Cours de maths gene 1 ere sst

LE SECRET DES MAJORS AUX PROBATOIRES G2-G3-SES et A TEL : 651 38 10 01/ 691 53 98 63

INITIATIVE DE DISSO BAKONDE DANIEL OLIVIER, Etudiant Chercheur 1

2015

DISSO BAKONDE DANIEL OLIVIER

EDITION DE JANVIER 2015



2015

AVANT-PROPOS

L’ouvrage que nous présentons ici contient tout le programme annuel de l’enseignement de la mathématique générale dans les classes de Première G2-G3 ET SES, accompagné par des exercices d’applications et d’entrainements ; ainsi que les quatre(04) derniers sujets d’examen proposés au probatoire notamment de 2011 à 2014 avec correction à l’appui.

L’intérêt fondamental de ce type d’ouvrage est d’être utilisé comme un instrument ultime perfectionnement d’apprentissage du cours à fin de mieux faire face aux épreuves et problèmes rencontrés.

Puisse le lecteur faire sienne cette devise : « il faut se divertir, travailler sérieusement ».

Tous commentaires, critiques, suggestions sont les bienvenus.



2015

Sommaire

Avant- propos………………………………………………………page 2

CHAPITRE I : EQUATIONS DU 2ND DEGRE……………………. 5

Leçon1 : polynômes de second degré………………….. 5-10

Leçon 2 : les inéquations du 2nd degré………………….. 11-18

CHAPITREII : ETUDE ET REPRESENTATION GRAGHIQUE DES FONCTIONS…………………………………………………….. 18

Leçon1 : étude des fonctions……………………………………… 18

Leçon2 : limites&continuité……………………………………… 21

Leçon3 : transformation du plan…………………………………… 37

CHAPITRE III : suites numériques……………………………….. 41

Leçon1 : généralité………………………………………………. 41

Leçon2 : suites arithmétiques & géométriques…………………… 43

Exercices d’entrainement…………………………………………. 49

CHAPITRE IV : DENOMBREMENT…………………………… 50

Leçon1 : (rappel) ; algèbre des ensembles………………………. .50

Leçon2 : les pistes-les arrangements- les permutations…………. .54

Leçon3 : les combinaisons ……………………………………..... 58

Exercices d’entrainement……………………………………….. 59



2015

CHAPITRE I : EQUATIONS DU 2ND DEGRE

Leçon1 : polynômes de second degré

Leçon 2 : les inéquations du 2nd degré

CHAPITREII : ETUDE ET REPRESENTATION GRAGHIQUE DES FONCTIONS

Leçon1 : étude des fonctions

Leçon2 : limites&continuité

Leçon3 : transformation du plan

CHAPITRE III : suites numériques

Leçon1 : généralité

Leçon2 : suites arithmétiques & géométriques

Exercices d’entrainement

CHAPITRE IV : DENOMBREMENT

Leçon1 : (rappel) ; algèbre des ensembles

Leçon2 : les pistes-les arrangements- les permutations

Leçon3 : les combinaisons




2015

CHAPITRE I : EQUATIONS DU SECOND DEGRE

On appel polynômes du second degré, toute expression littérale de la forme : 푝(푥) = 푎푥 + 푏푥 + 푐. (푎 ≠ 표), 푎, 푏, 푐푠표푛푡푑푒푠푛표푚푏푟푒푠푟é푒푙푠

Exemples : 푝(푥) = 2푥 − 3푥 + 4;푄(푥) = 4푥 + 2푥 + 1

Toute expression littérale de la forme : 푝(푥) = 표 ≫ 푎푥 + 푏푥 + 푐 =표푒푠푡푎푝푝é푙é푒é푞푢푎푡푖표푛푑푢2푛푑푑é푔푟é푒푛푥.

Exemple : 푝(푥) = 2푥 − 3푥 + 4 = 0; 푞(푥) = 4푥 + 2푥 + 1 = 0

I) Forme canonique d’un polynôme du 2nd degré :

Soit : p(x)=푎푥 푏푥푐(푎 ≠0),푝(푥)푒푠푡é푐푟푖푡푠표푢푠푙푎푓표푟푚푒푐푎푛표푛푖푞푢푒푑푒푙푎푓푎ç표푛푠푢푖푣푎푛푡푒 ∶

풑(풙) = 풂[ 풙 +풃ퟐ풂

ퟐ

−풃² + ퟒ풂풄ퟒ풂²

]

Exemples : on donne :

푝(푥) = 푥 − 6푥 + 10 (1)

푝(푥) = 3푥 − 5푥 + 2 (2)

푝(푥) = 푥² − 푥 − 6(3)

Taf : donner la forme canonique de ces polynômes

Solution :

푝(푥) = 푥 − 6푥 + 10; 푎 = 1, 푏 = −6푒푡푐 = 10

푝(푥) = 1[ 푥 +∗

− ( ) ∗ ∗ ] = [ 푥 − − ]=(x-6/2)²+1

풑(풙) = (풙 − ퟑ)ퟐ + ퟏ

풑(퐱) = ퟑ퐱ퟐ − ퟓ퐱 + ퟐ



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풑(풙) = ퟑ[ 풙 −ퟓퟔ

² −(−ퟓ)ퟐ − ퟒ ∗ ퟑ ∗ ퟐ

ퟒ(ퟑ)ퟐ ]

P(x) =ퟑ[ 풙 − ퟓퟔ

ퟐ− ퟐퟓ ퟐퟒ

ퟑퟔ

풑(풙) = ퟑ[ 풙 −ퟓퟔ

ퟐ

−ퟏퟑퟔ

NB: p(x) = ax²+bx+c (a≠ 0), 푎푦푎푛푡푝표푢푟푓표푟푚푒푐푎푛표푛푖푞푢푒 ∶

푝(푥) = [ 푥 + − ²²

]; L’expression b²-4ac qu’on appelle ∆푒푠푡푎푝푝푒푙é푒푑푖푠푐푟푖푚푖푛푎푛푡푑푢푝표푙푦푛표푚푒푑푢2푛푑푑é푔푟é푒푡푛표푡é∆

= 푏² − 4푎푐, 푑 표ù푝(푥) = 푎[ 푥 +푏

2푎−푏² − 4푎푐

4푎²]

Exemple : p(x)=x²-6x+10 ;∆= 푏 − 4푎푐 ⇔ ∆= (−6) − 4 ∗ 1 ∗ 10 = 36 − 40

⇒ ∆= −ퟒ

3) racines d’un polynôme du 2nd degré :

Elles s’obtiennent à partir du signe du discriminant :

Si ∆= 푏 − 4푎푐 < 0,푝푎푠푑푒푟푎푐푖푛푒 Si ∆= 푏 − 4푎푐 = 0, 푢푛푒푟푎푐푖푛푒푢푛푖푞푢푒; 푥 = − Si ∆= 푏 − 4푎푐 > 0,푑푒푢푥푟푎푐푖푛푒푠푑푖푠푡푖푛푐푡푒푠

Y1= √∆ ; y2= √∆

Exemples : 풒(푥) = 푥² + 4푥 + 5; 푝(푥) = 9푥² + 6푥 + 1; 푠(푥) = 2푥² + 12푥 +10

Solution :

Q(x)=x²+4x+5

∆= 16-20=-4<0, pas de racines

P(x)=9x²+6x+1

∆= 36 − 36 = 0,푢푛푒푟푎푐푖푛푒푢푛푖푞푢푒; 푥 =−618

= −13

S(x)=2x²+12x+10

∆= 144 − 80 = 64 > 0, 2푟푎푐푖푛푒푠푡푒푙푙푒푠푞푢푒 ∶



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X1= √∆⇔푥1 = √ = = −5

X2== √∆⇔푥2 = = −1

On appelle équation du 2nd degré, le polynôme du 2nd degré=0 cette à dire ax²+bx+c=0 (a≠ 0). 푙푒푑푖푠푐푟푖푚푖푛푎푛푡푑푢푝표푙푦푛표푚푒푑푢2푛푑푑푒푔푟é푒푠푡푎푢푠푖푎푝푝푒푙é discriminant de l’équation du 2nd degré p(x)=0. Pour résoudre une équation du 2nd degré ax²+bx+c=0 (a≠ 0), 표푛푐푎푙푐푢푙푑 푎푏표푟푑푙푒푑푖푠푐푟푖푚푖푛푎푛푡∆= 푏² −4푎푐à푝푎푟푡푖푟푑푒푠표푛푠푖푔푛푒표푛푑é푡푒푟푚푖푛푒푑푒푠푠표푙푢푡푖표푛푠

Si∆= 푏 − 4푎푐 < 0, 푝푎푠푑푒푠표푙푢푡푖표푛풅풐풏풄풔 = ∅

Si ∆= 푏 − 4푎 = 0,푢푛푒푠표푙푢푡푖표푛푢푛푖푞푢푒.푥 = − 푑표푛푐푠 =풃

ퟐ풂

Si ∆= 푏 − 4푎 > 0,푑푒푢푥푠표푙푢푡푖표푛푠푑푖푠푡푖푛푐푡푒푠 X1= √∆ ; x2= √∆ 푑표푛푐푠 = {퐱ퟏ; 퐱ퟐ}

Exemple : résoudre dans R les équations du 2nd degré suivantes :

a) 2x²+x+1=0 b) 9x²-12x+4=0 c) X²-8x+7=0

Solution :

a) 2x²+x+1=0 ∆= 푏 − 4푎푐 ⇒ 1 − 8 = −7 < 0,푝푎푠푑푒푠표푙푢푡푖표푛 b) 9x²-12x+4

∆= 푏 − 4푎푐 ⇒ 144 − 144 = 0, 푢푛푒푠표푙푢푡푖표푛푛푢푖푞푢푒, 푥 = −

X= = ; 푠 = {4/3} c) X²-8x+7=0

∆= 푏 − 4푎푐 ⇒ 64 − 28 = 36 > 0, 2푠표푙푢푡푖표푛푠푑푖푠푡푖푛푐푡푒푠

푥1 =−푏 − √∆

2푎⇒

8 − √362

=8 − 6

2= 1

푥2 = √∆⇒ = 7; 푠 = {1; 7}

4) détermination des sommes et des solutions :

Soit l’équation de 2nd degré (E) : ax²+bx+c (a≠ 0)

∆= 푏 − 4푎푐 > 0,푑푒푢푥푠표푙푢푡푖표푛푠푑푖푠푡푖푛푐푡푒푠



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X1=-b-√∆/2푎 ; x2= -b+√∆/2푎

S= Somme=x1+x2⇔풔 = 풃 √∆ퟐ풂

+ 풃 √∆ퟐ풂

= √∆ √∆ = − = − 풔 = − 풃풂

P=produit=x1.x2풔 = 풃 √∆ퟐ풂

풃 √∆ퟐ풂

= √∆ ( √∆ = ( ) √∆ = ∆

Ainsi=b²-(b²-4ac)/4a² = ² ²²

= ; 푃 = 푥1. 푥2 =

Exemple :

Déterminer la somme et le produit des solutions des équations suivantes :

a) 4x²-x+1=0 b) -1/2x²+4x-8=0 c) 4x²+17x-15

Solution :

a) 4x²-x+1=0 ∆= 푏 − 4푎푐 ⇒ 1 − 16 = −15

b) -1/2x²+4x-8=0 ∆= 푏 − 4푎푐 ⇒ 16 − 16 = 0 c) 4x²+17x-15

∆= 푏 − 4푎푐 ⇒ 289 + 240 = 529 > 0, 푑푒푢푥푠표푙푢푡푖표푛푠푑푖푠푡푖푛푐푡푒푠 S=-b/a =-17/4 ; P= c/a=-15/4 5) détermination de deux nombres connaissant la somme et le produit S=x1+x2 P=x1.x2 = x²-sx+p=0 Exemple : s=4; p=2 L’équation de 2nd degré est de la forme : x²-sx+p=0 Application : S=2, p=4

L’équation du 2nd degré est de la forme : x²-sx+p=0⇒ 푥 − 2푥 + 4 = 0 ∆= 푏 − 4푎푐 = 4 − 16 = −12 < 0; 푖푙푛 푒푥푖푠푡푒푑푒푟é푒푙푡푒푙푠푞푢푒푠

= 2푒푡푝 = 4



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풆풙풆풓풙풊풄풆풅 풂풑풑풍풊풄풂풕풊풐풏:

푑푎푛푠푐ℎ푎푐푢푛푑푒푠푐푎푠푠푢푖푣푎푛푡푠é푐푟푖푟푒푛푡푙푒푝표푙푦푛표푚푒푑푢2푛푑푑푒푔푟é푝(푥)푠표푢푠푙푎 푓표푟푚푒푐푎푛표푛푖푞푢푒

Canonique : P(x)=4x²-12x-7 P(x)=-3x²+12x+8 Factoriser si possible les polynômes du 2nd degré suivants : P(x) : x²-8x+17 P(x) : x²+6x-7 Dan s chacun des cas suivants vérifiez que 흈풆풔풕풔풐풍풖풕풊풐풏풅풆(푬). 풕풓풐풖풗풆풛풍 풂풖풕풓풆풔풐풍풖풕풊풐풏 a) : (E) : 7x²-4x-11=0 휎 = −1 b) : (E) : 2x²-3x-2=0 휎 = 2 c) : (E) : 5x²-x-4=0 휎 = 1

Résoudre dans IR les équations suivantes :

a) -4x²-10x-6=0 b) 2x²-4√3푥 + 6 = 0 c) 4x²-x+3=0

Déterminer s’il existe deux nombres réels donc la somme est 3 et le produit P

a) S=3 et P=-10 b) S=-3 et P=9 c) S=5 et P=6

Solution :

P(x)=4x²-12x-7

=4 푥 − + =4 푥 − − 4

P(x) = -3x²+12x+8 P(x) = -3 (푥 − 2) −

Factorisation :

a) P(x) = x²-8x+17 ∆= 푏² − 4푎푐 =64-68=-4<0 ; factorisation impossible, pas de racine

b) P(x) : x²+6x-7∆= 푏² − 4푎푐=36+28=64>0 ; deux racines distinctes. Conclusion : factorisation possible. X1=-b-√∆ = −6 − = −7



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X2=-b+ √∆ = = 1 P(x)=a(x-x1)(x-x2) = (x+7)(x-1)

Vérifions si 흈 est solution de (E)

a) (E) : 7x²-4x-11=0 휎 = −1

⇒ 7(−1) − 4(−1) − 11 = 7 + 4 − 11 (퐸) = 0, 휎 = −1 Vérifie l’équation (E). Calcul de l’autre solution ∆= 푏 − 4푎푐=324>0 ; x2=-b+√∆ = =

b) (퐸): 2푥² − 3푥 − 2 ⇒ 2(2) − 3(2) − 2 = 8 − 6 − 2 = 0 휎 = 2, 푣é푟푖푓푖푒푙 é푞푢푎푡푖표푛퐸.∆= 푏 − 4푎푐 = −3 − 4 ∗ 2 ∗ −2

= 9 + 16 = 25 > 0,푑푒푢푥푠표푙푢푡푖표푛푠푡푒푙푙푒푠푞푢푒 ∶ 풙ퟏ = −풃 + √∆

ퟐ풂= ퟑ − ퟓ

ퟒ=-2/4

풙ퟐ =−b+√∆ퟐ풂

= ퟑ + ퟓퟒ

= ퟐ

Résoudrons dans IR les équations suivantes :

푎) =−4x²-10x-6=0 ; on pose ∆= 푏 − 4푎푐 = (−10) − 4 ∗ −4 ∗ −6 = 100 −96 = 4 > 0, 푖푙푦푎푑푒푢푥푠표푙푢푡푖표푛푠푑푖푠푡푖푛푐푡푒푠푡푒푙푙푒푠푞푢푒푠 ∶

풙ퟏ = −ퟏ풆풕풙ퟐ =ퟑ−ퟐ

풅 풐풖푺 = (−ퟏ;ퟑ−ퟐ

)

푏) =2x²-4√3푥 + 6 = 0,∆= −4√3푥 − 4 ∗ 2 ∗ 6 = 16 ∗ 3 − 48 = 0

∆= 0, 푖푙푦푎푢푛푒푠표푙푢푡푖표푛푢푛푖푞푢푒푥1 = 푥2 = −푏

2푎= −

−4√34

= √3

풙ퟏ = 풙ퟐ = √ퟑ; 풔 = (√ퟑ) c) =4x²-x+3=0, ∆= −47 < 0,푝푎푠푑푒푠표푙푢푡푖표푛; 푠 = ∅

Déterminons s’il existe des réels tels que p=-10 et s=3

L’équation de 2nd degré est de la forme : x²-sx+p=0⇒ 푥 − 3푥 + (−10)

P(x) =x²-3x-10; ∆= 49 > 0, 푑푒푢푥푠표푙푢푡푖표푛푠표푢푑푒푢푥푟é푒푙푠푡푒푙푠푞푢푒 ∶ 푠 =ퟑ풆풕풑 = −ퟏퟎ

On donne s=-3 et p= 9

Ecrire sous forme : x²-sx+p=0⇒ 푥 − (−3)푥 + 9

P(x)=x²+3x+9 ; ∆= −ퟐퟕ < 0,풑풂풔풅풆풔풐풍풖풕풊풐풏,풑풂풔풅풆풓é풆풍.



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Elles sont sur l’un des quatre formes suivantes :

Ax²+푏푥+c<0

Ax²+푏푥+c>0

Ax²+푏푥+c≥ 0 a≠ 0

Ax²+Tapezuneéquationici.+c≤ 0

Le discriminant de l’équation du 2nd degré est de même que celui de l’inéquation du 2nd degré on détermine d’abord le discriminant ∆푙 푒푛푠푒푚푏푙푒푑푒푠푠표푙푢푡푖표푛푠푒푠푡푑표푛푛é푒푠표푢푠푙푎푓표푟푚푒푑 푖푛푡푒푟푣푎푙푒푠푢푖푣푎푛푡푢푛푡푎푏푙푒푎푢

De signe établit. Les symboles d’inégalité < ou ≤푠푒푟푎푝푝푟표푐ℎ푒푑푢푡푎푏푙푒푎푢푑푒푠푠푖푔푛푒푠푝푎푟푙푒푠푖푔푛푒 −푑푎푛푠푙푒푠푖푛푡푒푟푣푎푙푒푠표푢푑푒푡푎푏푙푒푎푢푥푑푒푠푖푔푛푒푠.

풍풆풔풔풚풎풃풐풍풆풔풅 풊풏é품풂풍풊풕é > 표푢≥ 푠푒푟푎푝푝푟표푐ℎ푒푑푢푡푎푏푙푒푎푢푑푒푠푠푖푔푛푒푠푝푎푟푙푒푠푖푔푛푒+, 푠푢푖푣푎푛푡푙푒푠푖푔푛푒푑푒∆표푛풂∶ −풔풊∆< 0, 푝푎푠푑푒푠표푙푢푡푖표푛 ∶ 푠 = ∅

X -∞ + ∞ Ax²+bx+c Signe de a

- Si ∆= 0, 푢푛푒푠표푙푢푡푖표푛푢푛푖푞푢푒푥 = −

X -∞ − 풃ퟐ풂+ ∞

Ax²+bx+c signe de a Signe de a S=IR-{−푏/2푎}

- Si ∆> 0, 푑푒푢푥푠표푙푢푡푖표푛푠푑푖푠푡푖푛푐푡푒푠



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X1=-b− √∆ et x2= -b+√∆

X -∞ x1 x2 +∞ Ax²+bx+c signe de

a signe de -a Signe de a

EX : résoudre dans IR les inéquations suivantes :

1) 4x²+2x+1<0 2) 2x²-x-3>0 3) –x²-x+12<0 4) 25x²-70x+49<0

Solution :

1) 4x²+2x+1 ; ∆= 푏 − 4푎푐 = 4 − 16 = −12 < 0;푝푎푠푑푒푠표푙푢푡푖표푛푠 = ∅ X -∞ + ∞ 4x²+2x+1 +

2) 2x²-x-3>0 ;∆= 푏 − 4푎푐 = 1 + 24 = 25 > 0;푑푒푢푥푠표푙푢푡푖표푛푠푑푖푠푡푖푛푐푡푒푠 X1=-1 ; x2=3/2

X -∞ − ퟏ ퟑퟐ+ ∞

2x²-x-3 + - +

S= ] − ∞;−ퟏ[∪]ퟑ/ퟐ; +∞[

3) –x²-x+12<0 ; ∆= 49 > 0;푑푒푢푥푠표푙푢푡푖표푛푠푑푖푠푡푖푛푐푡푒푠 ∶ 푥1 = 3푒푡푥2 =−4 X −∞ -4 3 +∝

Tapezuneéquationici. -x²-x+12 - + - S=]−∞;−4[∪]3; +∞[

4) 25x²-70x+49<0 ; ∆= ퟎ, 풙 = − 풃ퟐ풂

= ퟕퟎퟐ∗ퟐퟓ

= ퟕퟎퟓퟎ

= ퟏퟒퟏퟎ

= ퟕퟓ

X −∞ ퟕ

ퟓ+ ∞

25x²-70x+49 + + S= IR- ퟕ

ퟓ



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EQUATIONS ET INEQUATIONS SE RAPPORTANT AU 2ND DEGRE

I) EQUATIONS ET INEQUATIONS DE DEGRE 3 : Elles sont de la forme :

⎝

⎜⎛풂풙ퟑ + 풃풙ퟐ + 풄풙 + 풅 = ퟎ풂풙ퟑ + 풃풙ퟐ + 풄풙 + 풅 < 0풂풙ퟑ + 풃풙ퟐ + 풄풙 + 풅 > 0풂풙ퟑ + 풃풙ퟐ + 풄풙 + 풅 ≤ ퟎ풂풙ퟑ + 풃풙ퟐ + 풄풙 + 풅 ≥ ퟎ⎠

⎟⎞

a≠ 0

Le problème se ramène à un énoncé du genre. Soit une équation de la

Forme 푎푥 + 푏푥 + 푐푥 + 푑 = 0

a) Vérifiez le réel 휎푒푠푡푠표푙푢푡푖표푛푑푒푙 é푞푢푎푡푖표푛푑표푛푛é푒 b) Trouvez l’équation du 2nd degré correspondante et la résoudre c) Résoudre l’équation de degré 3 donnée

Exemple : soit à résoudre l’équation de 2nd degré 3 données.

ퟐ풙ퟑ − ퟓ풙² − 풙 + ퟔ = ퟎ

a) Vérifiez que -1 est solution b) Déterminez l’équation du 2nd degré correspondante c) Donnez l’ensemble solution d’équation du degré 3

Solution : a) Vérifions si -1 est solution

(E) : 2푥 − 5푥² − 푥 + 6 = 0

=2(−1) − 5(−1) + 6 =2(-1) (-1)(-1)-5(-1)(-1)+6 =-2-5+1+6 =-7+7 =0 ; conclusion -1 est solution de l’équation (E)



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ퟐ풙ퟑ − ퟓ풙² − 풙 + ퟔ x+1

-(2푥 + 2푥) − 푥 + 62x-7x+6

2푥 − 5푥 − 푥 + 6

−2푥 − 2푥

-7x²-x+6

-(-7x²-7x)-x+6

-7x²-x+6

7x²+7x

+6x+6

-(6x+6)

= =

b) On aura pour équation du 2nd degré : (x+1) (2x²-7x+6)=0⇒ (푥 + 1) ≠0표푢푥 = −1푒푡2푥 − 7푥 + 6 = 0; ∆= 푏 − 4푎푐 = (−7) − 4(2)(6) =49 − 48 = 1 > 0푑푒푢푥푠표푙푢푡푖표푛푠푑푖푠푡푖푛푐푡푒푠 X1=-b-√∆ = 7 − = = X2=-b+√∆ = = 2푠 = (−1; ; 2)

Autre méthode : la division includienne. L’équation du 2nd degré est sous la forme : ax²+bx+c=0

2푥 − 5푥² − 푥 +6= (x+1) (ax²+bx+c)

2푥 − 5푥² − 푥 +6 = 푎푥 + 푏푥 + 푐푥 + 푎푥 + 푏푥 + 푐

2푥 − 5푥² − 푥 +6 =푎푥 + (푎 + 푏)푥 + (푏 + 푐)푥 + 푐

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧ 2푥 − 5푥 − 푥 + 6

푎푥 + (푎 + 푏)푥 + (푏 + 푐)푥 + 푐푎푥 = 2푥 푎 = 2

(푎 + 푏)푥 = −5푥 ⇒ 푎 + 푏 = −5; 2 + 푏 = −5 ⇒ 푏 = −7(푏 + 푐)푥 = −푥

푐 = 6

L’équation du 2nd degré demandée est 2x²-7x+6



2015

2x²-5x²- x+6= (x+1) (2x²-7x+6)

Exercice :

푥 − 7푥 − 6

a) Vérifiez que -1 est solution b) Déterminer l’équation du 2nd degré

Résoudre dans IR l’inéquation de degré (I) : 푥 − 7푥 − 6 < 0; 푥 − 7푥 − 6 ≥0

(I) :푥 − 7푥 − 6 <0 (x+1)(x²-7x-6)<0

X -∞ +∞ -2 -1 3

X+1 - - + + X²-x-6 + - - + (I) - + - +

(I)<0 s=] -∞;−2[∪] − 1; 3[

(I)≥ 0푠 = [−2;−1] ∪ [3; +∞[

< Ou ≤⇔−

>ou ≥⇔ +

II) EQUATIONS ET INEQUATIONS BICARREES

1) DEFINITION : Ce sont les équations et inéquations de la forme (E) : 푎푥 + 푏푥 + 푐 = 0

풂풙ퟒ + 풃풙ퟐ + 풄 < 0풂풙ퟒ + 풃풙ퟐ + 풄 ≤ ퟎ

풂풙ퟒ + 풃풙ퟐ + 풄 > 0푎 ≠ 0풂풙ퟒ + 풃풙ퟐ + 풄 ≥ ퟎ

De l’une des quatre formes ci-dessus pour les inéquations

2) Méthode de résolution 3) On effectue un changement d’inconnu en posant X=x², l’équation (E) :

devient ax²+bx+c=0 (I) : devient ax²+bx+c>0

Ax²+bx+c>0 (≥ 표푢 ≤)



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Exemple : résoudre dans IR l’équation suivante : (E) : 4푥 − 8푥 + 7 = 0

On pose X=x²⇒ 푥 − 8푥 + 7 = 0; ∆= 푏 − 4푎푐 = 64 − 28 = 36 >0, 푑푒푢푥푠표푙푢푡푖표푛푠푑푖푠푡푖푛푐푡푒푠 ∶

X1=1 et x2=7

S={1; 7}푋1 = 1 = 푥 − 1 = 0 ⇒ (푥 − 1)(푥 + 1) = 0

X=1 ou x=-1

X2=x²=7=x²-7=0⇒ 푥 − √7 푥 + √7 = 0

X=√7표푢푥 = −√7

S= −√7,−1; 1;√7

Devoir : résoudre les inéquations suivantes :

푥 − 8푥 + 7 > 0; 푥 − 8푥 + 7 ≤ 0

Solution :

(I) : 푥 − 8푥 + 7 > 0, 표푛푝표푠푒 ∶ 푋 = 푥 ⇒푋 − 8푋 + 7 > 0 ∆ + 36 > 0,퐷퐸푈푋푆푂퐿푈푇퐼푂푁푆퐷퐼푆푇퐼푁퐶푇퐸푆

X1=1 etx2==2

X1=x²=1 et x2=x²=7 on aura donc x=1 ou x=-1 et x=−√7표푢푥 = √7

Tableau de signes :

X -∞ -√ퟕ -1 1 √ퟕ +∞ X+√ퟕ - + + + + X+1 - - + + + x-1 - - - + + x-√ퟕ - - - - + (I) + - + - +

Si (I) : >0,⇔ +



2015

S=]∞;-√ퟕ[∪] − ퟏ;ퟏ[푼]√ퟕ; +∞[

Si (I):≤ ퟎ

S= [√ퟕ;−ퟏ]푼[ퟏ; √ퟕ]

Problème :On doit partager un montant de 30 000fcfa entre un certain nombre de personnes. S’il y avait 4 personnes de moins la part de chacune serait

Augmentées de 1250fcfa

Déterminer le nombre de personnes et la part de chacune d’elle

Solution :

La somme égale à x personnes est 30000/x S’il ya 4 personnes de moins (x-4) nombre de personnes La somme qu’aurait chacune est :

30 000/x-4 =30 000/x+1250

Soit x le nombre de personnes et y la part de chacune d’elle

⎩⎪⎨

⎪⎧ 푦 =

30000푥

30000푥 − 4

=30000푥

+ 1250

30 000/x-4 =30000+1250/x (30 000+1250x)(x-4)=30 000x 30 000x-120 000+1250x²-5000x=30 000x 30 000x-120 000+1250x²-5000x-30 000x=0 1250x²-5000x-120 000=0

∆= 푏 − 4푎푐 = (−5000) − 4(1250)(−120000) 25000 + 600000 = 625000000 > 0,푑푒푢푥푠표푙푢푡푖표푛푠푑푖푠푡푖푛푐푡푒푠

X1=5000-25000/2500 =-20000/2500=-8, partage rejeté X2=12 Y=30000/12 =2500 S={(12; 2500)} Exercices d’entrainement : Exo1 : On se propose de résoudre l’équation (E) : 푥 + 2푥 − 3 = 0 1) Résoudre l’équation 푥 + 2푋 − 3 = 0푑푎푛푠푅



2015

2) A l’aide de la question précédente, déterminer les solutions de (E) dans R

Exo2 :

푝(푥) = −푥 + 6푥 − 11푥 + 6

1) Calculer p (1) 2) Déterminer les réels a, b et c tels que 푝(푥) = (푥 − 1)(푎푥 + 푏푥 + 푐)

Résoudre dans R a) P(x)=0 b) P(x)>0 P(x)<0

: Définition :

On appelle fonction, une relation binaire entre deux ensemble A et B tels que tout élément de l’ensemble d’arrivée a plus un antécédent dans l’ensemble de départ.

Les fonctions que nous allons étudiées ont pour ensemble de départ et d’arrivée IR. On les appelle les fonctions numériques d’une variable réelle.

1) Les types de fonctions :

Notre étude portera sur deux types de fonctions :

- Les fonctions polynômes - Les fonctions homographiques

2) Les différentes étapes de l’étude d’une fonction : a) Domaine de définition ou ensemble de définition (Df) :

C’est l’ensemble dans lequel s’étudie les fonctions. C’est l’ensemble pour lequel la fonction existe. Pour les fonctions polynômes, 푫풇=]-∞; +∞[

Pour les fonctions homographiques, f existe si et seulement si le dénominateur est différent de zéro

Exemple :



2015

F(x)=2x-1 푫풇=IR

F(x)=3/2x² +2x-8

F(x)=풙ퟑ − ퟏퟒ풙ퟐ

+ 풙 − ퟔ

F(x) =x-1/x+1

F(x) ∃푠푠푖푥 + 1 ≠ 0 ⇒ 푥 ≠ −1;푑표푛푐푑푓 = 퐼푅 − {−1}표푢푑푓 =] −∞;−1[푈] − 1; +∞[

b) Parité :

- F est paire si pour tout (-x) 휖푑푓, 푝표푢푟푡표푢푡푥휖푑푓. 푓(−푥)=f(x)

Exemple :

F(x)=x²+1 ; f(x)=푥 − 8푥 + 7

F(x)=x²+1 ; Df=IR

∀(−푥) = 퐼푅

∀푥휖퐼푅, 푓(−푥) = (−푥) + 1 = 푥 + 1 = 푓(푥)

Conclusion : f est paire

F(x)=푥 − 8푥 + 7

∀(−푥) = 퐼푅

∀푥휖퐼푅, 푓(−푥), 푓(−푥) = (−푥) − 8(−푥) + 7

= (-x)(-x)(-x)(-x)-8(-x)(-x)+7

=푥 − 8푥 + 7 = 푓(푥)

Conclusion : f est paire

REMARQUE :

Toutes les fonctions donc les monômes sont de degré paire sont paires

- F est impaire si ∀푥휖푑푓, 푓(−푥) = −푓(푥)

Exemple : f(x)=푥 − 푥

F (-x)=(-푥) − (−푥)

= (-x)(-x)(-x)+x



2015

=-푥 + 푥

-f(x) =-(푥 − 푥) = −푥 + 푥

Conclusion f (-x)=-f(x)=−풙ퟑ + 풙,풇풆풔풕풊풎풑풂풊풓풆

REMARQUE : toutes les fonctions dont les monômes sont de degré impair sont impaires

En dehors des deux 1er cas, toutes les autres fonctions sont ni paires ni impaires.

Application :

Etudier la parité des fonctions suivantes :

F(x)=1-x² ; f(x)=푥 − 푥-6 ; f(x)=2푥 − 3푥 + 푥 − 1

Solution

F(x) =1-x²

Df =IR, ∀(−푥) = 퐼푅 ∀(푥) = 퐼푅, 푓(−푥) = 1— 푥² = 1 − 푥² ; 푐푙 : 푓푒푠푡푝푎푖푟푒

F(x) =풙ퟑ − 풙-6

Df =IR,∀(−푥)휖푑푓, 푓(−푥) = (−푥) — 푥 − 6 = −푥 + 푥 + 6

-f(x)=-(푥 − 푥-6)=−푥 + 푥-+6); cl : f est ni paire ni impaire

I) CALCUL DES LIMITES 1) Limite à l’infini (-∞)

La première des choses à faire c’est de trouver d’abord le 푑푓 ; parce que les

Limites d’une fonction se calcul aux bornes du 푑푓 . C’est pour cela qu’il faut écrire le 푑푓 pour bien voir les bornes.

Pour les fonctions polynômes, donc le 푑푓=IR les limites se calculent à -∞푒푡à + ∞ et sont d’égal à limite de monômes du plus haut degré.

Exemple : f(x)=풙ퟑ − 풙 − ퟔ



2015

NB : la limite d’une fonction se note Lim f(x)=Lim푥 − 푥 − 6 = 푙푖푚푥 = +∞

X→ −∞x→ −∞x → −∞

La limite à l’infini pour les fonctions homographiques est égale à la limite du quotient des monômes le plus haut degré.

2) Les limites en un point 푥표

Une fonction f admet en푥표, une limite lorsque le limite x→ 푥표푑푒푙푎푓표푛푐푡푖표푛푓(푥)푒푠푡é푔푎푙푒푓(푥표)

lim 푓(푥) = 푓(푥표) = 푓

푥 → 푥표

Limite à gauche-limite à droite

Les limites à gauche ou limites à droite d’une fonction concernant seulement les fonctions homographique. Xo étant la valeur qui annule le dénominateur

Limite à gauche de xo (xo-) (xo-=xo par valeur négative)

lim 푓(푥) = lg(푙푖푚푖푡푒à푔푎푢푐ℎ푒)

푥 → 푥표 −

Limite à droite de xo (xo+)

lim 푓(푥) = ld(limiteàdroite)

푥 → 푥표 +

Exemple : f(x)= 1/x ; Df=IR-{ퟎ} =] −∞;ퟎ[푼]ퟎ; +∞[

lim 푓(푥) =푙푖푚1푥

=lim 1−∞

= 0

푥 → −∞ 푥 → −∞ 푙푖푚푓(푥) = = = +∞

푙푖푚푓(푥) = = = 0 푥 → 0 푥 → 0

푥 → 0 푥 → 0

Lim푓(푥) = = = −∞



2015

푥 → 0 푥 → 0

- Si Lim f(x) = Lim f(x) = f(x) 푥 → 푥0 →

- 푠푖푙푖푚푓(푥) ≠ 푙푖푚푓(푥) = 푓(푥), 푙푎푓표푛푐푡푖표푛푛 푎푑푚푒푡푑푒푙푖푚푖푡푒푒푛푥표 푥 → 푥0 →

II) CONTINUITE : 1) Théorème :

Toutes les fonctions polynômes sont continuent dans leur Df

2) Continuité en un point xo

Une fonction f est continu en un point xo si les deux conditions suivantes sont remplient et leurs conditions :

- F(x) existe - Lim f(x) =f (x)

풙풐 → 풙풐 3) Continuité à gauche à droite de xo

a) Continuité à gauche cette à dire en 풙풐 : 풇(풙풐 )풆풙풊풔풕풆 Lim f(x)=풇(풙풐 )

풙 → 풙풐 b) Continuité à droite cette à dire en 풙ퟎ : - F (풙ퟎ )풆풙풊풔풕풆 - Lim f(x)=f (풙ퟎ )

풙 → 풙풐

Si f (푥표 ) = f (풙ퟎ ) = 풇(푥표),푓푛 푒푠푡푝푎푠푐표푛푡푖푛푢푒표푢푒푙푙푒푒푠푡푑푖푠푐표푛푡푖푛푢푒.

III) DERIVABILITE- DERIVEE : 1) Théorème : - La fonction polynôme est dérivable sur IR - Toute fonction homographique est dérivable en tout point sauf au point où

le dénominateur s’annule 2) Dérivabilité d’une fonction en un point 풙풐

F est dérivable en un point 푥표, 푙표푟푞푢푒 ∶

풍풊풎풇(풙) − 풇(풙풐)

풙 − 풙풐= 풇,(풙풐)

풙 → 풙풐

Le réel 푓 ,(푥표)푒푠푡푎푝푝푒푙é푛표푚푏푟푒푑é푟푖푣é푑푒푓푎푢푝표푖푛푡푥표. 푒푥푒푚푝푙푒푐푎푙푐푢푙푒푟푙푒푛표푚푏푟푒



2015

Dérivé de la fonction en 푥표푝표푢푟푐ℎ푎푐푢푛푑푒푠푐푎푠푠푢푖푣푎푛푡푠 ∶

1) 푓(푥) = 푥 + 1; 푥표 = −1 2) 푓(푥) = , 푥표 = 2

Solution :

3) 푓(푥) = 푥 + 1; 푥표 = −1

푓(푥표) = 푓(−1) = (−1) + 1 = 2

푙푖푚 ( ) ( )( ) =푙푖푚 ² = 푙푖푚 ² ↔ ² ∃푠푠푖푥 + 1 ≠ 0 ⇒ 푥 = −1

푥 → −1 푥 → −1 푥 → −1

푙푖푚 ² =→

= ( )( = lim 푥 − 1 = −1 − 1 = −ퟐ

푥 → −1 푥 → −1 푥 → −1

푙푖푚푓(푥) − 푓(−1)

푥 + 1= −2, 푒푠푡푙푒풏풐풎풃풓풆푑é푟푖푣é푑푒푙푎푓표푛푐푡푖표푛푎푢푝표푖푛푡풙풐

= −ퟏ

3) 푓(푥) = , 푥표 = 2, 푙푎푠푢푖푡푒à푐ℎ푒푟푐ℎ푒푟

Exercice :

Dans chacun des cas suivants calculer en utilisant de la définition, le nombre de la dérivée f en 푥표

a) 풇(풙) = 풙ퟐ + ퟏ;풙풐 = −ퟐ b) 풇(풙) = ퟐ풙 ퟑ

풙 ퟏ;풙풐 = ퟐ

Solution :

a) 풇(풙) = 풙ퟐ + ퟏ;풙풐 = −ퟐ

Df=R ; 푓(푥표) = 푓(−2) = (−2) + 1 = 4 + 1 = 5

lim →( ) ( )

( ) = lim → = lim → 푥 + 2 ≠ 0, 푥 ≠ −2

⇒ lim→

(푥 − 2)(푥 + 2)푥 + 2

= lim→

푥 − 2 = −2 − 2 = −4



2015

lim→

푓(푥) − 푓(−2)푥 + 2

= −4; 푐표푛푐푙푢푠푖표푛 ∶ 푙푒푛표푚푏푟푒푑é푟푖푣é푑푒푓푎푢푝표푖푛푡푥표= −2

a) 풇(풙) = ퟐ풙 ퟑ풙 ퟏ

;풙풐 = ퟐ

푑푓=R-{1} ; 푓(푥표) = 푓(2) = 2(2) + − 1 = 4 + = 7

lim→

푓(푥) − 푓(2)푥 − 2

= 푓 ,(2)

= lim→

2푥 + 3푥 − 1

푥 − 2= lim

→2푥 + 3 − 7푥 + 7

푥 − 1푥 + 2

= lim→

−5푥 + 10(푥 − 1)(푥 − 2)

∃푠푠푖(푥 − 1)(푥 − 2) ≠ 0; 푥 ≠ 1표푢푥 ≠ 2

=lim →( )

( )( )= lim → = − − 1 = −5

퐥퐢퐦풙→ퟐ

풇(풙) − 풇(ퟐ)풙 − ퟐ

= −ퟓ; 풆풔풕풍풆풏풐풎풃풓풆풅é풓풊풗é풅풆풇풂풖풑풐풊풏풕풙풐 = ퟐ

Notion d’équation de tangente d’une fonction :

lim푓(푥) − 푓(푥표)

푥 − 푥표= 푓 ,(푥표) ⇒ 푓(푥) − 푓(푥표) = 푓 ,(푥표)(푥 − 푥표)

⇒ 푓(푥) = 푓 ,(푥표)(푥 − 푥표) + 푓(푥표)

Comme y=f(x)

푦 = 풇,(풙풐)(풙 − 풙풐)+ 풇(풙풐); 푒푠푡푙 é푞푢푎푡푖표푛푑푒푙푎푡푒푛푔푒푛푡푒푑푒푓푎푢푝표푖푛푡푥표

Exemple : x²-2x+3

Df=R ; f(o)=(o)²-2(o)+3=3

푓 ,(표) =푙푖푚푓(푥) − 푓(표)

푥 − 0= lim

→

푥 − 2푥푥

, 푝표푢푟푥 ≠ 0



2015

=lim →

( =

lim → 푥 − 2 = 0 − 2 = −2푦 = 푓 ,(0)(푥 − 0) + 푓(0) = −ퟐ풙 + ퟑ푓 ,(표) = −2

풇(풙) = 풙 ퟑ풙 ퟐ

; 푥표 = −1푑푓 = 푅 − {2}

푓(−1) =−1 − 3−1 − 2

=43

푓 ,(−1) =푓(푥) − 푓(−1)푥 − (−1)

= lim→

푥 − 3푥 − 2

푥 + 1−

43

= lim→

3(푥 − 3) − 4(푥 − 2)푥 − 2

푥 + 1

lim→

= 3(푥 − 3) − 4(푥 − 2)3(푥 − 2)(푥 + 1)

lim→

3푥 − 9 − 4푥 + 83(푥 − 2)(푥 + 1)

lim→

−푥 − 13(푥 − 2)(푥 + 1) ; 푎푣푒푐3(푥 − 2)(푥 + 1) ≠ 0,

(푥 − 2) ≠ 0푒푡(푥 + 1) ≠ 0푥 ≠ 2푒푡푥 ≠ −1

lim→

−(푥 + 1)3(푥 − 2)(푥 + 1)

lim→

−13(푥 − 2) = − 1

3(−1 − 2) = 1/9

풇,(−ퟏ) =ퟏퟗ

푦 = 푓 ,(−1)(푥 + 1) + 푓(−1) =19

(푥 + 1) +43

=19푥 +

19

+43⇔풚 =

ퟏퟗ풙 +

ퟏퟑퟗ

3. DERIVE

SOIT f une fonction dérivable dans son df, on appelle fonction dérivée, la fonction notée 푓 ,(푥)



2015

- Pour les fonctions polynômes

풇(풙) = 풙풏 ⇒ 풇,(풙) = 풏풙풏 ퟏ

Exemple : f(x)=풙ퟑ − ퟑ풙ퟐ + ퟏ;풅풇 = 푹; ∀풙 ∈ 푹, 풇,(풙) = ퟑ풙ퟑ ퟏ − ퟑ ∗ ퟐ풙ퟐ ퟏ +ퟎ⇔ 풇,(풙) = ퟑ풙ퟐ − ퟔ풙

Dérivée des fonctions usuelles

풇(풙) = 풂 ⇒ 풇,(풙) = ퟎ

풇(풙) = 풂풙 ⇒ 풇,(풙) = 풂

풇(풙) = 풙 ⇒ 풇,(풙) = ퟏ

풇(풙) = 풙² ⇒ 풇,(풙) = ퟐ풙

풇(풙) = 풙ퟑ ⇒ 풇,(풙) = ퟑ풙²

풇(풙) = 풙ퟒ ⇒ 풇,(풙) = ퟒ풙ퟑ

- Pour les fonctions homographiques :

풉(풙) =풇(풙)품(풙)

풉(풙)∃풔풔풊품(풙) ≠ ퟎ ; ∀풙 ∈ 풅풉(풙):풉 (풙) = 풇 품 풇품품²

Exemple :

풉(풙) =ퟏ풙⇒ 풉(풙) =

풇(풙)품(풙) 푓

(푥) = 1 ⇒ 푓 = 0푒푡푔(푥) = 푥 ⇒ 푔 = 1

ℎ(푥)∃푠푠푖푥 ≠ 0푑표푛푐푑푓 = 푅 − {0}

풉 (풙) = ퟎ ∗ ퟏ − ퟏ ∗ ퟏ풙ퟐ

= ퟎ − ퟏ/x² ⇔풉 (풙) = − ퟏ풙ퟐ

풇(풙) =ퟐퟑ 풙 − ퟕퟏퟐ 풙 + ퟏ

ퟒ

풇(풙)∃풔풔풊ퟏퟐ풙 +

ퟏퟒ≠ ퟎ, 풔풔풊

ퟏퟐ풙 ≠ −

ퟏퟒ

, 풔풔풊풙 ≠ −ퟏퟐ



2015

풅풇 = 푹 − − ퟏퟐ

=]-∞;− ퟏퟐ

[∪] − ퟏퟐ

; +∞[

풇(풙) =ퟐퟑ풙 − ퟕ ⇒ 풇 (풙) =

ퟐퟑ

품(풙) =ퟏퟐ풙 +

ퟏퟒ⇒ 품 (풙) =

ퟏퟐ

∀풙 ∈ 풅풇,풇 (풙) =풇′품 − 품′풇

품²

=23

12 푥 + 1

423 푥 − 7 (1

2)

(12 푥 + 1

4)²=

26 푥 + 2

12 −26 푥 + 7

2(12 푥 + 1

4)²=

212 + 7

2(12 푥 + 1

4)²=

=8824

(12 푥 + 1

4)²= 풇 (풙) =

ퟏퟏ

ퟑ(ퟏퟐ 풙 + ퟏퟒ)²

Signe de la dérivée :

1) f(x) = ⇒ f (x) = − ; signedeladérivéef (x) = − < 0, 푓 ↓(décroissante)

2) f(x) = ⇒ f (x) = ; signedeladérivéef (x) =(

> 0, 푓 ↑

(croissante) 3) 푓(푥) = 푥 − 3푥 + 1

∀푥 ∈ 푅, 푓 푥 = 3푥 − 6푥; 푠푖푔푛푒푑푒푙푎푑é푟푖푣é푒

푓 (푥) = 표 ⇒ 3푥 − 6푥 = 0 3푥(푥 − 2) = 0푑 표푢3푥 = 0표푢푥 − 2 = 0; 푥 = 0표푢푥 = 2

Tableau de variation :

C’est un tableau composé de trois compartiments. Le premier compartiment contient les valeurs de x (valeurs de la dérivée celles qui l’annule et valeurs de df.

Le deuxième compartiment c’est le domaine de la fonction dérivée f’ ; c’est là où on trouve des signes – ou +/- et +

Le troisième compartiment, c’est le domaine de la fonction initiale f(x). Là où trouve un dessin de flèche montantes ou descendantes/ montantes et descendantes.

X - Valeurs de x qui annulent la dérivée



2015

- Valeurs de DF F’ - + - - f

Exercice :

Dresser les tableaux de variations des fonctions 1, 2,3

Pour la fonction polynôme 푓(푥) = 푥 − 3푥 + 1; 푎푣푒푐푝표푢푟푓 (푥)

= 3푥 − 6푥, 푎푝푟è푠푑푒푣é푙표푝푝푒푚푒푛푡푑푒푓 (푥)표푛푎 ∶ 푥= 0표푢푥 = 2

Tableau de signes :

X −∞ 0 2 +∞ 3X - + + X-2 - - + F(X) + - +

Tableau de variation :

푓(0) = 1; 푓(2) = −5

X −∞ 0 2 +∞ F’ +− + F

+∞ −∞ -5

Pour les fonctions homographiques : 1) F(x)=1/x Tableau de variation :

X −∞ 0 +∞ F’ - - F 0 +∞

-∞

Calcul des limites aux bornes du DF :

1



2015

lim→

푓(푥) = lim1푥

=1

±∞= 0

2) 푓(푥) = ; 푎푣푒푐푓 (푥) = > 0

X -∞ -1/2 +∞ F’ + + F +∞ 4/3

4/3 -∞

Calculs des limites :

lim→±

푓(푥) = lim→±

23 푥 − 712 푥 + 1

4= lim

→±

23 푥12 푥

=23푥 ∗ 2 =

43

lim→

푓(푥) = −∞

lim→

푓(푥) = +∞

Conclusion : la droite d’équation y=4/3 est appelée asymptote horizontale.

La droite d’équation x=-1/2 est appelée asymptote verticale à la courbe (f).

Recherche des extremums :

Cette rubrique concerne les fonctions polynômes seulement. Lorsqu’on trouve la dérivée et on l’annule, des valeurs de x qui annulent la dérivée, constituent les abscisses des extremums pour trouver les ordonnées de ces extremums, on remplace chacune de ces valeurs de x dans la fonction initiale cette à dire si a est la valeur qui annule la dérivée a est abscisse de l’extremum f(a) est ordonnée de l’extremum.

Exemple : 풇(풙) = 풙ퟒ − ퟖ풙ퟐ + ퟕ

DF=R ; ∀푥 ∈ 푅, 푓 (푥) = 4푥 − 16푥



2015


F’(x)=0⇔ 4푥 − 16푥 = 0 ⇒ 4푥(푥 − 4) = 0 ⇒ 4푥(푥 − 2)(푥 + 2) = 0

4푥 = 0표푢푥 = 0푥 − 2 = 0표푢푥 = 2푥 + 2 = 0표푢푥 = −2

F(0)=7 ; f(2)=-9 ; f (-2)=-9

Axe de symétrie- centre de symétrie : 1) Axe de symétrie :

L’axe de symétrie d’une fonction est une droite d’équation 푥 =푥0. 푝표푢푟푚표푛푡푟푒푟푞푢 푢푛푒푑푟표푖푡푒푥 =푥0푒푠푡푎푥푒푑푒푠푦푚é푡푟푖푒푑 푢푛푒푓표푛푐푡푖표푛푓표푛푎 ∶

∀풉 ∈ 풅풇; 풇(풙풐 − 풉) = 풇(풙풐 + 풉)

2) Centre de symétrie : Un centre de symétrie d’une fonction est un point pour le donner on a :

∀ℎ ∈ 푑푓; 퐼푥표푦표

푓(푥표 − ℎ) + 푓(푥표 + ℎ) = 2푦표

Exemple : 푓(푥) = 푥 − 1;푑é푚표푛푡푟푒푟푞푢푒푙푎푑푟표푖푡푒푥 = 0, 푒푠푡푎푥푒푑푒푠푦푚é푡푟푖푒.

F(x)= ; 푙푒푝표푖푛푡퐼 −11 푒푠푡푐푒푛푡푟푒푑푒푠푦푚é푡푟푖푒.

Solution :

풇(풙) = 풙ퟐ − ퟏ; ∀ℎ ∈ 푑푓푥 = 0; ∀푥 ∈ 푑푓, 푓(푥표 − ℎ) = 푓(푥표 + ℎ)

⇒ 푓(0 − ℎ) = 푓(0 + ℎ) = 푓(−ℎ) = 푓(ℎ) = (−ℎ) − 1 = ℎ − 1 = ℎ − 1= ℎ − 1

Conclusion : la droite d’équation x=o est axe de symétrie.

풇(풙) =풙 − ퟏ풙 + ퟏ

, 풇(풙)∃풔풔풊풙 + ퟏ ≠ ퟎ, 풔풔풊풙 = −ퟏ



2015

Df=R—ퟏ,∀풉 ∈ 풅풇;풇(풙풐 − 풉) + 풇(풙풐 + 풉) = ퟐ풚풐 = 풇(−ퟏ− 풉) +풇(−ퟏ + 풉) = ퟐ ∗ ퟏ

풇(−ퟏ − 풉) =−ퟏ − 풉 − ퟏ−ퟏ − 풉 + ퟏ

=−ퟐ − 풉−풉

= ퟐ +풉풉⇔ 풇(−ퟏ − 풉) =

ퟐ + 풉풉

풇(−ퟏ + 풉) =−ퟏ + 풉 − ퟏ−ퟏ + 풉 + ퟏ

= −ퟐ +풉풉⇔ 풇(−ퟏ + 풉) =

−ퟐ + 풉풉

풇(−ퟏ − 풉)+f(-1+h)=ퟐ 풉풉

+ ퟐ 풉풉

= ퟐ + 풉 − ퟐ + 풉풉

= ퟐ풉풉

= ퟐ

풇(−ퟏ − 풉) + 풇(−ퟏ + 풉) = ퟐ

푰 −ퟏퟏ 풆풔풕풍풆풄풆풏풕풓풆풅풆풔풚풎é풕풓풊풆

Representation graphique : La tracée d’une fonction s’effectue dans un système d’axe orthogonaux ou orthonormés.

Un repère orthogonal est un repère dans lequel les mesures de longueurs sont différentes d’un axe à l’autre.

Exemple : axe des abscisses 1.5 cm ; axe des ordonnées 1 cm

Un repère orthonormé est un repère dans lequel les mesures de longueur sont égales d’un axe à l’autre.

Exemple : axe (ox). 1 cm

Axe (oy). 1 cm y

J

0 I x

Points remarquables nécessaires au tracé de la fonction :



2015

Les asymptotes : verticales(x=푥표) et horizontales (y=l), pour les fonctions homographiques.

Marquer les extremums par des tangentes horizontales (pour les fonctions polynômes).

Intersection avec les axes des ordonnées : Avec l’axe des ordonnées :

On calcul f(o) pour toutes les fonctions. Avec l’axe des abscisses :

On résoud l’équation f(x)=0 - Table des valeurs :

X -3 -2 -1 0 1 2 3 F(x) F (-3) F (-2) F (-1) F(0) F(1) F(2) F(3)

Les valeurs de la table de valeurs (x) sont prisent dans les intervalles du df et cela s’effectue au choix si ces valeurs ne vous sont pas données.

Il est conseillé de choisir les petites valeurs pour éviter les difficultés de calculs.

Exercice :

Soient f et g deux fonctions définies par :

푓(푥) = 푥 − 8푥 + 7

푔(푥) =푥 + 1푥 − 2

1) Etudier les variations de f et de g 2) Tracer les courbes (cf.) et (cg) dans le plan rapporté au repère orthonormé

(O, I, J) 3) Préciser les équations des asymptotes, l’intersection avec les axes et

dresser la table des valeurs.

Solution :

푓(푥) = 푥 − 8푥 + 7

1) 푑푓 = 푅; = ]−∞, +∞[ 2) Trouvons la dérivée et son signe :

푓(푥) = 푛푥 푓 (푥) = 4푥 − 16푥




2015

On résoud f’(x)=0⇒ 푓(푥) = 4푥 − 16푥 = 0 = 4푥 (푥 − 4) = 0

4푥 = 0표푢푥 − 4 = 0 ⇒ 푥 = 0표푢(푥 − 2)(푥 + 2) = 0 ⇒ 푥 = 2표푢푥 = −2 Parité

F est paire, car f (-x)=f(x) - Calcul de f(o), f(-2) et f(2)

F(o)=7 ; f(-2)=-9 et f(2)=-9 - Tableau de variation :

X -∞ − 202+ ∞ F’ - + - + F +∞

7

+∞

- Continuité de f : f est continue sur R - Calculs des limites

lim→

푓(푥) = lim→

푓(푥) = 푥 = +∞

lim→

푓(푥) = lim→

푓(푥) = 푥 = +∞

- Tracer de la courbe (cf) : a) Intersection avec les axes :

Avec l’axe y’표푦 : f(o)=7 Avec l’axe x’표푥

F(x)=0⇒ 푥 − 8푥 + 7 =

0; 표푛푓푎푖푡푢푛푐ℎ푎푛푔푒푚푒푛푡푑 표푟푖푔푖푛푒푒푛푝표푠푎푛푡푥 = 푥 ⇒푓(푥) = 푥 −8푥 + 7 = 0; ∆= 푏 − 4푎푐 = 64 − 28 = 36 >

0, 푑푒푢푥푠표푙푢푡푖표푛푠푡푒푙푙푒푠푞푢푒 ∶ 푥1 = √∆ = 8 − = 1; 푥2 = √∆ =

= 7

Si x=x²=1(푥 − 1) = 0표푢(푥 − 2(푥 + 2) = 0 ⇒ 푥 = 1표푢푥 = −1

푠푖푥 = 푥 = 7 푥 − √7 푥 + √7 = 0표푢푥 = √7표푢푥 = −√7

-9

7

-9



2015

y

7 (cf)

3

2

j

-3 -2 -1 0 I 2 3 √7 x

− √7 -√7

-9

품(풙) =풙 + ퟏ풙 − ퟐ

1) 푑푓 = 푅 − {2}=]−∞, 2[∪]2, +∞[



2015

2) 풑풂풓풊풕é ∶ 푓푒푠푡푛푖푝푎푖푟푒푛푖푖푚푝푎푖푟푒

3) 풄풐풏풕풊풏풖풊풕é ∶ 푓푒푠푡푐표푛푡푖푛푢푒푠푢푟푅 − {2}

4) 풅é풓풊풗é풆: 푓 (푥) = ⇒ 푓 (푥) = ( ) ( )∗( ) = ( ) = −

⇔ 풇 (풙) = − ퟑ풙 ퟐ

↓,푓푒푠푡푠푡푟푖푐푡푒푚푒푛푡푑é푐푟표푖푠푠푎푛푡푒

5) 푡푎푏푙푒푎푢푑푒푣푎푟푖푎푡푖표푛 ∶

X -∞2 + ∞ F’ - - F 1 +∞

-∞ 1

6) Calculs des limites :

lim→±

푓(푥) = lim→±

푓(푥) =푥 + 1푥 − 2

=푥푥

= 1

La droite d’équation y=1 est asymptote horizontale.

lim→

푓(푥) = lim→

푓(푥) =푥 + 10 =

= −∞

lim→

푓(푥) = lim→

푓(푥) =푥 + 1

0= +∞

La droite d’équation y=2 est asymptote verticale.

7) Intersection avec les axes :

Avec l’axe des ordonnées : on calcul g(0)⇒ = −

Avec l’axe des abscisses : on calcul f(x)=0⇒ 푥 + 1 = 0표푢푥 = −1

8) Table des valeurs

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4



2015

G(x) 4/7 3/6 2/5 ¼ 0 -1/2 -2 4 5/2

y

4

Y=1 3

2

j

-5 -4 -3 -2 0I 2 X

X=2



2015

Lecon 3

I) La fonction opposée

1) définition

Soit f(x) une fonction définie et continue sur son df on appelle fonction opposée de f notée –f, la fonction qui se traduit du f par l’intermédiaire de la table de valeur.

La courbe (cf) est symétrique de la courbe (cf) par rapport à l’axe des abscisses.

Exemple :

Soit la fonction f définie par 풇(풙) = 풙ퟑ − ퟑ풙

1) étudier les variations de f et tracer les courbes dans un repère orthonormé.

2) Déduire la courbe (Cf.), la courbe (Cf.) et tracer la dans la même repère

Solution :

1) 풇(풙) = 풙ퟑ − ퟑ풙

a) Domaine de définition :푑푓 = 푅 = ]−∞, +∞[

b) La parité : f est ni paire, ni impaire

c) La continuité : f est continue sur R

d) Calcul de la dérivée : f’(x)=3x²-3

e) Signe de la dérivée : f’(x)=3x²-3=0⇒ 3(푥 − 1) = 0 ⇒ 3(푥 −1)(푥 + 1) = 0, 표푛푎푢푟푎ퟑ ≠ ퟎ,풙 = ퟏ풐풖풙 = −ퟏ



2015

f) Tableau de signe :

X -∞ − 11+ ∞ X+1 - + + x-1 - - + + - +

g) Tableau de variation :

X -∞ − 11 + ∞ F’ + - + F

-∞

+∞

h) Calcul de f (-1) et de f(1) :

F (-1)=(−1) − 3 ∗ −1 = −1 + 3 = 2

F(1)=1 3 ∗ 1 = 1 − 3 = −2

i) Calcul des limites :

lim→

푓(푥) = lim→

푓(푥) = 푥 = −∞

lim→

푓(푥) = lim→

푓(푥) = 푥 = +∞

j) Table de valeurs :

x -2 -1 0 1 2 Y=f’(x) -2 2 0 -2 2 Y=f(x) 2 -2 0 2 -2

k) Intersection avec les axes :

Avec(표푦): 푓(0) = 0

Avec(0푥): 푓(푥) = 0 ⇒ 푥 − 3푥 = 0 ⇒ 푥(푥 − 3) = 0 ⇒ 푥 = 0; 푥 = −√3; 푥 =√3

-2

2



2015

l) Graphique :

C (f(x))

Y (CF)

2

J

-3 -2 -√3 -1 0 I √3 2 X

-1

-2

(C-f)

II) FONCTION VALEUR ABSOLUE: Le repère (0, 퐼, 퐽)푒푠푡표푟푡ℎ표푔표푛푎푙푠표푖푡푓푙푎푓표푛푐푡푖표푛푑푒푟푒푝푟é푠푒푛푡푎푡푖표푛푔푟푎푝ℎ푖푞푢푒

(Cf.) pour construire la représentation graphique. Valeur absolue de f on procède de la façon suivante :

- Construire (Cf.) - Construire (c-f), courbe opposé à (Cf.) - Rendre les parties des deux courbes situées au dessus des deux courbes

(Cf. et c-f) situées au dessus des axes des abscisses.



2015

III) REPRESENTATION GRAPHIQUE DES FONCTIONS POLYNOMES DU 2ND DEGRE :

⎩⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎧ 푝(푥) = 푎푥² + 푏푥 + 푐; (푎 ≠ 0)

푝(푥) = 푎 푥 +푏

2푎−푏² − 4푎푐

4푎²

푓(푥) = 푎푥 + 푏푥 + 푐

푓(푥) = 푎 푥 +푏

2푎−푏 − 4푎푐

4푎푓(푥) = 푎(푥 − 훼) + 훽

푎푣푒푐훼 = −푏

2푎; 훽 =

푏² − 4푎푐4푎²

Sa représentation graphique est l’image de la parabole d’équation :

Y=ax² ; par la translation de vecteur →훼훽)

Exercices d’entrainement :

Exo1 :

Soit f(x)=2x²+4x+1

1) Vérifier que pour tout x (h(x)), f(x)=-2(x-1)²+3 2) Construire la courbe f’ d’équation y=-2x², déterminer la translation qui

transforme f’ en Cf. puis construire Cf. à partir de Cf.’.

Exo2 :

Pour la fabrication de x objets, un entreprenant doit supporter les charges dont le montant en francs est 풄(풙) = 풙ퟐ − ퟏퟎ풙 + ퟏퟎퟎ.

1) Etudier les variations de la fonction C(on prendra x réel strictement positif).

2) Déduire de l’étude précédente la production qui minimise les charges. Donner dans ce cas le montant des charges.



2015

3) Chaque objet est vendu à 40f par l’entreprenant. a) Démontrer que le bénéfice réalisé lors de la vente est B(x)=−푥 + 50푥 −

100. b) Déterminer la valeur de x qui minimise le bénéfice. c) Donner dans ce cas la valeur du bénéfice. 4) Représenter graphiquement la fonction des charges et la fonction

bénéfice. (on prendra pour unité, 2cm pour 5 objets en abscisse et 1 cm pour 25f en ordonnées.)

Exo3 :

A) F étant une fonction numérique d’une variable réelle. Donner le domaine de définition de f dans chacun des cas suivants :

a) 푓(푥) = ²√

푏)푓(푥) = 푐)푓(푥) = √−3푥푐)푓(푥) =√

B) Soit g la fonction réelle définie par g(x)=-x²+2x+3 1) Calculer 푔 √2 ,푔(−1) 2) Vérifier que 푔(푥) = 4 − (푥 − 1) 3) Montrer que g est croissante sur [−2; 1]푒푡푑é푐푟표푖푠푠푎푛푡푒푠푢푟[1; 2]

1) Définition On appelle suite numérique toute fonction de l’ensemble des nombres entiers naturels IN→ 푰푹

2) Notion et vocabulaire : IN est l’ensemble de définition d’une suite numérique. Il ya deux types de notations d’une suite numérique



2015

- La notation fonctionnelle cette à dire la suite est écrit sous la forme d’une fonction et on la note U(n).

- La notation indicielle : la variable n est écrit en indice (풖풏). 푑푎푛푠푙푎푠푢푖푡푒푑푢푐표푢푟푠; 표푛,푛 푎푑표푝푡푒푟푎푙푎푛표푡푎푡푖표푛푢 푎푢푖푒푠푡푎푝푝푒푙é 푡푒푟푚푒푑 푖푛푑푖푐푒푛표푢푡푒푟푚푒푔é푛é푟푎푙. 푙푒풏풊è풎풆푒푠푡푎푝푝푒푙é푡푒푟푚푒푑푒푟푎푛푔풏.

Exemple :

푢 =12푛 − 2; 푢 =

푛 + 2푛 + 3

; 푣표 = 1

푣푛 + 1 =12푣푛 − 3

3) Détermination d’une suite numérique :

En général ; une suite numérique 푢 푒푠푡푑é푡푒푟푚푖푛é푒푝푎푟푑푒푢푥푓표푟푚푢푙푒푠푝푟푖푛푐푖푝푎푙푒푠 ∶

- Une forme explicite :* qui permet de calculer 푢 푒푛푓표푛푐푡푖표푛푑푒푛

Exemple :

푢 =12푛 − 2; 푖푐푖푛표푢푠푣표푦표푛푠푞푢푒푢 푑푒푡푒푟푚푒푔é푛é푟푎푙푒푠푡푒푛푓표푛푐푡푖표푛푑푒

N seulement donc la suite 푢 푒푠푡푑é푓푖푛푖푒푝푎푟푢푛푒푓표푟푚푢푙푒푒푥푝푙푖푐푖푡푒.

Calculons le 1er et le 2e terme :

푢 =12

(표) − 2 ⇔푢 = −2 ⇒ 1푒푟푡푒푟푚푒

푢 =12

(9) − 2 =52⇒ 10푒푡푒푟푚푒

Or 푢 = (10) − 2 = 3

Exemple 2 :

푣 = 1 +푛푛

; 푐푎푙푐푢푙푒푟푙푒1푒푟푡푒푟푚푒푒푡푙푒20푒푡푒푟푚푒

1er terme :푣 = 1 + = 2

20e ter me :푣 = 1 + = = 1.05 - La forme récurrente :



2015

Qui exprime (푢 )표푢(푣 )푒푛푓표푛푐푡푖표푛푑푢푢 푒푡푑푢1푒푟푡푒푟푚푒.

Exemple :

푢 =12→ 1푒푟푡푒푟푚푒

푢 = 1 +푢2→ 푡푒푟푚푒푔é푛é푟푎푙

Le premier terme de la suite est connu et chaque terme est fonction du précédent. Calculer les 5 premiers termes.

Solution :

2e terme : 푢 = 1 + = 1 + = 2 + = ∗ = = 푢

3e terme : 푢 = 1 + = 1 + = 4 + = ∗ = = 푢

4e terme : 푢 = 1 + = = 푢

5e terme : 푢 = 1 + = = 푢

6e terme : 푢 = 1 + = = 푢

I) Suites arithmétiques : 1) Définition :

*Une suite 푛푢푚é푟푖푞푢푒푒푠푡푎푝푝푒푙é푒풔풖풊풕풆풂풓풊풕풉풎é풕풊풒풖풆푠 푖푙푒푥푖푠푡푒푢푛푛표푚푏푟푒푟é푒푙풓



2015

; ∀푛 ∈ 퐼푁;푢 . é é . ∶

풖풏 ퟏ − 풖풏 = 풓

Exemple :

푢 = −3푢 = 푢 ⇒ 푢 − 푢 = 3

푟 = 3

2) Propriétés : Calcul du n nième terme. Soit 풖풏푢푛푒푠푢푖푡푒푎푟푖푡ℎ푚é푡푖푞푢푒푑푒푟푎푖푠표푛푟푒푡푑푒1푒푟푡푒푟푚푒풖ퟎ

푢 = 푢표 + 푟 푢

= (푢 +r)+r =푢 +2r

푢 = 푢 + 푟 = (푢 + 2푟) + 2 푢 = 푢 + 3푟

.

.

. 풖풏 = 풖ퟎ + 풏풓

3) Somme de n terme consécutif d’une suite arithmétique : Elle est égale au produit par n de la demi-somme des termes extrêmes.

풔풏 =풏(풖ퟎ + 풖풏)

ퟐ

Exemple : Ecrire la somme de n premiers nombres entiers naturels différents de o

푠 = 1 + 2 + 3 + ⋯+ 푛

풔풏 = 풏(ퟏ 풏)ퟐ

4) Détermination des suites arithmétiques :

Soit ;풖풏푢푛푒푠푢푖푡푒푎푟푖푡ℎ푚é푡푖푞푢푒푑é푓푖푛푖푒푝푎푟푢 =15푒푡푢 . é .

Solution :



2015

푢 = 푢 + 푛푟

푢⇒

푢 + 6푟 = 15푢 ⇒ −1 −푢 + 6푟 = 15

푢 + 8푟 = 19

2r=4⇒ 푟 = 2

푢 + 6 ∗ 2 = 15 ⇒ 푢 + 12 = 15 ⇒ 풖ퟎ ퟏퟓ ퟏퟐ ퟑ

Conclusion :

Suite arithmétique de raison r=2 et du 1er terme 푢 = 3

Application :

1) Déterminer la raison et le premier terme d’une suite arithmétique donc le 5e terme est 6 et le 12e terme=-8

2) Exprimer en fonction de n le terme général de cette suite et la somme des n premiers termes consécutifs.

Solution :

ퟏ)풖풏 = 풖ퟎ + 풏풓

푢 = 푢

푢 = 푢 + 11푟

⇒ 푢 = 6푢 + 11푟 = −8 ⇒−1 −푢 − 4푟 = −6

푢 + 11푟 = −8

7r=-14⇒ 푟 = −2

풖ퟎ ퟒ( ퟐ) ퟔ풖ퟎ ( ퟖ) ퟔ⇔풖ퟎ ퟔ ퟖ ퟏퟒ;풄풐풏풄풍풖풔풊풐풏풔풖풊풕풆풂풓풊풕풉풎é풕풊풒풖풆풅풆풓풂풊풔풐풏풓 ퟐ풆풕풅풖ퟏ풆풕풆풓풎풆풖ퟎ ퟏퟒ

2-on sait que 푢 = 푢 + 푛푟 ⇒ 풖풏 = ퟏퟒ − ퟐ풏

푠 =푛(푢 )

2=푛(14 + 14 − 2푛)

2=푛(28 − 2푛)

2=

28푛 − 2푛²2

⇔ 풔풏= ퟐퟖ풏 − 풏²



2015

II) Suite géométrique 1) Définition :

Soit :푢 ;푢푛푒푠푢푖푡푒푛푢푚é푟푖푞푢푒푢 푒푠푡푑푖푡푒푠푢푖푡푒푔é표푚é푡푟푖푞푢푒푠 푖푙푒푥푖푠푡푒푢푛

Nombre réel q ; ∀푛 ∈ 퐼푁; 풖풏 ퟏ = 풒.풖풏

Le nombre q est appelé raison de la suite 푢 .푝표푢푟푑é푡푒푟푚푖푛푒푟푙푎푟푎푖푠표푛푞푑 푢푛푒푠푢푖푡푒푔é표푚é푡푟푖푞푢푒, 표푛푝표푠푒푙푎푓표푟푚푢풍풆

풒 =풖풏 ퟏ

풖풏

Exemple :

풖ퟎ = −ퟗ풖풏 ퟏ = 풖풏

⇒풖풏 ퟏ

풖풏= ퟑ⇒ 풒 = ퟑ

2) Propriété : a) Calcul de n nième terme :

푢 é푡푎푛푡푢푛푒푠푢푖푡푒푔é표푚é푡푟푖푞푢푒푑푒푟푎푖푠표푛푞푒푡푑푒1푒푟푡푒푟푚푒푢

푢 = 푢 .

( )²

풖ퟑ = 풒.풖 ퟐ풒 풒ퟐ.풖ퟎ

풒ퟑ.풖 ퟎ...풖풏 풒풏풖ퟎ

⇒ 풖풏 = 풒풏풖ퟎ = terme général

N.B : si une suite 풖풏풂풑풐풖풓ퟏ풆풓풕풆풓풎풆풖ퟏ풍풆풕풆풓풎풆품é풏é풓풂풍풆풔풕 ∶

풖풏 = 풒풏 ퟏ풖ퟏ

b) Somme des termes consécutifs d’une suite géométrique : Soit 3, la somme de n termes consécutifs d’une suite géométrique de raison q et de premier terme 풖ퟎ

풔 =ퟏ − (풓풂풊풔풐풏)풐풖풏풃풓풆풅풆풕풆풓풎풆풔

ퟏ − 풓풂풊풔풐풏∗ ퟏ풆풓풕풆풓풎풆



2015

풔 = ퟏ 풒풏

ퟏ 풒.풖ퟎ풔풊풒 ퟏ

Si le 1er terme est 푢 :

풔 = 풖ퟏ∗ퟏ − 풒풏 ퟏ

ퟏ − 풒(풒 ≠ ퟎ)

Si q=1, 풔 = 풏.풖ퟎ

Exemple :

풖풏 = (ퟏퟐ

)풏,푑é푡푒푟푚푖푛푒푟푢 ;푞푒푡푠

Q=1/2 ; Uo=1 ; 푢 = 푞 푢⇒푠 = ∗ 1 = =

⇒ 풔 = ퟐ ퟏ − ퟏퟐ풏 ∗ ퟏ

c) Détermination des suites géométriques : activité Soit 푢 푢푛푒푠푢푖푡푒푔é표푚é푡푟푖푞푢푒푑표푛푐푙푒4푒푡푒푟푚푒푒푠푡2000푒푡푙푒7푒푡푒푟푚푒푒푠푡é푔푎푙

2000 000

1) Déterminer le 1er terme et la raison de cette suite. 2) Exprimer en fonction de n le terme général de cette suite et la somme de n

premier terme consécutif. Solution :

1) 4e terme=2000 ; 7e terme=2000 000 Soit q la raison et Uo le 1er terme :



2015

⎩⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎧

푢 = 푢푢 = 푢 ⇒

⎩⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎧

푢 = 2000푢 = 2000000푢 푞푢

=2000000

2000푞 ∗ 푞 = 1000푞 = 1000

푞 = 1000 ⇒ 푞 = √1000 = 10 ⇒풒 = ퟏퟎ

푢 = 푞 푢⇒푞 푢 = 2000 ⇒ 푢 =

2000푞 =

20001000

= 2; 푢 = ퟐ

2) 푢 = 푢 푞 ⇒ 풖풏 = ퟐ.ퟏퟎ풏

푠 = ∗ 푢 = ( ) ∗ 2=2. ( ) ⇒ 풔풏 = ퟐ[ퟏ (ퟏퟎ)풏]ퟗ

Exercice d’application :

Exo1 :

On donne : 푢 = 1000000; 푒푡푡푙푒푡푎푢푥 = 0,005

1) Calculer U1 ; U2 ; U3 2) Exprimer Un+1 en fonction de Un ; déterminer la raison et le 1er terme de

cette suite. 3) Calculer U10 4) Sachant que Un =3400 000 ; U0=1000 000 et r=5000, calculer la durée n.

Exo 2 : reprenons les mêmes données, mais remplaçons tout juste les U0 par V0 et les questions restent les mêmes. Vn=2000 000 et t=0.05

Solution :

Exo 1 :

1) Calculs d’U1 U2 U3 U1=U0+U0*0,5/100 =1000 000+1000000(0,005)=1000000+5000=1005000 U2=U1+r=1005000+5000=1010000 U3=U2+r=1010000+5000=1015000

2) Exprimons Un+1 en fonction de Un



2015

Un+1=Un+r⇒푈푛 + 1 − 푈푛 = 푟 = 5000; 푐표푛푐푙푢푠푖표푛 ∶푈푛푒푠푡푢푛푒푠푢푖푡푒푎푟푖푡ℎ푚é푡푖푞푢푒푑푒푟푎푖푠표푛푟 =5000푒푡푑푢1푒푟푡푒푟푚푒푈표 = 1000000

3) Un=U0+nr U10=1000000+(5000)10=1050000

4) Un=U0+nr 3400000=1000000+5000n 3400000-1000000/5000 =n N=480 mois ; d’où n=40 ans

Exo 2:*

1)

V1=V0+ (5/100) VO⇒푉1 = 1000000 + 50000=1050000

V2=V1*1.05=1050000*1.05=1102500

V3=V2*1.05=1102500*1.05=1157625

2) Vn+1=풒풗풏⇒

푉푛 + 1 = 1.05푉푛. 푞 = = ퟏ.ퟎퟓ; 푐표푛푐푙푢푠푖표푛 ∶

푣 푒푠푡푢푛푒푠푢푖푡푒푔é표푚é푡푟푖푞푢푒푑푒푟푎푖푠표푛푞 =ퟏ.ퟎퟓ푒푡푑푢1푒푟푡푒푟푚푒푽풐 = ퟏퟎퟎퟎퟎퟎퟎ

3) 푣 = 푞 푢 ;푑 표ù푣 = (1.05) ∗ 1000000 = 1628894.627 4) 2000000=푞 ∗ 1000000

(1.05) = On tire n=15 ans

Exercices d’entrainement :

Exo 1 :

On suppose que la longueur d’un boa augmente de 40% chaque année et ceci pendant 12 premières années. Sa longueur, à la naissance est de 10 cm.

Pour tout nombre entier n, compris entre 0 et 12, on désigne par Ln sa longueur en centimètres au bout de n années.

1) Calculer L1 et L2 2) Exprimer Ln en fonction de n, pour tout n compris entre 0 et 1 3) Déterminer la longueur du boa au bout de 12 années.



2015

4) Déterminer au bout de combien d’années le boa aura dépassé 1 cm.

Exo 2 :

Une personne loue une maison à partir du 1er janvier 2013. Le loyer annuel initial est 24000fr et le locataire s’engage à occuper la maison pendant 9 années complètes.

On note Uo le loyer payé la première année. Le locataire accepte une augmentation annuelle de 5% du loyer de l’année précédente.

1) Calculer le loyer U1 payé lors de la deuxième année 2) Exprimer le loyer Un+1 payé lors de la

(푛 + 2) è 푎푛푛é푒푒푛푓표푛푐푡푖표푛푑푢푙표푦푒푟푈푛푝푎푦é푙표푟푠푑푒푙푎(푛 +1) è année.

3) Calculer la somme totale à payer à l’issue de la 9ième année

DEFINITION :

Dénombrer c’est compter des nombres; c’est obtenir à partir d’un certain nombre de représentation des chiffres, des représentations différentes en changeant la position de ces chiffres.

1) /

Intersection et réunion de deux ensembles : Soit A et B deux parties d’un ensemble E. on appelle intersection de A et de B, l’ensemble des éléments de E appartenant à la fois à A et à B ; on note :



2015

′′푨 ∩ 푩 풆풕풐풏풍풊풕′′푨′′풊풏풕풆풓′′푩′′.on appelle réunion de A et de B l’ensemble des éléments de E qui appartient à A ou à B. cela veut dire que les éléments peuvent appartenir soit à A soit à B soit à la fois à A et à B.

On note′′푨 ∪ 푩 풆풕풐풏풍풊풕 푨 풖풏풊풐풏 푩 .

Soit E l’ensemble des 10 premiers chiffres (nombres entiers naturels)

Soit A l’ensemble des nombres paires et B l’ensemble des nombres multiples de 5.écrire E ; A ; et B.

Déterminer 퐴 ∩ 퐵퐸푇퐴 ∪ 퐵

SOLUTION

퐸 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

퐴 = {0,2,4,6,8}

퐵 = {0,5}

퐴 ∩ 퐵 = {0}

퐴 ∪ 퐵 = {0,2,4,5,6,8}

*9 *1 B

A

*3 E

*7

*7

*2 *8

*6 *00

*4

*0 *5



2015

2) Cardinal d’un ensemble E a) Définition :

Le cardinal d’un ensemble noté card (E)) est le nombre d’éléments de cet ensemble.

Exemple :

Card (E) =? 10; card (B) =2

Card (A) =? 5

Card (퐴 ∩ 퐵) =? 1

Card (퐴 ∪ 퐵) =? 6

3) Complémentaire d’un ensemble :

On appel complémentaire d’un ensemble A dans un ensemble E

L’ensemble des éléments de E qui appartiennent à A. on le note :

퐴퐸 =Ă complémentaire de A dans E

Exemple :

Déterminer la complémentaire :

Ā 퐴퐸 = ퟏ,ퟑ,ퟓ,ퟕ,ퟗ퐵 = 퐵

퐸 = {ퟏ,ퟐ,ퟑ,ퟒ,ퟔ,ퟕ,ퟖ,ퟗ}

∩⎯ 퐴 ∩ 퐵

퐸 = {ퟏ,ퟐ,ퟑ,ퟒ,ퟓ,ퟔ,ퟕ,ퟖ,ퟗ} ∪⎯ = 퐴 ∪ 퐵퐸 = {ퟏ,ퟑ,ퟕ,ퟗ}

Propriété :

푐푎푟푑(퐴 ∪ 퐵) = 푐푎푟푑(퐴) + 푐푎푟푑(퐵) − 푐푎푟푑(퐴 ∩ 퐵)

푠푖퐴 ∩ 퐵 = ∅; 푐푎푟푑(퐴 ∪ 퐵) = 푐푎푟푑(퐴) + 푐푎푟푑(퐵)

4) Le produit cartésien :

Exemple : on lance simultanément 02 des cubiques. On se propose de déterminer tous les résultats possibles en notant à chaque lancé des numéros des faces supérieures les courbes suivantes sont formées à partir d’un tableau à double entrée.



2015

1e dé 2e dé

1 2 3 4 5 6

1 (1.1) (2.1) (3.1) (4.1) (5.1) (6.1) 2 (1.2) (2.2) (3.2) (4.2) (5.2) (6.2) 3 (1.3) (2.3) (3.3) (4.3) (5.3) (6.3) 4 (1.4) (2.4) (3.4) (4.4) (5.4) (6.4) 5 (1.5) (2.5) (3.5) (4.5) (5.5) (6.5) 6 (1.6) (2.6) (3.6) (4.6) (5.6) (6.6)

On aura formé 36 courbes soit 6*6

Définition :

On appel produit cartésien, deux ensembles A et l’ensemble des couples (x, y) tels que 푥 ∈ 퐴푒푡푦 ∈ 퐵.표푛푛표푡푒 퐴 ∗ 퐵 푒푡표푛푙푖푡 퐴푐푟표푖푥퐵

Si le 1er cartésien se fait dans un même ensemble on appellera E*E= E² et le produit du cartésien est :

풄풂풓풅(푨 ∗ 푩) = 풄풂풓풅(푨) ∗ 풄풂풓풅(푩)

Exercice :

Dans un club sportif tous les membres pratiquent au moins un des deux sports proposés le : le basket et le handball .850 membres pratiquent le basket ; 600 le handball ; 250 pratiquent les deux. Combien de membres compte le club sportif ?

SOLUTION :

850 membres pratiquent le basket

600 ----- le handball

250 ----- les deux sports

B

H

600 25

250

350



2015

퐴 ∩ 퐻

Total membre=풄풂풓풅(푨) + 풄풂풓풅(푯) − 풄풂풓풅(푩 ∩ 푩) = 850 + 600 −250 = ퟏퟐퟎퟎ풎풆풎풃풓풆풔

Application :

Le formateur de musique DISSOLUTION fait une enquête auprès de 150 étudiants de l’institut universitaire du golfe de guinée :

116 aiment la musique traditionnelle 52 aiment la musique rap français 40 aiment les deux musiques.

Combien d’étudiants n’ont pas donnés leur avis ?

Total d’étudiant n’ayant pas donnés leur avis= 116+52=168-40=128

Total=150-128=22 étudiants

LECON II : LES P-LISTES – LES ARRANGEMENTS ET LES PERMUTATIONS

I) Les p-listes : Exemple : soit E={1,2,3,4}; 푞푢푒푙푒푠푡푙푒푛표푚푏푟푒푑푒푐표푢푏푙푒푠푑푒푡푟푖푝푙푒푡표푢푑푒푞푢푎푡푟푖푝푙푒푡

On peut former avec un ensemble E.

Un couple d’éléments de E est appelé 2- listes. Exemple : (2,4) (1,5) (3,3)

Un triplet d’éléments de E est appelé 3- listes, (2, 2,2) (5, 8,3) (1, 2,1)

Un qua triplet d’éléments de E est appelé 4- listes. (1, 2, 3,4), de E =4²=16 couples.



2015

Le nombre de triplet d’éléments de E=ퟒퟑ = ퟔퟒ풕풓풊풑풍풆풕풔

Le nombre de qua triplet d’éléments de E=ퟒퟒ = ퟐퟓퟔ풒풖풂풕풓풊풑풍풆풕

Soit E un ensemble fini de 푐푎푟푑푛푒푡푝푢푛푛표푚푏푟푒푒푛푡푖푒푟푛푎푡푢푟푒푙푢푛푝 −푙푖푠푡푒푑 é푙é푚푒푛푡푠푑푒퐸푒푠푡푢푛푒푠푢푖푡푒푑푒푝 − 푡푒푟푚푒푠푡표푢푡é푙é푚푒푛푡푑푒퐸.

Le nombre de p-liste un ensemble E à x éléments est :

푁 = 푛

Exemple :

1) Donner le nombre de couples de l’ensemble formé de l’ensemble {풑, 풇} 2) Donner le nombre de triplets de l’ensemble {0,1} 3) On veut ranger 3 livres dans 4 tiroirs, donner le nombre de façons

Solution :

1) 푐푎푟푑푛 = 2,푝 = 2;푁 = ퟐퟐ = ퟒ 2) 푛 = 2,푝 = 3 = 2 = ퟖ풕풓풊풑풍풆풕푠 3) 푝 = 3푒푡푛 = 4; 푁 = ퟒퟑ = ퟔퟒ풇풂ç풐풏풔

푎)푞푢푒푙푒푠푡푙푒푛표푚푏푟푒푑푒푞푢푎푡푟푖푝푙푒푡푞푢 표푛푝푒푢푡푓표푟푚푒푟푎푣푒푐푙푒푠푐ℎ푖푓푓푟푒푠퐸 ={1,2,3,4,5,6} ?

b) Quel est le nombre de façons de distribuer 52 cartes à 6 joueurs ? c) Comment peut-on écrire des mots de 3 lettres dans l’alphabet français ?

SOLUTION :

a) 푝 = 4푒푡푛 = 6 ∶ 푁 = 6 = 1296푞푢푎푡푟푖푝푙푒푡 b) 푝 = 6푒푡푛 = 52 ∶ 푁 = 52 = 2푓푎ç표푛푠 c) 푝 = 3푒푡푛 = 26 ∶ 푁 = 26 = 17576푚표푡푠

II) LES ARRANGEMENTS :

Ce sont les dispositions ordonnées lorsqu’on choisi un élément on observe et on peut le remettre en place avant de prendre un deuxième. Les arrangements c’est le nombre de p-liste donc les éléments sont deux à deux distincts.

Définition :



2015

Soit E, ensemble de 푐푎푟푑푛푒푡푏푢푛푛표푚푏푟푒푒푛푡푖푒푟푛푎푡푢푟푒푙푎푣푒푐푝 ≤푛. 푢푛푎푟푟푎푛푔푒푚푒푛푡푑푒푝푒푡푑푒퐸푒푠푡푢푛푒푝 −푙푖푠푡푒é푙é푚푒푛푡푑푒퐸표ù푙푒푠é푙é푚푒푛푡푠푑푒퐸푠표푛푡푑푒푢푥à푑푒푢푥푑푖푠푡푖푛푐푡푠.

Propriété :

Le nombre d’arrangement d’un ensemble de E à n éléments est noté :

= 푛(푛 − 1)(푛 − 2) … ∗ 푛 − 푝

Exemple :

1) on peut arranger 4 livres dans 6 tiroirs. Quel est le nombre de façons de le faire ?

2) On veut installer 5 personnes sur 8 chaises sachant que 2 personnes ne peuvent occupées la même chaise. Quel est le nombre de façons d’arranger ces personnes ?

3) On veut élire un bureau d’une organisation sous l’appellation « AMICAL des jeunes de NDOM », composé d’un président, d’un secrétaire général et d’un trésorier et parmi les 20 membres d’une coopérative donc les statuts n’autorisent pas les cumuls de postes. Quel est le nombre de façons de constituer ce bureau ?

Solution :

1) Détermination de nombres de façons d’arranger 4 livres dans 6 tiroirs : ⋀ = ퟔ(ퟔ − ퟏ)(ퟔ − ퟐ) … (ퟔ − ퟒ + ퟏ) = (ퟔ ∗ ퟓ ∗ ퟒ ∗ ퟑ) = ퟑퟔퟎ풇풂ç풐풏풔ퟒퟔ



2015

2) Le nombre de façons d’installer 5 personnes sur 8 chaises est de :

⋀ = ퟖ(ퟖ − ퟏ)(ퟖ − ퟐ)(ퟖ − ퟑ)(ퟖ − ퟒ) = ퟖ ∗ ퟕ ∗ ퟔ ∗ ퟓ ∗ ퟒ = ퟔퟕퟐퟎ풇풂ç풐풏풔ퟓퟖ

3) Le nombre de façons de constituer le bureau de la coopérative est de : ⋀ = ퟐퟎ(ퟐퟎ − ퟏ)(ퟐퟎ − ퟐ) = ퟐퟎ ∗ ퟏퟗ ∗ ퟏퟖ = ퟔퟖퟒퟎ풇풂ç풐풏풔ퟑퟐퟎ

III) LES PERMUTATIONS :

Ils comme est les arrangements, ils sont les dispositions ordonnées et tout ce passe avec le nombre d’éléments n. permuter veut dire changer la position des éléments sans changer la structure.

Exemple :

퐸 = {푷,푭}풂풑풐풖풓풑풆풓풎풖풕풂풕풊풐풏{푭,푷}

푬 = {ퟏ,ퟎ,ퟐ}-,-{ퟏ,ퟐ,ퟎ}

{ퟎ,ퟏ,ퟐ}, {ퟐ,ퟎ,ퟏ}, , {ퟏ,ퟐퟎ}

Soit E un ensemble de cardn une permutation de E est un arrangement de n éléments de E.

1) Propriété : Le nombre de permutation d’E de Cardn est noté : ⋀ = 푛! = 푓푎푐푡표푟푖푒푙푙푒 =n(n-1)(n-2)*…*2*1

0! = 1; 1! = ퟏ; 2! = ퟐ; 3! = ퟔ(ퟑ ∗ ퟐ ∗ ퟏ); 4! = ퟐퟒ(ퟒ ∗ ퟑ ∗ ퟐ ∗ ퟏ). Autres formules de L’arrangement de p éléments de E de 푐푎푟푑(퐸) = 푛

=푛!

(푛 − 푝)!



2015

Combien ya t-il de façons de disposer 6 drapeaux de 6 pays différents sur 6 mas ?

=6!

(6 − 6)= 6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 720

SOIT un ensemble E de 푐푎푟푑푛푒푡푝, 푢푛푛표푚푏푟푒푒푛푡푖푒푟푛푎푡푢푟푒푙, 푎푣푒푐푝 ≤퐸푡표푢푡푒푝푎푟푡푖푒푑푒퐸푎푦푎푛푡푝é푙é푚푒푛푡.

Les combinaisons sont les dispositions désordonnées parce que tout se fait au hasard.

1) Propriété : Soit E ensemble de n éléments avec 푛 ∈ 퐼푁푠표푖푡푝 ∈ 퐼푁푎푣푒푐푝 ≤푛. 푙푒푛표푚푏푟푒푑푒푐표푚푏푖푛푎푖푠표푛푑푒푝é푙é푚푒푛푡푑푒푝푠표푖푡푝푛표푡é ∶

푝푛 = !

!( )!=⋀

!

Exemple : Quel est le nombre de tiercé é dans le désordre dans une course de 10 coureurs ?

푁 = 310 =

10!3! (10 − 3) =

10!3! 7!

=10 ∗ 9 ∗ 8

3! 7!= 120



2015

Les tirages : On démontre deux types de tirages : Les tirages successifs avec ou sans remise et les tirages

simultanés. A) Tirage successif 1) Tirage successif avec remise :

Les objets, ou les boules sont classés l’un après l’autre en prenant le soin de remettre l’objet tiré avant de procéder à un second tirage. Ici l’ordre est important et les objets ne sont pas distincts plus qu’on peut tirer le même objet deux fois. Le nombre de tirage possible est égal à 풏풑

풏 = 푛표푚푏푟푒푡표푡푎푙푑푒푠표푏푗푒푡푠; 풑 = 푛표푚푏푟푒푑 표푏푗푒푡à푡푖푟푒푟

2) Tirage successif sans remise : De même, les objets sont tirés l’une après l’autre en prenant le soin de garder l’objet sans toutefois le remettre après chaque tirage. L’ordre est important plus qu’on tire les objets l’un après l’autre et les objets sont 2 à 2 distincts, le nombre de résultats possibles d’un ensemble E à n éléments.

=푛!

(푛 − 푝)!= 푛(푛 − 1)(1 − 2) … 2푛 − 푝 + 1

3) Tirage simultané : Ici, les tirages se font en désordre et au hasard. Puisque le tirage se fait d’un élément après l’autre, on tire les éléments d’un seul coup et les objets sont distincts. Le nombre de résultat possible est une combinaison de p élément d’un ensemble E à n élément.

풑풏 =

풏!풑! (풏 − 풑)




2015

EXERCICE 1 : Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10. On tire successivement 3 boules en remettant la boule dans l’urne après chaque tirage. Combien ya –il de tirages possibles ? Une urne contient 6 boules rouges et 4 boules blanches. On tire simultanément 2 boules de l’urne. a) Combien ya-t-il de tirages possibles ? b) Combien ya-t-il de tirages sachant que les boules tirées sont de même

couleurs ? c) Combien ya-t-il de tirages sachant que les boules tirées sont de

couleurs différents ?

EXERCICE 2 :

On dispose de 5 étalons portant les chiffres 0, 1, 2, 3,4. On les place cote à cote de manière à former les nombres (exemple : 12304, 01243…)

a) De combien de manières peut-on les placer ? b) Combien de nombres de 5 chiffres peut-on ainsi former ? c) Combien de nombre divisibles par 10 peut-on former ?

Sujets d’examen (de 2011 à 2014)

Probatoire G session 2011

Epreuve de mathématique générales

EXERCICE I :

Lors du lancement d’un produit sur le marché, une étude a montré que la fonction de demande des consommateurs de ce produit est 푑(푞) = −0,1푞 +



2015

31,6; 푒푡푙푎푓표푛푐푡푖표푛푑 표푓푓푟푒푑푢푓푟푎푏푟푖푐푎푛푡푒푠푡∅(푞) =3푞 + 10,표ù푞푒푠푡푙푎푞푢푎푛푡푖푡é푑푒푚푎푛푑é푒(푒푛푚푖푙푙푖푒푟푠푑 표푏푗푒푡푠).

1) Déterminer la quantité telle que l’offre soit égale à la demande 2) Déterminer les quantités pour lesquelles l’offre est inferieure à la

demande

EXERCICE II :

Une commerçante vend des assiettes et des verres. Pour épuiser son stock de 3200 assiettes et de 4800 verres, elle décide de les vendre par mois par lots :

- LOT A : 9 assiettes et 6 verres, vendu à 6600f - LOT B : 2 assiettes et 12 verres, vendu à 3600f 1) Calculer le prix d’une assiette et celui d’un verre. 2) Quelle somme d’argent recevra la commerçante s0uite à la vente des

lots ? 3) Cette somme placée à un taux de x% l’an a rapporté à la fin de 2ème année

295200f. calculer la valeur du taux.

PROBLEME :

La courbe © ci-contre est la représentation graphique d’une fonction f définie et dérivable sur [0,4].

(T) est la tangente à la courbe © au point d’abscisse 1.

1. Ranger dans l’ordre croissant f(0) ; f(2) ; f(3). 2. Calculer f’(1) et f’(2) 3. Dresser le tableau de variation de f

y

4

3

2 ©

0 x

1 2 3 4



2015

4. Discuter, suivant les valeurs de réel m, le nombre de solution de l’équation f(x)=m.

5. Déterminer l’image par f de l’intervalle [1,2]. 6. Déterminer l’image réciproque par f de l’intervalle [0,3].

Dans la question (7), trois réponses vous sont proposées dont une seule vraie. Indique la lettre qui correspond à la réponse correcte.

7. En admettant que © est une parabole, la courbe représentative de la fonction dérivée de f est :

Y

4 4 y 4

2

j j j

0 I 2 4 x 0 I 2 4 x 0 i 2 4

Rep a) -4

Rep b) -4 rep c)

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Cours de maths gene 1 ere sst