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Les chantiers de pédagogie mathématique n°171 décembre 2016
La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS
Sommaire
Journée de la régionale
Samedi 8 octobre 2016, l’APMEP Île-de-France invitait ses adhérents et tous les professeurs de
mathématiques de l’académie à participer à sa traditionnelle « Journée de la Régionale ». Nouveaux
outils pour la classe : vraies innovations ou phénomène de mode ? Le Compte-rendu que tout le
monde attendait...
Mathématique : je t'aime...moi non plus !
À propos des dernières élections, et à la lumière d'un atelier aux journées de Lyon...qui n'a pas eu
lieu, Rémy Coste enfourche son dada sur l'utilisation des math dans les médias mais aussi dans les
tribunaux...
Lauréats des Olympiades
De notre envoyée spéciale, ce compte-rendu de la sympathique cérémonie à l'IHP autour des
Olympiades scientifiques internationales.
Portail des mathématiques
Un portail tout beau tout neuf, visité avec un œil neuf, par une des responsables de mathscope,
notre petit portail à nous...
Journée de Lyon
Le discours d'ouverture d'Anne Burban (inspectrice générale de l'Education Nationale) suivi des
impressions de Sébastien Planchenault pour sa première participation aux Journées Nationales.
Le CAFFA : c'est quoi ça ?
Une nouvelle certification, pourquoi faire ?
Avis de recherche
Deux solutions de profs du XXe siècle et une solution inspirée par les Babyloniens du - XXe siècle de
l'Avis de Recherche n° 5 et, bien sûr, l'Avis n°6.
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Journée de la Régionale APMEP Île-de-France
Samedi 8 octobre 2016, l’APMEP Île-de-France invitait ses adhérents et tous les professeurs de
mathématiques de l’académie à participer à sa traditionnelle « Journée de la Régionale ».
Le thème choisi « Nouveaux outils pour la classe : vraies innovations ou phénomène de
mode ? » - ou peut-être la perspective d’occuper de façon si studieuse son samedi - n’a pas
réussi à déplacer les foules que nous avions rencontrées lors de la Rencontre du mois de mars.
Néanmoins, la qualité des interventions des personnes que nous avions sollicitées pour l’occasion
justifie le compte-rendu qui va suivre afin de toucher un plus large public. Il ne remplacera certes
pas la version complète et « en direct » accompagnée des échanges qui ont suivi mais permettra
d’en donner un aperçu.
Classe inversée
Geoffroy Laboudigue et Nicolas Lemoine sont tous deux professeurs de mathématiques en collèges
classés REP + et REP dans l’académie de Créteil. Ils pratiquent la classe inversée depuis plusieurs
années et ont déjà un certain recul sur le sujet. Ils ont choisi de partir d’idées reçues sur la classe
inversée pour construire leur exposé et partager leurs pratiques de celle-ci.
1. « La classe inversée, c’est regarder des vidéos à la maison et faire des exercices en classe ! »
C’est une idée reçue qui apparait souvent dans les médias mais il serait très réducteur de dire
que la classe inversée ne se limite qu’à cela.
À l’origine de leur pratique de celle-ci, un même constat pour Nicolas et Geoffroy : lors de leurs
premières années d’enseignement, une fois le cours commencé, l’activité réalisée, la leçon écrite,
il ne restait que très (trop) peu de temps pour les exercices en classe, et ils se voyaient contraints
de demander aux élèves de les finir à la maison. Le cours suivant, la moitié seulement de la
classe les avait recherchés ou réussi à les réaliser. Certains élèves avaient la possibilité d’avoir
une aide de leur entourage, d’autres n’avaient pas cette chance. Au final, les inégalités entre
élèves étaient renforcées alors que le rôle de l’École serait de les réduire.
Comment faire alors pour avoir en classe du temps à passer avec les élèves pour la recherche
d’exercices ? Ils se sont rendus compte qu’il y a des tâches pour lesquelles la présence du
professeur n’est pas indispensable et qu’il serait possible d’externaliser en dehors de la classe.
La première qui est apparue est l’écriture du cours dans le cahier. D’autant qu’en classe, il est
difficile de s’adapter au rythme de tous les élèves lors des phases de recopiage de leçon.
2. « La classe inversée, ce n’est pas pour moi, je ne suis pas capable de faire des vidéos ».
La conception de vidéos est souvent un frein pour se lancer mais d’autres pratiques sont
possibles. Ainsi, tel enseignant qui a du mal à s’approprier les vidéos réalisées par d’autres
professeurs s’investira particulièrement dans le choix du manuel pour que la partie cours soit
intéressante et qu’il puisse demander à ses élèves de la recopier. Un autre, peu à l’aise en
informatique, se fera aider par ses propres collègues pour créer son propre blog et y déposer ses
cours.
Classe inversée ne rime donc pas forcément avec vidéo.
3. « C’est bien joli la classe inversée, mais ça ne me dit rien car je n’aurai plus l’impression d’être dans mon rôle de professeur »
Pour nos intervenants, c’est une idée reçue grave car c’est tout le contraire qui se passe.
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Effectivement, la position, le rôle du professeur changent. Il n’a plus forcément toujours la classe
en vue, face à lui.
Nicolas a commencé à utiliser la vidéo il y a trois ans avec des 6ème et a beaucoup évolué depuis.
Au début, les capsules étaient assez longues, chapitrées et pouvaient aborder plusieurs notions.
Mais il est difficile de garder les élèves attentifs durant cinq minutes, d’autant qu’il est parfois
nécessaire pour l’élève de visionner plusieurs fois la même vidéo. Et le chapitrage pose problème
en cas de changement de progression pour réutiliser la vidéo. À présent, chaque vidéo est courte
et porte sur une seule notion.
Pour Geoffroy également chaque capsule dure une minute et porte sur un seul objectif. Lui a choisi
de ne pas utiliser de son afin que les élèves ne soient pas perturbés et se focalisent sur l’image. La
parole intervient en classe.
Pour chacun d’eux, il a fallu arriver pour la conception des capsules vidéo à des critères en termes
d’accessibilité, de clarté, de concision, et donc de repenser son savoir pour que celui-ci rentre dans
ces critères. Pour répondre à l’idée reçue, il s’agit là d’un vrai travail de professeur. Le rôle de ce
dernier évolue, et positivement. Il n’est plus un transmetteur de savoir en classe, mais à la maison.
Et en classe, cela va plus loin : au-delà de leur apprendre des maths, il leur apprend à apprendre,
à résoudre des problèmes par eux-mêmes.
4. « Ils doivent en avoir marre les élèves s’ils ne font que des exercices en classe » La réponse est oui ! Et cela peut être compliqué à gérer, d’autant plus en cas de créneau de deux
heures. On risque d’être en difficulté si on ne l’anticipe pas. Il est donc très important de penser
en amont le retour en classe.
En effet, tous les élèves n’ont pas les mêmes acquis lorsqu’ils reviennent en cours après le
visionnage des vidéos. Environ la moitié de la classe a compris : il n’y a pas de problème particulier
pour eux et ils pourront travailler en autonomie. Mais il y a ceux qui n’ont pas vu la vidéo : il est
nécessaire de trouver des stratégies pour palier rapidement à cela. Par exemple, utiliser un
ordinateur prof qui a accès à Internet dans la salle. Si ce n’est pas possible, on peut faire en sorte
que d’autres élèves essaient d’expliquer le contenu de la vidéo. Enfin, il y a ceux qui ont vu la vidéo
et ne l’ont pas comprise. C’est souvent un petit nombre, et il faut alors rapidement porter
l’attention sur ces élèves : s’installer avec eux, répondre à leurs questions et leur donner une
explication quasi individualisée.
Mais comment savoir qui est dans tel ou tel groupe ? Pour le déterminer, Nicolas utilise par exemple des questionnaires en ligne à l’issue du visionnage
de ses vidéos. Il dispose donc de données avant le retour des élèves en cours. Il est aussi
possible comme Geoffroy de demander directement aux élèves où ils en sont en début de séance.
Cette mise en difficulté au début de leur pratique de la classe inversée les a contraints à repenser
leur pédagogie mais a aussi eu pour effet positif de créer davantage d’interactions avec les élèves.
Cela leur a permis de développer deux types de pédagogie : la pédagogie d’activité avec la
résolution de problèmes complexes en classe ainsi que la pédagogie différenciée : tous les élèves
ont un objectif commun mais des chemins différents permettent à chacun d’y arriver.
Pour cela, certains outils ont dû être mis en place.
Par exemple, l’utilisation d’un plan de travail leur est devenue indispensable : il s’agit d’un
document qui récapitule tout ce qui est à faire sur la séquence d’approximativement 15 jours :
exercices, mais aussi articulation de ceux-ci avec les vidéos. C’est une aide précieuse pour la mise
au travail des élèves en classe qui savent ce qu’ils ont à faire et où ils en sont.
L’utilisation d’auto-évaluations sous forme de QCM en classe rend également les élèves plus
autonomes : ils font l’évaluation et se corrigent, se notent eux-mêmes.
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Quand un élève a fini son plan de travail avant la fin de la séquence, il a le choix entre faire une
tâche à prise d’initiative et aider d’autres élèves qui sont moins avancés (à l’exception toutefois des
élèves les plus en difficulté).
L’utilisation du plan de travail peut être un peu difficile à mettre en place au début, mais au bout
de quelques semaines, les élèves s’approprient l’outil et gagnent en autonomie.
Nicolas travaille en îlots afin que ses élèves interagissent. Effectivement, les classes sont plus
bruyantes qu’avant mais cela reste mathématique. Cela permet ainsi au professeur de se concentrer
sur les quatre ou cinq élèves en difficulté.
Geoffroy choisit lui de ne pas placer ses élèves en îlots dès le début du cours. Mais ceux-ci demandent
à créer des groupes au gré de leurs besoins : ils peuvent ainsi se déplacer afin d’aller poser une
question à d’autres et se regrouper en fonction de leurs avancées sur le plan de travail. Depuis cette
année, il utilise également un tableau de progression sous forme d’affiche accrochée au tableau :
chaque élève y reporte sa réussite à un exercice. D’un coup d’œil, le professeur visualise l’avancée
de la classe et peut orienter un élève vers d’autres pour une aide. Il dispose alors du temps nécessaire
pour se consacrer aux élèves les plus en difficulté.
La classe inversée se prête bien au réinvestissement de notions déjà introduites les années
précédentes et pour lesquelles il y a une grande hétérogénéité. Elle permet de réactiver les
connaissances et il est possible de créer des parcours différenciés pour remédier de manière très
ciblée aux difficultés.
Les 6es n’ont aucun problème pour s’adapter en début d’année puisqu’il y a une continuité en termes
d’autonomie avec ce qui leur a été appris à l’école élémentaire. En 3e, cela peut prendre un peu plus
de temps car il s’agit de reconstruire ce qui a été déconstruit au fur et à mesure des années du
collège.
Qu’en est-il de la validation de l’avancée de chacun et de la correction des exercices ?
Dans la salle de cours de Geoffroy, les élèves passent à son bureau pour lui montrer leurs avancées
sur le plan de travail et faire vérifier les exercices : en deux heures, il peut ainsi voir quasiment tous
les élèves. Par ailleurs, à la fin du plan de travail une heure est consacrée à la présentation –et non
plus correction- du travail réalisé par les élèves au cours de la séquence. Cela permet également un
nouvel apport de théorie.
Nicolas circule entre les groupes, corrige un cahier, puis celui-ci tourne dans le groupe. Très peu de
corrections sont faites en classe entière, sauf si un exercice en particulier le nécessite. Régulièrement
des exercices de synthèse sont réalisés et pour ceux-ci une correction est réalisée.
Dans tous les cas, il y a un cadre de travail, mais celui-ci reste souple car il n’y a plus la contrainte
de l’avancée de tous au même rythme.
Concernant les outils de diffusion des vidéos
Geoffroy stocke ses vidéos sur YouTube et les exporte sur son propre blog afin que les élèves n’aient
pas à aller sur YouTube. Ils recopient le contenu des capsules directement sur leur cahier de leçons.
L’accès aux vidéos de Nicolas (elles aussi stockées sur YouTube) se fait à partir de son site Internet.
Pour leur diffusion, il utilise aussi des liens sur l’ENT de son établissement ainsi que les réseaux
sociaux, même avec les parents. Lorsque le prof de maths publie quelque chose, cela apparaît dans
leur fil d’actualité.
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Pour ce qui est de l’accès à internet des familles : les élèves sont avertis suffisamment en avance du
visionnage des vidéos afin de pouvoir le faire au CDI s’ils n’ont pas la possibilité de le faire chez eux.
Avec les nouvelles télévisions avec port USB une autre solution est d’enregistrer les vidéos sur la clé
USB de l’élève qui pourra voir son prof de maths directement sur grand écran dans son salon !
Il peut arriver d’avoir un refus de l’utilisation des vidéos de la part des parents, cela arrive assez
souvent en 6ème. Pour cela, la réunion de début d’année avec les parents est importante puisqu’elle
permet de bien expliquer les objectifs de ce fonctionnement.
On peut aussi moduler les pratiques : pratiquer la classe inversée uniquement sur certains chapitres
et pas toute l’année. C’est d’une part plus facile pour se lancer, et les élèves utilisant moins souvent
les vidéos, il n’y a en général pas d’opposition des parents.
L’académie de Créteil avec les médiafiches recense de nombreux outils numériques, en particulier
permettant la réalisation de capsules vidéo : http://mediafiches.ac-creteil.fr/
Pour conclure : la classe inversée vraie innovation ou phénomène de mode ?
Il est difficile de répondre à cette question. L’important c’est de faire attention aux mots que l’on
utilise : parler de classe inversée et non de pédagogie inversée. La classe inversée est un outil pour
se dégager du temps afin de pouvoir mettre en place d’autres types de pédagogies. Ces pédagogies
ne sont pas forcément toutes innovantes : elles existent et sont éprouvées sur le terrain depuis
plusieurs années. Pour pratiquer la classe inversée il n’y a pas de règles, de dogme : même s’il y
existe une base commune de réflexion, les aménagements en sont différents et chacun reste libre
de s’approprier ce dispositif. Tout l’enjeu est ce qui se passe dans la classe ensuite.
Une des choses qui est régulièrement demandé à ceux qui pratiquent la classe inversée c’est de
donner « des preuves que cela marche ». Il est difficile de quantifier l’effet de cette pratique. Mais
clairement ce qui ressort c’est un changement positif de climat dans la classe. Moins d’élèves qui
viennent à reculons en cours, et davantage de motivation dans la mise au travail.
Augmenter l’attractivité pour les mathématiques
Cyril Michau est professeur de mathématiques dans l’académie de Créteil. En tant que formateur
académique, il y anime un stage intitulé « Augmenter l’attractivité pour les mathématiques » avec
Loic Asius, Robert Corne et Nicolas Lemoine dans lequel ils proposent différentes pratiques ludiques
afin de développer l’appétence des élèves pour la résolution de problèmes mathématiques. En voici
une présentation très condensée.
Cyril et ses collègues sont partis du constat que le cours de mathématiques consiste trop souvent en
l’application de petits outils mis en place, en la réalisation d’exercices d’application et non de
résolution de problèmes. Cela s’illustre au Brevet des collèges avec un nombre important d’élèves
qui n’essaient même pas de résoudre les exercices à prise d’initiative. Or le but de faire des
mathématiques est de résoudre des problèmes, de parvenir à résoudre des tâches à prises
d’initiatives afin de donner du sens à tous les outils que les élèves ont à acquérir. L’objectif est donc
de proposer des situations où les élèves se posent eux-mêmes la question, s’approprient le problème
et mettent alors davantage d’énergie dans la résolution de celui-ci.
C’est d’ailleurs ce qui ressort du cadre national fixé par la stratégie mathématique : les
mathématiques c’est résoudre des problèmes, il faut faire des jeux et s’amuser en faisant des
mathématiques.
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Ils ont dans un premier temps recensé les outils développés et mis en œuvre pour faire en sorte que
les élèves soient davantage attirés vers les mathématiques. Au début, les outils numériques étaient
très présents, puis ils ont réussi à revisiter et mettre au goût du jour d’autres pratiques qui existaient
déjà depuis longtemps. C’est le cas par exemple des jeux qui rentrent très bien dans le cadre de la
réforme, notamment en accompagnement personnalisé. L’algorithmique est elle aussi un outil très
puissant pour développer l’attractivité pour les mathématiques.
Voici quelques-uns des outils présentés :
Utilisation de la vidéo comme support de tâches à prises d’initiatives Il existe de nombreuses vidéos de ce type, plus ou moins longues, qui peuvent être utilisées à
différents moments de l’année et dans différents niveaux de classe. Elles peuvent être l’occasion d’un
travail en cours, ou données en devoir à la maison. Le choix peut être fait d’afficher la question, ou
d’attendre que les élèves se la posent.
Les journaux télévisés fournissent régulièrement de nouveaux extraits permettant un travail en
classe, avec par exemple des problèmes d’augmentation en pourcentage, supports à un travail
d’éducation aux médias et à l’information.
L’utilisation d’extraits de films (exemples : Las Vegas 21 pour le problème de Monty Hall, Marius pour
les fractions, Taken 2, … ), de vidéos de performances sportives ou de publicités permet aussi de
varier les types de vidéos.
La chaine YouTube mathasius (playlist Tâches complexes) par exemple répertorie de nombreuses
vidéos.
Dan Meyer, mathématicien américain, a transformé de nombreux exercices classiques en tâches à
prises d’initiatives et a créé des vidéos très intéressantes librement téléchargeables. Il propose pour
ses problèmes un schéma en trois temps : une vidéo sans le son qui expose la situation, une vidéo
coup de pouce ainsi qu’une vidéo solution. Enfin une ouverture, un prolongement d’utilisation est
proposé.
Exemples pour « super-bear » (http://mrmeyer.com/threeacts/superbear/) ou « popcorn
picker » (http://threeacts.mrmeyer.com/popcornpicker/)
Dan Meyer a créé un document Google partagé dans lequel toutes ses vidéos sont référencées :
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1jXSt_CoDzyDFeJimZxnhgwOVsWkTQEsfqouLWNNC6Z4/p
ub?output=html
Réalisation de vidéos par les élèves On peut aussi rendre les élèves acteurs du cours en leur demandant de créer des capsules qui
alimenteront celui-ci grâce à l’utilisation d’un visualiseur qui permet d’effectuer des enregistrements.
La vidéo est ensuite « collée » dans le cahier de leçon par l’intermédiaire d’un QR code et d’un lien
vers la vidéo en ligne. Par exemple, pour la méthode de construction de la médiatrice d’un segment
en 6e.
Jeux mathématiques L’usage du jeu en mathématiques fait désormais partie des recommandations officielles puisqu’il
apparait dans la stratégie mathématique et un document d’accompagnement a été publié sur
Éduscol.
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L’idée ici est de revisiter des jeux déjà connus des élèves. Par exemple : Jungle Speed transformé
en Maths speed, jeu de rapidité permettant de travailler les écritures fractionnaires équivalentes, ou
Maths’Up l’équivalent du Times’Up et pour lequel il s’agit de faire deviner des mots (du vocabulaire
mathématique) avec les trois temps comme dans le jeu d’origine. Dans chaque cas le visuel des
cartes a été travaillé afin d’évoquer le jeu d’origine.
Outils numériques d’évaluation Certains systèmes d’évaluation numériques favorisent les interactions avec la classe.
Par exemple ceux du type Plickers : les élèves votent à main levée avec un papier en choisissant
parmi quatre réponses possibles et l’enseignant recueille presque instantanément les réponses de
l’ensemble des élèves avec une tablette ou un smartphone.
Il existe également les outils du type boîtier d’évaluation avec lesquels il est possible de poser des
questions très ouvertes et de construire le cours à partir des représentations des élèves en recueillant
tous les avis et en les affichant au tableau en quelques secondes.
Autres outils Les tablettes, les jeux en ligne comme Dragon box, ….
Pour se tenir informé :
Comptes Twitter : @mathasius ; @MathsLemoine ; @MathsMichau ; @DANE_93_Creteil
Les lettres Édu_Num publiées sur Éduscol.
L’application Flipboard de la DANE 93 (Délégation académique au numérique pour l'éducation) avec
des publications régulières d’outils et de pratiques de classe qui se mettent facilement et rapidement
en place.
Cinémaths
« Cinémaths » : voici le nom initialement choisi pour le dernier projet d’André Deledicq et Mickael
Launay et qui s’appellera finalement MOOK : Maths Open Online Kangourou !
Comme nous l’a très justement dit André Deledicq « C’est vraiment des mathématiques, cela va être
open, c’est online et c’est vraiment du Kangourou ! »
Ce projet – qui sera finalisé et en ligne pour la rentrée 2017 - a pour objectif de proposer aux
professeurs et aux élèves un ensemble d'outils concernant le programme du cycle 4 directement
téléchargeables sur internet.
Nous avons eu le privilège de voir un aperçu du travail qui a été mené jusqu’à présent.
L’interface se présente sous la forme d’un arbre, sur lequel apparaissent six grands
domaines principaux: la géométrie, les nombres, les démonstrations, la mesure, l’enseignement des
mathématiques et l’algorithmique.
Le principe : en sélectionnant un domaine, on voit apparaître les différents modules qui y sont
rattachés. Et pour chacun de ces modules (par exemple Pythagore pour la géométrie), quatre choses
sont proposées :
un diaporama de présentation du sujet qu’il est possible de télécharger et de modifier
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des animations qu’il est possible de présenter en classe (par exemple des démonstrations
animées) des activités interactives pour les élèves des activités papier téléchargeables
À terme, il sera possible de paramétrer les choses et d’avoir un arbre personnalisé sur un compte
personnel. Par exemple, de masquer ou d’ajouter certains contenus et même d’avoir des arbres
différents selon les classes.
Dès le printemps, il sera proposé à tous les professeurs qui inscrivent leur classe au concours
Kangourou des mathématiques un accès en avant-première aux ressources déjà disponibles.
Une raison supplémentaire s’il en fallait une d’inscrire nos élèves au Kangourou des
mathématiques !
Mélusine Kummer
Mathématique : Je t'aime … moi non plus !
L'utilisation des mathématiques est de plus en plus visible dans la vie quotidienne ou dans les
différents domaines dont on entend parler : médias, finance, échanges boursiers, sondages, risques,
jeux, justice, délinquance, etc. Les champs mathématiques en jeux sont principalement ce qui relève
de l'information chiffrée, des statistiques, des probabilités, des bases de données, des algorithmes.
Les professeurs de mathématiques aiment à dire qu'ils ont un rôle très important pour donner aux
citoyens une culture mathématique permettant de comprendre et juger la pertinence des arguments
s'appuyant sur des connaissances mathématiques. Force est de constater que la réussite est toute
relative, pour ne pas dire souvent consternante. Nous avons du pain sur la planche …
Au top ten des erreurs dites et redites, il y a sans conteste celles sur les sondages. Le double épisode
des élections "surprises" de Trump puis de Fillon a déclenché une condamnation unanime d'une
virulence inégalée pour fustiger les sondages, ceux qui les font, et ceux qui les exploitent, confondant
les uns avec les autres. Il est heureux que la roue sur la place publique soit révolue … Les bêtises
ainsi rabâchées sont pourtant connues : D'une part on donne les pourcentages observés à l'unité
près, alors qu'un sondage est une "photo floue" ne donnant qu'un intervalle de valeurs probables
avec un risque d'erreur quantifié, d'autre part cette photo est prise à un instant donné, et n'a donc
aucun pouvoir de deviner l'avenir d'une population par définition en mutation. Ce n'est que la
comparaison des sondages au cours du temps qui peut donner des indications sur l'évolution de la
population étudiée, et encore à condition que la tendance soit vraiment marquée. Ces deux erreurs
- une valeur au lieu d'un intervalle et confusion entre observation à un instant donné et prévision -
ont été expliquées pendant les semaines qui ont suivi l'éviction de Jospin en 2002. Pendant quelques
temps, certains médias ont même fait l'effort de donner des intervalles de confiance pour
communiquer des résultats d'enquêtes. Cela n'a pas duré ...
Les sondages sont-ils exempts de critiques et d'interrogation ? Non. Mais pas pour les raisons qui
sont communément relayées. Parmi les vraies raisons de s'interroger sur la valeur des sondages, il
y a le fait que les intervalles de confiance avec un risque d'erreur choisi, ne sont calculables que si
l'échantillon est obtenu aléatoirement. Ce n'est pas le cas des méthodes employées par les instituts
de sondages en France, où l'on préfère la fameuse méthode des quotas. Du coup les intervalles de
confiance ne sont pas le résultat d'un calcul, mais d'une cuisine assez empirique s'appuyant sur les
expériences passées. Il y a donc une hypothèse assez risquée : la population étudiée se comporte
comme elle s'est déjà comportée avant. Comme dans tout problème mathématique, la résolution est
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validée sous couvert que les hypothèses qui sont utilisées sont bonnes. Avec du faux, chacun sait
qu'on peut obtenir n'importe quoi, même avec un raisonnement rigoureux.
L'autre point de suspicion à relever est nouveau : Concernant l'élection de Fillon à la primaire de la
droite et du centre, la population à sonder n'était tout simplement pas définie ! Qui allait voter ?
Comment réaliser un échantillon d'une population inconnue ? Fallait-il ne prendre que des électeurs
de droite alors que de toute évidence ils ne seraient pas les seuls à voter ? Fallait-il prendre des
français sans distinction d'opinion, créant la aussi un biais évident ?
Et pourtant, quoiqu'il ait été dit, que ce soit aux États-Unis ou en France, le plus étonnant est que
les sondages ont donné avec précision des indications en cohérence avec ce qui s'est passé
finalement.
La part d'intentions de votes pour Hillary Clinton a toujours été donnée comme plus importante que
celle pour Donald Trump. C'est bien ce que l'on a observé, Clinton ayant recueilli 2 700 000 voix de
plus que Trump, plus de voix que celles obtenues par Obama lors de sa dernière élection. De plus,
en France comme aux Etats-Unis, les sondages ont parfaitement révélé la mobilité des intentions de
votes, et surtout, ils ont parfaitement révélé les fortes évolutions dans les dernières semaines. Mais
justement, le comble du paradoxe, est que, ne faisant pas confiance aux sondages par principe, les
médias, et les responsables politiques n'ont pas cru aux évolutions qu'indiquaient les sondages. Ce
qui a suivi a prouvé qu'ils ont eu tort. Et bien rien n'y fait. Les coupables se sont les sondages !
La question de l'utilisation (abusive ou non) des mathématiques dans la société est évidemment une
question passionnante, mais aussi déontologiquement très importante lorsque l'on fait l'apologie de
notre discipline à nos élèves ou nos concitoyens. Aux journées de Lyon, je m'étais inscrit à l'atelier
intitulé "Les dérapages incontrôlés des maths", par Michel Soufflet (IREM de Basse-Normandie),
reprenant là, le titre d'un article paru dans Le Monde en septembre 2015. Malheureusement Michel
Soufflet a été contraint d'annuler l'atelier, mais il nous a envoyé 4 documents (un grand merci à lui
!) que je fais suivre ici en téléchargement.
Un document contenant des exemples commentés, susceptibles d'en faire des activités pour nos
élèves : (à télécharger sur le site de la Régionale APMEP Île-de-France)
- Atelier S228
Trois articles parus dans Le Monde :
- Dérapages incontrôlés des maths
- Maths : Pièges à éviter
- Probabilités et erreurs judiciaires
Dans ce dernier article, il est question d'un livre, écrit par la mathématicienne américaine Leila
Schneps, et sa fille Coralie Colmez, intitulé : Les Maths au tribunal(Seuil, 288 p, 20€). J'ai donc
acheté et lu le livre. Il est très intéressant et j'en recommande la lecture. Toutefois, outre que je le
trouve assez mal traduit, je regrette que les explications et les analyses des erreurs mathématiques
qui sont évoquées ne soient pas assez bien explicitées. Il a fallu que, papier et crayon à l'appui, je
mette en œuvre mes connaissances de prof de maths pour bien clarifier les erreurs commises. Si
l'image des maths d'un lecteur non suffisamment armé est celle d'une discipline obscure, je crains
qu'elle ne soit ainsi renforcée. Peut-être est-ce mon petit cœur de pédagogue indécrottable qui parle
…
La conclusion du livre énonce 3 idées qui méritent vraiment d'être méditées :
1re idée (p 265) : "Confronté à toutes ces histoires il est légitime de s'interroger sur la place des
calculs mathématiques devant les tribunaux, si elle existe, et de se demander s'ils devraient vraiment
jouer un rôle dans l'élucidation des crimes. Le plus gros problème, est qu'il est tout simplement très
facile pour des non-mathématiciens, ou parfois même pour des mathématiciens peu accoutumés à
interpréter des calculs dans une situation de la vie réelle, de mal comprendre et d'appliquer les
mathématiques à mauvais escient."
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2e idée (p 266) : "…la vraie vie n'est jamais aussi simple qu'un exemple théorique et il est impossible
de jamais trouver un modèle mathématique représentant fidèlement une situation réelle, avec toutes
ses complications humaines …"
3e idée : (p 267) : "Plus à craindre encore que ces erreurs, il est à craindre l'effet psychologique des
mathématiques, si puissant qu'il peut submerger un jury et menace de rendre le système juridique
plus étrange et inhumain …"
En clair, les maths sont trop difficiles à comprendre, trop simplistes pour rendre compte de la réalité,
et trop impressionnantes pour ne pas fausser le jugement. Nous voilà renvoyés dans nos cordes …
Pour terminer sur une note plus positive, je vous conseille vivement de visionner (lien et QR Code
ci-dessous) la formidable conférence que Daniel Perrin a faite aux journées de Lyon, intitulée
"L'affaire Van Meegeren". Un vrai régal ! Il y raconte cette histoire vraie et incroyable du faussaire
Van Meegeren, pour qui les mathématiques sont venues à son secours
http://acver.fr/conference-daniel-perrin
Rémy Coste
Sympathique cérémonie à l'IHP autour des Olympiades
scientifiques internationales
Par un pluvieux soir de Novembre, les participants
français aux différentes Olympiades Internationales
étaient fêtés à l'Institut Henri Poincaré. Cette
cérémonie, deuxième du genre, avait pour but
d'inviter ces jeunes scientifiques à se sentir chez eux
dans ce célèbre Institut qui accueille, bien sûr, des
mathématiciens et physiciens de haut niveau, mais
héberge en parallèle de nombreuses associations en
lien avec les mathématiques (Animath, Femmes et
mathématiques, SMF…) et accueille en particulier
nombre de manifestations de l'APMEP.
Étaient présents aux côtés des jeunes lauréats, outre parents et enseignants, des représentants des
Inspections Générales de Mathématiques et de Physique et des acteurs du monde associatif.
Les chantiers de pédagogie mathématiques avaient bien sûr dépêché un de ses reporters pour
couvrir l'événement !
Et quoi de mieux pour se remonter le moral dans les périodes d'incertitude que ce moment en
compagnie de ceux qui seront les chercheurs de demain (le parcours de ces jeunes permet de le
penser), accueillis (presque) comme des pairs par de brillants représentants de la recherche
d'aujourd'hui. La soirée avait été organisée par Roger Mansuy, qui consacre une part importante de
son énergie à tisser des liens entre l'IHP et le reste du monde, en particulier le monde de
l'enseignement.
Les maîtres des lieux, Jean-Philippe Uzan et Cédric Villani ont accueilli leurs jeunes invités dans une
ambiance tout à la fois détendue et chaleureuse. Cédric a présenté les nombreux liens tissés par
l'institut ; en particulier il a évoqué le chantier du futur musée des mathématiques, espéré à l'horizon
2020 sur le campus Curie, une immense chance pour les enseignants d’Île-de-France (et au-delà).
Les physiciens ont ouvert la cérémonie. Jean-Philippe Uzan et Cédric Villani ont questionné les 5
jeunes gens qui ont représenté la France à Zurich, aux Olympiades Internationales de Physique
(IPho) lors des deux épreuves, l'une théorique, l'autre expérimentale de cinq heures chacune. Chacun
a évoqué son expérience, notamment en énonçant ses préférences entre épreuve théorique et
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conduite expérimentale, avec une franchise désarmante. Les responsables de la préparation nous
ont expliqué les procédures de sélection : 350 candidats passent un premier test au contenu varié,
il en est retenu deux groupes de 12 qui participent chacun à un stage d'une semaine au sein des
ENS de Cachan et Ulm, centré sur les travaux pratiques. Un petit examen, à l'issue du stage, permet
de retenir parmi eux les 5 représentants de la France.
Ensuite, place aux matheux. Quatre jeunes étaient présents parmi les sept ayant représenté la France
cet été à Hong Kong aux Olympiades Internationales de Mathématiques (IMO). Parmi eux, plusieurs
multirécidivistes, ayant à leur actif plusieurs participations. Chacun a pris la parole et répondu avec
simplicité et aisance aux questions des maîtres de cérémonie. Martin Andler a pris la parole au nom
d'Animath pour décrire les modalités de recrutement et la préparation. Il a signalé l'aide apportée
par le Ministère, ainsi que celle de Capmaths, dont les subventions permettent d'organiser le
déplacement de l'équipe et l'organisation de la préparation. Stage d'été, test en début octobre, travail
à distance par correspondance, stages à la Toussaint et en Février, une préparation intensive, sous
l'égide de l'Olympiade Française de Mathématiques qui œuvre au sein d'Animath. Préparation qui
porte ses fruits. Parmi ces jeunes, il se dit qu'on a trouvé trois premiers ex-æquo au concours
général… Au dire d'un des lauréats, habitué de l'IMO, en 2014 l'équipe française avait eu ses pires
résultats depuis 10 ans, en 2015 ses meilleurs depuis 20 ans et l'année 2016, avec deux médailles
d'argent et quatre de bronze, elle se situe dans une très honorable moyenne. Signalons aussi que
c'est parmi ces jeunes mathématiciens que l'on trouve la seule jeune fille présente parmi les lauréats,
Lucie Wang qui a deux participations à l'IMO à son actif.
Les informaticiens ont à leur tour gagné le devant de la scène pour nous parler de leur participation
aux Olympiades internationales d'informatique (IOI) cet été à Kazan, en Russie. La sélection de
l'équipe repose sur une large base : la concours Castor informatique (350000 participants l'an
dernier) est le premier filtre. Les 20000 premiers sont alors invités à participer aux différents tours
du concours Algoréa, en vue de sélectionner les 20 meilleurs dont seront issus les 4 représentants
français. La préparation se fait en ligne, essentiellement sur la plate-forme France-ioi.org. Des stages
sont organisés grâce au partenariat actif de l'EPITA. Les jeunes, là aussi ont pris la parole pour nous
décrire leur expérience, les épreuves, où chaque exercice est à la fois théorique (trouver un
algorithme) et pratique (l'implémenter), le stress de voir son score en temps réel, leurs choix et
goûts en matière de langage de programmation…
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À tous, Cédric Villani et Jean-Philippe Uzan ont, à l'issue de la plage d'échanges, offerts des cadeaux
au nom de l'IHP (livre… d'un excellent auteur, invitations pour la future exposition au CNAM consacrée
à Claude Shannon…). Jeunes et adultes se sont retrouvés autour d'un pot amical où nous avons pu
échanger, de manière plus informelle, avec ces jeunes gens ouverts, astucieux et sympathiques qui
feront la science de demain.
Claudie Asselain-Missenard
Un portail tout beau tout neuf
Je me suis cyber-promenée sur le nouveau portail des mathématiques. Volonté d’entrée unique vers le monde de l’enseignement des maths, le portail, axe phare de
la stratégie mathématique, est conçu pour mettre en valeur les ressources et l’actualité aux yeux de tous. Bien entendu non exhaustif dans ces contenus, les ressources, liens
extérieurs, documents, ouvrages, événements, sites qu’il renseigne sont aussi variés que la communauté est créative. Il y aura donc des sites géniaux que vous fréquentez qui n’y sont pas (encore) recensés mais c’est justement l’intérêt du numérique de pouvoir évoluer à l’instant t. C’est alors qu’on imagine ce que pourrait être un manuel uniquement numérique… Mais là, je m’égare tout comme j’ai pu le faire
sur ce portail. Car j’ai traîné, erré, divagué, fouillé telle une archéologue. Et même en ayant bien compris l’architecture du portail, similaire à celui des autres matières avec ses quatre menus généraux : enseigner, s’informer, se former et actualités, la navigation par ces onglets ne m’a pas
toujours menée à des résultats probants. Par exemple, je n’y
trouve pas par cet accès un lien vers les documents d’accompagnement des programmes… Les ressources pour la classe, elles, sont bien classées et renseignées dans le
sous-menu « ressources par thème du programme » du menu « enseigner ». Je vous recommande donc d’avoir une idée de ce que vous voulez trouver en visitant le portail au risque sinon d’une promenade interminable
Après une immersion d’une heure dans le portail et soixante-douze nouveaux onglets ouverts dans
mon navigateur, je me suis ressaisie et recentrée sur un raisonnement plus scientifique, mon but
étant d’arriver à écrire un jour ce billet.
Je me suis donc donné deux missions : la première, très pragmatique, de trouver une ressource
inspirante pour mon cours du lendemain sur les puissances en 3e. J’estimais cette première réussie
dans la mesure où je trouvais quelque chose susceptible de remplacer mon activité prévue et déjà
imprimée. Une recherche par mot clé me fournit dans les deux premiers résultats une activité certes
classique mais convaincante. Le problème de l’académie de Caen consiste à chercher combien de
pliages, au minimum, sont nécessaires pour que l’épaisseur d’une feuille de papier pliée sur elle-
même dépasse la hauteur de la Statue de la Liberté. Adjugé vendu, je modifie le fichier Word
téléchargeable qui vient supplanter mon exercice traditionnel sur la légende du jeu d’échec. Le
deuxième résultat de la recherche finit de me convaincre, il renvoie vers une association qualifiée
comme « notre partenaire », ce n’est autre que l’APMEP. Le lien interne vers un article du fil
d’actualité présente l’association et donne le lien vers le catalogue des vidéos de mathscope. Le fil
d’actualisé change d’ailleurs toutes les semaines et je vous encourage à vous abonner à son flux RSS
pour recevoir les dernières brèves.
Ma deuxième recherche plus récréative a elle aussi été satisfaite. Je voulais trouver quelque chose
que je ne connaissais absolument pas autour du jeu. Je vous présente Simplex – le jeu, un jeu vidéo
de calcul mental. A visiter ! Ce jeu du site francetvéducation est accompagné d’une web série du
même nom sur les thèmes du programme de collège.
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Le portail ayant ouvert après les vacances de la Toussaint, je peux convenir après cette visite
approfondie que pour un début c’est plutôt prometteur. Les différentes composantes de la stratégie
mathématiques ont été amenés à contribuer aux articles et le sont encore, le portail est voué à être
enrichi.
Finalement, je signalerais pour terminer les portails des autres disciplines, tous référencés en page
d’accueil d’Éduscol, qui ont, au même titre que celui qui nous intéresse ici, eux aussi occupés mes
soirées. Le portail de physique - chimie, le premier initié m’a autant inspiré que celui dédié à l’histoire
des arts m’a intrigué car il existe, eh oui, le saviez-vous ?
Stéphanie Doret
Journées Nationales Lyon 2016
Le discours d'ouverture d'Anne Burban
Lors de l'ouverture des journées nationales 2016 à Lyon, Anne Burban, inspectrice générale de
l'Education Nationale, a prononcé un important discours. Son propos était centré sur la réforme des
collèges, afin d'en dégager les orientations fondamentales et l'esprit qui a dicté sa mise en
place. Autour des trois points fondamentaux à ses yeux : les cycles, le socle, l'interdisciplinarité,
elle en examine à la fois les opportunités qu'ils représentent et les risques éventuels associés. Le
comité de la Régionale ne saurait trop recommander la lecture de ce texte aux professeurs de collège,
mais aussi à tous les enseignants qui s'intéressent aux évolutions du système.
Retrouver le discours en cliquant sur le lien ci-dessous (réservé aux adhérents)
http://www.apmep.fr/Discours-d-ouverture-Anne-Burban
ou télécharger le fichier sur le site de la Régionale APMEP Île-de-France
Mes premières journées nationales Comme chaque année, en début de vacances de la Toussaint se déroulent les Journées nationales
de l’APMEP. Cette année, elles se sont déroulées du 21 au 24 octobre à Lyon. Quelle belle ville pour
ces journées placées sous le thème de la lumière ! Ce thème est une évidence pour la ville de Lyon
où chaque année a lieu la fête des Lumières et dont on connaît deux célèbres lyonnais d'adoption,
Auguste et Louis Lumière. Quelle chance pour moi de participer à mes premières journées dans la
ville de la lumière, riches en qualité d’enseignement des mathématiques et en réflexion pédagogique
!
Après cinq heures de voiture et une bonne nuit d’hôtel, me voilà devant l’entrée du 233 rue Vendôme,
accueilli par une banderole qui indique les journées. Là, je suis reçu par un groupe de personnes de
bonne humeur avec des tee-shirts jaunes au logo des journées. Ils m’offrent un café et des petits
gâteaux, un sac à dos avec plein de surprises à l’intérieur ainsi qu’une pochette avec le détail de mon
inscription. Après un copieux repas sur la place Guichard, me voilà à la bourse du travail pour assister
au discours d’ouverture et à la conférence de Laure Saint-Raymond. Les discours inauguraux sont,
comme souvent, un peu convenus et j’avais hâte, assis dans mon fauteuil rouge très confortable, de
voir débuter la conférence. Cependant, le discours d’Anne Burban, IGEN de Mathématiques, très en
accord avec mes idées et mes inquiétudes au sujet de la réforme du collège, m’a beaucoup plu.
Ensuite, place à la conférence de Laure Saint-Raymond, avec comme titre « Le désordre est presque
sûr ». En guise d’introduction, on a droit à une petite vidéo où l’on voit des bonbons de différentes
couleurs dans une assiette. Ils se mélangent pour finir rangés par couleur. Elle nous explique qu’elle
a demandé à ses enfants de reproduire l’expérience et qu’ils n’ont pas réussi. Alors est-ce vraiment
possible ? Et là, elle nous explique que la vidéo a été regardée à rebours. Quelle formidable
introduction pour cette conférence ! Que j’ai appréciée malgré un décrochage de ma part à la fin.
Puis, je suis allé prendre l’apéritif à l’hôtel de ville de Lyon qui est superbe. Petite anecdote, certain
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de mes camarades ont pris en photographie le mètre étalon qui se situait dans la cour. Les profs de
maths vraiment, ils ne décrochent jamais…
Les jours suivants étaient très denses entre les conférences exceptionnelles auxquelles j’ai pu assisté,
en particulier celle de Daniel Perrin sur « Toute la lumière sur l'affaire Van Meegeren », les différents
ateliers et mes visites dans les stands des différents exposants. Mon portefeuille s’est trouvé, à ce
propos, allégé en repartant mais pour des revues ou des livres qui vont m’être très utiles. Le banquet
a été très bien et le décor superbe. Pour tout vous dire, j’ai particulièrement aimé descendre aux
toilettes car nous avions vue sur les caves du restaurant mais le repas a été aussi un véritable délice
et je suis parti repu.
Ces journées ont été aussi l’occasion de belles rencontres et de discussions hautes en couleur. J’ai
pu discuter de nouvelles pratiques pédagogiques, de projet, d’EPI, échanger sur des activités, me
former, ouvrir ma curiosité, me replonger dans les mathématiques, … Finalement, ces journées ont
été et resteront un beau début de vacances et sachez que l’an prochain je serai aux Journées
Nationales de l’APMEP du 21 au 24 octobre à Nantes. Alors rendez-vous là-bas !
J’ai failli oublier de vous dire que vous avez beaucoup de chance car vous pouvez voir
sur youtube presque toutes les conférences des journées. Un petit conseil, regardez la conférence
surprise d’Étienne Ghys.
Planchenault Sébastien
Une nouvelle certification, pourquoi faire ?
Depuis déjà un peu plus d’un an est apparu le sigle CAFFA qui est l’équivalent pour les enseignants
du second degré du CAFIPEMF. Qu’est ce qui se cache derrière ce sigle ? Eh bien une reconnaissance
du métier de formateur. C’est une certification d’aptitude à la fonction de formateur académique.
Celle-ci permet d’obtenir une indemnité annuelle d’un montant de 834€ et d’une décharge de 3 à 6
heures pour effectuer les missions confiées par l’inspection. Lors de la réussite au CAFFA, les
professeurs formateurs académiques (PFA) sont encouragés à participer aux équipes de recherche
des ESPE dans des projets de type « recherche-action » susceptibles d’enrichir les savoirs
professionnels et favoriser les transferts. Un référentiel de compétences professionnelles des métiers
de la formation de l’éducation nationale a été élaboré. Les compétences des formateurs sont, en
outre, valorisées avec une prise en compte de l’expérience dans les évolutions professionnelles des
enseignants.
Les certifications se dérouleront sur deux ans. Elles comprendront une épreuve d’admissibilité et
deux épreuves d’admission. L’admissibilité se fondera sur un entretien avec le jury sur un dossier
fourni par le candidat. Le dossier comprendra la présentation du candidat et ses rapports
d’inspection. Les candidats admissibles entreront alors dans un cursus de certification accompagné.
Ils seront associés à l’accompagnement d’un étudiant se destinant aux métiers de l’enseignement et
de l’éducation, d’un enseignant ou CPE stagiaire ou débutant. Ils seront également associés à la
conception et à la conduite d’actions de formation. Dans le même temps, ils auront accès à des
ressources et des formations organisées en lien avec les ESPE. L’admission se composera d’une
épreuve de pratique professionnelle et d’une épreuve de soutenance de mémoire. L’épreuve de
pratique professionnelle consistera soit en une analyse de séance de tutorat, soit en l’animation
d’une action de formation auprès d’un groupe en formation initiale ou continue. La soutenance du
mémoire, outre la présentation de celui-ci, comprendra un échange avec le jury sur le travail de
réflexion du candidat autour d'une expérience professionnelle, en lien avec une problématique
d’accompagnement ou de formation. Pour déterminer l’admission, le jury se prononcera alors sur la
maîtrise suffisante des compétences professionnelles attendues d’un formateur au regard d’une grille
de critères qui définit quatre domaines de compétences :
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Penser, concevoir, élaborer
Mettre en œuvre, animer, communiquer
Accompagner
Observer, analyser, évaluer
Les candidats qui ne seront pas admis, garderont le bénéfice de l’admissibilité pour les quatre années
suivant la première présentation de l’admission et pourront présenter encore deux fois l’admission.
Formateur est un véritable métier et le fait que l’éducation nationale reconnaisse cette fonction est
un pas significatif. Il est vrai que pour le plus grand nombre de formateurs déjà en activité, c’est
compliqué car il leur faut passer cette certification en poursuivant leur mission de formation et en
enseignant. Mais c’est pour le bien de tous et une reconnaissance de leur travail et compétences.
Je suis actuellement en train de préparer cette certification. Il est vrai que malgré les aides à la
préparation, il m’a été difficile de me mettre pleinement dans celle-ci en poursuivant mes missions
de formateur et en enseignant les mathématiques en collège. La rédaction du dossier d’admissibilité
a été un travail très long qui m’a pris environ un mois de travail. Il a fallu que je relate dans celui-ci
l’analyse de ma carrière de formateur ou de conseiller pédagogique. Ce fût pour moi comme un
travail de funambule car, comme lui, je marchais sur un fil en espérant ne jamais tomber. Il ne fallait
pas faire un curriculum vitae mais je devais présenter mon itinéraire professionnel sans être trop
descriptif, trop prétentieux, trop discret et surtout ne pas faire un rapport neutre et anonyme qui ne
révèle ni opinion, ni personnalité. Il fallait en plus développer une ou plusieurs expériences
significatives. Ce travail terminé, il me reste la préparation de l’oral. Dans un peu moins d’un mois
je passe l’admissibilité, je suis encore dans la rédaction de mon plan. Je compte parler de mon
expérience de conseiller pédagogique et des difficultés rencontrées par l’enseignant stagiaire. Il me
faut également expliquer comment j’ai mis en œuvre des pistes de travail pour l’accompagner et
l’aider à progresser.
Lors de ma préparation à l’oral, une formatrice m’a demandé pourquoi je souhaitais être formateur
et je n’ai pas vraiment su que dire autre que je souhaitais partager mon expérience et aider les
jeunes collègues dans leur parcours professionnel. Une réponse très classique vous pourriez me dire.
Est-ce vraiment ma réponse ? Je n’en suis pas certain. Est-ce pour changer mon quotidien et avoir
le sentiment d’évoluer et progresser ? Peut-être. Je pense également que j’adore mon métier et que
je veux progresser dans celui-ci et savoir comment le faire est vraiment la question. Eh bien peut-
être qu’en étant constamment en formation pour former et travailler dans des processus de « action
– recherche » me permettra de grandir et de développer mes pratiques mais également de discuter
de celles-ci ainsi que de les partager. Depuis que je réalise des formations, je n’ai jamais pris autant
le temps de lire sur les expérimentations, sur les nouvelles pédagogies, sur les intelligences multiples.
Mais cela a également été l’occasion d’expérimenter encore plus avec mes élèves. Et vous qu’en
pensez-vous ? Le CAFFA c’est peut-être aussi pour vous.
Planchenault Sébastien
Avis de Recherche
L'avis de Recherche n° 5 était :
Soit un trapèze, dont les longueurs des bases sont a et b, coupé en deux parties de même aire par
un segment de longueur c parallèle aux bases.
Peut-on avoir a, b et c entiers ?
Et puis peut-on le couper de la même façon par deux segments de longueur c et d avec a, b, c et d
entiers ?
Et par n segments ...?
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Deux fidèles, Jean Couzineau et Salvatore Tummarello, m'ont transmis le fruit de leurs recherches,
lourds fruits pleins d'expérimentation, de calculs à la main ou à la machine (les logiciels SageMath
et Python ont été très sollicités), des hypothèses ont été avancées mais pas toujours démontrées...
Bref beaucoup de travail de recherche comme je l'aime, où tous les coups sont permis, la fin justifiant
les moyens. Vous pouvez télécharger l'intégralité de leurs travaux en cliquant ci-dessous :
Recherche Jean Couzineau
Recherche Salvatore Tummarello
Et moi-même je n'aurais pas fait différemment si je n'avais pas assisté aux Journées Nationales de
Lyon d'octobre 2016 et reçu le secours des mathématiciens babyloniens (d'environ 2000 av JC) par
le truchement d'animateurs de l'IREM de Grenoble lors d'un atelier intitulé "De Babylone à Samos" :
Passionnant !
D'abord, contrairement à nous, ces babyloniens passent du général au particulier en utilisant ce qu'ils
ne savaient pas encore être une transformation affine qui les fait passer d'un trapèze quelconque à
un trapèze isocèle d'angle de base 45°, mais dont ils savaient qu'elle conserve le rapport des aires.
Vous pouvez jouer aux Babyloniens avec GeoGebra en utilisant une transvection et une affinité pour
transformer le trapèze en cliquant sur l'image ci-dessous :
Pourquoi cette transformation ?
Pour pouvoir les mettre en quatre afin de faire des carrés !!!
Nous avons donc une couronne bleue (pour ceux qui ont la tête au carré)
dont l'aire s'exprime très simplement par b²-c² et une couronne rouge
d'aire c²-a². De l'égalité des deux aires, on déduit la relation :
a² + b² = 2c² dont les solutions entières (a, b, c), si elles existent, sont appelées
triplets babyloniens en hommage à qui vous savez.
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Retour sur les triplets pythagoriciens
Bien entendu cela n'est pas sans évoquer les triplets
pythagoriciens (u,v,w) avec u²+v²=w² mais que l'on a
guère l'habitude de voir apparaître dans un trapèze... et
pourtant.
Prenez un trapèze ABDE de base u et w, coupé par une
segment parallèle aux bases de longueur v, transformé
comme ci-dessus en un trapèze isocèle d'angles à la base
de 45° (donc partie d'un triangle rectangle isocèle ABC)
pour pouvoir à nouveau le mettre en quatre...
Nous avons à nouveau une couronne bleue, d'aire w²- v² et
un carré rouge d'aire u².
Les deux aires seront égales lorsque u²=w²-v² c'est à dire
u²+v²=w² !!!
Donc on pourra qualifier un trapèze ABDE de pythagoricien si
l'aire ABFG est égale à l'aire EDC avec les définitions
précédentes.
En outre nous connaissons la formule algébrique (E) des
triplets pythagoriciens :
(p²-q², 2pq, p²+q²) avec p et q entiers naturels et p>q .
Rapport entre triplet pythagoricien et triplet babylonien Comment associer à un triplet pythagoricien un triplet babylonien ?
On peut utiliser des méthodes calculatoires plus ou moins compliquées mais la méthode
géométrique ci-dessous, issue de la présentation de l'IREM de Grenoble mais animée par
GeoGebra, me semble beaucoup plus pédagogique.
Cliquer ICI
À partir de la figure épurée issue de cette configuration nous allons faire apparaître le triplet
babylonien.
Recliquer ICI
Soit f la fonction qui au triplet pythagoricien (u, v, w) associe le triplet babylonien
(a, b, c) = (v-u, v+u, w).(1)
Il est alors facile par le calcul de trouver l'unique fonction réciproque qui au triplet
(a, b, c) associe (u, v ,w) = ((b-a)/2, (b+a)/2, c). (2)
Bien entendu il faut démontrer que u et v ainsi trouvés sont bien entiers.
Mais on peut aussi recourir à une démonstration géométrique du type ci-dessus et inspirée de
la présentation faite par l'IREM de Grenoble.
Rerecliquer ICI
De toute façon on a l'assurance que les deux types de triplets sont en bijection et on peut utiliser
cela pour obtenir tous les triplets babyloniens.
En appliquant la formule (1) à l'expression (E) des triplets pythagoriciens on trouve l'ensemble des
triplets babyloniens
{(2pq - p² + q², 2pq + p² - q², p² + q²)},
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sans se préoccuper de savoir s'ils sont irréductibles (d'ailleurs
certains ne le sont pas) car ils constituent tous une réponse au
problème posé.
Pour une visite du "site-muse" vous pouvez vous rendre ICI
Et une trisection du trapèze ?
En utilisant toujours la même méthode de la mise en quatre du trapèze on va exprimer que deux
des petites couronnes sont le tiers de la grande (ce qui entraînera naturellement que la troisième est
aussi le tiers)
(1) 3(c²-a²) = b²-a²
donc 2a²+b² = 3c²
(2) 3(b²-d²) = b²-a²
donc a²+2b² = 3d²
Pour résoudre (1) , je n'ai pas reçu le secours des babyloniens (c'est
à dire que je n'ai pas trouvé le moyen d'adapter la méthode
précédente à ce cas) je suis donc obligé de recourir à la méthode
"classique" employée par Salvatore : la recherche de points à
coordonnées rationnelles sur une ellipse...
Mais avant de me lancer dans une telle aventure je vais demander
à Python 3.5 de conforter mon intuition, à savoir que ma
recherche est vaine...
Je programme donc :
import math
a=1
b=1
fin=10000
for a in range(1,fin):
for b in range(1,fin):
c=math.sqrt((2*a*a+b*b)/3)
d=math.sqrt((a*a+2*b*b)/3)
if int(c)==c and int(d)==d and math.gcd(a,b)==1:
print(a,b,int(c),int(d))
continue
Et en moins de 2 minutes (avec 10 000 fois 10 000 boucles j'ai fait fort) j'obtiens la réponse : mon
intuition à des chances d'être juste ! Seul (1,1,1,1) répond à la question !
Je peux donc me mettre à tenter de démontrer qu'il n'existe pas de triplets communs aux solutions
de (1) et (2)
En posant x=a/c et y=b/c, l'équation(1) se transforme en 2x²+y²=3, équation d'une ellipse E centrée
en O (cf. ci-contre).
En choisissant un point de E à coordonnées rationnelles, ici C = (-1,-1), nous écrivons l'équation de
la droite (D) passant par C et de pente t, rationnel égal à p/q, qui est donc y = t(x+1) -1.
M étant à l'intersection de E et (D) nous obtenons ainsi l'équation permettant de trouver x l'abscisse
de M
2x²+t²(x²+2x+1)+1-2t(x+1) = 3 ou encore
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x²(t²+2) + 2x (t²-t) + t²-2t-2 = 0
équation du second degré dont -1 est une racine évidente (et attendue) et le produit fournit l'autre
qui est :
x=(-t²+2t+2)/(t²+2)
ce qui permet de trouver y= (t²+4t-2)/(t²+2) et, en utilisant t=p/q, d'en déduire les solutions de
(1) qui sont les triplets
(a, b, c) = (-p²+2pq+2q², p²+4pq- 2q², c=p²+2q²).
Bien entendu on trouve des solutions positives et négatives mais pour prouver par la suite qu'elles
ne conviennent pas il faut mieux être trop riche que trop pauvre.
Donc avec les a et b ainsi trouvés il me reste à prouver que l'on ne peut pas trouver d'entier d
vérifiant l'équation (2).
Calculons a²+2b² =(-p²+2pq+2q²)²+2( p²+4pq- 2q²)² = ... =
= 3(p4 + 4p3q + 8p²q² - 8pq3 + 4q4); = 3 d² ???
Pour que d² soit le carré d'un nombre entier il faudrait pouvoir trouver k entier tel que
d= p² +kpq + 2q² d'après les résultats ci-dessus.
En élevant cette expression au carré nous obtenons :
p4 + 2kp3q + (4+k²)p²q² +4kpq3 + 4p4
Par identification nous obtenons 2k = 4, 4+k² =8, 4k =-8 c'est à dire k=2 et k =-2 donc pas de
solution. C'est une méthode certes artisanale mais qui me semble correcte. Qu'en pensez-vous ?
Et au delà ? S'il n'existe pas de solutions à la "triplication" de trapèze, inutile de chercher plus loin car s'il
existait un n-uplet (n>4), solution à une éventuelle division en n-1 trapèzes de même aire, on
aurait vite fait d'en extraire un quadruplet... dont on vient de démontrer l'inexistence.
Alain Bougeard
Avis de Recherche n° 6 Quel est le plus grand entier positif qui ne puisse pas s'écrire 15a+21b+35c avec a, b et c entiers
positifs ?
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