 884Rayleigh, xlRayon

de Bohr, 14classique de l’électron, 931lumineux, 218

Réactance, 406Réaction, 56Redressement, 507, 509Réductionisme, 703Réflexion

Lois de la, 219, 1020totale, 222

Référentiel, 32de Copernic, 657de Kepler, 657du centre de masse, 624du laboratoire, 656

géocentrique, 656galiléen, 59, 655inertiel, 61, 672terrestre, 657

Réfractionlimite, 222Lois de, 220, 1020

Réfractomètre, 226Refroidissement atomique, 719Réfrigérateur, 883, 885

à absorption, 889Regel de l’eau

(Expérience du), 865Régime

apériodique, 173critique, 174établi, 189, 382forcé, 189, 525, 526libre, 189pseudo-périodique, 171stationnaire, 107transitoire, 189, 382

Règledu bonhomme d’Ampère, 5du tire-bouchon de Maxwell, 5

Relation de Mayer, 788Relativité

galiléenne, 605générale, 1, 582, 610, 674Principe de relativité, 613restreinte, 1, 70, 98

Rendement d’une machine, 887Repère d’espace, 30Représentation

de Norton, 146de Thévenin, 146

Réseau, 112Résistance, 115, 406

d’entrée, 437de sortie, 434dynamique, 120négative, 470

Résistivité, 1034Résistor, 115Résonance, 384, 385, 389

de tension, 389d’intensité, 387

Rétroaction, 460Réversibilité, 695, 813Rosée (Courbe de), 730Rutherford, xliiRydberg, 14

S

Séisme, 398Sallen-Key (Cellule de), 498Saturation (Courbe de), 730Savart, xxxviiiSeconde, 3

Page 74: PHYSIQUE : une approche moderne

PCSIMPSIPTSI

1re ANNÉE

PHYSIQUEUne approche moderne

COURSEXERCICES CORRIGÉSOUTILS MATHÉMATIQUES

Cet ouvrage rassemble dans un seul volume tout le programme de physique de première année des trois filières des classes préparatoires aux grandes écoles : PCSI, MPSI et PTSI.

Les programmes de ces trois filières sont très proches et ne diffèrent que surquelques points précis indiqués dans le texte.• Les auteurs ont suivi la démarche pédagogique suggérée par le programme officiel, tant sur le contenu que sur la progression des enseignements, en illustrant chaque leçon par des exemples et des ordres de grandeur.• Le livre est découpé en 44 leçons, chacune étant suivie de questions de cours,d’exercices d’applications directes et de problèmes inspirés de ceux posés auxconcours, tous corrigés en détail.• L’ouvrage propose un rappel de l’essentiel des outils mathématiques de basenécessaires à l’enseignement de la physique en classes préparatoires.• Les 44 leçons se terminent par une section Ouvertures qui souligne l’actualitédu sujet et présente des éléments indispensables de physique moderne. L’ouvrage intéressera également les étudiants de première année des universitéset des classes préparatoires intégrées, ainsi que les candidats aux concours de l’enseignement secondaire. PH

YSIQUE

Une approche moderne

+ Strictement conforme au programme+ De nombreux exemples avec ordres de grandeur+ De nombreux exercices et problèmes corrigés+ Des ouvertures pour la préparation aux épreuves

d’ADS et de TIPE+ Des outils mathématiques de base

ISBN : 978-2-8041-6226-9

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www.deboeck.com

TOUT-EN-UN

Sous la direction de JOSÉ-PHILIPPE PÉREZ

CHRISTOPHE LAGOUTE • OLIVIER PUJOL • ÉRIC DESMEULES

Conformeau programme

José-Philippe Pérez, Professeur émérite de l’Université de Toulouse au UPS-OMP, IRAP.Christophe Lagoute, Professeur au Lycée Bellevue de Toulouse.Olivier Pujol, Maître de conférences à l’Université de Lille au LOA.Éric Desmeules, Professeur au Lycée Bellevue de Toulouse, en CPGE-MP.

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