Universite Larbi ben M’hidi Oum EL Bouaghi

Departement de sciences et de la technologieExamen : MATHS 040

2ieme annee ST

La date : 25− 05− 2013

Duree : 1h : 30m

Exercice 1 :(6 points)

Montrer que les fonctions avec une variable complexe suivantes sont holomorphes :

a) z 7→ cos z sur Cb) z 7→ chz sur Cc) z 7→ 2z3 sur C.

Exercice 2 : (7 points)

Soit les series entieres suivantes :

f(z) =+∞∑n=0

(1 + i)n zn

n!et g(z) =

+∞∑n=0

(1− i)n zn

n!

1) Calculer le rayon de convergence des series entieres f et g.

2) Calculer la somme des series entieres f et g.

3) En deduire le developpement en serie entiere les fonctions suivantes

h(z) = ez cos z et l(z) = ez sin z.

Exercice 3 : (7 points)

Calculer les integrales suivantes :

1) ∫γ

dz

2z2 − 5z + 2

ou γ designant le cercle unite | z |= 1.

2) ∫γ

sin(πz2) + cos(πz2)

(z − 1)(z − 2)dz

ou γ designant le cercle | z |= 3.

3) ∫ +∞

−∞

dx

x2 + x + 1.

Bon courage

Responsable de module D jeddi K amel.