Structures en éventail

ARC-2007 Conception de structures

R. Pleau

École d’architecture, Université Laval

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Les structures en forme d'éventail sont constituées de plusieurs membrures qui convergent toutes vers un même point. Elles peuvent être facilement analysées à l'aide de la méthode graphique. Nous présentons ici quelques exemples qui illustrent comment la méthode graphique peut être utilisée, non seulement pour analyser une structure, mais aussi pour optimiser sa géométrie afin d’accroître sa performance structurale.

Exemple 1

Passerelle piétonne haubannée

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On souhaite construire une passerelle p i é t o n n e p o u r f r a n c h i r u n e dénivellation importante sur un sentier de montagne. La passerelle fait 14 m de longueur et 3 m de largeur. Son tablier est constitué de p lanches en bois de 89 mm d'épaisseur qui reposent sur deux poutres longitudinales en bois qui sont supportées par des haubans en acier eux-mêmes suspendus à deux poteaux en bois lamellé-collé de 10 m de hauteur. Pour les besoins de l'exercice, on considère que le poids des poutres et celui du garde-fou sont négligeables. Les figures ci-contre montrent la géométr ie in i t ia lement env isagée par le concepteur de l'ouvrage. À l'aide de la méthode graphique, nous allons analyser cette structure et voir si il est possible de modifier sa géométrie pour accroître son efficacité struc-turale.

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La première étape consiste à évaluer les charges qui sollicitent la structure. Nous admettons que ces charges sont uniformément réparties sur toute la surface du tablier. La charge morte (wD) est égale à:

Sachant que le C.N.B. prévoit une charge d'utilisation de 4,8 kN/m2 pour les passerelles (voir tableau 2.4), la charge totale majorée est égale à:

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Comme le tablier est supporté par deux structures parallèles en éventail, nous analyserons une seule de ces structures. La méthode graphique impose que les charges soient appliquées au niveau des noeuds. Pour la structure étudiée, les charges externes seront donc appliquées aux noeuds situés à la jonction entre le tablier et les haubans. À chacun de ces noeuds la charge externe (P) est calculée en mult ip l iant la charge totale majorée par l'aire tributaire du noeud:

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La prochaine étape consiste à t r a c e r, à l ' é c h e l l e , l e diagramme de forme de la structure et d'y indiquer la notation par intervalles. Sur ce diagramme de forme on i den t i fie t ro i s r éac t i ons d'appu i : deux réact ions orthogonales - l'une verticale (V), l'autre horizontale (H) à la base du poteau - et une réaction (T) au point d'ancrage du hauban arrière avec la paroi rocheuse (cette force est o r i en tée dans l ' a xe du hauban).

diagramme de forme

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Normalement on devrait utiliser les trois conditions d'équilibre statique (∑Fh = o; ∑Fv = 0 et ∑M =0) pour calculer les réactions d'appui. Dans le cas présent, comme les trois réactions d'appui forment un ensemble de trois forces non-parallèles, on peut les trouver graphiquement directement à partir du polygone de forces. On commence par rapporter les trois forces externes sur le polygone ce qui nous permet d'y placer les points a, f, e et d.

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En partant de l'extrémité gauche de la structure, on peut ensuite placer les points 1, 2 et 3 sur le polygone de forces ce qui nous permet de tracer les efforts internes dans chacun des haubans et chacune des membrures du tablier.

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On trace ensuite une ligne parallèle à la membrure B-3 et une autre parallèle à la membrue A-B. Le croisement de ces deux lignes nous permet de placer le point b sur le polygone de forces et de trouver les efforts internes dans le poteau et dans le tirant A-B.

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On complète le polygone de forces en traçant une ligne parallèle à la force B-C et une autre parallèle à la force C-D. Au croisement de ces deux lignes, on place le point c pour compléter notre polygone de forces. On peut trouver graphiquement les trois réactions d'appui directement sur le polygone de forces. Si on ajoute la force externe (3 × 47 kN = 141 kN) à ces réactions d'appui, on obtient un polygone de forces fermé ce qui confirme que la structure est en équilibre statique.

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À partir du polygone de forces, on peut tracer le d i ag ramme des e f f o r t s internes. On constate que les efforts dans les haubans et dans les membrures en bois qui soutiennent le tablier sont très raisonnables si on les c o m p a r e a u x c h a r g e s externes. En revanche, l'effort interne dans le poteau et dans le tirant en acier fixé à la p a r o i r o c h e u s e s o n t beaucoup plus élevés de même que la réaction d'appui horizontale à la base du poteau. Pourrait-on réduire ces efforts en modifiant la géométrie de la structure ?

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Sur le diagramme de forme, nous avons décomposé la réaction d'appui à la base du poteau et deux composantes orthogonales: l'une horizontale (H), l'autre verticale (V). On aurait aussi pu décomposer cette force autrement. Pour cet exemple, nous estimons qu'il est plus intéressant de décomposer la réaction d'appui à la base du poteau en deux composantes non-orthogonales situées dans le prolongement du poteau et du tablier. On obtient alors le polygone de forces illustré ci-contre.

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En examinant attentivement ce polygone, on constate que l'on peut diminuer considérablement les efforts internes dans le tirant et le poteau en déplaçant le point b pour ramener l'angle d'inclinaison de le membrure A-B plus près de de l'horizontale. Cela signifie que le tirant vient s'ancrer plus haut sur la paroi rocheuse. On obtient alors un polygone de forces beaucoup plus compact que celui de la structure initiale qui témoigne d'une plus grande efficacité structurale.

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Peut-on encore améliorer l'efficacité de la structure? Toujours à partir de polygone de forces, on remarque que si on incline le poteau (membrure B-3) pour le rapprocher de l'horizontale, on déplace le point 3 vers la gauche ce qui aura pour conséquence de réduire les efforts internes dans les haubans et les membrures du tablier.

Existe-t-il un angle d'inclinaison optimal?

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Si on remplace les trois charges externes sur le tablier par une charge résultante passant par le centre de gravité des trois charges individuelles, et les deux réactions d'appui à la base du poteau par une charge résultante; ces deux charges forment avec la réaction d'appui du tirant un système de trois forces non-parallèles. Pour que la structure soit en équilibre statique, il est nécessaire que ces trois forces convergent vers un même point. En examinant la structure on constate qu'il est possible d'incliner le poteau de façon à ce qu'il soit aligné dans le prolongement de la réaction d'appui.

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D’un point de vue constructif, en supprimant la réaction d'appui B-C, on facilite l'assise de la passerelle sur la paroi rocheuse. Cela diminue aussi considérablement les efforts internes dans les haubans et les membrures du tablier.

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En comparant le polygone de force de la structure initiale avec celui de la structure optimisée, on en conclut que la démarche d ' o p t i m i s a t i o n a p e r m i s d'améliorer considérablement la performance structurale de la passerelle en réduisant les efforts dans chacune de ses membrures.

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La figure ci-contre montre la g é o m é t r i e d e l a p a s s e re l l e opt im isée . Comme les deux structures en éventail sont parallèles, les poteaux sont libres de se déplacer latéralement ce qui rend la structure instable dans le cas où les poteaux seraient rotulés à leur base. On peut assurer la stabilité de l'ouvrage en encastrant les poteaux à la paroi rocheuse (cela complique l e s a s s e m b l a g e s ) m a i s l e déplacement horizontal du poteau augmente sa longueur effective de flambement (Le = 2L) ce qui réduit sa résistance à la compression.

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Une solution plus efficace consiste simplement à incliner les poteaux l'un vers l'autre pour former un triangle stable et n'utiliser qu'un seul tirant pour accrocher le sommet du poteau à la paroi rocheuse. On obtient ainsi la géométrie finale de la passerelle qui est, non seulement plus efficace, mais aussi visuellement plus attrayante que la géométrie initiale.

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géométrie initiale géométrie optimisée

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C'est d'ailleurs une idée largement répandue chez l es a rch i t ec tes e t l es i ngén ieu rs que , indépendamment des aspects structuraux, les structures optimisées produisent des géométries qui sont généralement perçues comme plus harmonieuses par la majorité des gens. Les formes que l'on retrouve dans la nature ont été optimisées par le long processus de l'évolution pour résister aux forces qui les sollicitent. Notre appréciation esthétique des constructions humaines serait grandement influencée par ces formes dites naturelles. Par exemple, les branches d'un arbre sont des structures en porte-à-faux plus larges à la jonction du tronc pour résister aux efforts de flexion occasionnés par le poids de la branche et l'action du vent. Les poutres en porte-à-faux qui reprennent cette géométrie sont efficaces et jugées visuellement agréables. En revanche, une poutre en porte-à-faux qui adopterait une géométrie inverse serait jugée visuellement désagréable mais si elle a été dimensionnée correctement.

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Maintenant que la géométrie de la passerelle est finalisée, il nous reste à dimensionner ses membrures. Avec la méthode graphique nous avons calculé les efforts internes dans les membrures comme si celles-ci étaient toutes situées dans un même plan vertical. Cela n'est plus vrai puisque les poteaux et les haubans sont maintenant inclinés p/r au plan vertical. Connaissant l'angle d'inclinaison des membrures, on pourrait décomposer les efforts internes en deux composantes: l'une verticale, l'autre perpendiculaire au plan vertical. La figure ci-contre i l lustre cette décomposition pour la membrure B-3 (i.e. le poteau incliné).

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La projection des forces dans un espace tridimensionnel peut cependant s'avérer un exercice fastidieux si on n'est pas très à l 'a ise avec les fonct ions trigonométriques. Heureusement, on c o n s t a t e q u e l o r s q u e l ' a n g l e d'inclinaison de la membrure p/r au plan vertical est faible, l'influence de cette inclinaison sur l'effort interne dans la membrure est négligeable. Par exemple, un angle d'inclinaison de 10° modifie de moins de 4% l'effort interne dans une membrure. Dans le cas qui nous concerne, on peut donc négl iger de prendre en compte l'inclinaison des membrures sans que leur d imens ionnement n'en so i t significativement affecté.

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La figure ci-contre montre le diagramme d'efforts internes obtenus à partir du polygone de forces de la structure optimisée. Les poteaux font 12,2 m de longueur (on peut les mesurer sur le diagramme de forme) et ils supportent une charge de compression de 230 kN. Le coefficient de retenue (k) est égal à 1 (poteau rotulé à ses deux extrémités sans déplacement latéral). En consultant le tableau de sélection des poteaux en bois lamellé-collé, on choisit alors un profilé de 315 x 304 mm (Pr = 260 kN > 230 kN).

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Le tirant le plus sollicité est celui qui relie le sommet des poteaux à la paroi rocheuse. Il supporte un effort de tension de 300 kN (2×150 kN) En supposant qu'ils soient fabriqués avec de l'acier doux de charpente (Ft = 350 MPa), le diamètre minimal des tirants est égal à:

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Les membrures en bois qui soutiennent le tablier sont soumise à un faible effort de compression (Pf = 19 kN). Cependant, contrairement à l'hypothèse formulée précédemment voulant que les charges externes soient seulement appliquées au niveau des noeuds, les membrures en bois qui soutiennent le tablier supportent une charge uniformément répartie sur toute leur longueur et agissent comme une poutre continue sur plusieurs appuis. La charge uniformément répartie est égale à:

et le moment maximal de flexion est égal à (voir figure 2.82):

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La membrure agit donc comme un poteau-poutre et, à partir des tableaux de sélection des poteaux, on choisi un profilé en bois lamellé-collé de 130 x 228 mm pour lequel on trouve que Pr = 166 kN (pour kL = 4 m) et Mr = 26 kN-m. L'équation d'interaction nous donne:

On en conclut que la membrure agit beaucoup plus comme une poutre que comme un poteau.

Exemple 2

Passerelle piétonne de longue portée

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Les figures ci-dessous montrent le concept initial d'une autre passerelle piétonne de longue portée (54 m). Le tablier de la passerelle est constitué de dalles préfabriquées en béton armé de 10 cm d'épaisseur déposées sur deux poutres longitudinales en acier. Deux poutres transversales supportent le tablier de la passerelle aux tiers de sa portée et sont suspendues par des câbles à quatre poteaux tubulaires en acier. Nous allons analyser cette structure et voir s'il est possible de modifier sa géométrie pour accroître son efficacité structurale.

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Les dimensions de la structures sont données à la figure ci-dessous. Nous allons analyser cette structure et voir s'il est possible de modifier sa géométrie pour accroître son efficacité structurale.

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La première étape consiste à évaluer les charges appliquées au tablier. L'ouvrage est composé de deux structures en éventail parallèles qui supportent chacune une largeur tributaire du tablier de 1,5 m (i.e. 3m/2). La charge morte peut être évaluée de la façon suivante: dalle de béton: 24 kN/m3 × 0,1 m × 1,5 m = 3,6 kN/m poutres en acier et garde-fou = 1,0 kN/m wD = 4,6 kN/m La charge d'utilisation pour une passerelle est égale à: wL = 4,8 kN/m2 × 1,5 m = 7,2 kN/m La charge totale pondérée est donnée par:

La charge externe appliquée à chacun des deux noeuds de la structure est égale à: P = 16,6 kN/m × 18 m = 300 kN

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La ci-dessus montre le diagramme de forme de la structure. À partir de ce diagramme, on trace le polygone de forces illustré ci-contre. En examinant ce polygone, on remarque que les efforts de compression dans les deux poteaux sont différents: 930 kN pour la membrure E-1 et 630 kN pour la membrure 1-2. Comme ces deux poteaux sont identiques, il serait préférable qu'ils soient sollicités de la même façon.

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On peut y parvenir en déplaçant le point 1 de façon à ce que la force A-1 devienne la bissectrice de l'angle formé par les lignes pointillées rouges sur la figure ci-contre. On obtient alors un effort de compression de 800 kN dans chacun des poteaux (E-1 et 1-2). Le déplacement du point 1 modifie l'angle d'inclinaison des membrures A-1 et E-1.

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En examinant le polygone de forces, on constate aussi que la réaction d'appui horizontale à la base des poteaux (la force D-E) est importante (450 kN) ce qui nécessite la construction d'une fondation en béton de grande dimension pour résister à cette poussée horizontale. Les fondations pourraient être considérable-ment simplifiées si on éliminait cette réaction d'appui horizontale. Est-ce possible? La réponse à cette question se trouve une nouvelle fois dans le polygone de forces.

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En déplaçant à nouveau le point 1 et le point e, on peut éliminer complètement la réaction d'appui D-E tout en maintenant égaux les efforts internes dans les poteaux (les membrures E-1 et 1-2) et en réduisant l'effort de tension dans la membrure A-1. Le déplacement des points 1 et e modifie aussi l'angle d'inclinaison des poteaux (E-1 et 1-2) et des membrures A-1 et A-E.

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Comme le sommet du poteau 1-2 est déplacé vers la gauche, cela nous oblige à modifier l'angle d'inclinaison des tirants 2-3 et A-3) et à corriger le polygone de forces en conséquence. On s'aperçoit cependant que, en modifiant l'inclinaison des tirants 2-3 et A-3, le polygone de forces ne ferme plus (le point a est situé à deux endroits différents).

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Cela nous oblige à déplacer les points 1, 2 et 3 et à modifier l'inclinaison de la membrure E-1 pour obtenir le polygone de forces optimisé. À partir de ce polygone de forces, on trace finalement la géométrie optimisée de la structure ainsi que le diagramme d'efforts internes.

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Dans le concept initial le tablier de la passerelle est supporté par deux structures parallèles en éventail. Comme pour l'exemple précédent, le sommet des poteaux peut se déplacer latéralement et, pour les mêmes raisons que précédemment, il serait préférable d'incliner les poteaux et les tirants pour finalement adopter la géométrie qui est illustrée ci-dessous.

concept initial

géométrie optimisée

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Pour compléter l'analyse, il nous reste à dimensionner les membrures. On peut considérer que la faible inclinaison des poteaux et des tirants fait en sorte qu'elle exerce un effet négligeable sur le calcul des efforts internes dans les membrures. Les poteaux les plus hauts font 24 m de longueur. En utilisant la feuille EXCEL conçue pour le dimensionnement des poteaux sur mesure, on choisit un profilé circulaire de 450 mm de diamètre et 10 mm d'épaisseur pour lequel on trouve que:

Pr = 905 kN > Pf = 900 kN

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La tension maximale dans les câbles est égale à 900 kN. Si ceux-ci sont fabriqués avec un acier de haute résistance possédant une contrainte admissible en tension (Ft) de 1200 MPa, leur diamètre minimal (d) est égal à:

La poutre du tablier supporte une charge de compression maximale (Pf) de 675 kN. Comme pour la passerelle de l'exemple précédent elle supporte aussi un moment de flexion maximal (Mf) égal à:

Ce profilé se comporte donc comme un poteau-poutre. Après quelques essais par tâtonnements, on a finalement choisi un profilé W610x82 pour lequel le tableau de sélection des poutres en acier nous donne un moment résistant Mr = 683 kN-m.

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Ce profilé ne figure pas dans les tableaux de sélection des poteaux en acier... mais on peut utiliser la feuille EXCEL pour le dimensionnement sur mesure des poteaux. Selon l'axe vertical on a que kx = 1 et Lx = 18 m. Selon l'axe faible on a que kyLy = 0 puisque le profilé est retenu latéralement sur toute sa longueur par les dalles en béton du tablier. La feuille EXCEL nous donne un effort de compression résistant Pr = 2100 kN. L'équation d'interaction s'exprime comme suit:

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Peut-on encore améliorer les qualités structurales et constructives de la passerelle? La principale difficulté qui subsiste consiste à ancrer les deux câbles verticaux qui transmettent à la fondation une charge d'arrachement de 1800 kN (2 × 900 kN) orientée vers le haut ce qui nécessite de construire de volumineuses et coûteuses fondations en béton sous la surface du sol. On pourrait éviter ce problème en fixant les câbles verticaux à un contrepoids suffisamment lourd pour empêcher le soulèvement de la fondation. Ce contrepoids pourrait être déposé en surface et être intégré au concept architectural de l'ouvrage.

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À titre de contrepoids on pourrait, par exemple, utiliser deux disques de béton de 6,4 m de diamètre et 1,2 m d'épaisseur superposés l'un sur l'autre. Sachant que la masse volumique du béton est égale à 2400 kg/m3 et que le volume d'un disque est égal à π d2 e/4 (où d et e représentent respectivement le diamètre et l'épaisseur du disque), le poids des deux disques (W) est égal à:

Sachant également qu'un tonne correspond à une charge de 10 kN, cela signifie qu'il faudrait une force de 1850 kN pour soulever les disques. Puisque cette force est supérieure à le tension dans les câbles (1800 kN), la structure est stable.

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La figure ci-contre montre la géométr ie définit ive de la structure. En plus de servir de contrepoids, les disques de béton participent aussi au concept architectural. En fait la structure que nous venons de concevoir et d'optimiser est pratiquement identique au Miller Crossing Bridge construit à Exeter en Angleterre en 2002. Les deux disques de béton s e r v a n t d e c o n t r e p o i d s évoquent les meules utilisées dans les moulins à blé qui, jadis, étaient très répandus dans la région.

Miller Crossing Bridge

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Miller Crossing Bridge

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