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Méthode pour calculer les efforts internes dans les treillis isostatiques
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Calcul desefforts internesdans un treillis
isostatique
Conception de structuresAutomne 2011
R. Pleau
École d’architecture, Université Laval
vendredi 7 septembre 12
2Calcul des efforts internesdans un treillis isostatiqueIl est possible de calculer les efforts internes dans chacune des membrures d’un treillis en utilisant la méthode point par point que nous avons vue précédemment.
Cependant, cette méthode est très fastidieuse et on peut obtenir ces valeurs plus facilement en traçant judicieusement le diagramme de corps libre sur une section tronquée du treillis.
1. Le treillis est isostatique
Cette méthode est applicable si les trois conditions suivantes sont respectées :
2. Les noeuds sont rotulés3. Les charges externes sont appliquées aux noeuds du treillis (et pas au milieu des membrures)
vendredi 7 septembre 12
3Étapes de la méthode
Pour calculer l’effort dans la membrure d’un treillis il faut suivre les étapes suivantes:
2. Couper le treillis le long d’une ligne qui n’intercepte pas plus de trois membrures incluant celle pour laquelle on veut calculer l’effort interne.
Pour calculer l’effort dans la membrure d’un treillis il faut:
1°) calculer les réactions d’appui du treillis; 2°) couper le treillis le long d’une ligne qui n’intercepte pas plus de trois membrures incluant celle pour laquelle on veut calculer l’effort interne
1. Calculer les réactions d’appui du treillis.
3. Tracer le diagramme de corps libre (DCL) d’une section tronquée du treillis en indiquant les efforts internes le long de la ligne de coupure.
4. Calculer les efforts internes à partir de l’équilibre statique des forces illustrées sur ce DCL.
5. Au besoin, répétez l’exercice sur une autre section tronquée.
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4ExempleLa figure ci-dessous montre un treillis simplement appuyé et supportant une charge concentrée de 100 kN. Comme la structure est parfaitement symétrique on trouve facilement que les deux réactions d’appui verticales sont égales à 50 kN.
On veut calculer les efforts internes dans les membrures a, b et c
ab
c2 m
100 kN
50 kN 50 kN 6 x 2 m = 12 m
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5Exemple (suite)
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5Exemple (suite)
On coupe la structure selon un plan qui intercepte les membrures a, b et c et on trace le diagramme de corps libre de la structure tronquée.
50 kN
Diagramme decorps libre (DCL)
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5Exemple (suite)
On coupe la structure selon un plan qui intercepte les membrures a, b et c et on trace le diagramme de corps libre de la structure tronquée.
50 kN
Diagramme decorps libre (DCL)
A
BC
On indique sur le DCL les efforts internes dans les membrures a, b et c
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5Exemple (suite)
On coupe la structure selon un plan qui intercepte les membrures a, b et c et on trace le diagramme de corps libre de la structure tronquée.
50 kN
Diagramme decorps libre (DCL)
A
BC
On indique sur le DCL les efforts internes dans les membrures a, b et c
Comme cette structure tronquéedoit être en équilibre statique, oncalcule les efforts internes commeon le faisait pour les réactions d’appui
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6Exemple (suite)En faisant la sommation des moments p/r au point a, le bras de levier des forces B et A est nul et on trouve que:
Σ Ma = - (50 kN x 2 m) + (C x 2 m) = 0
d’où: C = 50 kN x 2 m = 50 kN2 m
50 kN
A
BC
2 m
2 m a
Diagramme de corps libre (DCL)
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7Exemple (suite)
50 kN
A
B
50 kN
2 m
4 m
b
En faisant la sommation des moments p/r au point b, on trouve que:
Σ Mb = - (50 kN x 4 m) + (A x 2 m) = 0
d’où: C = 50 kN x 4 m = 100 kN2 m
Diagramme de corps libre (DCL)
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8Exemple (suite)
En faisant la sommation des forces verticales on trouve enfin que:
Σ Fv = 50 kN + B sin 45° = 0
d’où: B = - 50 kN = -70,7 kNsin 45°
50 kN
100 kN
B
50 kN
Le signe négatif indique que la forceB est orientée dans la directionopposée à celle qui est illustréesur le DCL
Diagramme de corps libre (DCL)
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9Exemple (suite)On corrige le DCL en conséquence pour représenter les efforts internes selon leur bonne orientation. On conclut finalement que:
la membrure A est soumise à uneffort de compression de 100 kN
la membrure B est soumise à uneffort de tension de 70,7 kN
la membrure C est soumise à uneffort de tension de 50 kN
Diagramme de corps libre (DCL)50 kN
70,7 kN
50 kN
100 kN
N.B.: On aurait obtenu le même résultat si on avait analysé la partie droite de la structure tronquée
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10Exemple (suite)
Si on voulait obtenir les efforts internes dans toutes les membrures de la structure, on pourrait répéter l’exercice sur d’autres sections tronquées
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