Click here to load reader

Modulo estructuras numéricas

  • View
    140

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Modulo estructuras numéricas

Estructuras Numricas

Estructuras Numricas2015

Universidad Nacional Autonoma de NicaraguaUnan ManaguaFacultad Regional Multidisciplinaria de EsteliUnan Farem EsteliRecinto Universitario Leonel RugamaDepartamento de Ciencias de la Educacion y Humanidades

Mdulo de Estructuras Numricas

Autor: Msc. Vctor Manuel Valdivia

Estel, marzo de 2015

IntroduccinLos sistemas numricos son instrumentos idneos para transmitir la amenidad, formalidad y el carcter ldico que tienen las matemticas (Universidad Nacional Autonoma de Nicaragua, Managua , 1999). Con el presente modulo se pretende que como estudiantes de la carrera de fsica matemtica se apropien de los diferentes conjuntos numricos y sus principales propiedades. Se pretende con el material a disposicin alcancen un mejor nivel de preparacin acadmica en la asignatura de estructuras numricas no dejando de lado la auto preparacin y los deseos por ampliar ms los conocimientos en dicha asignatura, pues en presente material se vern algunos tpicos fundamentales, por tanto se insta a que como estudiantes amplen sus conocimientos mediante el autoestudio.Los nmeros son una inagotable veta de actividades ldicas, aptas para implementar en todos los niveles educativos del pas.La estructura del mdulo consiste en seis unidades temticas:I Unidad: Nmeros enteros naturalesII Unidad: Nmeros enteros relativosIII Unidad: Nmeros enteros primosIV Unidad: Nmeros RealesV Unidad: El cuerpo de los complejosVI Unidad: Aplicaciones de los complejosEn el cual se empleara la metodologa activa participativa de manera conferencial donde se tratara de que todos los estudiantes se involucren en el descubrimiento y manipulacin de los diferentes dominios numricos

Objetivos Generales de la Asignatura1. Conocer el proceso gentico de ampliacin de los dominios numricos ms representativos2. Dominar la metodologa de la ampliacin algebraica de los dominios numricos3. Reconocer la faceta estructural algebraica de los dominios numricos.4. Demostrar las propiedades algebraicas bsicas de los dominios numricos que se ensean en la secundaria

I Unidad: Nmeros enteros naturalesIntroduccin:Antes de que surgieran los nmeros para la representacin de cantidades, el ser humano us otros mtodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Ms adelante comenzaron a aparecer los smbolos grficos como seales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos especficos sobre la arena. Pero fue en Mesopotamia alrededor del ao 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los nmeros que consistieron en grabados de seales en formas de cuas sobre pequeos tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aqu el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeracin fue adoptado ms tarde, aunque con smbolos grficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma adems de las letras, se utilizaron algunos smbolos.

Quien coloc al conjunto de los nmeros naturales sobre lo que comenzaba a ser una base slida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX. Que despus precis Peano dentro de una lgica de segundo orden, resultando as los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la existencia del sistema de nmeros naturales partiendo de principios ms fuertes. Lamentablemente la teora de Frege perdi, por as decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo mtodo. Fue Zermelo quien demostr la existencia del conjunto de nmeros naturales, dentro de su teora de conjuntos y principalmente mediante el uso del axioma de infinitud que, con una modificacin de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de nmeros naturales como ordinales segn von Neumann Desde hace mucho tiempo, tantos que quizs no puedas recordar desde cundo, sabes como funcionan los nmeros naturales: 0; 1; 2, 3; , es decir, sabes operar con ellos, conoces y aplicas las propiedades de la adicin y la multiplicacin y hasta incluso manejas bien las desigualdades.Lo que nos proponemos ahora es investigar qu cosa son los nmeros naturales, o mejor dicho, qu es el sistema de los nmeros naturales

Objetivos de la unidad:- Conocer las propiedades principales de las operaciones en el conjunto de los naturales- Utilizar mtodos de recurrencia en la demostracin de propiedades con nmeros naturales- Conocer y demostrar los axiomas de Peano- Definir el concepto de sucesin numrica- Establecer matemticamente la diferencia entre conjuntos finitos e infinitosContenidos de la unidad:1. Propiedades del conjunto de los nmeros naturales2. Principio de recurrencia3. Propiedades recurrentes4. Axiomas de Peano: Adicin, Multiplicacin, Orden5. Axiomtica ordinal de 6. Sucesiones numricas7. Conjuntos finitos e infinitos

1. PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NMEROS NATURALES1.1 Nmeros naturalesUn nmero natural es cualquiera de los nmeros que se usan para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utiliz el ser humano para contar objetos.El conjunto de los nmeros naturales se representa por y corresponde al siguiente conjunto numrico:Los nmeros naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adicin y la multiplicacin, ya que al operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un nmero perteneciente a.Uso de los nmeros naturales: Los nmeros naturales, son usados para dos propsitos fundamentalmente: para describir la posicin de un elemento en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de nmero ordinal, y para especificar el tamao de un conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de nmero cardinal.

1.2 Propiedades de los nmeros naturalesPropiedades de la adicin de Nmeros NaturalesLa adicin de nmeros naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.1.- Asociativa:Si son nmeros naturales cualesquiera se cumple que:

Por ejemplo:

Los resultados coinciden, es decir,

2.-ConmutativaSi son nmeros naturales cualesquiera se cumple que:

En particular, para los nmeros 7 y 4, se verifica que:

Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adicin se pueden efectuar largas sumas de nmeros naturales sin utilizar parntesis y sin tener en cuenta el orden.3.- Elemento neutroEl 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el nmero natural a, se cumple que:

Propiedades de la Multiplicacin de Nmeros NaturalesLa multiplicacin de nmeros naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.1.-AsociativaSi son nmeros naturales cualesquiera se cumple que:

Por ejemplo:

Los resultados coinciden, es decir,

2.- ConmutativaSi son nmeros naturales cualesquiera se cumple que:

Por ejemplo:

3.-Elemento neutroEl 1 es el elemento neutro de la multiplicacin porque, cualquiera que sea el nmero natural , se cumple que:

4.- Distributiva del producto respecto de la sumaSi son nmeros naturales cualesquiera se cumple que:

Por ejemplo:

Los resultados coinciden, es decir,

Propiedades de la Sustraccin de Nmeros NaturalesIgual que la suma la resta es una operacin que se deriva de la operacin de contar.Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas cuantas ovejas tenemos? Una forma de hacerlo sera volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordara el resultado y no necesitara volver a contar las ovejas. Sabra que 6 - 2 = 4.Los trminos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).Propiedades de la resta:La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo que )Propiedades de la Divisin de Nmeros NaturalesLa divisin es la operacin que tenemos que hacer para repartir un nmero de cosas entre un nmero de personas.Los trminos de la divisin se llaman dividendo (el nmero de cosas), divisor (el nmero de personas), cociente (el nmero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).Si el resto es cero la divisin se llama exacta y en caso contrario inexacta.Propiedades de la divisinLa divisin no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo que

2. PRINCIPIO DE RECURRENCIA

2.1 El principio de recurrencia (o de induccin completa).Supongamos que un conjunto de nmeros naturales contiene al 0, y que por el hecho de contener a un natural n se puede deducir que contiene a (o sea a su siguiente). Es fcil, imaginar entonces que en ese conjunto, si esta el 0, deber estar el 0 + 1 = 1 y si est el 1, deber estar el 1+1=2; y si est el 2 tambin estar el 3; el 4 etc., por el mismo argumento.Entonces hemos de concluir que en ese conjunto estn todos los nmeros naturales, ya que el conjunto de los nmeros naturales es generable por la adicin reiterada del 1.

3. PROPIEDADES RECURRENTES3.1 El principio de recurrenciaAsegura entonces:Un conjunto S de nmeros naturales con las siguientes dos propiedades, contiene a todos los nmeros naturales:1) 0 S.2) Si el conjunto S contiene al natural n, entonces contiene a.Este principio se aplica para probar ciertas proposiciones relacionadas con los nmeros naturales. Se dice en ese caso que la demostracin se realiza por recurrencia o induccin.Estrechamente vinculado a este principio se encuentra el llamado Principio de la buena ordenacin que expresa que en todo conjunto no vaco de nmeros naturales existe uno que es el menor de todos.Este principio cuyo enunciado parece muy ingenuo, es a la hora de justificar algunas propiedades bsicas de los nmeros naturales.3.2 Principio de la buena ordenacin de los nmeros naturales:Cualquier subconjunto no vaco del conjunto de los nmeros naturales tiene mni

Search related