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Chapitre 2 METHODES D’ÉTUDE DES CIRCUITS ÉLECTRIQUES Prof. Mourad ZEGRARI

Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

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Chapitre 2

METHODES D’ÉTUDEDES CIRCUITS ÉLECTRIQUES

Prof. Mourad ZEGRARI

Page 2: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

2Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Plan

Notations de base

Lois de Kirchhoff

Analyse des circuits par les lois de Kirchhoff

Théorèmes généraux

(Théorème de Millman, Théorème de superposition,

Théorème de Thévenin, Théorème de Norton)

Page 3: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

3Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Notations de base

RéseauEnsemble d’éléments électriques reliés de manière à constituer un circuit fermé.

NœudPoint du réseau où se rejoignent au moins trois conducteurs.

BrancheGroupe d’éléments situé entre deux nœuds successifs.

MailleEnsemble de branches reliées dans un circuit fermé (le nœud de départ est le même que celui d’arrivée).

Page 4: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

4Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Exemple 2.1

On considère le circuit suivant :

Nombre de nœuds : n = 2

Nombre de branches : b = 3

Nombre de mailles : m = 3

On distingue :

Nombre de nœuds indépendants : N = (n – 1)

Nombre de mailles indépendantes : M = b – (n – 1)

E2E1

R1 R2

R3

E3

A

B

D

C

F

E

1 2

Page 5: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

5Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Loi de KIRCHHOFF : Nœuds

On considère le nœud suivant :

La quantité de charge amenée par les courants entrants (+) est égale à celle retirée par les courant sortants (-) :

I1 + I2 + I5 = I3 + I4La somme algébrique des courants dans un nœud est nulle :

I1

I2 I3

I4I5

A

0In

1ii

Page 6: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

6Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Loi de KIRCHHOFF : Mailles

On considère la maille suivante :

Si l’on parcoure toute la maille :

VAA = V1 + V2 + V3 + V4 = 0

La somme algébrique des tensions dans une maille est nulle :

0Vn

1ii

E1R1

R2

R4

D C

BA

E2

R3E3

V1

V2

V3

V4

Page 7: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

7Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Analyse des circuits électriques

L’analyse d’un circuit électrique repose sur la détermination es courants qui circulent dans toutes les branches de ce circuit.

Le nombre de branches = b

il faut déterminer (b) courants

On met en place :

N équations de nœuds indépendants

M équations de mailles indépendants

On dispose de : N + M = b équations.

La détermination de tous les courants devient possible.

Page 8: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

8Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Formulation des équations

Les équations de maille sont reformulées telle que :

Ei : Somme algébrique des f.é.m. de chaque maille. Les f.é.m. sont affectées du signe de la borne par laquelle on sort suivant le sens de parcours.

RiIi : Somme des tensions résistives dans chaque maille. Un produit (RiIi) est compté positif si le sens du courant Ii est le même que celui de parcours de la maille. Il est compté négatif s’il est en sens inverse.

n

1iii

n

1ii IRE

Page 9: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

9Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Formulation matricielle

Les équations de maille sont reformulées sous la forme matricielle suivante :

Avec :

IRE

: Matrice colonne des forces électromotrices. E

R : Matrice (carrée) des résistances.

I : Matrice colonne des courants.

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10Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Méthode des déterminants

La résolution du système matriciel passe par le calcul des éléments : Déterminant principal : Δ

On calcule le déterminant de la matrice des résistances.

Déterminants particuliers : ΔIi

Dans la matrice (R), on substitue la colonne (i) par la colonne (E) des forces électromotrices.

Calcul des courants

On détermine chaque courant en fonction de son déterminant particulier :

ii

II

Page 11: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

11Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Exemple 2.2

On considère le même circuit précédent :

Nombre de nœuds : n = 2

Nombre de branches : b = 3

Soit : N = n – 1 = 1

M = b – N = 2

On écrit :

Nœud A : I1 + I2 = I3

Maille (1) : E1 = R1 I1 + R3 I3 = (R1 + R3) I1 + R3 I2

Maille (2) : E2 = R2 I2 + R3 I3 = R3 I1 + (R2 + R3) I2

E2E1

R1 R2

R3

E3

A

B

1 2

I1 I2

I3

Page 12: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

12Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Exemple 2.2

Ce système d’équations peut s’écrire sous la forme matricielle :

On obtient alors :

2

1

323

331

2

1

I

I

RRR

RRR

E

E

21213

2313211 RRRRR

ERERRII

21213

1323122 RRRRR

ERERRII

21213

2112213 RRRRR

ERERIII

Page 13: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

13Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Méthode des courants fictifs

1. On associe à chaque maille indépendante un courant fictif J (appelé courant de maille). Tous les courants de maille doivent être choisis dans le même sens.

2. On effectue la formulation matricielle suivante :

3. On calcule les courants J par la méthode des déterminants.

4. On déduit les courants réels par les équations de liaison.

JRE

Page 14: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

14Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Formulation Matricielle

La matrice principale est telle que :

[E] :Matrice colonne de la somme algébrique des f.é.m. de chaque maille. L’affectation des signes se fait selon le sens de parcours.

[R] : Matrice des résistance. Elle est constituée comme suit :

Rii > 0 : éléments de la diagonale : Somme des résistances de la

maille d’ordre (i).

Rij = Rji < 0 : éléments correspondants. Somme des résistances

communes aux maille (i) et (j) avec le signe négatif.

[J] : Matrice colonne des courants fictifs de caque maille.

JRE

Page 15: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

15Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Exemple 2.3

On considère le même circuit précédent :

Les courants s’écrivent :

I1 = J1

I2 = – J2

I3 = J1 – J2

On écrit directement la formule matricielle suivante :

E2E1

R1 R2

R3

E3

J1 J2

I1 I2

I3

2

1

323

331

2

1

J

J

RRR

RRR

E

E

Page 16: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

16Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Exemple 2.3

On obtient :

Soit :

21213

2313211 RRRRR

ERERRJJ

21213

1323122 RRRRR

ERERRJJ

21213

2112213 RRRRR

ERERJJI

21213

2313211 RRRRR

ERERRJI

21213

13231222 RRRRR

ERERRJJI

Page 17: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

17Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Diviseur de tension

Une source de tension (E, R1) alimente une résistance R2 :

La loi des mailles donne :

E = V1 + V2 = (R1+R2) I

La tension V2 aux bornes de la résistance R2 s’écrit :

21 RRE

I

E

R1

R2

I

V2

V1

ERR

RV

21

22

Équation d’un diviseur

de tension.

Page 18: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

18Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Diviseur de courant

Une source de courant (I0, R1) alimente une résistance R2 :

La loi des nœuds donne :

Le courant I2 qui circule dans la résistance R2 s’écrit :

21

21

210 RR

VRRR//R

VI

021

12 I

RRR

I

Équation d’un diviseur de courant.

R1R2

I0

VI0

I2I1

21210 R

VRV

III

Page 19: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

19Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Théorème de Millman

On considère le nœud suivant :

La loi des nœuds au point M donne :

Soit :

0

RVV

In

1i i

MAin

1ii

I1

I2I3

I4

A1

R1

A2

R2

R3

A3

R4 A4M

n

1i i

n

1i i

Ai

M

R1

RV

V Théorème de Millman.

Page 20: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

20Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Exemple 2.4

On désire calculer le potentiel au point A :

Le théorème de Millman donne directement :

V71.4

2001

5001

1001

2008

50010

1006

VA

100

V

500 200

6 V 10 V 8 V

A

B

Page 21: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

21Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Théorème de Superposition

On considère un système linéaire possédant une sortie S et plusieurs entrées Ei :

La sortie S du système soumis simultanément à plusieurs entrées Ei est égale à la somme des réponses Si du système à chaque entrée Ei appliquée séparément :

n

1iiSS

SystèmeLinéaire

E1

E2

En

S

E1 active et Ei(i≠1) = 0 S = S1

E2 active et Ei(i≠2) = 0 S = S2

En active et Ei(i≠n) = 0 S = Sn

Page 22: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

22Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Exemple 2.5

On considère le même circuit précédent :

Les courants s’écrivent :

I1 = I’1 – I"1

I2 = I"2 – I’2

I3 = I’3 + I"3

E2E1

R1 R2

R3

I1 I2

I3

E2 = 0E1

R1 R2

R3

I’1I’2

I’3

E2E1

R1 R2

R3

I’’1I’’2

I’’3

(a)

(b)

Page 23: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

23Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Exemple 2.5

On calcule les différents courants :

E2E1 = 0

R1R2

R3

I’’1I’’2

I’’3

E2 = 0E1

R1 R2

R3

I’1I’2

I’3Req1

21213

132

1eq

11 RRRRR

ERRRE

'I

21213

131

32

32 RRRRR

ER'I

RRR

'I

21213

121

32

23 RRRRR

ER'I

RRR

'I

(b) :

(a) :

Req2

21213

231

2eq

22 RRRRR

ERRRE

''I

21213

232

31

31 RRRRR

ER''I

RRR

''I

21213

212

32

13 RRRRR

ER''I

RRR

''I

Page 24: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

24Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Théorème de Thévenin

Tout réseau actif vu entre deux points A et B, peut être modélisé par un générateur de tension, de force électromotrice ET et de résistance interne RT :

Réseau ActifB

A

ET

RT

A

B

ET : Différence de potentiel à vide entre les points A et B.

ET = (VA – VB)I=0

RT : Résistance équivalente du réseau passif vu entre A et B.On court-circuite les sources de tension et on ouvre les sources de courant

Page 25: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

25Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Exemple 2.6

On désire calculer le courant I dans la résistance R :

Les courant I est donné par la relation :

E

R1 A

R2

I

B

RC ET

RT A I

B

RC

CT

T

RRE

I

Page 26: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

26Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Exemple 2.6

Déterminons les paramètres ET et RT :

On obtient : et21

2T RR

ERE

E

R1 A

R2

B

ET

ET :R1 A

R2

B

RT :

Req

21

21T RR

RRR

21C21

2

CT

T

RRRRRER

RRE

I

Page 27: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

27Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Théorème de Norton

Tout réseau actif vu entre deux points A et B, peut être modélisé par un générateur de courant, de courant électromoteur IN et de résistance interne RN :

Réseau ActifB

A

IN : Courant de court-circuit quand les points A et B sont reliés.

IN = ICC (VAB=0)

RN : Résistance équivalente du réseau passif vu entre A et B.

RN = Req(AB)

IN RN

A

B

Page 28: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

28Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Exemple 2.7

On désire calculer le courant I dans la résistance R :

Les courant I est donné par la relation :

E

R1 A

R2

I

B

RC INRN

A I

B

RC

NCN

N IRR

RI

Page 29: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

29Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Exemple 2.7

Déterminons les paramètres IN et RN :

On obtient : et1

N RE

I

E

R1 A

R2

B

IN

IN : R1 A

R2

B

RN :

Req

21

21N RR

RRR

21C21

2

CN

NN

RRRRRER

RRIR

I

Page 30: Circuits chp.2 méthodes d'étude des circuits

30Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Equivalence Thévenin-Norton

Un même réseau actif peut être modélisé soit par un générateur de tension (Thévenin) ou de courant (Norton). Comme ces générateurs représentent le même réseau, on peut alors établir l’équivalence suivante :

Soit : et

ET

RT

A

B

IN RN

A

B

T

TN R

EI TN RR