Démonstration de la dégénérescence en

dimension �nie d'espace

Tarek Salhi, Ahmed Rebii

April 24, 2012

Considérons le problème de déterminer une partie de la topologie des pointscritiques d'une fonctionnelle polynômiale qui s'écrit sous le forme suivante :

f (X) =1

2

N∑i=1

[‖−→rs −−→ri ‖

22 − (t∗s − t∗i )

2]2

où X = (−→rs t∗s)T. Nous avons calculé, dans l'annexe 1, le vecteur gradient

de cette fonctionnelle. Il s'écrit sous la forme

1

2∇f (X) =

(∑i

fi (X)

)·MX −M

(∑i

fi (X) ·Xi

)

où l'on note fi (X) = (X −Xi)TM (X −Xi) la forme quadratique dé�nis-

sant la fonctionnelle. Supposons que−→Xs soit un point critique de f . Cela

implique que ∇f(−→Xs

)= 0. L'idée maintenant est de translater la source, de

position −→rs , simultanément dans toutes les directions −→rs − −→ri et des mêmesquantités. On dé�nit alors un vecteur unitaire donnant la direction entre unantenne i et la source s. On le notera −→ei =

−→ri−−→rs‖−→ri−−→rs‖

2

. La direction spatiale de

translation ainsi dé�nie est donnée par le vecteur−→L =

∑i−→ei =

∑i

−→ri−−→rs‖−→ri−−→rs‖

2

=∑i

−→ri‖−→ri−−→rs‖

2

−(∑

i1

‖−→ri−−→rs‖2

)−→rs . Si l'on considère de plus que l'on utilise des

variables temporelles réduites, le temps nécessaire à l'onde pour franchir l'excès

de distance induit par la translation est∥∥∥−→L∥∥∥

2. Notons

−→V le vecteur de co-

ordonnées−→V =

(−→L∥∥∥−→L∥∥∥

2

)T. Ecrivons la condition d'optimalité du premier

ordre pour le vecteur−→Xs −

−→V :

1

∇f(−→Xs −

−→V)=

(∑i

fi

(−→Xs −

−→V))·M

(−→Xs −

−→V)−M

(∑i

fi

(−→Xs −

−→V)·−→Xi

)

=

(∑i

(−→Xs −

−→Xi −

−→V)T

M(−→Xs −

−→Xi −

−→V))·M

(−→Xs −

−→V)

−M

(∑i

(−→Xs −

−→Xi −

−→V)T

M(−→Xs −

−→Xi −

−→V)·−→Xi

)

=(∑

fi

(−→Xs

))·M−→Xs −

(∑i

fi

(−→Xs

))·M−→V

−

(∑i

(−→Xs −

−→Xi

)TM−→V

)·M−→Xs +

(∑i

(−→Xs −

−→Xi

)TM−→V

)·M−→V

−

(∑i

(−→V)T

M(−→Xs −

−→Xi

))·M−→Xs +

(∑i

(−→V)T

M(−→Xs −

−→Xi

))·M−→V

+

(N(−→V)T

M−→V

)·M−→Xs −

(N(−→V)T

M−→V

)·M−→V

−M

[∑i

(−→Xs −

−→Xi

)TM(−→Xs −

−→Xi

)·−→Xi

]+ 2M

[∑i

(−→Xs −

−→Xi

)TM−→V ·−→Xi

]

−((−→

V)T

M−→V

)·M

(∑i

−→Xi

)

La condition∇f(−→Xs

)= 0 implique que

(∑fi

(−→Xs

))·M−→Xs−M

(∑fi

(−→Xs

)−→Xi

)=

0. On a alors la relation suivante

∇f(−→Xs −

−→V)=N

((−→V)T

M−→V

)·M

[−→Xs −

−→V − 1

N

∑i

−→Xi

]

2M

(∑i

(−→Xs −

−→Xi

)TM−→V ·−→Xi

)− 2

(∑i

(−→Xs −

−→Xi

)TM−→V

)·M

(−→Xs −

−→V)

−

(∑i

fi

(−→Xs

))·M−→V

D'après la forme que l'on a posé pour le vecteur−→V , on a

(−→V)T

M−→V =(−→

L∥∥∥−→L∥∥∥

2

)M(−→L∥∥∥−→L∥∥∥

2

)T= 0. Il reste alors l'expression suivantes :

2

∇f(−→Xs −

−→V)=2M

(∑i

(−→Xs −

−→Xi

)TM−→V ·−→Xi

)− 2

(∑i

(−→Xs −

−→Xi

)TM−→V

)·M

(−→Xs −

−→V)

−

(∑i

fi

(−→Xs

))·M−→V

A partir de là, il est di�cile de faire le lien entre la topologie du réseau

et la direction de translation. Il faut en e�et trouver les vecteur−→V tel que

∇f(−→Xs −

−→V)= 0. Cela revient à résoudre l'équation suivante en

−→V :

2M

(∑i

(−→Xs −

−→Xi

)TM−→V ·−→Xi

)−2

(∑i

(−→Xs −

−→Xi

)TM−→V

)·M(−→Xs −

−→V)−

(∑i

fi

(−→Xs

))·M−→V = 0

Développons chacun des trois termes au dessus :

• premier terme :

2M

(∑i

(−→Xs −

−→Xi

)TM−→V ·−→Xi

)=2

(∑i

[(−→Xs

)TM−→V −

(−→Xi

)TM−→V

]M−→Xi

)

=2

((−→Xs

)TM−→V

)·M−→V −

(∑i

(−→Xi

)TM−→V ·M

−→Xi

)

• second terme :

2

(∑i

(−→Xs −

−→Xi

)TM−→V

)·M

(−→Xs −

−→V)

=2

(∑i

(−→Xs

)TM−→V −

∑i

(−→Xi

)TM−→V

)·M

(−→Xs −

−→V)

=2N

((−→Xs

)TM−→V

)·M

(−→Xs −

−→V)−(∑

i

(−→Xi

)TM−→V

)·M

(−→Xs −

−→V)

• troisième terme :

(∑i

fi

(−→Xs

))·M−→V =

(∑i

((−→Xs

)T−(−→Xi

)T)M(−→Xs −

−→Xi

))·M−→V

=

(∑i

(−→Xs

)TM−→Xs −

(−→Xs

)TM−→Xi −

(−→Xi

)TM−→Xs +

(−→Xi

)TM−→Xi

)·M−→V

=

(N(−→Xs

)TM−→Xs

)·M−→V − 2

(∑i

(−→Xi

)TM−→Xs

)·M−→V

+

(∑i

(−→Xi

)TM−→Xi

)·M−→V

3

Il n'est pas, à ma connaissance, possible de simpli�er d'avantage cette équationmatricielle. Tentons une approche en réduisant la dimension du problème et deprendre un cas particulier.

Résolution numérique d'un problème simpli�é

Considérons le réseau simpli�é où le nombre d'antennes est de 3 et où cesdernières sont placées aux points de coordonnées suivantes : A (0, 2), B

(√3,−1

)et C

(−√3,−1

). Plaçons alors une source aux coordonnées S (0, 3) qui émet

une onde de célérité 1 à l'instant t∗s = 0.

Dans cette géométrie particulière, le tenseur de Minkowski vautM = diag (1, 1,−1),

l'événement initial vaut−→Xs =

030

et les autres événements valent alors

−→X1 =

021

,−→X2 =

√3−1√19

,−→X3 =

−√3−1√19

. Notons−→V =

xyt∗

le vecteur de translation spatio-temporel. On supposera dans cette partie quet∗2 = x2+y2 (je ne suis plus très sûr de moi). Les trois termes dans le développe-

ment de ∇f(−→Xs −

−→V)valent alors chacun

• 2M

(∑i

(−→Xs −

−→Xi

)TM−→V ·−→Xi

)= 2

−6x−6y + 2

(1−√19)t∗(

1 + 8√19)y + 39t∗

• 2

(∑i

(−→Xs −

−→Xi

)TM−→V

)·M(−→Xs −

−→V)= 2

(x+ 8y +

(1 + 2

√19)t∗) −x

3− yt∗

•(∑

i fi

(−→Xs

))·M−→V = 0

La recherche

4

Intersection géométrique de deux surfaces

coniques

Tarek Salhi, Ahmed Rebai

April 24, 2012

Il s'agit dans ce paragraphe de déterminer les courbes qui résultent del'intersection de deux cônes de génératrices parallèles et de même angle au som-met ou plus généralement de n cônes dans l'espace euclidien a�ne R3. Cescônes représentent des contraintes issues d'un problème de propagation d'uneonde électromagnétique dans un milieu.

A chaque événement correspondant à l'arrivée d'un signal à une antenne i,on lui associe un cône dé�ni par l'équation suivante :

∥∥∥∥( xy

)−(xiyi

)∥∥∥∥22

= (t∗ − ti)2 ⇔ (x− xi)2 + (y − yi)2 = (t∗ − t∗i )2

Si l'on note par X =

xyt∗

les coordonnées généralisées alors on peut

simplement écrire cette équation comme une forme quadratique

(X −Xi)TM (X −Xi) = 0

Ce cône géométrique est le cône isotrope de la forme quadratique de ma-trice M = diag (1, 1,−1). On notera par la suite la forme quasratique suivanteq (X) = XTMX. Cherchons alors la courbe résultant de l'intersection des deuxcônes suivants {

(x− x1)2

+ (y − y1)2

= (t∗ − t∗1)2 · · · (1)

(x− x2)2

+ (y − y2)2

= (t∗ − t∗2)2 · · · (2)

On a alors la suite d'opérations suivantes, en notant Xi =

xiyit∗i

:

1

(1)− (2)⇒ (x− x1)2 − (x− x2)

2+ (y − y1)

2 − (y − y2)2

= (t∗ − t∗1)2 − (t∗ − t∗2)

2

⇒ (2x− (x1 + x2)) (x2 − x1) + (2y − (y1 + y2)) (y2 − y1) = (2t∗ − (t∗1 + t∗2)) (t∗2 − t∗1)

⇒2 (x2 − x1)x+ 2 (y2 − y1) y + 2 (t∗1 − t∗2) t∗ =(x22 − x21

)+(y22 − y21

)−(t∗22 − t∗21

)⇒ (x2 − x1)x+ (y2 − y1) y − (t∗2 − t∗1) t∗ =

1

2(q (X1)− q (X2))

La dernière équation dé�nit l'équation d'un plan de vecteur normal−→N = (x2 − x1)

(y2 − y1)(t∗1 − t∗2)

. La courbe résultant de l'intersection des deux cônes est in-

cluse dans ce plan. Notons α = x2 − x1, β = y2 − y1 et γ = t∗2 − t∗1. Le

vecteur normal s'écrit alors−→N =

αβ−γ

= M (X2 −X1). Notons en�n

λ = 12 (q (X1)− q (X2)) et l'équation du plan suivant

αx+ βy − γt∗ = λ · · · (3)

En injectant l'équation (3) dans l'équation (1), on obtient alors l'équationsuivante suivant les cas

t∗1 6= t∗2 : L'équation (3) peut alors s'écrire t∗ = ax+ by + c où a = αγ , b = β

γ et

c = λγ . On obtient alors après injection

(1)⇒ (x− x1)2

+ (y − y1)2

= (ax+ by + c− t∗1)2

⇒(1− a2

)x2 − 2abxy +

(1− b2

)y2

− 2a (c− t∗1)x− 2b (c− t∗1) y − 2x1x− 2y1y + x21 + y21 − (c− t∗1)2

= 0

Cette courbe contient une partie quadratique et une partie linéaire. C'estdonc une conique (éventuellement dégénérée). Il faut pour cela étudier suivant lesigne du discriminant ∆′ = a2b2−

(1− a2

) (1− b2

)= a2+b2−1. Cette équation

est équivalente à l'équation suivante γ2∆′ = (x2 − x1)2

+(y2 − y1)2−(t∗1 − t∗2)

2.

1. ∆′ < 0 : L'intersection est une ellipse. La condition (x2 − x1)2+(y2 − y1)

2<

(t∗1 − t∗2)2s'interprète

2