Transcript
Page 1: Tenseurs et équations de Maxwell - 10-21- · PDF fileÉquations de Maxwell – Calculs par les Tenseurs. ... Cet article, qui m’a demandé beaucoup de travail, n’est pas en lecture

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

Tenseurs et eacutequations de Maxwell

by Jean-Paul Cipria - Jeudi octobre 21 2010

httpwwwnanotechinnovcomtenseurs-equations-maxwell

Eacutequations de Maxwell ndash Calculs par les Tenseurs

Le calcul tensoriel permet de simplifier la reacutesolution des problegravemes de meacutecanique drsquoeacutelectronique et dephysique agrave plusieurs dimensions

The tensor calculus simplifies the troubleshooting of mechanical electronics and physics at severaldimensions

Sommaire

Avant propos

I Tenseurs et eacutequations de Maxwell

II Champs eacutelectromagneacutetique par deacuteplacement de reacutefeacuterentiel

III Proprieacuteteacutes dieacutelectrique drsquoun cristal

IV Tenseur de rotation de autour de lrsquoaxe j=1 ou Ox

page 1 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

V Annexe Expeacuterience Virgot

VI Reacutefeacuterences

______________________

Avant propos

Les tenseurs sont des sortes de matrices Et donc le calcul matriciel srsquoapplique parfaitement agrave ces objetsmatheacutematiques Pour simplifier ceci permet par exemple de reacutesoudre un systegraveme de quatre eacutequations agravequatre inconnues en manipulant de faccedilon semi-automatique des tableaux de nombres Ce qui est assezmanipulatoire si la matrice est petite et complegravetement automatique sous Excel ou Matlab degraves que lamatrice deacutepasse lrsquoordre 3

Je vous propose donc deux tenseurs qui laquo contiennent raquo en quelque sorte les eacutequations de Maxwell Ilsuffit de deacuteriver drsquoune faccedilon particuliegravere le premier tenseur et nous obtenons deux eacutequations Nousdeacuterivons drsquoune autre maniegravere le deuxiegraveme tenseur et nous obtenons deux autres eacutequations

Lrsquoapport du calcul par tenseur est puissant car il associe la calcul pratique des matrices avec le calcullaquo opeacuterationnel raquo

Le calcul opeacuterationnel srsquoapparente aux distributions par exemple qui permettent en quelque sorte deremplacer des inteacutegrales assez difficiles agrave trimballer par une eacutecriture tout agrave fait sympathique et desproprieacuteteacutes addition soustraction distributiviteacute qui rappellent la maternelle supeacuterieure Ce qui convientbien aux physiciens qui me ressemblent

I Tenseurs et eacutequations de Maxwell

I1 Rappels

Comme en eacutelectromagneacutetisme lrsquoinduction eacutelectrique D est le pheacutenomegravene geacuteneacutereacute par le champeacutelectrique E consideacutereacute agrave lrsquointeacuterieur du mateacuteriau Ce milieu est deacutetermineacute par la constante physique Il sepeut que les lignes drsquoinductions eacutelectriques D soient laquo concentreacutees raquo agrave lrsquointeacuterieur du mateacuteriau et que Echamp eacutelectrique soit tregraves nettement modifieacute agrave lrsquoexteacuterieur La quantiteacute drsquoeacutenergie par contre nrsquoest pasmodifieacutee Il faut donc utiliser en ce cas

Les flux conservatifs

Objet de deux autres articles

page 2 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

Flux et reflux ndash cas de la divergence ndash suite

et

flux et reflux conservatif ndash suite

I2 Eacuteleacutement diffeacuterentiel de distance relativiste

En relativiteacute un eacuteleacutement diffeacuterentiel drsquoespace ou de distance est dssup2

dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2

Les coordonneacutees espace-temps sont x y z jct

j nombre complexe avec jsup2 = -1c Vitesse des ondes eacutelectromagneacutetiques dans le vide

I3 Note explicative pour un eacutetudiant

Je voudrai rajouter ceci pour Adrien eacutetudiant en preacuteparation aux concours des grandes eacutecoles que cettelaquo eacutequation raquo laisse dubitatif Dans le cas classique ougrave les vitesses les forces gravitationnelles sont faiblespar rapport aux forces geacuteneacutereacutees par exemple par une charge eacutelectrique ou une onde eacutelectromagneacutetiquealors

Un petit eacuteleacutement de distance dans lrsquoespace srsquoexprime par

dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2

Qui est la geacuteneacuteralisation de Pythagore en 3D si lrsquoon veut ()

Quand les forces ou les effets laquo relativistes raquo srsquoexpriment plus fort alors nous introduisons un termecorrectif agrave la variation de distance ndash Ce terme est additionneacute en valeur imaginaire ndash Et commedrsquohabitude nous faisons les calculs en imaginaire puis nous laquo projetons raquo sur les valeurs reacuteelles quandnous avons besoin de faire une mesure qui correspond agrave une laquo reacutealiteacute raquo physique abordable Dans ce casce sera le carreacute de la variation de correction de distance espace temps est

dusup2 = (jcdt)(jcdt) = ndash csup2dtsup2

Donc

dssup2relativiste = dssup2classique ndash csup2dtsup2

Ce qui explique que crsquoest lrsquoespace qui change et donc les ondes eacutelectromagneacutetiques qui se baladent nrsquoy

page 3 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

voient que du feu et laquo croient raquo toujours aller tout droit Elles se deacuteplacent alors sur une courbecurviligne qui nrsquoest plus une droite toujours agrave la vitesse c Je paraphrase et cela agrave un but peacutedagogiqueDrsquoailleurs il est probable que je me relise bien plus tard et que je me comprenne mieux ce baratin que leseacutequations ci-dessus

Nous avons donc la correction en distance

du = jcdtdrsquoougravedusup2 = ndash csup2dtsup2

I4Tenseurs de Maxwell

Voici les deux tenseurs drsquoordre deux antisymeacutetriques permettant de retrouver les eacutequations de Maxwell

0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3

jcD1 jcD2 jcD3 0

0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3

jc E1 jc E2 jc E3 0

Proprieacuteteacutes

Comme beaucoup de tenseurs deacutecrivant des pheacutenomegravenes physiques ils possegravedent certaines reacutegulariteacutes

1 Antisymeacutetriques Les coefficients lignes-colonnes sont eacutegaux aux colonnes-lignes Aij = -Aji

2 La diagonale est eacutegale agrave 0 Aii = 0

3 Drsquoordre deux car la moitieacute des termes peuvent se retrouver en inversant le signe de lrsquoautre moitieacuteLe tenseur semble drsquoordre quatre mais nous ne posseacutedons que deux ensembles indeacutependants

I5 Formules geacuteneacuterales tensorielles dans MKSA

Les coordonneacutees de J sont

page 4 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

J1 J2 J3 J4 = jc

I51 Nous retrouvons 1 et 2 avec

i

j

j

page 5 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

i

j

I52 Nous retrouvons 3 et 4 avec

i

page 6 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

j

I6 Eacutequations de Maxwell

1 Variables des Eacutequations de Maxwell

Densiteacute de charges eacutelectriques Coulombm3H Champ magneacutetiqueB Induction magneacutetiqueE Champ eacutelectrique VoltsmD Induction eacutelectriqueJ Densiteacute de courant

2 Eacutequations Maxwell dans le systegraveme MKSA Giorgi(Megravetre Kilogramme Seconde Ampegravere)

D = EB = micro H

page 7 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

1 rot B = micro Et + micro Jrot B = (1csup2)Et + micro Jrot H = Et + Jrot H = Dt + J

2 div E = div D =

3 rot E = -Bt4 div B = 0

3 Rappel Maxwell par le systegraveme mixte de Gauss

1 rot H = 1c Dt + 4parac J

2 div D = 4para

3 rot E = ndash 1c Bt

4 div B = 0

4 DEacuteMONTRONS I3 1

Ji = j=1j=4 Gijxj

Calcul du premier eacuteleacutement de J

J1 = j=1j=4 G1jxj

J1 = G11x1 + G12x2+ G13x3+ G14x4

J1 = 0x1 + H3x2 ndash H2x3 - jc D1jctJ1 = H3x2 ndash H2x3 - D1tEt par deacutefinition du rotationnelJ1 = rotx1H - D1t

Drsquoougrave

page 8 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

CQFD pour la premiegravere eacutequation

Une deacutemonstration similaire montrerait que

rotx2H = J2 + D2trotx3H = J3 + D3t

Drsquoougrave

rotH = J + Dt

Calcul du quatriegraveme terme de J

J4 = j=1j=4 G4jxj

J4 = G41x1 + G42x2+ G43x3+ G44x4

J4 = jcD1x1 + jcD2x2+ jcD3x3+ 0J4 = jc [ D1x1 + D2x2+ D3x3 ]Et par deacutefinition de la divergence J4 = jc div D

et

J4= jcjc = jc div D

CQFD pour la deuxiegraveme eacutequation

5 Deacutemonstration du I3 2

A faire

page 9 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

i

j

page 10 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash

II Champs eacutelectromagneacutetique par deacuteplacement de reacutefeacuterentiel

Si le reacutefeacuterentiel Rrsquo se deacuteplace agrave la vitesse V par rapport agrave celui drsquoorigine ou de mesure R alors

Elsquo = E + V BBlsquo = B

Crsquoest agrave dire que le champ eacutelectrique E est modifieacute par la vitesse relative V qui agit par le produit vectorielde lrsquoinduction magneacutetique B Lrsquoinduction magneacutetique B est inchangeacutee

______________________

III Proprieacuteteacutes dieacutelectrique drsquoun cristal

Les milieux cristallins sont en geacuteneacuteral anisotropes M Voigt est le concepteur de ce type de calculsComparons lrsquoinduction eacutelectrique D et le champ eacutelectrique E en un point drsquoun milieu isotrope et un autreanisotrope

Anisotrope Milieu qui ne possegravede pas les mecircme proprieacuteteacutes physiques quand on change de direction

Milieu Isotrope

D = E

Lrsquoinduction eacutelectrique D est de mecircme direction que le champ eacutelectrique E

Milieu Anisotrope

Di = j=1j=3 i

j Ej

Di srsquoexprime dans un espace de dimension 3

Lrsquoinduction eacutelectrique D dans la direction i deacutepend des caracteacuteristiques fixeacutees par ij et des impacts des

page 11 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

champs eacutelectriques Ej dans les autres directions j

ij est un tenseur drsquoordre 2

______________________

IV Tenseur de rotation de autour de lrsquoaxe j=1 ou Ox

1 0 00 cos sin 0 -sin cos

Le vecteur OM(x y z) tourne drsquoun angle autour de lrsquoaxe j=1 ou OX

OXrsquo = ex

OYrsquo = cos()ey + sin()ez

OZrsquo = -sin()ey + cos()ez

1 0 0 ex0 cos sin cos()ey + sin()ez0 -sin cos -sin()ey + cos()ez Il y a un 1 dans ce tenseur selon la reacutefeacuterence 1 Ceci est surement une coquille dans le livre car il nrsquoy aaucune raison qursquoil y ait une contribution de lrsquoaxe x dans ceux de y et z puisque le tenseur tourne autourde cet axe x Je me permets donc de corriger avec toute la modestie qursquoil faut cette erreur Avec mesrespects et toute mon admiration dus aux physiciens eacutemeacuterites M De Broglie et M Angot

V ANNEXE Cas des ondes gravitationnelles ndash expeacuterience Virgo 6

6 Cet article qui mrsquoa demandeacute beaucoup de travail nrsquoest pas en lecture pour les non abonneacutes Il sera en teacuteleacutechargement pour une modique somme degraves queje lrsquoaurai termineacute mdashmdash- Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles ndash Article Nanotechinnov

Adrien je ne sais pas si tu y as compris quelque chose Mais peut-ecirctre qursquoavec les explications delrsquoexpeacuterience Virgo cela eacuteclairera quelques calculs

Lrsquoonde gravitationnelle se propage comme une onde plane sur le Michelson et change lrsquoespace du bras

page 12 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

L1 dans sa premiegravere demi-peacuteriode puis lrsquoespace du bras L2 dans la seconde Sur une peacuteriode drsquoondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffeacuterence de marche entre les deux bras donc

Dm = k(2l2 ndash 2l1)

Lrsquoinfluence de lrsquoonde gravitationnelle sur le trajet laser avant lrsquoentreacutee sur la meacutediatrice nrsquoinfluence pasla figure de diffraction puisque la modification srsquoeffectue sur le faisceau de reacutefeacuterence ndash mecircmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode

Une remarque la correction de temps est hellip imaginaire Et oui drsquoougrave lrsquointeacuterecirct vois-tu de faire les calculsdrsquoonde en exponentielle complexe

ei(wt ndash kr)

plutocirct qursquoen

cos (wt ndash kr)

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

______________________

English Translation

Recalls

I Tensor and Maxwellrsquos equations

II Dielectric properties of a crystal

III Tensor rotation around the axis Ox j = 1 or

Recalls

As in electromagnetism the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials This medium is determined by the physical constant It may be that thelines of electric induction D are laquo concentrated raquo within the material and E electric field is very muchchanged on the outside The amount of energy cons is not changed So use in this case conservativeflows in two other articles here and there

page 13 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

I Tensor and Maxwellrsquos equations

In a differential element of relativity space is ds sup2

dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2

Space-time coordinates are x y z jct

J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum

1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations

0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0

0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0

2 Maxwell equations

density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density

3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)

1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0

4 Maxwell recall the mixed system of Gauss

1 rot H = 1c Dt + 4parac J

2 div D = 4para

page 14 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

3 rot E = ndash 1c Bt

4 div B = 0

5 Tensor in general formulas MKSA

The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc

51 We find 1 and 2 with

Ji = j=1j=4 Gijxj

52 We find 3 and 4 with

Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0

6 Show 5 1See french demo

7 Demonstration of 52

What to do

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

VI Reacutefeacuterences

1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972

2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash

Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010Correction le 23112010 ndash Compleacutement des eacutequations de Maxwell avec les relations H et B et E et D ==gt Apparition des constantes micro et donc 1csup2

_______________________________________________

Article eacutecrit par Jean-Paul Cipria

Powered by TCPDF (wwwtcpdforg)

page 15 15

Page 2: Tenseurs et équations de Maxwell - 10-21- · PDF fileÉquations de Maxwell – Calculs par les Tenseurs. ... Cet article, qui m’a demandé beaucoup de travail, n’est pas en lecture

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

V Annexe Expeacuterience Virgot

VI Reacutefeacuterences

______________________

Avant propos

Les tenseurs sont des sortes de matrices Et donc le calcul matriciel srsquoapplique parfaitement agrave ces objetsmatheacutematiques Pour simplifier ceci permet par exemple de reacutesoudre un systegraveme de quatre eacutequations agravequatre inconnues en manipulant de faccedilon semi-automatique des tableaux de nombres Ce qui est assezmanipulatoire si la matrice est petite et complegravetement automatique sous Excel ou Matlab degraves que lamatrice deacutepasse lrsquoordre 3

Je vous propose donc deux tenseurs qui laquo contiennent raquo en quelque sorte les eacutequations de Maxwell Ilsuffit de deacuteriver drsquoune faccedilon particuliegravere le premier tenseur et nous obtenons deux eacutequations Nousdeacuterivons drsquoune autre maniegravere le deuxiegraveme tenseur et nous obtenons deux autres eacutequations

Lrsquoapport du calcul par tenseur est puissant car il associe la calcul pratique des matrices avec le calcullaquo opeacuterationnel raquo

Le calcul opeacuterationnel srsquoapparente aux distributions par exemple qui permettent en quelque sorte deremplacer des inteacutegrales assez difficiles agrave trimballer par une eacutecriture tout agrave fait sympathique et desproprieacuteteacutes addition soustraction distributiviteacute qui rappellent la maternelle supeacuterieure Ce qui convientbien aux physiciens qui me ressemblent

I Tenseurs et eacutequations de Maxwell

I1 Rappels

Comme en eacutelectromagneacutetisme lrsquoinduction eacutelectrique D est le pheacutenomegravene geacuteneacutereacute par le champeacutelectrique E consideacutereacute agrave lrsquointeacuterieur du mateacuteriau Ce milieu est deacutetermineacute par la constante physique Il sepeut que les lignes drsquoinductions eacutelectriques D soient laquo concentreacutees raquo agrave lrsquointeacuterieur du mateacuteriau et que Echamp eacutelectrique soit tregraves nettement modifieacute agrave lrsquoexteacuterieur La quantiteacute drsquoeacutenergie par contre nrsquoest pasmodifieacutee Il faut donc utiliser en ce cas

Les flux conservatifs

Objet de deux autres articles

page 2 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

Flux et reflux ndash cas de la divergence ndash suite

et

flux et reflux conservatif ndash suite

I2 Eacuteleacutement diffeacuterentiel de distance relativiste

En relativiteacute un eacuteleacutement diffeacuterentiel drsquoespace ou de distance est dssup2

dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2

Les coordonneacutees espace-temps sont x y z jct

j nombre complexe avec jsup2 = -1c Vitesse des ondes eacutelectromagneacutetiques dans le vide

I3 Note explicative pour un eacutetudiant

Je voudrai rajouter ceci pour Adrien eacutetudiant en preacuteparation aux concours des grandes eacutecoles que cettelaquo eacutequation raquo laisse dubitatif Dans le cas classique ougrave les vitesses les forces gravitationnelles sont faiblespar rapport aux forces geacuteneacutereacutees par exemple par une charge eacutelectrique ou une onde eacutelectromagneacutetiquealors

Un petit eacuteleacutement de distance dans lrsquoespace srsquoexprime par

dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2

Qui est la geacuteneacuteralisation de Pythagore en 3D si lrsquoon veut ()

Quand les forces ou les effets laquo relativistes raquo srsquoexpriment plus fort alors nous introduisons un termecorrectif agrave la variation de distance ndash Ce terme est additionneacute en valeur imaginaire ndash Et commedrsquohabitude nous faisons les calculs en imaginaire puis nous laquo projetons raquo sur les valeurs reacuteelles quandnous avons besoin de faire une mesure qui correspond agrave une laquo reacutealiteacute raquo physique abordable Dans ce casce sera le carreacute de la variation de correction de distance espace temps est

dusup2 = (jcdt)(jcdt) = ndash csup2dtsup2

Donc

dssup2relativiste = dssup2classique ndash csup2dtsup2

Ce qui explique que crsquoest lrsquoespace qui change et donc les ondes eacutelectromagneacutetiques qui se baladent nrsquoy

page 3 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

voient que du feu et laquo croient raquo toujours aller tout droit Elles se deacuteplacent alors sur une courbecurviligne qui nrsquoest plus une droite toujours agrave la vitesse c Je paraphrase et cela agrave un but peacutedagogiqueDrsquoailleurs il est probable que je me relise bien plus tard et que je me comprenne mieux ce baratin que leseacutequations ci-dessus

Nous avons donc la correction en distance

du = jcdtdrsquoougravedusup2 = ndash csup2dtsup2

I4Tenseurs de Maxwell

Voici les deux tenseurs drsquoordre deux antisymeacutetriques permettant de retrouver les eacutequations de Maxwell

0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3

jcD1 jcD2 jcD3 0

0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3

jc E1 jc E2 jc E3 0

Proprieacuteteacutes

Comme beaucoup de tenseurs deacutecrivant des pheacutenomegravenes physiques ils possegravedent certaines reacutegulariteacutes

1 Antisymeacutetriques Les coefficients lignes-colonnes sont eacutegaux aux colonnes-lignes Aij = -Aji

2 La diagonale est eacutegale agrave 0 Aii = 0

3 Drsquoordre deux car la moitieacute des termes peuvent se retrouver en inversant le signe de lrsquoautre moitieacuteLe tenseur semble drsquoordre quatre mais nous ne posseacutedons que deux ensembles indeacutependants

I5 Formules geacuteneacuterales tensorielles dans MKSA

Les coordonneacutees de J sont

page 4 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

J1 J2 J3 J4 = jc

I51 Nous retrouvons 1 et 2 avec

i

j

j

page 5 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

i

j

I52 Nous retrouvons 3 et 4 avec

i

page 6 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

j

I6 Eacutequations de Maxwell

1 Variables des Eacutequations de Maxwell

Densiteacute de charges eacutelectriques Coulombm3H Champ magneacutetiqueB Induction magneacutetiqueE Champ eacutelectrique VoltsmD Induction eacutelectriqueJ Densiteacute de courant

2 Eacutequations Maxwell dans le systegraveme MKSA Giorgi(Megravetre Kilogramme Seconde Ampegravere)

D = EB = micro H

page 7 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

1 rot B = micro Et + micro Jrot B = (1csup2)Et + micro Jrot H = Et + Jrot H = Dt + J

2 div E = div D =

3 rot E = -Bt4 div B = 0

3 Rappel Maxwell par le systegraveme mixte de Gauss

1 rot H = 1c Dt + 4parac J

2 div D = 4para

3 rot E = ndash 1c Bt

4 div B = 0

4 DEacuteMONTRONS I3 1

Ji = j=1j=4 Gijxj

Calcul du premier eacuteleacutement de J

J1 = j=1j=4 G1jxj

J1 = G11x1 + G12x2+ G13x3+ G14x4

J1 = 0x1 + H3x2 ndash H2x3 - jc D1jctJ1 = H3x2 ndash H2x3 - D1tEt par deacutefinition du rotationnelJ1 = rotx1H - D1t

Drsquoougrave

page 8 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

CQFD pour la premiegravere eacutequation

Une deacutemonstration similaire montrerait que

rotx2H = J2 + D2trotx3H = J3 + D3t

Drsquoougrave

rotH = J + Dt

Calcul du quatriegraveme terme de J

J4 = j=1j=4 G4jxj

J4 = G41x1 + G42x2+ G43x3+ G44x4

J4 = jcD1x1 + jcD2x2+ jcD3x3+ 0J4 = jc [ D1x1 + D2x2+ D3x3 ]Et par deacutefinition de la divergence J4 = jc div D

et

J4= jcjc = jc div D

CQFD pour la deuxiegraveme eacutequation

5 Deacutemonstration du I3 2

A faire

page 9 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

i

j

page 10 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash

II Champs eacutelectromagneacutetique par deacuteplacement de reacutefeacuterentiel

Si le reacutefeacuterentiel Rrsquo se deacuteplace agrave la vitesse V par rapport agrave celui drsquoorigine ou de mesure R alors

Elsquo = E + V BBlsquo = B

Crsquoest agrave dire que le champ eacutelectrique E est modifieacute par la vitesse relative V qui agit par le produit vectorielde lrsquoinduction magneacutetique B Lrsquoinduction magneacutetique B est inchangeacutee

______________________

III Proprieacuteteacutes dieacutelectrique drsquoun cristal

Les milieux cristallins sont en geacuteneacuteral anisotropes M Voigt est le concepteur de ce type de calculsComparons lrsquoinduction eacutelectrique D et le champ eacutelectrique E en un point drsquoun milieu isotrope et un autreanisotrope

Anisotrope Milieu qui ne possegravede pas les mecircme proprieacuteteacutes physiques quand on change de direction

Milieu Isotrope

D = E

Lrsquoinduction eacutelectrique D est de mecircme direction que le champ eacutelectrique E

Milieu Anisotrope

Di = j=1j=3 i

j Ej

Di srsquoexprime dans un espace de dimension 3

Lrsquoinduction eacutelectrique D dans la direction i deacutepend des caracteacuteristiques fixeacutees par ij et des impacts des

page 11 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

champs eacutelectriques Ej dans les autres directions j

ij est un tenseur drsquoordre 2

______________________

IV Tenseur de rotation de autour de lrsquoaxe j=1 ou Ox

1 0 00 cos sin 0 -sin cos

Le vecteur OM(x y z) tourne drsquoun angle autour de lrsquoaxe j=1 ou OX

OXrsquo = ex

OYrsquo = cos()ey + sin()ez

OZrsquo = -sin()ey + cos()ez

1 0 0 ex0 cos sin cos()ey + sin()ez0 -sin cos -sin()ey + cos()ez Il y a un 1 dans ce tenseur selon la reacutefeacuterence 1 Ceci est surement une coquille dans le livre car il nrsquoy aaucune raison qursquoil y ait une contribution de lrsquoaxe x dans ceux de y et z puisque le tenseur tourne autourde cet axe x Je me permets donc de corriger avec toute la modestie qursquoil faut cette erreur Avec mesrespects et toute mon admiration dus aux physiciens eacutemeacuterites M De Broglie et M Angot

V ANNEXE Cas des ondes gravitationnelles ndash expeacuterience Virgo 6

6 Cet article qui mrsquoa demandeacute beaucoup de travail nrsquoest pas en lecture pour les non abonneacutes Il sera en teacuteleacutechargement pour une modique somme degraves queje lrsquoaurai termineacute mdashmdash- Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles ndash Article Nanotechinnov

Adrien je ne sais pas si tu y as compris quelque chose Mais peut-ecirctre qursquoavec les explications delrsquoexpeacuterience Virgo cela eacuteclairera quelques calculs

Lrsquoonde gravitationnelle se propage comme une onde plane sur le Michelson et change lrsquoespace du bras

page 12 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

L1 dans sa premiegravere demi-peacuteriode puis lrsquoespace du bras L2 dans la seconde Sur une peacuteriode drsquoondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffeacuterence de marche entre les deux bras donc

Dm = k(2l2 ndash 2l1)

Lrsquoinfluence de lrsquoonde gravitationnelle sur le trajet laser avant lrsquoentreacutee sur la meacutediatrice nrsquoinfluence pasla figure de diffraction puisque la modification srsquoeffectue sur le faisceau de reacutefeacuterence ndash mecircmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode

Une remarque la correction de temps est hellip imaginaire Et oui drsquoougrave lrsquointeacuterecirct vois-tu de faire les calculsdrsquoonde en exponentielle complexe

ei(wt ndash kr)

plutocirct qursquoen

cos (wt ndash kr)

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

______________________

English Translation

Recalls

I Tensor and Maxwellrsquos equations

II Dielectric properties of a crystal

III Tensor rotation around the axis Ox j = 1 or

Recalls

As in electromagnetism the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials This medium is determined by the physical constant It may be that thelines of electric induction D are laquo concentrated raquo within the material and E electric field is very muchchanged on the outside The amount of energy cons is not changed So use in this case conservativeflows in two other articles here and there

page 13 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

I Tensor and Maxwellrsquos equations

In a differential element of relativity space is ds sup2

dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2

Space-time coordinates are x y z jct

J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum

1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations

0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0

0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0

2 Maxwell equations

density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density

3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)

1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0

4 Maxwell recall the mixed system of Gauss

1 rot H = 1c Dt + 4parac J

2 div D = 4para

page 14 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

3 rot E = ndash 1c Bt

4 div B = 0

5 Tensor in general formulas MKSA

The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc

51 We find 1 and 2 with

Ji = j=1j=4 Gijxj

52 We find 3 and 4 with

Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0

6 Show 5 1See french demo

7 Demonstration of 52

What to do

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

VI Reacutefeacuterences

1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972

2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash

Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010Correction le 23112010 ndash Compleacutement des eacutequations de Maxwell avec les relations H et B et E et D ==gt Apparition des constantes micro et donc 1csup2

_______________________________________________

Article eacutecrit par Jean-Paul Cipria

Powered by TCPDF (wwwtcpdforg)

page 15 15

Page 3: Tenseurs et équations de Maxwell - 10-21- · PDF fileÉquations de Maxwell – Calculs par les Tenseurs. ... Cet article, qui m’a demandé beaucoup de travail, n’est pas en lecture

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

Flux et reflux ndash cas de la divergence ndash suite

et

flux et reflux conservatif ndash suite

I2 Eacuteleacutement diffeacuterentiel de distance relativiste

En relativiteacute un eacuteleacutement diffeacuterentiel drsquoespace ou de distance est dssup2

dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2

Les coordonneacutees espace-temps sont x y z jct

j nombre complexe avec jsup2 = -1c Vitesse des ondes eacutelectromagneacutetiques dans le vide

I3 Note explicative pour un eacutetudiant

Je voudrai rajouter ceci pour Adrien eacutetudiant en preacuteparation aux concours des grandes eacutecoles que cettelaquo eacutequation raquo laisse dubitatif Dans le cas classique ougrave les vitesses les forces gravitationnelles sont faiblespar rapport aux forces geacuteneacutereacutees par exemple par une charge eacutelectrique ou une onde eacutelectromagneacutetiquealors

Un petit eacuteleacutement de distance dans lrsquoespace srsquoexprime par

dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2

Qui est la geacuteneacuteralisation de Pythagore en 3D si lrsquoon veut ()

Quand les forces ou les effets laquo relativistes raquo srsquoexpriment plus fort alors nous introduisons un termecorrectif agrave la variation de distance ndash Ce terme est additionneacute en valeur imaginaire ndash Et commedrsquohabitude nous faisons les calculs en imaginaire puis nous laquo projetons raquo sur les valeurs reacuteelles quandnous avons besoin de faire une mesure qui correspond agrave une laquo reacutealiteacute raquo physique abordable Dans ce casce sera le carreacute de la variation de correction de distance espace temps est

dusup2 = (jcdt)(jcdt) = ndash csup2dtsup2

Donc

dssup2relativiste = dssup2classique ndash csup2dtsup2

Ce qui explique que crsquoest lrsquoespace qui change et donc les ondes eacutelectromagneacutetiques qui se baladent nrsquoy

page 3 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

voient que du feu et laquo croient raquo toujours aller tout droit Elles se deacuteplacent alors sur une courbecurviligne qui nrsquoest plus une droite toujours agrave la vitesse c Je paraphrase et cela agrave un but peacutedagogiqueDrsquoailleurs il est probable que je me relise bien plus tard et que je me comprenne mieux ce baratin que leseacutequations ci-dessus

Nous avons donc la correction en distance

du = jcdtdrsquoougravedusup2 = ndash csup2dtsup2

I4Tenseurs de Maxwell

Voici les deux tenseurs drsquoordre deux antisymeacutetriques permettant de retrouver les eacutequations de Maxwell

0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3

jcD1 jcD2 jcD3 0

0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3

jc E1 jc E2 jc E3 0

Proprieacuteteacutes

Comme beaucoup de tenseurs deacutecrivant des pheacutenomegravenes physiques ils possegravedent certaines reacutegulariteacutes

1 Antisymeacutetriques Les coefficients lignes-colonnes sont eacutegaux aux colonnes-lignes Aij = -Aji

2 La diagonale est eacutegale agrave 0 Aii = 0

3 Drsquoordre deux car la moitieacute des termes peuvent se retrouver en inversant le signe de lrsquoautre moitieacuteLe tenseur semble drsquoordre quatre mais nous ne posseacutedons que deux ensembles indeacutependants

I5 Formules geacuteneacuterales tensorielles dans MKSA

Les coordonneacutees de J sont

page 4 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

J1 J2 J3 J4 = jc

I51 Nous retrouvons 1 et 2 avec

i

j

j

page 5 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

i

j

I52 Nous retrouvons 3 et 4 avec

i

page 6 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

j

I6 Eacutequations de Maxwell

1 Variables des Eacutequations de Maxwell

Densiteacute de charges eacutelectriques Coulombm3H Champ magneacutetiqueB Induction magneacutetiqueE Champ eacutelectrique VoltsmD Induction eacutelectriqueJ Densiteacute de courant

2 Eacutequations Maxwell dans le systegraveme MKSA Giorgi(Megravetre Kilogramme Seconde Ampegravere)

D = EB = micro H

page 7 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

1 rot B = micro Et + micro Jrot B = (1csup2)Et + micro Jrot H = Et + Jrot H = Dt + J

2 div E = div D =

3 rot E = -Bt4 div B = 0

3 Rappel Maxwell par le systegraveme mixte de Gauss

1 rot H = 1c Dt + 4parac J

2 div D = 4para

3 rot E = ndash 1c Bt

4 div B = 0

4 DEacuteMONTRONS I3 1

Ji = j=1j=4 Gijxj

Calcul du premier eacuteleacutement de J

J1 = j=1j=4 G1jxj

J1 = G11x1 + G12x2+ G13x3+ G14x4

J1 = 0x1 + H3x2 ndash H2x3 - jc D1jctJ1 = H3x2 ndash H2x3 - D1tEt par deacutefinition du rotationnelJ1 = rotx1H - D1t

Drsquoougrave

page 8 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

CQFD pour la premiegravere eacutequation

Une deacutemonstration similaire montrerait que

rotx2H = J2 + D2trotx3H = J3 + D3t

Drsquoougrave

rotH = J + Dt

Calcul du quatriegraveme terme de J

J4 = j=1j=4 G4jxj

J4 = G41x1 + G42x2+ G43x3+ G44x4

J4 = jcD1x1 + jcD2x2+ jcD3x3+ 0J4 = jc [ D1x1 + D2x2+ D3x3 ]Et par deacutefinition de la divergence J4 = jc div D

et

J4= jcjc = jc div D

CQFD pour la deuxiegraveme eacutequation

5 Deacutemonstration du I3 2

A faire

page 9 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

i

j

page 10 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash

II Champs eacutelectromagneacutetique par deacuteplacement de reacutefeacuterentiel

Si le reacutefeacuterentiel Rrsquo se deacuteplace agrave la vitesse V par rapport agrave celui drsquoorigine ou de mesure R alors

Elsquo = E + V BBlsquo = B

Crsquoest agrave dire que le champ eacutelectrique E est modifieacute par la vitesse relative V qui agit par le produit vectorielde lrsquoinduction magneacutetique B Lrsquoinduction magneacutetique B est inchangeacutee

______________________

III Proprieacuteteacutes dieacutelectrique drsquoun cristal

Les milieux cristallins sont en geacuteneacuteral anisotropes M Voigt est le concepteur de ce type de calculsComparons lrsquoinduction eacutelectrique D et le champ eacutelectrique E en un point drsquoun milieu isotrope et un autreanisotrope

Anisotrope Milieu qui ne possegravede pas les mecircme proprieacuteteacutes physiques quand on change de direction

Milieu Isotrope

D = E

Lrsquoinduction eacutelectrique D est de mecircme direction que le champ eacutelectrique E

Milieu Anisotrope

Di = j=1j=3 i

j Ej

Di srsquoexprime dans un espace de dimension 3

Lrsquoinduction eacutelectrique D dans la direction i deacutepend des caracteacuteristiques fixeacutees par ij et des impacts des

page 11 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

champs eacutelectriques Ej dans les autres directions j

ij est un tenseur drsquoordre 2

______________________

IV Tenseur de rotation de autour de lrsquoaxe j=1 ou Ox

1 0 00 cos sin 0 -sin cos

Le vecteur OM(x y z) tourne drsquoun angle autour de lrsquoaxe j=1 ou OX

OXrsquo = ex

OYrsquo = cos()ey + sin()ez

OZrsquo = -sin()ey + cos()ez

1 0 0 ex0 cos sin cos()ey + sin()ez0 -sin cos -sin()ey + cos()ez Il y a un 1 dans ce tenseur selon la reacutefeacuterence 1 Ceci est surement une coquille dans le livre car il nrsquoy aaucune raison qursquoil y ait une contribution de lrsquoaxe x dans ceux de y et z puisque le tenseur tourne autourde cet axe x Je me permets donc de corriger avec toute la modestie qursquoil faut cette erreur Avec mesrespects et toute mon admiration dus aux physiciens eacutemeacuterites M De Broglie et M Angot

V ANNEXE Cas des ondes gravitationnelles ndash expeacuterience Virgo 6

6 Cet article qui mrsquoa demandeacute beaucoup de travail nrsquoest pas en lecture pour les non abonneacutes Il sera en teacuteleacutechargement pour une modique somme degraves queje lrsquoaurai termineacute mdashmdash- Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles ndash Article Nanotechinnov

Adrien je ne sais pas si tu y as compris quelque chose Mais peut-ecirctre qursquoavec les explications delrsquoexpeacuterience Virgo cela eacuteclairera quelques calculs

Lrsquoonde gravitationnelle se propage comme une onde plane sur le Michelson et change lrsquoespace du bras

page 12 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

L1 dans sa premiegravere demi-peacuteriode puis lrsquoespace du bras L2 dans la seconde Sur une peacuteriode drsquoondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffeacuterence de marche entre les deux bras donc

Dm = k(2l2 ndash 2l1)

Lrsquoinfluence de lrsquoonde gravitationnelle sur le trajet laser avant lrsquoentreacutee sur la meacutediatrice nrsquoinfluence pasla figure de diffraction puisque la modification srsquoeffectue sur le faisceau de reacutefeacuterence ndash mecircmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode

Une remarque la correction de temps est hellip imaginaire Et oui drsquoougrave lrsquointeacuterecirct vois-tu de faire les calculsdrsquoonde en exponentielle complexe

ei(wt ndash kr)

plutocirct qursquoen

cos (wt ndash kr)

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

______________________

English Translation

Recalls

I Tensor and Maxwellrsquos equations

II Dielectric properties of a crystal

III Tensor rotation around the axis Ox j = 1 or

Recalls

As in electromagnetism the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials This medium is determined by the physical constant It may be that thelines of electric induction D are laquo concentrated raquo within the material and E electric field is very muchchanged on the outside The amount of energy cons is not changed So use in this case conservativeflows in two other articles here and there

page 13 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

I Tensor and Maxwellrsquos equations

In a differential element of relativity space is ds sup2

dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2

Space-time coordinates are x y z jct

J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum

1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations

0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0

0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0

2 Maxwell equations

density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density

3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)

1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0

4 Maxwell recall the mixed system of Gauss

1 rot H = 1c Dt + 4parac J

2 div D = 4para

page 14 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

3 rot E = ndash 1c Bt

4 div B = 0

5 Tensor in general formulas MKSA

The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc

51 We find 1 and 2 with

Ji = j=1j=4 Gijxj

52 We find 3 and 4 with

Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0

6 Show 5 1See french demo

7 Demonstration of 52

What to do

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

VI Reacutefeacuterences

1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972

2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash

Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010Correction le 23112010 ndash Compleacutement des eacutequations de Maxwell avec les relations H et B et E et D ==gt Apparition des constantes micro et donc 1csup2

_______________________________________________

Article eacutecrit par Jean-Paul Cipria

Powered by TCPDF (wwwtcpdforg)

page 15 15

Page 4: Tenseurs et équations de Maxwell - 10-21- · PDF fileÉquations de Maxwell – Calculs par les Tenseurs. ... Cet article, qui m’a demandé beaucoup de travail, n’est pas en lecture

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

voient que du feu et laquo croient raquo toujours aller tout droit Elles se deacuteplacent alors sur une courbecurviligne qui nrsquoest plus une droite toujours agrave la vitesse c Je paraphrase et cela agrave un but peacutedagogiqueDrsquoailleurs il est probable que je me relise bien plus tard et que je me comprenne mieux ce baratin que leseacutequations ci-dessus

Nous avons donc la correction en distance

du = jcdtdrsquoougravedusup2 = ndash csup2dtsup2

I4Tenseurs de Maxwell

Voici les deux tenseurs drsquoordre deux antisymeacutetriques permettant de retrouver les eacutequations de Maxwell

0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3

jcD1 jcD2 jcD3 0

0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3

jc E1 jc E2 jc E3 0

Proprieacuteteacutes

Comme beaucoup de tenseurs deacutecrivant des pheacutenomegravenes physiques ils possegravedent certaines reacutegulariteacutes

1 Antisymeacutetriques Les coefficients lignes-colonnes sont eacutegaux aux colonnes-lignes Aij = -Aji

2 La diagonale est eacutegale agrave 0 Aii = 0

3 Drsquoordre deux car la moitieacute des termes peuvent se retrouver en inversant le signe de lrsquoautre moitieacuteLe tenseur semble drsquoordre quatre mais nous ne posseacutedons que deux ensembles indeacutependants

I5 Formules geacuteneacuterales tensorielles dans MKSA

Les coordonneacutees de J sont

page 4 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

J1 J2 J3 J4 = jc

I51 Nous retrouvons 1 et 2 avec

i

j

j

page 5 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

i

j

I52 Nous retrouvons 3 et 4 avec

i

page 6 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

j

I6 Eacutequations de Maxwell

1 Variables des Eacutequations de Maxwell

Densiteacute de charges eacutelectriques Coulombm3H Champ magneacutetiqueB Induction magneacutetiqueE Champ eacutelectrique VoltsmD Induction eacutelectriqueJ Densiteacute de courant

2 Eacutequations Maxwell dans le systegraveme MKSA Giorgi(Megravetre Kilogramme Seconde Ampegravere)

D = EB = micro H

page 7 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

1 rot B = micro Et + micro Jrot B = (1csup2)Et + micro Jrot H = Et + Jrot H = Dt + J

2 div E = div D =

3 rot E = -Bt4 div B = 0

3 Rappel Maxwell par le systegraveme mixte de Gauss

1 rot H = 1c Dt + 4parac J

2 div D = 4para

3 rot E = ndash 1c Bt

4 div B = 0

4 DEacuteMONTRONS I3 1

Ji = j=1j=4 Gijxj

Calcul du premier eacuteleacutement de J

J1 = j=1j=4 G1jxj

J1 = G11x1 + G12x2+ G13x3+ G14x4

J1 = 0x1 + H3x2 ndash H2x3 - jc D1jctJ1 = H3x2 ndash H2x3 - D1tEt par deacutefinition du rotationnelJ1 = rotx1H - D1t

Drsquoougrave

page 8 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

CQFD pour la premiegravere eacutequation

Une deacutemonstration similaire montrerait que

rotx2H = J2 + D2trotx3H = J3 + D3t

Drsquoougrave

rotH = J + Dt

Calcul du quatriegraveme terme de J

J4 = j=1j=4 G4jxj

J4 = G41x1 + G42x2+ G43x3+ G44x4

J4 = jcD1x1 + jcD2x2+ jcD3x3+ 0J4 = jc [ D1x1 + D2x2+ D3x3 ]Et par deacutefinition de la divergence J4 = jc div D

et

J4= jcjc = jc div D

CQFD pour la deuxiegraveme eacutequation

5 Deacutemonstration du I3 2

A faire

page 9 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

i

j

page 10 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash

II Champs eacutelectromagneacutetique par deacuteplacement de reacutefeacuterentiel

Si le reacutefeacuterentiel Rrsquo se deacuteplace agrave la vitesse V par rapport agrave celui drsquoorigine ou de mesure R alors

Elsquo = E + V BBlsquo = B

Crsquoest agrave dire que le champ eacutelectrique E est modifieacute par la vitesse relative V qui agit par le produit vectorielde lrsquoinduction magneacutetique B Lrsquoinduction magneacutetique B est inchangeacutee

______________________

III Proprieacuteteacutes dieacutelectrique drsquoun cristal

Les milieux cristallins sont en geacuteneacuteral anisotropes M Voigt est le concepteur de ce type de calculsComparons lrsquoinduction eacutelectrique D et le champ eacutelectrique E en un point drsquoun milieu isotrope et un autreanisotrope

Anisotrope Milieu qui ne possegravede pas les mecircme proprieacuteteacutes physiques quand on change de direction

Milieu Isotrope

D = E

Lrsquoinduction eacutelectrique D est de mecircme direction que le champ eacutelectrique E

Milieu Anisotrope

Di = j=1j=3 i

j Ej

Di srsquoexprime dans un espace de dimension 3

Lrsquoinduction eacutelectrique D dans la direction i deacutepend des caracteacuteristiques fixeacutees par ij et des impacts des

page 11 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

champs eacutelectriques Ej dans les autres directions j

ij est un tenseur drsquoordre 2

______________________

IV Tenseur de rotation de autour de lrsquoaxe j=1 ou Ox

1 0 00 cos sin 0 -sin cos

Le vecteur OM(x y z) tourne drsquoun angle autour de lrsquoaxe j=1 ou OX

OXrsquo = ex

OYrsquo = cos()ey + sin()ez

OZrsquo = -sin()ey + cos()ez

1 0 0 ex0 cos sin cos()ey + sin()ez0 -sin cos -sin()ey + cos()ez Il y a un 1 dans ce tenseur selon la reacutefeacuterence 1 Ceci est surement une coquille dans le livre car il nrsquoy aaucune raison qursquoil y ait une contribution de lrsquoaxe x dans ceux de y et z puisque le tenseur tourne autourde cet axe x Je me permets donc de corriger avec toute la modestie qursquoil faut cette erreur Avec mesrespects et toute mon admiration dus aux physiciens eacutemeacuterites M De Broglie et M Angot

V ANNEXE Cas des ondes gravitationnelles ndash expeacuterience Virgo 6

6 Cet article qui mrsquoa demandeacute beaucoup de travail nrsquoest pas en lecture pour les non abonneacutes Il sera en teacuteleacutechargement pour une modique somme degraves queje lrsquoaurai termineacute mdashmdash- Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles ndash Article Nanotechinnov

Adrien je ne sais pas si tu y as compris quelque chose Mais peut-ecirctre qursquoavec les explications delrsquoexpeacuterience Virgo cela eacuteclairera quelques calculs

Lrsquoonde gravitationnelle se propage comme une onde plane sur le Michelson et change lrsquoespace du bras

page 12 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

L1 dans sa premiegravere demi-peacuteriode puis lrsquoespace du bras L2 dans la seconde Sur une peacuteriode drsquoondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffeacuterence de marche entre les deux bras donc

Dm = k(2l2 ndash 2l1)

Lrsquoinfluence de lrsquoonde gravitationnelle sur le trajet laser avant lrsquoentreacutee sur la meacutediatrice nrsquoinfluence pasla figure de diffraction puisque la modification srsquoeffectue sur le faisceau de reacutefeacuterence ndash mecircmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode

Une remarque la correction de temps est hellip imaginaire Et oui drsquoougrave lrsquointeacuterecirct vois-tu de faire les calculsdrsquoonde en exponentielle complexe

ei(wt ndash kr)

plutocirct qursquoen

cos (wt ndash kr)

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

______________________

English Translation

Recalls

I Tensor and Maxwellrsquos equations

II Dielectric properties of a crystal

III Tensor rotation around the axis Ox j = 1 or

Recalls

As in electromagnetism the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials This medium is determined by the physical constant It may be that thelines of electric induction D are laquo concentrated raquo within the material and E electric field is very muchchanged on the outside The amount of energy cons is not changed So use in this case conservativeflows in two other articles here and there

page 13 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

I Tensor and Maxwellrsquos equations

In a differential element of relativity space is ds sup2

dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2

Space-time coordinates are x y z jct

J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum

1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations

0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0

0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0

2 Maxwell equations

density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density

3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)

1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0

4 Maxwell recall the mixed system of Gauss

1 rot H = 1c Dt + 4parac J

2 div D = 4para

page 14 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

3 rot E = ndash 1c Bt

4 div B = 0

5 Tensor in general formulas MKSA

The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc

51 We find 1 and 2 with

Ji = j=1j=4 Gijxj

52 We find 3 and 4 with

Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0

6 Show 5 1See french demo

7 Demonstration of 52

What to do

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

VI Reacutefeacuterences

1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972

2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash

Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010Correction le 23112010 ndash Compleacutement des eacutequations de Maxwell avec les relations H et B et E et D ==gt Apparition des constantes micro et donc 1csup2

_______________________________________________

Article eacutecrit par Jean-Paul Cipria

Powered by TCPDF (wwwtcpdforg)

page 15 15

Page 5: Tenseurs et équations de Maxwell - 10-21- · PDF fileÉquations de Maxwell – Calculs par les Tenseurs. ... Cet article, qui m’a demandé beaucoup de travail, n’est pas en lecture

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

J1 J2 J3 J4 = jc

I51 Nous retrouvons 1 et 2 avec

i

j

j

page 5 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

i

j

I52 Nous retrouvons 3 et 4 avec

i

page 6 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

j

I6 Eacutequations de Maxwell

1 Variables des Eacutequations de Maxwell

Densiteacute de charges eacutelectriques Coulombm3H Champ magneacutetiqueB Induction magneacutetiqueE Champ eacutelectrique VoltsmD Induction eacutelectriqueJ Densiteacute de courant

2 Eacutequations Maxwell dans le systegraveme MKSA Giorgi(Megravetre Kilogramme Seconde Ampegravere)

D = EB = micro H

page 7 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

1 rot B = micro Et + micro Jrot B = (1csup2)Et + micro Jrot H = Et + Jrot H = Dt + J

2 div E = div D =

3 rot E = -Bt4 div B = 0

3 Rappel Maxwell par le systegraveme mixte de Gauss

1 rot H = 1c Dt + 4parac J

2 div D = 4para

3 rot E = ndash 1c Bt

4 div B = 0

4 DEacuteMONTRONS I3 1

Ji = j=1j=4 Gijxj

Calcul du premier eacuteleacutement de J

J1 = j=1j=4 G1jxj

J1 = G11x1 + G12x2+ G13x3+ G14x4

J1 = 0x1 + H3x2 ndash H2x3 - jc D1jctJ1 = H3x2 ndash H2x3 - D1tEt par deacutefinition du rotationnelJ1 = rotx1H - D1t

Drsquoougrave

page 8 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

CQFD pour la premiegravere eacutequation

Une deacutemonstration similaire montrerait que

rotx2H = J2 + D2trotx3H = J3 + D3t

Drsquoougrave

rotH = J + Dt

Calcul du quatriegraveme terme de J

J4 = j=1j=4 G4jxj

J4 = G41x1 + G42x2+ G43x3+ G44x4

J4 = jcD1x1 + jcD2x2+ jcD3x3+ 0J4 = jc [ D1x1 + D2x2+ D3x3 ]Et par deacutefinition de la divergence J4 = jc div D

et

J4= jcjc = jc div D

CQFD pour la deuxiegraveme eacutequation

5 Deacutemonstration du I3 2

A faire

page 9 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

i

j

page 10 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash

II Champs eacutelectromagneacutetique par deacuteplacement de reacutefeacuterentiel

Si le reacutefeacuterentiel Rrsquo se deacuteplace agrave la vitesse V par rapport agrave celui drsquoorigine ou de mesure R alors

Elsquo = E + V BBlsquo = B

Crsquoest agrave dire que le champ eacutelectrique E est modifieacute par la vitesse relative V qui agit par le produit vectorielde lrsquoinduction magneacutetique B Lrsquoinduction magneacutetique B est inchangeacutee

______________________

III Proprieacuteteacutes dieacutelectrique drsquoun cristal

Les milieux cristallins sont en geacuteneacuteral anisotropes M Voigt est le concepteur de ce type de calculsComparons lrsquoinduction eacutelectrique D et le champ eacutelectrique E en un point drsquoun milieu isotrope et un autreanisotrope

Anisotrope Milieu qui ne possegravede pas les mecircme proprieacuteteacutes physiques quand on change de direction

Milieu Isotrope

D = E

Lrsquoinduction eacutelectrique D est de mecircme direction que le champ eacutelectrique E

Milieu Anisotrope

Di = j=1j=3 i

j Ej

Di srsquoexprime dans un espace de dimension 3

Lrsquoinduction eacutelectrique D dans la direction i deacutepend des caracteacuteristiques fixeacutees par ij et des impacts des

page 11 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

champs eacutelectriques Ej dans les autres directions j

ij est un tenseur drsquoordre 2

______________________

IV Tenseur de rotation de autour de lrsquoaxe j=1 ou Ox

1 0 00 cos sin 0 -sin cos

Le vecteur OM(x y z) tourne drsquoun angle autour de lrsquoaxe j=1 ou OX

OXrsquo = ex

OYrsquo = cos()ey + sin()ez

OZrsquo = -sin()ey + cos()ez

1 0 0 ex0 cos sin cos()ey + sin()ez0 -sin cos -sin()ey + cos()ez Il y a un 1 dans ce tenseur selon la reacutefeacuterence 1 Ceci est surement une coquille dans le livre car il nrsquoy aaucune raison qursquoil y ait une contribution de lrsquoaxe x dans ceux de y et z puisque le tenseur tourne autourde cet axe x Je me permets donc de corriger avec toute la modestie qursquoil faut cette erreur Avec mesrespects et toute mon admiration dus aux physiciens eacutemeacuterites M De Broglie et M Angot

V ANNEXE Cas des ondes gravitationnelles ndash expeacuterience Virgo 6

6 Cet article qui mrsquoa demandeacute beaucoup de travail nrsquoest pas en lecture pour les non abonneacutes Il sera en teacuteleacutechargement pour une modique somme degraves queje lrsquoaurai termineacute mdashmdash- Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles ndash Article Nanotechinnov

Adrien je ne sais pas si tu y as compris quelque chose Mais peut-ecirctre qursquoavec les explications delrsquoexpeacuterience Virgo cela eacuteclairera quelques calculs

Lrsquoonde gravitationnelle se propage comme une onde plane sur le Michelson et change lrsquoespace du bras

page 12 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

L1 dans sa premiegravere demi-peacuteriode puis lrsquoespace du bras L2 dans la seconde Sur une peacuteriode drsquoondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffeacuterence de marche entre les deux bras donc

Dm = k(2l2 ndash 2l1)

Lrsquoinfluence de lrsquoonde gravitationnelle sur le trajet laser avant lrsquoentreacutee sur la meacutediatrice nrsquoinfluence pasla figure de diffraction puisque la modification srsquoeffectue sur le faisceau de reacutefeacuterence ndash mecircmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode

Une remarque la correction de temps est hellip imaginaire Et oui drsquoougrave lrsquointeacuterecirct vois-tu de faire les calculsdrsquoonde en exponentielle complexe

ei(wt ndash kr)

plutocirct qursquoen

cos (wt ndash kr)

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

______________________

English Translation

Recalls

I Tensor and Maxwellrsquos equations

II Dielectric properties of a crystal

III Tensor rotation around the axis Ox j = 1 or

Recalls

As in electromagnetism the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials This medium is determined by the physical constant It may be that thelines of electric induction D are laquo concentrated raquo within the material and E electric field is very muchchanged on the outside The amount of energy cons is not changed So use in this case conservativeflows in two other articles here and there

page 13 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

I Tensor and Maxwellrsquos equations

In a differential element of relativity space is ds sup2

dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2

Space-time coordinates are x y z jct

J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum

1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations

0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0

0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0

2 Maxwell equations

density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density

3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)

1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0

4 Maxwell recall the mixed system of Gauss

1 rot H = 1c Dt + 4parac J

2 div D = 4para

page 14 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

3 rot E = ndash 1c Bt

4 div B = 0

5 Tensor in general formulas MKSA

The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc

51 We find 1 and 2 with

Ji = j=1j=4 Gijxj

52 We find 3 and 4 with

Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0

6 Show 5 1See french demo

7 Demonstration of 52

What to do

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

VI Reacutefeacuterences

1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972

2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash

Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010Correction le 23112010 ndash Compleacutement des eacutequations de Maxwell avec les relations H et B et E et D ==gt Apparition des constantes micro et donc 1csup2

_______________________________________________

Article eacutecrit par Jean-Paul Cipria

Powered by TCPDF (wwwtcpdforg)

page 15 15

Page 6: Tenseurs et équations de Maxwell - 10-21- · PDF fileÉquations de Maxwell – Calculs par les Tenseurs. ... Cet article, qui m’a demandé beaucoup de travail, n’est pas en lecture

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

i

j

I52 Nous retrouvons 3 et 4 avec

i

page 6 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

j

I6 Eacutequations de Maxwell

1 Variables des Eacutequations de Maxwell

Densiteacute de charges eacutelectriques Coulombm3H Champ magneacutetiqueB Induction magneacutetiqueE Champ eacutelectrique VoltsmD Induction eacutelectriqueJ Densiteacute de courant

2 Eacutequations Maxwell dans le systegraveme MKSA Giorgi(Megravetre Kilogramme Seconde Ampegravere)

D = EB = micro H

page 7 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

1 rot B = micro Et + micro Jrot B = (1csup2)Et + micro Jrot H = Et + Jrot H = Dt + J

2 div E = div D =

3 rot E = -Bt4 div B = 0

3 Rappel Maxwell par le systegraveme mixte de Gauss

1 rot H = 1c Dt + 4parac J

2 div D = 4para

3 rot E = ndash 1c Bt

4 div B = 0

4 DEacuteMONTRONS I3 1

Ji = j=1j=4 Gijxj

Calcul du premier eacuteleacutement de J

J1 = j=1j=4 G1jxj

J1 = G11x1 + G12x2+ G13x3+ G14x4

J1 = 0x1 + H3x2 ndash H2x3 - jc D1jctJ1 = H3x2 ndash H2x3 - D1tEt par deacutefinition du rotationnelJ1 = rotx1H - D1t

Drsquoougrave

page 8 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

CQFD pour la premiegravere eacutequation

Une deacutemonstration similaire montrerait que

rotx2H = J2 + D2trotx3H = J3 + D3t

Drsquoougrave

rotH = J + Dt

Calcul du quatriegraveme terme de J

J4 = j=1j=4 G4jxj

J4 = G41x1 + G42x2+ G43x3+ G44x4

J4 = jcD1x1 + jcD2x2+ jcD3x3+ 0J4 = jc [ D1x1 + D2x2+ D3x3 ]Et par deacutefinition de la divergence J4 = jc div D

et

J4= jcjc = jc div D

CQFD pour la deuxiegraveme eacutequation

5 Deacutemonstration du I3 2

A faire

page 9 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

i

j

page 10 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash

II Champs eacutelectromagneacutetique par deacuteplacement de reacutefeacuterentiel

Si le reacutefeacuterentiel Rrsquo se deacuteplace agrave la vitesse V par rapport agrave celui drsquoorigine ou de mesure R alors

Elsquo = E + V BBlsquo = B

Crsquoest agrave dire que le champ eacutelectrique E est modifieacute par la vitesse relative V qui agit par le produit vectorielde lrsquoinduction magneacutetique B Lrsquoinduction magneacutetique B est inchangeacutee

______________________

III Proprieacuteteacutes dieacutelectrique drsquoun cristal

Les milieux cristallins sont en geacuteneacuteral anisotropes M Voigt est le concepteur de ce type de calculsComparons lrsquoinduction eacutelectrique D et le champ eacutelectrique E en un point drsquoun milieu isotrope et un autreanisotrope

Anisotrope Milieu qui ne possegravede pas les mecircme proprieacuteteacutes physiques quand on change de direction

Milieu Isotrope

D = E

Lrsquoinduction eacutelectrique D est de mecircme direction que le champ eacutelectrique E

Milieu Anisotrope

Di = j=1j=3 i

j Ej

Di srsquoexprime dans un espace de dimension 3

Lrsquoinduction eacutelectrique D dans la direction i deacutepend des caracteacuteristiques fixeacutees par ij et des impacts des

page 11 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

champs eacutelectriques Ej dans les autres directions j

ij est un tenseur drsquoordre 2

______________________

IV Tenseur de rotation de autour de lrsquoaxe j=1 ou Ox

1 0 00 cos sin 0 -sin cos

Le vecteur OM(x y z) tourne drsquoun angle autour de lrsquoaxe j=1 ou OX

OXrsquo = ex

OYrsquo = cos()ey + sin()ez

OZrsquo = -sin()ey + cos()ez

1 0 0 ex0 cos sin cos()ey + sin()ez0 -sin cos -sin()ey + cos()ez Il y a un 1 dans ce tenseur selon la reacutefeacuterence 1 Ceci est surement une coquille dans le livre car il nrsquoy aaucune raison qursquoil y ait une contribution de lrsquoaxe x dans ceux de y et z puisque le tenseur tourne autourde cet axe x Je me permets donc de corriger avec toute la modestie qursquoil faut cette erreur Avec mesrespects et toute mon admiration dus aux physiciens eacutemeacuterites M De Broglie et M Angot

V ANNEXE Cas des ondes gravitationnelles ndash expeacuterience Virgo 6

6 Cet article qui mrsquoa demandeacute beaucoup de travail nrsquoest pas en lecture pour les non abonneacutes Il sera en teacuteleacutechargement pour une modique somme degraves queje lrsquoaurai termineacute mdashmdash- Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles ndash Article Nanotechinnov

Adrien je ne sais pas si tu y as compris quelque chose Mais peut-ecirctre qursquoavec les explications delrsquoexpeacuterience Virgo cela eacuteclairera quelques calculs

Lrsquoonde gravitationnelle se propage comme une onde plane sur le Michelson et change lrsquoespace du bras

page 12 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

L1 dans sa premiegravere demi-peacuteriode puis lrsquoespace du bras L2 dans la seconde Sur une peacuteriode drsquoondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffeacuterence de marche entre les deux bras donc

Dm = k(2l2 ndash 2l1)

Lrsquoinfluence de lrsquoonde gravitationnelle sur le trajet laser avant lrsquoentreacutee sur la meacutediatrice nrsquoinfluence pasla figure de diffraction puisque la modification srsquoeffectue sur le faisceau de reacutefeacuterence ndash mecircmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode

Une remarque la correction de temps est hellip imaginaire Et oui drsquoougrave lrsquointeacuterecirct vois-tu de faire les calculsdrsquoonde en exponentielle complexe

ei(wt ndash kr)

plutocirct qursquoen

cos (wt ndash kr)

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

______________________

English Translation

Recalls

I Tensor and Maxwellrsquos equations

II Dielectric properties of a crystal

III Tensor rotation around the axis Ox j = 1 or

Recalls

As in electromagnetism the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials This medium is determined by the physical constant It may be that thelines of electric induction D are laquo concentrated raquo within the material and E electric field is very muchchanged on the outside The amount of energy cons is not changed So use in this case conservativeflows in two other articles here and there

page 13 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

I Tensor and Maxwellrsquos equations

In a differential element of relativity space is ds sup2

dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2

Space-time coordinates are x y z jct

J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum

1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations

0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0

0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0

2 Maxwell equations

density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density

3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)

1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0

4 Maxwell recall the mixed system of Gauss

1 rot H = 1c Dt + 4parac J

2 div D = 4para

page 14 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

3 rot E = ndash 1c Bt

4 div B = 0

5 Tensor in general formulas MKSA

The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc

51 We find 1 and 2 with

Ji = j=1j=4 Gijxj

52 We find 3 and 4 with

Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0

6 Show 5 1See french demo

7 Demonstration of 52

What to do

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

VI Reacutefeacuterences

1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972

2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash

Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010Correction le 23112010 ndash Compleacutement des eacutequations de Maxwell avec les relations H et B et E et D ==gt Apparition des constantes micro et donc 1csup2

_______________________________________________

Article eacutecrit par Jean-Paul Cipria

Powered by TCPDF (wwwtcpdforg)

page 15 15

Page 7: Tenseurs et équations de Maxwell - 10-21- · PDF fileÉquations de Maxwell – Calculs par les Tenseurs. ... Cet article, qui m’a demandé beaucoup de travail, n’est pas en lecture

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

j

I6 Eacutequations de Maxwell

1 Variables des Eacutequations de Maxwell

Densiteacute de charges eacutelectriques Coulombm3H Champ magneacutetiqueB Induction magneacutetiqueE Champ eacutelectrique VoltsmD Induction eacutelectriqueJ Densiteacute de courant

2 Eacutequations Maxwell dans le systegraveme MKSA Giorgi(Megravetre Kilogramme Seconde Ampegravere)

D = EB = micro H

page 7 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

1 rot B = micro Et + micro Jrot B = (1csup2)Et + micro Jrot H = Et + Jrot H = Dt + J

2 div E = div D =

3 rot E = -Bt4 div B = 0

3 Rappel Maxwell par le systegraveme mixte de Gauss

1 rot H = 1c Dt + 4parac J

2 div D = 4para

3 rot E = ndash 1c Bt

4 div B = 0

4 DEacuteMONTRONS I3 1

Ji = j=1j=4 Gijxj

Calcul du premier eacuteleacutement de J

J1 = j=1j=4 G1jxj

J1 = G11x1 + G12x2+ G13x3+ G14x4

J1 = 0x1 + H3x2 ndash H2x3 - jc D1jctJ1 = H3x2 ndash H2x3 - D1tEt par deacutefinition du rotationnelJ1 = rotx1H - D1t

Drsquoougrave

page 8 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

CQFD pour la premiegravere eacutequation

Une deacutemonstration similaire montrerait que

rotx2H = J2 + D2trotx3H = J3 + D3t

Drsquoougrave

rotH = J + Dt

Calcul du quatriegraveme terme de J

J4 = j=1j=4 G4jxj

J4 = G41x1 + G42x2+ G43x3+ G44x4

J4 = jcD1x1 + jcD2x2+ jcD3x3+ 0J4 = jc [ D1x1 + D2x2+ D3x3 ]Et par deacutefinition de la divergence J4 = jc div D

et

J4= jcjc = jc div D

CQFD pour la deuxiegraveme eacutequation

5 Deacutemonstration du I3 2

A faire

page 9 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

i

j

page 10 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash

II Champs eacutelectromagneacutetique par deacuteplacement de reacutefeacuterentiel

Si le reacutefeacuterentiel Rrsquo se deacuteplace agrave la vitesse V par rapport agrave celui drsquoorigine ou de mesure R alors

Elsquo = E + V BBlsquo = B

Crsquoest agrave dire que le champ eacutelectrique E est modifieacute par la vitesse relative V qui agit par le produit vectorielde lrsquoinduction magneacutetique B Lrsquoinduction magneacutetique B est inchangeacutee

______________________

III Proprieacuteteacutes dieacutelectrique drsquoun cristal

Les milieux cristallins sont en geacuteneacuteral anisotropes M Voigt est le concepteur de ce type de calculsComparons lrsquoinduction eacutelectrique D et le champ eacutelectrique E en un point drsquoun milieu isotrope et un autreanisotrope

Anisotrope Milieu qui ne possegravede pas les mecircme proprieacuteteacutes physiques quand on change de direction

Milieu Isotrope

D = E

Lrsquoinduction eacutelectrique D est de mecircme direction que le champ eacutelectrique E

Milieu Anisotrope

Di = j=1j=3 i

j Ej

Di srsquoexprime dans un espace de dimension 3

Lrsquoinduction eacutelectrique D dans la direction i deacutepend des caracteacuteristiques fixeacutees par ij et des impacts des

page 11 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

champs eacutelectriques Ej dans les autres directions j

ij est un tenseur drsquoordre 2

______________________

IV Tenseur de rotation de autour de lrsquoaxe j=1 ou Ox

1 0 00 cos sin 0 -sin cos

Le vecteur OM(x y z) tourne drsquoun angle autour de lrsquoaxe j=1 ou OX

OXrsquo = ex

OYrsquo = cos()ey + sin()ez

OZrsquo = -sin()ey + cos()ez

1 0 0 ex0 cos sin cos()ey + sin()ez0 -sin cos -sin()ey + cos()ez Il y a un 1 dans ce tenseur selon la reacutefeacuterence 1 Ceci est surement une coquille dans le livre car il nrsquoy aaucune raison qursquoil y ait une contribution de lrsquoaxe x dans ceux de y et z puisque le tenseur tourne autourde cet axe x Je me permets donc de corriger avec toute la modestie qursquoil faut cette erreur Avec mesrespects et toute mon admiration dus aux physiciens eacutemeacuterites M De Broglie et M Angot

V ANNEXE Cas des ondes gravitationnelles ndash expeacuterience Virgo 6

6 Cet article qui mrsquoa demandeacute beaucoup de travail nrsquoest pas en lecture pour les non abonneacutes Il sera en teacuteleacutechargement pour une modique somme degraves queje lrsquoaurai termineacute mdashmdash- Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles ndash Article Nanotechinnov

Adrien je ne sais pas si tu y as compris quelque chose Mais peut-ecirctre qursquoavec les explications delrsquoexpeacuterience Virgo cela eacuteclairera quelques calculs

Lrsquoonde gravitationnelle se propage comme une onde plane sur le Michelson et change lrsquoespace du bras

page 12 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

L1 dans sa premiegravere demi-peacuteriode puis lrsquoespace du bras L2 dans la seconde Sur une peacuteriode drsquoondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffeacuterence de marche entre les deux bras donc

Dm = k(2l2 ndash 2l1)

Lrsquoinfluence de lrsquoonde gravitationnelle sur le trajet laser avant lrsquoentreacutee sur la meacutediatrice nrsquoinfluence pasla figure de diffraction puisque la modification srsquoeffectue sur le faisceau de reacutefeacuterence ndash mecircmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode

Une remarque la correction de temps est hellip imaginaire Et oui drsquoougrave lrsquointeacuterecirct vois-tu de faire les calculsdrsquoonde en exponentielle complexe

ei(wt ndash kr)

plutocirct qursquoen

cos (wt ndash kr)

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

______________________

English Translation

Recalls

I Tensor and Maxwellrsquos equations

II Dielectric properties of a crystal

III Tensor rotation around the axis Ox j = 1 or

Recalls

As in electromagnetism the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials This medium is determined by the physical constant It may be that thelines of electric induction D are laquo concentrated raquo within the material and E electric field is very muchchanged on the outside The amount of energy cons is not changed So use in this case conservativeflows in two other articles here and there

page 13 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

I Tensor and Maxwellrsquos equations

In a differential element of relativity space is ds sup2

dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2

Space-time coordinates are x y z jct

J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum

1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations

0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0

0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0

2 Maxwell equations

density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density

3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)

1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0

4 Maxwell recall the mixed system of Gauss

1 rot H = 1c Dt + 4parac J

2 div D = 4para

page 14 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

3 rot E = ndash 1c Bt

4 div B = 0

5 Tensor in general formulas MKSA

The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc

51 We find 1 and 2 with

Ji = j=1j=4 Gijxj

52 We find 3 and 4 with

Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0

6 Show 5 1See french demo

7 Demonstration of 52

What to do

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

VI Reacutefeacuterences

1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972

2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash

Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010Correction le 23112010 ndash Compleacutement des eacutequations de Maxwell avec les relations H et B et E et D ==gt Apparition des constantes micro et donc 1csup2

_______________________________________________

Article eacutecrit par Jean-Paul Cipria

Powered by TCPDF (wwwtcpdforg)

page 15 15

Page 8: Tenseurs et équations de Maxwell - 10-21- · PDF fileÉquations de Maxwell – Calculs par les Tenseurs. ... Cet article, qui m’a demandé beaucoup de travail, n’est pas en lecture

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

1 rot B = micro Et + micro Jrot B = (1csup2)Et + micro Jrot H = Et + Jrot H = Dt + J

2 div E = div D =

3 rot E = -Bt4 div B = 0

3 Rappel Maxwell par le systegraveme mixte de Gauss

1 rot H = 1c Dt + 4parac J

2 div D = 4para

3 rot E = ndash 1c Bt

4 div B = 0

4 DEacuteMONTRONS I3 1

Ji = j=1j=4 Gijxj

Calcul du premier eacuteleacutement de J

J1 = j=1j=4 G1jxj

J1 = G11x1 + G12x2+ G13x3+ G14x4

J1 = 0x1 + H3x2 ndash H2x3 - jc D1jctJ1 = H3x2 ndash H2x3 - D1tEt par deacutefinition du rotationnelJ1 = rotx1H - D1t

Drsquoougrave

page 8 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

CQFD pour la premiegravere eacutequation

Une deacutemonstration similaire montrerait que

rotx2H = J2 + D2trotx3H = J3 + D3t

Drsquoougrave

rotH = J + Dt

Calcul du quatriegraveme terme de J

J4 = j=1j=4 G4jxj

J4 = G41x1 + G42x2+ G43x3+ G44x4

J4 = jcD1x1 + jcD2x2+ jcD3x3+ 0J4 = jc [ D1x1 + D2x2+ D3x3 ]Et par deacutefinition de la divergence J4 = jc div D

et

J4= jcjc = jc div D

CQFD pour la deuxiegraveme eacutequation

5 Deacutemonstration du I3 2

A faire

page 9 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

i

j

page 10 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash

II Champs eacutelectromagneacutetique par deacuteplacement de reacutefeacuterentiel

Si le reacutefeacuterentiel Rrsquo se deacuteplace agrave la vitesse V par rapport agrave celui drsquoorigine ou de mesure R alors

Elsquo = E + V BBlsquo = B

Crsquoest agrave dire que le champ eacutelectrique E est modifieacute par la vitesse relative V qui agit par le produit vectorielde lrsquoinduction magneacutetique B Lrsquoinduction magneacutetique B est inchangeacutee

______________________

III Proprieacuteteacutes dieacutelectrique drsquoun cristal

Les milieux cristallins sont en geacuteneacuteral anisotropes M Voigt est le concepteur de ce type de calculsComparons lrsquoinduction eacutelectrique D et le champ eacutelectrique E en un point drsquoun milieu isotrope et un autreanisotrope

Anisotrope Milieu qui ne possegravede pas les mecircme proprieacuteteacutes physiques quand on change de direction

Milieu Isotrope

D = E

Lrsquoinduction eacutelectrique D est de mecircme direction que le champ eacutelectrique E

Milieu Anisotrope

Di = j=1j=3 i

j Ej

Di srsquoexprime dans un espace de dimension 3

Lrsquoinduction eacutelectrique D dans la direction i deacutepend des caracteacuteristiques fixeacutees par ij et des impacts des

page 11 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

champs eacutelectriques Ej dans les autres directions j

ij est un tenseur drsquoordre 2

______________________

IV Tenseur de rotation de autour de lrsquoaxe j=1 ou Ox

1 0 00 cos sin 0 -sin cos

Le vecteur OM(x y z) tourne drsquoun angle autour de lrsquoaxe j=1 ou OX

OXrsquo = ex

OYrsquo = cos()ey + sin()ez

OZrsquo = -sin()ey + cos()ez

1 0 0 ex0 cos sin cos()ey + sin()ez0 -sin cos -sin()ey + cos()ez Il y a un 1 dans ce tenseur selon la reacutefeacuterence 1 Ceci est surement une coquille dans le livre car il nrsquoy aaucune raison qursquoil y ait une contribution de lrsquoaxe x dans ceux de y et z puisque le tenseur tourne autourde cet axe x Je me permets donc de corriger avec toute la modestie qursquoil faut cette erreur Avec mesrespects et toute mon admiration dus aux physiciens eacutemeacuterites M De Broglie et M Angot

V ANNEXE Cas des ondes gravitationnelles ndash expeacuterience Virgo 6

6 Cet article qui mrsquoa demandeacute beaucoup de travail nrsquoest pas en lecture pour les non abonneacutes Il sera en teacuteleacutechargement pour une modique somme degraves queje lrsquoaurai termineacute mdashmdash- Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles ndash Article Nanotechinnov

Adrien je ne sais pas si tu y as compris quelque chose Mais peut-ecirctre qursquoavec les explications delrsquoexpeacuterience Virgo cela eacuteclairera quelques calculs

Lrsquoonde gravitationnelle se propage comme une onde plane sur le Michelson et change lrsquoespace du bras

page 12 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

L1 dans sa premiegravere demi-peacuteriode puis lrsquoespace du bras L2 dans la seconde Sur une peacuteriode drsquoondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffeacuterence de marche entre les deux bras donc

Dm = k(2l2 ndash 2l1)

Lrsquoinfluence de lrsquoonde gravitationnelle sur le trajet laser avant lrsquoentreacutee sur la meacutediatrice nrsquoinfluence pasla figure de diffraction puisque la modification srsquoeffectue sur le faisceau de reacutefeacuterence ndash mecircmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode

Une remarque la correction de temps est hellip imaginaire Et oui drsquoougrave lrsquointeacuterecirct vois-tu de faire les calculsdrsquoonde en exponentielle complexe

ei(wt ndash kr)

plutocirct qursquoen

cos (wt ndash kr)

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

______________________

English Translation

Recalls

I Tensor and Maxwellrsquos equations

II Dielectric properties of a crystal

III Tensor rotation around the axis Ox j = 1 or

Recalls

As in electromagnetism the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials This medium is determined by the physical constant It may be that thelines of electric induction D are laquo concentrated raquo within the material and E electric field is very muchchanged on the outside The amount of energy cons is not changed So use in this case conservativeflows in two other articles here and there

page 13 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

I Tensor and Maxwellrsquos equations

In a differential element of relativity space is ds sup2

dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2

Space-time coordinates are x y z jct

J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum

1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations

0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0

0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0

2 Maxwell equations

density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density

3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)

1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0

4 Maxwell recall the mixed system of Gauss

1 rot H = 1c Dt + 4parac J

2 div D = 4para

page 14 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

3 rot E = ndash 1c Bt

4 div B = 0

5 Tensor in general formulas MKSA

The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc

51 We find 1 and 2 with

Ji = j=1j=4 Gijxj

52 We find 3 and 4 with

Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0

6 Show 5 1See french demo

7 Demonstration of 52

What to do

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

VI Reacutefeacuterences

1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972

2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash

Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010Correction le 23112010 ndash Compleacutement des eacutequations de Maxwell avec les relations H et B et E et D ==gt Apparition des constantes micro et donc 1csup2

_______________________________________________

Article eacutecrit par Jean-Paul Cipria

Powered by TCPDF (wwwtcpdforg)

page 15 15

Page 9: Tenseurs et équations de Maxwell - 10-21- · PDF fileÉquations de Maxwell – Calculs par les Tenseurs. ... Cet article, qui m’a demandé beaucoup de travail, n’est pas en lecture

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

CQFD pour la premiegravere eacutequation

Une deacutemonstration similaire montrerait que

rotx2H = J2 + D2trotx3H = J3 + D3t

Drsquoougrave

rotH = J + Dt

Calcul du quatriegraveme terme de J

J4 = j=1j=4 G4jxj

J4 = G41x1 + G42x2+ G43x3+ G44x4

J4 = jcD1x1 + jcD2x2+ jcD3x3+ 0J4 = jc [ D1x1 + D2x2+ D3x3 ]Et par deacutefinition de la divergence J4 = jc div D

et

J4= jcjc = jc div D

CQFD pour la deuxiegraveme eacutequation

5 Deacutemonstration du I3 2

A faire

page 9 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

i

j

page 10 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash

II Champs eacutelectromagneacutetique par deacuteplacement de reacutefeacuterentiel

Si le reacutefeacuterentiel Rrsquo se deacuteplace agrave la vitesse V par rapport agrave celui drsquoorigine ou de mesure R alors

Elsquo = E + V BBlsquo = B

Crsquoest agrave dire que le champ eacutelectrique E est modifieacute par la vitesse relative V qui agit par le produit vectorielde lrsquoinduction magneacutetique B Lrsquoinduction magneacutetique B est inchangeacutee

______________________

III Proprieacuteteacutes dieacutelectrique drsquoun cristal

Les milieux cristallins sont en geacuteneacuteral anisotropes M Voigt est le concepteur de ce type de calculsComparons lrsquoinduction eacutelectrique D et le champ eacutelectrique E en un point drsquoun milieu isotrope et un autreanisotrope

Anisotrope Milieu qui ne possegravede pas les mecircme proprieacuteteacutes physiques quand on change de direction

Milieu Isotrope

D = E

Lrsquoinduction eacutelectrique D est de mecircme direction que le champ eacutelectrique E

Milieu Anisotrope

Di = j=1j=3 i

j Ej

Di srsquoexprime dans un espace de dimension 3

Lrsquoinduction eacutelectrique D dans la direction i deacutepend des caracteacuteristiques fixeacutees par ij et des impacts des

page 11 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

champs eacutelectriques Ej dans les autres directions j

ij est un tenseur drsquoordre 2

______________________

IV Tenseur de rotation de autour de lrsquoaxe j=1 ou Ox

1 0 00 cos sin 0 -sin cos

Le vecteur OM(x y z) tourne drsquoun angle autour de lrsquoaxe j=1 ou OX

OXrsquo = ex

OYrsquo = cos()ey + sin()ez

OZrsquo = -sin()ey + cos()ez

1 0 0 ex0 cos sin cos()ey + sin()ez0 -sin cos -sin()ey + cos()ez Il y a un 1 dans ce tenseur selon la reacutefeacuterence 1 Ceci est surement une coquille dans le livre car il nrsquoy aaucune raison qursquoil y ait une contribution de lrsquoaxe x dans ceux de y et z puisque le tenseur tourne autourde cet axe x Je me permets donc de corriger avec toute la modestie qursquoil faut cette erreur Avec mesrespects et toute mon admiration dus aux physiciens eacutemeacuterites M De Broglie et M Angot

V ANNEXE Cas des ondes gravitationnelles ndash expeacuterience Virgo 6

6 Cet article qui mrsquoa demandeacute beaucoup de travail nrsquoest pas en lecture pour les non abonneacutes Il sera en teacuteleacutechargement pour une modique somme degraves queje lrsquoaurai termineacute mdashmdash- Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles ndash Article Nanotechinnov

Adrien je ne sais pas si tu y as compris quelque chose Mais peut-ecirctre qursquoavec les explications delrsquoexpeacuterience Virgo cela eacuteclairera quelques calculs

Lrsquoonde gravitationnelle se propage comme une onde plane sur le Michelson et change lrsquoespace du bras

page 12 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

L1 dans sa premiegravere demi-peacuteriode puis lrsquoespace du bras L2 dans la seconde Sur une peacuteriode drsquoondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffeacuterence de marche entre les deux bras donc

Dm = k(2l2 ndash 2l1)

Lrsquoinfluence de lrsquoonde gravitationnelle sur le trajet laser avant lrsquoentreacutee sur la meacutediatrice nrsquoinfluence pasla figure de diffraction puisque la modification srsquoeffectue sur le faisceau de reacutefeacuterence ndash mecircmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode

Une remarque la correction de temps est hellip imaginaire Et oui drsquoougrave lrsquointeacuterecirct vois-tu de faire les calculsdrsquoonde en exponentielle complexe

ei(wt ndash kr)

plutocirct qursquoen

cos (wt ndash kr)

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

______________________

English Translation

Recalls

I Tensor and Maxwellrsquos equations

II Dielectric properties of a crystal

III Tensor rotation around the axis Ox j = 1 or

Recalls

As in electromagnetism the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials This medium is determined by the physical constant It may be that thelines of electric induction D are laquo concentrated raquo within the material and E electric field is very muchchanged on the outside The amount of energy cons is not changed So use in this case conservativeflows in two other articles here and there

page 13 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

I Tensor and Maxwellrsquos equations

In a differential element of relativity space is ds sup2

dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2

Space-time coordinates are x y z jct

J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum

1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations

0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0

0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0

2 Maxwell equations

density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density

3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)

1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0

4 Maxwell recall the mixed system of Gauss

1 rot H = 1c Dt + 4parac J

2 div D = 4para

page 14 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

3 rot E = ndash 1c Bt

4 div B = 0

5 Tensor in general formulas MKSA

The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc

51 We find 1 and 2 with

Ji = j=1j=4 Gijxj

52 We find 3 and 4 with

Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0

6 Show 5 1See french demo

7 Demonstration of 52

What to do

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

VI Reacutefeacuterences

1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972

2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash

Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010Correction le 23112010 ndash Compleacutement des eacutequations de Maxwell avec les relations H et B et E et D ==gt Apparition des constantes micro et donc 1csup2

_______________________________________________

Article eacutecrit par Jean-Paul Cipria

Powered by TCPDF (wwwtcpdforg)

page 15 15

Page 10: Tenseurs et équations de Maxwell - 10-21- · PDF fileÉquations de Maxwell – Calculs par les Tenseurs. ... Cet article, qui m’a demandé beaucoup de travail, n’est pas en lecture

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

i

j

page 10 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash

II Champs eacutelectromagneacutetique par deacuteplacement de reacutefeacuterentiel

Si le reacutefeacuterentiel Rrsquo se deacuteplace agrave la vitesse V par rapport agrave celui drsquoorigine ou de mesure R alors

Elsquo = E + V BBlsquo = B

Crsquoest agrave dire que le champ eacutelectrique E est modifieacute par la vitesse relative V qui agit par le produit vectorielde lrsquoinduction magneacutetique B Lrsquoinduction magneacutetique B est inchangeacutee

______________________

III Proprieacuteteacutes dieacutelectrique drsquoun cristal

Les milieux cristallins sont en geacuteneacuteral anisotropes M Voigt est le concepteur de ce type de calculsComparons lrsquoinduction eacutelectrique D et le champ eacutelectrique E en un point drsquoun milieu isotrope et un autreanisotrope

Anisotrope Milieu qui ne possegravede pas les mecircme proprieacuteteacutes physiques quand on change de direction

Milieu Isotrope

D = E

Lrsquoinduction eacutelectrique D est de mecircme direction que le champ eacutelectrique E

Milieu Anisotrope

Di = j=1j=3 i

j Ej

Di srsquoexprime dans un espace de dimension 3

Lrsquoinduction eacutelectrique D dans la direction i deacutepend des caracteacuteristiques fixeacutees par ij et des impacts des

page 11 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

champs eacutelectriques Ej dans les autres directions j

ij est un tenseur drsquoordre 2

______________________

IV Tenseur de rotation de autour de lrsquoaxe j=1 ou Ox

1 0 00 cos sin 0 -sin cos

Le vecteur OM(x y z) tourne drsquoun angle autour de lrsquoaxe j=1 ou OX

OXrsquo = ex

OYrsquo = cos()ey + sin()ez

OZrsquo = -sin()ey + cos()ez

1 0 0 ex0 cos sin cos()ey + sin()ez0 -sin cos -sin()ey + cos()ez Il y a un 1 dans ce tenseur selon la reacutefeacuterence 1 Ceci est surement une coquille dans le livre car il nrsquoy aaucune raison qursquoil y ait une contribution de lrsquoaxe x dans ceux de y et z puisque le tenseur tourne autourde cet axe x Je me permets donc de corriger avec toute la modestie qursquoil faut cette erreur Avec mesrespects et toute mon admiration dus aux physiciens eacutemeacuterites M De Broglie et M Angot

V ANNEXE Cas des ondes gravitationnelles ndash expeacuterience Virgo 6

6 Cet article qui mrsquoa demandeacute beaucoup de travail nrsquoest pas en lecture pour les non abonneacutes Il sera en teacuteleacutechargement pour une modique somme degraves queje lrsquoaurai termineacute mdashmdash- Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles ndash Article Nanotechinnov

Adrien je ne sais pas si tu y as compris quelque chose Mais peut-ecirctre qursquoavec les explications delrsquoexpeacuterience Virgo cela eacuteclairera quelques calculs

Lrsquoonde gravitationnelle se propage comme une onde plane sur le Michelson et change lrsquoespace du bras

page 12 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

L1 dans sa premiegravere demi-peacuteriode puis lrsquoespace du bras L2 dans la seconde Sur une peacuteriode drsquoondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffeacuterence de marche entre les deux bras donc

Dm = k(2l2 ndash 2l1)

Lrsquoinfluence de lrsquoonde gravitationnelle sur le trajet laser avant lrsquoentreacutee sur la meacutediatrice nrsquoinfluence pasla figure de diffraction puisque la modification srsquoeffectue sur le faisceau de reacutefeacuterence ndash mecircmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode

Une remarque la correction de temps est hellip imaginaire Et oui drsquoougrave lrsquointeacuterecirct vois-tu de faire les calculsdrsquoonde en exponentielle complexe

ei(wt ndash kr)

plutocirct qursquoen

cos (wt ndash kr)

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

______________________

English Translation

Recalls

I Tensor and Maxwellrsquos equations

II Dielectric properties of a crystal

III Tensor rotation around the axis Ox j = 1 or

Recalls

As in electromagnetism the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials This medium is determined by the physical constant It may be that thelines of electric induction D are laquo concentrated raquo within the material and E electric field is very muchchanged on the outside The amount of energy cons is not changed So use in this case conservativeflows in two other articles here and there

page 13 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

I Tensor and Maxwellrsquos equations

In a differential element of relativity space is ds sup2

dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2

Space-time coordinates are x y z jct

J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum

1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations

0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0

0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0

2 Maxwell equations

density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density

3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)

1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0

4 Maxwell recall the mixed system of Gauss

1 rot H = 1c Dt + 4parac J

2 div D = 4para

page 14 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

3 rot E = ndash 1c Bt

4 div B = 0

5 Tensor in general formulas MKSA

The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc

51 We find 1 and 2 with

Ji = j=1j=4 Gijxj

52 We find 3 and 4 with

Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0

6 Show 5 1See french demo

7 Demonstration of 52

What to do

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

VI Reacutefeacuterences

1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972

2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash

Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010Correction le 23112010 ndash Compleacutement des eacutequations de Maxwell avec les relations H et B et E et D ==gt Apparition des constantes micro et donc 1csup2

_______________________________________________

Article eacutecrit par Jean-Paul Cipria

Powered by TCPDF (wwwtcpdforg)

page 15 15

Page 11: Tenseurs et équations de Maxwell - 10-21- · PDF fileÉquations de Maxwell – Calculs par les Tenseurs. ... Cet article, qui m’a demandé beaucoup de travail, n’est pas en lecture

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash

II Champs eacutelectromagneacutetique par deacuteplacement de reacutefeacuterentiel

Si le reacutefeacuterentiel Rrsquo se deacuteplace agrave la vitesse V par rapport agrave celui drsquoorigine ou de mesure R alors

Elsquo = E + V BBlsquo = B

Crsquoest agrave dire que le champ eacutelectrique E est modifieacute par la vitesse relative V qui agit par le produit vectorielde lrsquoinduction magneacutetique B Lrsquoinduction magneacutetique B est inchangeacutee

______________________

III Proprieacuteteacutes dieacutelectrique drsquoun cristal

Les milieux cristallins sont en geacuteneacuteral anisotropes M Voigt est le concepteur de ce type de calculsComparons lrsquoinduction eacutelectrique D et le champ eacutelectrique E en un point drsquoun milieu isotrope et un autreanisotrope

Anisotrope Milieu qui ne possegravede pas les mecircme proprieacuteteacutes physiques quand on change de direction

Milieu Isotrope

D = E

Lrsquoinduction eacutelectrique D est de mecircme direction que le champ eacutelectrique E

Milieu Anisotrope

Di = j=1j=3 i

j Ej

Di srsquoexprime dans un espace de dimension 3

Lrsquoinduction eacutelectrique D dans la direction i deacutepend des caracteacuteristiques fixeacutees par ij et des impacts des

page 11 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

champs eacutelectriques Ej dans les autres directions j

ij est un tenseur drsquoordre 2

______________________

IV Tenseur de rotation de autour de lrsquoaxe j=1 ou Ox

1 0 00 cos sin 0 -sin cos

Le vecteur OM(x y z) tourne drsquoun angle autour de lrsquoaxe j=1 ou OX

OXrsquo = ex

OYrsquo = cos()ey + sin()ez

OZrsquo = -sin()ey + cos()ez

1 0 0 ex0 cos sin cos()ey + sin()ez0 -sin cos -sin()ey + cos()ez Il y a un 1 dans ce tenseur selon la reacutefeacuterence 1 Ceci est surement une coquille dans le livre car il nrsquoy aaucune raison qursquoil y ait une contribution de lrsquoaxe x dans ceux de y et z puisque le tenseur tourne autourde cet axe x Je me permets donc de corriger avec toute la modestie qursquoil faut cette erreur Avec mesrespects et toute mon admiration dus aux physiciens eacutemeacuterites M De Broglie et M Angot

V ANNEXE Cas des ondes gravitationnelles ndash expeacuterience Virgo 6

6 Cet article qui mrsquoa demandeacute beaucoup de travail nrsquoest pas en lecture pour les non abonneacutes Il sera en teacuteleacutechargement pour une modique somme degraves queje lrsquoaurai termineacute mdashmdash- Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles ndash Article Nanotechinnov

Adrien je ne sais pas si tu y as compris quelque chose Mais peut-ecirctre qursquoavec les explications delrsquoexpeacuterience Virgo cela eacuteclairera quelques calculs

Lrsquoonde gravitationnelle se propage comme une onde plane sur le Michelson et change lrsquoespace du bras

page 12 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

L1 dans sa premiegravere demi-peacuteriode puis lrsquoespace du bras L2 dans la seconde Sur une peacuteriode drsquoondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffeacuterence de marche entre les deux bras donc

Dm = k(2l2 ndash 2l1)

Lrsquoinfluence de lrsquoonde gravitationnelle sur le trajet laser avant lrsquoentreacutee sur la meacutediatrice nrsquoinfluence pasla figure de diffraction puisque la modification srsquoeffectue sur le faisceau de reacutefeacuterence ndash mecircmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode

Une remarque la correction de temps est hellip imaginaire Et oui drsquoougrave lrsquointeacuterecirct vois-tu de faire les calculsdrsquoonde en exponentielle complexe

ei(wt ndash kr)

plutocirct qursquoen

cos (wt ndash kr)

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

______________________

English Translation

Recalls

I Tensor and Maxwellrsquos equations

II Dielectric properties of a crystal

III Tensor rotation around the axis Ox j = 1 or

Recalls

As in electromagnetism the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials This medium is determined by the physical constant It may be that thelines of electric induction D are laquo concentrated raquo within the material and E electric field is very muchchanged on the outside The amount of energy cons is not changed So use in this case conservativeflows in two other articles here and there

page 13 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

I Tensor and Maxwellrsquos equations

In a differential element of relativity space is ds sup2

dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2

Space-time coordinates are x y z jct

J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum

1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations

0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0

0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0

2 Maxwell equations

density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density

3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)

1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0

4 Maxwell recall the mixed system of Gauss

1 rot H = 1c Dt + 4parac J

2 div D = 4para

page 14 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

3 rot E = ndash 1c Bt

4 div B = 0

5 Tensor in general formulas MKSA

The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc

51 We find 1 and 2 with

Ji = j=1j=4 Gijxj

52 We find 3 and 4 with

Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0

6 Show 5 1See french demo

7 Demonstration of 52

What to do

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

VI Reacutefeacuterences

1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972

2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash

Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010Correction le 23112010 ndash Compleacutement des eacutequations de Maxwell avec les relations H et B et E et D ==gt Apparition des constantes micro et donc 1csup2

_______________________________________________

Article eacutecrit par Jean-Paul Cipria

Powered by TCPDF (wwwtcpdforg)

page 15 15

Page 12: Tenseurs et équations de Maxwell - 10-21- · PDF fileÉquations de Maxwell – Calculs par les Tenseurs. ... Cet article, qui m’a demandé beaucoup de travail, n’est pas en lecture

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

champs eacutelectriques Ej dans les autres directions j

ij est un tenseur drsquoordre 2

______________________

IV Tenseur de rotation de autour de lrsquoaxe j=1 ou Ox

1 0 00 cos sin 0 -sin cos

Le vecteur OM(x y z) tourne drsquoun angle autour de lrsquoaxe j=1 ou OX

OXrsquo = ex

OYrsquo = cos()ey + sin()ez

OZrsquo = -sin()ey + cos()ez

1 0 0 ex0 cos sin cos()ey + sin()ez0 -sin cos -sin()ey + cos()ez Il y a un 1 dans ce tenseur selon la reacutefeacuterence 1 Ceci est surement une coquille dans le livre car il nrsquoy aaucune raison qursquoil y ait une contribution de lrsquoaxe x dans ceux de y et z puisque le tenseur tourne autourde cet axe x Je me permets donc de corriger avec toute la modestie qursquoil faut cette erreur Avec mesrespects et toute mon admiration dus aux physiciens eacutemeacuterites M De Broglie et M Angot

V ANNEXE Cas des ondes gravitationnelles ndash expeacuterience Virgo 6

6 Cet article qui mrsquoa demandeacute beaucoup de travail nrsquoest pas en lecture pour les non abonneacutes Il sera en teacuteleacutechargement pour une modique somme degraves queje lrsquoaurai termineacute mdashmdash- Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles ndash Article Nanotechinnov

Adrien je ne sais pas si tu y as compris quelque chose Mais peut-ecirctre qursquoavec les explications delrsquoexpeacuterience Virgo cela eacuteclairera quelques calculs

Lrsquoonde gravitationnelle se propage comme une onde plane sur le Michelson et change lrsquoespace du bras

page 12 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

L1 dans sa premiegravere demi-peacuteriode puis lrsquoespace du bras L2 dans la seconde Sur une peacuteriode drsquoondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffeacuterence de marche entre les deux bras donc

Dm = k(2l2 ndash 2l1)

Lrsquoinfluence de lrsquoonde gravitationnelle sur le trajet laser avant lrsquoentreacutee sur la meacutediatrice nrsquoinfluence pasla figure de diffraction puisque la modification srsquoeffectue sur le faisceau de reacutefeacuterence ndash mecircmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode

Une remarque la correction de temps est hellip imaginaire Et oui drsquoougrave lrsquointeacuterecirct vois-tu de faire les calculsdrsquoonde en exponentielle complexe

ei(wt ndash kr)

plutocirct qursquoen

cos (wt ndash kr)

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

______________________

English Translation

Recalls

I Tensor and Maxwellrsquos equations

II Dielectric properties of a crystal

III Tensor rotation around the axis Ox j = 1 or

Recalls

As in electromagnetism the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials This medium is determined by the physical constant It may be that thelines of electric induction D are laquo concentrated raquo within the material and E electric field is very muchchanged on the outside The amount of energy cons is not changed So use in this case conservativeflows in two other articles here and there

page 13 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

I Tensor and Maxwellrsquos equations

In a differential element of relativity space is ds sup2

dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2

Space-time coordinates are x y z jct

J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum

1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations

0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0

0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0

2 Maxwell equations

density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density

3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)

1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0

4 Maxwell recall the mixed system of Gauss

1 rot H = 1c Dt + 4parac J

2 div D = 4para

page 14 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

3 rot E = ndash 1c Bt

4 div B = 0

5 Tensor in general formulas MKSA

The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc

51 We find 1 and 2 with

Ji = j=1j=4 Gijxj

52 We find 3 and 4 with

Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0

6 Show 5 1See french demo

7 Demonstration of 52

What to do

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

VI Reacutefeacuterences

1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972

2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash

Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010Correction le 23112010 ndash Compleacutement des eacutequations de Maxwell avec les relations H et B et E et D ==gt Apparition des constantes micro et donc 1csup2

_______________________________________________

Article eacutecrit par Jean-Paul Cipria

Powered by TCPDF (wwwtcpdforg)

page 15 15

Page 13: Tenseurs et équations de Maxwell - 10-21- · PDF fileÉquations de Maxwell – Calculs par les Tenseurs. ... Cet article, qui m’a demandé beaucoup de travail, n’est pas en lecture

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

L1 dans sa premiegravere demi-peacuteriode puis lrsquoespace du bras L2 dans la seconde Sur une peacuteriode drsquoondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffeacuterence de marche entre les deux bras donc

Dm = k(2l2 ndash 2l1)

Lrsquoinfluence de lrsquoonde gravitationnelle sur le trajet laser avant lrsquoentreacutee sur la meacutediatrice nrsquoinfluence pasla figure de diffraction puisque la modification srsquoeffectue sur le faisceau de reacutefeacuterence ndash mecircmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode

Une remarque la correction de temps est hellip imaginaire Et oui drsquoougrave lrsquointeacuterecirct vois-tu de faire les calculsdrsquoonde en exponentielle complexe

ei(wt ndash kr)

plutocirct qursquoen

cos (wt ndash kr)

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

______________________

English Translation

Recalls

I Tensor and Maxwellrsquos equations

II Dielectric properties of a crystal

III Tensor rotation around the axis Ox j = 1 or

Recalls

As in electromagnetism the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials This medium is determined by the physical constant It may be that thelines of electric induction D are laquo concentrated raquo within the material and E electric field is very muchchanged on the outside The amount of energy cons is not changed So use in this case conservativeflows in two other articles here and there

page 13 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

I Tensor and Maxwellrsquos equations

In a differential element of relativity space is ds sup2

dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2

Space-time coordinates are x y z jct

J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum

1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations

0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0

0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0

2 Maxwell equations

density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density

3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)

1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0

4 Maxwell recall the mixed system of Gauss

1 rot H = 1c Dt + 4parac J

2 div D = 4para

page 14 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

3 rot E = ndash 1c Bt

4 div B = 0

5 Tensor in general formulas MKSA

The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc

51 We find 1 and 2 with

Ji = j=1j=4 Gijxj

52 We find 3 and 4 with

Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0

6 Show 5 1See french demo

7 Demonstration of 52

What to do

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

VI Reacutefeacuterences

1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972

2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash

Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010Correction le 23112010 ndash Compleacutement des eacutequations de Maxwell avec les relations H et B et E et D ==gt Apparition des constantes micro et donc 1csup2

_______________________________________________

Article eacutecrit par Jean-Paul Cipria

Powered by TCPDF (wwwtcpdforg)

page 15 15

Page 14: Tenseurs et équations de Maxwell - 10-21- · PDF fileÉquations de Maxwell – Calculs par les Tenseurs. ... Cet article, qui m’a demandé beaucoup de travail, n’est pas en lecture

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

I Tensor and Maxwellrsquos equations

In a differential element of relativity space is ds sup2

dssup2 = dxsup2 + dysup2 + dzsup2 ndash csup2dtsup2

Space-time coordinates are x y z jct

J complex number with j sup2 = -1C speed of electromagnetic waves in vacuum

1 Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations

0 H3 -H2 -jcD1-H3 0 H1 -jcD2Gij H2 -H1 0 -jcD3jcD1 jcD2 jcD3 0

0 B3 -B2 -jc E1-B3 0 B1 -jc E2Fij B2 -B1 0 -jc E3jc E1 jc E2 jc E3 0

2 Maxwell equations

density of electric chargesH Magnetic fieldB magnetic inductionE electric fieldD Induction ElectricJ Current density

3 Maxwell by MKSA Giorgi (Metre Kilogram Second Ampere)

1 rot H = Dt + J2 div D = 3 rot E = -Bt4 div B = 0

4 Maxwell recall the mixed system of Gauss

1 rot H = 1c Dt + 4parac J

2 div D = 4para

page 14 15

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

3 rot E = ndash 1c Bt

4 div B = 0

5 Tensor in general formulas MKSA

The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc

51 We find 1 and 2 with

Ji = j=1j=4 Gijxj

52 We find 3 and 4 with

Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0

6 Show 5 1See french demo

7 Demonstration of 52

What to do

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

VI Reacutefeacuterences

1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972

2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash

Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010Correction le 23112010 ndash Compleacutement des eacutequations de Maxwell avec les relations H et B et E et D ==gt Apparition des constantes micro et donc 1csup2

_______________________________________________

Article eacutecrit par Jean-Paul Cipria

Powered by TCPDF (wwwtcpdforg)

page 15 15

Page 15: Tenseurs et équations de Maxwell - 10-21- · PDF fileÉquations de Maxwell – Calculs par les Tenseurs. ... Cet article, qui m’a demandé beaucoup de travail, n’est pas en lecture

Tenseurs et eacutequations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliqueacutees - httpwwwnanotechinnovcom

3 rot E = ndash 1c Bt

4 div B = 0

5 Tensor in general formulas MKSA

The coordinates of J are J1 J2 J3 J4 = jc

51 We find 1 and 2 with

Ji = j=1j=4 Gijxj

52 We find 3 and 4 with

Fijxk+ Fkixj+ Fjkxi= 0

6 Show 5 1See french demo

7 Demonstration of 52

What to do

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010

VI Reacutefeacuterences

1 Andreacute Angot ndash Compleacutement de matheacutematiques ndash agrave lrsquousage des ingeacutenieurs de lrsquoeacutelectrotechnique etdes teacuteleacutecommunications ndash Preacuteface de Louis de Broglie ndash Edition Masson amp Cie ndash Sixiegraveme eacutedition ndash1972

2 Flux et reflux3 Flux et Reflux Divergence suite4 Flux et Reflux Conservatif suite5 David Augier et Christophe More ndash Physique PSI PSI 2e anneacutee ndash Collection Meacutethodes et annales ndash

Edition Tec amp doc ndash Lavoisier ndash 20096 Lrsquoexpeacuterience Virgo ndash Mesure drsquoondes gravitationnelles Article Nanotechinnov7 Bibliothegraveque Nanotechinnov Cours de M Cohen Tannoudji - PDF

Jean-Paul Cipria ndash copy octobre 2010Correction le 23112010 ndash Compleacutement des eacutequations de Maxwell avec les relations H et B et E et D ==gt Apparition des constantes micro et donc 1csup2

_______________________________________________

Article eacutecrit par Jean-Paul Cipria

Powered by TCPDF (wwwtcpdforg)

page 15 15


Recommended