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20-Oct-14
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Modélisation
économétrique et prévision
économique
Introduction
Une prévision est l’interprétation dans le futur d’une série d’observations effectuées à des dates fixes.
Ces observations correspondent aux enregistrements des quantités de consommation ou de commandes de certains produits et sont généralement exprimées en effectifs ou en unités de mesures quelconques.
On les appelle séries temporelles ou chronolgiques.
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• La Prévision économique est l'estimation,
généralement par des modèles et méthodes
économétriques, des valeurs actuelles ou futures
de grandeurs économiques.
• La prévision économique est toujours incertaine, et
aux estimations des valeurs futures sont toujours
associés des intervalles de confiance.
• L'incertitude sur les décisions politiques, les chocs
économiques (et les réactions en chaîne qui en
découlent) et l'ampleur des cycles économiques
rend l'exercice de prévision périlleux.
1. Pourquoi faire des prévisions ?
2. Un survol des techniques de prévision
3. Les étapes fondamentales de la prévision
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En gestion de production les prévisions
sont utiles pour :
– La gestion des stocks afin de savoir quand et
de combien approvisionner;
– Le calcul des besoins externes, afin d’établir
des règles de production;
– L’évaluation des charges des différents
postes de travail au sein de l’entreprise.
• Les données de consommations sont
généralement enregistrées sur des intervalles
de temps réguliers, semaines, mois, années,...
que l’on appelle des périodes.
• Une fois enregistrée, une série chronologique
est représentée sous forme de graphique. On
détermine alors à quel type de tendance celle-ci
obéit afin de déterminer la méthode de prévision
à appliquer.
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Un survol des techniques de prévision
• La production d’électricité dans un pays
Les ventes d’un produit
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Production de briques
Production de bière en Australie
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Graphique saisonnier
Nuage de points
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• Effet King Kong
Les étapes de la modélisation économétrique
Elles peuvent se résumer par les points suivants :
– Enoncé de la théorie ou des hypothèses
– Spécification du modèle mathématique de la théorie
– Spécification du modèle statistique ou économétrique
– Obtention des données
– Estimation des paramètres du modèle économétrique et interprétation des résultats
– Tests des hypothèses
– Prévision ou prédiction / Politique économique
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Exemple : Théorie keynésienne de la consommation
• Etape 1 : Enoncé de la théorie :
Selon Keynes, “La loi psychologique fondamentale […] c’est qu’en moyenne et la plupart du temps, les hommes tendent a accroitre leur consommation a mesure que leur revenu croit, mais non d’une quantité aussi grande que l’accroissement du revenu”.
En bref, Keynes supposait que la propension marginale a consommer (PmC), c’est-à-dire le taux de variation de la consommation correspondent à une unité (par exemple un euro) de variation de revenu, est supérieure à zéro mais inferieure à 1.
L’hypothèse à tester est donc 0<PmC<1.
Etape 2 : Spécification du modèle mathématique de la
consommation : On peut considérer une relation linéaire
• R : variable explicative ou indépendante
• C : variable à expliquer ou dépendante
• la relation (1) est dite exacte ou déterministe
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• Etape 3 : Spécification du modèle économétrique de consommation :
Si l'on pouvait obtenir des données sur la dépense de consommation et sur le revenu disponible d'un échantillon par exemple de 500 ménages français, et si on portait ces données sur un graphique, on s'attend à obtenir un nuage de points plutôt qu'une relation simple et exacte (càd une droite parfaite). L'économètre incorpore un terme d'erreur pour permettre l'inexactitude:
u : pertubation ou terme d’erreur
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• Etape 4 : L’obtention des
données : Par exemple, on
dispose de la dépense de
consommation trimestrielle
des ménages en France
depuis 2000 et du produit
intérieur brut sur la même
période, comme mesure du
revenu global.
• Etape 5 : Estimation du
modèle économétrique :
les méthodes d’estimation
seront présentées dans
les chapitres suivants. En
utilisant la méthode des
moindres carrées, on
obtient la fonction de
consommation estimée
suivante :
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• Etape 6 : Les tests d'hypothèses :
Dans cet exemple, la PmC est d’environ 0,75. On peut aussi utiliser l'induction statistique : construction d'intervalle de confiance pour les paramètres.
• Etape 7 : Prévision ou prédiction :
Si le modèle choisi ne rejette pas la théorie ou l'hypothèse sous-jacente, on peut l'utiliser pour prédire les valeurs futures de la variable dépendante sur la base de la valeur future de la variable explicative.
Classification des techniques de prévision
Les méthodes sont regroupées en catégories, de la
façon suivante:
– les approches basées sur le jugement, ou informelles;
– les méthodes extrapolatives ou univariées;
– les méthodes explicatives ou causales;
– les méthodes systémiques et économétriques.
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Classification des techniques de prévision
Afin de pouvoir mieux comprendre la portée de ces
méthodes sont mentionnés un exemple typique
d'application de chaque méthode ainsi que l'horizon (ou
les horizons) de prévision recommandé pour l'utilisation
de chaque méthode (TCT: très court terme, CT: court
terme, MT: Moyen terme, LT: long terme).
Les méthodes peuvent être combinées. C'est d'autant
plus pertinent de recourir aux combinaisons lorsque les
méthodes sont jugées complémentaires et qu'il existe
une grande incertitude sur le meilleur modèle à
employer.
Les méthodes informelles
Les méthodes informelles ou de jugement (judgemental)
sont très répandues dans le monde de l'entreprise.
Plus généralement, elles sont particulièrement utiles
dans toutes les applications caractérisées par une
information quantitative déficiente (données non
mesurables, peu fiables ou trop peu nombreuses) alors
qu'un certain nombre de connaissances, d'informations
qualitatives sont disponibles.
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Principales méthodes informelles:
• Réunions d'experts
• Planification, politique de prix (évolution des ventes, du
budget promotionnel); horizon: CT,MT, LT
• Confrontation des forces des ventes (sales force
composite). Exemple: évolution des ventes pour
l'ensemble d'une firme qui vend différents produits);
horizon: CT ou MT
• Développements de scénarios. Ex: déchets produits par
une firme, une région; horizon: MT ou LT
• Approche Delphi. Variables qualitatives, planification,
politique de prix; horizon: CT, MT, LT
Les méthodes extrapolatives
• Les méthodes extrapolatives utilisent les observations
quantitatives du passé de la variable pour prédire son
futur. Autrement dit: ωt = (Y0,...,Yt − 2,Yt − 1,Yt).
• Elles sont utilisées principalement pour la prévision à
court terme ainsi que lorsque des variables explicatives
ne sont pas disponibles ou manquent de fiabilité.
• Elles permettent notamment de modéliser l’inertie propre
à de nombreuses variables économiques.
• Des informations contextuelles concernant le
phénomène étudié permettent en général d'améliorer
l'application des méthodes extrapolatives.
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Principales méthodes extrapolatives ou univariées
• Prévision naïve. Phénomène incertain à prévoir (ex:
prévision du cours d'une action); horizon : TCT ;
• Lissage exponentiel (simple, double, adaptatif, amorti,
etc.). Séries courtes, de nature industrielle,
microéconomique, de fréquence mensuelle ou
trimestrielle (ex: production du secteur textile au cours
des trois prochains mois); horizon : TCT / CT ;
• Courbes de croissance (régression linéaire, logistique,
Gompertz, etc.). Séries annuelles, peu cycliques, assez
régulières(ex: cycle de vie d'un produit); horizon: MT /
LT;
Les méthodes les plus courantes sont :
1) Méthodes des moyennes mobiles. Un certain nombre n de périodes étant fixé, les prévisions correspondent à la moyenne des n périodes antérieures;
2) Méthode de lissage exponentiel. C’est une méthode qui prend en compte la prévision de la période antérieure. La prévision pour la période n est une moyenne pondérée de la prévision et de la valeur réelle de consommation à la période n − 1;
3) Méthode de la droite de régression linéaire. Dans ce cas la courbe des prévisions est la droite de régression linéaire des consommations réelles (variable Y ) sur le temps (variable X).
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Méthode des moyennes mobiles
• Son principe est simple : un nombre n de périodes étant choisi, on remplace chaque valeur par la moyenne de cette valeur et des n − 1 valeurs la précédant.
• Son avantage est qu’elle atténue les fluctuations brutales des consommations tout en préservant la tendance générale de la courbe.
• Toutefois lorsque n est trop grand, cette méthode a l’inconvénient de cacher les éventuels changements de tendance survenus au cours du temps.
• Exemple : Une usine
a enregistré sa
consommation en m3
de bois sur les 12
mois de l’année et a
obtenu la série
chronologique
suivante.
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Il est préférable de représenter ces deux séries de données
sur un même graphique.
Année Consommation
Yi Somme (n=3)
Moyenne mobile (n=3)
1995 4 NA NA
1996 6 NA NA
1997 5 NA NA 1998 3 4+6+5=15 15/3 = 5
1999 7 2000 NA
Moyenne mobile - Exemple
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Année Consommation
Yi Somme (n=3)
Moyenne mobile (n=3)
1995 4 NA NA
1996 6 NA NA
1997 5 NA NA 1998 3 4+6+5=15 15/3 = 5
1999 7 6+5+3=14 14/3=4 2/3 2000 NA
Moyenne mobile - Exemple
Moyenne mobile - Exemple
Année Consommation
Yi Somme (n=3)
Moyenne mobile (n=3)
1995 4 NA NA
1996 6 NA NA
1997 5 NA NA 1998 3 4+6+5=15 15/3=5.0
1999 7 6+5+3=14 14/3=4.7 2000 NA 5+3+7=15 15/3=5.0
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Moyenne mobile - Exemple
95 96 97 98 99 00 Année
Consommation
2
4
6
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Valeur
actuelle
Prévision
Méthode de lissage exponentiel
• Notons Dn la valeur réelle de la consommation enregistrée pour la période n et Pn la valeur de la prévision pour cette période.
• La valeur de Pn est égale à la valeur Pn−1 à laquelle on ajoute ”une partie” de l’´ecart Dn−1 − Pn−1. Cet partie dépend d’un coefficient multiplicateur compris entre 0 et 1, appelé coefficient de lissage que l’on choisit à l’avance.
Pn = Pn−1 + (Dn−1 − Pn−1) .
• On peut aussi définir cette prévision en disant que Pn est la moyenne pondérée de Dn−1 et de Pn−1 en affectant à la première valeur le poids et à la seconde, le poids 1 − . On a alors l’expression équivalente :
Pn = Dn−1 + (1 − )Pn−1 .
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• On convient que la première valeur d’estimation P1 est toujours une moyenne mobile. (Toute autre valeur pourrait être choisie pourvue qu’elle estime la valeur réelle avec une faible erreur).
• Sur l’exemple précédent, la période 1 correspondra au troisième mois avec P1 = 581.
• Choisissons par exemple = 0, 2.
• On a ensuite :
P2 = D1+(1− α)P1 = 0, 2×567+0, 8×581 = 578, 2
puis
P3 = D2+(1− α)P2 = 0, 2 × 765 + 0, 8 × 578, 2 = 615, 56.
Les valeurs arrondies à l’unité sont alors :
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• Les données effectives et les prévisions
par lissage exponentiel sont représentées
dans le graphique suivant.
• Ces courbes montrent que le lissage
exponentiel peut parfois atténuer très
fortement les fluctuations observées dans
la réalité.
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• Plus le coefficient de lissage est grand, plus on
tient compte des estimations récentes.
• Plus précisément, l’influence d’un résultat
antérieur sur le calcul de la prévision décroît
exponentiellement au cours du temps. La
méthode tient son nom de cette propriété.
• Le choix du coefficient de lissage est arbitraire.
Dans la pratique on retient celui qui minimise
l’erreur de prévision.
Pt = Pt-1 + (At-1 - Pt-1)
Année Consom.
Prévision P t ( α = 0.10)
20082008 180180 175.00 (175.00 (connueconnue))
20092009 168168 175.00 + 175.00 + 00.10(180 .10(180 -- 175.00) = 175.50175.00) = 175.50
20102010 159159 175.50 + 175.50 + 00.10(168 .10(168 -- 175.50) = 174.75175.50) = 174.75
20112011 175175 174.75 + 174.75 + 00.10(159 .10(159 -- 174.75) = 173.18174.75) = 173.18
20122012 190190 173.18 + 173.18 + 00.10(175 .10(175 -- 173.18) = 173.36173.18) = 173.36
20132013 NANA 173.36173.36 + + 00.10.10(190(190 -- 173.36173.36) = 175.02) = 175.02
175.00 +175.00 +
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Poids
Interval t-1
Interval t-2
(1 - )
Interval t-3
(1 - )2
= 0,10
= 0,90
10% 9% 8,1%
90% 9% 0,9%
Pt = At - 1 + (1- ) At - 2 + (1- )2At - 3 + ...
Les typologies de séries chronologiques
L’observation de la représentation graphique des historiques de consommation peut montrer l’existence de divers types de séries chronologiques :
– Lorsque les consommations varient de façon peu irrégulière en maintenant une allure horizontale, on parle de série constante ;
– Lorsque les consommations varient périodiquement de façon très significative, on parle de série cyclique. Mais si la période du cycle est annuelle, on parle alors de série saisonnière ;
– Lorsque les consommations varient en prenant une allure générale croissante ou décroissante, on parle de série à tendance.
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PRÉVISIONS PAR LA MÉTHODE DES
MOINDRES CARRÉES
Cette méthode utilise généralement trois valeurs
pour estimer la prévision des consommations
d’une période à venir :
Pn = TnCnRn
avec Pn = prévision des consommations,
Tn = tendance de la période ;
Cn = coefficient cyclique ;
Rn = valeur résiduelle de la période.
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Calcul de la tendance
La méthode des moindres carrés est celle qui
permet déterminer, grâce à des formules
mathématiques, l’équation linéaire de la droite
de tendance ou droite des moindres carrés :
Tn = an + b
• Pour la représenter sur un repère orthonormé,
on place sur l’axe des abscisse X les périodes
dans le temps (années, trimestres, mois…) et
sur l’axe des ordonnée Y les consommations en
nombre d’unités.
• Le calcul des valeurs de a et b se fait par
l’application des formules suivantes :
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N
na
N
Db
nnN
DnnDNa
n
nn
22
Avec:
N = nombre total de périodes de la série;
n = indice de la période;
Dn = consommation de la période n.
Ci-dessous nous avons les prévisions de consommation
de farine dans une boulangerie :
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Nous obtenons le résultat suivant :
La représentation graphique du résultat est la
suivante :
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• Les données {(xi, yi), i = 1, . . . , n} peuvent être
représentées par un nuage de n points dans le plan (x,
y), le diagramme de dispersion.
• Le centre de gravité de ce nuage peut se calculer
facilement : il s’agit du point de coordonnées
n
i
i
n
i
i yn
xn
yx
11
1,
1,
• Rechercher une relation entre les variables X et Y
revient à rechercher une droite qui s’ajuste le mieux
possible à ce nuage de points. Parmi toutes les droites
possibles, on retient celle qui jouit d’une propriété
remarquable : c’est celle qui rend minimale la somme
des carrés des écarts des valeurs observées yi à la
droite
yi = axi+b.
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• Si i représente cet écart, appelé aussi résidu, le principe
des moindres carrés ordinaire (MCO) consiste à choisir
les valeurs de a et de b qui minimisent
n
i
ii
n
i
i baxyE
1
2
1
2
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Evaluation de la qualité de la régression
• Pour mesurer la qualité de l’approximation d’un nuage
(xi, yi) i=1..n par sa droite des moindres carrés (aprés
tout on peut toujours faire passer une droite par
n’importe quel nuage !), on calcule son coefficient de
corrélation linéaire défini par
• rxy c’est un nombre compris entre −1 et +1, qui vaut +1
(resp. −1) si les points du nuage sont exactement
alignés sur une droite de pente a positive (resp.
négative).
• Ce coefficient est une mesure la dispersion du nuage.
yx
xyxy
ssr
cov
y. de moyenne laest 1
x;de moyenne laest 1
y; de ecart typel'est 1
x;de ecart typel'est 1
1cov
1
1
1
2
1
2
1
N
i
i
N
i
i
N
i
iy
N
i
ix
i
N
i
ixy
yN
y
xN
x
yyN
xxN
yyxxN
xy
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• On considère que l’approximation d’un nuage par sa
droite des moindres carrés est de bonne qualité lorsque
|rxy| est proche de 1 (donc rxy proche de +1 ou de −1) et
de médiocre qualité lorsque |rxy| est proche de 0.
• En pratique on estime souvent la régression acceptable
lorsque
2
3xyr
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• Parfois on préfère calculer non plus rxy mais son carré
noté R2 = rxyrxy car on a la relation suivante :
qui exprime que la dispersion totale de Y (DT) est égale
à la dispersion autour de la régression (DA) plus la
dispersion due à la régression (DR).
Or on peut vérifier que l’on a R2 = DR / DT , c’est-`a-dire
que le R2 représente la part de la dispersion totale de Y
que l’on peut expliquer par la régression.
• Ainsi si l’on obtient une valeur de R2 = 0,86 (et donc r =
0,92), cela signifie que la modélisation par la droite des
moindres carrés explique 86% de la variation totale, ce
qui est un très bon résultat.
n
i
n
ii
n
iiii yyyy yy
1 1
2
1
2
2
• Cependant, même avec un R2 excellent (proche de 1),
notre modèle linéaire peut encore être rejeté.
• En effet, pour être assuré que les formules données (a
et b) fournissent de bonnes estimations de la pente et
de l’ordonnée à l’origine de la droite de régression, il est
nécessaire que les résidus i soient indépendant et
distribués aléatoirement autour de 0.
• Ces hypothèses ne sont pas forcément faciles à vérifier.
Un tracé des résidus et un examen de leur histogramme
permet de détecter une anomalie grossière mais il faut
faire appel à des techniques statistiques plus élaborées
pour tester réellement ces hypothèses (ce que nous ne
ferons pas ici).
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Prévisions
• Si y = ax +b est la droite des moindres carrés d’un
nuage de points (xi, yi)i=1..n , on appelle valeurs prédites
de y par le modèle les valeurs yi := axi +b.
• On utilise notamment ces valeurs pour faire des
prévisions : si les xi sont des dates successives, x1 < .. .
< xn, la valeur prédite pour y à une date future xn+1 est
simplement yn+1 = axn+1+ b.
• Notons cependant que s’il peut sembler naturel d’utiliser
une valeur prédite pour compléter les données initiales
dans l’intervalle des valeurs de X, on se gardera de
prédire sans de multiples précautions supplémentaires
des valeurs de Y en dehors de cet intervalle. En effet il
se peut que la relation entre X et Y ne soit pas du tout
linéaire mais qu’elle nous soit apparue comme telle à tort
parce que les xi sont proches les uns des autres.
Remarques
• Dans le calcul de la droite des moindres carrés, les
variables X et Y ne jouent pas des rôles
interchangeables. La variable dépendante Y prend,
comme son nom l’indique, des valeurs qui dépendent de
celles de X.
• On appelle donnée éloignée un point du nuage situé à
l’écart. S’il est éloigné dans la direction de y, il lui
correspondra un important résidu. S’il est éloigné dans la
direction des x, il peut présenter un très petit résidu et en
même temps avoir une grande influence sur les valeurs
de a et b trouvées.
• On appelle donnée influente un point du nuage dont
l’oubli conduirait à une droite des moindres carrés bien
différente. C’est souvent le cas des données éloignées
dans la direction des x.
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Exercice 1
• Pour étudier les problèmes de malnutrition dans un pays
asiatique, on a calculé le poids moyen par âge d’un
échantillon de 2400 enfants répartis uniformément en 12
classes d’âge. On a obtenu les données suivantes :
âge: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12
poids : 4,3; 5,1; 5,7; 6,3; 6,8; 7,1; 7,2; 7,2; 7,2; 7,2; 7,5; 7,8
• 1. Un statisticien pressé a fait calculer par sa machine la
droite des moindres carrés pour ces données et a trouvé
la relation poid = 4, 88 + 0, 267age. S’est-il trompé ?
• 2. A votre avis, quelle est la pertinence de son modèle ?
• 3. Calculer puis tracer les résidus. Vous constaterez que
deux résidus successifs sont beaucoup plus souvent du
même signe que du signe opposé (ceci n’est pas
compatible avec le fait qu’ils soient supposés
indépendants).
Exercice 2
• L’une des rares lois que l’on a pu mettre en évidence en
Ecologie est la relation existant entre le nombre N
d’espèces présentes dans un habitat donné (bien
délimité) et la surface S de cet habitat. On considère
généralement que cette relation est de la forme
N = ASB (2.1)
où A et B sont deux constantes.
• Afin de vérifier cette relation pour les plantes présentes
dans une prairie, on a effectué les mesures indiquées
dans le tableau suivant.
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Nous avons représenté sur la deuxième figure les valeurs
de N* = ln(N) en fonction de celles de S* = ln(S).
On voit que la régression linéaire de N* sur S* a donné :
N* = 0, 2199 S* + 1, 7432 avec R2 = 0, 9684 (2.2)
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1.Pourquoi n’a-t-on pas effectué directement une
régression linéaire de N sur S ? Expliquez l’intérêt de
cette transformation des données.
2. Que représente R2 et que peut-on déduire de sa valeur ?
3. A partir de la régression linéaire (2.2), calculer les
constantes A et B de la relation (2.1).
4. Quelle valeur N* ce modèle linéaire prédit-il pour S* =
ln(128) ? En comparant avec la valeur de S* observée,
calculer le résidu en ce point.
5. Quelle valeur N* ce modèle linéaire prédit-il pour S* =
ln(100) ? En déduire le nombre d’espèces pouvant
coexister dans un habitat de surface S = 100, selon ce
modèle.
Calcul du coefficient cyclique Lorsque l’observation d’une série chronologique révèle
des variations cycliques, il est judicieux de prendre en considération ces dernières dans le calcul des prévisions. Ces variations peuvent êtres justifiées par :
– La saison : (climat, rentrée scolaire, vacances scolaires…). Un vendeur de glace observera une augmentation de ses ventes durant les saisons sèches. De même, le vendeur de fournitures scolaires observera un pic de ses ventes durant les périodes de rentrée scolaire.
– Un planning de maintenance : (fréquences de révision…) durant la période de révision d’un équipement, la consommation des pièces de rechange gérés dans les magasins subira une augmentation ;
– Un événement du calendrier : (fête religieuse, fête nationale, fête des mères, journée internationale de la femme…) les besoins en textile augmentent durant ces périodes de l’année.
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Le coefficient cyclique est une valeur numérique et estimée en pourcentage. Il correspond à une variation cyclique croissante ou décroissante d’une série chronologique.
Lorsqu’il représente une variation observée une fois tous les ans, il porte le nom de coefficient saisonnier.
Lorsqu’une saison couvre plusieurs périodes de la série chronologique, un coefficient unique peut être calculé pour la saison. Il porte alors le nom de coefficient de saisonnalité et s’applique uniquement sur les périodes correspondantes de cette saison.
Traditionnellement, les calculs des coefficients
saisonniers Cs1 et de saisonnalité Cs2 se font
par l’application des formules suivantes :
Cs1 = Consommation de la période /
Consommation moyenne de la série de données
Cs2 = Consommation moyenne de la saison /
Consommation moyenne de la série de données
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Dans le tableau ci-dessus, les saisons ont été découpées
en trimestres.
L’indice de saisonnalité du trimestre s’appliquera
uniquement aux mois dudit trimestre.
Calculons ici les prévisions des mois de février et avril de
l’an n+1. L’indice du mois de février est 12+2=14. Celui du
mois d’avril est 12+4=16
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Prévision du mois de février n+1= P14 =
(0,402x14 + 70,303) x 96%
• Prévision du mois d’avril n+1 = P16 =
(0,402x16 + 70,303) x 110%
Utilisation du facteur résiduel
Comme son nom l’indique, le facteur résiduel représente l’influence que pourrait avoir sur les consommations à venir l’ensemble des évènements inhabituels voire totalement imprévisibles.
Il pourrait s’agir d’une catastrophe humanitaire, d’une grève, de l’arrivée de nouveaux concurrents qui d’une manière générale provoquerait un hausse ou une baisse de la demande par rapport aux prévisions.
Le facteur résiduel est lui aussi exprimé en pourcentage. Son estimation et sa publication sont faits par des organismes spécialisés à l’approche de l’événement perturbateur. Par conséquent, il ne peut être utilisé au moment du calcul des prévisions. Il est pris en compte plus tard lors de l’ajustement des prévisions, afin de les ramener à des proportions raisonnables par rapport à la situation vécue.
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PRÉVISIONS PAR LA MÉTHODE DE
CONSOLIDATION DES BESOINS PRÉVISIONNELS
Pour un système en réseau dans lequel il y a un magasin principal qui ravitaille un nombre habituel de magasin secondaires, les prévisions des consommations se font au niveau de chaque magasin secondaire suivant les méthodes courantes.
Une fois les besoins prévisionnels exprimés, ils sont tous envoyés au magasin principal.
La somme des besoins prévisionnels des magasins secondaires représente alors les prévisions de consommation pour le magasin principal.
Le tableau ci dessous montre un exemple de
consolidation des besoins prévisionnels.
20-Oct-14
40
LES METHODES QUANTITATIVES DE PREVISIONS
Une série chronologique se décompose en trois éléments de base:
• la tendance à long terme ou trend. Elle correspond à un mouvement conjoncturel non saisonnier qui traduit l'évolution à long terme de la variable mesurée. On y ajoute parfois un mouvement cyclique de la périodicité et d'amplitude variables qui fluctuent autour de ce trend.
• les variations saisonnières sont des fluctuations périodiques qui se produisent régulièrement tous les mois, trimestres ou années. Par exemple, dans le cas des ventes mensuelles d'un produit, des coefficients saisonniers peuvent être définis pour chacun des mois de l'année.
• Les aléas ou variations résiduelles ou accidentelles sont des fluctuations de type aléatoires, en général de faible amplitude. Elles peuvent traduire des ventes exceptionnelles ou des éléments perturbateurs non permanents.
Les trois composantes d'une série chronologique
Tendance àlong terme
Composantesaisonnièrepériodique
Ventesréeles
temps
amplitudes desobservations
20-Oct-14
41
Les modèles additif et multiplicatif
• La décomposition d'une série temporelle
en trois composantes principales doit
permettre de bâtir un modèle théorique
proche des réalisations passées.
• Pour cela, il faut définir le type de modèle
représentatif de l'évolution de la chronique
observée.
Le modèle additif
Soient:
• dt mouvement extra-saisonnier;
• ct mouvement saisonnier périodique et
indépendant de dt;
• et mouvement accidentel de faible
amplitude.
20-Oct-14
42
• Le schéma additif consiste à représenter une chronique par la sommation de trois composantes indépendantes.
Les valeurs observées sont égales à
dt + ct + et
• L'évolution de la tendance dt et de la saisonnalité des ventes ct sont tout d'abord définis.
Les aléas sont déduits de la différence entre les ventes réalisées et la somme (dt + ct).
Le modèle additif
S t
S t
Tendance àlong terme
temps
amplitudes desobservations
t t + 1 période
S t constant
20-Oct-14
43
Le modèle additif
Dans un modèle de type additif, les différentes composantes sont exprimées de la façon suivante :
1. Le mouvement conjoncturel
• Il correspond à la tendance à long terme de la série. Il permet d’analyser l’évolution fondamentale de la chronique, qui dans certains cas, pourrait avoir une forme hyperbolique ou exponentielle.
• L’hypothèse d’un trend linéaire est représentée par l’équation d’une droite temporelle : dt = t + β.
• La variable t exprime le temps en mois. La tendance dt peut évidemment être croissante ou décroissante suivant la valeur du coefficient .
2. Le mouvement saisonnier ct se rajoute chaque mois a la tendance.
3. Le mouvement accidentel est représenté par la différence entre les ventes réelles et le modèle défini par l’expression (dt + ct).
Cet écart suit fréquemment une loi normale de moyenne nulle.
La série peut donc se représenter par l’équation suivante :
yt = t +β + ct +et
pour chaque mois t.
20-Oct-14
44
Le modèle multiplicatif
• Ce schéma consiste à représenter une chronique
par la sommation de la tendance, de la
composante accidentelle et de la composante
saisonnière, qui cette fois-ci dépend de la
tendance.
Les ventes observées sont égales à dt + ct + et.
• La composante saisonnière est proportionnelle a
la tendance des observations, ce qui permet
d’écrire ct = t dt .
• Ce qui donne l’équation suivante :
yt = dt + t dt + aléas = dt (1+t) + aléas
Le modèle multiplicatif
S t
S t fonction de
la tendance
Tendance à
long terme
S t
temps
amplitudes des
observations
t t + 1 période
20-Oct-14
45
ESTIMATION DU MOUVEMENT EXTRA-SAISONNIER
Un mouvement extra-saisonnier de type linéaire est estimé à l'aide d'une technique de lissage, la méthode de la moyenne mobile.
La moyenne mobile est définie chaque mois par la moyenne arithmétique des valeurs mesurées.
Elle évolue à chaque nouvelle donnée introduite.
Méthode de résolution
• Un historique des ventes établi sur quatre
ans de 2005 à 2008, est pris comme
exemple.
• Le calcul débute en prenant comme
première moyenne mobile la moyenne
des ventes de l'année 2005.
• Puis, à partir de l'année 2006, les
moyennes de chaque mois sont
calculées.
20-Oct-14
46
• Soient yi les ventes observées et M0 la
moyenne arithmétique des ventes de l'année
2005.
• Les moyennes mobiles pour chacun des mois
suivants sont égales à:
• Pour le mois k :
2
101
yyM
3
2102
yyyM
1
...210
k
yyyyM kk
• La moyenne mobile d'une mois k peut
s'exprimer en fonction de la moyenne
mobile du mois précédent par la formule :
• La suite des moyennes mobiles M0, M1,
M2, M3, … permet de décrire la tendance
des ventes à long terme.
1
1
k
yMkM kkk
20-Oct-14
47
• Pour "affiner" la courbe des moyennes
mobiles, un lissage par la méthode des
moindres carrés est effectué.
• La courbe des ventes peut aussi
directement être lissée avec cette
méthode.
On pose :
• i = numéro du mois (les abscisses xi);
• yi = valeurs à lisser (moyennes mobiles ou ventes);
• Xi = , avec = moyenne de la suite des mois observés;
• Yi = , avec = moyenne des valeurs observées sur la période.
L'objectif est d'expliquer de façon linéaire les valeurs de yi par la variable temps.
xxi x
yyi y
20-Oct-14
48
Les formules suivantes sont appliquées :
où
• cov(xy) = covariance des (xy);
• var(x) = variance des (x) .
La droite des moindres carrés est représentée
par l'équation .
)var(
)cov(
2 x
xy
X
YX
ii
iii
xy
idi
• Pour tester la qualité de l'ajustement linéaire, le
coefficient de détermination R2 est défini :
avec
• Plus des valeurs de R2 proches de 1, plus
l'ajustement sera correct. Des valeurs inférieures
à 0,50 prouveront une mauvaise qualité de la
représentation linéaire.
2R
)var(
)cov(
2 y
xy
Y
YX
ii
iii
20-Oct-14
49
Estimation des coefficients saisonniers
• Les coefficients saisonniers ct sont définis
pour chaque mois de la période étudiée.
• En prenant la période de 2006 à 2008 qui
correspond à 36 mois de ventes, on
détermine la différence entre les ventes yi
observées et l'ordonnée de la tendance
di = (i + ) pour le mois i.
• L'écart saisonnier des ventes par rapport au
trend linéaire est obtenu de cette manière.
• Si le modèle additif convient, il est
possible d'appliquer pour chaque mois une
valeur moyenne ct de saisonnalité des
ventes.
• Ces coefficients mensuels sont retenus
pour établir des prévisions de ventes.
20-Oct-14
50
Prévisions de ventes
• Un modèle théorique est construit d'après
les coefficients définis précédemment.
• Puis en partant de la fin de l'année 2005, il
est possible d'établir des prévisions de
ventes pour les années 2006 à 2008.
• Pour tester la validité du modèle utilisé, les
écarts i entre les prévisions et les
réalisations connues sont calculés.
• Une erreur moyenne est égale à
étant le nombre de degrés de liberté,
=(nombre de mois - 2).
• Il est possible de vérifier que la loi de
distribution de ces écarts suit une loi
normale.
• Les prévisions obtenues par le calcul
seront à situer dans une fourchette de 2
pour un intervalle de confiance à 95%.
,
2i
20-Oct-14
51
Le modèle exponentiel de Holt et Winters
• C'est le modèle le plus utilisé dans les entreprises
pour l'établissement des prévisions de ventes à
court terme (six mois à un an).
• Il a comme avantage de se recalculer de façon
itérative après chaque nouvelle réalisation.
• Les réajustements sont successivement effectués
en fonction des écarts entre prévision et
réalisation, ce qui explique l'adaptation du modèle
de façon exponentielle.
• Ce modèle fait intervenir un nouveau facteur qui
est la variation dans le temps de la tendance des
ventes, i.
Principe du modèle
• Une prévision de vente est établie pour le
mois i. Elle est comparée un mois plus
tard à la réalisation effective de yi.
• Les coefficients saisonniers ci sont alors
estimés. Pour cela, dans le cas d'un
modèle additif, on effectue la même
démarche qu'au paragraphe Estimation
des coefficients saisonniers.
20-Oct-14
52
• Dans le cas d'un modèle multiplicatif, la
saisonnalité varie proportionnellement à la
tendance di.
Comme l'on a vu précédemment, il est
noté que :
yi = di +idi = di(1+i)
et en posant
i = (1+i) = coefficients saisonniers,
il en est déduit
yi = idi.
• Les coefficients saisonniers des deux
dernières années sont calculés d'après la
formule
• Ils se définissent par le rapport entre
chacune des ventes réelles et l'ordonnée
de la droite de tendance de chaque mois.
• On détermine alors un coefficient mensuel
moyen en vérifiant auparavant si les
phénomènes saisonniers ont une
périodicité annuelle.
i
iid
y
20-Oct-14
53
• Puis le modèle est initialisé avec une valeur de tendance d0 et une valeur de variation de tendance 0.
• Les valeurs de la tendance rectifiée d1 sont définis à l'aide de la relation suivante:
di = di-1 + i-1 + ai.
• i est l’écart entre la prévision et la réalisation du mois i.
• Holt et Winters ont détermine une autre formule :
i = yi – ci(di-1 + i-1) ,
yi étant les ventes du mois i.
• Le coefficient de lissage a permet de pondérer l’écart constaté entre prévisions et réalisations.
• Il varie en fonction d’éléments externes non quantifiables, comme la connaissance du marché et du produit.
• Il permet aussi de rendre l’influence du passé récent plus ou moins forte pour l’établissement de nouvelles prévisions.
• Il est généralement choisi une valeur de a comprise entre 0,1 et 0,3.
20-Oct-14
54
• Ensuite, les variations de tendance pour le
mois i sont exprimées à l’aide de l’expression
i = i-1 + bi ,
• où b est un second coefficient qui permet de
prendre en compte la fréquence de variation
de la chronique. Sa valeur est fixé à environ
0,1.
Conclusion
• Dans le cas d’un modèle multiplicatif, la
prévision d’un mois i sera établie par la
formule ci(di-1 + i-1) et dépendra des
valeurs calculées au mois précédent (i-1).
20-Oct-14
55
Exemple
• Une entreprise fabriquant des produits à forte valeur ajoutée et à cycle de fabrication longue a conservé sur son système informatique un historique de deux années de facturations sur la gamme de ses produits les plus vendus (50% du chiffre d’affaires).
• Le niveau de service clients est assez mauvais pour cette gamme de produit. Un audit détaillé a permis d’identifier que le problème majeur provenait du système de calcul des prévisions de ventes.
• Pour pallier à ce dysfonctionnement conduisant à une impossibilité de planifier correctement la production, l’entreprise s’est vue forcée à court terme d’augmenter ses stocks de 30%.
• Pour lui permettre rapidement de réduire à
nouveau ses coûts de stockage, il a été
décidé de revoir totalement le système
actuel de prévision des ventes.
• Il faudra d'abord tester la validité d'une ou
de plusieurs méthodes de prévisions sur
cette gamme de produits.
• L'historique des ventes mensuelles pour
deux années, 2007 et 2008, est le suivant:
20-Oct-14
56
Mois Ventes (k€)
Année 2007 Année 2008
Janvier 890 895
Février 1 115 1 179
Mars 1 280 1 315
Avril 1 328 1 452
Mai 1 253 1 325
Juin 1 124 1 202
Juillet 1 192 1 175
Août 876 933
Septembre 1 401 1 412
Octobre 1 501 1 528
Novembre 1 065 1 171
Décembre 976 1 012
Solution
• L'évolution de la chronique sur 24 mois de 2007 à
2008 est représenté graphiquement ci-dessous.
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324
k€
20-Oct-14
57
Estimation des composantes saisonnières
• À présent, les composantes saisonnières sont déterminées en partant sur la base d'un modèle multiplicatif.
• Pour simplifier, il est possible de calculer les moyennes arithmétiques des ventes pour chaque année et de définir le rapport entre la vente de chaque mois et cette moyenne.
• C'est une manière simple qui permet de déterminer les coefficients saisonniers ci, mais à n'effectuer que dans les cas où les ventes des mois "extrêmes" (janvier et décembre) ne s'écartent pas trop de la moyenne.
Le tableau ci-dessous représente ces différents calculs.
Année Numéros de mois
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2007 Ventes
yi
890 1 115 1 280 1 328 1 253 1 124 1 192 876 1 401 1 501 1 065 976
Saison.
Ci
0,76 0,90 1,10 1,14 1,07 0,96 1,02 0,75 1,20 1,29 0,91 0,84
Moyenne : 1 167
2008 Ventes
yi
895 1 179 1 315 1 452 1 325 1 202 1 175 933 1 412 1 528 1 171 1 012
Saison.
Ci
0,74 0,97 1,08 1,19 1,09 0,99 0,97 0,77 1,16 1,26 0,96 0,83
Moyenne : 1 217
20-Oct-14
58
• Il est cependant plus rigoureux de décrire
la tendance en effectuant un lissage par la
méthode des moindres carrés.
• La droite de tendance a l'équation suivante:
di = i + pour chaque mois i,
avec = 4,153 et = 1 139,76 .
• D'autre part, un modèle multiplicatif permet
d'écrire yi = idi , yi représentant les ventes
réelles et di la valeur de la droite de
tendance pour le mois i.
• Les coefficients saisonniers en sont
déduits :
• Le tableau suivant représente les calculs
effectués.
i
iid
y
20-Oct-14
59
Année Numéros de mois
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2007 Ventes yi 890 1 115 1 280 1 328 1 253 1 124 1 192 876 1 401 1 501 1 065 976
tendance di 1 144 1 148 1 152 1 156 1 161 1 165 1 169 1 173 1 177 1 181 1 185 1 190
2008 Ventes yi 895 1 179 1 315 1 452 1 325 1 202 1 175 933 1 412 1 528 1 171 1 012
tendance di 1 190 1 194 1 198 1 202 1 206 1 210 1 215 1 219 1 223 1 227 1 231 1 235
L'équation de tendance est di = 4,153 i + 1 139,76.
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 17 18 19 20 2122 23 24
Ventes
Tendance
k€
20-Oct-14
60
Année Coefficients saisonniers i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2007 0,78 0,97 1,11 1,15 1,08 0,97 1,02 0,75 1,19 1,27 0,90 0,82
2008 0,75 0,99 1,10 1,21 1,10 0,99 0,97 0,77 1,15 1,25 0,95 0,82
Moyen 0,77 0,98 1,10 1,18 1,09 0,98 0,99 0,76 1,17 1,26 0,92 0,82
Application du modèle de Holt et Winters
• Des prévisions pour l'année 2008 sont réalisées, ce qui permet de tester le modèle et le coefficients de lissage sélectionnes.
• Il faut tout d'abord initialiser le modèle en prenant comme base de départ le mois i=13 correspondant au mois de janvier 2008.
• Les valeurs de d0 et de 0 sont déterminées:
Pour i=13, d0 = i + = 4,153 13 +1139,76 = 1193.
• La variation de tendance est représentée par le coefficient directeur de la droite soit :
0 = = 4,153.
• La prévision de vente du mois i est égale à :
yi = ci(di-1 + i-1)
20-Oct-14
61
• Les coefficients de lissage a et b sont posés:
a = 0,2 et b = 0,1 .
• En partant de l'équation
di = di-1 + i-1 + ai ,
où i est l’écart entre la prévision et la
réalisation du mois i égal à
i = yi – ci(di-1 + i-1) ,
• on déduit l'équation de la tendance modifiée
di :
di = di-1 + i-1 + a[yi – ci(di-1 + i-1)] .
• La variation de la tendance est donnée par
i = i-1 + bi .
• Les valeurs obtenues pour chaque mois i
sont réutilisées le mois suivant et ainsi de
suite.
• Les prévisions de ventes yi sont calculées
d'après ces formules en partant du mois
13 jusqu'au mois 24 et on obtient le
tableau suivant.
20-Oct-14
62
Prévisions de ventes pour 2008 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Ventes réelles
yi
895 1 179 1 315 1 452 1 325 1 202 1 175 933 1 412 1 528 1 171 1 012
Tendance
modifiée
di
1 196 1 201 1 201 1 215 1 223 1 231 1 225 1 230 1 225 1 222 1 235 1 239
Écarts -20 9,3 -8,4 39 3,8 7,4 -46 8,3 -27 -11 42 1,7
Variation de
tendance
2,13 3,07 2,22 6,13 6,51 7,26 2,6 3,43 0,74 -0,3 3,9 4,08
Prévisions yi 915 1 170 1 323 1 412 1 321 1 195 1 222 925 1 439 1 539 1 129 1 010
Coefficients saisonniers mensuels
ci 0,77 0,98 1,10 1,18 1,09 0,98 0,99 0,76 1,17 1,26 0,92 0,82
Valeurs des coefficients de lissage :
a = 0,2 et b = 0,1 .
Erreur moyenne = 24,2.
Il est possible de représenter graphiquement les prévisions
établies sur le passé connu en 2008.
20-Oct-14
63
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
réalisations
prévisions
k€
• Le modèle utilisé avec les coefficients de
lissage a et b entraîne une erreur
moyenne de 24,2 sur le douze mois de
2008.
• Cette erreur moyenne est calculée d'après
la somme des carrés des écarts par :
2i
avec = nombre de degrés de liberté.
20-Oct-14
64
• Les prévisions sont donc établies dans une fourchette de 2 , soit 48 pour un intervalle de confiance de 95%.
• Une fois le modèle testé et validé, des prévisions de ventes sont effectuées pour l'année 2009. Il est choisi comme mois de départ le dernier mois de l'année 2008.
• Puis, l'écart entre la prévision et la réalisation de ce mois ainsi que la variation de tendance sont déterminés.
• Les résultats définitifs sont représentés dans les tableaux suivants.
Prévisions de ventes pour 2009
24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
Tendance
modifiée di
1 239 1 243 1 247 1 251 1 256 1 260 1 264 1 268 1 272 1 276 1 280 1 284 1 288
Prévisions yi 1 010 947 1 216 1 374 1 472 1 365 1 231 1 253 957 1 488 1 603 1 181 1 050
Coefficients saisonniers mensuels ci 0,82 0,77 0,98 1,10 1,18 1,09 0,98 0,99 0,76 1,17 1,26 0,92 0,82
20-Oct-14
65
• Un écart de 1,7 et une variation de tendance de 4,08 sont constatés. Ces deux données sont considérées comme constantes sur les douze mois à venir.
• En résumé, il est représenté simultanément la série des ventes effectuées les 24 premiers mois, les prévisions pour 2009 ainsi que la tendance générale.
500
700
900
1100
1300
1500
1700
1 6 11 16 21 26 31 36
Ventes
Tendance
k€
20-Oct-14
66
Les problèmes de remplacement
20-Oct-14
67
Il y a des nombreux problèmes de
remplacement, du plus simple au plus
complexe:
– date optimale de mise au rebut d'un
équipement existant;
– problème de la chaîne optimale: entre
deux date assez éloignées, trouver le
programme de remplacement optimal
d'un équipement supposé toujours
renouvelé à l'identique (hypothèse
d'économie stationnaire, pas de progrès
technique);
– problème d'une économie non
stationnaire: les remplacements
interviennent, entre deux dates assez
éloignées, avec mise en service
d'équipements incorporant un certain
progrès technique (d'où un prix d'achat
et des cash flows différents).
20-Oct-14
68
Les problèmes que nous abordons ici
peuvent être résumer par la question
suivante:
A quelle date faut-il déclasser un matériel
1. Premier exemple
Un transporteur achète un autobus neuf
valant 60 000€ .
Il veut savoir quel est le rythme optimal de
renouvellement de cet équipement, c'est-
à-dire au bout de combien d'années il doit
le revendre pour en racheter un neuf.
Les données nécessaires sont:
20-Oct-14
69
a. Le rythme de dépréciation de l'équipement
Ce rythme s'exprime non pas par des
amortissements comptables mais par la
valeur réelle de revente au bout de 1, 2, … , n
années. On suppose que cette valeur de
revente est de:
– 30 000 € au bout de 1 an
– 15 000 € au bout de 2 ans
– 7 500 € au bout de 3 ans
– 3 750 € au bout de 4 ans
– 2 000 € au bout de 5 ans
– 2 000 € au bout de 6 ans
Ces 2 000 € restent valables pour toute
année au-delà de la cinquième (ils
représentent la valeur de casse d'autobus,
lorsqu'on l'envoie à la ferraille).
Cette hypothèse de dépréciation revient à
supposer que l'autobus perde, chaque
année, la moitié de sa valeur: elle est plus
réaliste que certaines conventions fiscales
ou comptables.
20-Oct-14
70
b. Les coûts d'entretien et d'exploitation
annuels de l'équipement
L'usure de l'autobus a deux séries de
conséquences:
– accroissement des frais d'entretien et
de réparation;
– abaissement de la productivité ou de la
qualité du service rendu.
Il faut donc chercher ce que coûte
l'exploitation de cet autobus au cours des
années successives, en supposant que le
service rendu reste constant.
On doit, par exemple, prendre en compte
les frais supplémentaires entraînés par
l'affrètement d'un autobus de rechange
pendant les pannes, ou le manque à
gagner dû à la diminution du nombre des
passagers transportés.
20-Oct-14
71
Nous supposerons donc qu'à service
rendu constant, les charges d'exploitation
annuelles de l'autobus sont les suivantes:
– 10 000 € pendant la première année
– 12 000 € pendant la deuxième année
– 14 000 € pendant la troisième année
– 18 000 € pendant la quatrième année
– 23 000 € pendant la cinquième année
– 28 000 € pendant la sixième année
– 34 000 € pendant la septième année
– 40 000 € pendant la huitième année
c. Le coût de renouvellement
• Supposons, par exemple, que l'on
renouvelle l'autobus à l'identique, c'est-à-
dire que le nouvel équipement qui rendra
les mêmes services vaille lui aussi, à
l'achat, 60 000 € (mais si l'on tenait
compte du progrès technique, cette
valeur de renouvellement, pour un même
service rendu, pourrait être différente du
prix d'achat initial).
20-Oct-14
72
En possession de cette série d'hypothèses,
comment doit-on fixer le rythme de
remplacement de l'autobus
La réponse à cette question est donnée par le
calcul successif (tableau suivant):
– des charges totales annuelles (dépréciation
pendant l'année + charges d'exploitation);
– des charges totales cumulées depuis
l'année de la mise en service;
– de la charge moyenne annuelle en
résultant.
Année
n
Valeur
de
revente
Dépréciation Charge
d'exploitation
Charge
totale
annuelle
(3) + (4)
Charge
cumulée
Charge
annuelle
moyenne
(6) / n
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
1 30 000 30 000 10 000 40 000 40 000 40 000
2 15 000 15 000 12 000 27 000 67 000 33 500
3 7 500 7 500 14 000 21 500 88 500 29 500
4 3 750 3 750 18 000 21 750 110 250 27 560
5 2 000 1 750 23 000 24 750 135 000 27 000
6 2 000 0 28 000 28 000 163 000 27 170
7 2 000 0 34 000 34 000 197 000 27 900
8 2 000 0 40 000 40 000 237 000 29 600
La durée d'utilisation optimale est celle pour laquelle
cette charge moyenne annuelle est minimale.
20-Oct-14
73
La valeur de revente
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
1 2 3 4 5 6 7 8
Année
€
La charge totale annuelle
20-Oct-14
74
La charge annuelle moyenne
0
10000
20000
30000
40000
50000
1 2 3 4 5 6 7 8
Année
€
Charge
annuelle
moyenne
La politique optimale est donc de remplacer l'autobus au bout
de 5 ans, et la charge moyenne annuelle entraînée par
l'utilisation de cet autobus est alors de 27 000 € .
OBSERVATION:
• Ce que nous venons de dire n'est pas
entièrement exact. S'il existe réellement, comme
nous l'avons supposé déjà, un marché de
l'occasion, sur lequel on puisse se procurer des
autobus vieux 1, 2, 3, 4 ans, susceptibles de
rendre les mêmes services qu'un autobus neuf,
à ceci près que leurs frais d'exploitation sont
plus élevés, la politique optimale consisterait,
pour notre transporteur, à acheter au début de
chaque année, un autobus vieux de 2 ans, (qu'il
paierait 15 000 €), et à le revendre à la fin de
cette même année (au prix de 7 500 €).
20-Oct-14
75
• Sa charge totale annuelle serait en effet, dans
ces conditions, de
7 500 + 14 000 = 21 500 €
• Cette valeur qui est le minimum de la colonne
5, et qui correspondrait effectivement à ce que
le transporteur aurait à dépenser chaque
année pour assurer le service considéré.
• Cette politique serait meilleure que celle
définie précédemment, consistant à acheter
des autobus neufs et à les conserver 5 ans,
puisque cette dernière, correspondant au
minimum de la colonne 7, coûterait 27 000 €
par an.
• La détermination de la politique optimale
par recherche du minimum de la colonne 7
reprend, en revanche, comme on va le voir,
toute sa valeur, lorsqu'il n'existe pas de
marché de l'occasion, c'est-à-dire lorsque
la machine achetée ne peut être utilisée
qu'à l'endroit où elle a été construite, et ne
peut donc être revendue que pour une
valeur très faible.
• Ce cas, qui est celui d'un très grand
nombre d'équipements industriels, va faire
l'objet de l'exemple suivant.
20-Oct-14
76
2. Deuxième exemple
• Une machine coûte à l'achat 10 000 €.
• Les frais entraînés par son fonctionnement
sont de 200 € la première année et ils
augmentent ensuite de 2 000 € chaque
année.
• Il n'y a pas de marché de l'occasion pour
ce type de machines, dont la valeur de
revente tombe, dès la fin de la première
année, à une valeur de casse de 1000 €.
• La recherche du nombre d'années optimal
au bout duquel il convient de remplacer
cette machine, (en supposant que le
remplacement a lieu à l'identique), se fait à
l'aide du tableau suivant.
20-Oct-14
77
Année
n
Valeur
de
revente
Dépréciation Charge
d'exploitatio
n
Charge
totale
annuelle
(3) + (4)
Charge
cumulée
Charge
annuelle
moyenne
(6) / n
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
1 1 000 9 000 200 9 200 9 200 9 200
2 1 000 0 2 200 2 200 11 400 5 700
3 1 000 0 4 200 4 200 15 600 5 200
4 1 000 0 6 200 6 200 21 800 5 450
5 1 000 0 8 200 8 200 30 000 6 000
6 1 000 0 10 200 10 200 40 200 6 700
On voit que la politique optimale de renouvellement consiste à
remplacer la machine à la fin de la 3e année d'utilisation.
L’illustration de la charge annuelle moyenne
0
2000
4000
6000
8000
10000
1 2 3 4 5 6
Année
€
Chargeannuellemoyenne
20-Oct-14
78
3. Troisième exemple
• Il s'agit, cette fois, non seulement de fixer
le rythme de renouvellement d'un
équipement, mais de choisir aussi le type
d'équipement adopté.
• La démarche, d'ailleurs très générale, doit
être la suivante: à un type d'équipement
donné on fait correspondre le rythme
optimal de renouvellement suivant lequel il
doit être utilisé (choix d'une tactique), d'où
on obtient un coût moyen annuel
d'utilisation.
20-Oct-14
79
• On compare ensuite plusieurs
équipements susceptibles de rendre les
mêmes services, et utilisés chacun suivant
le rythme optimal qui lui correspond. On
choisit enfin celui dont le coût annuel
d'utilisation est le plus faible (choix d'une
stratégie).
Dans notre exemple, il s'agit de choisir entre
deux équipements A et B susceptibles de
rendre les mêmes services:
– L'équipement A coûte 50 000 € à l'achat.
Ses frais d'exploitation annuels sont de 8
000 € pendant les 5 premières années, et
augmentent ensuite régulièrement de 2 000
€ par an;
– L'équipement B coûte 25 000 € à l'achat.
Ses frais d'exploitation annuels sont de 12
000 € pendant les 6 premières années, et
augmentent ensuite régulièrement de 2 000
€ par an;
20-Oct-14
80
• On suppose que les renouvellements ont lieu à
l'identique, et d'autre part, comme dans le
deuxième exemple, que la valeur de revente de A
ou B est très faible, (car ces équipements ne sont
pas utilisables ailleurs).
• Nous la supposerons même ici pratiquement
négligeable, ce qui revient à imputer à la première
année d'utilisation la totalité du coût d'achat (on est
loin d'un rythme comptable d'amortissement).
• Enfin, nous tiendrons compte ici de l'effet de
l'actualisation que nous avions négligé pour les
deux premiers exemples, afin de simplifier la
présentation de la méthode.
Principe de calcul:
Si C est le coût d'achat d'un des
équipements, R1, R2, … , Rn les charges
totales d'exploitation au cours des années
successives, la charge totale cumulée,
depuis la mise en service jusqu'à l'année n
sera constituée par l'addition de (C+R1) la
première année, R2 la deuxième année,
etc.
20-Oct-14
81
• Dans le premier exemple, on procédait à
cette addition sans actualiser: le
raisonnement correct consiste en fait à
calculer la charge totale actualisée que
nous désignerons ici par D(n):
1)1(1
21)(
ni
nR
i
RRCnD
• D'autre part, on ne peut plus, ayant
actualisé, calculer la charge moyenne
annuelle en divisant, comme dans le
premier exemple, la charge totale cumulée
par le nombre d'années n.
• Cela reviendrait en effet à faire jouer le
même rôle aux diverses années, ce qui
est contraire au principe même de
l'actualisation.
20-Oct-14
82
• La charge moyenne annuelle qui équivaut à
la charge totale actualisée D(n) est donnée,
en réalité, par la somme x qu'il faudrait
verser tous les ans pendant n années, pour
financer la totalité de cette charge D(n).
Elle est donc fixée par la relation
1)1(2)1(1)(
ni
x
i
x
i
xxnD
• Lorsque i=0, on retrouve bien .
• On a encore
• Si l'on pose , on voit que l'on a
n
nDx
)(
i
n
ixnD
1
11
1
11
)(
ri
1
1
nr
nDrx
1
)()1(
20-Oct-14
83
• C'est cette charge annuelle équivalente x
qu'il faut rendre minimale, par un choix
convenable de la durée d'utilisation n.
• Dans le cas de l'équipement A, cette
minimisation résulte du tableau suivant, où
l'on a pris i=10% et r=0,91.
nr
nDrx
1
)()1(
Année
n
Valeur Charge
d'exploitation
Charge
totale
annuelle
Charge
actualisée
D(n)
Charge annuelle
moyenne
1 50 000 8 000 58 000 58 000 58 000
2 0 8 000 8 000 65 273 34 174
3 0 8 000 8 000 71 885 26 254
4 0 8 000 8 000 77 896 22 309
5 0 8 000 8 000 83 360 19 955
6 0 10 000 10 000 89 569 18 655
7 0 12 000 12 000 96 343 17 943
8 0 14 000 14 000 103 527 17 588
9 0 16 000 16 000 110 991 17 462
10 0 18 000 18 000 118 625 17 485
20-Oct-14
84
• Le minimum de x ayant lieu pour n=9, on
voit que l'équipement A doit être remplacé
tous les 9 ans. À cette condition, son coût
moyen annuel d'utilisation est de 17 462 €.
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Année
€Charge
annuelle
moyenne
• Appliquant exactement la même méthode
au cas de l'équipement B, on constate que
le rythme optimal de renouvellement est,
pour B, de 8 ans, et qu'en adoptant ce
rythme on obtient un coût moyen annuel
d'utilisation de 16 752 € (tableau suivant).
• Il en résulte que la stratégie optimale
consiste à choisir l'équipement B. La
tactique d'utilisation de B doit être de le
remplacer tous les 8 ans.
20-Oct-14
85
nr
nDrx
1
)()1(
Année
n
Valeur Charge
d'exploitation
Charge
totale
annuelle
Charge
actualisée
D(n)
Charge annuelle
moyenne
1 25 000 12 000 37 000 37 000 37 000
2 0 12 000 12 000 47 909 25 083
3 0 12 000 12 000 57 826 21 119
4 0 12 000 12 000 66 842 19 143
5 0 12 000 12 000 75 038 17 963
6 0 12 000 12 000 82 489 17 180
7 0 14 000 14 000 90 392 16 835
8 0 16 000 16 000 98 603 16 752
9 0 18 000 18 000 107 000 16 834
10 0 20 000 20 000 115 482 17 022
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Année
€
Charge
annuelle
moyenne
20-Oct-14
86
Arbres de décision
Dans l’approche par l’arbre de décision, on
reconnaît deux facteurs pouvant influencer le
futur:
• le choix et
• la chance.
Pour les évaluer, on doit prendre en compte
deux paramètres
• les coûts et
• les conséquences.
Ces quatre éléments forment la base de
l’analyse.
20-Oct-14
87
La construction des arbres de décision à partir
de données est composé de trois étapes:
• la réalisation d’une arborescence logique
qui comprend tous les points de décision
relatifs à l'occasion et disposés dans l'ordre
chronologique des branches.
• mentionner tous les probabilités des états
naturels indiqués par les branches, formant
ainsi un arbre de probabilité.
• l’ajout des gains, en obtenant ainsi un arbre
de décision complet.
Résultat incertain (chance)
Décision (choix)
Résultat incertain (chance)
20-Oct-14
88
Coût Probabilité Résultat VMA
0,2
Résultat incertain (chance)
0,8
Décision (choix)
0,3
Résultat incertain (chance) 0,7
Coût Probabilité Résultat VMA
c 1 0,2
Résultat incertain (chance)
0,8
Décision (choix)
c 2 0,3
Résultat incertain (chance) 0,7
20-Oct-14
89
Coût Probabilité Résultat VMA
c 1 0,2 = α x 0,2 = 0,2α
Résultat incertain (chance)
0,8 = β x 0,8 = 0,8β
Décision (choix)
c 2 0,3 = γ x 0,3 = 0,3γ
Résultat incertain (chance) 0,7
= δ x 0,7 = 0,7δ
On nomme arbre de probabilité un graphe
orienté et pondéré obéissant aux règles
suivantes:
• La somme des pondérations (ou probabilités)
des branches issues d'un même sommet
donne 1.
• La probabilité d'un chemin est le produit des
probabilités des branches qui le composent.
• La pondération de la branche allant du
sommet A vers le sommet B est la probabilité
conditionnelle de B sachant que A est déjà
réalisé pA(B).
20-Oct-14
90
On retrouve alors la propriété de la
probabilité conditionnelle :
(c’est le produit des chemins).
)()()( BpApBAp A
La première étape dans la construction d’un arbre
de décision, consiste à identifier les choix que
nous devons faire pour atteindre nos objectifs.
Ces choix forment les branches de l’arbre. Citons
en exemple :
– “construire ou acheter”,
– “produire en interne ou externalisé”,
– “fournisseur A, B ou C”
Chacune de ces décisions amène à des résultats
différents qui seront caractérisés, dans cette
analyse, grâce aux trois autres éléments.
20-Oct-14
91
Le facteur le plus simple associé aux choix est
leur coût, incluant à la fois le coût de la mise en
œuvre et le coût d’opportunité.
Ce qui est important de comprendre est qu’il
est rare qu’un choix n’implique aucune
conséquence sur les coûts.
Une estimation de cet effet coût doit apparaître
sur la branche correspondante de l’arbre.
La Chance est une variable importante liée aux
différentes options.
Chaque option peut s’ouvrir sur plusieurs
suites potentielles, même si quelque fois
certains chemins conduisent au même résultat.
Par exemple, différentes options
technologiques peuvent avoir différentes
chances de succès, ou des contractants
choisis peuvent être plus ou moins fiables.
20-Oct-14
92
• Pour chaque décision qui aurait des résultats
incertains, il faut identifier et évaluer chacun
des résultats possibles et en donner une
estimation de la probabilité d’occurrence.
• Par ailleurs certains de ces résultats peuvent
offrir la possibilité de choix supplémentaires,
créant ainsi une arborescence
progressivement plus complexe.
Enfin, l’arbre de décision précise les conséquences:
– Si une décision doit être prise, impliquant coût
et risque, le résultat final doit être estimé. Il s’agit
là du retour attendu par la mise en œuvre de la
décision.
– Le résultat final est, en général, exprimé en
valeur monétaire bien que d’autres mesures
puissent être utilisées.
– La structure de l’arbre de décision décrit ainsi
les résultats attendus de chaque combinaison
«choix/chance», chaque combinaison étant
représentée par la feuille au bout à la suite
d’options correspondante.
20-Oct-14
93
Une fois l’arbre de décision construit sur la
base de ces quatre composants, on peut
l’analyser pour identifier le choix le plus
favorable compte tenu des coûts, chances
et conséquences
• Tout d’abord, chaque chemin « en avant » de
l’arbre est étudié et sa valeur calculée en
accumulant les coûts et les gains du début
jusqu’au bout des branches.
• Ensuite en utilisant les valeurs trouvées et
rebroussant chemin « en arrière », la valeur
monétaire attendue de chaque choix est
calculée en pondérant les conséquences par
rapport aux probabilités de chaque incertitude.
• La branche avec la valeur attendue la plus
grande indique la meilleure décision.
20-Oct-14
94
Coût Probabilité Résultat VMA
c 1 0,2 = α x 0,2 = 0,2α
Résultat incertain (chance)
0,8 = β x 0,8 = 0,8β
Décision (choix)
c 2 0,3 = γ x 0,3 = 0,3γ
Résultat incertain (chance) 0,7
= δ x 0,7 = 0,7δ
Coût Probabilité Résultat VMA
c 1 0,2 = α x 0,2 = 0,2α
Résultat incertain (chance)
0,8 = β x 0,8 = 0,8β
Décision (choix)
c 2 0,3 = γ x 0,3 = 0,3γ
Résultat incertain (chance) 0,7
= δ x 0,7 = 0,7δ
0,2α
0,7δ
20-Oct-14
95
Coût Probabilité Résultat VMA
c 1 0,2 = α x 0,2 = 0,2α
Résultat incertain (chance)
0,8 = β x 0,8 = 0,8β
Décision (choix)
c 2 0,3 = γ x 0,3 = 0,3γ
Résultat incertain (chance) 0,7
= δ x 0,7 = 0,7δ
0,2α
0,7δ
0,7δ
• L’utilisation optimale des arbres de décision
reste encore un défi, car la technique est
limitée dans le nombre d’options qui peuvent
être analysées, représentant ainsi un
nombre limité de risques.
• Un projet implique typiquement une grande
variété de risques et essayer de présenter
cette réalité par un seul arbre de décision
peut conduire à un modèle générique
inutilisable.
20-Oct-14
96
• Cette technique demande également que
tous les facteurs soient quantitatifs – coût et
conséquence sont exprimés généralement
en valeur monétaire, la probabilité doit être
estimée pour chaque option.
• Enfin, la technique suppose un décideur
“neutre” par rapport au risque qui ne
prendrait en compte que la valeur monétaire
attendue – et la réalité est rarement si
simple.
En dehors de ces limitations, les arbres de
décision représentent une technique
quantitative très puissante pour évaluer
les avenirs possibles en prenant en
compte les effets à la fois du choix et de la
chance, et en estimant à la fois les coûts
et les conséquences.
20-Oct-14
97
Exemple
Aba Manufacturing Company a signé un contrat
de vente des relais numériques avec la société
Electronics ZYX, avec les clauses suivantes:
• 100 000 relais ZYX seront livrés dans un
mois;
• ZYX a la possibilité de demander un lot
supplémentaire de 100 000 relais
supplémentaires dans les trois prochains
mois, avec un préavis de 30 jours.
• ZYX va payer 5 € pour chaque relais
numérique acheté.
• Aba fabrique les relais par lots, et les coûts
de fabrication sont les suivantes:
• Un coût fixe d'exploitation de la ligne de
production, quelle que soit la taille du lot de
relais, 250 000 €;
• Un supplément de 2 € par relais produit,
quelle que soit la taille du lot relais.
20-Oct-14
98
• Aba doit décider si elle va produire tous les
200 000 relais numériques maintenant, ou
seulement 100 000 maintenant et le reste de
100 000 seulement si ZYX va faire usage de
l'option d'achat.
• Si Aba fabrique les 200 000 relais maintenant
et ZYX ne veut pas acheter le deuxième lot, le
coût de fabrication des 100 000 relais produits
et non vendues sera perdue.
• Aba estime qu'il ya 50% de chances que ZYX
achète le lot supplémentaire de 100000 relais.
1. Expliquez si pour l'entreprise Aba peut
être plus rentable de produire un seul lot
de 200.000 relais numériques.
2. Représentez l’arbre des décisions pour
l’entreprise Aba.
3. Déterminer la meilleure décision pour
Aba, en utilisant comme critère d’analyse
la valeur monétaire attendue.
20-Oct-14
99
Solution
Premier Coût Revenu Deux. Coût Revenu VMA
lot (k€) (k€) lot (k€) (k€) (k€)
(mill.) 100 450 500 100 k€
100 450 500
0 0 0 50 k€
100 0 500 350 k€
200 650 500
0 0 0 - 150 k€
20-Oct-14
100
Premier Coût Revenu Deux. Coût Revenu VMA
lot (k€) (k€) lot (k€) (k€) (k€)
(mill.) 0,5 100 450 500 100 k€
100 450 500
0,5 0 0 0 50 k€
0,5 100 0 500 350 k€
200 650 500
0,5 0 0 0 - 150 k€
Premier Coût Revenu Deux. Coût Revenu VMA
lot (k€) (k€) lot (k€) (k€) (k€)
(mii) 0,5 100 450 500 100 k€
100 450 500 VMA = 75 k€
0,5 0 0 0 50 k€
VMA = 100 k€
0,5 100 0 500 350 k€
200 650 500 VMA = 100 k€
0,5 0 0 0 - 150 k€
20-Oct-14
101
Projets sur plusieurs périodes
Pour les projets se déroulent sur plusieurs
périodes, il faut connaitre la nature des
dépendances entre les flux de trésorerie
successifs.
On peut avoir des situations d'indépendance
complète entre les flux ou des situations de
dépendance totale ou partielle.
Méthode d'arbre de décision
Exemple – indépendance totale
Soit un projet de développement qui exige
un investissement initial de 12 500 um et qui
génère des flux de trésorerie suivants:
Année 1 Année 2
Probabilité Flux monétaire
1 (um) Probabilité
Flux monétaire
2 (um)
0,2 8 000 0,3 6 500
0,6 10 000 0,4 7 500
0,2 12 000 0,3 8 500
20-Oct-14
102
FM0 Prob1 FM1 Prob2 FM2 FM Prob12 E(FMt)
0,3 6 500 14 500 0,06 870
0,2 8 000 0,4 7 500 15 500 0,08 1240
0,3 8 500 16 500 0,06 990
0,3 6 500 16 500 0,18 2970
- 12 500 0,6 10 000 0,4 7 500 17 500 0,24 4200
0,3 8 500 18 500 0,18 3330
0,3 6 500 18 500 0,06 1110
0,2 12 000 0,4 7 500 19 500 0,08 1560
0,3 8 500 20 500 0,06 1230
= 1 =17 500
Calcul des risques :
σ2FMt =( 870 - 17500)2 x 0,06 +
+(1240 - 17500)2 x 0,08 +
+( 990 - 17500)2 x 0,06 +
+(2970 - 17500)2 x 0,18 +
+(4200 - 17500)2 x 0,24 +
+(3330 - 17500)2 x 0,18 +
+(1110 - 17500)2 x 0,06 +
+(1560 - 17500)2 x 0,08 +
+(1230 - 17500)2 x 0,06 = 223023980
σ FMt = 14 934
20-Oct-14
103
Méthode d'arbre de décision
Exemple – dépendance partielle
Soit un projet qui nécessite un investissement
de 12 500 um et qui génère des flux de
trésorerie suivants: Année 1 Année 2
Probabilité Flux monétaire 1 Probabilité Flux monétaire 2
0,2 5 000
0,6
0,3
0,1
5 000
7 500
10 000
0,6 10 000 0,3
0,7
7 500
10 000
0,2 15 000
0,5
0,4
0,1
10 000
7 500
5 000
FM0 Prob1 FM1 Prob2 FM2 FM Prob12 E(FMt)
0,6 5 500 10 500 0,12 1 260
0,2 5 000 0,3 7 500 12 500 0,06 750
0,1 10 000 15 000 0,02 300
0,3 7 500 17 500 0,18 3 150
- 12 500 0,6 10 000
0,7 10 000 20 000 0,42 8 400
0,5 10 000 25 000 0,10 2 500
0,2 15 000 0,4 7 500 22 500 0,08 1 800
0,1 5 000 20 000 0,02 400
= 1 = 18 560
20-Oct-14
104
Calcul des risques :
σ2VNA =(10 500 - 18 560)2 x 0,12 +
+(12 500 - 18 560)2 x 0,06 +
+(15 000 - 18 560)2 x 0,02 +
+(17 500 - 18 560)2 x 0,18 +
+(20 000 - 18 560)2 x 0,42 +
+(25 000 - 18 560)2 x 0,10 +
+(22 500 - 18 560)2 x 0,08 +
+(20 000 - 18 560)2 x 0,02 = 202574008
σVNA = 14 233
