GEII - Ma3 - Représentations de Fourier et convolution

MA3 (GEII - S3)B - REPRÉSENTATION DE FOURIER ET CONVOLUTION

F. Morain-Nicolier

[email protected]

2014 - 2015 / URCA - IUT Troyes

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OUTLINE

1. SÉRIES DE FOURIER COMPLEXES

2. DES SÉRIES DE FOURIER AUX INTÉGRALES DE FOURIER

3. IMPULSION DE DIRAC ET DISTRIBUTIONS

4. PRODUIT DE CONVOLUTION

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1.1 RAPPELS SUR LES SÉRIES DE FOURIER

Fourier à découvert (comme Euler, Lagrange et Bernouilliavant lui) qu’une fonction :

I définie sur R,I à valeurs complexes,I P-périodique,I et suffisamment régulière ( ? ! ?)

peut-être synthétisée à l’aide de sinusoïdes (cosinus et sinus).

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Le développement en série de Fourier (DSF) d’une tellefonction f s’écrit :

f (t) = a0 +∞

∑n=1

(an cos(nωt) + bn sin(nωt))

I Les coefficients an et bn sont des constantes quicaractérisent f .

I Cette équation est une équation de synthèse.

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Les coefficients an et bn peuvent être obtenus à partir desintégrales suivantes :

a0 =1P

∫ P

0f (t)dt,

an =2P

∫ P

0f (t) cos(nωt)dt,

bn =2P

∫ P

0f (t) sin(nωt)dt.

I Ce sont les équations d’analyse.

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1.1 RAPPELS SUR LES SÉRIES DE FOURIERLe DSF d’une fonction périodique réelle

f (t) = a0 +∞

∑n=1

(an cos(nωt) + bn sin(nωt))

peut également s’écrire uniquement sous la forme d’unesomme de cosinus déphasés :

f (t) =∞

∑n=0

An cos(nωt + φn).

Il est alors possible de tracer deux graphes :

I le spectre d’amplitude An

I le spectre de phase φn

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Chaque harmonique est donc caractérisée par :

I An un module etI ϕn une phase.

⇒ un nombre complexe

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1.2 FORME COMPLEXE DU DSF

Le développement en série de Fourier (DSF) d’une fonctionpériodique réelle peut également s’écrire :

f (t) =∞

∑n=−∞

cneinωt.

(cette équation s’obtient aisément à l’aide des formules d’Euler.Voir exercice TD 1).

Les coefficients cn sont obtenus par :

cn =1P

∫ P

0f (t)e−inωtdt.

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Les coefficients complexes cn peuvent s’obtenir à l’aide descoefficients réels :

cn =an − ibn

2et

c−n =an + ibn

2= cn.

I Nombre de coefficients ?

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QUESTION 1 1 - Par rapport aux coefficients an et bn, le nombrede coefficients cn non redondants est :

1. plus grand2. identique3. plus petit

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http://lc.cx/WJe

http://lc.cx/WJe

1.3 SPECTRES

I Spectre d’amplitude |cn| (pair)I Spectre de phase arg cn (impair) - (attention à l’obtention

de l’angle d’un complexe)

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1.4 PROPRIÉTÉS : TRANSLATION

En posantg(t) = f (t− a),

montrons quecn[g] = cn[f ].e−inωa

et|cn[g]| = |cn[f ]|.

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1.5 PROPRIÉTÉS : DILATATION

En posantg(t) = f (λt),

montrons quecn[g] = cn[f ].

I La dilatation n’a aucun effet sur les coefficients du DSFd’une fonction.

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1.6 PROPRIÉTÉS : DÉRIVATION

En posantg(t) = f ′(t),

montrons quecn[g] = inωcn[f ].

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1.7 FORMULE DE PARSEVAL-PLANCHEREL

En S2, nous avons montré que

1P

∫ P

0f 2(t)dt = a2

0 +∞

∑k=1

(a2n + b2

n).

Ce qui, avec des coefficients complexes, s’écrit :

1P

∫ P

0f 2(t)dt =

∞

∑k=−∞

c2n.

⇒ L’énergie totale d’un signal ne dépend pas de lareprésentation choisie.

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2. DES SÉRIES DE FOURIER AUX INTÉGRALES DE

FOURIER

I DSF : Analyse harmonique (fonction périodiques)I TF : généralisation aux fonctions non-périodiques

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2.1. EN PREMIÈRE APPROCHE

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2.1. EN PREMIÈRE APPROCHE

I Toutes les fréquences sont présentes dans le spectred’une fonction non-périodique

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2.2. OBTENTION DES INTÉGRALES DE LA TF

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2.2. OBTENTION DES INTÉGRALES DE LA TF

I Équation de synthèse :

f (t) =1

2π

∫ ∞

−∞F(ω)eiωtdω.

I Équation d’analyse

F(ω) =∫ ∞

−∞f (t)e−iωtdt.

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2.2. OBTENTION DES INTÉGRALES DE LA TFI Équation de synthèse :

f (t) =1

2π

∫ ∞

−∞F(ω)eiωtdω.

I Équation d’analyse

F(ω) =∫ ∞


Pour mémoire, pour une fonction périodique :

f (t) =∞

∑n=−∞

cneinωt

etcn =

1T

∫T

f (t)e−inωtdt.

I Les propriétés du DSF sont (en général) retrouvée avec laTF.

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2.3. DIVERSES RÉPARTITIONS DE LA CONSTANTE

I La constante 2π peut se répartir différemment entre lesdeux équations, selon la communauté.

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2.4. EXISTENCE

F(ω) =∫ ∞


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2.4. EXISTENCE

F(ω) =∫ ∞


Pour que F(ω) existe, il faut que

limx→±∞

f (x) = 0.

C’est une condition très restrictive !

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2.5. CONVERGENCE

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2.5. CONVERGENCE

Si f (t) est absolument intégrable sur R, sa représentationfréquentielle converge vers

f (t+) + f (t−)2

, ∀x ∈ R.

I La représentation fréquentielle de f (t) converge donc versf (t) si f (t) est continue.

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2.6. UN EXEMPLE : CRÉNEAU RECTANGULAIRE

SYMÉTRIQUE

Soit c défini par

c(x) =

{A si |x| ≤ τ

0 sinon.

I Cherchons sa transformée de Fourier

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2.6. UN EXEMPLE : CRÉNEAU RECTANGULAIRE

SYMÉTRIQUE

Soit c défini par

c(x) =

{A si |x| ≤ τ

0 sinon.

Sa représentation fréquentielle est

C(ω) =2Aω

sin(ωτ).

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2.7. SPECTRES

De façon analogue au DSF, les spectres sont donnés par :

I spectre d’amplitude : |F(ω)|I spectre de phase : arg F(ω)

I le spectre d’énérgie |F(ω)|2 donne la répartition del’énergie en fonction de ω.

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2.7. EXEMPLE DE SPECTRE

FIGURE : Signal temporel (flute)

FIGURE : Spectres d’amplitude et de phase 31 / 50

2.7. EXEMPLE DE SPECTRE

QUESTION 2 2 - Qui contient le plus d’information sur lesignal ?

1. Le spectre d’amplitude2. Le spectre de phase3. L’un autant que l’autre


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2.7. MANIPULATION SONORE

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2.7. EXEMPLE : SPECTRE D’ÉNERGIE DU CRÉNEAU DE

LARGEUR 2τ

Soit c défini par

c(x) =

{A si |x| ≤ τ

0 sinon.

Sa représentation fréquentielle est

C(ω) =2Aω

sin(ωτ).

I Cherchons (et représentons) |F(ω)|2.

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2.8. RELATION D’INDÉTERMINATION

I Relation d’indétermination ou d’incertitude (cf.Heisenberg) :

∆t.∆ν = Cte

I Plus un signal est court temporellement, plus sa représentationfréquentielle est large.

I exemple : notes de musique.

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2.9. THÉORÊME DE PARSEVAL-PLANCHEREL

L’énergie de la fonction f :

∫ ∞

−∞|f (t)|2dt

peut être calculée dans le domaine fréquentiel :

∫ ∞

−∞|f (t)|2dt =

12π

∫ ∞

−∞|F(ω)|2dω.

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3.1. UN CRÉNEAU PARTICULIER : L’IMPULSION DE

DIRAC

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DIRAC

δ(t) vérifie :

i) ∀t, δ(t) ≥ 0

ii) δ(t) = 0 si t 6= 0

iii)∫

Rδ(t)dt = 1

QUESTION 3 3 - l’objet mathématique δ (impulsion de dirac)est-il une fonction ?

1. oui2. non


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DIRAC

Les théoriciens de la physique des particules vers 1920–30(dont Paul Dirac, 1902–1984), on introduit la “fonction” δ(t)vérifiant “de gré ou de force” :

δ(t) = 0 si t 6= 0δ(t) = ∞ si t = 0∫

Rδ(t)dt = 1.

I Représentation graphiquementI Formalisme facilement exploitable

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3.2. EXEMPLE : CALCUL DE L’INTÉGRALE DU PRODUIT

D’UN DIRAC ET D’UNE FONCTION

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3.3. DÉRIVATION “NEW LOOK”

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3.3. DÉRIVATION “NEW LOOK”

I 1946 : proposition d’une théorie complète (théorie desdistributions) par Laurent Schwartz (1915 - 2002)

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4.1. CELLULE RC

R

x(t) C v(t)

i(t)

FIGURE : Circuit RC

Ri(t) + v(t) = x(t)

i = Cdvdt⇒ RCv′(t) + v(t) = x(t)

Montrons que

v(t) =1

RC

∫ t

−∞e−

t−sRC x(s)dt

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4.1. CELLULE RC : EXPRESSION DE LA SORTIE

En posant

h(t) =1

RCe−tRC u(t),

u(t) étant l’échelon de Heaviside, la sortie v(t) peut s’écriresous la forme

v(t) =∫ +∞

−∞h(t− s)u(s)ds.

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4.2. DÉFINITION DU PRODUIT DE CONVOLUTION

La convolution de deux fonctions f et g est une fonction notéef ∗ g et définie par

(f ∗ g)(t) =∫ +∞

−∞f (t− u)g(u)du.

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4.3. UNE DÉFINITION “MANUELLE”

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4.4. PROPRIÉTÉS DU PRODUIT DE CONVOLUTION

(f ∗ g)(t) =∫ +∞

−∞f (t− u)g(u)du.

I Commutativité :

(f ∗ g)(t) = (g ∗ f )(t)

I Associativité :f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h

I Distributivité :

f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h

I Élément neutre δ :

f ∗ δ = δ ∗ f = f

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4.4. THÉORÈME DE CONVOLUTION

Montrons queTF[f ∗ g] = TF[f ].TF[g]

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Education

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