Théorème de Thalès – Exercices corrigés
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Sont abordés dans cette fiche :
Exercices 1, 2 et 3 : calculs de longueurs
Exercice 4 : partage d’un segment sans règle graduée
Exercice 5 : problème avec plusieurs configurations de Thalès
Exercice 6 : agrandissement d’une figure, détermination d’un facteur d’agrandissement
Rappel : Théorème de Thalès
Soient deux droites et sécantes en un point .
Soient deux points et de , distincts de .
Soient deux points et de , distincts de .
Si les droites et sont parallèles, alors d’après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :
Trois configurations sont envisageables :
Les points , et sont alignés
dans cet ordre.
Les points , et sont alignés
dans cet ordre.
Les points , et sont alignés
dans cet ordre.
Les points , et sont alignés
dans cet ordre.
Les points , et sont alignés
dans cet ordre.
Les points , et sont alignés
dans cet ordre.
𝐴
𝑀
𝑁
𝐶
𝐵
𝑑
𝑑
𝐴
𝐵
𝐶
𝑁
𝑀
𝑑
𝑑
𝐴
𝑀
𝑁
𝐵
𝐶
𝑑
𝑑
Théorème de Thalès
Exercices corrigés
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Remarque importante :
Les longueurs des côtés du triangle sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle .
Dans les conditions ci-dessus, on peut donc présenter la double égalité sous la forme d’un tableau de
proportionnalité :
Côtés portés
par la droite
Côtés portés
par la droite
Côtés portés
par les droites parallèles
Côtés
du triangle
Côtés
du triangle
A quoi sert le théorème de Thalès ?
à calculer une longueur
à partager un segment et placer sur un segment un point en respectant un rapport donné
à agrandir ou réduire une figure
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Soit la figure ci-contre.
On sait que les droites et sont parallèles
et que , et .
Calculer .
Analysons tout d’abord la figure et récapitulons les
informations fournies par l’énoncé.
D’après la figure ci-contre, les droites et
sont sécantes en .
D’après l’énoncé, on sait par ailleurs que et
sont parallèles.
Enfin, on sait que :
Proposons désormais une correction détaillée, étape par étape, de l’exercice.
1ère
étape : On repère la configuration de Thalès.
On sait que :
1) les droites et sont sécantes en (d’après la figure)
2) les droites et sont parallèles (d’après l’énoncé)
2ème
étape : On précise le théorème auquel on va faire appel.
Donc, d’après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :
𝐴
𝐵 𝐶
𝑀 𝑁
𝐴
𝐵 𝐶
𝑀 𝑁
Exercice 1 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 1
La configuration proposée réfère
donc à la 1ère
configuration
mentionnée dans le rappel. En
effet, les points 𝐴 , 𝑀 et 𝐵 sont
alignés dans cet ordre, et les points
𝐴 , 𝑁 et 𝐶 sont alignés dans cet
ordre.
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3ème
étape : On applique le théorème de Thalès en prenant le soin de bien écrire les égalités.
4ème
étape : On remplace les longueurs connues par leurs mesures respectives, exprimées dans la
même unité.
C’est-à-dire, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives,
5ème
étape : On isole l’égalité utile pour résoudre l’équation.
Par conséquent, on a :
D’où, en utilisant le produit en croix :
6ème
étape : On conclut.
La longueur du segment , notée , est égale à .
Remarques : Dans cet exercice, il n’est précisé aucune unité de longueur donc il n’y a pas lieu d’écrire quelque
unité de longueur que ce soit (cm, m, km…). Sinon, ce serait une erreur ! On voit donc bien là l’importance de
lire attentivement l’énoncé et la figure, puisque l’un comme l’autre peuvent imposer une unité de longueur et
par conséquent induire un certain résultat.
Sur la figure ci-contre, on a noté différentes longueurs connues. On sait
par ailleurs que les droites et sont parallèles.
1- Calculer .
2- En déduire la longueur du segment .
𝐸
𝐼
𝑆
𝑂
𝐵
𝑚
𝑚
𝑚
Exercice 2 (2 questions) Niveau : facile
Il faut toujours
veiller à écrire une
fraction sous sa
forme
irréductible.
La mesure de la
longueur 𝐴𝐵 « tombe
juste » (il s’agit d’un
nombre décimal), donc
on peut aussi écrire :
𝐴𝐵 ,
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1-
D’après la figure, on sait que les droites et sont sécantes en .
On sait par ailleurs, d’après l’énoncé, que les droites et sont parallèles.
Donc, d’après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :
C’est-à-dire, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives,
D’où l’égalité :
A l’aide d’un produit en croix, on obtient donc que :
La longueur du segment , notée , est égale à mètres.
2-
donc . D’où, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives,
l’égalité suivante : .
Par conséquent, .
Le segment mesure 6 mètres.
Remarque : Dans cet exercice, l’unité de longueur est commune à tous les segments puisqu’il s’agit du mètre.
Il ne faut jamais oublier d’exprimer chacune des mesures dans la même unité afin de ne pas fausser les calculs.
Correction de l’exercice 2
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Dans les deux cas suivants, les droites et sont parallèles. Calculer la longueur .
Cas n° 1 :
Cas n° 2 :
Cas n°1 :
D’après la figure, les droites et sont sécantes en .
On sait par ailleurs, d’après l’énoncé, que les droites et sont parallèles.
Donc, d’après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :
C’est-à-dire, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives,
D’où l’égalité :
A l’aide d’un produit en croix, on obtient donc que :
La longueur est égale à .
Cas n°2 :
D’après la figure, les droites et sont sécantes en .
𝐴
𝐵 𝐶
𝑁
𝑀
𝑥
𝐴
𝐶 𝐵
𝑁
𝑀
𝑥
Exercice 3 (2 questions) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 3
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On sait par ailleurs, d’après l’énoncé, que les droites et sont parallèles.
Donc, d’après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :
C’est-à-dire, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives,
En effet, .
D’où l’égalité :
A l’aide d’un produit en croix, on obtient donc que :
Résolvons l’équation .
⏟
équivaut à ⏟
, c’est-à-dire .
D’où : .
Ainsi, .
La longueur est égale à , .
Tracer un segment . Placer le point sur tel que , sans règle graduée.
Traçons un segment puis plaçons le point sur tel que , sans règle graduée.
Attention ! Il ne faut
pas oublier les
parenthèses.
𝑘 𝐴 𝐵 𝑘 𝐴 𝑘 𝐵
Pour supprimer les parenthèses, on utilise
la distributivité de la multiplication sur
l’addition :
Exercice 4 (1 question) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 4
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1- Commençons par tracer un segment de longueur quelconque.
2- Traçons désormais une demi-droite , que nous allons graduer régulièrement à l’aide du compas, de
sorte à obtenir segments de longueur identique.
3- Plaçons dorénavant les points et sur la
demi-droite tels que et .
4- Traçons maintenant la droite parallèle à
et passant par . Cette droite coupe le
segment en un point que nous
appellerons . Il s’agit du point recherché.
Quelques explications pour bien comprendre :
Les droites et sont sécantes en . D’autre part, par construction, les droites et sont
parallèles. Toutes les conditions sont par conséquent réunies pour pouvoir appliquer le théorème de Thalès.
D’après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :
𝐴 𝐵
𝐴 𝐵
𝑥
𝐴 𝐵
𝑥
𝐴 𝐵
𝑥
𝑁
𝐶
𝐴 𝐵
𝑥
𝑁
𝐶
𝑀
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Or, par construction, on a l’égalité suivante :
C’est-à-dire :
Par conséquent, on obtient que :
C’est-à-dire :
Il en résulte, après un produit en croix, que :
On a donc bien placé le point tel que .
est un trapèze de bases et et de centre . On appelle J le point de concours des droites et
. Comparer les rapports de longueurs
et
.
est un trapèze de bases et et de centre . On appelle J le point de concours des droites et
. Commençons par tracer la figure.
Exercice 5 (1 question) Niveau : difficile
Correction de l’exercice 5
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1ère
étape : Cherchons à identifier le rapport de longueurs
.
D’une part, par construction, les droites et sont sécantes en .
D’autre part, comme est un trapèze de bases et , les droites et sont parallèles.
Par conséquent, d’après le théorème de Thalès, on a la double égalité suivante :
2ème
étape : Cherchons à identifier le rapport de longueurs
.
D’une part, par construction, est le centre du trapèze donc est le point d’intersection des diagonales
et . Autrement dit, les droites et sont sécantes en .
D’autre part, comme est un trapèze de bases et , les droites et sont parallèles.
Par conséquent, d’après le théorème de Thalès, on a la double égalité suivante :
3ème
étape : Comparons les rapports de longueurs
et
.
D’après ce qui précède, on a :
et
On a donc en particulier :
et
Il s’ensuit que :
𝐽
𝐴 𝐵
𝐷 𝐶
𝐼
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1- Pourquoi le triangle ci-contre est-il un
agrandissement du triangle ?
2- Déterminer le facteur d’agrandissement.
Rappel : Agrandissement ou réduction d’une figure
Une figure est une RÉDUCTION ou un AGRANDISSEMENT d’une autre figure :
si les angles de ont les mêmes mesures que ceux de
ou si toutes les longueurs de la figure sont proportionnelles aux longueurs de la figure
Le FACTEUR de réduction ou d’agrandissement correspond au coefficient de proportionnalité .
Si , on a un agrandissement.
Si , on a une réduction.
Remarque : Lorsque est une réduction ou un agrandissement de , et sont dites SEMBLABLES.
1- Montrons que le triangle est un agrandissement du triangle .
1ère
démonstration possible :
D’une part, et , donc
D’autre part, d’après le codage de la figure, les triangles
et sont respectivement rectangles en et , donc
.
Enfin, les droites et sont toutes les deux
perpendiculaires à une même droite, la droite , donc les
droites et sont parallèles entre elles. Les angles
et sont alors correspondants. Donc .
𝐶
𝑅 𝑈
𝑂 𝐿
𝐶
𝑅 𝑈
𝑂 𝐿
Exercice 6 (2 questions) Niveau : facile
Correction de l’exercice 6
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En résumé, les triangles et sont semblables puisqu’ils ont les mêmes mesures d’angles. Autrement
dit, le triangle est un agrandissement du triangle .
2ème
démonstration possible :
Propriété :
Soient deux droites et sécantes en un point . Si et sont deux points de , distincts de , si
et sont deux points de , distincts de , et si les droites et sont parallèles, alors le triangle
est une réduction ou un agrandissement du triangle .
D’une part, les droites et sont sécantes en .
D’autre part, et .
Enfin, d’après le codage de la figure, les droites et sont toutes deux perpendiculaires à une même
droite, la droite donc les droites et sont parallèles entre elles.
Par conséquent, le triangle est un agrandissement du triangle .
2- Déterminons le facteur d’agrandissement.
D’après la question précédente, le triangle est un agrandissement du triangle . Donc les longueurs de
sont proportionnelles aux longueurs de . D’après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :
Or, d’après la figure, et . Donc :
Par un produit en croix, on a :
Par conséquent, le triangle est un agrandissement du triangle par le facteur d’agrandissement .