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Cours
ECONOMETRIE DES SERIES TEMPORELLES
NIVEAU : troisième semestre
Master Economie Internationale, Gouvernance et Développement
Réalisé par :
Abdelhamid EL BOUHADI
Abdelkader EL KHIDER
Année universitaire :
2014-2015
Université Cadi Ayyad
Faculté des Sciences Juridiques,Économiques et Sociales,
Marrakech
Département des SciencesEconomiques
SOMMAIRE
Introduction :
Les séries temporelles : Histoire, intérêts et limites
I. Les processus stationnaires
II. Les processus VAR
III. Les processus non stationnaires
IV. Le processus non linéaires stochastiques
ECONOMETRIE DESSERIES TEMPORELLES
Plan du cours:
Chapitre introductif : Econométrie des séries temporellesSection1. Histoire des séries temporelles ;
Section2. Intérêts et limites.
Chapitre 1. Les processus stationnairesSection1. Généralités ;
1. Le théorème de Wold (1954) ;2. Les caractéristiques Générales d’une ST ;
2.1. Moyenne ;2.2. Variance ;
2.3. Fonction d’autocovariance ;2.4. Fonction d’autocorrélation ;
2.5. Fonction d’autocorrélation partielle ;2.6. Le spectre ;2.7. Applications
Section2. Les processus ARMA1. Définition des processus ARMA ;
1.1. AR(p) ;1.2. MA(q) ;
1.3. ARMA(p,q)1.4. Les extensions des processus ARMA
1.4.1. ARIMA ;1.4.2. ARFIMA.
Chapitre 2. Les processus VARSection1. Définition et formulation du modèle VARSection2. Estimation des paramètres d’un VAR(p)
Section3. Validation et tests de spécification du VARSection4. Prévision du modèle VAR
Section5. CausalitéSection6. Méthodes d’identification des chocs
6.1.Décomposition de Cholesky ;6.2.Les fonctions de réponse impulsionnelle
Section7. Applications
Chapitre 3. Les processus non stationnairesSection1. Le concept de la non stationnarité ;
Section2. Les tests de racine unitaire.Section3 Applications
Chapitre 4. Processus non linéaires stochastiquesSection1. La linéarité est une hypothèse très restrictive
Section2. Les modèles ARCH et leurs extensionsSection3. Applications
Bibliographie :Borbonnais, économétrie, Dunod
Borbonnais et Terraza, Analyse des séries temporelles en économie, PUF,Lardic et Mignon, Econométrie des séries temporelles macroéconomiques et financières,
Economica,Gujarati, Basic Econometrics, McGraw Hill.
IINTRODUCTION
L’économétrie a envahi l’analyse économique, si bienqu’il est devenu courant de rencontrer au fil d’unarticle les termes suivants : ARMA, VAR, ARCH,GARCH, EGARCH, NON STATIONNAIRE,RACINE UNITAIRE, TENDANCESTOCHASTIQUE,… L’objectif de ce cours est derendre intelligibles ces concepts et les techniquesfondamentales qui leur sont associées. Notre accentdans ce cours portera sur l’analyse des sériestemporelles en économie. Nous y analyserons lecomportement des séries financières etmacroéconomiques.
Comment expliquer le développement de l’économétrie des sériestemporelles ? Pourquoi ne s’être pas contenté des méthodeséconométriques usuelles, les «Moindres Carrés Ordinaires», etleurs divers prolongements (MCG, etc.) ?
On peut répondre à ces questions selon deux optiques. Toutd’abord, le développement de la macro-dynamique théorique, desmodèles de théorie financière moderne a débouché sur un certainnombre de problèmes empiriques qui nécessitent la mise au pointd’outils appropriés et nouveaux. Ensuite, dans un certain nombrede cas, la méthode d’estimation des MCO ne s’applique pas, toutsimplement et si on l’applique nous induirons en erreur tout unprocessus d’explications possible. Le traitement économétriquedes modèles nécessite une analyse préalable des données. Notreattention se portera successivement sur les profils théoriques desséries temporelles, sur la détection de la non stationnarité, sur letravail concret d’estimation et enfin sur les problèmes d’analysedes résultats.
QU’EST-CE QU’UNE SÉRIETEMPORELLE (série chronologique, chronique ou processus temporel)?
La série temporelle (ST) peut être discrète ou continu. Dans les études réalisées surles variables macroéconomiques, monétaires ou financières, on considère quel’observation des séries temporelles est discrète.
Le terme « séries temporelles » désigne à la fois les séries réelles chronologiques et unesuite théorique de variables aléatoires indicées par le temps et qui va servir à modéliserces premières.
Une ST est une suite de nb réels, indexés par les entiers relatifs tels que le temps. Pourchaque unité du temps, la valeur de la quantité étudiée « Xt » est dite variable aléatoire.L’ensemble des valeurs « Xt » quand t varie est appelé « processus aléatoire »:
{ }ZetX t ,
Une ST est ainsi la réalisation d’un processusaléatoire.
Les premiers travaux, pionniers, sur les processus aléatoires remontentaux années 1926 et 1927 quand Yule avait introduit le concept de choc
aléatoire (dit aussi impulsif ou explosif).Yule (1926) démontre que le fait de différencier un bruit aléatoire
introduit des autocorrélations artificielles.
Dans le même ordre d’idées, indépendamment deYule, Eugene Slutsky (1880-1948), montre en 1927,
1933 et en 1938 qu’en calculant une moyenne mobileà partir d’un bruit blanc, on obtient une série dont les
observations ne sont pas indépendantes et qui peutprésenter des cycles apparents (« effet Slutsky »).
Ce sont là probablement les deux premiers exemples de processus de moyenne mobileétudiés formellement.
En 1927, Yule propose le modèle autorégressif et trouve qu’un modèle autorégressifd’ordre 2 représente assez bien le comportement des données de Wolfer sur les taches
solaires (1749-1924). Yule montre que le modèle autorégressif peut conduire àl’apparition de fluctuations cycliques. Toutefois, les caractéristiques d’amplitude et de
phase de ces cycles sont variables.En 1938, en se référant au temps, Wold décompose les processus aléatoires selon deuxprocessus orthogonaux: un est qualifié de déterminable (on peut prévoir son évolutionet son comportement) et l’autre est qualifié d’indéterminable (il est le résultat d’unecombinaison linéaire infinie de chocs aléatoires: c’est le processus de Yule ; il s’agit
d’un processus dont le comportement au cours du temps est imprévisible).
En 1954, Wold a mis en application, à partir de la classe desprocessus indéterminables, les modèles linéaires ARMA
(AutoRegressive Moving Average) stationnaires. La partieautorégressive de ces processus notée AR est constituée par unecombinaison linéaire finie des valeurs passées du processus. La
partie moyenne mobile, notée MA est constituée d’unecombinaison linéaire finie en t des valeurs passées d’un bruit blanc,
c’est-à-dire d’un processus aléatoire, formé d’une succession devariables aléatoires indépendantes d’espérance mathématique nulle.
En 1970 et en 1976, Box et Jenkins rassemblaient l’ensemble deces travaux pour en dériver une méthodologie itérative dans le but
de faire la prévision d’une série temporelle.Jusqu’à la fin des années 1970, les processus aléatoires en
économétrie ont été considérés comme étant stationnaires c’est-à-dire, on a souvent considéré que leurs propriétés statistiques
(moyenne, variance, etc.) sont stables, n’évoluent pas au cours dutemps.
Quelques problèmes spécifiques posés par les sériestemporelles
Il existe toute une gamme de problèmes spécifiques aux sérieschronologiques qui ne sont pas étrangers aux praticiens de
statistiques descriptives et qui vont nécessiter la mise au pointd’un certain nombre de techniques pour un traitement
économétrique (c’est-à-dire à fondements probabilistes). C’estlà la première raison du développement
de l’économétrie des séries temporelles. Ces problèmes sontles suivants : la prévision, l’identification et le retrait de la
tendance, la correction des variations saisonnières, la détectionde rupture, la séparation du court terme et du long terme,
l’étude des anticipations des agents…
I. Le concept de stationnaritéRappelons toujours que Xt, t = 1,…,T (T: nombre
d’observations) est une variable aléatoire.Avant d’effectuer des tests précis et savants sur cette variablealéatoire et de modéliser son processus générateur, il convient
auparavant d’étudier ses caractéristiques stochastiques(espérance, variance, etc.).
Avant d’effectuer les méthodes classiques (processus linéaires,normal ARMA, par exemple) ou modernes (processus nonnormal et non linaire ARCH, GARCH et leurs classes s’ydécoulant), il est nécessaire de vérifier que pour les séries
étudiées, l’espérance et la variance restent stables au cours dutemps.
1. Le concept de stationnarité forte
Le processus Xt est stationnaire au sens fortsi pour tout (t1, t2,…,tn) avec ti єT; i = 1,…,n,et si pour tout τ єT avec ti+τ єT ; {Xt1,…, Xtn}a la même distribution de probabilité jointe
que {Xt1+τ,…, Xtn+τ}.
En d’autres termes, un processus eststationnaire au sens fort, si toutes ses
caractéristiques (les moments d’ordre 1, 2, 3)sont invariantes au cours du temps.
2. Le concept de stationnarité faibleLe concept de stationnarité forte est trop rigide. Il faut, des fois, enfaire l’économie pour ne pas alourdir l’analyse du processus desST. Il est donc recommandable de faire appel au concept destationnarité faible.« Le processus Xt est stationnaire au sens faible si trois conditionssont réunies:1. E(Xt
2) = Var(Xt) < ∞ v t є Z: La variance est finie etindépendante du temps ;2. E(Xt) = E(Xt+h) = m v t, h є Z: La moyenne est constante etindépendante du temps ;3. Cov (Xt, Xt+h) = E[(Xt-m)(Xt+h-m)] = γh ; v t, h є Z où γ est lafonction d’autocovariance du processus: On dit que la covarianceest indépendante du temps.Il paraît, à partir de ces caractéristiques, qu’un processus du BB εt,dans lequel les εt sont indépendants et de même loi N(0,σε2) eststationnaire.
0
400
800
1200
1600
2000
2400
2800
3200
3600
500 1000 1500 2000 2500
ATW
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
500 1000 1500 2000 2500
ATWRENTA
Les tests de racine unitaire en vuede stationnariser la série: ADF etPP
Deux propositions ont été faites par Nelson et Plosser (1982). La première est l’acceptation dela présence d’une racine unitaire dans la plupart des séries macroéconomiques et financières.La seconde affirme que la dynamique engendrée par les chocs permanents domine celle quiprovient des chocs transitoires.Par ailleurs, Nelson et Plosser, dans leur article de 1982, « Trends and Random Walks inMacroeconomic Time Series » ont utilisé les notions de processus TS (Trend Stationary) etDS (Difference Stationary) pour décrire la non stationnarité.Les premiers rendent compte de la non stationnarité de type déterministe : rappelons qu’ilssont écrits comme la somme d’une tendance déterministe et de mouvements aléatoires :
tt btax e++= soit å¥
=-++
0iitibta ea avec å
¥
=
¥<<0
0i
ia
Les mouvements aléatoires représentent le cycle, ils suivent un processus stochastiquestationnaire (ARMA) de moyenne nulle.
Autrement :ttt fx e+= où tf est une fonction polynomiale du temps et te un processus stationnaire de
type ARMA.
Le processus TS le plus simple est représenté par une fonction polynomiale de degré 1. Ceprocessus s’écrit :
tt taax e++= 10
Si te est un BB, les caractéristiques de ce processus sont alors :
taaEtaaxE tt 1010 )()( +=++= e2)(0)( ese =+= tt VxV
0),( ' =tt xxCov pour tout '.tt ¹
Ce processus TS est non stationnaire car )( txE dépend du temps. Comme cette espérance estégale à taa 10 + , il s’agit à l’instant t d’un certain chiffre.
Les processus DS sont des processus que l’ont peut rendre stationnaire par l’utilisation d’unfiltre aux différences : tt
d xB eb +=- )1( où te est un processus stationnaire de type ARMAou encore un BB, b une constante réelle et d l’ordre du filtre aux différences.Ces processus sont souvent représentés en utilisant le filtre aux différences premières (d = 1).Le processus est dit alors processus de premier ordre. Il s’écrit :
ttxB eb +=- )1(
ttt xx eb ++= -1 où te est un processus stationnaire de type un BB.L’introduction de la constanteb dans le processus DS permet de définir deux processusdifférents :- :0=b le processus DS est dit sans dérive. Il s’écrit : ttt xx e+= -1 . Il s’agit d’un processusautorégressif d’ordre 1 avec paramètre 1=f ;- :0¹b le processus porte alors le nom de processus DS avec dérive. Il s’écrit :
ttt xx eb ++= -1 .
En résumé, le processus TS représente lesprocessus caractérisés par une nonstationnarité de nature déterministe et leprocessus DS représente les processusdont la non stationnarité est de naturestochastique.
Les statistiques de Dickey et Fuller ont pourobjet de tester l’hypothèse nulle deprocessus non stationnaire contrel’hypothèse alternative de processusstationnaire.Les modèles servant à la construction deces tests sont au nombre de trois :
Modèle (1) : modèle autorégressifd’ordre 1 : AR(1)
Comme nous l’avons déjà signalé auparavant, l’étude de lavolatilité des cours nous permet de confirmer notre propos
selon lequel toute application économétrique se basant sur lalinéarité de la fonction de régression et sur la normalité de
l’évolution des rentabilités qui valide l’efficience au sens faible(celle des prix ou des rentabilités) est dénuée de sens.
La principale propriété économétrique des séries financières estleur hétéroscédasticité : le caractère non normal de leur
distribution (déjà démontré dans le tableau précédent) prouvépar la nette grandeur de la statistique de Jarque et Bera conduit
à la suspicion quant aux résultats des tests classiques del’efficience. Eu égard de cette hétéroscédasticité, dite
conditionnelle, nous allons effectuer deux tests : le premier estcelui de Ljung-Box et qui porte sur le carré des rentabilités
(mesure approximative de la volatilité) ; le second test, ARCH-LM, est un test de confirmation, dont les résultats sont
identiques à ceux de test de White. Les résultats du test sontportés dans le tableau ci-dessous :
Séries Q-statistique des 2tr Test de White Test ARCH-LM
IGB 266,00** 198,0095* 105,2077*ONA 114,57** 85,77389* 86,83469*BMCE 23,988 72,31400* 22,24831*SNI 170,42** 76,23404* 47,66264*WAFABANK 70,584** 54,48780* 23,11336*BCM 171,69** 60,04502* 57,77640*SAMIR 0,0430 0,014803 0,002538SONASID 98,678** 56,65491* 46,95642*WAFAA 74,159** 0,687029 0,049591CIOR 27,706** 38,92363* 17,37687*SMI 343,43** 53,98816* 313,0113*
Tableau 43. Test ARCH-LM. La statistique du test ARCH-LM est
comparée à la valeur de chi-deux à 5 degrés de liberté lue sur la
table (qui est ici de );84,3)1(205,0 =c 1 est l’ordre de retard retenu
dans le test. L’astérisque (*) exprime le rejet de l’hypothèse nulle
d’homoscédasticité au seuil de 5%.. (**) : indique le rejet de
l’hypothèse de non autocorrélation des rentabilités au carré, au seuil de
5% avec ordre de retard 15.
D’après les résultats trouvés et compte tenudes valeurs prises par la statistique Q de
Ljung Box pour le retard 15 des différentesvaleurs à l’exception de BMCE et WAFAA,
nous rejetons l’hypothèse de nonautocorrélation des rentabilités au carré. Pourla validité de nos tests de classe ARCH, nous
excluons à la fois les sérieshomoscédastiques et les séries non
autocorrélées : BMCE, SAMIR et WAFAA. Eneffet, notre stratégie de test sera faite de la
façon décrite ci-dessous :
OBSERVATION DES GRAPHIQUES DES SERIES ETUDIEES
APPLICATION DE TESTS DE RACINE UNITAIRE
NON STATIONNARITE(déjà mise en évidence )
CALCUL DES RENTABILITES)log()log( 1--= ttt sériesérier
CORRELOGRAMME DES 2tr
(existence d’effet ARCH)
ESTIMATION DES RENTABILITES=tr constante te+
OBSERVATION DES RESIDUS DE CETTE REGRESSION
Kurtosis > 3 Test LMSkewness ¹ 0 84,3)1(2
05,02 =>* cRn
Jarque-Bera > 5,99
EXISTENCE D’EFFET ARCH
En suivant cette stratégie, notre étude vise deux objectifs essentiels :§ trouver la modélisation parmi les classes ARCH qui décrit au mieux la volatilité des cours
des actions de la bourse de Casablanca ;§ chercher à savoir si la modélisation de la volatilité par un processus de type ARCH, est
exploitable pour réaliser des gains anormaux.
Nous considérons dans cette étude différentes classes de ARCH pour différentesvaleurs de p et q : ARCH(p), GARCH(p, q) et ARCH-M. Quatre types de statistiques vont nouspermettre de sélectionner le meilleur modèle, celui bien entendu qui répond aux meilleurscritères suivants :
§ le T de Student : sa valeur nous renseigne sur la significativité du paramètre auquel il faitréférence. Si sa valeur absolue est inférieure à 1,96 pour un seul des paramètres, nouspouvons éliminer immédiatement le modèle en question ;§ les critères d’entropie (critère d’Akaike ou AIC et le critère de Schwartz) : le meilleurmodèle est celui dont les valeurs de ces critères sont les plus faibles ;§ les statistiques descriptives des résidus standardisés : le meilleur modèle est celui dont leskewness, la kortosis et le Jarque et Bera sont les plus proches de ceux de la loi normale ;§ les statistiques se référant à la méthode d’estimation (SSR et Log likelihood) : le meilleurmodèle est celui dont la somme des carrés des résidus est minimisée et dont le logarithme dela vraisemblance est maximisé.
Sur la base de ces critères, nous allonsprocéder à l’estimation de plusieurs
modèles et nous retiendrons parmi eux,ceux qui sont valides. Les modèles à
estimer sont :
2222
211
2 ...:ARCH(p) ptpttt --- +++= eaeaeas
2222
211
2222
211
2 ......:q)GARCH(p, qtqttptpttt ------ +++++++= sbsbsbeaeaeas
211
2:M-ARCH -+= tt c eas 21 tt mcr s+¢=
avec tr est la rentabilité de la valeur considérée à l’instant t. Lesrésultats de cette estimation sont regroupés dans les tableaux suivants :
ARCH(2)0,000048(40,14936)
0,488507(11,47397)
0,227989(7,691387)
–9,14729
–9,12927
0,117694
3639,878
0,532333
12,38657
4133,557
ModèlesARCH(1)0,000006(40,72223)
0,541864(11,33624)
–9,14928
–9,13577
0,117671
3614,959
0,411712
10,92499
2944,048
Statistiques
Paramètresc
a1
a2
Critères d’entropie
AIC
SCHWARZ
SSR
Log likelihood
Résidus standardisés
Skewness
Kurtosis
Jarque-Bera
ARCH(2)-M0,000016(9,416329)
0,612092(1460142)
–0,162955(–3,472809)
0,563588(15,76199)
–8,816758
–8,792723
0,162720
3528,764
–0,476482
10,88155
2922,874
ARCH(1)-M0,000022(16,10108)
0,561304(15,82788)
0,437170(17,27220)
–8,821029
–8,798501
0,162805
3527,592
–0,453246
10,77565
2841,977
GARCH(2,1)0,000016(9,608464)
0,617326(14,66442)
0,557623(15,39390)
–0,162015(–3,414550)
–8,816832
–8,794304
0,163490
3528,615
–0,483956
10,84210
2895,438
ModèlesGARCH(1,1)
0,000022(16,32501)
0,567241(15,89496)
0,432558(19,20563)
–8,818587
–8,800564
0,163497
3527,390
–0,458837
10,74560
2821,290
Statistiques
Paramètresc
a1
b1
a2
b2
m1
Critères d’entropie
AIC
SCHWARZ
SSR
Log likelihoodRésidus standardisés
Skewness
Kurtosis
Jarque-Bera
Si nous revenons au modèleGARCH(p,q):
Un niveau élevé du modèle GARCH, noté GARCH(p,q),peut être estimé en choisissant aussi bien p et/ou q plusgrands que 1. Il s’écrit :
åå=
-=
- ++=q
iiti
p
jjtjt
1
2
1
22 easbws , où :
p est l’ordre du terme GARCH et q est l’ordre de termeARCH.
Si nous prenons maintenantl’exemple de GARCH(1,1):
Dans le développement d'un modèle ARCH, on trouve deux spécifications distinctes : une pour lamoyenne conditionnelle et une pour la variance conditionnelle.
Le Modèle GARCH (1,1)
Dans la spécification GARCH (1,1) on a :
ttt xy eg +¢= (1)2
12
12
-- ++= ttt bsaews (2)
L'équation de la moyenne exprimée en (1) est écrite comme une fonction de variables exogènes avecun terme d'erreur. Tandis que : 2
ts est la variance conditionnelle (la variance prévue basée surl'information passée). L'équation de la variance conditionnelle indiquée dans (2) est une fonction detrois termes :
§ La moyenne : ;w§ L’information nouvelle concernant la volatilité de la période précédente,
mesurée comme le retard du carré des résidus de l'équation de moyenne :2
1-te (le terme ARCH) ;§ La variance conditionnelle décalée d’une période : (le terme GARCH).
Le (1,1) dans GARCH (1,1) se réfère à laprésence d'un terme GARCH de premierordre (le premier 1) et un terme ARCH de
premier ordre (le deuxième 1). Unmodèle ARCH ordinaire est un cas
particulier d'une spécification GARCHdans laquelle il n'y a pas de variance
conditionnelle retardée dans l'équationde la variance conditionnelle.
Dependent Variable: DMASIMethod: ML - ARCH (Marquardt)Date: 02/05/09 Time: 13:48Sample(adjusted): 3 3798Included observations: 3796 after adjusting endpointsConvergence achieved after 18 iterationsVariance backcast: ON
Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
C 0.00032736944364 6.07972606639e-05 5.38460845218 7.26025179094e-08DMASI(-1) 0.325639309456 0.0144234748464 22.5770359032 7.28752126073e-113
Variance Equation
C 1.01774415833e-06 7.61547051975e-08 13.3641664778 9.79257917676e-41ARCH(1) 0.270773459301 0.00952609299286 28.4243980721 1.01013649321e-177
GARCH(1) 0.756363835167 0.00642722601069 117.681225759 0
R-squared 0.107444279414 Mean dependent var 0.000667124369309Adjusted R-squared 0.106502516585 S.D. dependent var 0.00657992884292S.E. of regression 0.00621967746351 Akaike info criterion -7.78299907666Sum squared resid 0.146652513961 Schwarz criterion -7.77477765522Log likelihood 14777.1322475 F-statistic 114.088469174Durbin-Watson stat 1.97927814027 Prob(F-statistic) 0
PREVISION (forecasting):La commande Forecast utilise
l’estimation du modèle ARCH pourcalculer les prévisions statiques et
dynamiques de la moyenne, son erreurstandard prévue et la variance
conditionnelle. Pour construire lesprévisions dynamiques de la variable
dmasi utilisant le modèle GARCH (1,1),nous remplissons la boîte de dialogue
de la prévision.
Ce graphique reflète la prévision de dmasi del'équation de la moyenne avec les deux bandesd'écarts-types. Bien que la prévision prédit une
apparence constante de la moyenne au cours dutemps, elle augmente en fait légèrement au cours dela période de prévision à cause du signe positif duterme de GARCH dans l'équation de la moyenne.
Nous remarquons aussi que les chocs de volatilité(mesurée par la variance conditionnelle) persistentpuisque la somme des termes ARCH ET GARCH estProche de 1. En effet, on peut dire que les prévisions
de la variance conditionnelle convergent à l'étatstable tout à fait lentement et donc en prenant un
certain temps.
Les différentes approches et les différentes modélisations
On n’évoque les techniques descriptives simples (désaisonnalisation parmoyenne mobile, prévision par lissage) que pour faire le lien avec ce que
connaît le lecteur etmontrer l’avantage d’une modélisation. La modélisation elle-même n’estpas unifiée même si elle repose la plupart du temps sur la méthodologie
de Box et Jenkins et le recours aux processus (S) ARIMA, qui serontl’objet de cette présentation. Cette méthodologie s’applique d’ailleurs à
différentes approches dont l’usage n’est pas exclusif. Une premièreapproche est constituée par l’analyse spectrale directement importée dela physique : on décompose un processus Xt en composantes périodiques
en adoptant le critère des fréquences (les petites fréquencescorrespondent au long terme de type composante tendancielle tandis queles grandes fréquences correspondent au court terme de type composantesaisonnière). Une seconde approche est l’analyse temporelle proprementdite qui consiste en l’étude directe des corrélations entre Xt et les valeurs
passées de X.
1 Alpha a Α α2 Bêta b Β β3 Gamma g Γ γ4 Delta d Δ δ5 Epsilon e Ε ε6 Dzêta z Ζ ζ7 Êta h Η η8 Thêta q Θ θ ϑ9 iota i Ι ι
10 Kappa k Κ κ11 Lambda l Λ λ12 Mu m Μ μ13 Nu n Ν ν14 Xi x Ξ ξ15 Omicron o Ο ο16 Pi p Π π17 Rhô r Ρ ρ18 Sigma s Σ σ ς19 Tau t Τ τ20 Upsilon u Υ υ ϒ21 Phi j Φ φ22 Khi c Χ χ23 Psi y Ψ ψ24 Oméga w Ω ω