Stanislas
T.D. 1Résolution des systèmes linéaires MPSI 1
2015/2016
� � �
n désigne un entier naturel non nul.
Partie I : Algorithme du pivot de Gauss
Soient (a1,1, . . . , a1,n, . . . , an,1, . . . , an,n, b1, . . . , bn) des nombres complexes. Le système (S )
(S )
a1,1x1 + . . .+ a1,nxn = b1a2,1x1 + . . .+ a2,nxn = b2
... =...
an,1x1 + . . .+ an,nxn = bn
est un système linéaire d'inconnues x1, . . . , xn.Définitions.∗ Un n-uplet (x1, . . . , xn) est solution de (S ) s'il est solution de chacune des lignes dusystème.∗ Deux systèmes sont dits équivalents s'ils ont le même ensemble de solutions.
Nous noterons L1, . . . , Ln les lignes du système et appellerons opérations élémentaires sur leslignes du système les transformations suivantes :∗ Pour i 6= j, l'échange des lignes Li et Lj , symbolisé par Li ↔ Lj .∗ Pour α 6= 0, la multiplication de la ligne Li par α, symbolisée par Li ← αLi.∗ Pour i 6= j et β ∈ C, l'ajout à Li de la ligne Lj multipliée par β, symbolisé par Li ←Li + βLj .
Théorème 1.Le système obtenu par application d'opérations élémentaires sur les lignes est équivalent ausystème initial.
Principe de l’algorithme du pivot de Gauss : On utilise les opérations élémentaires pour transfor-mer le système en un système échelonné, c'est-à-dire dans lequel le nombre d'inconnues décroîtstrictement quand on passe d'une ligne à la suivante.Algorithme :∗ On cherche une ligne où le coe�cient α de x1 est non nul et simple. Notons cette ligneLi0 .∗ On échange les lignes 1 et i0, L1 ↔ Li0 .∗ On utilise la nouvelle ligne L1 pour éliminer les occurrences de x1 dans les lignes suivantes,c'est la ligne pivot. Par exemple, si à la ligne L2 le coe�cient de x1 est a, on e�ectueL2 ← αL2 − aL1.∗ On reprend ensuite les étapes de l'algorithme en travaillant sur toutes les lignes sauf lapremière de manière à éliminer x2. . .∗ En�n, on exprime les solutions en fonction des variables libres.
Définition 1 (Rang).Le rang du système est le nombre d'équations non triviales du système échelonné.
Théorème 2 (Ensemble de solutions, P.A.).Soit S l'ensemble des solutions du système (S ).∗ Soit S = ∅, les équations sont incompatibles.∗ Soit S est un singleton, le rang est alors égal au nombre d'inconnues.∗ Soit S est in�ni, le rang est alors strictement inférieur au nombre d'inconnues.
Stanislas A. Camanes
T.D. 1. Résolution des systèmes linéaires MPSI 1
Exercice 1. Résoudre les systèmes suivants.
1. (S1)
2x+ 3y + z= 7x− y + 2z=−33x+ y − z= 6
. 2. (S2)
2x− y + 4z= 2x+ 2y − 3z= 6
4x+ 3y − 2z= 14.
3.{x+ y + z= 5 .
Exercice 2. (Paramètres) Soit a un réel. Déterminer en fonction des valeurs de a les solutions dessystèmes
1. (S1)
{ax+ y= 2x+ ay=−2
. 2. (S2)
x− ay + a2z= 2aax− a2y + az= 2aax+ y − a2z= 1− a
.
3. (S3){
(a− 1)x+ (a2 − 1)y + (a3 − 1)z= a2 + a− 2 .
Partie II : Géométrie
Exercice 3. (2 inconnues)
1. Résoudre le système (S1)
{2x+ 3y= 53x+ 2y= 10
. Représenter graphiquement l'ensemble des solutions
de ce système.
2. Soit (a, b, c, d, α, β) ∈ R6. En utilisant une interprétation géométrique, déterminer une condi-
tion nécessaire et su�sante sur (a, b, c, d) pour que le système (S2)
{ax+ by=αcx+ dy=β
possède une
unique solution.
Exercice 4. (3 inconnues) Résoudre chacun des systèmes suivants et interpréter géométriquementles résultats.
1. (S1)
x+ 2y − 3z=−13x− y + 2z= 7
5x+ 3y − 4z= 2.
2. (S2)
{2x− 3y + 5z= 8−x+ 2y + 4z=−11
.
3. (S3)
{2x− y + 5z= 4−2x+ y + 3z=−3
.
4. (S4)
{3x− 2y + 5z= 1
−6x+ 4y − 10z=−1.
5. (S5)
3x+ 2y + 7z= 3
9x+ 6y + 21z= 951x+ 34y + 119z= 51
.
Partie III : Pour aller plus loin
Exercice 5. Soit a un réel. Résoudre les systèmes suivants.
1. (S1)
2x− y + 3z − t= 1x+ y + z + t= 0
x− 4y − z − 4t= 3. 2. (S2)
x+ ay − az= 1
y + z= 02ax+ (1 + a)y − (1− a)z= 0
.
Exercice 6. Identi�er les réels λ pour lesquels le système d'équations suivant possède une solution.
(S )
2x1 − x2 + x3 + x4 = 1x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 2
x1 + 7x2 − 4x3 + 11x4 =λ
Exercice 7. Soient a, b, c trois réels. On étudie le système
(S )
ay + bx= ccx+ az= bbz + cy= a
1. Montrer que si le système (S ) possède une unique solution, alors a 6= 0.
2. Résoudre le système (S ) lorsque abc 6= 0.
Stanislas A. Camanes