SECTIONS PLANES
I PYRAMIDES et CONES de REVOLUTION
1° Pyramide
A
BC
D
S
I
Base
Arête
Hau
teur
Face latérale
Dans une pyramide :
♦ La base est un polygone
♦ Les faces latérales sont des triangles ayant un sommet commun appelé sommet de la pyramide
♦ La hauteur est la distance SI du sommet à la base.
♦ Une arête est un segment qui joint le sommet à un sommet du polygone de base
Sommet
Pyramide régulière.
A
B
C
D
H
S
♦ le polygone de base est régulier: triangle équilatéral, carré ……
♦ La hauteur issue du sommet passe par le centre du polygone
♦ Les arêtes latérales ont la même longueur
Dans une pyramide régulière
2° Cône de révolution
S
OA
B
Dans un cône de révolution :
♦ La base est un disque.
♦ La hauteur est la distance entre le sommet et la base ( SO ).
Base
Hau
teur
Génératrice
3° Volume d’une pyramide ou d’un cône
Le volume V d’une pyramide ou d’un cône est donné par la formule
3
hauteurbasedeaireV
Pour un cône de révolution de rayon r et hauteur h on obtient:
3
2hrV
4° Voir dans l’espace
F
GH
E
B
CD
A
ABCDEFGH est un cube d’arête 5 cm.1° Voir dans l’espace. Construire en vraie grandeur : Le carré EFGH Les triangles AEF et AEH. Les triangles AGF et AGH.2° Construire le patron de la pyramide AEFGH.
EF G
HEF
A
E H
A'
GH
A"
F G
A1
EF G
HA
A'
A"
A1
II SECTIONS PLANES
1° Section d’un cube ou d’un pave droit
a
d
a
b
a
b
Géospace
La section d’un cube ou d’un pavé droit par un plan parallèle à une face ou à une arête est un rectangle.
2° Section d’un cylindre de révolution
A
B
a
c
O
A
B
a
c
O
La section d’un cylindre de révolution
par un plan perpendiculaire à son axe est un disque
La section d’un cylindre de révolution
par un plan parallèleà son axe est un rectangle
a) b)
Géospace
3° Section d’une pyramide par un plan parallèle à la base.
♦ La section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base est un polygone de même nature que le polygone de base.
♦ On obtient un tronc de pyramide et une pyramide, qui est une réduction de la pyramide initiale.
Géospace
Tronc depyramide
Pyramide en réduction
4° Section d’un cône par un plan parallèle à la base.
Z'
Z'
♦ La section d’un cône par un plan parallèle à sa base est un disque.
♦ On obtient un tronc de cône et un cône, qui est une réduction du cône initial
Tronc de cône
Cône en réduction
III AGRANDISSEMENT REDUCTION
1° Définition
Si on multiplie TOUTESles dimensions d’un solidepar un même nombre k >1
alors on obtient un agrandissement de ce
solide.
Si on multiplie TOUTESles dimensions d’un solidepar un même nombre k < 1
alors on obtient une réduction de ce solide.
k < 1k > 1
REDUCTION AGRANDISSEMENT
2° Effets d’un agrandissement sur les aires et les volumes.
AB
CD
E
F
GH
AB
CD
EF
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
C C1 C2
Arête en cm 1 2 3
Aire de base en cm2 1
Volume en cm3 1
les longueurs sont multipliées par :
les aires sont multipliées par :
les volumes sont multipliées par :
De C à C1
De C à C2
C C1C2
a) Aires et volumes
b) Coefficient
4 9
8 27
2 4 8
3 9 27
= 22 = 23
= 32 = 33
AB
CD
EF
GH
A BCD
E
F
GH
A BCD
E
F
GH
3° Effets d’une réduction sur les aires et les volumes.
C C3 C4
a) Aires et volumes C C3 C4
Arête en cm 1 0,8 0,5
Aire de base en cm2 1
Volume en cm3 1
b ) Coefficient
les longueurs sont multipliées par :
les aires sont multipliées par :
les volumes sont multipliées par :
De C à C3 0,8
De C à C2 0,5
0,64 0,25
0,512 0,125
0,64 0,512
0,25 0,125
= 0,8 2 = 0,8 3
= 0,5 2 = 0,5 3
4° Règle.
Si au cours d’un agrandissement ou d’une réduction,
toutes les dimensions sont multipliées par un même nombre kAlors : ♦ les aires sont multipliées par k2
♦ les volumes sont multipliés par k3
5° Exercice résolu
A
B
C
S
B'
On considère la pyramide de sommet S, de hauteur [SB ] et de base le triangle ABC, rectangle en B.SB = 8,1 cm AB = 5,4 cm, BC = 7,2 cm 1° Calculer l’aire du triangle ABC. En déduire le volume de la pyramide SABC.2° On coupe la pyramide SABC par un plan parallèle à la base passant par le point B’. Il coupe [SA] en A’ et [SC] en C’. La pyramide SA’B’C’ est une réduction de la pyramide SABC SB’= 6,3 cm. Calculer le coefficient de réduction k. Dessiner la section en vrai grandeur après avoir calculé ses dimensions.3° En utilisant le coefficient calculer : a) l’aire du triangle A’B’C’ b) le volume de la pyramide SA’B’C’.
1° a) Aire du triangle ABC
AABC= 44,192
2,74,5
2
BCAB
AABC= 19,44 cm²
b) Volume de la pyramide SABC
V SABC = 488,523
1,844,19
3
hauteurbase de Aire
V SABC = 52,488 cm3
A
B
C
S
B'C’
A’
2° a) Calcul du coefficient de réduction k
Pour calculer le coefficient on divise : une dimension de l’objet final par la dimension correspondante de l’objet initial.
9
7
99
79
81
63
1,8
3,6
SABC pyramide la dehauteur
C'B'SA' pyramide la dehauteur k
9
7k
b) Dimensions de la section
B’C’ = k × BC = cm 6,52,79
7
A’B’ = k × AB = cm 2,44,59
7
c) dessin de la section.
B’C’
A’ La section A’B’C’ est donc un triangle rectangledont les côtés de l’angle droit mesurent 4,2 cm et 5,6 cm
4,2 cm
5,6 cm
4° a) Aire du triangle A’B’C’
A A’B’C’ = k² × AABC = ²cm 76,1144,199
72
b) Volume de la pyramide réduite SA’B’C’
V SA’B’C’ = k3 × VSABC =
33
cm 696,24488,529
7
IV SPHERE et BOULE
Sphère Boule
( creuse ) ( pleine )
1° a) Définition.
La sphère de centre O et de rayon R est l’ensemble des points de l’espace dont la distance à O est égale à R
La boule de centre O et de rayon R est l’ensemble des points de l’espace dont la distance à O est inférieure ou égale à R
OA
B [AB] est un diamètre .
b) Aire et volume
Nous admettrons les deux formules suivantes.
a) Aire d’une sphère de rayon R
A = 4πR²b) Volume d’une boule de rayon R
3R3
4V Si la circonférence est fière
D'être égale à deux Pierres,Le disque est tout heureuxD'être égal à Pierre II. Le volume de toute Terre, De toute sphère Qu'elle soit de pierre ou de boisEst égal à quatre tiers de Pierre III.
Petit poème
2° Section d’une sphère ou d’une boule par un plan
La section d’une sphère par un plan est un cercle.
La section d’une boule par un plan est un disque.
3° Exercice résolu : Page 267 n°18
Z
I
M
h
Z' N
r
1° Calcul de hDans le triangle IZM rectangle en Z avec le théorème de Pythagore on a :IZ² + ZM² = IM ² h² + 12² = 16² IM est le rayon soit de la sphère.h² = 16² - 12² h² = 112
74716716h
2° Calcul de r
Dans le triangle IZ’N rectangle en Z’ avec le théorème de Pythagore on a :IZ’² + Z’N² = IN ² 5² + r² = 16² IN est le rayon soit de la sphère.r² = 16² - 5² r² = 231
cm 15,20r
231r
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