Systèmes de traitement du signal - S. Tisserant - 2016
Mes coordonnées
� Mel : [email protected]� Web :
� http://sylvain.tisserant.perso.luminy.univ-amu.fr� Supports de cours :
� Copie des transparents� Cours rédigé� Sujets des TDs et documentation
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Format du cours
� Cours avec TD d’illustration :� TD : Octave à installer sur vos machines
� Pour la semaine prochaine
� Sur ordinateur portable (travail en binôme)� Pas d’ordinateur, smartphone ou tablette en dehors des TDs
� Note sur la base des TDs :� Présence obligatoire� Appel et note multipliée par le taux de présence� Contrôle continu : TPs� Compte-rendu à rendre pour la semaine suivante par mail
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Signaux analogiques
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Signal : définition
� Signal ≡ Grandeur mesurable dépendant d’autres quantités : espace, temps, température, champ électromagnétique, etc.
� Dans ce cours :� Signal = fonction du temps� Expression mathématique, mais pas toujours� Souvent signal complexe (ℝ → ℂ)
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Classification
� Signaux continus ou discrets� Signaux analogiques� Signaux quantifiés� Signaux échantillonnés� Signaux numériques
� Signaux périodiques
T = période si minimal
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)t(s)Tt(saonRtquetelRT =+∈∀∈∃
Classification (2)
� Signaux déterministes/aléatoires� Signal déterministe : évolution temporelle
parfaitement connue, pas d’incertitude� Signal aléatoire : soumis à des incertitudes qui
empêchent une prédiction parfaite (porteur d’information)
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Puissance
� Exemple
u(t) = R i(t)p(t) = u(t) i(t)
RA B
u(t)
i(t)
)t(uR
)t(iR)t(i)t(u)t(p 22 1===
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Puissance (2)
� Puissance instantanée
� Puissance d’interaction
� Puissance moyenne
2)t(x)t(Px =
)t(y)t(x)t(P *xy =
∫∫+
−
+==
2
2
22 11 /Tt
/TtSx
Tt
tx du)u(x
T)T,t(Poudu)u(x
T)T,t(P
∫−∞→
=2
2
21 /T
/TTx du)u(x
TlimP
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Energie
� Définition
� Classification� Signaux à énergie finie (par ex. signaux transitoires)� Signaux à énergie infinie� Signaux à puissance moyenne finie non nulle (par ex.
certains signaux périodiques)
∫∞+
∞−= dt)t(xEx
2
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Signaux analogiques utiles
� Echelon unité
><
=01
00
tpour
tpour)t(u
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Signaux analogiques utiles (2)
� Impulsion de Dirac
1dt)t(
et
0t0)t(
=δ
≠∀=δ
∫∞+
∞−
)(fdt)t()t(fet)t()(f)t()t(f 00 =δδ=δ ∫∞+
∞−
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Signaux analogiques utiles (3)
� Signe
>=<−
=01
00
01
tpour
tpour
tpour
)tsgn(
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Signaux analogiques utiles (4)
� Porte unité
><<−
−<=Π
10
111
10
tpour
tpour
tpour
)t(
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Signaux analogiques utiles (5)
� Triangle unité
><<−
<<−+−<
=Λ
10
101
011
10
tpour
tpourt
tpourt
tpour
)t(
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Signaux analogiques utiles (6)
� Rampe unitaire
><
=0
00
tpourt
tpour)t(r
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Analyse harmoniquedes signaux
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Signal sinusoïdal
0>ϕ+ω= mm Savec)tcos(S)t(s
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Signal sinusoïdal (2)
0>ϕ+ω= mm Savec)tcos(S)t(s
amplitude phase instantanée
phase à l’origine
21 2
0
22 mT
effS
dt)t(sT
S == ∫Valeur efficace :
Valeur moyenne : 01
0== ∫
Tdt)t(s
TS
[ ] [ ])(tcosS)t(cosS)t(s mm τω−ϕ+ω=ϕ+τ−ω=τ−
Amplitude : invariant par translation temporelle
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Théorème de Fourier
� s(t) : fonction périodique de période T� Série trigonométrique :
[ ] fT
avec)tnsin(b)tncos(aa)t(sn
nn π=π=ωω+ω+= ∑∞+
=2
2
10
ω=ω=
=
∫∫
∫T
n
T
n
T
dt)tnsin()t(sT
betdt)tncos()t(sT
a
dt)t(sT
a
00
00
22
1
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Parité
� Fonction paire : s(-t) = s(t)� Fonction impaire : s(-t) = -s(t)
� Parties paire et impaire
� Décomposition de Fourier
∑∞+
=ω+=⇒
10
nn )tncos(aa)t(spairs
∑∞+
=ω=⇒
1nn )tnsin(b)t(simpairs
[ ]
[ ]
−−=
−+=
)t(s)t(s)t(s
)t(s)t(s)t(s
i
p
2121
Polytech Marseille - INFO 23Systèmes de traitement du signal - S. Tisserant - 2016
Invariance temporelle
� Translation temporelle :
avec
� Coefficients dépendent du choix de l’origine des temps. Interprétation physique impossible.
[ ]∑∞+
=ω+ω+=τ−
10
nnn )tnsin('b)tncos('aa)t(s
)ncos(b)nsin(a'b
)nsin(b)ncos(a'a
nnn
nnn
ωτ+ωτ=ωτ−ωτ=
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Invariance temporelle (2)
� ∀ a et b réels :
avec
donc
et
)tcos(c)tsin(b)tcos(a ϕ+ω=ω+ω
2222
22
ba
bsinet
ba
acos,bac
+−=ϕ
+=ϕ+=
∑∞+
=ϕ+ω+=
10
nnn )tncos(ca)t(s
)a(signecosetacavec)tncos(c)t(sn
nn 00000
=ϕ=ϕ+ω=∑∞+
=
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Spectre de Fourier
� Spectre d’amplitude {cn}n≥0
� Spectre de phase : {ϕn}n≥0
� La connaissance des deux spectres est indispensable
� Translation temporelle ≡ changement de phases, mais amplitudes inchangées
� Représentation graphique des spectres
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Spectre de puissance
� Puissance moyenne d’un signal périodique
soit :
donc :
� Densité spectrale de puissance : {pn}n≥0
� Spectre de puissance :
∑∑∞+
=
∞+
=+=⇒ϕ+ω=
1
22
00 2n
n
nnn
ccP)tncos(c)t(s
220
2222
000
nnnn
nn
bacp,netcpavecpP
+==>∀==∑∞+
=
∑=
=n
kkn pP
0
2
0
21eff
TSdt)t(s
TP == ∫
Polytech Marseille - INFO 27Systèmes de traitement du signal - S. Tisserant - 2016
Créneau rapport cyclique 1/2
−∈∀=
−∈∀=
−−∈∀=
240
44
420
T,
Tt)t(f
T,
TtA)t(f
T,
Tt)t(f
Polytech Marseille - INFO 28Systèmes de traitement du signal - S. Tisserant - 2016
Créneau rapport cyclique 1/2 (2)
� Fonction paire :
+=π
−=
+=π
=
=
⇒
ππ
=
342
1420
22
knpournA
a
knpournA
a
pairnpoura
nsinnA
a
n
n
n
n
2211 4
4
2
20
ATTA
dtAT
dt)t(fT
a/T
/T
/T
/T==== ∫∫
−−
0=nb
Polytech Marseille - INFO 29Systèmes de traitement du signal - S. Tisserant - 2016
Créneau rapport cyclique 1/2 (3)
� Spectre de Fourier (amplitude) :
⇒200A
ac ==
π=
=
impairnpourn
Ac
nulnonetpairnpourc
n
n
20
>∀=
>∀
ππ
==
00
02
220
nb
nnsinnA
aetA
a
n
n
nnnn abac =+= 22
Polytech Marseille - INFO 30Systèmes de traitement du signal - S. Tisserant - 2016
Créneau rapport cyclique 1/2 (4)
� Spectre de Fourier (phase) :
⇒
=−=ϕ
π==ϕ
0
2
n
nn
n
nn
cb
)sin(
nsinca
)cos(
+=<
ππ=ϕ
+=>
π=ϕ
3402
1402
0
knsoitnsinpour
knsoitnsinpour
n
n
Polytech Marseille - INFO 31Systèmes de traitement du signal - S. Tisserant - 2016
Créneau rapport cyclique 1/2 (5)
Spectre d’amplitude
Polytech Marseille - INFO 32Systèmes de traitement du signal - S. Tisserant - 2016
Créneau rapport cyclique 1/2 (6)
Spectre de phase
Polytech Marseille - INFO 33Systèmes de traitement du signal - S. Tisserant - 2016
Synthèse fréquentielle
Synthèse d’un créneauavec les deux premiersharmoniques non nuls
Polytech Marseille - INFO 34Systèmes de traitement du signal - S. Tisserant - 2016
Synthèse fréquentielle (2)
Synthèse d’un créneauavec les sept premiersharmoniques non nuls
Polytech Marseille - INFO 35Systèmes de traitement du signal - S. Tisserant - 2016
Série de Fourier à termes complexes
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� Autre formulation du théorème de Fourier :
� En utilisant :
on retrouve la série à termes réels avec :
� Réciproquement :
∑∞+
−∞=
ω=n
tnjn ec)t(s ∫
ω−=T tnj
n dte)t(sT
c0
1
)sinj(cosZeZz j θ+θ== θ
avec
)bja(c nnn −=21
)cIm(bet)cRe(a,ca nnnn 2200 −===