LES BASES DE L’INGÉNIERIE FINANCIÈRE ET DE LA GESTION

DES RISQUES

UAE - ENCGT - Master de recherche :sciences de gestion 2014/2015

Parcours : Comptabilité, Finance, Audit et Contrôle de gestion

Bibliographie :• Ouvrages :

• Finance computationnelle et gestion des risques, F.-É. Racicot et R. Théoret,2006 – Presses de l’Université du Québec.

• Finance 2e édition, André FARBER et Marie-Paule LAURENT, 2009 PearsonEducation France.

• Finance internationales THÉORIE, POLITIQUE ET PRATIQUE, 2e édition,Emmanuel Nyahoho, 2002 Presses de l’Université du Québec.

• Articles :

• Le modèle de Black–Scholes Philippe Briand, Mars 2003

• ALEXANE VERRAUX RESOLUTION DE L'EQUATION DE BLACK ET SCHOLESThèse scientique

• DEA 2000-2001 Universite Paul Sabatier Calcul stochastique II, applicationsaux options.

• Simulations Stochastiques et Applications en Finance avec ProgrammesMatlab 13 Novembre 2006 Éditeur : Economica, Paris Collection : Finance.

• Webographie :

• http://www.strategies-options.com

• http://www.abcbourse.com

• https://www.disnat.com

• http://www.cambiste.info

• http://financedemarche.fr

• http://www.fimarkets.com

• http://www.cambiste.info

Introduction :

Problématique :COMMENT SE COUVRIR CONTRE LE RISQUE DE CHANGEMENT

ET DE VARIABILITÉ DE COURS DU SOUS-JACENT SUR LE MARCHÉ FINANCIER, EN SE REFERANT À LA MODÉLISATION MATHÉMATIQUE NOTAMMENT PROBABILISTE ?

P LAN

Chapitre 1 : Introduction aux options et aux stratégies sur options classiques.

1. Contrats à terme

2. Les options

3. Les stratégies sur options

Chapitre 2 : Le modèle de Black et Scholes et ses applications.

1. Les hypothèses du modèle de B&S:

2. Extension du modèle de B&S pour évaluer un put européen:

3. Démonstration de la formule de black et scholes

4. Les Grecques

5. Pricer une option à l’aide d’excel

Chapitre1 : Introduction aux options et aux stratégies sur options

classiques.

Contrats à terme, options et stratégies sur options.

Les contrats à terme Définition, historique et fonctionnement, avec des exemple illustratifs.

Les contrats à terme

• Définition :

Un contrat à terme ou (Forward contrats) est une stratégie decouverture qui consiste en un engagement ferme et définitifprévoyant de livrer ou de recevoir, à une échéance donnée,une certaine quantité de matières premières, de devises ou detitres financiers à un prix fixé lors de la négociation du contrat.

Les contrats à terme

• Historique :

C’est au Chicaco et plus précisément à ‘IMM’ (International MonetaryMarket) Que fut conclu, en 1972 le premier contrat à terme sur deviseaprès que les experts eurent décider d’appliquer aux devises et à autreactifs financiers les techniques utilisées jusque-là pour les denréesagricoles et les matières premières.

Les contrats à terme

• Fonctionnement :

Exemple 1 : le marché de blé.

La récole Vente

(été) (prix : 1000 €) (automne)

3 mois

Les contrats à terme

Baisse des prix Hausse des prix

Vendeur Acheteur

Les contrats à terme :

• L’instrument sous-jacent :

• Il s’agit d’un instrument dont la valorisation dépend ‘dérive’ de lavaleur d’autre instrument qu’on appelle alors le sous-jacent.

• L’instrument sous-jacent n’est pas physiquement échangé au momentde la négociation. Cet échange peut être optionnel, différée voire nejamais avoir lieu.

• Il peut s’agir d’actions, d’obligations, de taux d’intérêt ou de devises.

Les contrats à terme :

• Exemple 2 : Négociation de livraison du pétrole.

• 1 000

15€/Baril 20€/Baril

Octobre 31 Décembre

Négociant Contrats à terme Entreprise ABC

Les options :Définition, historique et fonctionnement, avec des exemple illustratifs.

Les Options :

• Définition :

Contrairement à un contrat à terme, une option confirme à sondétenteur le droit, mais pas l’obligation, d’acheter ou de vendre à unprix fixé un actif financier, et ce, pour une période déterminée, appeléela durée de vie de l’option. Pour acquérir ce droit, l’acheteur paie uneprime au vendeur au moment de la transaction. Le risque de l’acheteurest donc limité au montant de cette prime.

Les options:

• Exemple 1 : La maison de vos rêves :

• Échéance : 3 mois

• Prix de la maison : 200 000 €

• Prime de l’option : 3 000 €

• Scénario 1 :

• Prix de la maison atteint 1 000 000 € (1 000 000 – 200 000 – 3 000) = 797 000 €

• Scénario 2 :

• Prix de la maison inférieur à 200 000 € (- 3 000 prime de l’option).

Les options

• Exemple 1 suite :

• Premièrement, lorsque vous achetez une option, vous avez le droit, maisnon l'obligation, de faire quelque chose. Vous pouvez toujours laisserpasser la date d'échéance, à partir de laquelle l'option ne vaut plus rien.Le cas échéant, vous perdez la totalité de votre placement, c'est-à-dire del'argent que vous avez versé pour acquérir l'option.

• Deuxièmement, une option n'est qu'un contrat portant sur un actif sous-jacent. Les options sont donc considérées comme des produits dérivés,car leur valeur dérive d'un autre élément. Dans notre exemple, la maisonreprésente l'actif sous-jacent. Dans le cas des options, l'actif sous-jacentest généralement une action ou un indice.

Les options :

• Historique :

Les options ont semble-t-il existé de tout temps dans le commerce.

En revanche, les marchés d’options négociables ne datent que de 1973.

Ayant pour origine les denrées alimentaires et les matières premières,les options se sont progressivement développées et portentaujourd’hui sur une large gamme d’actifs financiers : actions,obligations, bons du Trésor, taux d’intérêt, indices boursiers, contrats àterme… Les premières options sur devises datent de 1982 et lespremières options sur contrats à terme de devises de 1984.

Les options :

• Types d’options :

• Une option d'achat Call : confère au titulaire le droit d'acheter un actif àun prix et dans un délai déterminés.

• Une option de vente confère au titulaire le droit de vendre un actif à unprix et dans un délai déterminés.

• L’option est dite européenne si elle peut être exercée uniquement à unedate fixée, l’échéance T . Elle est américaine si elle peut être exercée à toutmoment jusqu’à une date fixée.

Les options :

• Fonctionnement des options :

• Le Call le droit d’acheter un AF (le sous-jacent, dont la valeur est S) à,ou jusqu’à une date fixée (l’échéance) à un prix fixé ( le prix del’exercice, X) ‘ Strike’.

• À la date du contrat, l’acquéreur paie sa contrepartie une primereflétant la valeur de l’option (le prix d’achat est noté C pour un call etP pour un put).

• À l’échéance, il choisit ou non d’exercer son option en fonction desconditions de marché (le prix du sous-jacent).

Les options :

Valeur et profit à l’échéance d’un call européen :

Valeur et profit à l’échéance pour un call européen (sur la base d’un prix d’exercice égal à 100 et d’une prime égale à 5).

Les options :

Valeur et profit à l’échéance d’un put européen :

Valeur et profit à l’échéance pour un put européen (sur la base d’un prix d’exercice égal à 100 et d’une prime égale à 5).

Les options :

• Exemple 2 : L’entreprise ABC

• Le 1er mai, le cours de l’action ABC est de 67€

• Le prime de l’option 3,15 €

• Le prix d’exercice (Strike) est de 70 €

• L’échéance est fixé la 3éme semaine de juillet.

• Entre la souscription et l'échéance, la valeur du contrat a varié dansune fourchette allant de 0 à 815 $. L'investisseur aurait donc purécupérer plus du double de son placement initial. C'est le principedu levier financier mis en pratique.

Le principe du levier financier.

Les stratégies sur options : Relation de parité put-call, Achat d’option d’achat ou action, protective calls, straddle et Strangle.

Les stratégies sur options :

• Relation de parité Put - Call :

Avant d’introduire d’autres stratégies sur options les plus complexes,nous nous attardons à une relation qui nous permettra d’imaginercertaines stratégies sur options, soit la parité put-call.

Les options :

• Exemple 3 :

Chapitre 2 : Le modèle de Black et Scholes et ses applications

- Le modèle de Black & Scholes :

Le modèle de Black & Scholes publié en 1973 est de loin le modèled ’évaluation d ’option le plus utilisé en pratique.

B&S démontrent qu’à partir des paramètres qui influencent la valeur desoptions (S0, k, T, rf et s), il est possible de bâtir une position sans risque encombinant l ’achat d ’une (ou de plusieurs) action(s) et en vendantsimultanément un certain nombre d ’options d ’achat.

• Permet de déterminer théoriquement la prime exacte que doitpayer un client pour acquérir un call ou un put

• La modélisation du cours des options est repose sur l’utilisation ducalcul différentielle stochastique

• L’évolution du cours de l’action définit un mouvement browniengéométrique

•.Absence d’opportunité d’arbitrage :

L'arbitrage est une opération financière destinée à assurer un gainpositif ou nul de manière certaine en profitant d'écarts temporairesde prix constatés entre différents titres ou contrats. Par exemple enprenant position simultanément et en sens contraire soit surplusieurs actifs dérivés différents soit sur un produit dérivé etson actif sous-jacent.

Il consiste essentiellement :• soit à vendre un actif financier et acheter un autre,

correspondant mieux au prix actuel du marché et, dansles perspectives actuelles, à ce que recherchel'investisseur en matière de rendement et de risqueacceptable ;

• soit à vendre et à acheter un même actif financier, mais sur deuxmarchés différents (par exemple la bourse de New York et celle deParis), entre lesquels une différence de prix susceptible de dégagerun gain monétaire est constatée.

B&S démontrent qu’il y aura absence d’opportunité d ’arbitrage,uniquement lorsque la valeur de l ’option d ’achat C0 correspond à:

Co = S0 N(d1) - Xe-rT N(d2).Où:

•C0: valeur théorique de l ’option d ’achat à t=0 (moment de l ’évaluation);

•S0: cours de l’action sous-jacente à t=0;

•X: prix d ’exercice de l ’option d ’achat;

•r: taux d ’intérêt sans risque à capitalisation continue. (c’est un tauxnominal annuel capitalisé continuellement). Si on a rf le taux sans risqueeffectif annuel alors r = ln(1+rf);

•T: Temps qui reste à courir avant l ’échéance de l ’option, exprimé enannée,

•N(d): probabilité cumulée jusqu’à la valeur d sous une loi normale centréréduite. C’est l’aire sous la courbe normale centré réduite entre - et d.

ln(S0/X) + (r + s2/2) Td1 = --------------------------------

s (T)½

d2 = d1 - s (T)½

où s2 est la variance du rendement annuels continus de l ’action.

A- Les hypothèses du modèle de B&S:

Le modèle de B&S est basé sur un certain nombre d ’hypothèses plutôtrestrictives, dont les principales sont:

• le marché des capitaux est parfait;• pas d ’impôt;

• pas de frais de transaction;

• information gratuite et accessible à tous;

• aucune restriction sur les ventes à découvert;

• les investisseurs sont rationnels et peuvent prêter et emprunter au taux d ’intérêtsans risque qui est connu et constant dans le temps;

•le titre sous-jacent ne paie ni dividendes, ni intérêt pendant la durée de vie de l ’option;

•L ’option est de type européen (ne peut pas être exercé avant l ’échéance);

•le cours de l ’action sous-jacente obéit à une loi log-normale;

•la variation du taux de rendement continu de l ’action est constante.

B- Extension du modèle de B&S pour évaluer

un put européen:La relation de parité Put-Call:

C - P = S0 - X/(1+rf)T Temps discet

C - P = S0 - Xe-rT Temps continu

P = C - S0 + Xe-rT

C = S0 N(d1) - Xe-rT N(d2)

d ’où:

P = S0N(d1) - Xe-rTN(d2) - S0 + Xe-rT

P = Xe-rT[1-N(d2)] - S0 [1-N(d1)]

Donc, la valeur d ’un put européen est égale à:

P = Xe-rTN(-d2) - S0 N(-d1)

sachant que: N(-x) = 1- N(x).

Démonstration de la formule de black and

scholes

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Preuve de l’équation de Black et Scholes

• Supposons qu’un investisseur vende un contrat à terme de gré à gré (forward contract) écrit sur une action dont le flux monétaire final est de ST,

. À l’échéance, le prix de ce contrat est de E(ST), où E(.) est l’opérateur d’espérance. Le vendeur du contrat s’engage à vendre l’action au prix prédéterminé X. La valeur non actualisée (V) de ce contrat est:

• V = E(ST) – X (1)

• La valeur V de ce contrat est nulle au départ.

• En effet, ce contrat constitue une obligation pour le vendeur de livrer l’action et,pour l’acheteur, de prendre livraison de l’action. Il n’y a aucune autre possibilité pourles deux parties. L’acheteur n’a pas l’option d’exercer ou non le contrat. Il doitobligatoirement l’exercer à l’échéance au prix X. Il en paie donc le juste prix sansl’additionner d’une prime.

• Comment se détermine E(ST), le prix du contrat à terme ? Puisque ST est unevariable aléatoire, on pourrait penser que l’on doit recourir au calcul probabiliste

• En fait, pour calculer cette espérance, nous pouvons nous camper dans un universdéterministe, soit l’univers neutre au risque.

• En effet, le vendeur du contrat à terme a le loisir d’acheter aujourd’hui le sous-jacentdudit contrat, soit l’action, au prix S0. Pour financer cet achat, il emprunte au taux sansrisque rf, taux composé de façon continue.

• À l’échéance du contrat, il pourra livrer l’action qu’il détient et rembourser le montant deson emprunt,

soit S0 exp(rt) .

Le prix à terme du contrat est donc S0erfT. C’est ce que devra payer l’acheteur du contrat àterme à son échéance. C’est le prix qu’impose l’arbitrage sur les marchés financiers.

Tout autre prix donne lieu à une situation d’arbitrage .

• Le prix que nous venons de déterminer s’obtient en recourant à la mesure de probabilitérisque neutre, c’est-à-dire:

E( ST ) = exp (rT) S0 (2)

E( exp(− rt) .ST ) = S0 (3)

• La valeur présente de ST est donc bien une martingale (Dans l’univers des probabilités réelles (P), unemartingale se définit comme ceci : E(ST |S0) = S0. C’est-à-dire que la meilleure prévision de ST,conditionnellement à l’information disponible au temps 0, est S0, soit l’observation actuelle sur le prix del’action ).

• Or, comme nous le verrons ultérieurement, martingale et absence d’arbitrage sont des concepts qui vont depair.

• En substituant l’équation (2) dans l’équation (1), cette dernière étant actualisée au taux rf, on a:

• exp(− rt) V = exp(− rt) exp(rt)S0 – exp(− rt) X

• = S0 – exp (− rt)X (4)

• Comparons cette équation à celle du call européen dérivée par Black et Scholes:

• c = S0 N (d1) – exp(− rt) X N (d2) (5)

• En comparant les équations (4) et (5), on voit qu’elles sont identiques si

N(d1) = N(d2 = 1

• Par conséquent, un contrat à terme est une forme particulière de call.

• Pour un tel call, la probabilité d’exercice est en effet de 1 en ce sens quel’acheteur a l’obligation, et non l’option, d’acheter le sous-jacent du contrat .

• Il ne peut donc spéculer sur sa valeur, qui est établie à l’avance. Pour établirla preuve de l’équation de Black et Scholes, nous devons nous familiariseravec la distribution lognormale, puisque l’on suppose que le prix de l’actiondésigné par S obtempère à une telle distribution dans le modèle de Black etScholes.

Intuition derrière le prix d'une option

Si on part du principe simple que le Prix D'exercice DeL'option (ou strike) est K, on achète un call parce qu'on penseque le sous-jacent qui vaut aujourd'hui S0 vaudra ST àl'échéance et que ST sera supérieur au strike K. On achète uncall pour qu'il ait de la valeur à l'échéance !

• Call = Valeur actuelle de l'espérance de gain que l'on peut réaliser si ST est supérieur à K (sous une certaine probabilité, on y reviendra) à la date T.

Ce que l'on écrit,

•

Call = e-rTE [ Profit du Call si ST > K et 0 sinon ]

• Call = e-rT[P (St >K) x (ST si S>K - K)0+ ]

On obtient finalement :

..."La valeur du call est la valeur présente de la probabilité de hausse de ST au delà de K multipliée par le gain espéré en cas de hausse au delà de K"....

D'où, en séparant l'expression en deux :

Call = e-rT[P (St >K) x ST si S>K] - e-rT[P (St >K) x K ]

• Call = e-rTE[ST si S>K] - e-rT[P (St >K) x K ]

• Transcription dans le modèle Black Scholes

On peut donc écrire que dans le modèle Black Scholes,

Call = e-rTx E[ ST si S>K] - e-rT[ N(d2) x K ]

▪ e-rTx E[ ST si S>K] est la valeur présente de l'espérance de ST si S>K

▪ e-rT[ N(d2) x K ] est la valeur présente de l'espérance d'avoir à décaisser le montant K, et que l'option soit exercée.

• Donc on peut écrire

Call = e-rTx [ S0erTN(d1)] - e-rT[ N(d2) x K ]

•Call = [ S0N(d1)] - e-rT[ N(d2) x K ]

•Ce qui est la formulation du call dans Black Scholes.

Avec E[ ST si S>K] = S0erTN(d1) cela donne,

N(d1) = E[ ST si S>K] / E [ST]

N(d1) est donc le rapport entre l'espérance de ST en cas de hausse au delà de K et l'espérance de ST (sous une certaine probabilité, neutre au risque)

Interprétation

• N(d1) est la probabilité que ST soit supérieur à K augmentée du risque, soit l’opposé de N(d2) qui est cette même probabilité diminuée du risque.

• la probabilité estimée par le marché pour que le Call finisse dans la monnaie est comprise entre N(d2) et N(d1). Si l’on coupe la poire en deux, cette probabilité, p = N(d) = P(ST > K), est égale à (N(d2) +N(d1)) / 2.

• Lorsque la volatilité est élevée, la possibilité de gain est plus importante, mais le risque de perte l'est aussi

• la formule de B et S , retrouver une volatilité implicite de l'actif, qui est celle qui correspond aux anticipations du marché.

• L'une des hypothèses du modèle de Black & Scholes est que les rendements de l'actif sous-jacent suivent une loi normale

• Dans cette hypothèse, un bon estimateur de la volatilité serait l'écart-type des rendements de l'actif sous-jacent.

• La limite de ce modèle réside dans cette hypothèse qui diverge de la réalitésurtout lorsque les actifs sont volatiles. C'est pourquoi les opérateurs demarché ont développé et implémenté des modèles intégrant des volatilitésnon constantes ou/et uniformes: volatilité locale, volatilité stochastique...Sur les marchés on constate fréquemment que la volatilité implicite dépendaussi bien de la maturité (temps) que du prix d'exercice (strike), on parlealors de smile de volatilité.

Application du modèle de B&S:

Nous sommes le 5 mars et on a l’option d ’achat suivante:

• le cours de l ’action ordinaire le 5 mars est 32$;

• le prix d ’exercice de l ’option est 28$;

• la valeur marchande de l ’option est 8.875$;

•date d ’expiration de l ’option: 3ième vendredi de juin;

• taux de rendement, au début de mars, des bons de trésor échéant danstrois mois est 7.25%;

•écart-type du rendement hebdomadaire de l ’action est de 6.41% (cette valeur a été estimé à partir des rendements hebdomadaires au cours des 52 dernières semaines).

À l ’aide du modèle de B&S, on peut déterminer la valeur théorique del ’option d ’achat (juin/28$) à la date du 5 mars?

En comparant la valeur obtenue avec la côte au marché, dites si l ’option estsous-évaluée, sur-évaluée ou correctement évaluée?

Solution:

Les valeurs des différents paramètres à insérer dans le modèle de B&S s ’établissent ainsi:

S0 = 32$

X = 28$

r = ln(1+0.0725) = 0.06992 7%

T = 106 / 365 = 0.29 ans

s = (52)½ (0.0641) = 0.46223 46.22%

ln(32/28) + [0.07 + (0.4622)2/2](0.29)

d1 = ----------------------------------------------- = 0.74

(0.4622) (0.29)½

d2 = 0.74 - (0.4622) (0.29)½ = 0.49

À l’aide de la table de la loi normale centrée réduite, on trouve que:

N(d1) = N(0.74) = 0.7703

N(d2) = N(0.49) = 0.6879

En insérant les valeurs des différents paramètres dans l ’équation de B&S on obtient:

C0 = S0 N(d1) - Xe-rT N(d2)

C0 = 32 0.7713 - 28e-0.070.29 0.6879

C0 = 5.78$

La valeur théorique est 5.78$ et le prix côté est 8.875$. L ’option était donc sur-évaluée au moment de l ’évaluation.

Les Grecques :

Les grecques :

• Le niveau du sous-jacent

• Le prix d’exercice

• La maturité de l’option

• La volatilité

• Le taux d’intérêt sans risque

• Les dividendes

Les Grecques :

• Permettent de mesurer la sensibilité du prix de l’option par suite dechangement dans une ou plusieurs variables et de prendre les mesuresappropriés pour réduire les risques correspondants.

• Les prix de l’option ne varie pas seulement en fonction de la variation duprix du sous-jacent mais aussi des autres variables en dessus.

• L’analyse grecques permet de connaître les risques liés à certaines variableset de les réduire afin de les éliminer.

Les Grecques :

• Delta ∆ :

Le delta ∆ d'une option correspond au taux de variation du prix de cetteoption par rapport au sous-jacent.

• Delta = variation du prix de l'option / hausse du sous-jacent

• Il matérialise la "vitesse" avec laquelle l'option prend de la valeurconsécutivement à une variation du prix du sous-jacent.

La connaissance du delta d'une option permet donc à chaque instant derépondre à la question : de combien va varier le prix de mon option si lesous-jacent monte de x %.

Les Grecques :• Delta ∆ :

Les Grecques :• Le gamma Г

On a vu que le delta correspondait à la vitesse de valorisation de l'option parrapport au sous-jacent. Un delta de 0.25 ou 25% signifie que l'optiongagne/perd 0.25 lorsque le sous-jacent gagne/perd 1 euro.

Mais ce delta varie.

Le gamma représente le taux de variation du delta, l'accélération de laprise/perte de valeur de l'option par rapport à une variation du sous-jacentLe gamma représente effectivement le taux de variation du delta, et ainsiexprime l'accélération avec laquelle l'option gagne/perd de la valeur vis à visd'un mouvement du sous-jacent.

Les Grecques :• Vega υ :

Le véga υ d'une option correspond à la sensibilité du prix de l'option à unevariation de la volatilité implicite.

Le véga υ d'une option correspond à la sensibilité du prix de l'option à unevariation de la volatilité implicite.

Le véga d’une option, ν, est défini comme le taux de variation du prix d’uneoption consécutive à une variation de la volatilité implicite. C’est donc ladifférence de valeur de l’option prise à un instant t si on modifie la volatilitéimplicite.

Les Grecques :• Theta θ:

Le thêta θ correspond à l'érosion de la valeur d'une option due au passagedu temps.

Intuitivement, il est simple de saisir que plus une option (call ou put) possède une échéance lointaine, plus elle a de valeur, elle vaut cher. En effet, un call 100 échéance 2 ans a plus de chance de finir dans la monnaie, c'est à dire au dessus du Prix D'exercice De L'option (100) et donc valoir plus cher, qu'un call 100 échéance 1 semaine.

Inversement, plus le temps passe, et moins le prix de l'option est élevé (toutes choses égales par ailleurs).

Les Grecques :• Theta θ:

I - Theta, l'effet du passage du temps

On appelle ce phénomène, l'érosion du temps sur la prime. On le mesure à l'aide d'un ratio, le thêta qui exprime combien de valeur l'option va perdre d'ici à demain (parfois d'ici la semaine prochaine.

II - Principe de calcul du Theta

Le Theta se calcule simplement en calculant la différence entre la valeur d'une option demain (pour le theta 1 jour) et sa valeur aujourd'hui.

Thêta = [ Valeur Option Demain ] - [ Valeur Option Aujourd'hui ]

Pricer une option à l’aide D’Excel

Black & Scholes: On price !

• I - VARIABLES ET PARAMÈTRES

Avant toute chose, pour calculer le prix d'une option avec le modèle de Black&Scholes, on a besoin de données. Elles sont au nombre de 6.

2 variablesLe prix actuel du sous-jacent SLa maturité de l'option en année T

4 paramètresLe prix d'exercice ou strike KLa volatilité annualisée de l'actif sous jacent Sigma ou volatilité en %Le taux d'intérêts sans risque r en % par an (il s'agit du taux monétaire ayant même maturité que l'option calculée)Le taux de dividende annualisé q en %