Cours dโAsservissement Linรฉaire et Rรฉgulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O
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Sommaire Introduction Gรฉnรฉrale ................................................................................................................. 3
Chapitre1 : Rappels sur la transformรฉe de Laplace .................................................................... 5
1. Introduction : ............................................................................................................... 5
2. Dรฉfinition : ................................................................................................................... 5
3. Propriรฉtรฉs fondamentales de la transformation de Laplace: ........................................ 5
4. Transformรฉe de Laplace inverse : ................................................................................ 7
5. Transformรฉes de Laplace de quelques signaux usuels : .............................................. 7
7. Exemple 1: ................................................................................................................... 9
8. Exemple2 : ................................................................................................................. 10
Chapitre 2 : Introduction aux asservissements ......................................................................... 11
1. Introduction : ............................................................................................................. 11
2. Dรฉfinition : ................................................................................................................. 11
3. Notion de systรจme, Boucle Ouverte (BO), Boucle Fermรฉe (BF) : ............................ 11
4. Structure dโun systรจme asservi .................................................................................. 13
5. Exemple de rรฉgulation automatique du niveau dโeau dans une cuve avec fuite ..... 13
6. Concepts utiles ร lโรฉtude des systรจmes asservis : ...................................................... 14
Chapitre 3 : Modรฉlisation des systรจmes asservis linรฉaires ...................................................... 17
1. Introduction : ............................................................................................................. 17
2. Exemples de modรฉlisation : ....................................................................................... 17
3. Notion de Fonction De Transfert : ............................................................................. 21
4. Schรฉma fonctionnels : ................................................................................................ 22
5. Exemple : ................................................................................................................... 27
6. Les diagrammes de fluence : ..................................................................................... 28
7. Exemple : ................................................................................................................... 30
Chapitre 4 : Performances des systรจmes linรฉaires .................................................................... 31
1. Introduction ............................................................................................................... 31
2. Rรฉponse temporelle des systรจmes linรฉaire : .............................................................. 31
3. Rรฉponse frรฉquentielle des systรจmes linรฉaires : ......................................................... 37
3.1 Diagramme de BODE: ........................................................................................... 37
3.2 Lieu et diagramme de NYQUIST .......................................................................... 42
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2
3.3 Abaques de Black Nichols : ....................................................................................... 44
Chapitre 5 : Stabilitรฉ dโun asservissement ............................................................................... 46
1. Introduction : ............................................................................................................. 46
2. Enoncรฉ du critรจre de stabilitรฉ : .................................................................................. 46
3. Analyse de Stabilitรฉ : ................................................................................................. 47
3.1 Critรจre mathรฉmatique ............................................................................................. 47
3.2 Critรจre algรฉbrique de Routh: .................................................................................. 48
3.3 Critรจre gรฉomรฉtrique de Nyquist : ........................................................................... 51
3.3.3 Contour de Nyquist ................................................................................................. 51
3.4 Les marges de stabilitรฉ : .................................................................................................... 54
4. Exemples : ............................................................................................................................ 56
Chapitre 6 : Prรฉcision d'un systรจme asservi ............................................................................. 57
1. Introduction : ............................................................................................................. 57
2. Erreur statique ou erreur de position : ....................................................................... 57
3. Erreur de vitesse ou erreur de trainage: ..................................................................... 58
5. Tableau rรฉcapitulatif: ................................................................................................. 59
6. Exemple 1: ................................................................................................................. 60
7. Exemple 2 : ................................................................................................................ 61
Chapitre 7 : Lieu des racines (Lieu dโEVANS) ....................................................................... 62
1. Introduction: .............................................................................................................. 62
3. Rรจgles de tracรฉ du lieu dโEvans ................................................................................. 63
4. Exemple1 ................................................................................................................... 64
5. Exemple 2 : ................................................................................................................ 66
Chapitre8 : Correction des systรจmes linรฉaires asservis ............................................................ 67
1. Cahier de charge dโun asservissement : ..................................................................... 67
2. Principe gรฉnรฉral de la correction dโun systรจme : ....................................................... 67
3. Action correctives รฉlรฉmentaire (P,I,D) : .................................................................... 67
3.1 Correcteur proportionnel : ...................................................................................... 68
3.2 Correcteur intรฉgral : ............................................................................................... 68
3.3 Correcteur ร action dรฉrivรฉe ......................................................................................... 69
4 Action proportionnelle intรฉgrale Correcteur ร retard de phase .................................. 71
5 Action proportionnelle dรฉrivรฉe โCorrecteur ร avance de phase ................................ 74
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Introduction Gรฉnรฉrale
Lโobjectif du cours est de donner aux รฉtudiants une bonne connaissance des mรฉthodes classiques d'รฉtude des boucles d'asservissement, la modรฉlisation d'un processus physique, l'analyse des performances en boucle ouverte et fermรฉe ainsi que la synthรจse des correcteurs.
La prรฉsentation de cet polycopier respect lโordre chronologique dans lequel la discipline est en gรฉnรฉral abordรฉe, et se compose de huit chapitres.
Le premier chapitre est consacrรฉe aux quelque rappels nรฉcessaires sur la Transformรฉe de Laplace.
Le chapitre 2 prรฉsente une introduction sur les asservissements il contient lโensemble des notions essentielles ร lโรฉtude des systรจmes asservis : intรฉrรชts, notion de systรจmes en Boucle Ouverte (BO) et en Boucle Fermรฉe (BF), les asservissements, la reprรฉsentation gรฉnรฉrale dโun asservissement, les rรฉgulateurs et les systรจmes suiveurs.
Le troisiรจme chapitre 3 concerne la modรฉlisation des systรจmes asservis linรฉaires, modรจles mathรฉmatiques : รquations diffรฉrentielles, pรดles et zรฉros, les rรฉponses frรฉquentielles (modรฉliser des systรจmes รฉlectriques, mรฉcaniques (en translation et rotation), thermiques, fluidiques, et des systรจmes mixtes, expliquer les propriรฉtรฉs: linรฉaritรฉ, la causalitรฉ, stabilitรฉ ; La fonction de transfert, diagrammes fonctionnels et algรจbres des diagrammes fonctionnels.
On รฉtudie en chapitre 4 les performances des systรจmes linรฉaires : analyse temporelle des systรจmes du 1er ordre et du 2e ordre, performances temporelles: temps de montรฉe, temps de rรฉponse, constante du temps, dรฉpassement, le temps de stabilisation, analyse frรฉquentielle, diagrammes de Bode, de Nyquist et de Black
Le chapitre 5 est consacrรฉ a lโรฉtude de la Stabilitรฉ (dรฉfinition, explication, critรจre de Routh, Table de Routh, exemples dโรฉvaluation de la stabilitรฉ, les cas particuliers, exemples), ainsi que lโรฉtude des critรจres de stabilitรฉ graphiques (Bode ,Nyquit et black) a travers le critรจre de Revers (marges de gain et de phases).
Dans le chapitre 6, la prรฉcision dโun systรจme asservi est dรฉtaillรฉe, expression de lโerreur statique, lโerreur en rรฉgime permanent, la classe ou le type dโun asservissement (classes 0, 1 et 2), calcul des erreurs correspondant aux entrรฉes canoniques, erreurs de position, de traรฎnage et dโaccรฉlรฉration, tableau rรฉcapitulatif et conclusions.
Le chapitre 7 consacrรฉ au lieux des Racines dรฉtail de la mรฉthode de construction du lieu de racines, principe de la mรฉthode (Rรจgles pratiques pour la construction et exploitation du lieu des racines, Exemples), rรจgles de construction du lieu (Conditions des angles et des modules, Le nombre des branches, Axe de symรฉtrie, Points de dรฉpart et d'arrivรฉe, Directions asymptotiques, parties de l'axe rรฉel appartenant au lieu, points de branchement, Autres propriรฉtรฉs du lieu des racines), application de la mรฉthode sur quelques exemples.
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Pour finir, le huitiรจme chapitre cโest des exemples de projet de synthรจse (synthรจse de correcteurs ร avance ou retard de phase, synthรจse des rรฉgulateurs (les actions Proportionnelle, Intรฉgrale et Dรฉrivรฉe), faire apparaitre leurs influences sur les rรฉponses et lโamรฉlioration des performances des systรจmes. Illustration par des exemples.
Ce polycopiรฉ a รฉtรฉ conรงu avec le souci de la pรฉdagogie, je formule donc le souhait que tout รฉtudiant en ayant fait lโacquisition puisse y trouver les clรฉs de rรฉussite.
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Chapitre1 : Rappels sur la transformรฉe de Laplace
1. Introduction :
La transformation de Laplace est une opรฉration intรฉgrale qui permet de transformer une fonction dโune variable rรฉelle en une fonction dโune variable complexe. Par cette transformation, une รฉquation diffรฉrentielle linรฉaire peut รชtre reprรฉsentรฉe par une รฉquation algรฉbrique. Elle permet aussi de reprรฉsenter des fonctions particuliรจres (distribution de Heaviside, distribution de Dirac, etc.) de maniรจre trรจs รฉlรฉgante. Ce sont ces possibilitรฉs qui rendent la transformation de Laplace intรฉressante et populaire auprรจs des ingรฉnieurs. Cette transformation a donnรฉ lieu ร la technique du calcul opรฉrationnel ou calcul symbolique qui facilite la rรฉsolution des รฉquations diffรฉrentielles linรฉaires qui reprรฉsenteront les systรจmes que nous allons รฉtudier.
2. Dรฉfinition :
Considรฉrons une fonction rรฉelle dโune variable rรฉelle s(t) telle que s(t)=0 pour t<0.
On dรฉfinie sa transformรฉe de Laplace L(s(t)) comme la fonction S de la variable complexe P
Comme suit ๐๐(๐๐) = โซ ๐ ๐ (๐ก๐ก)๐๐โ๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก+โ0 (1.1)
3. Propriรฉtรฉs fondamentales de la transformation de Laplace:
Les propriรฉtรฉs suivantes permettent de calculer facilement (sans utiliser la dรฉfinition de la transformรฉe de Laplace) les transformรฉes de Laplace de certains fonctions.
a. Linรฉaritรฉ :
Soient f, g deux fonctions, ๐ผ๐ผ, ๐ฝ๐ฝ, ๐๐ des constants rรฉels
(๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ(๐ก๐ก) + ๐ฝ๐ฝ๐ฝ๐ฝ(๐ก๐ก)) = ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ(๐ผ๐ผ(๐ก๐ก)) + ๐ฝ๐ฝ๐ผ๐ผ(๐ฝ๐ฝ(๐ก๐ก)) (1.2)
En particulier ๐ผ๐ผ(๐ผ๐ผ(๐ก๐ก) + ๐ฝ๐ฝ(๐ก๐ก)) = ๐ผ๐ผ(๐ผ๐ผ(๐ก๐ก)) + ๐ผ๐ผ(๐ฝ๐ฝ(๐ก๐ก)) (1.3)
๐ผ๐ผ(๐๐๐ผ๐ผ(๐ก๐ก)) = ๐๐๐ผ๐ผ(๐ผ๐ผ(๐ก๐ก)) (1.4)
b. Transformation de Laplace dโune dรฉrivรฉe : ๐ผ๐ผ(๐๐๐๐(๐๐)
๐๐๐๐) = ๐๐๐๐(๐๐) โ ๐ผ๐ผ(0) (1.5)
De mรชme, la transformรฉe de Laplace de sa dรฉrivรฉe n-iรจme est :
๐ผ๐ผ ๏ฟฝ๐๐๐๐๐ผ๐ผ(๐ก๐ก)
๐๐๐ก๐ก๐๐ ๏ฟฝ = ๐๐๐๐๐๐(๐๐) โ ๏ฟฝ ๐๐2๐๐โ๐๐ ๐๐๐๐โ๐๐โ1๐ผ๐ผ(0)๐๐๐ก๐ก๐๐โ๐๐โ1
2๐๐
๐๐=๐๐+1
(1.6)
Exemple : pour la deuxiรจme dรฉrivรฉe (n=2)
๐ผ๐ผ ๏ฟฝ๐๐2๐ผ๐ผ(๐ก๐ก)
๐๐๐ก๐ก2 ๏ฟฝ = ๐๐2๐๐(๐๐) โ ๐๐๐ผ๐ผ(0) โ๐๐๐ผ๐ผ(0)
๐๐๐ก๐ก (1.7)
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NB :
โข Il faut noter que lโon trouve dans ces expressions les conditions initiales, c'est-ร -dire les valeurs en t=0 des dรฉrivรฉes successives dโordres infรฉrieurs ร lโordre de dรฉrivation considรฉrรฉ
โข Dans le cas oรน ces condition initiales sont nulles, ce qui a priori trรจs souvent le cas on peut retenir simplement les relations suivantes :
๐๐๐๐๐๐๐๐
โ ๐๐๐๐(๐๐) ; ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐(๐๐)
c. Transformation de Laplace dโune intรฉgrale : ๐ผ๐ผ(โซ ๐ผ๐ผ(๐ก๐ก)๐๐๐ก๐ก) = ๐น๐น(๐๐)
๐๐ (1.8)
d. Changement dโรฉchelle : Soit ๐๐ โ โ avec ๐๐ โ 0
๏ฟฝ๐ผ๐ผ๏ฟฝ๐ผ๐ผ(๐๐๐ก๐ก)๏ฟฝ = 1
๐๐๐๐ ๏ฟฝ๐๐
๐๐๏ฟฝ
๐ผ๐ผ(๐ผ๐ผ ๏ฟฝ๐๐๐๐
๏ฟฝ = ๐๐๐๐(๐๐๐๐) (1.9)
e. Thรฉorรจme de retard :
Considรฉrons la fonction๐ผ๐ผ(๐ก๐ก โ ๐๐), autrement dit la fonction ๐ผ๐ผ(๐ก๐ก) ร laquelle on a fait subir un changement dโorigine des temps (figure1.1), autrement dit un retard dโun temps ๐๐
๐ผ๐ผ(๐ผ๐ผ(๐ก๐ก โ ๐๐)) = ๐๐(๐๐)๐๐โ๐๐๐๐ (1.10)
Dรฉmonstration :
๐ผ๐ผ(๐ผ๐ผ(๐ก๐ก)) = ๏ฟฝ ๐ผ๐ผ(๐ก๐ก)๐๐โ๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก (1.11)+โ
0
Effectuant dans cette intรฉgrale le changement de variable ๐ข๐ข = ๐ก๐ก + ๐๐
๐ผ๐ผ๏ฟฝ๐ผ๐ผ(๐ก๐ก โ ๐๐)๏ฟฝ = ๏ฟฝ ๐ผ๐ผ(๐ข๐ข โ ๐๐)๐๐โ๐๐(๐ข๐ขโ๐๐)๐๐๐ข๐ข+โ
๐๐ (1.12)
En remarquant que la fonction๐ผ๐ผ(๐ข๐ข โ ๐๐) = 0 ๐๐๐๐๐ข๐ข๐๐ ๐ก๐ก < ๐๐ , on peut, sans changer la valeur de lโintรฉgrale, lui choisir une borne dโintรฉgration infรฉrieure plus faible que ๐๐
t ๐๐ 0 t 0
๐ผ๐ผ(๐ก๐ก โ ๐๐) ๐ผ๐ผ(๐ก๐ก)
Figure1.1 : Reprรฉsentation temporelle dโun signal retardรฉ
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๐๐(๐๐) = ๏ฟฝ ๐ผ๐ผ(๐ข๐ข โ ๐๐)๐๐โ๐๐๐ข๐ข๐๐๐๐๐๐๐๐๐ข๐ข+โ
0 (1.13)
๐๐(๐๐) = ๐๐๐๐๐๐ ๏ฟฝ ๐ผ๐ผ(๐ข๐ข โ ๐๐)๐๐โ๐๐๐ข๐ข๐๐๐ข๐ข (1.14)+โ
0
Par dรฉfinition โซ ๐ผ๐ผ(๐ข๐ข โ ๐๐)๐๐โ๐๐๐ข๐ข๐๐๐ข๐ข +โ0 est la transformรฉe de Laplace de ๐ผ๐ผ(๐ข๐ข โ ๐๐) dโoรน
๐ผ๐ผ๏ฟฝ๐ผ๐ผ(๐ก๐ก โ ๐๐)๏ฟฝ = ๐๐โ๐๐๐๐๐๐(๐๐) (1.15)
f. Thรฉorรจme de la valeur initiale : lim
๐๐โ0+๐ผ๐ผ(๐ก๐ก) = ๐ผ๐ผ(0+) = lim
๐๐โ+โ๐๐๐๐(๐๐) (1.16)
g. Thรฉorรจme de la valeur finale :
lim๐๐โโ
๐ผ๐ผ(๐ก๐ก) = lim๐๐โ0
๐๐๐๐(๐๐) (1.17)
4. Transformรฉe de Laplace inverse :
De mรชme quโune fonction du temps peut avoir une transformรฉe de Laplace, il est possible ร partir dโune fonction ๐๐(๐๐) de trouver son original, autrement dit la transformรฉe de Laplace inverse :
๐ผ๐ผ(๐ก๐ก) = โซ ๐๐(๐๐)๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก+โโโ (1.18)
5. Transformรฉes de Laplace de quelques signaux usuels : 5.1 Echelon unitรฉ :
Lโรฉchelon unitรฉ (figure 1.2) est la fonction ๐ข๐ข(๐ก๐ก) telle que :
๐ข๐ข(๐ก๐ก) = ๏ฟฝ1 ๐ก๐ก โฅ 00 ๐ก๐ก < 0
On a alors ๐๐(๐๐) = ๐ผ๐ผ๏ฟฝ๐ข๐ข(๐ก๐ก)๏ฟฝ = 1 ๐๐๏ฟฝ (1.19)
Compte tenu de la linรฉaritรฉ de la transformรฉe de Laplace, tout รฉchelon (non unitaire) dโamplitude A, aura pour transformรฉe de Laplace
1
0 ๐ก๐ก
๐ข๐ข(๐ก๐ก)
๐๐๐น๐น๐ฝ๐ฝ๐ข๐ข๐๐๐๐ 1.2 : Echelon unitรฉ
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๐๐(๐๐) = ๐ผ๐ผ๏ฟฝ๐ผ๐ผ(๐ก๐ก)๏ฟฝ = ๐ผ๐ผ๏ฟฝ๐ด๐ด๐ข๐ข(๐ก๐ก)๏ฟฝ = ๐ด๐ด ๐๐๏ฟฝ (1.20)
5.2 Rampe ou รฉchelon de vitesse :
Il sโagit en rรฉalitรฉ de lโintรฉgrale de la fonction ๐ข๐ข(๐ก๐ก) prรฉcรฉdente, on la note gรฉnรฉralement ๐ฃ๐ฃ(๐ก๐ก), telle que ๐ฃ๐ฃ(๐ก๐ก) = ๐ก๐ก๐ข๐ข(๐ก๐ก) (figure 1.3)
๐ฃ๐ฃ(๐ก๐ก) = ๏ฟฝ๐ก๐ก ๐ก๐ก > 00 ๐ก๐ก โค 0
On a รฉvidement ๐๐(๐๐) = ๐ผ๐ผ(๐ฃ๐ฃ(๐ก๐ก)) = 1๐๐2๏ฟฝ (1.21)
5.3 Impulsion Unitaire :
En dรฉrivant la fonction ๐ข๐ข(๐ก๐ก), on obtient une fonction habituellement notรฉe ๐ฟ๐ฟ(๐ก๐ก) qui est appelรฉ impulsion unitaire ou impulsion de Dirac
๐ฟ๐ฟ(๐ก๐ก) = ๐๐๐ข๐ข(๐๐)๐๐๐๐
(1.22)
Il sโagit dโune fonction nulle partout sauf pour ๐ก๐ก = 0 ou elle a une valeur infinie
ฮ(๐๐) = ๐ผ๐ผ๏ฟฝ๐ฟ๐ฟ(๐ก๐ก)๏ฟฝ = 1 (1.23)
(๐๐ โ 0) t 0 ๐๐
1๐๐
๐ฟ๐ฟ(๐ก๐ก)
t
๐ฃ๐ฃ(๐ก๐ก) = ๐ก๐ก
0
๐ฃ๐ฃ(๐ก๐ก)
Figure 1.4 : Modรจle de lโimpulsion de Dirac
Figure 1.3 : Rampe
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5.4 Signal sinusoรฏdal
On considรจre un signal s(๐ก๐ก) = sin(๐๐๐ก๐ก + ๐๐) pour ๐ก๐ก โฅ 0
๐ ๐ (๐๐) = ๐ผ๐ผ๏ฟฝ๐ ๐ (๐ก๐ก)๏ฟฝ =๐๐๐ ๐ ๐น๐น๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐
๐๐2 + ๐๐2 (1.24)
On retiendra essentiellement les deux rรฉsultats suivants :
Pour ๐ ๐ (๐ก๐ก) = sin ๐๐๐ก๐ก โ ๐๐(๐๐) = ๐๐๐๐2+๐๐2
Et pour ๐ ๐ (๐ก๐ก) = cos ๐๐๐ก๐ก โ ๐๐(๐๐) = ๐๐๐๐2+๐๐2
6. Signaux quelconques :
Face ร un signal quelconque, on peut certes entreprendre le calcul direct de la transformรฉe de Laplace. Ce calcul peut parfois รชtre relativement dรฉlicat. On peut aussi se rรฉfรฉrer ร une table de transformรฉes de Laplace telle que celle fournie en annexe .
7. Exemple 1:
Soit r(t) donnรฉ graphiquement
A
ฯ1 ฯ2 t
1) Calculer ๐ผ๐ผ{๐๐(๐ก๐ก)}.
2) Quelle est lโexpression de ๐ผ๐ผ{๐๐(๐ก๐ก)} dans le cas particulier ฯ1 = 0 et ฯ2 = ฯ.
3) Montrรฉ que si ๐ด๐ด = 1๐๐ et si ฯ โ 0 alors ๐ผ๐ผ{๐๐(๐ก๐ก)} = ๐ผ๐ผ{๐ฟ๐ฟ(๐ก๐ก)} = 1
Solution :
r(t) r(t)
A- ๐๐1(๐ก๐ก)
-A- ๐๐2(๐ก๐ก)
๐๐2 ๐๐2 ๐๐1 ๐๐1
๐๐(๐ก๐ก)
๐ด๐ด
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1) ๐ผ๐ผ[๐๐(๐ก๐ก)] = ๐ผ๐ผ[๐๐1(๐ก๐ก)] + ๐ผ๐ผ[๐๐2(๐ก๐ก)] = ๐ด๐ด๐๐
๐๐โ๐๐1๐๐ โ ๐ด๐ด๐๐
๐๐โ๐๐2๐๐ (1.26)
2) si ๐๐1 = 0 et ๐๐2 = ๐๐ alors ๐ ๐ (๐๐) = ๐ด๐ด 1โ๐๐โ๐๐๐๐
๐๐ (1.27)
3) si ๐ด๐ด = 1๐๐ alors ๐ ๐ (๐๐) = 1โ๐๐โ๐๐๐๐
๐๐๐๐ (1.28)
Lorsque ๐๐โ0, ๐๐(๐ก๐ก) โ ๐ฟ๐ฟ(๐ก๐ก)
๐๐ โ 0 ; ๐๐โ๐๐๐๐ โ 1 โ ๐๐๐๐ โ R(p) = 1โ(1โฯp)ฯp
= ฯpฯp
= 1, donc ๐ผ๐ผ[๐ฟ๐ฟ(๐ก๐ก)] = 1.
8. Exemple2 :
Soit le circuit suivant :
i(t) k V=cte et ร lโรฉtat initial, C est chargรฉe ร q
1) Ecrire les รฉquations qui gouvernent le circuit.
V R 2) Calculer les valeurs initiales et finales de i(t)
+ C commentรฉ vos rรฉsultats.
q
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Chapitre 2 : Introduction aux asservissements
1. Introduction :
Lโautomatique est la discipline qui dโune maniรจre gรฉnรฉrale traite la commande des systรจmes. Elle revรชt donc un caractรจre trรจs important dans le domaine industriel auquel elle apporte ร la fois des solutions, des mรฉthodes dโรฉtude ainsi que des dรฉmarches systรฉmatiques dโanalyse.
2. Dรฉfinition :
Rรฉaliser un systรจme automatique cโest effectuer une ou plusieurs opรฉrations sans lโintervention de lโhomme.
Exemple : Machine ร laver automatique
Pilotage automatique dโavion
Notons que ces systรจmes copient le plus souvent le comportement de lโhomme dans les trois phases essentielles de son travail :
1รจre phase : Observation
2รจme phase : rรฉflexion
3รจme phase : action
Puis retour ร la phase essentielle de son travail
Exemple : remplir une cuve ร hauteur donnรฉe de lโeau
Les trois phases sont alors :
- Observation du niveau dโeau actuel dans la cuve. - Comparaison avec le niveau souhaitรฉ. - Action sur le robinet (ouverture ou fermeture)
Puis retour ร une phase dโobservation.
Ce retour constitue lโun des notions fondamentales de lโautomatique, on dit encore que lโon a rรฉalisรฉ un bouclage (appelรฉ en anglais feedback).
3. Notion de systรจme, Boucle Ouverte (BO), Boucle Fermรฉe (BF) :
Lโautomatique peut sโappliquer ร tout ce qui bouge, fonctionne, se transforme, lโobjet dโapplication est appelรฉ systรจme.
Un systรจme se caractรฉrise par ses grandeurs dโentrรฉes et de sorties. Les grandeurs dโentrรฉes sont les grandeurs qui agissent sur le systรจme, il existe deux types :
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Commandes : celles que lโon peut maitriser
Perturbations : celles que lโon ne peut pas maitriser
Un systรจme est dit en boucle ouverte (BO) lorsque la commande est รฉlaborรฉe sans lโaide de connaissances des grandeurs de sorties : il n y a pas de retour (feedback).
Dans un systรจme en boucle fermรฉe (BF) la commande est alors fonction de la consigne et de la sortie, pour observer la grandeur de sortie on utilise des capteurs, cโest lโinformation de ces capteurs qui vas permettent dโรฉlaborer la commande.
Systรจme en BO
Entrรฉe=Consigne
Systรจme en BF
Rรฉgulation et asservissement :
Parmi les systรจmes automatiques on distingue :
a) Les systรจmes logiques:
Toutes les entrรฉes et les sorties sont reprรฉsentรฉes par des variables logiques (signal binaire) chaque grandeur ne connait que deux รฉtats diffรฉrents on ne tient pas compte des rรฉgimes transitoires : allumรฉ/รฉteint, ouvrir/fermรฉeโฆ ces รฉtats sont modรฉlisรฉs par des 0/1
b) Les systรจmes asservis
Un systรจme asservi est un systรจme bouclรฉ dans lequel la grandeur de retour est comparรฉe ร la grandeur dโentrรฉe par รฉlaboration dโun signal, appelรฉ รฉcart. Ce signal รฉcart est adaptรฉ et amplifiรฉ afin de commander la partie opรฉrative.
A retenir, un systรจme asservi est un systรจme :
โข A amplification de puissance โข En boucle fermรฉe โข Nous prenons en compte les rรฉgimes transitoires, les grandeurs dโentrรฉes et de
sorties ne sont plus binaires elles sont analogiques.
Parmi les systรจmes asservis, on distingue : systรจmes rรฉgulateurs et systรจmes suiveurs :
Entrรฉe = Commande
Commande
Systรจme Sortie
Elaboration de la commande
Systรจme Sortie
Figure 2.1 : Systรจme en boucle ouverte (BO) et systรจme en boucle fermรฉe (BF)
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On parle dโun systรจme rรฉgulateur lorsque lโon dรฉsire que la sortie prenne une valeur prรฉcise et รฉgale ร une consigne dโentrรฉe fixe.
On parle dโun systรจme suiveur lorsque lโon dรฉsire que la sortie suive une consigne dโentrรฉe qui varie au cours du temps et dont lโรฉvolution nโest pas toujours connue ร lโavance.
4. Structure dโun systรจme asservi
Un systรจme asservi est un systรจme bouclรฉ dont la structure gรฉnรฉrale est donnรฉe comme suit :
Consigne Commande rรฉponse
5. Exemple de rรฉgulation automatique du niveau dโeau dans une cuve avec fuite
Lโouverture ou la fermeture de la vanne est commandรฉe par la position relative du flotteur
Le fonctionnement de cette rรฉgulation peut รชtre dรฉcrit par le schรฉma gรฉnรฉral ci-dessous (Figure 2.4)
Rรฉflexion
Systรจme
Observation
Chaine de retour
Chaine dโaction
Eau
Vanne
Flotteu
Figure2.2 : Structure dโun systรจme asservi
Figure 2.3 : Rรฉgulation automatique du niveau dโeau dans une cuve avec fuite
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Lโentrรฉe reprรฉsente le niveau dโeau dรฉsirรฉ, la sortie est le niveau dโeau rรฉel, lโaction se fait aprรจs comparaison du niveau dรฉsirรฉ au niveau rรฉel.
On reprรฉsente cet asservissement habituellement par un schรฉma appelรฉ schรฉma fonctionnel ou schรฉma bloc
a) Le rรฉgulateur (comparateur + correcteur) รฉlabore lโordre de commande ร partir du signal dโerreur ๐๐ : cโest lโorgane intelligent.
b) Lโactionneur ou lโorgane dโaction apporte en gรฉnรฉrale la puissance nรฉcessaire ร la rรฉalisation de la tache cโest lโorgane musclรฉ (la vanne).
c) Le systรจme dynamique รฉvolue selon lโaction suivant des lois physiques qui lui sont propre ; la sortie est en gรฉnรฉrale une grandeur physique qui caractรฉrise la tache ร rรฉaliser, en plus cette sortie peut fluctuer en fonction des perturbations imprรฉvisible.
d) Le capteur dรฉlivre ร partir de la sortie une grandeur caractรฉrisant lโobservation
(prรฉcision du capteur implique la prรฉcision du systรจme).
6. Concepts utiles ร lโรฉtude des systรจmes asservis :
Dans lโanalyse des systรจmes asservis nous distinguons lโaspect statique et lโaspect dynamique
Chaine directe
(Dโaction)
Chaine de retour
(Observation)
Entrรฉe Sortie
Comparaison
Correcteur
๐๐ ๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐๐๐ข๐ข๐๐
Ecart
+
-
Entrรฉe
Consigne Actionneur Systรจme
dynamique
Sortie
Capteur
Rรฉgulateur
Commande
Perturbation
Figure 2.4 : Schรฉma gรฉnรฉrale de lโasservissement
Figure 2.5 : Schรฉma fonctionnel dโun asservissement
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a) Lโaspect statique : concerne lโรฉtude des systรจmes asservis en mode rรฉgulation (entrรฉe fixรฉe), on dรฉfinie lโerreur statique comme la diffรฉrence entre la tache demandรฉe et la tache rรฉalisรฉe (annulation de lโerreur statique cโest lโasservissement)
b) Aspect dynamique : essentiel en automatique sโรฉtudie par les notions de prรฉcision dynamique, de rapiditรฉ et de stabilitรฉ
โข La prรฉcision dynamique est caractรฉrisรฉe par lโerreur avec laquelle la sortie suit la loi dโentrรฉe imposรฉe au systรจme.
โข La rapiditรฉ est caractรฉrisรฉe par le temps que met le systรจme ร rรฉagir ร une variation brusque de la grandeur dโentrรฉe (temps de rรฉponse). Cette notion est fortement liรฉe ร la prรฉcision dynamique (plus un systรจme est rapide plus il est prรฉcis).(Figure 2.7)
โข La stabilitรฉ : la prรฉsence dโun bouclage risque dโintroduire une divergence ou une oscillation de la sortie. Ce comportement est intolรฉrable pour un systรจme asservi. On sโefforce au cours de synthรจse dโรฉviter ce risque en se dรฉfinissant une marge de stabilitรฉ.(Figure 2.8)
๐ก๐ก ๐ก๐ก
โ๐๐(๐ก๐ก)
โ๐๐(๐ก๐ก)
๐ก๐ก ๐ ๐ (๐ก๐ก)
๐๐(๐ก๐ก)
๐๐(๐ก๐ก)
-
+
๐ ๐ (๐ก๐ก) ๐๐(๐ก๐ก) ๐๐(๐ก๐ก)
Systรจme lent Systรจme rapide
Figure2.6 : prรฉcision dynamique dโun systรจme asservi
Figure 2.7 : Rapiditรฉ dโun systรจme asservi
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Conclusion : lโobjectif final du cours dโasservissement va รชtre dโapprendre ces trois aspects qui sont รฉtroitement liรฉs puis les amรฉliorรฉes, on cherchera ร rendre compatible la rapiditรฉ ou prรฉcision et un bon amortissement au cours de la synthรจse des correcteurs.
๐ก๐ก
๐ก๐ก ๐ก๐ก
Systรจme stable
Marge suffisante
โ๐๐(๐ก๐ก)
โ๐๐(๐ก๐ก)
Systรจme stable
Marge insuffisante
โ๐๐(๐ก๐ก)
Systรจme instable
Figure 2.8 : Stabilitรฉ dโun systรจme asservi
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Chapitre 3 : Modรฉlisation des systรจmes asservis linรฉaires
1. Introduction :
Les systรจmes dynamiques quโils soient hydrauliques, mรฉcaniques, รฉlectriques, peuvent รชtre dรฉcris par des รฉquations diffรฉrentielles qui sont รฉtablies ร partir des lois de la physiques qui gouverne le systรจme considรฉrรฉ, par exemple : loi de Kirchhoff pour les systรจmes รฉlectriques, loi de Newton pour les systรจmes mรฉcaniques. La description mathรฉmatique dโun systรจme donnรฉ est appelรฉe modรจle mathรฉmatique.
2. Exemples de modรฉlisation :
1.1. Systรจme du premier ordre รฉlectrique
On considรจre le circuit RC de la figure 3.1. Nous considรฉrons que cโest un systรจme ayant une entrรฉe e(t) et une sortie ๐ ๐ (๐ก๐ก), on peut appliquer la deuxiรจme loi de Kirchhoff ainsi que la loi de Faraday.
๐๐(๐ก๐ก) = ๐ ๐ ๐น๐น(๐ก๐ก) + ๐ ๐ (๐ก๐ก) (3.1)
๐น๐น(๐ก๐ก) = ๐ถ๐ถ๐๐๐ ๐ (๐ก๐ก)
๐๐๐ก๐ก (3.2)
Remplaรงant (3.2) dans (3.1) on obtient lโรฉquation diffรฉrentielle
๐๐๐ ๐ (๐ก๐ก)
๐๐๐ก๐ก+ ๐ ๐ (๐ก๐ก) = ๐๐(๐ก๐ก) (3.3)
Ce systรจme est donc modรฉlisรฉ par une รฉquation diffรฉrentielle du premier ordre. On dit aussi que le systรจme est de premier ordre.
1.2. Systรจme du second ordre รฉlectrique :
On considรจre maintenant le systรจme prรฉsentant un circuit RLC comme le montre (la Figure 3.2) . Nous pouvons รฉcrire avec le mรชme principe que pour lโexemple prรฉcรฉdent
๐๐(๐ก๐ก) + ๐ผ๐ผ๐๐๐น๐น(๐ก๐ก)
๐๐๐ก๐ก+ ๐ ๐ ๐น๐น(๐ก๐ก) + ๐ ๐ (๐ก๐ก) = 0 (3.4)
๐ ๐ (๐ก๐ก) ๐๐(๐ก๐ก)
๐น๐น(๐ก๐ก) R
๐ถ๐ถ
Figure3.1 : Circuit RC
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๐น๐น(๐ก๐ก) = ๐ถ๐ถ๐๐๐ ๐ (๐ก๐ก)
๐๐๐ก๐ก (3.5)
Comme prรฉcรฉdemment, on peut obtenir une รฉquation diffรฉrentielle reliant la sortie ๐ ๐ (๐ก๐ก)ร lโentrรฉe ๐๐(๐ก๐ก) :
๐ผ๐ผ๐ถ๐ถ ๐๐2๐ ๐ (๐๐)๐๐๐๐2 + ๐ ๐ ๐ถ๐ถ ๐๐๐ ๐ (๐๐)
๐๐๐๐+ ๐ ๐ (๐ก๐ก) = ๐๐(๐ก๐ก) (3.6)
Lโรฉquation ainsi trouvรฉe est une รฉquation diffรฉrentielle du second ordre qui modรฉlise un systรจme du second ordre รฉlectrique.
1.3. Systรจme du 2รจme ordre mรฉcanique
On considรจre le systรจme mรฉcanique de la figure 3.3, une masse est soumise ร une force ๐๐(๐ก๐ก), ร une
force de rappel du ressort ๐ผ๐ผ๐๐ =โ ๐๐๏ฟฝโ๏ฟฝ๐ฅ(๐ก๐ก) et une force de frottement visqueux ๐ผ๐ผโ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝโ = โ๐ผ๐ผ ๐๐๏ฟฝโ๏ฟฝ๐ฅ๐๐๐๐
La relation fondamentale de la dynamique nous donne :
๐๐ ๐๐2๐ฅ๐ฅ(๐๐)๐๐๐๐2 = ๐๐(๐ก๐ก) โ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ฅ๐ฅ(๐๐)
๐๐๐๐โ ๐๐๐ฅ๐ฅ(๐ก๐ก) (3.7)
Ou bien ๐๐ ๐๐2๐ฅ๐ฅ(๐๐)๐๐๐๐2 + ๐ผ๐ผ ๐๐๐ฅ๐ฅ(๐๐)
๐๐๐๐+ ๐๐๐ฅ๐ฅ(๐ก๐ก) = ๐๐(๐ก๐ก) (3.8)
1.4. Systรจme รฉlectromรฉcanique Il sโagit de la modรฉlisation dโun systรจme pour le contrรดle de la vitesse dโun moteur ร courant continu. Ce modรจle peut reprรฉsenter celui dโun moteur qui commande une articulation dโun bras de robot. Il est trรจs frรฉquent dans les asservissements. Son schรฉma est le suivant :
M
๐๐(๐ก๐ก) ๐ ๐ (๐ก๐ก) C
LR
Figure 3.2 : Circuit RLC
Figure 3.3 : Exemple dโun systรจme du 2รจme ordre mรฉcanique
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Figure 3.4 : modรจle dโun moteur ร courant continu
Le moteur est alimentรฉ par une tension V. Le moteur avec son bobinage est รฉquivalent ร un circuit รฉlectrique de rรฉsistance R, dโinductance L et dโune force contre-รฉlectromotrice Vemf. Le moteur actionne un systรจme mรฉcanique de moment dโinertie J, incluant le rotor et la charge. Prรฉsence dโun frottement de coefficient b. Le systรจme mรฉcanique tourne dโun angleฮธ .
On considรจre que les constantes sont telles que Kt (constante caractรฉrisant lโarmature) est รฉgale ร Ke (constante du moteur) : K=Ke=Kt.
- Dรฉterminer lโentrรฉe et la sortie.
La grandeur de sortie est la position angulaire de lโarticulation, lโangle ฮธ que lโon souhaite contrรดler. La grandeur dโentrรฉe du systรจme est la tension V appliquรฉe au moteur.
- Trouver le lien entre la sortie et lโentrรฉe. Le moment appliquรฉ par le couple moteur, T, est proportionnelle au courant des armatures, i, par un facteur constant Kt. La force contre รฉlectromotrice Vemf, est reliรฉe ร la vitesse de rotation par les รฉquations suivantes:
iKT t .= (3.9)
dtdKe eฮธ.=
(3.10)
En appliquant les lois de Newton et de Kirchhoff, on obtient les รฉquations suivantes :
๐ฝ๐ฝ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ + ๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ = ๐พ๐พ๐น๐น (3.11)
๐ผ๐ผ ๐๐๐๐๐๐๐๐
+ ๐ ๐ ๐น๐น = ๐๐ โ ๐พ๐พ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ (3.12)
1.5. Systรจme Hydraulique
Comme pour lโexemple du circuit รฉlectrique, soit un systรจme hydraulique constituรฉ dโun rรฉservoir qui est alimentรฉ par une conduite dโarrivรฉe du liquide et qui dรฉlivre en sortie un certain dรฉbit du liquide. Le rรฉservoir ร une surface A et le niveau du liquide est repรฉrรฉ par la hauteur x. Le dรฉbit de la conduite qui amรจne le liquide est notรฉ Vin, le dรฉbit du liquide quittant le rรฉservoir est notรฉ est Vout.
Pour obtenir le modรจle de ce systรจme, il faut :
- Dรฉterminer lโentrรฉe et la sortie. La grandeur que lโon souhaite contrรดler dans le contexte de ce problรจme est la hauteur du niveau du liquide dans le rรฉservoir. Cโest donc la grandeur de sortie. Lโentrรฉe est le dรฉbit Vin du liquide alimentant le rรฉservoir. On peut mรชme dรฉfinir lโentrรฉe comme la diffรฉrence entre le dรฉbit entrant et le dรฉbit sortant : (Vin โVout).
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- Trouver le lien entre la sortie et lโentrรฉe. Le modรจle mathรฉmatique est obtenu en utilisant le principe de la conservation de la matiรจre. La variation de volume dans le rรฉservoir est donnรฉe par la relation : ๐ด๐ด ๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐๐๐= ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐ข๐ข๐๐ (3.13)
Figure3.5: modรจle dโun systรจme hydraulique
1.6. Systรจmes aux รฉquations couplรฉes
Ce systรจme est reprรฉsentรฉ par la figure 3.6 ci-dessous. Il est composรฉ de deux ressorts de coefficient de rigiditรฉ k1 et k2, de deux masses m1 et m2 et de coefficients de frottement b1 et b2.
Figure 3.6 : modรจle dโun systรจme mรฉcanique avec couplage.
- Dรฉterminer lโentrรฉe et la sortie. On souhaite contrรดler la position x1(t) de la masse m1 ร lโaide de la force appliquรฉe F(t).
- Trouver le lien entre la sortie et lโentrรฉe. La relation entrรฉe-sortie est une รฉquation diffรฉrentielle qui est รฉtablie en appliquant les lois gรฉnรฉrales de la dynamique. On obtient deux รฉquations diffรฉrentielles couplรฉes.
=
๐๐(๐ก๐ก) = ๐๐1
๐๐2๐ฅ๐ฅ1๐๐๐๐2 + ๐๐1
๐๐๐ฅ๐ฅ1๐๐๐๐
+ ๐๐1๐ฅ๐ฅ1 + ๐๐2(๐ฅ๐ฅ1 โ ๐ฅ๐ฅ2) (3.14)
0 = ๐๐2๐๐2๐ฅ๐ฅ2๐๐๐๐2 + ๐๐2
๐๐๐ฅ๐ฅ2๐๐๐๐
+ ๐๐2(๐ฅ๐ฅ2 โ ๐ฅ๐ฅ1) (3.15)
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3. Notion de Fonction De Transfert : 3.3 Dรฉfinition
Considรฉrons un systรจme linรฉaire quelconque possรฉdant une entrรฉe e(t) et une sortie s(t).
On suppose quโil est rรฉgi par une รฉquation diffรฉrentielle de degrรฉ n
๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ (๐๐)
๐๐๐๐๐๐ + โฏ . . ๐๐1๐๐๐ ๐ (๐๐)
๐๐๐๐+ ๐๐0๐ ๐ (๐ก๐ก) = ๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐(๐๐)๐๐๐๐๐๐ + โฏ +. ๐๐1
๐๐๐๐(๐๐)๐๐๐๐
+ ๐๐0๐๐(๐ก๐ก) (3.16)
Avec ๐๐, ๐๐ โ โ, ๐๐ โค ๐๐
Les coefficients ๐๐๐๐,๐๐๐๐โ1, โฆ . . , ๐๐1, ๐๐0, ๐๐๐๐, ๐๐๐๐โ1, โฆ ๐๐1, ๐๐0 sont des constantes (systรจme linรฉaire).
Si nous appliquons la transformation de Laplace aux deux membres de cette รฉquation, tout en supposant nulles les diffรฉrentes conditions initiales (voir รฉquation 1.5)
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐(๐๐) + โฏ + ๐๐1๐๐๐๐(๐๐) + ๐๐0๐๐(๐๐) = ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ธ๐ธ(๐๐) + โฏ + ๐๐1๐๐๐ธ๐ธ(๐๐) + ๐๐0๐ธ๐ธ(๐๐) (3.17)
Soit
(๐๐๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐โ1๐๐๐๐โ1 + โฏ + ๐๐1๐๐ + ๐๐0)๐๐(๐๐) = (๐๐๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐โ1๐๐๐๐โ1 + โฏ + ๐๐1๐๐ + ๐๐0)๐ธ๐ธ(๐๐)
Dโoรน :
๐๐(๐๐)๐ธ๐ธ(๐๐)
=๐๐๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐โ1๐๐๐๐โ1 + โฏ + ๐๐1๐๐ + ๐๐0
๐๐๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐โ1๐๐๐๐โ1 + โฏ + ๐๐1๐๐ + ๐๐0 ( 3.18 )
Cette fraction rationnelle de deux polynรดmes de la variable complexe p est appelรฉe Fonction de Transfert (TF) ou transmittance du systรจme et communรฉment notรฉe :
๐บ๐บ(๐๐) = ๐๐(๐๐)๐ธ๐ธ(๐๐)
(3.19)
Comme cette fonction est une fonction rationnelle de deux polynรดmes en p, il est possible de factoriser ces deux polynรดmes dans le corps des complexes. On obtient :
๐บ๐บ(๐๐) =๐๐๐๐
๐๐๐๐
(๐๐ โ ๐ง๐ง๐๐)(๐๐ โ ๐ง๐ง๐๐โ1) โฆ (๐๐ โ ๐ง๐ง0)(๐๐ โ ๐๐๐๐)(๐๐ โ ๐๐๐๐โ1) โฆ (๐๐ โ ๐๐0)
=๐๐๐๐
๐๐๐๐
โ (๐๐ โ ๐ง๐ง๐๐)๐๐๐๐=1
โ (๐๐ โ ๐๐๐๐)๐๐๐๐=1
(3.20)
Les racines ๐ง๐ง๐๐ qui annulent le numรฉrateur sont appelรฉs les zรฉros de la fonction de transfert. Les racines ๐๐๐๐ qui annulent son dรฉnominateur sont les pรดles de la fonction de transfert. Ces paramรจtres peuvent รชtre complexes ou rรฉels. Le degrรฉ n du polynรดme du dรฉnominateur est appelรฉ lโordre du systรจme.
e(t) s(t) Systรจme
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Remarque :
Il est souvent prรฉfรฉrable de maitre en รฉvidence le gain K du systรจme ainsi que le nombre ๐ผ๐ผ dโintรฉgrateurs purs aussi appelรฉ type du systรจme.
๐๐(๐๐) = ๐พ๐พ 1๐๐๐ผ๐ผ
1+โฏ+๐๐๐๐๐๐๐๐
1+โฏ+๐๐๐๐โ๐ผ๐ผ๐๐๐๐โ๐ผ๐ผ (3.21)
Cette derniรจre forme peut parfois se trouver sous forme factorisรฉe (forme canonique) ou forme de Bode :
๐๐(๐๐) = ๐พ๐พ 1๐๐๐ผ๐ผ
๏ฟฝ1+๐๐1โฒ ๐๐๏ฟฝโฆ(1+๐๐๐๐
โฒ ๐๐)(1+๐๐1๐๐)โฆ(1+๐๐๐๐โ๐ผ๐ผ๐๐)
(3.22)
Dans cette formulation, les ๐๐ et ๐๐โฒ sont assimilรฉs ร des constantes de temps.
3.4 Exemple fonction de transfert (systรจme รฉlectrique)
Nous reprenons lโexemple du paragraphe 2.1. Nous avions vu que : ๐ ๐ ๐ถ๐ถ ๐๐๐ ๐ (๐๐)๐๐๐๐
+ ๐ ๐ (๐ก๐ก) = ๐๐(๐ก๐ก)
Appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de cette รฉquation, tout en supposant nulles les diffรฉrentes conditions initiales
๐ ๐ ๐ถ๐ถ๐๐๐๐(๐๐) + ๐๐(๐๐) = ๐ธ๐ธ(๐๐) (3.23)
(๐ ๐ ๐ถ๐ถ๐๐ + 1)๐๐(๐๐) = ๐ธ๐ธ(๐๐) โ ๐๐(๐๐)๐ธ๐ธ(๐๐) = 1
1+๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ (3.24)
On peut former la fonction de transfert de ce systรจme : ๐บ๐บ(๐๐) = ๐๐(๐๐)๐ธ๐ธ(๐๐) = 1
1+๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐
4. Schรฉma fonctionnels : 4.3 Dรฉfinition :
Un schรฉma fonctionnel est une reprรฉsentation simplifiรฉe dโune fonction de transfert dโun processus. En dโautres termes, cโest un graphisme qui peut intervenir des symboles รฉlรฉmentaires de type sommateur, comparateur, capteur, โฆ
Il existe quatre schรฉmas รฉlรฉmentaires utilisรฉs dans la reprรฉsentation fonctionnels des systรจmes asservis :
โข Bloc
โข Sommateur
S(p) +
S(p) E(p) H(p)
+
S(p)=E1(p)+E2(p) E1(p)
E2(p)
S(p)=H(p)E(p)
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โข Comparateur
โข Capteur
4.4 Exemple dโun schรฉma fonctionnel :
Remarque :
โข Reprรฉsentation dโune Fonction de Transfert en Boucle Ouverte(FTBO) :
๐๐(๐๐) = ๐บ๐บ(๐๐)๐ธ๐ธ(๐๐) โ ๐๐๐๐๐น๐น๐น๐น = ๐บ๐บ(๐๐) = ๐๐(๐๐)๐ธ๐ธ(๐๐)
(3.25)
โข Reprรฉsentation dโune Fonction de Transfert en Boucle Fermรฉe (FTBF)
๐๐(๐๐) = ๐บ๐บ(๐๐)๐๐(๐๐) (3.26)
๐๐(๐๐) ๐๐(๐๐)
๐๐(๐๐) ๐ธ๐ธ(๐๐)
S(p)
S(p) S(p)
S(p) E1(p)
-
E2(p)
+ S(p)=E1(p)-E ( )
E1(p)
H1(p) H2(p)
H3(p)
H4(p)
+ +
+ -
Figure3.7 : Exemple dโun schรฉma fonctionnel
๐บ๐บ(๐๐)
๐ฎ๐ฎ(๐๐)
๐น๐น(๐๐)
๐ธ๐ธ(๐๐)
Figure3.8 : Schรฉma fonctionnel dโune
Figure3.89: Schรฉma fonctionnel dโune FTBF
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๐๐(๐๐) = ๐ธ๐ธ(๐๐) โ ๐ ๐ (๐๐)๐๐(๐๐) (3.27)
Remplaรงant lโรฉquation (3.25) dans (3.24) on trouve :
๐๐(๐๐) = ๐บ๐บ(๐๐)(๐ธ๐ธ(๐๐) โ ๐ ๐ (๐๐)๐๐(๐๐))
Dโou ๐๐๐๐๐น๐น๐๐ = ๐๐(๐๐) ๐ธ๐ธ(๐๐) = ๐บ๐บ(๐๐)
1+๐บ๐บ(๐๐)๐ ๐ (๐๐) (3.28)
โข Pour un systรจme ร retour unitaire ๐ ๐ (๐๐) = 1 la FTBF devient : ๐๐๐๐๐น๐น๐๐ = ๐๐(๐๐)
๐ธ๐ธ(๐๐) = ๐บ๐บ(๐๐)1+๐บ๐บ(๐๐)
(3.29)
4.5 Rรฉduction du schรฉma fonctionnel :
Simplifier un schรฉma ou le rรฉduire revient ร lui faire des transformations pour mettre en รฉvidence la fonction de transfert. Pour ce faire, nous utiliserons un certain nombre de rรจgles รฉlรฉmentaires qui sont :
โข Rรจgle1 : Blocs en cascade (en sรฉrie) โข Rรจgle2 : Blocs en parallรจle : โข Rรจgle 3 : Formule de Black (Rรฉduction de boucle) :
E(p) S(p) E(p)
S(p) E(p) E(p) S(p)
E(p) S(p) S(p) E(p) H1 H2 H=H1H2
H1
H2
+
+
โ
โ H=H1+H2
+ ๐บ๐บ(p) S(p)
G(p)
R(p)
โ ๐บ๐บ(๐๐)1 + ๐ ๐ (๐๐)๐บ๐บ(๐๐)
Figure 3.8 : Blocs en cascade
Figure 3.9 : Blocs en parallรจle
Figure 3.10 : Reprรฉsentation dโune boucle fermรฉe
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โข Rรจgle 4 : Transformation dโun comparateur en un sommateur :
โข Rรจgle 5 : Dรฉplacement dโun comparateur: a) Dรฉplacement dโun bloc dโaval en amont :
Ce type de dรฉplacement se traduit par lโajout dโun bloc fonctionnel de fonction de transfert รฉgale ร lโentrรฉe du sommateur qui prend la place du comparateur comme le montre la figure 3.12 :
(3.30)
b) Dรฉplacement dโun bloc dโamont en aval :
Par un raisonnement analogue au cas prรฉcรฉdent on obtient :
(3.31)
E2(p
E1(p
S(p) S(p)
E2(p
E1(p
S(p)
E2(p
E1(p
E2(p
E1(p
S(p)
E2(p)
E1(p) S(p)
S(p)
E1(p)
E2(p)
โ -1
+ + + -
H(p) โ H(p)
1/H(p)
+
+
+
+
S(p)=E1(p)H(p)+E2(p)=H(p)[E1(p)+(1/H(p))E2(p )]
H(p) +
+
โ H(p)
H(p)
+
+
S(p)=[E1(p)+E2(p)]H(p)=H(p)E1(p)+H(p)E2(p)
Figure 3.11: Transformation dโun comparateur en un sommateur
Figure3.12 : Dรฉplacement dโun bloc dโaval en amont
Figure3.13 : Dรฉplacement dโun bloc dโamont en aval
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Rรจgle 6 : Dรฉplacement dโun capteur :
Dรฉplacement dโun bloc dโaval en amont :
Dรฉplacement dโun bloc dโamont en aval :
Rรจgle 7 : Permutation des capteurs :
Rรจgle 8 : Permutation des sommateurs :
+
E(p) E(p) S(p) S(p)
S(p)
X Y Y X
S(p)
E(p) S(p)
X=E(p
X=E(p
S(p) E(p)
E(p)
S(p) S(p)
E(p)
S(p) H(p) โ H(p)
H(p)
H(p) H(p) โ
1/H(p)
โ
โ
X1 X2 X2 X1
+
+
+
+
+
+
Figure3.14 : Dรฉplacement dโun bloc dโaval en amont
Figure 3.15 : Dรฉplacement dโun bloc dโaval en amont
Figure 3.16 : Permutation des capteurs
Figure3.17 : Permutation des sommateurs
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27
5. Exemple :
Soit le schรฉma bloc suivant :
Calculer sa fonction de transfert S/E ?
Solution :
Donc ๐๐๐ธ๐ธ
= ๐ท๐ท๐บ๐บ+๐น๐น๐น๐น๐ท๐ท๐บ๐บ+๐ด๐ด๐น๐น๐ ๐ ๐ท๐ท(1+๐น๐น๐น๐น)(1+๐ป๐ป๐ท๐ท๐บ๐บ)
E - + S
+ +
+
-
H
G
A D B C
F
E - - S
-
E S
E S
H
G
A D B C
F
A ๐ท๐ท
1 + ๐ป๐ป๐ท๐ท๐บ๐บ
G
๐น๐น1 + ๐๐๐น๐น C
๐ท๐ท1 + ๐ป๐ป๐ท๐ท๐บ๐บ
๐บ๐บ +๐ด๐ด๐น๐น๐ถ๐ถ
1 + ๐๐๐น๐น
Figure 3.18 : Exemple dโun schรฉma fonctionnel
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28
En fin : la mise en cascade
Donc la fonction de transfert : ๐๐๐ธ๐ธ
=๐ท๐ท๐บ๐บ + ๐๐๐น๐น๐ท๐ท๐บ๐บ + ๐ด๐ด๐น๐น๐ถ๐ถ๐ท๐ท(1 + ๐๐๐น๐น)(1 + ๐ป๐ป๐ท๐ท๐บ๐บ)
6. Les diagrammes de fluence :
Un autre type de reprรฉsentation graphique donnant une alternative aux schรฉmas fonctionnels des systรจmes linรฉaires a รฉtรฉ proposรฉe par S.J.Masson sous la nomination de graphe de fluence est un schรฉma permettant de reprรฉsenter simultanรฉment un certain nombre dโรฉquations algรฉbriques liรฉe entre elles. Utilisant ainsi le formalisme de Laplace.
6.3 Dรฉfinitions et propriรฉtรฉs :
Un graphe de fluence est un graphe composรฉ de nลuds associรฉs chacun ร une variable du systรจme connectรฉs par des arcs reprรฉsentant un transfert effectuรฉ sur le nลud (la variable) en amont
โข Un nลud est un point reprรฉsentant une variable ou un signal.
โข Un arc qui joint deux nลuds reprรฉsente un transfert (une transmittance) entre deux variables.
โข Graphe de fluence. Un nลud source : ne comprend que des arcs divergents et est associรฉ ร une
entrรฉe du systรจme.
๐๐ ๐ธ๐ธ
G1 X1 X1
X1
Figure3.19 : Nลud associรฉ ร la variable X1
Figure3.20 :Arc de transmittance G1 tel que X2 =G1X1
๏ฟฝ๐บ๐บ +๐ด๐ด๐น๐น๐ถ๐ถ
1 + ๐๐๐น๐น๏ฟฝ ๏ฟฝ
๐ท๐ท1 + ๐ป๐ป๐ท๐ท๐บ๐บ
๏ฟฝ
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29
Un nลud puits : ne comprend que des branches convergentes et est associรฉ ร une sortie du systรจme.
Un chemin : est une succession dโarcs.
Une boucle est un chemin fermรฉ. Le gain dโune boucle est le produit des transmittances des arcs composant le
chemin. La valeur dโun nลud ayant une branche convergente est donnรฉe par X2=G1X1 La transmittance รฉquivalente dโune suite dโarcs est รฉgale au produit des
transmittances constituantes.
6.4 Rรจgle de Masson :
La transmittance globale entre une source et un puits dโun graphe de fluence se calcule par
๐บ๐บ = 1โ
โ ๐บ๐บ๐พ๐พโ๐พ๐พ๐พ๐พ (3.32)
Oรน
๐บ๐บ๐๐ est la transmittance associรฉ au kiรจme chemin
โ est le dรฉterminant du graphe, รฉgale ร 1- la somme des gains de boucle du graphe + la somme des produits des gains de toutes les combinaisons de boucle disjoints
X4 X1
G3
G2
G1
X4
X3
X2 X1
y
u
G1G2G3
Figure 3.23 : Chemin X1-X4
Figure3.21 : Nลud source
Figure 3.22 : Nลud puits
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deux ร deux โ la somme des produits de toutes les combinaisons de boucles disjoints trois ร troisโฆ
1 โ โ ๐บ๐บ๐๐ + โ ๐บ๐บ๐๐๐บ๐บ๐๐ โ โ ๐บ๐บ๐๐๐บ๐บ๐๐๐บ๐บ๐๐ + โฏ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ (3.33)
โ๐พ๐พ est le dรฉterminant de la partie du graphe disjoint de celle associรฉe ร ๐บ๐บ๐พ๐พ
7. Exemple :
Prenant le mรชme schรฉma fonctionnel de lโexemple prรฉcรฉdent (Figure 3.18)
Et calculant de la fonction de transfert ๐๐๐ธ๐ธ par la mรฉthode de Masson :
Le graphe de fluence est donnรฉ par la figure 3.24
Chapitre 4 Performances des systรจmes linรฉaires
-F
E 1 A B C D 1 S
1 G
-H
En utilisant la rรจgle de Masson :
๐๐๐ธ๐ธ
=โโฒ
โโฒโฒ =โ ๐ถ๐ถ๐๐๐๐ (1 โ โ ๐น๐น๐๐ + โ ๐น๐น๐๐๐น๐น๐๐๐๐โ ๐๐โ ๐๐ โฆ๐๐โ ๐๐ )
1 โ โ ๐น๐น๐๐ + โ ๐น๐น๐๐๐น๐น๐๐๐๐โ ๐๐ โฆ๐๐
Les chemins:
๐ถ๐ถ1 = ๐ด๐ด. ๐น๐น. ๐ถ๐ถ. ๐ท๐ท ; ๐ถ๐ถ2 = ๐บ๐บ. ๐ท๐ท
Les boucles :
๐น๐น1 = โ๐๐. ๐น๐น ; ๐น๐น2 = โ๐ท๐ท๐ป๐ป๐บ๐บ
๐๐๐ธ๐ธ
=๐ด๐ด. ๐น๐น. ๐ถ๐ถ. ๐ท๐ท(1 โ 0) + ๐บ๐บ. ๐ท๐ท๏ฟฝ1 โ (โ๐๐๐น๐น)๏ฟฝ
1 + ๐๐๐น๐น + ๐ท๐ท๐ป๐ป๐บ๐บ + ๐๐๐น๐น๐ท๐ท๐ป๐ป๐บ๐บ
๐๐๐ธ๐ธ
=๐ท๐ท๐บ๐บ + ๐๐๐น๐น๐ท๐ท๐บ๐บ + ๐ด๐ด๐น๐น๐ถ๐ถ๐ท๐ท(1 + ๐๐๐น๐น)(1 + ๐ป๐ป๐ท๐ท๐บ๐บ)
Figure3.24 : graphe de fluence
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Chapitre 4 : Performances des systรจmes linรฉaires
1. Introduction
On veut caractรฉriser les systรจmes d'une part par leur fonction de transfert et, d'autre part, par leur comportement. Ce dernier peut รชtre mis en รฉvidence par sa rรฉponse a une entrรฉe donnรฉe. Classiquement, on peut apprendre beaucoup des systรจmes en observant la rรฉponse aux entrรฉes suivantes :
โข L'impulsion : rรฉponse impulsionnelle. โข L'รฉchelon : rรฉponse indicielle โข La rampe : rรฉponse ร une rampe โข La sinusoรฏde : rรฉponse frรฉquentielle
Dans une premiรจre partie, nous allons faire le lien entre fonction de transfert et rรฉponses temporelles (c'est _a dire les rรฉponses aux impulsions, รฉchelon et rampe). Dans la suite du cours, nous allons รฉtudier les systรจmes simples et trรจs rรฉpandus que sont les systรจmes du premier ordre et du second ordre. De plus, les mรฉthodes d'รฉtude de ces systรจmes se gรฉnรฉralisent facilement aux autres.
2. Rรฉponse temporelle des systรจmes linรฉaire : 2.1 Rรฉponse d'un systรจme du premier ordre 2.1.1 Fonction de transfert
Un systรจme du premier ordre est dรฉcrit par lโรฉquation diffรฉrentielle ร coefficients constants ๐๐0, ๐๐1, ๐๐0, ๐๐1 โ โ tel que : ๐๐0๐ ๐ (๐ก๐ก) + ๐๐1
๐๐๐ ๐ (๐๐)๐๐๐๐
= ๐๐0๐๐(๐ก๐ก) + ๐๐1๐๐๐๐(๐๐)
๐๐๐๐ (4.1)
Nous ne traiterons, dans ce chapitre, que les systรจmes pour lesquels ๐๐0 โ 0 et ๐๐1 = 0 ๐๐(๐๐) = ๐๐0
๐๐0+๐๐1๐๐ (4.2)
Que nous pouvons mettre sous la forme ๐๐(๐๐) = ๐พ๐พ
1+๐๐๐๐ (4.3)
On appelle ๐พ๐พ le gain statique et ๐๐ la constante du temps du systรจme. 2.2.2 Rรฉponse ร un รฉchelon Pour toutes les rรฉponse inditelles (ร un รฉchelon) on dรฉfinit :
โข Rรฉgime permanent ๐ ๐ ๐๐(๐ก๐ก) = ๐ ๐ (๐ก๐ก) โ๐ก๐ก โซ ๐ก๐ก๐๐ ๏ฟฝ๐ ๐ ๐๐(๐ก๐ก) = ๐๐๐น๐น๐๐๐๐โโ๐ ๐ (๐ก๐ก)๏ฟฝ (4.4)
โข Temps de montรฉe ๐ก๐ก๐๐ est le temps pendant lequel ๐ ๐ (๐ก๐ก) passe de 0.1๐ ๐ ๐๐(๐ก๐ก) ร 0.9 ๐ ๐ ๐๐(๐ก๐ก) โข Temps dec rรฉponse ร 5%๐ก๐ก๐๐ est le temps au bout duquel :
โ๐ก๐ก > ๐ก๐ก๐๐ ๐ ๐ ๐๐(๐ก๐ก) โ ๐ ๐ (๐ก๐ก) < 0.05๐ ๐ ๐๐(๐ก๐ก) On applique ร lโentrรฉe de ce systรจme un รฉchelon dโamplitude ๐ธ๐ธ0 ,
๐๐(๐ก๐ก) = ๐ธ๐ธ0๐ข๐ข(๐ก๐ก)๐๐๐๐๏ฟฝ๏ฟฝ ๐ธ๐ธ(๐๐) = ๐ธ๐ธ0
๐๐ (4.5)
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32
la sortie du systรจme est telle que :
๐๐(๐๐) = ๐ธ๐ธ(๐๐)๐๐(๐๐) = ๐พ๐พ๐ธ๐ธ0๐๐(1+๐๐๐๐)
(4.6)
Et par application de TL-1 donc ๐ ๐ (๐ก๐ก) = ๐พ๐พ๐ธ๐ธ0(1 โ ๐๐โ๐ก๐ก๐๐) (4.7)
Figure 4.1 : Rรฉponse ร un รฉchelon dโun systรจme du premier ordre
Sur le tracรฉ ci-dessus (Figure4.1) , on peut noter - ๐ ๐ (๐๐) = 0.63 ๐พ๐พ๐ธ๐ธ0 - ๐๐๐น๐น๐๐๐๐โโ๐ ๐ (๐ก๐ก) = ๐พ๐พ๐ธ๐ธ0 - La tangente ร lโorigine a une pente de ๐พ๐พ๐ธ๐ธ0
๐๐
- Temps de montรฉe โ 2๐๐ - Temps de rรฉponse ร 5% โ 3๐๐
On peut tracer la courbe en coordonnรฉes rรฉduites, c'est-ร -dire le tracรฉ de ๐ฆ๐ฆ = ๐ ๐ (๐๐)๐พ๐พ ๐ธ๐ธ0
en fonction
de ๐ฅ๐ฅ = ๐๐๐๐ qui ne dรฉpend plus de ๐๐ ni de ๐พ๐พ ni de lโฒamplitude dโฒentrรฉe
(๐ฆ๐ฆ = 1 โ ๐๐โ๐ฅ๐ฅ) (4.8) 2.2.3 Rรฉponse ร une rampe Lโentrรฉe est une rampe de pente ๐๐: ๐๐(๐ก๐ก) = ๐๐๐ก๐ก๐ข๐ข(๐ก๐ก) sa transformรฉe de Laplace est
๐ธ๐ธ(๐๐) = ๐๐๐๐2 La sortie est donnรฉe par : ๐๐(๐๐) = ๐พ๐พ๐๐
๐๐. 1
๐๐2(๐๐+1๐๐)
๐ ๐ (๐ก๐ก) = ๐พ๐พ. ๐๐. (๐ก๐ก โ ๐๐) + ๐พ๐พ. ๐๐. ๐๐. ๐๐โ๐ก๐ก๐๐ (4.9)
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33
Figure 4.2 : Rรฉponse dโun systรจme du premier ordre ร une rampe
Les caractรฉristiques de cette rรฉponse sont : - Le rรฉgime permanent est ๐๐๐๐(๐ก๐ก) = ๐พ๐พ. ๐๐. (๐ก๐ก โ ๐๐) (4.10) - Si ๐พ๐พ = 1, la sortie ๐ ๐ (๐ก๐ก) suit lโentrรฉe avec un retard constant (๐๐) la diffรฉrence entre la
sortie et lโentrรฉe est appelรฉe erreur de traรฎnage et vaut ๐๐. ๐๐ - Si ๐พ๐พ โ 1, ๐ ๐ ๐๐(๐ก๐ก) et ๐๐(๐ก๐ก) nโont pas la mรชme pente. Ils divergent. 2.2.4 Rรฉponse ร une impulsion : Lโentrรฉe est donnรฉe par ๐๐(๐ก๐ก) = ๐ธ๐ธ0๐ฟ๐ฟ(๐ก๐ก) En Laplace๐ธ๐ธ(๐๐) = ๐ธ๐ธ0. La sortie est donnรฉe par
๐๐(๐๐) = ๐พ๐พ๐ธ๐ธ0
1+๐๐๐๐โ ๐ ๐ (๐ก๐ก) = ๐พ๐พ๐ธ๐ธ0
๐๐ (4.11)
Figure4.3 : Rรฉponse dโun systรจme du premier ordre ร une impulsion
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34
2.3 Rรฉponse des systรจmes du second ordre 2.3.1 Fonction de transfert Lโรฉquation diffรฉrentielle la plus gรฉnรฉrale de second ordre est :
๐๐0๐ ๐ (๐ก๐ก) + ๐๐1๐๐๐ ๐ (๐ก๐ก)
๐๐๐ก๐ก+ ๐๐2
๐๐2๐ ๐ (๐ก๐ก)๐๐๐ก๐ก2 = ๐๐0๐๐(๐ก๐ก) + ๐๐1
๐๐๐๐(๐ก๐ก)๐๐๐ก๐ก
+ ๐๐2๐๐2๐๐(๐ก๐ก)
๐๐๐ก๐ก2 (4.12)
Dans ce paragraphe, nous nโรฉtudierons que les systรจmes tels que les dรฉrivรฉes de lโentrรฉe nโinterviennent pas (๐๐2 = ๐๐1 = 0). La fonction de transfert de ces systรจmes peut se mettre sous la forme canonique :
๐๐(๐๐) = ๐พ๐พ
1+2๐๐๐๐๐๐๐๐
+ ๐๐2
๐๐๐๐2
(4.13)
Avec ๐พ๐พ le gain statique du systรจme ๐๐๐๐ La pulsation naturelle (en rd/s). On pourra poser ๐๐๐๐ = 1
๐๐๐๐ .
๐๐ Le coefficient dโamortissement.
Si on cherche les pรดles de la fonction de transfert : 1 + 2๐๐๐๐๐๐๐๐
+ ๐๐2
๐๐๐๐2 = 0
๏ฟฝโโฒ = ๐๐๐๐๏ฟฝ๐๐2 โ 1 On distingue trois cas possibles : - ๐๐ > 1 dans ce cas les pรดles sont rรฉels : โ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๏ฟฝ๐๐2 โ 1 - ๐๐ = 1 les deux pรดles sont รฉgaux et rรฉels. Ils valent โ๐๐๐๐ - ๐๐ < 1 les deux pรดles sont des complexes conjuguรฉs. Ils sont ร partie rรฉelle nรฉgatives si
๐๐ > 0 2.3.2 Rรฉponse ร un รฉchelon pour ๐๐ > 1
On parle de systรจme ร fort amortissement. Les deux pรดles rรฉels p1 et p2 donnent une rรฉponse qui sera la somme de deux exponentielles. Pour une entrรฉe ๐๐(๐ก๐ก) = ๐ธ๐ธ0๐ข๐ข(๐ก๐ก) โ ๐ธ๐ธ(๐๐) = ๐ธ๐ธ0
๐๐
la sortie est donnรฉe par : ๐๐(๐๐) = ๐พ๐พ๐ธ๐ธ0๐๐๐๐2
๐๐(๐๐โ๐๐1)(๐๐โ๐๐2) (4.14)
๐ ๐ (๐ก๐ก) = ๐พ๐พ๐ธ๐ธ0 ๏ฟฝ1 โ ๐๐1๐๐1โ๐๐2
๐๐โ ๐ก๐ก๐๐1 + ๐๐2
๐๐1โ๐๐2๐๐โ ๐ก๐ก
๐๐2๏ฟฝ ๐ข๐ข(๐ก๐ก) Avec ๐๐1 = โ 1๐๐1
et ๐๐2 = โ 1๐๐2
(4.15)
Figure 4.4 : Rรฉponse indicielle dโun second ordre ร forte amortissement
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Les caractรฉristiques de cette rรฉponse sont : โข Le rรฉgime permanent est ๐ ๐ ๐๐(๐ก๐ก) = ๐พ๐พ๐ธ๐ธ0 โข A lโorigine, la tangente est horizontale
2.3.3 Rรฉponse ร un รฉchelon pour ๐๐ = ๐๐ Par rapport au paragraphe prรฉcรฉdent, les pรดles sont confondus.
๐๐(๐๐) = ๐พ๐พ๐๐๐๐2
(๐๐+๐๐๐๐)2 (4.16)
๐ ๐ (๐ก๐ก) = ๐พ๐พ๐ธ๐ธ0 ๏ฟฝ1 โ (1 + ๐๐๐๐๐ก๐ก)๐๐โ ๐ก๐ก๐๐๐๐๏ฟฝ ๐ข๐ข(๐ก๐ก) (4.17)
La courbe de rรฉponse ressemble ร la courbe obtenue au paragraphe prรฉcรฉdent, mais la croissance est plus rapide. 2.3.4 Rรฉponse ร lโรฉchelon pour ๐๐ < 1
On parle de systรจme ร faible amortissement. Les pรดles sont complexes conjuguรฉs temporelles est : ๐ ๐ (๐ก๐ก) = ๐พ๐พ๐ธ๐ธ0[1 โ 1
๏ฟฝ1โ๐๐2 ๐๐โ๐๐๐๐๐๐๐๐ sin๏ฟฝ๐๐๐๐๏ฟฝ1 โ ๐๐2๐ก๐ก + ๐๐๏ฟฝ (4.18)
Avec ๐๐ = ๏ฟฝ1โ๐๐2
๐๐
Figure 4.5 : Rรฉponse indicielle dโun second ordre ร faible amortissement
Les caractรฉristiques de cette rรฉponse sont :
โข Rรฉgime permanent ๐ ๐ ๐๐(๐ก๐ก) = ๐พ๐พ๐ธ๐ธ0 โข A lโorigine, la tangente est horizontale โข Pulsation propre amortie :
๐๐๐๐ = ๐๐๐๐๏ฟฝ1 โ ๐๐2
โข Pseudo-pรฉriode des oscillations : ๐๐๐๐ = 2๐๐๐๐๐๐
โข Temps de montรฉe (temps au bout duquel s(t) atteint pour la premiรจre fois ๐ ๐ ๐๐(๐ก๐ก))
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๐ก๐ก๐๐ = ๐๐๐๐
2๏ฟฝ1 โ ๐๐
๐๐๏ฟฝ (4.19)
โข Temps de pic ๐ก๐ก๐๐ = ๐๐๐๐
2= ๐๐
๐๐๐๐
โข Temps de rรฉponse ร 5% cโest le temps au bout duquel la sortie atteint le rรฉgime permanent ร 5% prรจs et y reste. Lโabaque ci-joint donne ce temps en fonction des caractรฉristiques de la fonction de transfert. une approximation pour ๐๐ โช 1 ๐๐๐ ๐ ๐ก๐ก
๐ก๐ก๐๐ = 3 ๐๐๐๐๐๐
= 3๐๐๐๐๐๐
(4.20)
Qui est le temps de rรฉponse de lโenveloppe exponentielle. โข Le dรฉpassement ๐ท๐ท = ๐ ๐ ๏ฟฝ๐ก๐ก๐๐๏ฟฝ โ ๐พ๐พ๐ธ๐ธ0 le calcul donne
๐ท๐ท = ๐พ๐พ. ๐ธ๐ธ0๐๐โ ๐๐๐๐
๏ฟฝ1โ๐๐2 (4.21)
โข On peut aussi dรฉfinir le dรฉpassement relatif (sans unitรฉ) :
๐ท๐ท๐๐ = ๐ท๐ท๐พ๐พ๐ธ๐ธ0
= ๐๐โ ๐๐๐๐
๏ฟฝ1โ๐๐2 (4.22)
โข Dรฉpassement successifs : le rapport entre deux dรฉpassements successifs de mรชme signe peut permettre dโidentifier lโamortissement ๐๐
๐๐๐๐ ๐ท๐ท2๐ท๐ท1
= โ2๐๐๐๐๏ฟฝ1โ๐๐2 (4.23)
2.4 Rรฉponse dโun systรจme du second ordre ร une rampe Lโentrรฉe est une rampe de pente a, ๐ธ๐ธ(๐๐) = ๐๐
๐๐2 . On en dรฉduit la sortie
๐๐(๐๐) = ๐พ๐พ๐๐๐๐2(๐๐2+2๐๐๐๐๐๐๐๐+๐๐๐๐
2 ) (4.24)
Pour ๐๐ > 1 ๐ ๐ (๐ก๐ก) = ๐พ๐พ. ๐๐ ๏ฟฝ๐ก๐ก โ ๐๐1 โ ๐๐2 + ๐๐12
๐๐1โ๐๐2๐๐โ ๐ก๐ก
๐๐1 โ ๐๐22
๐๐1โ๐๐2๐๐โ ๐ก๐ก
๐๐2๏ฟฝ (4.25)
Pour ๐๐ < 1 ๐ ๐ (๐ก๐ก) = ๐พ๐พ. ๐๐ ๏ฟฝ๐ก๐ก โ 2๐๐๐๐๐๐
+ ๐๐โ ๐๐๐ก๐ก
๐๐๐๐
๐๐๐๐sin (๐๐๐๐๐ก๐ก โ ๐๐๏ฟฝ (4.26)
Avec ๐๐ = โ2๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐ ๏ฟฝ1โ๐๐2
๐๐
Dans les deux cas le rรฉgime stationnaire est une droite de pente Ka dans le cas ๐๐ < 1 Le rรฉgime transitoire est oscillant.
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37
3. Rรฉponse frรฉquentielle des systรจmes linรฉaires :
Lโรฉtude de la rรฉponse en frรฉquence concerne lโรฉtude de la rรฉponse du systรจme lorsquโil est soumis aux entrรฉes sinusoรฏdales de frรฉquences diffรฉrentes. La rรฉponse en frรฉquences peut รชtre regardรฉe de deux maniรจres : par l'intermรฉdiaire du diagramme de Bode ou diagramme de Nyquist.
3.1 Diagramme de BODE:
Le diagramme de Bode permet dโรฉtudier la rรฉponse en frรฉquences dโun systรจme linรฉaire de
fonction de transfert G(p). Pour ce faire, on remplace ๐๐ par ๐๐๐๐, ce qui permet dโรฉcrire la
fonction de transfert sous la forme suivante: ๐บ๐บ(๐๐๐๐) = ๐ด๐ด(๐๐)๐๐๐๐๐๐(๐๐). Dans cette expression, on
considรจre le module )(ฯA et lโargument )(ฯฯ de la fonction complexe paramรฉtrรฉe par la
pulsation ๐๐. Le diagramme de Bode est obtenu en traรงant (asymptotiquement) les fonctions
suivantes de ๐ด๐ด(๐๐) et )(ฯฯ sur des รฉchelles logarithmiques en abscisse ๐๐ (Figure 4.6)
๐ด๐ด|๐๐๐น๐น = 20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ10|๐บ๐บ(๐๐๐๐)| et ๐๐ = arg (๐บ๐บ(๐๐๐๐) (4.27)
On notera que lโun des avantages du diagramme de Bode est que le diagramme global est la somme algรฉbrique des digrammes partiels. On donnera quelques exemples de tracรฉs des courbes de Bode.
3.1.1 Exemple 1
On considรจre un systรจme de fonction de transfert en boucle ouverte : G(p) = p (4.28)
Pour รฉtudier la rรฉponse en frรฉquences de ce systรจme, on remplace ๐๐ = ๐๐๐๐,
Dโoรน : ฯฯ jjG =)( (4.29)
Pour utiliser la reprรฉsentation de Bode, on cherche les expressions du gain et de la phase de la fonction de transfert.
Le gain est : ๐บ๐บ|๐๐๐น๐น = 20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ10|๐๐๐๐| ( 4.30)
0.01 0.1 1000 10
10 1
20log (๐บ๐บ(๐๐))
Figure 4.6 : Echelle logarithmique du diagramme de Bode
20dB
-
0 ๐๐
๐บ๐บ(๐๐) = 10
๐บ๐บ(๐๐) = 0.1
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38
Dโoรน : ๐บ๐บ|๐๐๐น๐น = 20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ10๐๐ (4.31)
Cโest cette courbe quโil faut tracer asymptotiquement. Il sโagit dโune droite de pente รฉgale ร : +20dB/dรฉcade (dรฉcade=[๐๐ 10๐๐])
La phase est : )0arg(ฯฯ= =2
)arg( ฯ=โ , elle est constante (90ยฐ). (4.32)
La courbe asymptotique est donnรฉe par la figure 4.7
3.1.2 Exemple 2
On considรจre le systรจme de fonction de transfert :
๐บ๐บ(๐๐) = 11+๐๐๐๐
(4.33)
๐๐ est une constante positive (la constante de temps).
๐บ๐บ(๐๐๐๐) = 11+๐๐๐๐๐๐
(4.34)
Le gain en dB
G๐๐๐น๐น = โ20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ10(1 + ๐๐2๐๐2)12๏ฟฝ = โ10๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ10(1 + ๐๐2๐๐2) (4.35)
Et la phase : )arctan(ฯฯฯ โ= ( 4.36)
Le diagramme asymptotique est obtenu par le raisonnement suivant. On รฉtudie le gain aux basses frรฉquences et aux hautes frรฉquences. Les basses et hautes frรฉquences sont dรฉterminรฉes par rapport ร une frรฉquence de coupure ๐๐๐๐ qui est dรฉfinie par : ๐๐๐๐๐๐ = 1.
--Si ๐๐ โช ๐๐๐๐, le gain en basses frรฉquences est : G๐๐๐น๐น dB0)1(log10 10 =โ= . Donc en basse
frรฉquences : de ๐๐ = 0 jusquโร ๐๐ = ๐๐๐๐ le gain en dรฉcibel est nul.
--Si ๐๐ โซ ๐๐๐๐, , le gain en hautes frรฉquences est : ).(log.20 10 ฯฯโ=dBG . Donc en hautes
frรฉquences : de ๐๐ = ๐๐๐๐ jusquโร ๐๐=infinie, le gain est asymptotiquement linรฉaire.
๐๐
๐บ๐บ๐๐๐น๐น
๐๐
๐๐
90ยฐ
Figure 4.7 : Diagramme de Bode asymptotique de G(p)=p
Cours dโAsservissement Linรฉaire et Rรฉgulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O
39
De mรชme, pour le dรฉphasage,
--Si ๐๐ โช ๐๐๐๐, le dรฉphasage en basses frรฉquences est : ยฐ=โ= 0)0arg(ฯ . Donc en basse frรฉquences : de w=0 jusquโร ๐๐ = ๐๐๐๐ , le dรฉphasage en dรฉcibel est pratiquement nul.
--Si ๐๐ โซ ๐๐๐๐, le dรฉphasage en hautes frรฉquences est : ยฐโ=โโ= 90)arg(ฯ . Donc en hautes frรฉquences : de ๐๐ = ๐๐๐๐ jusquโร ๐๐ = infinie, le dรฉphasage est asymptotiquement รฉgale ร 90ยฐ..
Ayant dรฉterminรฉ le comportement asymptotique, il reste ร prรฉciser les valeurs du gain et du dรฉphasage au voisinage de la frรฉquence de coupure. Ceci est obtenu en posant ๐๐ = ๐๐๐๐. On en dรฉduit le gain qui vaut -3 dB.
dBG cc 3)2(log.20)1(log20)( 1021
2210 โ==+โ== ฯฯฯฯ (4.37)
Pour le dรฉphasage ร la frรฉquence de coupure, on a: .45)1arg()arg( ยฐโ=โ=โ= cฯฯฯ (4.38)
Le diagramme de Bode Asymptotique est donnรฉ par la figure
3.1.3 Exemple 3 : Systรจme du second ordre :
Soit le systรจme de fonction de transfert : 22
2
2)(
nn
n
pppG
ฯฮพฯฯ
++= avec 0<ฮพ <1 (4.39)
On a dรฉjร dรฉterminรฉ les expressions du gain et du dรฉphasage qui sont :
2222 4)1((
1)(nn
Gฯฮพฯ
ฯ+โ
= et )1(
2)( 2n
n
ฯฮพฯฯโ
โ=ฮฆ (4.40)
โข Comportement asymptotique
Lโexpression du gain est : 2122
2
2
10 ])2()1[(log20nn
dBGฯฯฮพ
ฯฯ
+โโ= (4.41)
1 ๐๐๏ฟฝ
-90ยฐ
๐๐
๐บ๐บ๐๐๐น๐น
๐๐
๐๐
-20dB
Figure 4.7 : Diagramme de Bode asymptotique dโun systรจme du premier ordre
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40
--En basses frรฉquences, 1<<nฯ
ฯ , GdB โ - 0)1(log20 10 โ . Lโasymptote en basse frรฉquences
est nulle.
--En hautes frรฉquences, 1>>nฯ
ฯ , GdB โ - )(log40 10nฯ
ฯ ; Lโasymptote en hautes frรฉquences
est une pente de -40 dB/ dรฉcade.
--Si la pulsation du signal dโentrรฉe est ๐๐๐๐ , alors 1=n
c
ฯฯ ; le gain est : 2
12
10 ])2[(log20 ฮพโ=G .
Ce gain pour la frรฉquence de coupure dรฉpend du coefficient dโamortissement. Si on suppose ฮพ =1, le gain est de โ6dB.
On effectue un raisonnement analogue pour dรฉterminer le diagramme asymptotique du dรฉphasage.
))1(
2arg()( 2n
n
ฯฮพฯฯโ
โ=ฮฆ (4.41)
--En basses frรฉquences, 1<<nฯ
ฯ , - 0โ ฮฆ . lโasymptote en basse frรฉquences est nulle.
--En hautes frรฉquences, 1>>nฯ
ฯ , ยฐโ=โโโโโโโ=ฮฆ 180)0arg()1arg())1(2arg()( 2x
x
ฯฮพฯฯ ;
Lโasymptote en hautes frรฉquences est une droite horizontale ร โ90ยฐ..
--Si la pulsation du signal dโentrรฉe est wc, alors 1=n
c
ฯฯ ; le dรฉphasage est :
ยฐโ=โโ=ฮฆ 90)arg()( cฯ
Le diagramme de Bode (amplitude et phase) est donnรฉ pour 15,0
1)( 2 ++=
pppF dans la
figure 4.8.
Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
eg);
Mag
nitu
de (d
B)
Bode Diagrams
-40
-30
-20
-10
0
10From: U(1)
10-1 100 101-200
-150
-100
-50
0
To: Y
(1)
Figure 4.8 : courbes de Bode dโun systรจme du second ordre
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41
a--La pulsation de rรฉsonance est celle qui coupe lโaxe (0dB) ร la pulsation :
ฯ =ฯ rรฉsonance
2122
2
2
10 ])2()1[(log20nn
dBG
ฯฯฮพ
ฯฯ
+โโ= (4.42)
Dรฉrivant ๐บ๐บ|๐๐๐น๐น pour ฯ =ฯ R :
๐๐๐บ๐บ|๐๐๐๐ ๐๐๐๐
= 0 โ ฯ R = ฯ n 221 ฮพโ si 22ฮพ < 1 ou bien ฮพ < 0.7 (4.43)
si ฮพ trรจs petit : ฯ R โ ฯ n et
Cas de ๐บ๐บ|๐๐๐น๐น ๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ =
n
R
n
R jฯฯฮพ
ฯฯ 21
1
2
2
+โ ; (4.44)
Si ;7.0<ฮพ le module A passe par un Max, ๐บ๐บ|๐๐๐น๐น max = 212
1ฮพฮพ โ
(4.45)
Ce maximum est obtenu par : 21 ฮพฯฯฯ โ== nR . (4.46)
Le facteur de rรฉsonance ou facteur de surtension: 212
1ฮพฮพ โ
=Q . (4.47)
Diagramme de Bode avec Matlab
On peut utiliser la fonction Bode de Matlab en donnant directement le numรฉrateur et le dรฉnominateur de la fonction de transfert. Par exemple :
๐๐(๐๐) = 50๐๐3+9๐๐2+30๐๐+40
Lโexpression de Bode est : Bode (50,[1 9 30 40]) donne le diagramme de Bode de la FT (amplitude et phase):
Figure 4.9 : courbes de Bode dโun systรจme du second ordre par M l b
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42
La frรฉquence est reprรฉsentรฉe sur une รฉchelle logarithmique, la phase est donnรฉe en degrรฉs, et lโamplitude en dรฉcibels.
3.2 Lieu et diagramme de NYQUIST
Les courbes de gain et de phase ne constituent pas la seule reprรฉsentation possible du comportement harmonique dโun systรจme de fonction de transfert ๐บ๐บ(๐๐). Il existe une autre reprรฉsentation qui consiste ร dรฉcomposer la fonction de transfert en sa partie rรฉelle et imaginaire
๐บ๐บ(๐๐) = ๐ ๐ ๐๐(๐๐) + ๐๐๐๐๐๐(๐๐) (4.48)
Cette formulation est exploitรฉe par Nyquist pour reprรฉsenter la rรฉponse harmonique dโun systรจme donnรฉe par sa fonction de transfert, il sโagit du tracรฉ de la courbe polaire des points M de coordonnรฉes ๐บ๐บ(๐๐) et ๐๐(๐๐) lorsque ๐๐ varie de 0 ร +โ . Cette courbe sโappelle le lieu de Nyquist ou lieu polaire. (Figure 4.9)
Exemple1 :
Soit le systรจme de fonction de transfert : ๐บ๐บ(๐๐) = 1๐๐+1
Pour รฉtablir le lieu de Nyquist, on remplace p par ๐๐๐๐ dans ๐บ๐บ(๐๐) et on dรฉcompose ๐บ๐บ(๐๐๐๐) en une partie rรฉelle et une partie imaginaire.
๐บ๐บ(๐๐๐๐) = 11+๐๐๐๐
= 1โ๐๐๐๐1+๐๐2 22 1
)Im(1
1)(Reฯฯฯ
ฯฯ
+=
+= etl
Le lieu de Nyquist est obtenu pour diffรฉrentes valeurs de ฯ de 0 jusquโร lโinfini. On se contente dโune รฉtude asymptotique et de la dรฉtermination de quelques points remarquables.
โโ
โ0Im1Re
0l
ฯ ;
โโ
โโ0Im0Re l
ฯ ;
โ
โโ
21Im
21Re
1l
ฯ
On obtient le tracรฉ du lieu de Nyquist donnรฉ par la figure (4.11)
0
๐๐๐๐(๐บ๐บ(๐๐))
๐๐(๐๐)
|๐บ๐บ(๐๐)
๐๐
๐ ๐ ๐๐
๐๐๐๐
๐ ๐ ๐๐(๐บ๐บ(๐๐))
Figure 4.10 : Dรฉfinition du diagramme de Nyquist
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43
Exemple 2
Soit le systรจme de FT : ๐ป๐ป(๐๐) = 1(๐๐+1)(๐๐+2)
Pour รฉtablir le lieu de Nyquist, on remplace p par ๐๐๐๐ dans H(p) et on dรฉcompose H(๐๐๐๐) en une partie rรฉelle et une partie imaginaire comme suit.
)( ฯjH =)2)(1(
1++ ฯฯ jj
= )22(
12 ฯฯฯ jj +โ+
= 222
2
9)2(32ฯฯฯฯ
+โ
โโ j
dโou : Rel(๐๐)= 222
2
9)2(2
ฯฯฯ+โ
โ et Im(๐๐)= 222 9)2(
3ฯฯ
ฯ+โ
โ
On dรฉtermine quelques points caractรฉristiques pour tracer le lieu de Nyquist :
Pour w0, on a: Rel(0) = 21 et Im(0)=0
Pour wโ , on a : Rel(โ ) = 0 et Im(โ ) = 0
-1 -0.5 0 0.5
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
Nyquist Diagram
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
Figure 4.11 : Tracรฉ de Nyquit de la FT ๐บ๐บ(๐๐) = 1๐๐+1
Figure 4.12 : Tracรฉ de Nyquist de la FT ๐บ๐บ(๐๐) = 1(๐๐+1)(๐๐+2)
par Matlab
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44
3.3 Abaques de Black Nichols :
Il existe un outil graphique permettant de dรฉduire la rรฉponse frรฉquentielle de la boucle fermรฉe ร partir de la rรฉponse frรฉquentielle de la boucle ouverte cโest lโabaque de Black-Nichols Il faut dโabord obtenir un schรฉma fonctionnel de boucle fermรฉe (BF) dite ร retour unitaire pour le quel le gain de la chaine de retour รฉgale ร 1.
Fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO): ๐บ๐บ(๐๐๐๐) = ๐ด๐ด(๐๐)๐๐๐๐๐๐ = ๐ด๐ด(๐๐)[cos ๐๐ + ๐๐๐ ๐ ๐น๐น๐๐๐๐] (4.49) Fonction de transfert en boucle fermรฉe (FTBF ):
๐ป๐ป(๐๐) = ๐บ๐บ(๐๐)1+๐บ๐บ(๐๐)
(4.50)
Pour
๐๐ = ๐๐๐๐ โ |๐ป๐ป(๐๐๐๐)| = |๐บ๐บ(๐๐)||1+๐บ๐บ(๐๐)| (4.51)
|๐ป๐ป(๐๐)| =๐ด๐ด(๐๐)
|1 + ๐ด๐ด(๐๐)๐๐๐๐๐๐| =๐ด๐ด(๐๐)
|1 + ๐ด๐ด(๐๐)[cos ๐๐ + ๐๐๐ ๐ ๐น๐น๐๐๐๐]|
|๐ป๐ป(๐๐)| =๐ด๐ด(๐๐)
[(1 + ๐ด๐ด(๐๐) cos ๐๐)2 + (๐ด๐ด(๐๐) sin ๐๐)2]1/2 (4.52)
|๐ป๐ป(๐๐)| =๐ด๐ด(๐๐)
[1 + 2๐ด๐ด(๐๐)๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ + ๐ด๐ด(๐๐)2]1/2 (4.53)
On cherche maintenant la phase :
๐ป๐ป(๐๐) =๐ด๐ด(๐๐)[cos ๐๐ + ๐๐๐ ๐ ๐น๐น๐๐๐๐]
1 + ๐ด๐ด(๐๐)[cos ๐๐ + ๐๐๐ ๐ ๐น๐น๐๐๐๐] (4.54)
=๐ด๐ด(๐๐)[cos ๐๐ + ๐๐๐ ๐ ๐น๐น๐๐๐๐]๏ฟฝ1 + ๐ด๐ด(๐๐)[cos ๐๐ โ ๐๐๐ ๐ ๐น๐น๐๐๐๐]๏ฟฝ
(1 + ๐ด๐ด(๐๐) cos ๐๐)2 + ๐ด๐ด(๐๐)2๐ ๐ ๐น๐น๐๐๐๐2
๐ผ๐ผ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
= ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐+๐ด๐ด(๐๐)
(4.55)
< ๐ป๐ป(๐๐) = arctan ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐+๐ด๐ด(๐๐)
(4.56)
Lโabaque de Black est obtenu en traรงant(๐๐, ๐ด๐ด๐๐๐น๐น) le lieu tel que
+
-
S(p) E(p) G(p)
Figure4.12 : schรฉma fonctionnel dโune boucle fermรฉe ร retour
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45
๏ฟฝ20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐ด๐ด(๐๐) = ๐ถ๐ถ๐ก๐ก๐๐ โ ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐ก๐ก๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐ ๐๐โฒ๐๐๐๐๐๐๐๐๐น๐น๐ก๐ก๐ข๐ข๐๐๐๐๐๐(๐๐) = ๐ถ๐ถ๐ก๐ก๐๐ โ ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐ก๐ก๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐โ๐๐๐ ๐ ๐๐
Les courbes seront dรฉfinies entre 0ยฐ et 360ยฐ. Les courbes doivent รชtres symรฉtriques par rapport ร โ๐๐
Remarque : Pour lโรฉtude de la stabilitรฉ la zone qui nous intรฉresse est comprise entre [-180ยฐ, 0dB]
Exemple : Prenant lโexemple donnรฉ au paragraphe (2.4 ) : ๐ป๐ป(๐๐) = 1
(๐๐+1)(๐๐+2)
Traรงant le diagramme de black Nichols par Matlab : Nichols ([1],[1 3 2])
Figure 4.13 : Abaque de Black Nichols
-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
6 dB 3 dB
1 dB 0.5 dB
0.25 dB 0 dB
-1 dB
-3 dB -6 dB
-12 dB
-20 dB
-40 dB
-60 dB
-80 dB
-100 dB
Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
Ope
n-Lo
op G
ain
(dB)
Figure 4.12 : Tracรฉ de Black Nichols de la FT ๐บ๐บ(๐๐) = 1(๐๐+1)(๐๐+2)
par Matlab
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46
Chapitre 5 : Stabilitรฉ dโun asservissement
1. Introduction :
Lโรฉtude de la stabilitรฉ est dโune importance capitale dans lโรฉtude des systรจmes et des systรจmes asservis. Dans ce chapitre nous allons donner les diffรฉrents critรจres de stabilitรฉ dโun asservissement.
2. Enoncรฉ du critรจre de stabilitรฉ :
Un systรจme bouclรฉ est stable si et seulement si sa sortie, autrement dit la grandeur physique rรฉelle ร rรฉguler reste bornรฉe lorsque l'on injecte un signal bornรฉ ร son entrรฉe. Dans la pratique, on exige que le signal de sortie converge effectivement vers une valeur finie. Dโune maniรจre plus gรฉnรฉrale, aucun signal dans la boucle de rรฉgulation, ne doit osciller ou tendre vers lโinfini.
Dรฉfinition : Un systรจme est stable si ร une entrรฉe bornรฉe correspond une sortie bornรฉe.
Remarque:
โข Une autre dรฉfinition : Un systรจme est stable si sa rรฉponse libre tend vers zรฉro lorsque le temps tend vers lโinfini.
โข La stabilitรฉ dโun systรจme asservi est une condition obligatoire : lโinstabilitรฉ est en gรฉnรฉrale synonyme de destruction du systรจme.
Systรจme
Figure 5.1 Exemple dโun comportement instable
Systรจme
Figure 5.2 Exemple dโun comportement stable
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47
3. Analyse de Stabilitรฉ :
On distingue trois critรจres dโanalyse de stabilitรฉ illustrรฉs par la figure 5.3
3.1 Critรจre mathรฉmatique :
Considรฉrons le schรฉma gรฉnรฉral dโun systรจme asservi reprรฉsentรฉ sur la figure 5.4, la condition mathรฉmatique de stabilitรฉ sโรฉnonce ainsi :
Un systรจme asservi est stable si et seulement si sa fonction de transfert en boucle fermรฉe (FTBF) ne possรจde aucun pรดle ร partie rรฉelle positive.
S(p) E(p)
Figure 5.3 : Critรจres dโanalyse de stabilitรฉ
G(p)
Figure 5.4 : Systรจme en boucle fermรฉe
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48
Illustration sur un systรจme du deuxiรจme ordre :
Exemple:
Soit le systรจme de fonction de transfert en boucle fermรฉe donnรฉe par lโรฉquation (5.1)
๐๐(๐๐) = ๐พ๐พ(๐๐+5)(๐๐+2)
(5.1)
Les pรดles du systรจme sont:
๐๐1 = โ5 < 0, ๐๐2 = โ2 < 0 โน Deux pรดles ร partie rรฉelle nรฉgative โ systรจme stable
3.2 Critรจre algรฉbrique de Routh: Le critรจre de Routh est un critรจre permettant de dรฉterminer ร partir du polynรดme caractรฉristique (dรฉnominateur de la fonction de transfert en boucle fermรฉe), le signe des racines de ce polynรดme sans rรฉsoudre lโรฉquation caractรฉristique
1+ G(p) =0 (5.1)
Remarque : Dans la suite du cours la FTBO est notรฉe G(p). (figue5.4)
Soit lโรฉquation caractรฉristique de lโasservissement (Dรฉterminant de la F.T.B.F)
๐ธ๐ธ(๐๐) = 1 + ๐๐. ๐๐. ๐น๐น. ๐น๐น = 1 + ๐บ๐บ(๐๐) = 0 (5.2 )
On la met sous forme polynomiale:
๐ธ๐ธ(๐๐) = 1 + ๐๐๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐โ1๐๐๐๐โ1 + โฏ + ๐๐1๐๐ + ๐๐0 = 0 (5.3)
On construit la table de Routh comme suit :
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49
(5.4)
Avec
La procรฉdure est itรฉrรฉe jusqu'ร p0
Rรฉsultat : le systรจme est stable si tous les coefficients de la premiรจre colonne sont de mรชme signe.
โข Le nombre de pรดles instable (i.e. ร partie rรฉelle positive) de la F.T.B.F est รฉgale au nombre de changements de signe sur la premiรจre colonne.
โข Si au cours de calcul on trouve un zรฉros dans la premiรจre colonne seulement on le remplace par ๐๐ โช 1 et on continue le calcul. pour l'analyse de stabilitรฉ on fait tendre ๐๐ vers 0.
โข Lโobtention des zรฉros sur une ligne entiรจre correspond ร une paire de pรดles imaginaires conjuguรฉs
Exemple 1 : soit lโรฉquation caractรฉristique dโun asservissement :
๐ธ๐ธ(๐๐) = ๐๐4 + 6๐๐3 + 13๐๐2 + 12๐๐ + 4 = 0 (5.5)
La table de Routh correspondantes est la suivante :
(5.6)
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50
Il nโy a pas de changement de signe dans la premiรจre colonne donc la FTBF nโa pas de pรดles ร partie rรฉelle positive, par consรฉquence le systรจme asservi est stable en boucle fermรฉe
Exemple 2 : soit lโรฉquation caractรฉristique dโun asservissement
๐ธ๐ธ(๐๐) = ๐๐5 + 6๐๐4 + 12๐๐3 + 12๐๐2 + 11๐๐ + 6 = 0 (5.7)
La table de Routh est la suivante:
(5.8)
Une ligne entiรจrement รฉgale ร zรฉros implique 1 paire de pรดles imaginaires purs. Soit
๐ธ๐ธ1(๐๐) = 6๐๐2 + 6 (5.8)
Et on remplace dans la ligne suivante par :
๐๐๐ธ๐ธ1(๐๐)๐๐๐๐
= 12๐๐ (5.9)
Et en constitue la table de Routh.
Il nโy a pas de changement de signe dans les coefficients de la premiรจre colonne, alors la FTBF nโa pas de pรดles ร partie rรฉelle positive, mais elle a deux pรดles imaginaires purs. Ce sont les racines de :
๐ธ๐ธ1(๐๐) = 6๐๐2 + 6 = 0 โ ๐๐ = โ๐๐ (5.10)
Remarque : le critรจre de Routh est trรจs utile lorsque les coefficients du polynรดme sont des paramรจtres de rรฉglage de lโasservissement.
Exemple 3 : soit un systรจme placรฉ dans une boucle de rรฉgulation ร retour unitaire (Figure5.4) ๐บ๐บ(๐๐) = ๐พ๐พ
๐๐(๐๐2+๐๐+3) (5.11)
A lโaide du critรจre de Routh, trouver la valeur de K, pour laquelle le systรจme en boucle fermรฉe est stable.
Le systรจme est stable pour : K<3
Remarque : le critรจre mathรฉmatique et celui de Routh, sont des critรจres de stabilitรฉ absolue, ils ne permettent pas de prรฉciser les marges de stabilitรฉ du systรจme. En dโautres termes, ils nโindiquent pas le degrรฉ de stabilitรฉ ou dโinstabilitรฉ.
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51
3.3 Critรจre gรฉomรฉtrique de Nyquist : 3.3.1 Principe
Cโest un critรจre graphique de stabilitรฉ en B.F obtenu ร partir du lieu de Nyquist du systรจme en B.O. Il utilise le thรฉorรจme de Cauchy appliquรฉ ร la fonction de transfert du systรจme asservi.
3.3.2 Thรฉorรจme de Cauchy
Soit f(p) une fonction analytique au voisinage dโun contour fermรฉ C. elle possรจde m zรฉros, et n pรดles, qui sont tous ร lโintรฉrieur de C.
Lorsque p se dรฉplace le long de C, dans le sens trigonomรฉtrique, lโimage de C, fait autour de lโorigine un nombre de tours รฉgale ร m-n.
Figure5.5 : f(C) fera 3-2=1 tour dans le sens trigonomรฉtrique autour de l'origine.
Consรฉquence:
Pour un asservissement, la courbe 1+G (jw) orientรฉe pour w allant de +โ ร -โ fait autour du point (0,0) un nombre de tour donnรฉ par : N=Z-P
Z : est le nombre de pรดles instables de lโasservissement en boucle fermรฉe.
P : est le nombre de pรดles instables de la fonction de transfert en boucle ouverte.
3.3.3 Contour de Nyquist :
Il est dรฉfini par le demi-pรฉrimรจtre dโun cercle de rayon R et de centre 0 lorsque R โ โ, du cotรฉ des parties rรฉelles positives.
Figure5.6 : Contour de Nyquist
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52
Enoncรฉ 1: un systรจme est stable en boucle fermรฉe si lโimage du contour de Nyquist par E(p)=1+G(p) fait autour de lโorigine, dans le sens trigonomรฉtrique, un nombre de tours รฉgale au nombre de pรดles ร partie rรฉelle positive de la fonction de transfert en boucle ouverte G(p).
Remarque : lโรฉtude de lโimage de C par E(p)=1+G(p) par rapport ร lโorigine (0,0) est รฉquivalente ร lโรฉtude de son image par G(p) par rapport au point (-1,0) appelรฉ point critique. Dโoรน lโรฉnoncรฉ suivant lโimage du contour de Nyquist par la fonction G(p)
Enoncรฉ 2: un systรจme est stable en boucle fermรฉe si fait autour du point critique, dans le sens trigonomรฉtrique, un nombre de tours รฉgale au nombre de pรดles ร partie rรฉelle positive de la fonction de transfert en boucle ouverte G(p).
Exemple
G(p) a 3 pรดles ร partie rรฉelle nรฉgative, mais aucun pรดle ร partie rรฉelle positive โ donc P=0
Lโimage du contour de Nyquist par G(p) fait 2 tours autour du point critique โ donc N=2
Z=N+P=2+0=2 โ FTBF ร 2 pรดles ร partie positives donc le systรจme asservi est instable
3.3.5 Critรจre du revers :
Si la FTBO dโun systรจme asservi ne possรจde aucun pรดle ร partie rรฉelle positive, alors ce systรจme est stable en boucle fermรฉe si, en parcourant le lieu de Nyquist de la FTBO dans le sens des ๐๐ croissantes (de 0 ร โ), on laisse le point critique (-1,0) ร gauche de la courbe .
Figure 5.7 : Contour de Nyquist de G(p)
Figure 5.8 :Lโimage du contour de Nyquist par la fonction G(p)
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53
Remarque : Il ne faut pas oublier que lโon trace toujours le lieu de Nyquist du systรจme en boucle ouverte pour รฉtudier la stabilitรฉ en boucle fermรฉe.
3.3.6 Critรจre du revers ร partir du diagramme de Black :
Un systรจme asservis linรฉaire est stable si, en dรฉcrivant le lieu de transfert en boucle ouverte dans le sens des w croissantes, on laisse le point critique (-180ยฐ,0db) sur la droite. Il est instable dans le cas contraire.
3.3.7 Critรจre du revers ร partir du diagramme de Bode :
Un systรจme asservi est stable si, ร la pulsation w1 pour laquelle |FTBO|dB(jw)=0dB, le dรฉphasage est supรฉrieur ร -180ยฐ
Figure5.9: Critรจre de revers ร partir du lieu de Nyquit
Figure5.10 : Critรจre de revers ร partir des diagrammes de Black
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Instable Stable
3.4 Les marges de stabilitรฉ :
3.4.1 Dรฉtermination des marges de stabilitรฉ ร partir des diagrammes de Bode
a) Marge de Gain (MG)
On dรฉtermine la pulsation wc pour laquelle le dรฉphasage est de -180ยฐ, la marge de gain est la distance (en dB) entre la courbe et lโaxe des abscisses.
b) Marge de Phase (MP)
On dรฉtermine la pulsation ๐๐๐๐0 pour laquelle le gain est 0dB, on mesure la distance entre la courbe de phase et -180ยฐ.
Exemple ci-dessous : ๐๐๐๐0 =0.5 ; MP= 75ยฐ(โ๐๐)
3.4.2 Dรฉtermination des marges de stabilitรฉ ร partir des diagrammes de Nyquist
a) Marge de Gain (MG)
Cโest la distance entre le point critique et lโintersection du lieu de Nyquist avec lโaxe des rรฉels. (Voir courbe figure 5.12 )
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-100
-50
0
50
100
Magnitude (
dB
)
From: Input Point To: Output Point
System: untitled_1 Gain Margin (dB): -15.9 At frequency (rad/sec): 2 Closed Loop Stable? No
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
Phase (
deg) System: untitled_1
Phase Margin (deg): -40.7 Delay Margin (sec): 1.28 At frequency (rad/sec): 4.35 Closed Loop Stable? No
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-150
-100
-50
0
50
Magnitude (
dB
)
From: Input Point To: Output Point
System: untitled_1 Gain Margin (dB): 17.1
At frequency (rad/sec): 5.92 Closed Loop Stable? Yes
10-2
10-1
100
101
102
103
-270
-180
-90
0
Phase (
deg)
System: untitled_1 Phase Margin (deg): 89.1 Delay Margin (sec): 1.02
At frequency (rad/sec): 1.53 Closed Loop Stable? Yes
Figure5.11 : Critรจre de revers ร partir des diagrammes de Bode
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b) Marge de Phase (MP)
Cโest lโangle entre lโaxe des rรฉels nรฉgatifs et le vecteur OM. Le point M correspond ร lโintersection du lieu de transfert FTBO (๐๐๐๐)avec le cercle de centre (0,0) et de rayon unitรฉ. La pulsation en ce point est w1. (Voir courbe figure 5.12)
Systรจme stable โ๐บ๐บ > 0, โ๐๐ > 0 Systรจme instable โ๐บ๐บ < 0, โ๐๐ < 0
Remarque :
โข Un systรจme qui a une marge de gain ou une marge de phase positive est un systรจme stable.
โข Un systรจme qui a une marge de gain ou une marge de phase nรฉgative est un systรจme instable.
โข Un systรจme qui a une marge de gain ou une marge de phase nulle est un systรจme ร la limite de stabilitรฉ.
Les valeurs usuelles des marges de stabilitรฉ permettant un rรฉglage correct des boucles dโasservissement sont :
Figure 5.12 Stabilitรฉ ร partir des diagrammes de Nyquist
Figure 5.13 : stabilitรฉ ร partir des diagrammes de Bode
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Marge de gain : 10dB ร 15dB
Marge de phase: 40ยฐ ร 45ยฐ
Lorsque la fonction de transfert en boucle ouverte est explicitement connue, il est possible de dรฉterminer algรฉbriquement les marges de stabilitรฉ. Dans le cas contraire, on utilise le tracรฉ expรฉrimental.
4. Exemples :
8.1 Exemple 1 (critรจre algรฉbrique):
En utilisant le critรจre de ROUTH, discuter la position des racines des polynรดmes suivants dans le plan complexe โ :
a) ๐๐4 + 10๐๐3 + 35๐๐2 + 50๐๐ + 24 = 0
b) ๐๐3 โ 4๐๐2 โ 7๐๐ + 10 = 0
c) ๐๐5 + 2๐๐4 + 15๐๐3 + 30๐๐2 โ 20๐๐ โ 40 = 0
d) ๐๐3 โ 3๐๐ + 2 = 0
Exemple 2 (critรจre algรฉbrique):
Soit le polynรดme: ๐๐4 + ๐๐3 + ๐๐2 + ๐๐ + ๐๐ = 0
Quelle est la condition sur k pour que touts les racines de ce polynรดme soient ร gauche de plan complexe โ ?
Exemple 3 (critรจre graphique):
Soit ๐ป๐ป(๐๐) la fonction de transfert dโun systรจme asservi en boucle ouverte :
๐ป๐ป(๐๐) =22.8
(๐๐ + 1)(๐๐ + 2)(๐๐ + 3)
1) Normaliser ๐ป๐ป(๐๐) et tracer sur papier semi-log les courbes de gain et de phase de ๐ป๐ป(๐๐) ?
2) Trouver graphiquement la marge de gain et la marge de phase ?
3) Tracer le lieu de transfert de ๐ป๐ป(๐๐) dans la plan de Nyquist ร partir des courbes de Bode ?
4) Calculer les valeurs prรฉcises de MG et Mษธ, est ce que le systรจme est stable ?
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Chapitre 6 : Prรฉcision d'un systรจme asservi
1. Introduction :
Nous supposerons dans l'รฉtude qui suit que les systรจmes asservis รฉtudiรฉs sont stables. La prรฉcision d'un systรจme est dรฉfinie ร partie de l'erreur entre la grandeur de consigne E et la grandeur de sortie S (Figure 6.1) nous analyserons la prรฉcision statique qui caractรฉrise la limite de l'erreur ๐๐ au bout d'un temps infini pour une entrรฉe donnรฉe, c'est-ร -dire le rรฉgime permanent.
Figure 6.1 Schรฉma d'un asservissement a retour unitaire
2. Erreur statique ou erreur de position :
Soit un systรจme bouclรฉ de fonction de transfert en boucle ouverte G(p) et de fonction de transfert en boucle fermรฉe H(p). On appelle erreur statique, le paramรจtre ๐๐๐๐ dรฉfini par : ๐๐๐๐ =lim๐๐โโ
๐๐(๐ก๐ก) lorsque e(t)=u(t) รฉchelon unitaire.
En invoquant le thรฉorรจme de la valeur finale, on a:
๐๐๐๐ = lim๐๐โ0
๐๐๐๐(๐๐) = lim๐๐โ0
๐๐[๐ธ๐ธ(๐๐) โ ๐๐(๐๐)] = lim๐๐โ0
๐๐[๐ธ๐ธ(๐๐) โ ๐ป๐ป(๐๐)๐ธ๐ธ(๐๐)] (6.1)
Puisque l'entrรฉe est un รฉchelon unitaire, on a
๐๐๐๐ = lim๐๐โ0
๐๐๐๐(๐๐) = lim๐๐โโ
๐๐ ๏ฟฝ1๐๐
โ ๐ป๐ป(๐๐)๐๐
๏ฟฝ = lim๐๐โ0
๏ฟฝ1 โ ๐ป๐ป(๐๐)๏ฟฝ = lim๐๐โ0
11+๐บ๐บ(๐๐)
(6.2)
Donc
๐๐๐๐ =1
1 + lim๐๐โ0
๐บ๐บ(๐๐) (6.3)
lim๐๐โ0
๐บ๐บ(๐๐) = ๐พ๐พ๐๐ (6.4)
Est le coefficient de l'erreur de position
Soit ๐บ๐บ(๐๐) = ๐พ๐พ๐๐๐๐
1+๐๐1๐๐+๐๐2๐๐+โฏ..1+๐๐1๐๐+๐๐2๐๐+โฏ
n est appeler la classe du systรจme
Pour n=0 le systรจme de classe 0, ๐พ๐พ๐๐ = lim๐๐โ0
๐บ๐บ(๐๐) = ๐พ๐พ le gain statique de F.T.B.O
Donc
E(p
๐๐(๐๐) S(p) G(p)
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58
๐๐๐๐ =1
1 + ๐พ๐พ (6.5)
Nous pouvons en conclure que la prรฉcision est d'autant meilleure que le gain statique est important.
Remarque :
Pour un systรจme de classe 1 et plus l'erreur de position est nulle. Cela revient ร dire que de tels systรจmes sont caractรฉrisรฉs par une prรฉcision statique parfaite.
3. Erreur de vitesse ou erreur de trainage:
Soit un systรจme bouclรฉ de fonction de transfert en boucle ouverte G(p) et de fonction de transfert en boucle fermรฉe H(p). On appelle erreur de vitesse ou erreur de trainage, le paramรจtre ๐๐๐ฃ๐ฃ dรฉfini par : ๐๐๐ฃ๐ฃ = lim
๐๐โโ๐๐(๐ก๐ก) lorsque e(t)=t rampe unitaire
En invoquant le thรฉorรจme de la valeur finale, on a:
๐๐๐ฃ๐ฃ = lim๐๐โ0
๐๐๐๐(๐๐) = lim๐๐โ0
๐๐[๐ธ๐ธ(๐๐) โ ๐๐(๐๐)] = lim๐๐โ0
๐๐[๐ธ๐ธ(๐๐) โ ๐ป๐ป(๐๐)๐ธ๐ธ(๐๐)] (6.6)
Puisque l'entrรฉe est une rampe unitaire, on a
๐๐๐ฃ๐ฃ = lim๐๐โ0
๐๐๐๐(๐๐) = lim๐๐โโ
๐๐ ๏ฟฝ1
๐๐2 โ๐ป๐ป(๐๐)
๐๐2 ๏ฟฝ = lim๐๐โ0
๏ฟฝ1 โ ๐ป๐ป(๐๐)
๐๐๏ฟฝ = lim
๐๐โ0
1๐๐ + ๐๐๐บ๐บ(๐๐) = lim
๐๐โ0
1๐๐๐บ๐บ(๐๐)
Donc
๐๐๐ฃ๐ฃ = lim๐๐โ0
1๐๐๐บ๐บ(๐๐)
(6.7)
Avec
๐พ๐พ๐ฃ๐ฃ = lim๐๐โ0
๐๐๐บ๐บ(๐๐) โ ๐๐๐ฃ๐ฃ = 1๐พ๐พ๐ฃ๐ฃ
(6.8)
๐พ๐พ๐ฃ๐ฃ : Le coefficient de l'erreur de vitesse
Pour un systรจme de classe 0 l'erreur de vitesse ๐๐๐ฃ๐ฃ โ โ
Pour un systรจme de classe 1 l'erreur de vitesse ๐๐๐ฃ๐ฃ = 1๐พ๐พ
Pour un systรจme de classe > 1 l'erreur de vitesse ๐๐๐ฃ๐ฃ = 0
4. Erreur d'accรฉlรฉration :
Soit un systรจme bouclรฉ de fonction de transfert en boucle ouverte G(p) et de fonction de transfert en boucle fermรฉe H(p). On appelle erreur d'accรฉlรฉration, le paramรจtre ๐๐๐๐ dรฉfini par : ๐๐๐๐ = lim
๐๐โโ๐๐(๐ก๐ก) lorsque e(t)=t2 parabole unitaire
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En invoquant le thรฉorรจme de la valeur finale, on a:
๐๐๐๐ = lim๐๐โ0
๐๐๐๐(๐๐) = lim๐๐โ0
๐๐[๐ธ๐ธ(๐๐) โ ๐๐(๐๐)] = lim๐๐โ0
๐๐[๐ธ๐ธ(๐๐) โ ๐ป๐ป(๐๐)๐ธ๐ธ(๐๐)] (6.9)
Puisque l'entrรฉe est une parabole unitaire, on a
๐๐๐๐ = lim๐๐โ0
๐๐๐๐(๐๐) = lim๐๐โโ
๐๐ ๏ฟฝ1
๐๐3 โ๐ป๐ป(๐๐)
๐๐3 ๏ฟฝ
= lim๐๐โ0
๏ฟฝ1 โ ๐ป๐ป(๐๐)
๐๐2 ๏ฟฝ = lim๐๐โ0
1๐๐2 + ๐๐2๐บ๐บ(๐๐)
= lim๐๐โ0
1๐๐2๐บ๐บ(๐๐)
Donc
๐๐๐๐ = lim๐๐โ0
1๐๐2๐บ๐บ(๐๐)
(6.10)
Avec
๐พ๐พ๐๐ = lim๐๐โ0
๐๐2๐บ๐บ(๐๐) โ ๐๐๐๐ = 1๐พ๐พ๐๐
( 6.11)
๐พ๐พ๐ฃ๐ฃ : Le coefficient de l'erreur d'accรฉlรฉration.
Pour un systรจme de classe 0 l'erreur d'accรฉlรฉration ๐๐๐๐ โ โ
Pour un systรจme de classe 1 l'erreur d'accรฉlรฉration ๐๐๐๐ โ โ
Pour un systรจme de classe 2 l'erreur d'accรฉlรฉration ๐๐๐๐ = 1๐พ๐พ
Pour un systรจme de classe >2 l'erreur d'accรฉlรฉration ๐๐๐๐ =0
5. Tableau rรฉcapitulatif:
Classe ๐ฒ๐ฒ๐๐ ๐ฒ๐ฒ๐๐ ๐ฒ๐ฒ๐๐ ๐บ๐บ๐๐ ๐บ๐บ๐๐ ๐บ๐บ๐๐ 0 K 0 0 ๐๐
๐๐ + ๐ฒ๐ฒ โ โ
1 โ K 0 0 ๐๐๐ฒ๐ฒ
โ
2 โ โ K 0 0 ๐๐๐ฒ๐ฒ
3 โ โ โ 0 0 0 4 โ โ โ 0 0 0
Tableau 6.1 : Tableau rรฉcapitulatif
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60
6. Exemple 1:
Soit le systรจme asservi suivant :
E + S
-
On donne la fonction de transfert en BF
๐๐(๐๐) =๐พ๐พ
๐๐๐๐2 + ๐๐๐๐ + ๐พ๐พ
1) Quelle est la classe de ce systรจme ?
2) Si lโentรฉe du systรจme est une rampe de pente 1, calculer lโerreur en fonction de K, M et N. Commenter vos rรฉsultats?
3) Confirmer vos rรฉsultats en utilisant les constantes dโerreurs ?
Solution : ๐๐(๐๐) = ๐ป๐ป(๐๐)1+๐ป๐ป(๐๐)
= ๐พ๐พ๐๐๐๐2+๐๐๐๐+๐พ๐พ
โ ๐ป๐ป(๐๐)๐๐๐๐2 + ๐ป๐ป(๐๐)๐๐๐๐ + ๐ป๐ป(๐๐)๐พ๐พ = ๐พ๐พ + ๐พ๐พ๐ป๐ป(๐๐)
โ ๐ป๐ป(๐๐) = ๐พ๐พ๐๐(๐๐๐๐+๐๐)
Donc le systรจme est de classe 1 ; lโerreur de position sera nulle et lโerreur de vitesse=cte.
2) lโentรฉe du systรจme est une rampe de pente 1 c.ร .d. ๐ธ๐ธ(๐๐) = 1๐๐2
โ ๐๐(๐๐)๐ธ๐ธ(๐๐)
=1
1 + ๐ป๐ป(๐๐)=
1
1 + ๐พ๐พ๐๐(๐๐๐๐ + ๐๐)
=๐๐๐๐2 + ๐๐๐๐
๐๐๐๐2 + ๐๐๐๐ + ๐พ๐พ
๐๐๐ฃ๐ฃ(๐๐) =1
๐๐2 .๐๐๐๐2 + ๐๐๐๐
๐๐๐๐2 + ๐๐๐๐ + ๐พ๐พ (6.14)
๐๐๐ฃ๐ฃ(๐ก๐ก โ โ) = lim๐๐โ0
๐๐. ๐๐๐ฃ๐ฃ(๐๐) = ๐๐๐พ๐พ
La valeur de lโerreur ne dรฉpend pas de M. Pour diminuer la valeur de lโerreur on ne peut quโagir sur la valeur de N et K (augmenter K, diminuer N).
3) Pour confirmer notre rรฉsultats on utilise la constante dโerreur ๐พ๐พ๐ฃ๐ฃ :
๐พ๐พ๐ฃ๐ฃ = lim๐๐โ0
๐๐๐ป๐ป(๐๐) = lim๐๐โ0
๐๐ ๐พ๐พ๐๐(๐๐๐๐+๐๐) = ๐พ๐พ
๐๐
H(p)
Figure 6.2 : systรจme en boucle fermรฉe
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61
7. Exemple 2 :
Un systรจme asservi ร retour unitaire et sa fonction de transfert en boucle ouverte H(p) (H(p) est quelconque).
E + S
-
On applique ร lโentrรฉe de ce S.A une commande de la forme
๐๐(๐ก๐ก) = ๐ผ๐ผ + ๐ฝ๐ฝ๐ก๐ก +๐พ๐พ2
๐ก๐ก2
1) Donner lโexpression de lโerreur en fonction de H(p) et des constantes dโerreurs, quand t โ.
2) Quelle est la classe du systรจme pour que lโerreur soit ๐๐ โ โ
Solution :
1) lโexpression de lโerreur en fonction de H(p) :
Lโentrรฉe du systรจme est : ๐๐(๐ก๐ก) = ๐ผ๐ผ + ๐ฝ๐ฝ๐ก๐ก + ๐พ๐พ2
๐ก๐ก2.
Lโentrรฉe est la somme dโune constante, dโune rampe et dโune parabole donc lโerreur sera la somme des erreurs comme la suite :
๐๐ = ๐๐๐๐ + ๐๐๐ฃ๐ฃ + ๐๐๐๐ Alors ๐๐(๐ก๐ก)๐๐โโ = ๐ผ๐ผ1+๐พ๐พ๐๐
+ ๐ฝ๐ฝ๐พ๐พ๐ฃ๐ฃ
+ ๐พ๐พ๐พ๐พ๐๐
๐๐(๐ก๐ก)๐๐โโ =๐ผ๐ผ
1 + lim๐๐โ0
๐ป๐ป(๐๐)+
๐ฝ๐ฝlim๐๐โ0
๐๐ ๐ป๐ป(๐๐)+
๐พ๐พlim๐๐โ0
๐๐2 ๐ป๐ป(๐๐)
2) pour que lโerreur soit โ โ :
Il faut que H(p) soit de classe 2
H(p)
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62
Chapitre 7 : Lieu des racines (Lieu dโEVANS)
1. Introduction:
Les propriรฉtรฉs caractรฉristiques d'un systรจme asservi sont directement liรฉes ร la position des pรดles et des zรฉros de la fonction de transfert en boucle fermรฉe dans le plan complexe. La technique du lieu d'Evans introduite par (W.R.EVANS 1950) permet de voir l'influence d'un gain K intervenant dans la chaรฎne directe sur l'รฉvolution de la position des pรดles dans le plan complexe. De ce fait cette mรฉthode permet de tracer les racines de lโรฉquation caractรฉristique pour tout valeur du paramรจtre de rรฉglage (K varie de 0 โ โ).
2. Constitution de lieu d'Evans: a. Gรฉnรฉralitรฉs :
โข Si lโรฉquation caractรฉristique est de degrรฉ n, elle ร n racines, qui peuvent รชtre rรฉelles ou complexes.
โข Par consรฉquences, le lieu comprend n branches, chacune dโelles correspondante ร une racine de lโรฉquation caractรฉristique.
โข Puisque les racines rรฉelles sont reprรฉsentรฉes par des points de lโaxe rรฉel, les branches correspondant aux racines seront des portions de lโaxe rรฉel.
โข Puisque les coefficients de lโรฉquation caractรฉristique sont rรฉels, les racines imaginaires sont groupรฉes par couples, et les branches du lieu correspondant aux racines sont symรฉtriques par rapport ร lโaxe rรฉel. Le lieu dโEvans tout entier est, par consรฉquent, symรฉtrique par rapport ร lโaxe du rรฉel.
โข Lโรฉquation caractรฉristique 1 + ๐๐๐บ๐บ(๐๐) = 0 ( 7.1) Avec ๐บ๐บ(๐๐) = ๐๐(๐๐)
๐ท๐ท(๐๐) FTBO
๐๐(๐๐) = ๐๐๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐โ1๐๐๐๐โ1+. . +๐๐0๐๐0 (7.2) ๐ท๐ท(๐๐) = ๐๐๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐โ1๐๐๐๐โ1+. . +๐๐0๐๐0 (7.3) Les racines de N(p) sont les zรฉros de la FTBO (KG(p)) Les racines de D(p) sont les pรดles de la FTBO (KG(p))
๐๐(๐๐) ๐ธ๐ธ(๐๐) K G(p)
Figure 7.1 : Schรฉma fonctionnel dโun asservissement en boucle f รฉ
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63
3. Rรจgles de tracรฉ du lieu dโEvans
Nous allons indiquer les rรจgles principales utilisรฉes pour le tracรฉ des lieux d'Evans :
a. Points de dรฉparts (k=0):
๐ท๐ท(๐๐) + ๐๐๐๐(๐๐) = 0 (7.4)
๐ท๐ท(๐๐) = 0 Sont les pรดles de FTBO
b. Points dโarrivรฉes (๐ฒ๐ฒ โ โ)
๐๐(๐๐) = 0 Sont les zรฉros de la FTBO
c. Le nombre de branches ou directions asymptotique ๐๐ โ ๐๐ d. Les branches asymptotiques prรฉsentent des dรฉviations ๐๐๐๐
๐๐๐๐ = ยฑ ๐๐(2๐๐+1)๐๐โ๐๐
๐๐ = 1,2,3, โฆ. (7.5)
N.B ๐๐ = 0 Correspond ร lโasymptote avec la plus faible dรฉviation par rapport ร lโaxe des rรฉels, bien que ๐๐ est supposรฉ รฉvoluรฉ (๐๐ โ ) lโangle de dรฉviation se rรฉpรจte.
e. Les branches asymptotiques se rejoignent sur lโaxe des rรฉels au point de lโabscisse ๐๐๐๐ telle que :
๐ฅ๐ฅ๐๐ =โ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐บ๐บ(๐๐) โ โ ๐ง๐งรฉ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐บ๐บ(๐๐)
๐๐ โ ๐๐ (7.6)
f. Les branches du lieu sur lโaxe rรฉel :
Elle sont dรฉterminรฉes par le lieu entre les pรดles et les zรฉros de la FTBO pour cela, positionner un point de test entre chaque pรดles et zรฉros de lโaxe des rรฉels, puis calculer le nombre de pรดles et zรฉros rรฉels ร droite de ce point de test si ce nombre est impair ce point de test appartient au lieu et sinon le point de test nโappartient pas au lieu.
g. Points de sรฉparations et de rencontre
Figure 7.2 : Les points de sรฉparations et de rencontres
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64
Les points de sรฉparations et de rencontres ont pour abscisses :
๏ฟฝ1
๐๐ โ ๐๐๐๐= ๏ฟฝ
1๐๐ โ ๐ง๐ง๐๐
(7.7)
h. Intersection du lieu avec lโaxe des imaginaires :
Les points dโintersection du lieu avec lโaxe ๐๐๐๐ peuvent รชtre dรฉterminรฉs facilement soit en utilisant le critรจre de stabilitรฉ de ROUTH, soit en posant ๐๐ = ๐๐๐๐ dans lโรฉquation caractรฉristique, en รฉgalant les parties imaginaires et rรฉelle de cette รฉquation ร zรฉro, et en calculant ๐๐et ๐พ๐พ. Les couples de valeurs ((๐๐, ๐พ๐พ) trouvรฉs donnent les frรฉquences et les gains pour lesquelles le lieu coupe lโaxe imaginaire.
i. Angles de dรฉparts (dโarrivรฉes) du lieu des racines ร partir des pรดles
complexes (zรฉros complexes :
Angle de dรฉpart dโun pรดle complexe=180ยฐ- (โ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐ฃ๐ฃ๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐ข๐ข๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐รฉ ๐๐๐ก๐ก ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ข๐ข๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ) +(โ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐ฃ๐ฃ๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐ข๐ข๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐รฉ ๐๐๐ก๐ก ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ข๐ข๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ) (7.8)
Angle de dโarrivรฉe dโun zรฉros complexe=180ยฐ- (โ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐ฃ๐ฃ๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐ข๐ข๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ง๐งรฉ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐รฉ ๐๐๐ก๐ก ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ข๐ข๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐ง๐งรฉ๐๐๐๐๐ ๐ ) + (โ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐ฃ๐ฃ๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐ข๐ข๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ง๐งรฉ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐รฉ ๐๐๐ก๐ก ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ข๐ข๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ) (7.9)
4. Exemple1
Soit la fonction de transfert en boucle ouverte :
๐พ๐พ๐ป๐ป(๐๐) =๐พ๐พ
๐๐(๐๐ + 2)(๐๐ + 4) (7.10)
Figure 7.3 : Angle de dรฉpart ร partir dโun pรดle complexe
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65
Tracer du lieu des pรดles :
1- les points de dรฉparts et dโarrivรฉes :
On ร 3 points de dรฉpart (les pรดles du FTBO) : ๐๐1 = 0 ; ๐๐2 = โ2 ; ๐๐3 = โ4.
Il nโy a pas des points dโarrivรฉe (les zรฉros du FTBO)
2-Directions asymptotiques:
๐๐๐๐ = ยฑ๐๐(2๐๐ + 1)
๐๐ โ ๐๐ ๐๐ = 1,2,3, โฆ. (7.11)
๐๐๐๐ = ๏ฟฝ ๐๐
3 ๐๐โ ๐๐
3
3- Intersection des asymptotes avec lโaxe Rรฉel :
๐ฅ๐ฅ =โ ๐๐๐๐
๐๐๐๐ โ โ ๐ง๐ง๐๐
๐๐๐๐
๐๐ โ ๐๐=
โ2 โ 43
= โ2 (7.12)
4- Portion de lโaxe Rรฉel qui appartient au lien :
On laisse un nombre impair de pรดle et de zรฉro ร droite on obtient :
La portion [-2,0]
5- Intersection du lien avec lโaxe Rรฉel :
๏ฟฝ1
๐ฅ๐ฅ โ ๐๐๐๐๐๐
= ๏ฟฝ1
๐ฅ๐ฅ โ ๐ง๐ง๐๐๐๐
(7.13)
โ 1๐ฅ๐ฅ
+ 1๐ฅ๐ฅ+2
+ 1๐ฅ๐ฅ+4
= 0 โ 3๐ฅ๐ฅ2 + 12๐ฅ๐ฅ + 8 = 0 โ ๐ฅ๐ฅ = ๏ฟฝโ0,845โ3,154
Le point dโintersection est ๐ฅ๐ฅ = โ0,845 ; puisque lโautre valeur nโappartient pas au lien.
6- Intersection du lien avec lโaxe imaginaire :
On fait lโรฉgalitรฉ avec 0 du polynรดme caractรฉristique de la fonction de transfert en boucle fermรฉ :
๐๐(๐๐ + 2)(๐๐ + 4) + ๐๐ = 0 โ ๐๐3 + 6๐๐2 + 8๐๐ + ๐พ๐พ = 0 โโ๐๐๐ค๐ค3 โ 6๐ค๐ค2 + 8๐๐๐ค๐ค + ๐๐ = 0
โ ๏ฟฝโ๐๐๐ค๐ค3 + 8๐๐๐ค๐ค = 0โ6๐ค๐ค2 + ๐๐ = 0
โ ๏ฟฝ ๐ค๐ค2 = 8๐๐ = ๐พ๐พ๐๐ = 48
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66
๐๐๐๐
w = โ8 et ๐พ๐พ๐๐ = 48
๐พ๐พ = 0 ๐พ๐พ = 0 ๐พ๐พ = 0 Re
-4 -2 -0,845
5. Exemple 2 :
Soit la fonction de transfert suivante :
๐พ๐พ๐ป๐ป(๐๐) =๐พ๐พ
๐๐(๐๐2 + 6๐๐ + 25)
1) Tracer son lieu des pรดles ?
2) Prรฉciser les valeurs de ๐พ๐พ et ๐๐ ร la limite de la stabilitรฉ ?
3) Prรฉciser les angles aux points de dรฉpart ?
Figure 7.4 : Lieu dโEvans de la FT :๐พ๐พ๐ป๐ป(๐๐) = ๐พ๐พ๐๐(๐๐+2)(๐๐+4)
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67
Chapitre8 : Correction des systรจmes linรฉaires asservis
(Exemples de projet de synthรจse)
1. Cahier de charge dโun asservissement :
En rรจgle gรฉnรฉrale, le cahier de charge dโune boucle de rรฉgulation impose en boucle fermรฉe quatre performances :
โข La prรฉcision (๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก ๐๐๐ฃ๐ฃ) โข La rapiditรฉ (๐ก๐ก๐๐ < ๐ ๐ ๐๐๐ข๐ข๐น๐น๐๐) โข La marge de stabilitรฉ (โ๐๐ > ๐ ๐ ๐๐๐ข๐ข๐น๐น๐๐) โข La limitation du dรฉpassement (๐๐% < ๐ ๐ ๐๐๐ข๐ข๐น๐น๐๐)
2. Principe gรฉnรฉral de la correction dโun systรจme :
Lโidรฉe consiste ร introduire dans la chaine directe, en amont du systรจme ๐ด๐ด(๐๐), un dispositif supplรฉmentaire de fonction de transfert ๐ถ๐ถ(๐๐), appelรฉ correcteur et dont le rรดle essentiel doit consister ร modifier les performances du systรจme initial.
Tout lโart de la correction des systรจmes consiste ร choisir la bonne fonction de transfert ๐ถ๐ถ(๐๐) pour ce correcteur de maniรจre ร rรฉgler chaque performance sur sa valeur requise sans perturber, bien sรปr, le fonctionnement du systรจme.
3. Action correctives รฉlรฉmentaire (P,I,D) :
Il existe trois actions correctives รฉlรฉmentaires qui permettent, individuellement, de corriger telle ou telle performance. Elles sont relativement simples ร rรฉaliser mais en gรฉnรฉral, dรฉgrade dโautre performances, elles sont utilisables lorsque le cahier de charge est peut exigeant. Dans le cas contraire il faut envisager de combiner ces diffรฉrentes actions au sain dโun correcteur plus complexe.
๐บ๐บ(๐๐) S(p) E(p) C(p) A(p)
B(p)
Figure8.1 : Schรฉma gรฉnรฉral dโune boucle de rรฉgulation
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68
3.1 Correcteur proportionnel : Le correcteur est un simple amplificateur de gain rรฉglable ๐ถ๐ถ(๐๐) = ๐พ๐พ qui a pour mission de modifier le gain statique initial du systรจme.
โข Si K<1 autrement dit il sโagit dโun attรฉnuateur, on amรฉliore la stabilitรฉ du systรจme et on diminue son dรฉpassement en boucle fermรฉe. En revanche, la rapiditรฉ et la prรฉcision son dรฉgradรฉes.
โข Si K>1, on amรฉliore la rapiditรฉ et la prรฉcision du systรจme en boucle fermรฉe mais on diminue la stabilitรฉ, et on accroรฎt son dรฉpassement.
3.2 Correcteur intรฉgral : 3.2.1 Dรฉfinition :
Le correcteur est un intรฉgrateur de fonction de transfert : ๐ถ๐ถ(๐๐) = 1 ๐๐๏ฟฝ qui a pour mission dโajouter un pรดle nul ร la fonction de transfert en boucle ouverte (Nous savons dรฉjร quโun systรจme dont la FTBO possรจde un pรดle nul sera caractรฉrisรฉ par une erreur de position nulle)
Le correcteur ร action intรฉgrale est donc censรฉ amรฉliorer la prรฉcision du systรจme asservi.
3.2.2 Influence sur les autres performances :
Les modifications apportรฉes ร la fonction de transfert modifient sans aucun doute les autres performances du systรจme.
Considรฉrons un systรจme quelconque de fonction de transfert en boucle ouverte ๐บ๐บ๐๐(๐๐) , les graphes reprรฉsentent respectivement :
๐บ๐บ๐๐๐๐๐น๐น = 20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐บ๐บ๐๐(๐๐) (8.1)
๐๐๐๐(๐๐) = ๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐บ๐บ๐๐(๐๐๐๐) (8.2)
Et les graphes correspond ร la fonction de transfert corrigรฉe de dรฉduisent facilement des graphes initiaux (voir figure8.2))
๐บ๐บ๐๐๐๐๐น๐น = 20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐บ๐บ๐๐(๐๐) = 20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ ๐บ๐บ๐๐(๐๐)๐๐
= 20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐บ๐บ๐๐(๐๐) โ 20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐๐ (8.3)
๐๐๐๐(๐๐) = ๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐บ๐บ๐๐(๐๐) = ๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐บ๐บ๐๐(๐๐)
๐๐๐๐= ๐๐๐๐(๐๐) โ
๐๐2
(8.4)
On passe donc de la courbe de gain initiale ๐บ๐บ๐๐๐๐๐น๐น ร la courbe corrigรฉe ๐บ๐บ๐๐๐๐๐น๐น en ยซ retranchant ยป ร chaque segment lโรฉquivalent dโun segment de pente [1], autrement dit en dรฉcrรฉmentant chaque pente initiale dโune unitรฉ, ร la pulsation ๐๐ = 10, le gain ร chutรฉ de 20dB. Le diagramme de phase, quant ร lui, est translatรฉ de ๐๐
2 vers le bas.
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69
On remarque que la pulsation de coupure ร 0dB diminue
Compte tenus que : ๐ก๐ก๐๐ โ 3๐๐๐๐0
(8.5)
On peut en dรฉduire que le temps de montรฉe augmente, lโintรฉgrateur aura donc tendance de ralentir le systรจme en boucle fermรฉe.
De plus, la marge de phase ร diminuer, la stabilitรฉ et la limitation du dรฉpassement se trouve dรฉgradรฉes.
En conclusion seule la prรฉcision du systรจme est amรฉliorรฉe par lโintroduction dโun correcteur ร action intรฉgrale, toutes les autres performances sont diminuรฉes.
3.3 Correcteur ร action dรฉrivรฉe Le correcteur est un dรฉrivateur de fonction de transfert
๐ถ๐ถ(๐๐) = ๐๐ (8.6)
Qui ร pour mission dโajouter un zรฉros nul ร la fonction de transfert en boucle ouverte. Lโaction de ce correcteur et lโinverse de celle de lโintรฉgrateur.
20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐บ๐บ(๐๐)
โ๐๐
โ ๐๐ 2โ
๐๐
1
๐บ๐บ๐๐๐๐๐น๐น
10
20dB
๐๐๐๐0 ๐๐
๐บ๐บ๐๐๐๐๐น๐น
โ๐๐
๐๐(๐๐)
Figure 8.2 : Influence dโun intรฉgrateur sur les performances
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70
Considรฉrons ร nouveau un systรจme quelconque de fonction de transfert en boucle ouverte ๐บ๐บ๐๐(๐๐) , les graphes reprรฉsentent respectivement :
๐บ๐บ๐๐๐๐๐น๐น = 20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐บ๐บ๐๐(๐๐) (8.7)
๐๐๐๐(๐๐) = ๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐บ๐บ๐๐(๐๐๐๐) (8.8)
Et les graphes correspond ร la fonction de transfert corrigรฉe de dรฉduisent facilement des graphes initiaux (voir figure3)
๐บ๐บ๐๐๐๐๐น๐น = 20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐บ๐บ๐๐(๐๐) = 20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ(๐๐๐บ๐บ๐๐(๐๐))=20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐บ๐บ๐๐(๐๐) + 20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐๐ (8.9)
๐๐๐๐(๐๐) = ๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐บ๐บ๐๐(๐๐) = arg๏ฟฝ๐๐๐บ๐บ๐๐(๐๐)๏ฟฝ = ๐๐๐๐(๐๐) + ๐๐2 (8.10)
On passe donc de la courbe de gain initiale ๐บ๐บ๐๐๐๐๐น๐น ร la courbe corrigรฉe ๐บ๐บ๐๐๐๐๐น๐น en ยซ ajoutant ยป ร chaque segment lโรฉquivalent dโun segment de pente 1, autrement dit en incrรฉmentant chaque pente initiale dโune unitรฉ, ร la pulsation ๐๐ = 10, le gain ร augmentรฉ de 20dB. Le diagramme de phase, quant ร lui, est translatรฉ de ๐๐
2 vers le haut.
๐๐(๐๐)
โ๐๐
+ ๐๐ 2โ ๐๐
1
๐บ๐บ๐๐๐๐๐น๐น
10
20dB
๐๐๐๐0 ๐๐
โ๐๐
๐บ๐บ๐๐๐๐๐น๐น
20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐บ๐บ(๐๐)
Figure 8.3 : influence dโun intรฉgrateur sur les
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71
On remarque que la pulsation de coupure ร 0dB augmente, Compte tenus que ๐ก๐ก๐๐ โ 3๐๐๐๐0
On peut en dรฉduire que le temps de montรฉe diminue, le dรฉrivateur aura donc tendance dโaccรฉlรฉrer le systรจme en boucle fermรฉe.
Lโaugmentation de ๐๐๐๐0influe รฉgalement sur la marge de phase mais cette influence dรฉpond de lโordre du systรจme (peut rendre le systรจme instable).
La prรฉcision du systรจme, liรฉe au gain statique va รชtre dรฉgradรฉe par lโaction dรฉrivรฉe puisque le gain en basse frรฉquence diminue fortement en conclusion seule la rapiditรฉ du systรจme est amรฉliorรฉe par lโintroduction dโun correcteur ร action dรฉrivรฉe.
4 Action proportionnelle intรฉgrale Correcteur ร retard de phase
4.1 Dรฉfinition :
Le correcteur ร retard de phase est un correcteur qui, comme son nom ne lโindique pas, permet dโaugmenter le gain uniquement aux basses frรฉquences. Il sera donc utilisรฉ pour amรฉliorer la prรฉcision dโun systรจme asservi
Sa fonction de transfert est :
๐ถ๐ถ(๐๐) =๐๐(1 + ๐๐๐๐)1 + ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐ฃ๐ฃ๐๐๐๐ ๐๐ > 1 (8.11)
Pour mieux comprendre lโaction de ce correcteur, traรงons son diagramme de Bode. Il ya deux pulsation de coupure 1 ๐๐๏ฟฝ ๐๐๐ก๐ก 1
๐๐๐๐๏ฟฝ
Telles que : 1 ๐๐๐๐๏ฟฝ < 1๐๐๏ฟฝ
On a ๐ถ๐ถ(๐๐) = ๐๐โ1+๐๐2๐๐2 โ1+๐๐2๐๐2๐๐2
(8.12)
Et ๐๐(๐๐) = arctan ๐๐๐๐ โ arctan ๐๐๐๐๐๐ (8.13)
Lorsque ๐๐ โ 0 , on a ๐ถ๐ถ(๐๐) โ ๐๐ (8.14)
Lorsque ๐๐ โ โ, on a 20 ๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐ถ๐ถ(๐๐) โ 0๐๐๐น๐น (8.15)
0
๐๐
๐๐
โ๐๐2
๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐(๐๐)
10 1
1๐๐๏ฟฝ 1
๐๐๐๐๏ฟฝ
20๐๐๐น๐น 20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐๐ 20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐ถ๐ถ(๐๐)
Figure 8.4 : Diagramme de Bode dโun correcteur ร retard de phase
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72
Lโexamen du diagramme de Bode nous permet de prรฉvoir lโaction de ce correcteur. Lorsque celui-ci sera placรฉ en cascade avec le systรจme ร corriger, dans la chaine directe les deux diagrammes de Bode sโadditionnerons le gain statique et donc bien augmentรฉ de 20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐๐ , ce qui amรฉliore la prรฉcision , en rรฉglant le paramรจtre T, sur une valeur suffisamment faible, cette correction nโa dโinfluence quโaux basses frรฉquences, le gain en hautes frรฉquences nโest pratiquement pas affectรฉ. Le dรฉphasage nรฉgatif supplรฉmentaire introduit par le correcteur se situe รฉgalement aux basses frรฉquences. Il nโa donc pas dโinfluence sur la marge de stabilitรฉ.
Pour rรฉgler le correcteur ร retard de phase, on choisira la valeur de a qui permet dโobtenir le gain statique rรฉsultant voulu et on choisira ensuite T de sorte que 1
๐๐โช ๐๐๐๐0
4.1 Exemple :
Considรฉrons un systรจme de fonction de transfert ๐บ๐บ(๐๐) placรฉ dans une boucle ร retour unitaire,
๐บ๐บ(๐๐) = ๐พ๐พ(1+ ๐๐
10)3 (8.16)
Le paramรจtre๐พ๐พ, gain statique du systรจme en boucle ouverte est positif et rรฉglable, on souhaite que le systรจme prรฉsente en boucle fermรฉe une erreur de position ๐๐๐๐ = 5% , tout en ayant une marge de phase โ๐๐ = 45ยฐ
On commence par rรฉgler ๐พ๐พ pour satisfaire ร la condition sur la marge de phase :
Comme ๐บ๐บ(๐๐๐๐) = ๐พ๐พ
(1+๐๐๐๐10)3
(8.17)
On a: โ๐๐ = ๐๐ โ 3 arctan ๐๐๐๐010
= ๐๐4 (8.18)
Soit ๐๐๐๐0 = 10 ๐๐๐๐๐๐/๐ ๐ (8.19)
On a donc ๐บ๐บ(๐๐๐๐0) = ๐พ๐พ
๏ฟฝ๏ฟฝ1+๐๐๐๐0
2
100๏ฟฝ
3 (8.20)
Dโoรน ๐พ๐พ = ๏ฟฝโ2๏ฟฝ3
= 2.8 โ 20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐พ๐พ = 8.9๐๐๐น๐น (8.21)
Calculons ร prรฉsent lโerreur de position obtenue en boucle fermรฉe dans ces conditions :
๐๐๐๐ = lim๐๐โ0
[1 โ ๐ป๐ป(๐๐)] = lim๐๐โ0
๏ฟฝ1 โ๐พ๐พ
๐พ๐พ + ๏ฟฝ1 + ๐๐10๏ฟฝ
3๏ฟฝ (8.22)
Soit ๐๐๐๐ = 11+๐พ๐พ
= 0.26 = 26% (8.23)
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73
La prรฉcision constatรฉe ne satisfait pas le cahier de charge, pour obtenir une erreur de position de 5% il est nรฉcessaire de disposer dโun gain statique ๐พ๐พโฒ tel que :
๐๐๐๐ =1
1 + ๐พ๐พโฒ= 0.05 โ ๐พ๐พโฒ = 19 โ 20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐พ๐พโฒ = 25.6๐๐๐น๐น (8.24)
Introduisons un correcteur ร retard de phase dans la chaine directe (voir figure)
๐ถ๐ถ(๐๐) =๐๐(1 + ๐๐๐๐))
1 + ๐๐๐๐๐๐ (8.25)
La nouvelle fonction de transfert en boucle ouverte est :
๐บ๐บ๐๐(๐๐) = ๐ถ๐ถ(๐๐)๐บ๐บ(๐๐) =๐๐(1 + ๐๐๐๐))
1 + ๐๐๐๐๐๐2.8
๏ฟฝ1 + ๐๐10๏ฟฝ
3 ๐๐๐ฃ๐ฃ๐๐๐๐ ๐๐ > 1 (8.26)
Le nouveau gain statique est : ๐พ๐พโฒ = 2.8๐๐ (8.27)
Par consรฉquence il faut rรฉgler le paramรจtre a de sorte que :
๐๐ =192.8
= 6.8 โ 20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐๐ = 16.7๐๐๐น๐น (8.28)
Il suffit pour finir, de choisir T de maniรจre ร ce que 1๐๐ soit trรจs infรฉrieur ร la pulsation de
coupure ร 0dB
On a finalement : ๐ถ๐ถ(๐๐) = 6.8(1+10๐๐))1+68๐๐
(8.29)
-3
๐๐ 10 1 0.1 0.015
๐๐(p) S(p) E(p) G(p) C(p)
25.6dB 16.7dB
20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐บ๐บ(๐๐)
20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐ถ๐ถ(๐๐)
20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐บ๐บ๐๐(๐๐)
Figure 8.6 : Diagramme de Bode corrigรฉ en basse frรฉquence
Figure 8.5: Introduction dโun correcteur ร retard de phase dans la chaine directe
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74
5 Action proportionnelle dรฉrivรฉe โCorrecteur ร avance de phase 5.1 Dรฉfinition :
Le correcteur ร avance de phase, est un correcteur qui, comme son non lโindique, permet dโaugmenter la marge de phase dโun systรจme, il sโagit de compenser un trop faible dรฉphasage autour de la pulsation de coupure ร 0dB.
On prend :
๐ถ๐ถ(๐๐) = 1+๐๐๐๐๐๐1+๐๐๐๐
avec ๐๐ > 1 (8.30)
Pour mieux comprendre lโaction de ce correcteur, traรงant le diagramme de Bode. Il ya deux pulsation de coupure : 1 ๐๐๏ฟฝ ๐๐๐ก๐ก 1
๐๐๐๐๏ฟฝ avec :
1๐๐๐๐๏ฟฝ < 1
๐๐๏ฟฝ (8.31)
On a ๐ถ๐ถ(๐๐) = โ1+๐๐2๐๐2๐๐2
โ1+๐๐2๐๐2 et ๐๐(๐๐) = arctan ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐ (8.32)
Lorsque ๐๐ โ 0 โ ๐ถ๐ถ(๐๐) โ 1
Lorsque ๐๐ โ โ โ 20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐ถ๐ถ(๐๐) โ 20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐๐
Lโintรฉrรชt de ce correcteur est visible sur son diagramme de phase : ร la pulsation
๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ =1
๐๐โ๐๐ (8.33)
Prรฉsente un maximum que nous pouvons facilement calculer :
๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ = ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐น๐น๐๐ ๐๐โ1๐๐+1
(8.34)
1
20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐ถ๐ถ(๐๐)
๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐(๐๐)
1๐๐๏ฟฝ
1๐๐๐๐๏ฟฝ
20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐๐
๐๐
๐๐
๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐2๏ฟฝ
Figure8.7 : Diagramme de Bode dโun correcteur ร avance de phase
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75
Le principe de lโaction corrective consiste ร faire coรฏncider ๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ avec la pulsation de coupure ร 0dB ๐๐๐๐0 du systรจme ร corriger et ร rรฉgler ๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ que lโon appelle la remontรฉe de phase, de maniรจre ร obtenir la marge de phase voulue.
5.2 Exemple :
Considรฉrons un systรจme de fonction de transfert ๐บ๐บ(๐๐) placรฉ dans une boucle ร retour unitaire, avec :
๐บ๐บ(๐๐) =100
(๐๐ + 1)2 (8.35)
On souhaite corriger ce systรจme de maniรจre ร ce que la marge de phase soit รฉgale ร 45ยฐ.
Calculerons sa marge de phase avant correction :
On a
๐บ๐บ(๐๐) =100
1 + ๐๐2 = 1 (8.36)
Dโoรน ๐๐๐๐0 = โ99 = 0.95 ๐๐๐๐๐๐/๐ ๐ โ โ๐๐ = ๐๐ โ 2๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐0 = 0.2๐๐๐๐๐๐ = 11ยฐ
La marge de phase est insuffisante. Pour la corriger, nous devons procรฉder ร une remontรฉe de phase de 34ยฐ ร la pulsation๐๐๐๐0 . On introduit donc un correcteur ร avance de phase que lโon rรจgle de maniรจre ร ce que :
1๐๐โ๐๐
= ๐๐๐๐0 = 9.95 ๐๐๐๐๐๐/๐ ๐ et โ๐๐ = 34ยฐ = ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐น๐น๐๐ ๐๐โ1๐๐+1
(8.37)
On a donc ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐น๐น๐๐ ๐๐โ1๐๐+1
= 34ยฐ โ ๐๐ = 1+๐ ๐ ๐๐๐๐34ยฐ1โ๐ ๐ ๐๐๐๐34ยฐ
= 3.54 โ 20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐๐ = 11 (8.38)
Puis : 1๐๐โ๐๐
= ๐๐๐๐0 โ ๐๐ = 19.95โ3.54
= 0.053๐ ๐ (8.39)
Soit 1๐๐
= 18.9rad/s et 1๐๐๐๐
= 5.3๐ ๐ (8.40)
Finalement
๐ถ๐ถ(๐๐) =1 + 0.19๐๐1 + 0.053
(8.41)
La nouvelle fonction de transfert en boucle ouverte est :
๐บ๐บ๐๐(๐๐) =1 + 0.19๐๐1 + 0.053
100(๐๐ + 1)2 (8.42)
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76
La figure 8.8 prรฉsente les diagrammes de Bode comparรฉs du systรจme initial et du systรจme corrigรฉ. Rappelons que les diagrammes de Bode de G(p) et de C (p) sโadditionnent pour former celui du systรจme corrigรฉ Gc(p) .Dans la cas du correcteur ร avance de phase, lโaction corrective est parfaitement visible sur le diagramme de phase.
Remarque: le correcteur ร avance de phase, a une influence sur le diagramme de gain du systรจme. Cette influence et visible sur la figure 8 autour de la pulsation de coupure ร 0 dB : la pulsation de coupure ร 0 dB du systรจme corrigรฉ est lรฉgรจrement plus grande que celle du systรจme non corrigรฉ.par consรฉquent, la remontรฉe de phase maximal que lโon a calculรฉe ne se produit plus vรฉritablement ร ๐๐๐๐0 .On a alors le choix de nรฉgliger cette augmentation ou encore de lโanticiper en majorant la remontรฉ de phase calculรฉe de quelque degrรฉs.
๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ
โ๐๐
๐๐(๐๐)
๐๐
๐๐ 1
5.3 18.9
20
11dB
20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐บ๐บ(๐๐)
20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐ถ๐ถ(๐๐)
20๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ๐บ๐บ๐๐(๐๐)
๐๐2
Figure 8.8 : Diagramme de Bode du systรจme corrigรฉ