Analyse d’une structure en

éventail

une passerellepiétonne

haubannée

Conception de structuresAutomne 2012

R. PleauÉcole d’architecture, Université Laval

2Introduction

La figure ci-contre illustre schématiquement unepasserelle piétonne construite en montagne pourfranchir un obstacle. Elle fait 3 m de largeur, 14 mde longueur et est supportée par des câbles enacier. Le pontage, qui est constitué de planchesde bois de 89 mm d’épaisseur, repose sur deuxpoutres en bois accrochées à des câbles d’acier eux-même supportés par deux poteaux en bois.

À l’aide de la méthode graphique,nous allons analyser cette structureet voir si on peut modifier sagéométrie pour la rendre plusefficace.

Calcul des charges externes 3

La passerelle est soutenue par deux rangée parallèles de câbles. Nousallons analysé l’une de ces rangées.

Nous considérons que la passerelle supporte une charge uniformément répartie sur toute la surface de son tablier. Mais, puisque la méthode graphique nous oblige à faire l’hypothèse que les charges sont concentrées aux noeuds, nous supposerons que la structure supporte trois charges externes P qui sont appliquées aux points d’intersection entre les câbles et les poutres.

échelle : 1 carreau = 1 m

P P P

4Calcul des charges externesCalcul de la charge uniformément répartie sur le tablier de la passerelle

Calcul des charges concentrées P

Sachant que le masse volumique du bois est égale à 5,5 kN/m3 et que le pontage fait 89 mm d’épaisseur, il est facile ce calculer la charge morte (wD) sur le tablier de la passerelle (on estime que le poids de poutres et du garde-corps sont négligeables)

Sachant également que le C.N.B. impose une charge vive de 4,8 kN/m2 pour les passerelles, la charge totale majorée wF est donc égale à :

La charge totale majorée appliquée à chacun des noeuds de la structure est obtenue en multipliant la valeur de wF par l’aire tributaire :

wD = 5,5 kN/m3 x 0,089 m = 0,5 kN/m2

wF = 1,25 wD + 1,5 wL = (1,25 x 0,5) + (1,5 x 4,8) = 7,8 kN/m2

PF = 7,8 kN/m2 x 1,5 m x 4 m = 47 kN

Diagramme de forme 5

On trace le diagramme de forme à l’échelle en indiquant les charges externes appliquées ainsi que les trois réactions d’appui. On y ajoute la numérotation par intervalles (A à F et 1 à 3)

47 kN 47 kN 47 kN

A

B

CDEF

1 2 3

T

H

V

Réactions d’appui 6

Normalement la première étape de l’analyse consisterait à calculer les réactions d’appui.

On peut, bien sûr, calculer ces réactions d’appui en appliquant les trois conditions d’équilibre statique (∑ Fv = 0 ; ∑ Fh = 0 ; ∑ M = 0) mais ce calcul est fastidieux parce que les membrures de la structure sont inclinées selon divers angles.

Puisque les réactions d’appui sont trois forces non parallèles, on peut les trouver directement, et plus facilement, en traçant le polygone de forces.

Polygone de forces 7

diagramme de forme

polygone de forces

Tout d’abord, rapportons les trois charges externes de 47 kN sur notre polygone de forces. Cela nous permet d’y placer les point d, e, f et a.

d

e47 kN

f

a

47 kN 47 kN 47 kN

A

B

CDEF

1 2 3

Polygone de forces 8

diagramme de forme

polygone de forces

d

e

f

a

1

2

3

Plaçons ensuite les points 1, 2 et 3 en traçant les forces dans chacun des câbles et chacune des membrures du tablier.

47 kN 47 kN 47 kN

A

B

CDEF

1 2 3

Polygone de forces 9

diagramme de forme

polygone de forces

d

e

f

a

1

2

3

Traçons maintenant une ligne parallèle à B3Puis une ligne parallèle à AB

Les deux lignes se croisent au point Bb

47 kN 47 kN 47 kN

A

B

CDEF

1 2 3

Polygone de forces 10

diagramme de forme

Complétons le polygone de force en traçant une ligne horizontale parallèle à BC

Puis une ligne parallèle à CD

Les deux lignes se croisent au point Cpolygone de forces

d

e

f

a

1

2

3

bc

47 kN 47 kN 47 kN

A

B

CDEF

1 2 3

47 kN 47 kN 47 kN

A

B

CDEF

1 2 3

Polygone de forces 11

diagramme de forme

On peut maintenant trouver facilement les trois réactions d’appui à partir du polygone de forces

polygone de forces

d

e

f

a

1

2

3

bc

320 kN

320 kN

170 kN

170 kN

415 kN

415 kN

Si on y ajoute la résultante des forces externes (une force verticale de 141 kN (3 x 47 kN) orientée vers le bas), on constate que polygone des forces est fermé ce qui confirme l’équilibre statique de la structure.

141 kN

Polygone de forces 12

Pour tracer le polygone de forces nous avons choisi de décom-poser la réaction d’appui à la base du poteau selon deux axes orthogonaux, l’un horizontal (BC) et l’autre vertical (CD).

Il pourrait être plus pratique de décomposer cette réaction d’appui selon deux axes non-orthogonaux parallèles au poteau (B3) et au tablier (D3).

80 kN

430 kN

141 kN

d

e

f

a

1

2

3

bc

320 kN

diagramme de forme

320 kN

430 kN47 kN 47 kN 47 kN

A

B

CDEF

1 2 3

80 kN

Optimisation de la structure 13

diagramme de forme

320 kN

430 kN47 kN 47 kN 47 kN

A

B

CDEF

1 2 3

80 kN

d

e

f

a

1

2

3

bc

En regardant la polygone de force, on constate aisément que les plus grands efforts se retrouvent dans le poteau et le câble AB

b

On constate également que l’on peut réduire considérablement ces efforts en modifiant l’angle du câble AB

Optimisation de la structure 14

diagramme de forme

145 kN

225 kN

80 kN

Après avoir modifié l’angle du câble, on obtient donc une structure beaucoup plus efficace que notre structure initiale.

d

e

f

a

1

2

3

bc

47 kN 47 kN 47 kN

A B

CDEF

1 2 3

145 kN

80 kN

225 kN

141 kN

Optimisation de la structure 15

diagramme de forme230 kN

80 kN

Peut-on encore améliorer la performance de la structure ?

d

e

f

a

1

2

3

bc

150 kN

En examinant le polygone de forces, on constate que l’on peut réduire les efforts dans le tablier (membrures F-1, E-2 et D-3) et dans les câbles qui le soutiennent (A-1, 1-2 et 2-3) en modifiant l’angle du poteau.

3

47 kN 47 kN 47 kN

A B

CDEF

1 2 3

Optimisation de la structure 16

diagramme de forme

A

B

CDEF

1 2 3

47 kN 47 kN 47 kN

En plaçant le sommet du poteau dans l’axe vertical passant par la résultante des forces externes, on élimine la réaction d’appui BC puisque la résultante des forces externes et les réactions aux deux appuis forment un ensemble de trois forces non parallèles qui convergent obligatoirement vers un même point (en l’occurrence, le sommet du poteau)

résultantedes forcesexternes

0

Optimisation de la structure 17

diagramme de forme230 kN

150 kNd

e

f

a

1

2

3

b,c

A

B

CDEF

1 2 3

47 kN 47 kN 47 kN

0 kN

On obtient finalement notre structure optimisée. On remarque que les efforts internes dans le poteau et dans le câble AB demeurent les mêmes mais que les efforts dans toutes les autres membrures sont diminués substantiellement.

polygone de forces

18

d

e

f

a

1

2

3

bc

d

e

f

a

1

2

3

b,c

polygone de forcesavant optimisation

polygone de forcesaprès optimisation

19

structureinitiale

structureoptimisée

20

d

e

f

a

1

2

3

bc

d

e

f

a

1

2

3

b,c

polygone de forcesinitial

polygone de forcesoptimisé

forceexterne force

externe

Stabilité latérale 21

Si la base des poteaux est rotulée, la structure est instable puisque rien n’empêche le déplacement latéral des poteaux à leur sommet.

déplacement latéral

On pourrait encastrer les poteaux à leur base mais, d’une part cette opération est difficile et, d’autre part, la longueur effective de flambement est alors doublée (k = 2) ce qui réduit considé-rablement la résistance à la compression du poteau.

La solution la plus efficace pour assurer la stabilité de la structure consiste simplement à incliner les deux poteaux de façon à créer un triangle très stable.

Géométrie optimisée 22

On obtient finalement la géométrie optimisée de la passerelle.

Toujours dans un souci de simplification, nous avons décidé de n’utiliser qu’un seul câble pour lier le sommet du poteau à la falaise (on limite ainsi le nombre d’ancrages à construire sur un site peu accessible).

Espace tridimensionnel 23

Cela n’est plus vrai puisque nous avons choisi d’incliner les poteaux selon un axe perpendiculaire au plan vertical initial.

En utilisant la méthode graphique, nous avons calculé les efforts internes dans chacune des membrures en considérant que toutes ces membrures étaient situées dans un même plan vertical.

230 kN

27 kN

232 kNPour calculer les forces réelles dans chacune des membrures, il faudrait donc décomposer les forces dans un espace tridimensionnel. La figure ci-contre montre la décomposition des forces dans le poteau.

On constate aisément que lorsque l’angle entre la membrure inclinée et le plan vertical est faible, l’influence de l’inclinaison sur l’effort interne dans la membrure est négligeable. Par exemple un angle de 10° modifie de moins de 4% l’effort dans une membrure.

Dimensionnement des poteaux 24

Charge maximale pondérée : Pf = 230 kNLongueur équivalente de flambement : Le = k L = 1 x 12,2 m = 12 200 mm

Choix : 315 x 304 mm Pr = 260 kN > 230 kN

Dimensionnement des câbles 25

Câble entre le sommet des poteaux et la falaise :

Pf = 2 x 150 kN = 300 kN (câble reliant le sommet du poteau à la falaise) propriétés de l’acier : et = 350MPa !adm ! = 0, 9

d ≥ = ≃ 15mm 4Pf

!"#adm

− −−−−−−! 4 × 300000N

Π × 0, 9 × 350 Nmm2

− −−−−−−−−−−−−−−−!

Dimensionnement des poutres 26

Les poutres qui supportent le tablier sont sollicitées en compression et en flexion.

L’effort de compression maximal est obtenu directement à partir du polygone de forces (force f-2 ou e-1, page 17):

L’effort de flexion est égal à : = 19kN Pf

Choix : 130 x 228 mm

= = = 23, 4kN ! m Mf"wf L2

8

(7, 8 " ) "kNm2

3m2 (4m)2

8

+ = + = 0, 11 + 0, 90 = 1, 01 ! 1 Pf

Pr

Mf

Mr

19kN

166kN

23, 4kN " m

26kN " m

27

La qualité esthétique des structures est une notion subjective. On sait cependant que les formes que l’on retrouve dans la nature ont généralement été optimisées au cours du long processus de l’évolution et que ces formes dites «naturelles» influencent grandement notre perception esthétique des choses. Il en résulte que, indépendamment des aspects purement techniques et fonctionnels, les structures optimisées produisent des géométries qui sont généralement perçues comme étant plus harmonieuses par la majorité des personnes.

Structure initiale Structure optimisée