Download pdf - Stabilité linéaire globale de couche limite décollée...Stabilité linéaire globale de couche limite décollée Par F. Alizard, J.-Ch. Robinet SINUMEF Laboratory, ENSAM

Stabilite lineaire globale de couche limite decollee

Par F. Alizard, J.-Ch. Robinet

SINUMEF Laboratory, ENSAM CER de PARIS

151, Boulevard de l’Hopital,

75013 PARIS, FRANCE

email : [email protected]

GDR 2502 CONTROLE DES DECOLLEMENTS - 1 -

Objectifs de l’etude

Etude de l’influence d’une perturbation 3D sur un decollement se developpant sur une plaque

plane.

Calcul du champ de base (2D et stationnaire) :

Ecoulement modele : couche limite decollee solution des equations de Falkner-Skan.

Ecoulement ”realiste” : couche limite decollee solution des equations de Navier-Stokes.

Formulation du probleme :

Resolution des equations de stabilite lineaire globale par une methode spectrale,

Resolution d’un probleme aux valeurs propres par un algorithme d’Arnoldi pour une perturba-

tion 2D et 3D.

Mise en evidence de differentes familles de mode :

Modes globaux tridimensionnels instables stationnaires.

Modes globaux bidimensionnels stables spatialement amplifies (type TS, KH).

Modes globaux tridimensionnels stables spatialement amplifies (type Gortler).


Champ de base : solution Falkner-Skan (1)

Construction du champ de base a l’aide d’une famille de solutions de Falkner-Skan

Falkner-Skan :f ′′′ + ff ′′ + β(1 − f ′2) = 0

f(0) = f ′(0) = 0 et f(η → ∞) = 1

η = y

√

Re

x(2 − β), ψ(x, y) = f

√

(2 − β)x

ReUe

U(x, y) =∂ψ

∂y, V (x, y) = −

∂ψ

∂x

Profil β(x):

β

f’’(0

)

-0.15 -0.1 -0.05 0

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

β

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8


Champ de base : solution Falkner-Skan (2)

Ecoulement de couche limite decollee solution des equations de Falkner-Skan se developpant sur

une plaque plane, pour un nombre de Reynolds de 105.

x

y

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Lignes iso-vitesse longitudinale du champ de base solution des equations de Falkner-Skan.


Champ de base : solution Navier-Stokes (1)

Les equations de Navier-Stokes 2D incompressible dans une formulation fonction de courant-

vorticite sont utilisees :

∂ω

∂t+ u

∂ω

∂x+ v

∂ω

∂y=

1

Re

(

∂2ω

∂x2+∂2ω

∂y2

)

et ∆ψ = ω,

ou ω et ψ sont la vorticite et la fonction de courant respectivement.

Les conditions aux limites sont les suivantes :

∂ψ/∂y = U(x), ω = 0 pour la frontiere superieure et ψ = 0, ∂ψ/∂y = 0 pour la paroi.

A l’entree et a la sortie, un profil de Blasius et les conditions ∂2ψ/∂x2 = 0, ∂2ω/∂x2 = 0 sont

respectivement imposees.

Un schema du second ordre est utilise pour l’equation de transport de la vorticite et l’equation de

Poisson de la fonction de courant.

Un algorithme de type A.D.I est utilise pour resoudre l’equation de transport, l’equation de Poisson

est resolue par un algorithme A.D.I de Peaceman-Rachford.

La grille utilisee est homogene dans la direction x et geometrique suivant y : (nx × ny) =

(300 × 100).


Champ de base : solution Navier-Stokes (2)

Ecoulement de couche limite decollee solution des equations de Navier-Stokes se developpant sur

une plaque plane, Reδ? = 610.

X

Y

1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 40

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Lignes iso-vitesse longitudinale du champ de base solution des equations de Navier-Stokes.


Stabilite lineaire globale : generalitees (1)

Quantites physiques instantanees : Q(x, y, z, t) = Q(x, y)+εq(x, y)exp(iβz−ωt)+c.c., ε� 1

Le champ de base Q(x, y) est stationnaire, bidimensionnel (homogene dans la direction transverse)

et solution des equations Navier-Stokes incompressible.

q(x, y) sont les fonctions propres, avec β = 2π/λz, le nombre d’onde suivant z et ω la pulsation

complexe.

Les equations aux petites perturbations definissent le systeme suivant :

Dxu + Dyv + βw = 0,(

L −DxU)

u− (DyU )v −Dxp = −ωu,

−(DxV )u +(

L − DyV)

v −Dyp = −ωv,

Lw + βp = −ωw,

avec

L = N − UDx − VDy et N = (1/Re)(

D2

x + D2

y − β2)

Im(ω) < 0 : Stable, Im(ω) > 0 : Instable.


Stabilite lineaire globale : generalitees (2)

Conditions aux limites (V.Theofilis, 2003) :

Pour les vitesses : Le systeme differentiel precedent est complete par des conditions limites

d’adherence a la paroi et de nullite a l’infini.

Instabilites globales intrinseques de l’ecoulement, aucune perturbation n’est imposee en entree.

Des conditions aux limites d’extrapolation sont imposees en sortie.

Pour la pression: des conditions de compatibilite sont imposees.

∂p

∂x=

1

Re∆2du− U

∂u

∂x− V

∂u

∂y, et

∂p

∂y= 0

Methode numerique :

Le systeme differentiel associe aux conditions aux limites definit le probleme aux valeurs propres

suivant :

AX = ωBX

avec ω les valeurs propres et X les vecteurs propres.

Collocation spectrale Chebyshev/Chebyshev.

Le spectre est resolu par l’algorithme d’Arnoldi via une transformation shift-inverse.


Stabilite lineaire globale : resultats generaux

Les profils de Falkner-Skan sont absolument stables pour une perturbation 2D (Hammond et

Redekopp, JFM 1998). L’ecoulement est donc globalement stable pour une perturbation 2D

(presente analyse).

Analyse de la stabilite globale pour une perturbation 3D, methode spectrale multi-domaines (3

domaines), maillage 128 × 45, balayage en nombre d’onde transverse β ∈ [0; 80].

Trois familles de modes ont ete observees :

Un mode global stationnaire tridimensionnel instable pour une gamme de nombre d’onde

transverse.

Des modes globaux bidimensionnels temporellement stables mais spatialement amplifies (de

type Tollmien-Schlichting et Kelvin-Helmholtz, dependent du type de condition aux limites

d’entree).

Des modes globaux tridimensionnels temporellement stables mais spatialement amplifies (de

type Gortler, dependent fortement de la courbure locale des lignes de courant).


Stabilite lineaire globale : mode 3D stationnaire

Aspect des diverses fonctions propres liees au mode le plus instable pour β = 34 (λ ∼= 0.18).

Ce mode semble similaire a celui observe par Theofilis et al. (2000) pour un bulbe plaque plane

et Barkley et al. pour la marche descendante.

x

y

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

x

y

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

x

y

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

x

y

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07


Stabilite lineaire globale : mode 3D stationnaire (2)

Remarques:

La majeur partie de l’influence des perturbations est concentree dans le bulbe pour toutes les

fonctions propres, notamment pour celle portant sur la direction z de l’ecoulement, relative a

la tridimensionnalisation du decollement.

Caractere fortement oscillant de la perturbation propre liee a la pression.


Stabilite lineaire globale : mode 3D stationnaire (3)

Analyse de tridimensionalisation du decollement : effet du mode stationnaire 3D :

Reconstruction du champ instantane:

Q¯(x, y, z, t) = Q(x, y) + ε(Re(q(x, y))Cos(βz) − Im(q(x, y))Sin(βz))exp(ωt), ε� 1

Analyse des iso-valeurs de la vorticite de la perturbation en 3D, sur 3 longueurs d’onde.

x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

0

0.02

0.04

0.06

0.08

z

0

0.2

0.4

0.6

0.8

X

Y

Z


Stabilite lineaire globale : mode de Gortler (1)

Analyse du mode stationnaire stable. Il prend la forme de rouleaux s’amplifiant suivant la ligne

de separation. Similaire a une instabilite convective de type Gortler.


Stabilite lineaire globale : mode de Gortler (2)

Comparaison entre l’etude globale et une analyse locale de l’instabilite de Gortler :

Instabilite de nature extrinseque. Une etude locale de Gortler a ete realisee suivant la ligne de

separation, sous les hypotheses d’une faible courbure et haut nombre de Reynolds. Les fonctions

propres suivant la direction transverse ainsi que suivant la direction de l’ecoulement presentent un

comportement similaire dans l’etude locale. Notamment le maximum d’intensite se retrouve au

maximum de courbure. Ce type d’instabilite a deja ete observee dans un decollement notamment

dans l’etude LES de Wilson & Pauley (1998).


Analyse de tridimensionalisation du decollement (4).

Comparaison fonctions propres.

x

y

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.01

0.02

0.03

0.04

x

y

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.01

0.02

0.03

0.04

x

y

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

x

y

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Gauche : Analyse globale, droite Analyse locale. Haut Re(w), bas Re(u).


En cours de realisation et perspectives

Analyse sur un bulbe issu des equations de Navier-Stokes du mode stationnaire le plus instable.

Description de la tridimensionalisation du bulbe due a ce mode.

Comprehension physique du phenomene, influence des instabilites centrifuges ? (Barkley, Gomes

and Henderson, JFM, 2002).

Si l’ecoulement est convectivement instable en amont de la zone globalement instable. Competition

entre les deux types d’instabilite?

Possibilite de calculer modes extrinseques et intrinseques sur un decollement avec une methode

BiGlobale suivant le type de conditions limites (etude sur une couche limite de Blasius Alizard et

Robinet, en consideration pour Physics of Fluids) ?


Perspectives en controle des decollements (1)

L’analyse de stabilite globale peut permettre de construire un systeme d’ordre reduit et calculer la

perturbation optimale de l’ecoulement.

Exemple : Croissance transitoire d’un couche limite de Blasius par une methode globale.

L’evolution des perturbations dans le transitoire est decrite par : q(x, y, t) =∑N

k=1K0

kexp(−iωkt)qk(x, y), N est le nombre de modes pris en compte. qk(x, y) et ωk sont

respectivement les fonctions propres et les valeurs propres. K0

k est l’energie initiale injectee dans

chaque fonction propre. On cherche a calculer G(t) = maxK0

k

E(t)/E(0)

Times

E(t

)

0 200 400 600 800

1

2

3

4

5

x

y

200 250 300 350 4000

5

10

15

Gauche :Evolution de E(t) pour trois domaines differents. Droite : perturbation optimale.


Perspectives en controle des decollements (2)

La theorie du controle optimal peut etre adaptee a des cas d’instabilite globale.

La theorie du controle optimal sera appliquee aux cas de :

Couche limite decollee sur plaque plane.

Marche descendante.

X

Y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Champ de base d’une marche descendante a ReL = 800. Lignes iso-vitesse longitudinale,

L/H = 2, Uinit = 25y(1/2 − y)
