Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom
Tenseurs et eacutequations de Maxwell
by Jean-Paul Cipria - Jeudi octobre 21 2010
httpwwwnanotechinnovcomtenseurs-equations-maxwell
Eacutequations de Maxwell ndash Calculs par les Tenseurs
Le calcul tensoriel permet de simplifier la reacutesolution des problegravemes de meacutecanique drsquoeacutelectronique et dephysique agrave plusieurs dimensions
The tensor calculus simplifies the troubleshooting of mechanical electronics and physics at severaldimensions
Sommaire
Avant propos
I Tenseurs et eacutequations de Maxwell
II Champs eacutelectromagneacutetique par deacuteplacement de reacutefeacuterentiel
III Proprieacuteteacutes dieacutelectrique drsquoun cristal
IV Tenseur de rotation de autour de lrsquoaxe j=1 ou Ox
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Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom
V Annexe Expeacuterience Virgot
VI Reacutefeacuterences
______________________
Avant propos
Les tenseurs sont des sortes de matrices Et donc le calcul matriciel srsquoapplique parfaitement agrave ces objetsmatheacutematiques Pour simplifier ceci permet par exemple de reacutesoudre un systegraveme de quatre eacutequations agravequatre inconnues en manipulant de faccedilon semi-automatique des tableaux de nombres Ce qui est assezmanipulatoire si la matrice est petite et complegravetement automatique sous Excel ou Matlab degraves que lamatrice deacutepasse lrsquoordre 3
Je vous propose donc deux tenseurs qui laquo contiennent raquo en quelque sorte les eacutequations de Maxwell Ilsuffit de deacuteriver drsquoune faccedilon particuliegravere le premier tenseur et nous obtenons deux eacutequations Nousdeacuterivons drsquoune autre maniegravere le deuxiegraveme tenseur et nous obtenons deux autres eacutequations
Lrsquoapport du calcul par tenseur est puissant car il associe la calcul pratique des matrices avec le calcullaquo opeacuterationnel raquo
Le calcul opeacuterationnel srsquoapparente aux distributions par exemple qui permettent en quelque sorte deremplacer des inteacutegrales assez difficiles agrave trimballer par une eacutecriture tout agrave fait sympathique et desproprieacuteteacutes addition soustraction distributiviteacute qui rappellent la maternelle supeacuterieure Ce qui convientbien aux physiciens qui me ressemblent
I Tenseurs et eacutequations de Maxwell
I1 Rappels
Comme en eacutelectromagneacutetisme lrsquoinduction eacutelectrique D est le pheacutenomegravene geacuteneacutereacute par le champeacutelectrique E consideacutereacute agrave lrsquointeacuterieur du mateacuteriau Ce milieu est deacutetermineacute par la constante physique Il sepeut que les lignes drsquoinductions eacutelectriques D soient laquo concentreacutees raquo agrave lrsquointeacuterieur du mateacuteriau et que Echamp eacutelectrique soit tregraves nettement modifieacute agrave lrsquoexteacuterieur La quantiteacute drsquoeacutenergie par contre nrsquoest pasmodifieacutee Il faut donc utiliser en ce cas
Les flux conservatifs
Objet de deux autres articles
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Flux et reflux ndash cas de la divergence ndash suite
et
flux et reflux conservatif ndash suite
I2 Eacuteleacutement diffeacuterentiel de distance relativiste
En relativiteacute un eacuteleacutement diffeacuterentiel drsquoespace ou de distance est dssup2
dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2
Les coordonneacutees espace-temps sont x y z jct
j nombre complexe avec jsup2 = -1c Vitesse des ondes eacutelectromagneacutetiques dans le vide
I3 Note explicative pour un eacutetudiant
Je voudrai rajouter ceci pour Adrien eacutetudiant en preacuteparation aux concours des grandes eacutecoles que cettelaquo eacutequation raquo laisse dubitatif Dans le cas classique ougrave les vitesses les forces gravitationnelles sont faiblespar rapport aux forces geacuteneacutereacutees par exemple par une charge eacutelectrique ou une onde eacutelectromagneacutetiquealors
Un petit eacuteleacutement de distance dans lrsquoespace srsquoexprime par
dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2
Qui est la geacuteneacuteralisation de Pythagore en 3D si lrsquoon veut ()
Quand les forces ou les effets laquo relativistes raquo srsquoexpriment plus fort alors nous introduisons un termecorrectif agrave la variation de distance ndash Ce terme est additionneacute en valeur imaginaire ndash Et commedrsquohabitude nous faisons les calculs en imaginaire puis nous laquo projetons raquo sur les valeurs reacuteelles quandnous avons besoin de faire une mesure qui correspond agrave une laquo reacutealiteacute raquo physique abordable Dans ce casce sera le carreacute de la variation de correction de distance espace temps est
dusup2 = (jcdt)(jcdt) = ndash csup2dtsup2
Donc
dssup2relativiste = dssup2classique ndash csup2dtsup2
Ce qui explique que crsquoest lrsquoespace qui change et donc les ondes eacutelectromagneacutetiques qui se baladent nrsquoy
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voient que du feu et laquo croient raquo toujours aller tout droit Elles se deacuteplacent alors sur une courbecurviligne qui nrsquoest plus une droite toujours agrave la vitesse c Je paraphrase et cela agrave un but peacutedagogiqueDrsquoailleurs il est probable que je me relise bien plus tard et que je me comprenne mieux ce baratin que leseacutequations ci-dessus
Nous avons donc la correction en distance
du = jcdtdrsquoougravedusup2 = ndash csup2dtsup2
I4Tenseurs de Maxwell
Voici les deux tenseurs drsquoordre deux antisymeacutetriques permettant de retrouver les eacutequations de Maxwell
0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3
jcD1 jcD2 jcD3 0
0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3
jc E1 jc E2 jc E3 0
Proprieacuteteacutes
Comme beaucoup de tenseurs deacutecrivant des pheacutenomegravenes physiques ils possegravedent certaines reacutegulariteacutes
1 Antisymeacutetriques Les coefficients lignes-colonnes sont eacutegaux aux colonnes-lignes Aij = -Aji
2 La diagonale est eacutegale agrave 0 Aii = 0
3 Drsquoordre deux car la moitieacute des termes peuvent se retrouver en inversant le signe de lrsquoautre moitieacuteLe tenseur semble drsquoordre quatre mais nous ne posseacutedons que deux ensembles indeacutependants
I5 Formules geacuteneacuterales tensorielles dans MKSA
Les coordonneacutees de J sont
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J1 J2 J3 J4 = jc
I51 Nous retrouvons 1 et 2 avec
i
j
j
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i
j
I52 Nous retrouvons 3 et 4 avec
i
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j
I6 Eacutequations de Maxwell
1 Variables des Eacutequations de Maxwell
Densiteacute de charges eacutelectriques Coulombm3H Champ magneacutetiqueB Induction magneacutetiqueE Champ eacutelectrique VoltsmD Induction eacutelectriqueJ Densiteacute de courant
2 Eacutequations Maxwell dans le systegraveme MKSA Giorgi(Megravetre Kilogramme Seconde Ampegravere)
D = EB = micro H
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1 rot B = micro Et + micro Jrot B = (1csup2)Et + micro Jrot H = Et + Jrot H = Dt + J
2 div E = div D =
3 rot E = -Bt4 div B = 0
3 Rappel Maxwell par le systegraveme mixte de Gauss
1 rot H = 1c Dt + 4parac J
2 div D = 4para
3 rot E = ndash 1c Bt
4 div B = 0
4 DEacuteMONTRONS I3 1
Ji = j=1j=4 Gijxj
Calcul du premier eacuteleacutement de J
J1 = j=1j=4 G1jxj
J1 = G11x1 + G12x2+ G13x3+ G14x4
J1 = 0x1 + H3x2 ndash H2x3 - jc D1jctJ1 = H3x2 ndash H2x3 - D1tEt par deacutefinition du rotationnelJ1 = rotx1H - D1t
Drsquoougrave
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CQFD pour la premiegravere eacutequation
Une deacutemonstration similaire montrerait que
rotx2H = J2 + D2trotx3H = J3 + D3t
Drsquoougrave
rotH = J + Dt
Calcul du quatriegraveme terme de J
J4 = j=1j=4 G4jxj
J4 = G41x1 + G42x2+ G43x3+ G44x4
J4 = jcD1x1 + jcD2x2+ jcD3x3+ 0J4 = jc [ D1x1 + D2x2+ D3x3 ]Et par deacutefinition de la divergence J4 = jc div D
et
J4= jcjc = jc div D
CQFD pour la deuxiegraveme eacutequation
5 Deacutemonstration du I3 2
A faire
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i
j
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mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash
II Champs eacutelectromagneacutetique par deacuteplacement de reacutefeacuterentiel
Si le reacutefeacuterentiel Rrsquo se deacuteplace agrave la vitesse V par rapport agrave celui drsquoorigine ou de mesure R alors
Elsquo = E + V BBlsquo = B
Crsquoest agrave dire que le champ eacutelectrique E est modifieacute par la vitesse relative V qui agit par le produit vectorielde lrsquoinduction magneacutetique B Lrsquoinduction magneacutetique B est inchangeacutee
______________________
III Proprieacuteteacutes dieacutelectrique drsquoun cristal
Les milieux cristallins sont en geacuteneacuteral anisotropes M Voigt est le concepteur de ce type de calculsComparons lrsquoinduction eacutelectrique D et le champ eacutelectrique E en un point drsquoun milieu isotrope et un autreanisotrope
Anisotrope Milieu qui ne possegravede pas les mecircme proprieacuteteacutes physiques quand on change de direction
Milieu Isotrope
D = E
Lrsquoinduction eacutelectrique D est de mecircme direction que le champ eacutelectrique E
Milieu Anisotrope
Di = j=1j=3 i
j Ej
Di srsquoexprime dans un espace de dimension 3
Lrsquoinduction eacutelectrique D dans la direction i deacutepend des caracteacuteristiques fixeacutees par ij et des impacts des
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champs eacutelectriques Ej dans les autres directions j
ij est un tenseur drsquoordre 2
______________________
IV Tenseur de rotation de autour de lrsquoaxe j=1 ou Ox
1 0 00 cos sin 0 -sin cos
Le vecteur OM(x y z) tourne drsquoun angle autour de lrsquoaxe j=1 ou OX
OXrsquo = ex
OYrsquo = cos()ey + sin()ez
OZrsquo = -sin()ey + cos()ez
1 0 0 ex0 cos sin cos()ey + sin()ez0 -sin cos -sin()ey + cos()ez Il y a un 1 dans ce tenseur selon la reacutefeacuterence 1 Ceci est surement une coquille dans le livre car il nrsquoy aaucune raison qursquoil y ait une contribution de lrsquoaxe x dans ceux de y et z puisque le tenseur tourne autourde cet axe x Je me permets donc de corriger avec toute la modestie qursquoil faut cette erreur Avec mesrespects et toute mon admiration dus aux physiciens eacutemeacuterites M De Broglie et M Angot
V ANNEXE Cas des ondes gravitationnelles ndash expeacuterience Virgo 6
6 Cet article qui mrsquoa demandeacute beaucoup de travail nrsquoest pas en lecture pour les non abonneacutes Il sera en teacuteleacutechargement pour une modique somme degraves queje lrsquoaurai termineacute mdashmdash- Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles ndash Article Nanotechinnov
Adrien je ne sais pas si tu y as compris quelque chose Mais peut-ecirctre qursquoavec les explications delrsquoexpeacuterience Virgo cela eacuteclairera quelques calculs
Lrsquoonde gravitationnelle se propage comme une onde plane sur le Michelson et change lrsquoespace du bras
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L1 dans sa premiegravere demi-peacuteriode puis lrsquoespace du bras L2 dans la seconde Sur une peacuteriode drsquoondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffeacuterence de marche entre les deux bras donc
Dm = k(2l2 ndash 2l1)
Lrsquoinfluence de lrsquoonde gravitationnelle sur le trajet laser avant lrsquoentreacutee sur la meacutediatrice nrsquoinfluence pasla figure de diffraction puisque la modification srsquoeffectue sur le faisceau de reacutefeacuterence ndash mecircmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode
Une remarque la correction de temps est hellip imaginaire Et oui drsquoougrave lrsquointeacuterecirct vois-tu de faire les calculsdrsquoonde en exponentielle complexe
ei(wt ndash kr)
plutocirct qursquoen
cos (wt ndash kr)
Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010
______________________
English Translation
Recalls
I Tensor and Maxwellrsquos equations
II Dielectric properties of a crystal
III Tensor rotation around the axis Ox j = 1 or
Recalls
As in electromagnetism the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials This medium is determined by the physical constant It may be that thelines of electric induction D are laquo concentrated raquo within the material and E electric field is very muchchanged on the outside The amount of energy cons is not changed So use in this case conservativeflows in two other articles here and there
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I Tensor and Maxwellrsquos equations
In a differential element of relativity space is ds sup2
dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2
Space-time coordinates are x y z jct
J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum
1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations
0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0
0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0
2 Maxwell equations
density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density
3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)
1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0
4 Maxwell recall the mixed system of Gauss
1 rot H = 1c Dt + 4parac J
2 div D = 4para
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3 rot E = ndash 1c Bt
4 div B = 0
5 Tensor in general formulas MKSA
The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc
51 We find 1 and 2 with
Ji = j=1j=4 Gijxj
52 We find 3 and 4 with
Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0
6 Show 5 1See french demo
7 Demonstration of 52
What to do
Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010
VI Reacutefeacuterences
1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972
2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash
Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF
Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010Correction le 23112010 ndash Compleacutement des eacutequations de Maxwell avec les relations H et B et E et D ==gt Apparition des constantes micro et donc 1csup2
_______________________________________________
Article eacutecrit par Jean-Paul Cipria
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V Annexe Expeacuterience Virgot
VI Reacutefeacuterences
______________________
Avant propos
Les tenseurs sont des sortes de matrices Et donc le calcul matriciel srsquoapplique parfaitement agrave ces objetsmatheacutematiques Pour simplifier ceci permet par exemple de reacutesoudre un systegraveme de quatre eacutequations agravequatre inconnues en manipulant de faccedilon semi-automatique des tableaux de nombres Ce qui est assezmanipulatoire si la matrice est petite et complegravetement automatique sous Excel ou Matlab degraves que lamatrice deacutepasse lrsquoordre 3
Je vous propose donc deux tenseurs qui laquo contiennent raquo en quelque sorte les eacutequations de Maxwell Ilsuffit de deacuteriver drsquoune faccedilon particuliegravere le premier tenseur et nous obtenons deux eacutequations Nousdeacuterivons drsquoune autre maniegravere le deuxiegraveme tenseur et nous obtenons deux autres eacutequations
Lrsquoapport du calcul par tenseur est puissant car il associe la calcul pratique des matrices avec le calcullaquo opeacuterationnel raquo
Le calcul opeacuterationnel srsquoapparente aux distributions par exemple qui permettent en quelque sorte deremplacer des inteacutegrales assez difficiles agrave trimballer par une eacutecriture tout agrave fait sympathique et desproprieacuteteacutes addition soustraction distributiviteacute qui rappellent la maternelle supeacuterieure Ce qui convientbien aux physiciens qui me ressemblent
I Tenseurs et eacutequations de Maxwell
I1 Rappels
Comme en eacutelectromagneacutetisme lrsquoinduction eacutelectrique D est le pheacutenomegravene geacuteneacutereacute par le champeacutelectrique E consideacutereacute agrave lrsquointeacuterieur du mateacuteriau Ce milieu est deacutetermineacute par la constante physique Il sepeut que les lignes drsquoinductions eacutelectriques D soient laquo concentreacutees raquo agrave lrsquointeacuterieur du mateacuteriau et que Echamp eacutelectrique soit tregraves nettement modifieacute agrave lrsquoexteacuterieur La quantiteacute drsquoeacutenergie par contre nrsquoest pasmodifieacutee Il faut donc utiliser en ce cas
Les flux conservatifs
Objet de deux autres articles
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Flux et reflux ndash cas de la divergence ndash suite
et
flux et reflux conservatif ndash suite
I2 Eacuteleacutement diffeacuterentiel de distance relativiste
En relativiteacute un eacuteleacutement diffeacuterentiel drsquoespace ou de distance est dssup2
dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2
Les coordonneacutees espace-temps sont x y z jct
j nombre complexe avec jsup2 = -1c Vitesse des ondes eacutelectromagneacutetiques dans le vide
I3 Note explicative pour un eacutetudiant
Je voudrai rajouter ceci pour Adrien eacutetudiant en preacuteparation aux concours des grandes eacutecoles que cettelaquo eacutequation raquo laisse dubitatif Dans le cas classique ougrave les vitesses les forces gravitationnelles sont faiblespar rapport aux forces geacuteneacutereacutees par exemple par une charge eacutelectrique ou une onde eacutelectromagneacutetiquealors
Un petit eacuteleacutement de distance dans lrsquoespace srsquoexprime par
dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2
Qui est la geacuteneacuteralisation de Pythagore en 3D si lrsquoon veut ()
Quand les forces ou les effets laquo relativistes raquo srsquoexpriment plus fort alors nous introduisons un termecorrectif agrave la variation de distance ndash Ce terme est additionneacute en valeur imaginaire ndash Et commedrsquohabitude nous faisons les calculs en imaginaire puis nous laquo projetons raquo sur les valeurs reacuteelles quandnous avons besoin de faire une mesure qui correspond agrave une laquo reacutealiteacute raquo physique abordable Dans ce casce sera le carreacute de la variation de correction de distance espace temps est
dusup2 = (jcdt)(jcdt) = ndash csup2dtsup2
Donc
dssup2relativiste = dssup2classique ndash csup2dtsup2
Ce qui explique que crsquoest lrsquoespace qui change et donc les ondes eacutelectromagneacutetiques qui se baladent nrsquoy
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voient que du feu et laquo croient raquo toujours aller tout droit Elles se deacuteplacent alors sur une courbecurviligne qui nrsquoest plus une droite toujours agrave la vitesse c Je paraphrase et cela agrave un but peacutedagogiqueDrsquoailleurs il est probable que je me relise bien plus tard et que je me comprenne mieux ce baratin que leseacutequations ci-dessus
Nous avons donc la correction en distance
du = jcdtdrsquoougravedusup2 = ndash csup2dtsup2
I4Tenseurs de Maxwell
Voici les deux tenseurs drsquoordre deux antisymeacutetriques permettant de retrouver les eacutequations de Maxwell
0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3
jcD1 jcD2 jcD3 0
0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3
jc E1 jc E2 jc E3 0
Proprieacuteteacutes
Comme beaucoup de tenseurs deacutecrivant des pheacutenomegravenes physiques ils possegravedent certaines reacutegulariteacutes
1 Antisymeacutetriques Les coefficients lignes-colonnes sont eacutegaux aux colonnes-lignes Aij = -Aji
2 La diagonale est eacutegale agrave 0 Aii = 0
3 Drsquoordre deux car la moitieacute des termes peuvent se retrouver en inversant le signe de lrsquoautre moitieacuteLe tenseur semble drsquoordre quatre mais nous ne posseacutedons que deux ensembles indeacutependants
I5 Formules geacuteneacuterales tensorielles dans MKSA
Les coordonneacutees de J sont
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J1 J2 J3 J4 = jc
I51 Nous retrouvons 1 et 2 avec
i
j
j
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i
j
I52 Nous retrouvons 3 et 4 avec
i
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j
I6 Eacutequations de Maxwell
1 Variables des Eacutequations de Maxwell
Densiteacute de charges eacutelectriques Coulombm3H Champ magneacutetiqueB Induction magneacutetiqueE Champ eacutelectrique VoltsmD Induction eacutelectriqueJ Densiteacute de courant
2 Eacutequations Maxwell dans le systegraveme MKSA Giorgi(Megravetre Kilogramme Seconde Ampegravere)
D = EB = micro H
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1 rot B = micro Et + micro Jrot B = (1csup2)Et + micro Jrot H = Et + Jrot H = Dt + J
2 div E = div D =
3 rot E = -Bt4 div B = 0
3 Rappel Maxwell par le systegraveme mixte de Gauss
1 rot H = 1c Dt + 4parac J
2 div D = 4para
3 rot E = ndash 1c Bt
4 div B = 0
4 DEacuteMONTRONS I3 1
Ji = j=1j=4 Gijxj
Calcul du premier eacuteleacutement de J
J1 = j=1j=4 G1jxj
J1 = G11x1 + G12x2+ G13x3+ G14x4
J1 = 0x1 + H3x2 ndash H2x3 - jc D1jctJ1 = H3x2 ndash H2x3 - D1tEt par deacutefinition du rotationnelJ1 = rotx1H - D1t
Drsquoougrave
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CQFD pour la premiegravere eacutequation
Une deacutemonstration similaire montrerait que
rotx2H = J2 + D2trotx3H = J3 + D3t
Drsquoougrave
rotH = J + Dt
Calcul du quatriegraveme terme de J
J4 = j=1j=4 G4jxj
J4 = G41x1 + G42x2+ G43x3+ G44x4
J4 = jcD1x1 + jcD2x2+ jcD3x3+ 0J4 = jc [ D1x1 + D2x2+ D3x3 ]Et par deacutefinition de la divergence J4 = jc div D
et
J4= jcjc = jc div D
CQFD pour la deuxiegraveme eacutequation
5 Deacutemonstration du I3 2
A faire
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i
j
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mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash
II Champs eacutelectromagneacutetique par deacuteplacement de reacutefeacuterentiel
Si le reacutefeacuterentiel Rrsquo se deacuteplace agrave la vitesse V par rapport agrave celui drsquoorigine ou de mesure R alors
Elsquo = E + V BBlsquo = B
Crsquoest agrave dire que le champ eacutelectrique E est modifieacute par la vitesse relative V qui agit par le produit vectorielde lrsquoinduction magneacutetique B Lrsquoinduction magneacutetique B est inchangeacutee
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III Proprieacuteteacutes dieacutelectrique drsquoun cristal
Les milieux cristallins sont en geacuteneacuteral anisotropes M Voigt est le concepteur de ce type de calculsComparons lrsquoinduction eacutelectrique D et le champ eacutelectrique E en un point drsquoun milieu isotrope et un autreanisotrope
Anisotrope Milieu qui ne possegravede pas les mecircme proprieacuteteacutes physiques quand on change de direction
Milieu Isotrope
D = E
Lrsquoinduction eacutelectrique D est de mecircme direction que le champ eacutelectrique E
Milieu Anisotrope
Di = j=1j=3 i
j Ej
Di srsquoexprime dans un espace de dimension 3
Lrsquoinduction eacutelectrique D dans la direction i deacutepend des caracteacuteristiques fixeacutees par ij et des impacts des
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champs eacutelectriques Ej dans les autres directions j
ij est un tenseur drsquoordre 2
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IV Tenseur de rotation de autour de lrsquoaxe j=1 ou Ox
1 0 00 cos sin 0 -sin cos
Le vecteur OM(x y z) tourne drsquoun angle autour de lrsquoaxe j=1 ou OX
OXrsquo = ex
OYrsquo = cos()ey + sin()ez
OZrsquo = -sin()ey + cos()ez
1 0 0 ex0 cos sin cos()ey + sin()ez0 -sin cos -sin()ey + cos()ez Il y a un 1 dans ce tenseur selon la reacutefeacuterence 1 Ceci est surement une coquille dans le livre car il nrsquoy aaucune raison qursquoil y ait une contribution de lrsquoaxe x dans ceux de y et z puisque le tenseur tourne autourde cet axe x Je me permets donc de corriger avec toute la modestie qursquoil faut cette erreur Avec mesrespects et toute mon admiration dus aux physiciens eacutemeacuterites M De Broglie et M Angot
V ANNEXE Cas des ondes gravitationnelles ndash expeacuterience Virgo 6
6 Cet article qui mrsquoa demandeacute beaucoup de travail nrsquoest pas en lecture pour les non abonneacutes Il sera en teacuteleacutechargement pour une modique somme degraves queje lrsquoaurai termineacute mdashmdash- Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles ndash Article Nanotechinnov
Adrien je ne sais pas si tu y as compris quelque chose Mais peut-ecirctre qursquoavec les explications delrsquoexpeacuterience Virgo cela eacuteclairera quelques calculs
Lrsquoonde gravitationnelle se propage comme une onde plane sur le Michelson et change lrsquoespace du bras
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Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom
L1 dans sa premiegravere demi-peacuteriode puis lrsquoespace du bras L2 dans la seconde Sur une peacuteriode drsquoondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffeacuterence de marche entre les deux bras donc
Dm = k(2l2 ndash 2l1)
Lrsquoinfluence de lrsquoonde gravitationnelle sur le trajet laser avant lrsquoentreacutee sur la meacutediatrice nrsquoinfluence pasla figure de diffraction puisque la modification srsquoeffectue sur le faisceau de reacutefeacuterence ndash mecircmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode
Une remarque la correction de temps est hellip imaginaire Et oui drsquoougrave lrsquointeacuterecirct vois-tu de faire les calculsdrsquoonde en exponentielle complexe
ei(wt ndash kr)
plutocirct qursquoen
cos (wt ndash kr)
Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010
______________________
English Translation
Recalls
I Tensor and Maxwellrsquos equations
II Dielectric properties of a crystal
III Tensor rotation around the axis Ox j = 1 or
Recalls
As in electromagnetism the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials This medium is determined by the physical constant It may be that thelines of electric induction D are laquo concentrated raquo within the material and E electric field is very muchchanged on the outside The amount of energy cons is not changed So use in this case conservativeflows in two other articles here and there
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Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom
I Tensor and Maxwellrsquos equations
In a differential element of relativity space is ds sup2
dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2
Space-time coordinates are x y z jct
J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum
1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations
0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0
0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0
2 Maxwell equations
density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density
3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)
1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0
4 Maxwell recall the mixed system of Gauss
1 rot H = 1c Dt + 4parac J
2 div D = 4para
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Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom
3 rot E = ndash 1c Bt
4 div B = 0
5 Tensor in general formulas MKSA
The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc
51 We find 1 and 2 with
Ji = j=1j=4 Gijxj
52 We find 3 and 4 with
Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0
6 Show 5 1See french demo
7 Demonstration of 52
What to do
Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010
VI Reacutefeacuterences
1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972
2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash
Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF
Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010Correction le 23112010 ndash Compleacutement des eacutequations de Maxwell avec les relations H et B et E et D ==gt Apparition des constantes micro et donc 1csup2
_______________________________________________
Article eacutecrit par Jean-Paul Cipria
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Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom
Flux et reflux ndash cas de la divergence ndash suite
et
flux et reflux conservatif ndash suite
I2 Eacuteleacutement diffeacuterentiel de distance relativiste
En relativiteacute un eacuteleacutement diffeacuterentiel drsquoespace ou de distance est dssup2
dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2
Les coordonneacutees espace-temps sont x y z jct
j nombre complexe avec jsup2 = -1c Vitesse des ondes eacutelectromagneacutetiques dans le vide
I3 Note explicative pour un eacutetudiant
Je voudrai rajouter ceci pour Adrien eacutetudiant en preacuteparation aux concours des grandes eacutecoles que cettelaquo eacutequation raquo laisse dubitatif Dans le cas classique ougrave les vitesses les forces gravitationnelles sont faiblespar rapport aux forces geacuteneacutereacutees par exemple par une charge eacutelectrique ou une onde eacutelectromagneacutetiquealors
Un petit eacuteleacutement de distance dans lrsquoespace srsquoexprime par
dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2
Qui est la geacuteneacuteralisation de Pythagore en 3D si lrsquoon veut ()
Quand les forces ou les effets laquo relativistes raquo srsquoexpriment plus fort alors nous introduisons un termecorrectif agrave la variation de distance ndash Ce terme est additionneacute en valeur imaginaire ndash Et commedrsquohabitude nous faisons les calculs en imaginaire puis nous laquo projetons raquo sur les valeurs reacuteelles quandnous avons besoin de faire une mesure qui correspond agrave une laquo reacutealiteacute raquo physique abordable Dans ce casce sera le carreacute de la variation de correction de distance espace temps est
dusup2 = (jcdt)(jcdt) = ndash csup2dtsup2
Donc
dssup2relativiste = dssup2classique ndash csup2dtsup2
Ce qui explique que crsquoest lrsquoespace qui change et donc les ondes eacutelectromagneacutetiques qui se baladent nrsquoy
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voient que du feu et laquo croient raquo toujours aller tout droit Elles se deacuteplacent alors sur une courbecurviligne qui nrsquoest plus une droite toujours agrave la vitesse c Je paraphrase et cela agrave un but peacutedagogiqueDrsquoailleurs il est probable que je me relise bien plus tard et que je me comprenne mieux ce baratin que leseacutequations ci-dessus
Nous avons donc la correction en distance
du = jcdtdrsquoougravedusup2 = ndash csup2dtsup2
I4Tenseurs de Maxwell
Voici les deux tenseurs drsquoordre deux antisymeacutetriques permettant de retrouver les eacutequations de Maxwell
0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3
jcD1 jcD2 jcD3 0
0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3
jc E1 jc E2 jc E3 0
Proprieacuteteacutes
Comme beaucoup de tenseurs deacutecrivant des pheacutenomegravenes physiques ils possegravedent certaines reacutegulariteacutes
1 Antisymeacutetriques Les coefficients lignes-colonnes sont eacutegaux aux colonnes-lignes Aij = -Aji
2 La diagonale est eacutegale agrave 0 Aii = 0
3 Drsquoordre deux car la moitieacute des termes peuvent se retrouver en inversant le signe de lrsquoautre moitieacuteLe tenseur semble drsquoordre quatre mais nous ne posseacutedons que deux ensembles indeacutependants
I5 Formules geacuteneacuterales tensorielles dans MKSA
Les coordonneacutees de J sont
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J1 J2 J3 J4 = jc
I51 Nous retrouvons 1 et 2 avec
i
j
j
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i
j
I52 Nous retrouvons 3 et 4 avec
i
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j
I6 Eacutequations de Maxwell
1 Variables des Eacutequations de Maxwell
Densiteacute de charges eacutelectriques Coulombm3H Champ magneacutetiqueB Induction magneacutetiqueE Champ eacutelectrique VoltsmD Induction eacutelectriqueJ Densiteacute de courant
2 Eacutequations Maxwell dans le systegraveme MKSA Giorgi(Megravetre Kilogramme Seconde Ampegravere)
D = EB = micro H
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1 rot B = micro Et + micro Jrot B = (1csup2)Et + micro Jrot H = Et + Jrot H = Dt + J
2 div E = div D =
3 rot E = -Bt4 div B = 0
3 Rappel Maxwell par le systegraveme mixte de Gauss
1 rot H = 1c Dt + 4parac J
2 div D = 4para
3 rot E = ndash 1c Bt
4 div B = 0
4 DEacuteMONTRONS I3 1
Ji = j=1j=4 Gijxj
Calcul du premier eacuteleacutement de J
J1 = j=1j=4 G1jxj
J1 = G11x1 + G12x2+ G13x3+ G14x4
J1 = 0x1 + H3x2 ndash H2x3 - jc D1jctJ1 = H3x2 ndash H2x3 - D1tEt par deacutefinition du rotationnelJ1 = rotx1H - D1t
Drsquoougrave
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CQFD pour la premiegravere eacutequation
Une deacutemonstration similaire montrerait que
rotx2H = J2 + D2trotx3H = J3 + D3t
Drsquoougrave
rotH = J + Dt
Calcul du quatriegraveme terme de J
J4 = j=1j=4 G4jxj
J4 = G41x1 + G42x2+ G43x3+ G44x4
J4 = jcD1x1 + jcD2x2+ jcD3x3+ 0J4 = jc [ D1x1 + D2x2+ D3x3 ]Et par deacutefinition de la divergence J4 = jc div D
et
J4= jcjc = jc div D
CQFD pour la deuxiegraveme eacutequation
5 Deacutemonstration du I3 2
A faire
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i
j
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mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash
II Champs eacutelectromagneacutetique par deacuteplacement de reacutefeacuterentiel
Si le reacutefeacuterentiel Rrsquo se deacuteplace agrave la vitesse V par rapport agrave celui drsquoorigine ou de mesure R alors
Elsquo = E + V BBlsquo = B
Crsquoest agrave dire que le champ eacutelectrique E est modifieacute par la vitesse relative V qui agit par le produit vectorielde lrsquoinduction magneacutetique B Lrsquoinduction magneacutetique B est inchangeacutee
______________________
III Proprieacuteteacutes dieacutelectrique drsquoun cristal
Les milieux cristallins sont en geacuteneacuteral anisotropes M Voigt est le concepteur de ce type de calculsComparons lrsquoinduction eacutelectrique D et le champ eacutelectrique E en un point drsquoun milieu isotrope et un autreanisotrope
Anisotrope Milieu qui ne possegravede pas les mecircme proprieacuteteacutes physiques quand on change de direction
Milieu Isotrope
D = E
Lrsquoinduction eacutelectrique D est de mecircme direction que le champ eacutelectrique E
Milieu Anisotrope
Di = j=1j=3 i
j Ej
Di srsquoexprime dans un espace de dimension 3
Lrsquoinduction eacutelectrique D dans la direction i deacutepend des caracteacuteristiques fixeacutees par ij et des impacts des
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champs eacutelectriques Ej dans les autres directions j
ij est un tenseur drsquoordre 2
______________________
IV Tenseur de rotation de autour de lrsquoaxe j=1 ou Ox
1 0 00 cos sin 0 -sin cos
Le vecteur OM(x y z) tourne drsquoun angle autour de lrsquoaxe j=1 ou OX
OXrsquo = ex
OYrsquo = cos()ey + sin()ez
OZrsquo = -sin()ey + cos()ez
1 0 0 ex0 cos sin cos()ey + sin()ez0 -sin cos -sin()ey + cos()ez Il y a un 1 dans ce tenseur selon la reacutefeacuterence 1 Ceci est surement une coquille dans le livre car il nrsquoy aaucune raison qursquoil y ait une contribution de lrsquoaxe x dans ceux de y et z puisque le tenseur tourne autourde cet axe x Je me permets donc de corriger avec toute la modestie qursquoil faut cette erreur Avec mesrespects et toute mon admiration dus aux physiciens eacutemeacuterites M De Broglie et M Angot
V ANNEXE Cas des ondes gravitationnelles ndash expeacuterience Virgo 6
6 Cet article qui mrsquoa demandeacute beaucoup de travail nrsquoest pas en lecture pour les non abonneacutes Il sera en teacuteleacutechargement pour une modique somme degraves queje lrsquoaurai termineacute mdashmdash- Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles ndash Article Nanotechinnov
Adrien je ne sais pas si tu y as compris quelque chose Mais peut-ecirctre qursquoavec les explications delrsquoexpeacuterience Virgo cela eacuteclairera quelques calculs
Lrsquoonde gravitationnelle se propage comme une onde plane sur le Michelson et change lrsquoespace du bras
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L1 dans sa premiegravere demi-peacuteriode puis lrsquoespace du bras L2 dans la seconde Sur une peacuteriode drsquoondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffeacuterence de marche entre les deux bras donc
Dm = k(2l2 ndash 2l1)
Lrsquoinfluence de lrsquoonde gravitationnelle sur le trajet laser avant lrsquoentreacutee sur la meacutediatrice nrsquoinfluence pasla figure de diffraction puisque la modification srsquoeffectue sur le faisceau de reacutefeacuterence ndash mecircmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode
Une remarque la correction de temps est hellip imaginaire Et oui drsquoougrave lrsquointeacuterecirct vois-tu de faire les calculsdrsquoonde en exponentielle complexe
ei(wt ndash kr)
plutocirct qursquoen
cos (wt ndash kr)
Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010
______________________
English Translation
Recalls
I Tensor and Maxwellrsquos equations
II Dielectric properties of a crystal
III Tensor rotation around the axis Ox j = 1 or
Recalls
As in electromagnetism the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials This medium is determined by the physical constant It may be that thelines of electric induction D are laquo concentrated raquo within the material and E electric field is very muchchanged on the outside The amount of energy cons is not changed So use in this case conservativeflows in two other articles here and there
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I Tensor and Maxwellrsquos equations
In a differential element of relativity space is ds sup2
dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2
Space-time coordinates are x y z jct
J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum
1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations
0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0
0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0
2 Maxwell equations
density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density
3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)
1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0
4 Maxwell recall the mixed system of Gauss
1 rot H = 1c Dt + 4parac J
2 div D = 4para
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3 rot E = ndash 1c Bt
4 div B = 0
5 Tensor in general formulas MKSA
The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc
51 We find 1 and 2 with
Ji = j=1j=4 Gijxj
52 We find 3 and 4 with
Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0
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7 Demonstration of 52
What to do
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VI Reacutefeacuterences
1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972
2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash
Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF
Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010Correction le 23112010 ndash Compleacutement des eacutequations de Maxwell avec les relations H et B et E et D ==gt Apparition des constantes micro et donc 1csup2
_______________________________________________
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voient que du feu et laquo croient raquo toujours aller tout droit Elles se deacuteplacent alors sur une courbecurviligne qui nrsquoest plus une droite toujours agrave la vitesse c Je paraphrase et cela agrave un but peacutedagogiqueDrsquoailleurs il est probable que je me relise bien plus tard et que je me comprenne mieux ce baratin que leseacutequations ci-dessus
Nous avons donc la correction en distance
du = jcdtdrsquoougravedusup2 = ndash csup2dtsup2
I4Tenseurs de Maxwell
Voici les deux tenseurs drsquoordre deux antisymeacutetriques permettant de retrouver les eacutequations de Maxwell
0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3
jcD1 jcD2 jcD3 0
0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3
jc E1 jc E2 jc E3 0
Proprieacuteteacutes
Comme beaucoup de tenseurs deacutecrivant des pheacutenomegravenes physiques ils possegravedent certaines reacutegulariteacutes
1 Antisymeacutetriques Les coefficients lignes-colonnes sont eacutegaux aux colonnes-lignes Aij = -Aji
2 La diagonale est eacutegale agrave 0 Aii = 0
3 Drsquoordre deux car la moitieacute des termes peuvent se retrouver en inversant le signe de lrsquoautre moitieacuteLe tenseur semble drsquoordre quatre mais nous ne posseacutedons que deux ensembles indeacutependants
I5 Formules geacuteneacuterales tensorielles dans MKSA
Les coordonneacutees de J sont
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J1 J2 J3 J4 = jc
I51 Nous retrouvons 1 et 2 avec
i
j
j
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i
j
I52 Nous retrouvons 3 et 4 avec
i
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j
I6 Eacutequations de Maxwell
1 Variables des Eacutequations de Maxwell
Densiteacute de charges eacutelectriques Coulombm3H Champ magneacutetiqueB Induction magneacutetiqueE Champ eacutelectrique VoltsmD Induction eacutelectriqueJ Densiteacute de courant
2 Eacutequations Maxwell dans le systegraveme MKSA Giorgi(Megravetre Kilogramme Seconde Ampegravere)
D = EB = micro H
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1 rot B = micro Et + micro Jrot B = (1csup2)Et + micro Jrot H = Et + Jrot H = Dt + J
2 div E = div D =
3 rot E = -Bt4 div B = 0
3 Rappel Maxwell par le systegraveme mixte de Gauss
1 rot H = 1c Dt + 4parac J
2 div D = 4para
3 rot E = ndash 1c Bt
4 div B = 0
4 DEacuteMONTRONS I3 1
Ji = j=1j=4 Gijxj
Calcul du premier eacuteleacutement de J
J1 = j=1j=4 G1jxj
J1 = G11x1 + G12x2+ G13x3+ G14x4
J1 = 0x1 + H3x2 ndash H2x3 - jc D1jctJ1 = H3x2 ndash H2x3 - D1tEt par deacutefinition du rotationnelJ1 = rotx1H - D1t
Drsquoougrave
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CQFD pour la premiegravere eacutequation
Une deacutemonstration similaire montrerait que
rotx2H = J2 + D2trotx3H = J3 + D3t
Drsquoougrave
rotH = J + Dt
Calcul du quatriegraveme terme de J
J4 = j=1j=4 G4jxj
J4 = G41x1 + G42x2+ G43x3+ G44x4
J4 = jcD1x1 + jcD2x2+ jcD3x3+ 0J4 = jc [ D1x1 + D2x2+ D3x3 ]Et par deacutefinition de la divergence J4 = jc div D
et
J4= jcjc = jc div D
CQFD pour la deuxiegraveme eacutequation
5 Deacutemonstration du I3 2
A faire
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i
j
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mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash
II Champs eacutelectromagneacutetique par deacuteplacement de reacutefeacuterentiel
Si le reacutefeacuterentiel Rrsquo se deacuteplace agrave la vitesse V par rapport agrave celui drsquoorigine ou de mesure R alors
Elsquo = E + V BBlsquo = B
Crsquoest agrave dire que le champ eacutelectrique E est modifieacute par la vitesse relative V qui agit par le produit vectorielde lrsquoinduction magneacutetique B Lrsquoinduction magneacutetique B est inchangeacutee
______________________
III Proprieacuteteacutes dieacutelectrique drsquoun cristal
Les milieux cristallins sont en geacuteneacuteral anisotropes M Voigt est le concepteur de ce type de calculsComparons lrsquoinduction eacutelectrique D et le champ eacutelectrique E en un point drsquoun milieu isotrope et un autreanisotrope
Anisotrope Milieu qui ne possegravede pas les mecircme proprieacuteteacutes physiques quand on change de direction
Milieu Isotrope
D = E
Lrsquoinduction eacutelectrique D est de mecircme direction que le champ eacutelectrique E
Milieu Anisotrope
Di = j=1j=3 i
j Ej
Di srsquoexprime dans un espace de dimension 3
Lrsquoinduction eacutelectrique D dans la direction i deacutepend des caracteacuteristiques fixeacutees par ij et des impacts des
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champs eacutelectriques Ej dans les autres directions j
ij est un tenseur drsquoordre 2
______________________
IV Tenseur de rotation de autour de lrsquoaxe j=1 ou Ox
1 0 00 cos sin 0 -sin cos
Le vecteur OM(x y z) tourne drsquoun angle autour de lrsquoaxe j=1 ou OX
OXrsquo = ex
OYrsquo = cos()ey + sin()ez
OZrsquo = -sin()ey + cos()ez
1 0 0 ex0 cos sin cos()ey + sin()ez0 -sin cos -sin()ey + cos()ez Il y a un 1 dans ce tenseur selon la reacutefeacuterence 1 Ceci est surement une coquille dans le livre car il nrsquoy aaucune raison qursquoil y ait une contribution de lrsquoaxe x dans ceux de y et z puisque le tenseur tourne autourde cet axe x Je me permets donc de corriger avec toute la modestie qursquoil faut cette erreur Avec mesrespects et toute mon admiration dus aux physiciens eacutemeacuterites M De Broglie et M Angot
V ANNEXE Cas des ondes gravitationnelles ndash expeacuterience Virgo 6
6 Cet article qui mrsquoa demandeacute beaucoup de travail nrsquoest pas en lecture pour les non abonneacutes Il sera en teacuteleacutechargement pour une modique somme degraves queje lrsquoaurai termineacute mdashmdash- Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles ndash Article Nanotechinnov
Adrien je ne sais pas si tu y as compris quelque chose Mais peut-ecirctre qursquoavec les explications delrsquoexpeacuterience Virgo cela eacuteclairera quelques calculs
Lrsquoonde gravitationnelle se propage comme une onde plane sur le Michelson et change lrsquoespace du bras
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Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom
L1 dans sa premiegravere demi-peacuteriode puis lrsquoespace du bras L2 dans la seconde Sur une peacuteriode drsquoondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffeacuterence de marche entre les deux bras donc
Dm = k(2l2 ndash 2l1)
Lrsquoinfluence de lrsquoonde gravitationnelle sur le trajet laser avant lrsquoentreacutee sur la meacutediatrice nrsquoinfluence pasla figure de diffraction puisque la modification srsquoeffectue sur le faisceau de reacutefeacuterence ndash mecircmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode
Une remarque la correction de temps est hellip imaginaire Et oui drsquoougrave lrsquointeacuterecirct vois-tu de faire les calculsdrsquoonde en exponentielle complexe
ei(wt ndash kr)
plutocirct qursquoen
cos (wt ndash kr)
Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010
______________________
English Translation
Recalls
I Tensor and Maxwellrsquos equations
II Dielectric properties of a crystal
III Tensor rotation around the axis Ox j = 1 or
Recalls
As in electromagnetism the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials This medium is determined by the physical constant It may be that thelines of electric induction D are laquo concentrated raquo within the material and E electric field is very muchchanged on the outside The amount of energy cons is not changed So use in this case conservativeflows in two other articles here and there
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Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom
I Tensor and Maxwellrsquos equations
In a differential element of relativity space is ds sup2
dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2
Space-time coordinates are x y z jct
J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum
1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations
0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0
0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0
2 Maxwell equations
density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density
3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)
1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0
4 Maxwell recall the mixed system of Gauss
1 rot H = 1c Dt + 4parac J
2 div D = 4para
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3 rot E = ndash 1c Bt
4 div B = 0
5 Tensor in general formulas MKSA
The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc
51 We find 1 and 2 with
Ji = j=1j=4 Gijxj
52 We find 3 and 4 with
Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0
6 Show 5 1See french demo
7 Demonstration of 52
What to do
Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010
VI Reacutefeacuterences
1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972
2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash
Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF
Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010Correction le 23112010 ndash Compleacutement des eacutequations de Maxwell avec les relations H et B et E et D ==gt Apparition des constantes micro et donc 1csup2
_______________________________________________
Article eacutecrit par Jean-Paul Cipria
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J1 J2 J3 J4 = jc
I51 Nous retrouvons 1 et 2 avec
i
j
j
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i
j
I52 Nous retrouvons 3 et 4 avec
i
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j
I6 Eacutequations de Maxwell
1 Variables des Eacutequations de Maxwell
Densiteacute de charges eacutelectriques Coulombm3H Champ magneacutetiqueB Induction magneacutetiqueE Champ eacutelectrique VoltsmD Induction eacutelectriqueJ Densiteacute de courant
2 Eacutequations Maxwell dans le systegraveme MKSA Giorgi(Megravetre Kilogramme Seconde Ampegravere)
D = EB = micro H
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1 rot B = micro Et + micro Jrot B = (1csup2)Et + micro Jrot H = Et + Jrot H = Dt + J
2 div E = div D =
3 rot E = -Bt4 div B = 0
3 Rappel Maxwell par le systegraveme mixte de Gauss
1 rot H = 1c Dt + 4parac J
2 div D = 4para
3 rot E = ndash 1c Bt
4 div B = 0
4 DEacuteMONTRONS I3 1
Ji = j=1j=4 Gijxj
Calcul du premier eacuteleacutement de J
J1 = j=1j=4 G1jxj
J1 = G11x1 + G12x2+ G13x3+ G14x4
J1 = 0x1 + H3x2 ndash H2x3 - jc D1jctJ1 = H3x2 ndash H2x3 - D1tEt par deacutefinition du rotationnelJ1 = rotx1H - D1t
Drsquoougrave
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CQFD pour la premiegravere eacutequation
Une deacutemonstration similaire montrerait que
rotx2H = J2 + D2trotx3H = J3 + D3t
Drsquoougrave
rotH = J + Dt
Calcul du quatriegraveme terme de J
J4 = j=1j=4 G4jxj
J4 = G41x1 + G42x2+ G43x3+ G44x4
J4 = jcD1x1 + jcD2x2+ jcD3x3+ 0J4 = jc [ D1x1 + D2x2+ D3x3 ]Et par deacutefinition de la divergence J4 = jc div D
et
J4= jcjc = jc div D
CQFD pour la deuxiegraveme eacutequation
5 Deacutemonstration du I3 2
A faire
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i
j
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mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash
II Champs eacutelectromagneacutetique par deacuteplacement de reacutefeacuterentiel
Si le reacutefeacuterentiel Rrsquo se deacuteplace agrave la vitesse V par rapport agrave celui drsquoorigine ou de mesure R alors
Elsquo = E + V BBlsquo = B
Crsquoest agrave dire que le champ eacutelectrique E est modifieacute par la vitesse relative V qui agit par le produit vectorielde lrsquoinduction magneacutetique B Lrsquoinduction magneacutetique B est inchangeacutee
______________________
III Proprieacuteteacutes dieacutelectrique drsquoun cristal
Les milieux cristallins sont en geacuteneacuteral anisotropes M Voigt est le concepteur de ce type de calculsComparons lrsquoinduction eacutelectrique D et le champ eacutelectrique E en un point drsquoun milieu isotrope et un autreanisotrope
Anisotrope Milieu qui ne possegravede pas les mecircme proprieacuteteacutes physiques quand on change de direction
Milieu Isotrope
D = E
Lrsquoinduction eacutelectrique D est de mecircme direction que le champ eacutelectrique E
Milieu Anisotrope
Di = j=1j=3 i
j Ej
Di srsquoexprime dans un espace de dimension 3
Lrsquoinduction eacutelectrique D dans la direction i deacutepend des caracteacuteristiques fixeacutees par ij et des impacts des
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champs eacutelectriques Ej dans les autres directions j
ij est un tenseur drsquoordre 2
______________________
IV Tenseur de rotation de autour de lrsquoaxe j=1 ou Ox
1 0 00 cos sin 0 -sin cos
Le vecteur OM(x y z) tourne drsquoun angle autour de lrsquoaxe j=1 ou OX
OXrsquo = ex
OYrsquo = cos()ey + sin()ez
OZrsquo = -sin()ey + cos()ez
1 0 0 ex0 cos sin cos()ey + sin()ez0 -sin cos -sin()ey + cos()ez Il y a un 1 dans ce tenseur selon la reacutefeacuterence 1 Ceci est surement une coquille dans le livre car il nrsquoy aaucune raison qursquoil y ait une contribution de lrsquoaxe x dans ceux de y et z puisque le tenseur tourne autourde cet axe x Je me permets donc de corriger avec toute la modestie qursquoil faut cette erreur Avec mesrespects et toute mon admiration dus aux physiciens eacutemeacuterites M De Broglie et M Angot
V ANNEXE Cas des ondes gravitationnelles ndash expeacuterience Virgo 6
6 Cet article qui mrsquoa demandeacute beaucoup de travail nrsquoest pas en lecture pour les non abonneacutes Il sera en teacuteleacutechargement pour une modique somme degraves queje lrsquoaurai termineacute mdashmdash- Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles ndash Article Nanotechinnov
Adrien je ne sais pas si tu y as compris quelque chose Mais peut-ecirctre qursquoavec les explications delrsquoexpeacuterience Virgo cela eacuteclairera quelques calculs
Lrsquoonde gravitationnelle se propage comme une onde plane sur le Michelson et change lrsquoespace du bras
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L1 dans sa premiegravere demi-peacuteriode puis lrsquoespace du bras L2 dans la seconde Sur une peacuteriode drsquoondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffeacuterence de marche entre les deux bras donc
Dm = k(2l2 ndash 2l1)
Lrsquoinfluence de lrsquoonde gravitationnelle sur le trajet laser avant lrsquoentreacutee sur la meacutediatrice nrsquoinfluence pasla figure de diffraction puisque la modification srsquoeffectue sur le faisceau de reacutefeacuterence ndash mecircmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode
Une remarque la correction de temps est hellip imaginaire Et oui drsquoougrave lrsquointeacuterecirct vois-tu de faire les calculsdrsquoonde en exponentielle complexe
ei(wt ndash kr)
plutocirct qursquoen
cos (wt ndash kr)
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English Translation
Recalls
I Tensor and Maxwellrsquos equations
II Dielectric properties of a crystal
III Tensor rotation around the axis Ox j = 1 or
Recalls
As in electromagnetism the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials This medium is determined by the physical constant It may be that thelines of electric induction D are laquo concentrated raquo within the material and E electric field is very muchchanged on the outside The amount of energy cons is not changed So use in this case conservativeflows in two other articles here and there
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I Tensor and Maxwellrsquos equations
In a differential element of relativity space is ds sup2
dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2
Space-time coordinates are x y z jct
J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum
1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations
0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0
0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0
2 Maxwell equations
density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density
3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)
1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0
4 Maxwell recall the mixed system of Gauss
1 rot H = 1c Dt + 4parac J
2 div D = 4para
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3 rot E = ndash 1c Bt
4 div B = 0
5 Tensor in general formulas MKSA
The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc
51 We find 1 and 2 with
Ji = j=1j=4 Gijxj
52 We find 3 and 4 with
Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0
6 Show 5 1See french demo
7 Demonstration of 52
What to do
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VI Reacutefeacuterences
1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972
2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash
Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF
Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010Correction le 23112010 ndash Compleacutement des eacutequations de Maxwell avec les relations H et B et E et D ==gt Apparition des constantes micro et donc 1csup2
_______________________________________________
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i
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I52 Nous retrouvons 3 et 4 avec
i
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j
I6 Eacutequations de Maxwell
1 Variables des Eacutequations de Maxwell
Densiteacute de charges eacutelectriques Coulombm3H Champ magneacutetiqueB Induction magneacutetiqueE Champ eacutelectrique VoltsmD Induction eacutelectriqueJ Densiteacute de courant
2 Eacutequations Maxwell dans le systegraveme MKSA Giorgi(Megravetre Kilogramme Seconde Ampegravere)
D = EB = micro H
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1 rot B = micro Et + micro Jrot B = (1csup2)Et + micro Jrot H = Et + Jrot H = Dt + J
2 div E = div D =
3 rot E = -Bt4 div B = 0
3 Rappel Maxwell par le systegraveme mixte de Gauss
1 rot H = 1c Dt + 4parac J
2 div D = 4para
3 rot E = ndash 1c Bt
4 div B = 0
4 DEacuteMONTRONS I3 1
Ji = j=1j=4 Gijxj
Calcul du premier eacuteleacutement de J
J1 = j=1j=4 G1jxj
J1 = G11x1 + G12x2+ G13x3+ G14x4
J1 = 0x1 + H3x2 ndash H2x3 - jc D1jctJ1 = H3x2 ndash H2x3 - D1tEt par deacutefinition du rotationnelJ1 = rotx1H - D1t
Drsquoougrave
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CQFD pour la premiegravere eacutequation
Une deacutemonstration similaire montrerait que
rotx2H = J2 + D2trotx3H = J3 + D3t
Drsquoougrave
rotH = J + Dt
Calcul du quatriegraveme terme de J
J4 = j=1j=4 G4jxj
J4 = G41x1 + G42x2+ G43x3+ G44x4
J4 = jcD1x1 + jcD2x2+ jcD3x3+ 0J4 = jc [ D1x1 + D2x2+ D3x3 ]Et par deacutefinition de la divergence J4 = jc div D
et
J4= jcjc = jc div D
CQFD pour la deuxiegraveme eacutequation
5 Deacutemonstration du I3 2
A faire
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i
j
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mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash
II Champs eacutelectromagneacutetique par deacuteplacement de reacutefeacuterentiel
Si le reacutefeacuterentiel Rrsquo se deacuteplace agrave la vitesse V par rapport agrave celui drsquoorigine ou de mesure R alors
Elsquo = E + V BBlsquo = B
Crsquoest agrave dire que le champ eacutelectrique E est modifieacute par la vitesse relative V qui agit par le produit vectorielde lrsquoinduction magneacutetique B Lrsquoinduction magneacutetique B est inchangeacutee
______________________
III Proprieacuteteacutes dieacutelectrique drsquoun cristal
Les milieux cristallins sont en geacuteneacuteral anisotropes M Voigt est le concepteur de ce type de calculsComparons lrsquoinduction eacutelectrique D et le champ eacutelectrique E en un point drsquoun milieu isotrope et un autreanisotrope
Anisotrope Milieu qui ne possegravede pas les mecircme proprieacuteteacutes physiques quand on change de direction
Milieu Isotrope
D = E
Lrsquoinduction eacutelectrique D est de mecircme direction que le champ eacutelectrique E
Milieu Anisotrope
Di = j=1j=3 i
j Ej
Di srsquoexprime dans un espace de dimension 3
Lrsquoinduction eacutelectrique D dans la direction i deacutepend des caracteacuteristiques fixeacutees par ij et des impacts des
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champs eacutelectriques Ej dans les autres directions j
ij est un tenseur drsquoordre 2
______________________
IV Tenseur de rotation de autour de lrsquoaxe j=1 ou Ox
1 0 00 cos sin 0 -sin cos
Le vecteur OM(x y z) tourne drsquoun angle autour de lrsquoaxe j=1 ou OX
OXrsquo = ex
OYrsquo = cos()ey + sin()ez
OZrsquo = -sin()ey + cos()ez
1 0 0 ex0 cos sin cos()ey + sin()ez0 -sin cos -sin()ey + cos()ez Il y a un 1 dans ce tenseur selon la reacutefeacuterence 1 Ceci est surement une coquille dans le livre car il nrsquoy aaucune raison qursquoil y ait une contribution de lrsquoaxe x dans ceux de y et z puisque le tenseur tourne autourde cet axe x Je me permets donc de corriger avec toute la modestie qursquoil faut cette erreur Avec mesrespects et toute mon admiration dus aux physiciens eacutemeacuterites M De Broglie et M Angot
V ANNEXE Cas des ondes gravitationnelles ndash expeacuterience Virgo 6
6 Cet article qui mrsquoa demandeacute beaucoup de travail nrsquoest pas en lecture pour les non abonneacutes Il sera en teacuteleacutechargement pour une modique somme degraves queje lrsquoaurai termineacute mdashmdash- Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles ndash Article Nanotechinnov
Adrien je ne sais pas si tu y as compris quelque chose Mais peut-ecirctre qursquoavec les explications delrsquoexpeacuterience Virgo cela eacuteclairera quelques calculs
Lrsquoonde gravitationnelle se propage comme une onde plane sur le Michelson et change lrsquoespace du bras
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L1 dans sa premiegravere demi-peacuteriode puis lrsquoespace du bras L2 dans la seconde Sur une peacuteriode drsquoondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffeacuterence de marche entre les deux bras donc
Dm = k(2l2 ndash 2l1)
Lrsquoinfluence de lrsquoonde gravitationnelle sur le trajet laser avant lrsquoentreacutee sur la meacutediatrice nrsquoinfluence pasla figure de diffraction puisque la modification srsquoeffectue sur le faisceau de reacutefeacuterence ndash mecircmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode
Une remarque la correction de temps est hellip imaginaire Et oui drsquoougrave lrsquointeacuterecirct vois-tu de faire les calculsdrsquoonde en exponentielle complexe
ei(wt ndash kr)
plutocirct qursquoen
cos (wt ndash kr)
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Recalls
I Tensor and Maxwellrsquos equations
II Dielectric properties of a crystal
III Tensor rotation around the axis Ox j = 1 or
Recalls
As in electromagnetism the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials This medium is determined by the physical constant It may be that thelines of electric induction D are laquo concentrated raquo within the material and E electric field is very muchchanged on the outside The amount of energy cons is not changed So use in this case conservativeflows in two other articles here and there
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I Tensor and Maxwellrsquos equations
In a differential element of relativity space is ds sup2
dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2
Space-time coordinates are x y z jct
J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum
1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations
0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0
0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0
2 Maxwell equations
density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density
3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)
1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0
4 Maxwell recall the mixed system of Gauss
1 rot H = 1c Dt + 4parac J
2 div D = 4para
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3 rot E = ndash 1c Bt
4 div B = 0
5 Tensor in general formulas MKSA
The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc
51 We find 1 and 2 with
Ji = j=1j=4 Gijxj
52 We find 3 and 4 with
Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0
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7 Demonstration of 52
What to do
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VI Reacutefeacuterences
1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972
2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash
Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF
Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010Correction le 23112010 ndash Compleacutement des eacutequations de Maxwell avec les relations H et B et E et D ==gt Apparition des constantes micro et donc 1csup2
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j
I6 Eacutequations de Maxwell
1 Variables des Eacutequations de Maxwell
Densiteacute de charges eacutelectriques Coulombm3H Champ magneacutetiqueB Induction magneacutetiqueE Champ eacutelectrique VoltsmD Induction eacutelectriqueJ Densiteacute de courant
2 Eacutequations Maxwell dans le systegraveme MKSA Giorgi(Megravetre Kilogramme Seconde Ampegravere)
D = EB = micro H
page 7 15
Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom
1 rot B = micro Et + micro Jrot B = (1csup2)Et + micro Jrot H = Et + Jrot H = Dt + J
2 div E = div D =
3 rot E = -Bt4 div B = 0
3 Rappel Maxwell par le systegraveme mixte de Gauss
1 rot H = 1c Dt + 4parac J
2 div D = 4para
3 rot E = ndash 1c Bt
4 div B = 0
4 DEacuteMONTRONS I3 1
Ji = j=1j=4 Gijxj
Calcul du premier eacuteleacutement de J
J1 = j=1j=4 G1jxj
J1 = G11x1 + G12x2+ G13x3+ G14x4
J1 = 0x1 + H3x2 ndash H2x3 - jc D1jctJ1 = H3x2 ndash H2x3 - D1tEt par deacutefinition du rotationnelJ1 = rotx1H - D1t
Drsquoougrave
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CQFD pour la premiegravere eacutequation
Une deacutemonstration similaire montrerait que
rotx2H = J2 + D2trotx3H = J3 + D3t
Drsquoougrave
rotH = J + Dt
Calcul du quatriegraveme terme de J
J4 = j=1j=4 G4jxj
J4 = G41x1 + G42x2+ G43x3+ G44x4
J4 = jcD1x1 + jcD2x2+ jcD3x3+ 0J4 = jc [ D1x1 + D2x2+ D3x3 ]Et par deacutefinition de la divergence J4 = jc div D
et
J4= jcjc = jc div D
CQFD pour la deuxiegraveme eacutequation
5 Deacutemonstration du I3 2
A faire
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Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom
i
j
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mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash
II Champs eacutelectromagneacutetique par deacuteplacement de reacutefeacuterentiel
Si le reacutefeacuterentiel Rrsquo se deacuteplace agrave la vitesse V par rapport agrave celui drsquoorigine ou de mesure R alors
Elsquo = E + V BBlsquo = B
Crsquoest agrave dire que le champ eacutelectrique E est modifieacute par la vitesse relative V qui agit par le produit vectorielde lrsquoinduction magneacutetique B Lrsquoinduction magneacutetique B est inchangeacutee
______________________
III Proprieacuteteacutes dieacutelectrique drsquoun cristal
Les milieux cristallins sont en geacuteneacuteral anisotropes M Voigt est le concepteur de ce type de calculsComparons lrsquoinduction eacutelectrique D et le champ eacutelectrique E en un point drsquoun milieu isotrope et un autreanisotrope
Anisotrope Milieu qui ne possegravede pas les mecircme proprieacuteteacutes physiques quand on change de direction
Milieu Isotrope
D = E
Lrsquoinduction eacutelectrique D est de mecircme direction que le champ eacutelectrique E
Milieu Anisotrope
Di = j=1j=3 i
j Ej
Di srsquoexprime dans un espace de dimension 3
Lrsquoinduction eacutelectrique D dans la direction i deacutepend des caracteacuteristiques fixeacutees par ij et des impacts des
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champs eacutelectriques Ej dans les autres directions j
ij est un tenseur drsquoordre 2
______________________
IV Tenseur de rotation de autour de lrsquoaxe j=1 ou Ox
1 0 00 cos sin 0 -sin cos
Le vecteur OM(x y z) tourne drsquoun angle autour de lrsquoaxe j=1 ou OX
OXrsquo = ex
OYrsquo = cos()ey + sin()ez
OZrsquo = -sin()ey + cos()ez
1 0 0 ex0 cos sin cos()ey + sin()ez0 -sin cos -sin()ey + cos()ez Il y a un 1 dans ce tenseur selon la reacutefeacuterence 1 Ceci est surement une coquille dans le livre car il nrsquoy aaucune raison qursquoil y ait une contribution de lrsquoaxe x dans ceux de y et z puisque le tenseur tourne autourde cet axe x Je me permets donc de corriger avec toute la modestie qursquoil faut cette erreur Avec mesrespects et toute mon admiration dus aux physiciens eacutemeacuterites M De Broglie et M Angot
V ANNEXE Cas des ondes gravitationnelles ndash expeacuterience Virgo 6
6 Cet article qui mrsquoa demandeacute beaucoup de travail nrsquoest pas en lecture pour les non abonneacutes Il sera en teacuteleacutechargement pour une modique somme degraves queje lrsquoaurai termineacute mdashmdash- Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles ndash Article Nanotechinnov
Adrien je ne sais pas si tu y as compris quelque chose Mais peut-ecirctre qursquoavec les explications delrsquoexpeacuterience Virgo cela eacuteclairera quelques calculs
Lrsquoonde gravitationnelle se propage comme une onde plane sur le Michelson et change lrsquoespace du bras
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Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom
L1 dans sa premiegravere demi-peacuteriode puis lrsquoespace du bras L2 dans la seconde Sur une peacuteriode drsquoondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffeacuterence de marche entre les deux bras donc
Dm = k(2l2 ndash 2l1)
Lrsquoinfluence de lrsquoonde gravitationnelle sur le trajet laser avant lrsquoentreacutee sur la meacutediatrice nrsquoinfluence pasla figure de diffraction puisque la modification srsquoeffectue sur le faisceau de reacutefeacuterence ndash mecircmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode
Une remarque la correction de temps est hellip imaginaire Et oui drsquoougrave lrsquointeacuterecirct vois-tu de faire les calculsdrsquoonde en exponentielle complexe
ei(wt ndash kr)
plutocirct qursquoen
cos (wt ndash kr)
Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010
______________________
English Translation
Recalls
I Tensor and Maxwellrsquos equations
II Dielectric properties of a crystal
III Tensor rotation around the axis Ox j = 1 or
Recalls
As in electromagnetism the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials This medium is determined by the physical constant It may be that thelines of electric induction D are laquo concentrated raquo within the material and E electric field is very muchchanged on the outside The amount of energy cons is not changed So use in this case conservativeflows in two other articles here and there
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Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom
I Tensor and Maxwellrsquos equations
In a differential element of relativity space is ds sup2
dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2
Space-time coordinates are x y z jct
J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum
1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations
0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0
0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0
2 Maxwell equations
density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density
3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)
1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0
4 Maxwell recall the mixed system of Gauss
1 rot H = 1c Dt + 4parac J
2 div D = 4para
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3 rot E = ndash 1c Bt
4 div B = 0
5 Tensor in general formulas MKSA
The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc
51 We find 1 and 2 with
Ji = j=1j=4 Gijxj
52 We find 3 and 4 with
Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0
6 Show 5 1See french demo
7 Demonstration of 52
What to do
Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010
VI Reacutefeacuterences
1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972
2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash
Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF
Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010Correction le 23112010 ndash Compleacutement des eacutequations de Maxwell avec les relations H et B et E et D ==gt Apparition des constantes micro et donc 1csup2
_______________________________________________
Article eacutecrit par Jean-Paul Cipria
Powered by TCPDF (wwwtcpdforg)
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Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom
1 rot B = micro Et + micro Jrot B = (1csup2)Et + micro Jrot H = Et + Jrot H = Dt + J
2 div E = div D =
3 rot E = -Bt4 div B = 0
3 Rappel Maxwell par le systegraveme mixte de Gauss
1 rot H = 1c Dt + 4parac J
2 div D = 4para
3 rot E = ndash 1c Bt
4 div B = 0
4 DEacuteMONTRONS I3 1
Ji = j=1j=4 Gijxj
Calcul du premier eacuteleacutement de J
J1 = j=1j=4 G1jxj
J1 = G11x1 + G12x2+ G13x3+ G14x4
J1 = 0x1 + H3x2 ndash H2x3 - jc D1jctJ1 = H3x2 ndash H2x3 - D1tEt par deacutefinition du rotationnelJ1 = rotx1H - D1t
Drsquoougrave
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CQFD pour la premiegravere eacutequation
Une deacutemonstration similaire montrerait que
rotx2H = J2 + D2trotx3H = J3 + D3t
Drsquoougrave
rotH = J + Dt
Calcul du quatriegraveme terme de J
J4 = j=1j=4 G4jxj
J4 = G41x1 + G42x2+ G43x3+ G44x4
J4 = jcD1x1 + jcD2x2+ jcD3x3+ 0J4 = jc [ D1x1 + D2x2+ D3x3 ]Et par deacutefinition de la divergence J4 = jc div D
et
J4= jcjc = jc div D
CQFD pour la deuxiegraveme eacutequation
5 Deacutemonstration du I3 2
A faire
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mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash
II Champs eacutelectromagneacutetique par deacuteplacement de reacutefeacuterentiel
Si le reacutefeacuterentiel Rrsquo se deacuteplace agrave la vitesse V par rapport agrave celui drsquoorigine ou de mesure R alors
Elsquo = E + V BBlsquo = B
Crsquoest agrave dire que le champ eacutelectrique E est modifieacute par la vitesse relative V qui agit par le produit vectorielde lrsquoinduction magneacutetique B Lrsquoinduction magneacutetique B est inchangeacutee
______________________
III Proprieacuteteacutes dieacutelectrique drsquoun cristal
Les milieux cristallins sont en geacuteneacuteral anisotropes M Voigt est le concepteur de ce type de calculsComparons lrsquoinduction eacutelectrique D et le champ eacutelectrique E en un point drsquoun milieu isotrope et un autreanisotrope
Anisotrope Milieu qui ne possegravede pas les mecircme proprieacuteteacutes physiques quand on change de direction
Milieu Isotrope
D = E
Lrsquoinduction eacutelectrique D est de mecircme direction que le champ eacutelectrique E
Milieu Anisotrope
Di = j=1j=3 i
j Ej
Di srsquoexprime dans un espace de dimension 3
Lrsquoinduction eacutelectrique D dans la direction i deacutepend des caracteacuteristiques fixeacutees par ij et des impacts des
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champs eacutelectriques Ej dans les autres directions j
ij est un tenseur drsquoordre 2
______________________
IV Tenseur de rotation de autour de lrsquoaxe j=1 ou Ox
1 0 00 cos sin 0 -sin cos
Le vecteur OM(x y z) tourne drsquoun angle autour de lrsquoaxe j=1 ou OX
OXrsquo = ex
OYrsquo = cos()ey + sin()ez
OZrsquo = -sin()ey + cos()ez
1 0 0 ex0 cos sin cos()ey + sin()ez0 -sin cos -sin()ey + cos()ez Il y a un 1 dans ce tenseur selon la reacutefeacuterence 1 Ceci est surement une coquille dans le livre car il nrsquoy aaucune raison qursquoil y ait une contribution de lrsquoaxe x dans ceux de y et z puisque le tenseur tourne autourde cet axe x Je me permets donc de corriger avec toute la modestie qursquoil faut cette erreur Avec mesrespects et toute mon admiration dus aux physiciens eacutemeacuterites M De Broglie et M Angot
V ANNEXE Cas des ondes gravitationnelles ndash expeacuterience Virgo 6
6 Cet article qui mrsquoa demandeacute beaucoup de travail nrsquoest pas en lecture pour les non abonneacutes Il sera en teacuteleacutechargement pour une modique somme degraves queje lrsquoaurai termineacute mdashmdash- Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles ndash Article Nanotechinnov
Adrien je ne sais pas si tu y as compris quelque chose Mais peut-ecirctre qursquoavec les explications delrsquoexpeacuterience Virgo cela eacuteclairera quelques calculs
Lrsquoonde gravitationnelle se propage comme une onde plane sur le Michelson et change lrsquoespace du bras
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L1 dans sa premiegravere demi-peacuteriode puis lrsquoespace du bras L2 dans la seconde Sur une peacuteriode drsquoondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffeacuterence de marche entre les deux bras donc
Dm = k(2l2 ndash 2l1)
Lrsquoinfluence de lrsquoonde gravitationnelle sur le trajet laser avant lrsquoentreacutee sur la meacutediatrice nrsquoinfluence pasla figure de diffraction puisque la modification srsquoeffectue sur le faisceau de reacutefeacuterence ndash mecircmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode
Une remarque la correction de temps est hellip imaginaire Et oui drsquoougrave lrsquointeacuterecirct vois-tu de faire les calculsdrsquoonde en exponentielle complexe
ei(wt ndash kr)
plutocirct qursquoen
cos (wt ndash kr)
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Recalls
I Tensor and Maxwellrsquos equations
II Dielectric properties of a crystal
III Tensor rotation around the axis Ox j = 1 or
Recalls
As in electromagnetism the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials This medium is determined by the physical constant It may be that thelines of electric induction D are laquo concentrated raquo within the material and E electric field is very muchchanged on the outside The amount of energy cons is not changed So use in this case conservativeflows in two other articles here and there
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I Tensor and Maxwellrsquos equations
In a differential element of relativity space is ds sup2
dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2
Space-time coordinates are x y z jct
J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum
1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations
0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0
0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0
2 Maxwell equations
density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density
3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)
1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0
4 Maxwell recall the mixed system of Gauss
1 rot H = 1c Dt + 4parac J
2 div D = 4para
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3 rot E = ndash 1c Bt
4 div B = 0
5 Tensor in general formulas MKSA
The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc
51 We find 1 and 2 with
Ji = j=1j=4 Gijxj
52 We find 3 and 4 with
Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0
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1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972
2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash
Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF
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CQFD pour la premiegravere eacutequation
Une deacutemonstration similaire montrerait que
rotx2H = J2 + D2trotx3H = J3 + D3t
Drsquoougrave
rotH = J + Dt
Calcul du quatriegraveme terme de J
J4 = j=1j=4 G4jxj
J4 = G41x1 + G42x2+ G43x3+ G44x4
J4 = jcD1x1 + jcD2x2+ jcD3x3+ 0J4 = jc [ D1x1 + D2x2+ D3x3 ]Et par deacutefinition de la divergence J4 = jc div D
et
J4= jcjc = jc div D
CQFD pour la deuxiegraveme eacutequation
5 Deacutemonstration du I3 2
A faire
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mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash
II Champs eacutelectromagneacutetique par deacuteplacement de reacutefeacuterentiel
Si le reacutefeacuterentiel Rrsquo se deacuteplace agrave la vitesse V par rapport agrave celui drsquoorigine ou de mesure R alors
Elsquo = E + V BBlsquo = B
Crsquoest agrave dire que le champ eacutelectrique E est modifieacute par la vitesse relative V qui agit par le produit vectorielde lrsquoinduction magneacutetique B Lrsquoinduction magneacutetique B est inchangeacutee
______________________
III Proprieacuteteacutes dieacutelectrique drsquoun cristal
Les milieux cristallins sont en geacuteneacuteral anisotropes M Voigt est le concepteur de ce type de calculsComparons lrsquoinduction eacutelectrique D et le champ eacutelectrique E en un point drsquoun milieu isotrope et un autreanisotrope
Anisotrope Milieu qui ne possegravede pas les mecircme proprieacuteteacutes physiques quand on change de direction
Milieu Isotrope
D = E
Lrsquoinduction eacutelectrique D est de mecircme direction que le champ eacutelectrique E
Milieu Anisotrope
Di = j=1j=3 i
j Ej
Di srsquoexprime dans un espace de dimension 3
Lrsquoinduction eacutelectrique D dans la direction i deacutepend des caracteacuteristiques fixeacutees par ij et des impacts des
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ij est un tenseur drsquoordre 2
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IV Tenseur de rotation de autour de lrsquoaxe j=1 ou Ox
1 0 00 cos sin 0 -sin cos
Le vecteur OM(x y z) tourne drsquoun angle autour de lrsquoaxe j=1 ou OX
OXrsquo = ex
OYrsquo = cos()ey + sin()ez
OZrsquo = -sin()ey + cos()ez
1 0 0 ex0 cos sin cos()ey + sin()ez0 -sin cos -sin()ey + cos()ez Il y a un 1 dans ce tenseur selon la reacutefeacuterence 1 Ceci est surement une coquille dans le livre car il nrsquoy aaucune raison qursquoil y ait une contribution de lrsquoaxe x dans ceux de y et z puisque le tenseur tourne autourde cet axe x Je me permets donc de corriger avec toute la modestie qursquoil faut cette erreur Avec mesrespects et toute mon admiration dus aux physiciens eacutemeacuterites M De Broglie et M Angot
V ANNEXE Cas des ondes gravitationnelles ndash expeacuterience Virgo 6
6 Cet article qui mrsquoa demandeacute beaucoup de travail nrsquoest pas en lecture pour les non abonneacutes Il sera en teacuteleacutechargement pour une modique somme degraves queje lrsquoaurai termineacute mdashmdash- Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles ndash Article Nanotechinnov
Adrien je ne sais pas si tu y as compris quelque chose Mais peut-ecirctre qursquoavec les explications delrsquoexpeacuterience Virgo cela eacuteclairera quelques calculs
Lrsquoonde gravitationnelle se propage comme une onde plane sur le Michelson et change lrsquoespace du bras
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L1 dans sa premiegravere demi-peacuteriode puis lrsquoespace du bras L2 dans la seconde Sur une peacuteriode drsquoondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffeacuterence de marche entre les deux bras donc
Dm = k(2l2 ndash 2l1)
Lrsquoinfluence de lrsquoonde gravitationnelle sur le trajet laser avant lrsquoentreacutee sur la meacutediatrice nrsquoinfluence pasla figure de diffraction puisque la modification srsquoeffectue sur le faisceau de reacutefeacuterence ndash mecircmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode
Une remarque la correction de temps est hellip imaginaire Et oui drsquoougrave lrsquointeacuterecirct vois-tu de faire les calculsdrsquoonde en exponentielle complexe
ei(wt ndash kr)
plutocirct qursquoen
cos (wt ndash kr)
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Recalls
I Tensor and Maxwellrsquos equations
II Dielectric properties of a crystal
III Tensor rotation around the axis Ox j = 1 or
Recalls
As in electromagnetism the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials This medium is determined by the physical constant It may be that thelines of electric induction D are laquo concentrated raquo within the material and E electric field is very muchchanged on the outside The amount of energy cons is not changed So use in this case conservativeflows in two other articles here and there
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I Tensor and Maxwellrsquos equations
In a differential element of relativity space is ds sup2
dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2
Space-time coordinates are x y z jct
J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum
1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations
0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0
0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0
2 Maxwell equations
density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density
3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)
1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0
4 Maxwell recall the mixed system of Gauss
1 rot H = 1c Dt + 4parac J
2 div D = 4para
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4 div B = 0
5 Tensor in general formulas MKSA
The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc
51 We find 1 and 2 with
Ji = j=1j=4 Gijxj
52 We find 3 and 4 with
Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0
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What to do
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1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972
2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash
Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF
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II Champs eacutelectromagneacutetique par deacuteplacement de reacutefeacuterentiel
Si le reacutefeacuterentiel Rrsquo se deacuteplace agrave la vitesse V par rapport agrave celui drsquoorigine ou de mesure R alors
Elsquo = E + V BBlsquo = B
Crsquoest agrave dire que le champ eacutelectrique E est modifieacute par la vitesse relative V qui agit par le produit vectorielde lrsquoinduction magneacutetique B Lrsquoinduction magneacutetique B est inchangeacutee
______________________
III Proprieacuteteacutes dieacutelectrique drsquoun cristal
Les milieux cristallins sont en geacuteneacuteral anisotropes M Voigt est le concepteur de ce type de calculsComparons lrsquoinduction eacutelectrique D et le champ eacutelectrique E en un point drsquoun milieu isotrope et un autreanisotrope
Anisotrope Milieu qui ne possegravede pas les mecircme proprieacuteteacutes physiques quand on change de direction
Milieu Isotrope
D = E
Lrsquoinduction eacutelectrique D est de mecircme direction que le champ eacutelectrique E
Milieu Anisotrope
Di = j=1j=3 i
j Ej
Di srsquoexprime dans un espace de dimension 3
Lrsquoinduction eacutelectrique D dans la direction i deacutepend des caracteacuteristiques fixeacutees par ij et des impacts des
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champs eacutelectriques Ej dans les autres directions j
ij est un tenseur drsquoordre 2
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IV Tenseur de rotation de autour de lrsquoaxe j=1 ou Ox
1 0 00 cos sin 0 -sin cos
Le vecteur OM(x y z) tourne drsquoun angle autour de lrsquoaxe j=1 ou OX
OXrsquo = ex
OYrsquo = cos()ey + sin()ez
OZrsquo = -sin()ey + cos()ez
1 0 0 ex0 cos sin cos()ey + sin()ez0 -sin cos -sin()ey + cos()ez Il y a un 1 dans ce tenseur selon la reacutefeacuterence 1 Ceci est surement une coquille dans le livre car il nrsquoy aaucune raison qursquoil y ait une contribution de lrsquoaxe x dans ceux de y et z puisque le tenseur tourne autourde cet axe x Je me permets donc de corriger avec toute la modestie qursquoil faut cette erreur Avec mesrespects et toute mon admiration dus aux physiciens eacutemeacuterites M De Broglie et M Angot
V ANNEXE Cas des ondes gravitationnelles ndash expeacuterience Virgo 6
6 Cet article qui mrsquoa demandeacute beaucoup de travail nrsquoest pas en lecture pour les non abonneacutes Il sera en teacuteleacutechargement pour une modique somme degraves queje lrsquoaurai termineacute mdashmdash- Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles ndash Article Nanotechinnov
Adrien je ne sais pas si tu y as compris quelque chose Mais peut-ecirctre qursquoavec les explications delrsquoexpeacuterience Virgo cela eacuteclairera quelques calculs
Lrsquoonde gravitationnelle se propage comme une onde plane sur le Michelson et change lrsquoespace du bras
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Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom
L1 dans sa premiegravere demi-peacuteriode puis lrsquoespace du bras L2 dans la seconde Sur une peacuteriode drsquoondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffeacuterence de marche entre les deux bras donc
Dm = k(2l2 ndash 2l1)
Lrsquoinfluence de lrsquoonde gravitationnelle sur le trajet laser avant lrsquoentreacutee sur la meacutediatrice nrsquoinfluence pasla figure de diffraction puisque la modification srsquoeffectue sur le faisceau de reacutefeacuterence ndash mecircmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode
Une remarque la correction de temps est hellip imaginaire Et oui drsquoougrave lrsquointeacuterecirct vois-tu de faire les calculsdrsquoonde en exponentielle complexe
ei(wt ndash kr)
plutocirct qursquoen
cos (wt ndash kr)
Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010
______________________
English Translation
Recalls
I Tensor and Maxwellrsquos equations
II Dielectric properties of a crystal
III Tensor rotation around the axis Ox j = 1 or
Recalls
As in electromagnetism the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials This medium is determined by the physical constant It may be that thelines of electric induction D are laquo concentrated raquo within the material and E electric field is very muchchanged on the outside The amount of energy cons is not changed So use in this case conservativeflows in two other articles here and there
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Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom
I Tensor and Maxwellrsquos equations
In a differential element of relativity space is ds sup2
dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2
Space-time coordinates are x y z jct
J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum
1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations
0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0
0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0
2 Maxwell equations
density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density
3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)
1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0
4 Maxwell recall the mixed system of Gauss
1 rot H = 1c Dt + 4parac J
2 div D = 4para
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Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom
3 rot E = ndash 1c Bt
4 div B = 0
5 Tensor in general formulas MKSA
The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc
51 We find 1 and 2 with
Ji = j=1j=4 Gijxj
52 We find 3 and 4 with
Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0
6 Show 5 1See french demo
7 Demonstration of 52
What to do
Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010
VI Reacutefeacuterences
1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972
2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash
Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF
Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010Correction le 23112010 ndash Compleacutement des eacutequations de Maxwell avec les relations H et B et E et D ==gt Apparition des constantes micro et donc 1csup2
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Article eacutecrit par Jean-Paul Cipria
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Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom
mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash
II Champs eacutelectromagneacutetique par deacuteplacement de reacutefeacuterentiel
Si le reacutefeacuterentiel Rrsquo se deacuteplace agrave la vitesse V par rapport agrave celui drsquoorigine ou de mesure R alors
Elsquo = E + V BBlsquo = B
Crsquoest agrave dire que le champ eacutelectrique E est modifieacute par la vitesse relative V qui agit par le produit vectorielde lrsquoinduction magneacutetique B Lrsquoinduction magneacutetique B est inchangeacutee
______________________
III Proprieacuteteacutes dieacutelectrique drsquoun cristal
Les milieux cristallins sont en geacuteneacuteral anisotropes M Voigt est le concepteur de ce type de calculsComparons lrsquoinduction eacutelectrique D et le champ eacutelectrique E en un point drsquoun milieu isotrope et un autreanisotrope
Anisotrope Milieu qui ne possegravede pas les mecircme proprieacuteteacutes physiques quand on change de direction
Milieu Isotrope
D = E
Lrsquoinduction eacutelectrique D est de mecircme direction que le champ eacutelectrique E
Milieu Anisotrope
Di = j=1j=3 i
j Ej
Di srsquoexprime dans un espace de dimension 3
Lrsquoinduction eacutelectrique D dans la direction i deacutepend des caracteacuteristiques fixeacutees par ij et des impacts des
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Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom
champs eacutelectriques Ej dans les autres directions j
ij est un tenseur drsquoordre 2
______________________
IV Tenseur de rotation de autour de lrsquoaxe j=1 ou Ox
1 0 00 cos sin 0 -sin cos
Le vecteur OM(x y z) tourne drsquoun angle autour de lrsquoaxe j=1 ou OX
OXrsquo = ex
OYrsquo = cos()ey + sin()ez
OZrsquo = -sin()ey + cos()ez
1 0 0 ex0 cos sin cos()ey + sin()ez0 -sin cos -sin()ey + cos()ez Il y a un 1 dans ce tenseur selon la reacutefeacuterence 1 Ceci est surement une coquille dans le livre car il nrsquoy aaucune raison qursquoil y ait une contribution de lrsquoaxe x dans ceux de y et z puisque le tenseur tourne autourde cet axe x Je me permets donc de corriger avec toute la modestie qursquoil faut cette erreur Avec mesrespects et toute mon admiration dus aux physiciens eacutemeacuterites M De Broglie et M Angot
V ANNEXE Cas des ondes gravitationnelles ndash expeacuterience Virgo 6
6 Cet article qui mrsquoa demandeacute beaucoup de travail nrsquoest pas en lecture pour les non abonneacutes Il sera en teacuteleacutechargement pour une modique somme degraves queje lrsquoaurai termineacute mdashmdash- Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles ndash Article Nanotechinnov
Adrien je ne sais pas si tu y as compris quelque chose Mais peut-ecirctre qursquoavec les explications delrsquoexpeacuterience Virgo cela eacuteclairera quelques calculs
Lrsquoonde gravitationnelle se propage comme une onde plane sur le Michelson et change lrsquoespace du bras
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L1 dans sa premiegravere demi-peacuteriode puis lrsquoespace du bras L2 dans la seconde Sur une peacuteriode drsquoondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffeacuterence de marche entre les deux bras donc
Dm = k(2l2 ndash 2l1)
Lrsquoinfluence de lrsquoonde gravitationnelle sur le trajet laser avant lrsquoentreacutee sur la meacutediatrice nrsquoinfluence pasla figure de diffraction puisque la modification srsquoeffectue sur le faisceau de reacutefeacuterence ndash mecircmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode
Une remarque la correction de temps est hellip imaginaire Et oui drsquoougrave lrsquointeacuterecirct vois-tu de faire les calculsdrsquoonde en exponentielle complexe
ei(wt ndash kr)
plutocirct qursquoen
cos (wt ndash kr)
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English Translation
Recalls
I Tensor and Maxwellrsquos equations
II Dielectric properties of a crystal
III Tensor rotation around the axis Ox j = 1 or
Recalls
As in electromagnetism the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials This medium is determined by the physical constant It may be that thelines of electric induction D are laquo concentrated raquo within the material and E electric field is very muchchanged on the outside The amount of energy cons is not changed So use in this case conservativeflows in two other articles here and there
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Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom
I Tensor and Maxwellrsquos equations
In a differential element of relativity space is ds sup2
dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2
Space-time coordinates are x y z jct
J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum
1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations
0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0
0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0
2 Maxwell equations
density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density
3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)
1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0
4 Maxwell recall the mixed system of Gauss
1 rot H = 1c Dt + 4parac J
2 div D = 4para
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Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom
3 rot E = ndash 1c Bt
4 div B = 0
5 Tensor in general formulas MKSA
The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc
51 We find 1 and 2 with
Ji = j=1j=4 Gijxj
52 We find 3 and 4 with
Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0
6 Show 5 1See french demo
7 Demonstration of 52
What to do
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VI Reacutefeacuterences
1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972
2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash
Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF
Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010Correction le 23112010 ndash Compleacutement des eacutequations de Maxwell avec les relations H et B et E et D ==gt Apparition des constantes micro et donc 1csup2
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champs eacutelectriques Ej dans les autres directions j
ij est un tenseur drsquoordre 2
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IV Tenseur de rotation de autour de lrsquoaxe j=1 ou Ox
1 0 00 cos sin 0 -sin cos
Le vecteur OM(x y z) tourne drsquoun angle autour de lrsquoaxe j=1 ou OX
OXrsquo = ex
OYrsquo = cos()ey + sin()ez
OZrsquo = -sin()ey + cos()ez
1 0 0 ex0 cos sin cos()ey + sin()ez0 -sin cos -sin()ey + cos()ez Il y a un 1 dans ce tenseur selon la reacutefeacuterence 1 Ceci est surement une coquille dans le livre car il nrsquoy aaucune raison qursquoil y ait une contribution de lrsquoaxe x dans ceux de y et z puisque le tenseur tourne autourde cet axe x Je me permets donc de corriger avec toute la modestie qursquoil faut cette erreur Avec mesrespects et toute mon admiration dus aux physiciens eacutemeacuterites M De Broglie et M Angot
V ANNEXE Cas des ondes gravitationnelles ndash expeacuterience Virgo 6
6 Cet article qui mrsquoa demandeacute beaucoup de travail nrsquoest pas en lecture pour les non abonneacutes Il sera en teacuteleacutechargement pour une modique somme degraves queje lrsquoaurai termineacute mdashmdash- Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles ndash Article Nanotechinnov
Adrien je ne sais pas si tu y as compris quelque chose Mais peut-ecirctre qursquoavec les explications delrsquoexpeacuterience Virgo cela eacuteclairera quelques calculs
Lrsquoonde gravitationnelle se propage comme une onde plane sur le Michelson et change lrsquoespace du bras
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L1 dans sa premiegravere demi-peacuteriode puis lrsquoespace du bras L2 dans la seconde Sur une peacuteriode drsquoondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffeacuterence de marche entre les deux bras donc
Dm = k(2l2 ndash 2l1)
Lrsquoinfluence de lrsquoonde gravitationnelle sur le trajet laser avant lrsquoentreacutee sur la meacutediatrice nrsquoinfluence pasla figure de diffraction puisque la modification srsquoeffectue sur le faisceau de reacutefeacuterence ndash mecircmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode
Une remarque la correction de temps est hellip imaginaire Et oui drsquoougrave lrsquointeacuterecirct vois-tu de faire les calculsdrsquoonde en exponentielle complexe
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I Tensor and Maxwellrsquos equations
II Dielectric properties of a crystal
III Tensor rotation around the axis Ox j = 1 or
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As in electromagnetism the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials This medium is determined by the physical constant It may be that thelines of electric induction D are laquo concentrated raquo within the material and E electric field is very muchchanged on the outside The amount of energy cons is not changed So use in this case conservativeflows in two other articles here and there
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I Tensor and Maxwellrsquos equations
In a differential element of relativity space is ds sup2
dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2
Space-time coordinates are x y z jct
J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum
1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations
0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0
0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0
2 Maxwell equations
density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density
3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)
1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0
4 Maxwell recall the mixed system of Gauss
1 rot H = 1c Dt + 4parac J
2 div D = 4para
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3 rot E = ndash 1c Bt
4 div B = 0
5 Tensor in general formulas MKSA
The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc
51 We find 1 and 2 with
Ji = j=1j=4 Gijxj
52 We find 3 and 4 with
Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0
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1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972
2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash
Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF
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L1 dans sa premiegravere demi-peacuteriode puis lrsquoespace du bras L2 dans la seconde Sur une peacuteriode drsquoondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffeacuterence de marche entre les deux bras donc
Dm = k(2l2 ndash 2l1)
Lrsquoinfluence de lrsquoonde gravitationnelle sur le trajet laser avant lrsquoentreacutee sur la meacutediatrice nrsquoinfluence pasla figure de diffraction puisque la modification srsquoeffectue sur le faisceau de reacutefeacuterence ndash mecircmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode
Une remarque la correction de temps est hellip imaginaire Et oui drsquoougrave lrsquointeacuterecirct vois-tu de faire les calculsdrsquoonde en exponentielle complexe
ei(wt ndash kr)
plutocirct qursquoen
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I Tensor and Maxwellrsquos equations
II Dielectric properties of a crystal
III Tensor rotation around the axis Ox j = 1 or
Recalls
As in electromagnetism the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials This medium is determined by the physical constant It may be that thelines of electric induction D are laquo concentrated raquo within the material and E electric field is very muchchanged on the outside The amount of energy cons is not changed So use in this case conservativeflows in two other articles here and there
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I Tensor and Maxwellrsquos equations
In a differential element of relativity space is ds sup2
dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2
Space-time coordinates are x y z jct
J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum
1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations
0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0
0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0
2 Maxwell equations
density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density
3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)
1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0
4 Maxwell recall the mixed system of Gauss
1 rot H = 1c Dt + 4parac J
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4 div B = 0
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The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc
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Ji = j=1j=4 Gijxj
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Space-time coordinates are x y z jct
J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum
1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations
0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0
0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0
2 Maxwell equations
density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density
3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)
1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0
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1 rot H = 1c Dt + 4parac J
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4 div B = 0
5 Tensor in general formulas MKSA
The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc
51 We find 1 and 2 with
Ji = j=1j=4 Gijxj
52 We find 3 and 4 with
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4 div B = 0
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The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc
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2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash
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