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Universidad Nacional Autonoma de Nicaragua Unan – Managua Facultad Regional Multidisciplinaria de Esteli Unan – Farem – Esteli Recinto Universitario Leonel Rugama Departamento de Ciencias de la Educacion y Humanidades Módulo de Estructuras Numéricas Autor: Msc. Víctor Manuel Valdivia

Modulo estructuras numéricas

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Universidad Nacional Autonoma de Nicaragua

Unan – Managua

Facultad Regional Multidisciplinaria de Esteli

Unan – Farem – Esteli

Recinto Universitario Leonel Rugama

Departamento de Ciencias de la Educacion y Humanidades

Módulo de Estructuras Numéricas

Autor: Msc. Víctor Manuel Valdivia

Estelí, marzo de 2015

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Introducción

Los sistemas numéricos son instrumentos idóneos para transmitir la amenidad, formalidad y

el carácter lúdico que tienen las matemáticas (Universidad Nacional Autonoma de

Nicaragua, Managua , 1999).

Con el presente modulo se pretende que como estudiantes de la carrera de física matemática

se apropien de los diferentes conjuntos numéricos y sus principales propiedades.

Se pretende con el material a disposición alcancen un mejor nivel de preparación

académica en la asignatura de estructuras numéricas no dejando de lado la auto preparación

y los deseos por ampliar más los conocimientos en dicha asignatura, pues en presente

material se verán algunos tópicos fundamentales, por tanto se insta a que como estudiantes

amplíen sus conocimientos mediante el autoestudio.

Los números son una inagotable veta de actividades lúdicas, aptas para implementar en

todos los niveles educativos del país.

La estructura del módulo consiste en seis unidades temáticas:

I Unidad: Números enteros naturales

II Unidad: Números enteros relativos

III Unidad: Números enteros primos

IV Unidad: Números Reales

V Unidad: El cuerpo de los complejos

VI Unidad: Aplicaciones de los complejos

En el cual se empleara la metodología activa participativa de manera conferencial donde se

tratara de que todos los estudiantes se involucren en el descubrimiento y manipulación de

los diferentes dominios numéricos

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Objetivos Generales de la Asignatura

1. Conocer el proceso genético de ampliación de los dominios numéricos más

representativos

2. Dominar la metodología de la ampliación algebraica de los dominios numéricos

3. Reconocer la faceta estructural algebraica de los dominios numéricos.

4. Demostrar las propiedades algebraicas básicas de los dominios numéricos que

se enseñan en la secundaria

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I Unidad: Números enteros naturales

Introducción:

Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano usó

otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera,

nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los

símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente

trazos específicos sobre la arena. Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C.

donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de

señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito

aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue

adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la

Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto,

mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.

Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base

sólida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX. Que después precisó Peano dentro de una

lógica de segundo orden, resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre.

Frege fue superior a ambos, demostrando la existencia del sistema de números naturales

partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege perdió, por así

decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró

la existencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y

principalmente mediante el uso del axioma de infinitud que, con una modificación de este

hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de números naturales como

ordinales según von Neumann

Desde hace mucho tiempo, tantos que quizás no puedas recordar desde cuándo, sabes como

“funcionan” los números naturales: 0; 1; 2, 3; …, es decir, sabes operar con ellos, conoces y

aplicas las propiedades de la adición y la multiplicación y hasta incluso manejas bien las

desigualdades.

Lo que nos proponemos ahora es investigar qué cosa son los números naturales, o mejor

dicho, qué es el sistema de los números naturales

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Objetivos de la unidad:

- Conocer las propiedades principales de las operaciones en el conjunto de los naturales

- Utilizar métodos de recurrencia en la demostración de propiedades con números naturales

- Conocer y demostrar los axiomas de Peano

- Definir el concepto de sucesión numérica

- Establecer matemáticamente la diferencia entre conjuntos finitos e infinitos

Contenidos de la unidad:

1. Propiedades del conjunto de los números naturales

2. Principio de recurrencia

3. Propiedades recurrentes

4. Axiomas de Peano: Adición, Multiplicación, Orden

5. Axiomática ordinal de N

6. Sucesiones numéricas

7. Conjuntos finitos e infinitos

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1. PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES

1.1 Números naturalesUn número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de

un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para

contar objetos.

El conjunto de los números naturales se representa por y corresponde al siguiente conjunto

numérico:

Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adición y la

multiplicación, ya que al operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un

número perteneciente a.

Uso de los números naturales: Los números naturales, son usados para dos propósitos

fundamentalmente: para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada,

como se generaliza con el concepto de número ordinal, y para especificar el tamaño de un

conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de número cardinal.

1.2 Propiedades de los números naturalesPropiedades de la adición de Números Naturales

La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y

elemento neutro.

1.- Asociativa:

Si a , b , c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a+b)+c=a+(b+c)

Por ejemplo:

(7+4)+5=11+5=16

7+(4+5)=7+9=16

Los resultados coinciden, es decir,

(7+4)+5=7+(4+5)

2.-Conmutativa

Si a ,b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a+b=b+a

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En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:

7+4=4+7

Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas

sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.

3.- Elemento neutro

El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número

natural a, se cumple que:

a+0=a

Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales

La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa,

elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.

1.-Asociativa

Si a , b , c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a × b ) ×c=a ×(b ×c )

Por ejemplo:

(3×5)×2=15 × 2=30

3 ×(5 ×2)=3 ×10=30

Los resultados coinciden, es decir,

(3 ×5)×22=3 ×(5 ×2)

2.- Conmutativa

Si a ,b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a × b=b× a

Por ejemplo:

5 ×8=8 ×5=40

3.-Elemento neutro

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural

a, se cumple que:

a×1=a

4.- Distributiva del producto respecto de la suma

Si a , b , c son números naturales cualesquiera se cumple que:

a ×(b+c)=a×b+a×c

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Por ejemplo:

5 ×(3+8)=5 ×11=55

5 ×3+5 × 8=15+40=55

Los resultados coinciden, es decir,

5×(3+8)=5×3+5× 8

Propiedades de la Sustracción de Números Naturales

Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.

Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos? Una forma de

hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias

veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas.

Sabría que 6 - 2 = 4.

Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las

ovejas que se comieron los lobos).

Propiedades de la resta:

La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a−b que b−a)

Propiedades de la División de Números Naturales

La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un número de cosas entre

un número de personas.

Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de

personas), cociente (el número que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).

Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.

Propiedades de la división

La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a /b que b /a

2. PRINCIPIO DE RECURRENCIA

2.1 El principio de recurrencia (o de inducción completa).Supongamos que un conjunto de números naturales contiene al 0, y que por el hecho de

contener a un natural n se puede deducir que contiene a n+1 (o sea a su siguiente). Es fácil,

imaginar entonces que en ese conjunto, si esta el 0, deberá estar el 0 + 1 = 1 y si está el 1,

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deberá estar el 1+1=2; y si está el 2 también estará el 3; el 4… etc., por el mismo

argumento.

Entonces hemos de concluir que en ese conjunto están todos los números naturales, ya que

el conjunto de los números naturales es generable por la adición reiterada del 1.

3. PROPIEDADES RECURRENTES

3.1 El principio de recurrenciaAsegura entonces:

Un conjunto S de números naturales con las siguientes dos propiedades, contiene a todos

los números naturales:

1) 0 ∈ S.

2) Si el conjunto S contiene al natural n, entonces contiene an+1.

Este principio se aplica para probar ciertas proposiciones relacionadas con los números

naturales. Se dice en ese caso que la demostración se realiza por recurrencia o inducción.

Estrechamente vinculado a este principio se encuentra el llamado Principio de la buena

ordenación que expresa que en todo conjunto no vacío de números naturales existe uno que

es el menor de todos.

Este principio cuyo enunciado parece muy ingenuo, es a la hora de justificar algunas

propiedades básicas de los números naturales.

3.2 Principio de la buena ordenación de los números naturales:Cualquier subconjunto no vacío del conjunto de los números naturales N tiene mínimo.

Demostración.

Supongamos que X es un subconjunto de números naturales no vacío que no tiene mínimo,

y sea Sn la proposición Sn: ningún número natural menor o igual a n pertenece a X.

Como X no tiene mínimo, S1es verdadera (porque si S1 fuera falsa entonces 1 sería el

mínimo de X) y suponiendo que Sn es verdadera también lo es Sn+1 (porque si Sn+1 fuera

falsa entonces n+1 sería el mínimo de X). Luego por el principio de inducción todas las

afirmaciones Sn son verdaderas, lo que implica que no existe ningún número natural en X,

en contradicción con el hecho de que X es no vacío.

3.3 El razonamiento por recurrencia.

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La inducción matemática es un método para la demostración de una propiedad S(n) que

depende de una variable natural.

3.4 Demostrar por recurrencia.Para demostrar que una propiedad, que depende de un número natural n, es verdadera para

todo natural n ≥ n0 (n0 es un natural dado), se procede en tres etapas.

1) Base inductiva: Se muestra que la propiedad es válida cuando n=n0.

2. Paso inductivo: Se prueba que SI la propiedad es verdadera para un natural k ≥ n0 (es la

hipótesis de recurrencia), ENTONCES ella es verdadera para el natural siguiente k+1.

3) Conclusión: la propiedad es verdadera para todo natural n ≥ n0.

En la práctica, para demostrar por recurrencia que una proposición Pn es verdadera, se

procede en tres etapas:

• Se verifica que es verdadera (corrientemente es la parte más fácil);

• Se supone que Pn es verdadera para un natural cualquiera n ≥ n0. (es la hipótesis de

recurrencia) y se demuestra entonces que Pn+ 1es verdadera, se dice que la propiedad es

hereditaria;

• Se concluye: para todo natural n ≥ n0, Pn es verdadera.

Ejemplo 1: La suma de los n primeros números.

Demostrar por recurrencia que 1+2+3+…+n=n (n+1 )2

,n∈N ¿.

• Base inductiva:

Se muestra que la proposición es verdadera para n=1:

1=1(1+1)2

Ya que la suma se reduce al primer término 1; la proposición es entonces verdadera para

n=1.

• Paso inductivo: se supone que la proposición es verdadera para un n fijo (n∈N ¿):

1+2+3+…+n=n (n+1 )2

Se debe demostrar que la proposición es verdadera para n+1.

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La proposición es verdadera para n+1.

• Conclusión:

La propiedad se verifica para n=1, y como ella es «hereditaria» entonces es verdadera ara

todo natural no nulo,

1+2+3+…+n=n (n+1 )2

Ejemplo 2: La suma de los n primeros números impares.

¿Sabrías demostrar que la suma de los n primeros números impares resulta ser un cuadrado

perfecto?

Para todo natural n≥ 1:

1+3+5+…+(2 n –1)=n2

Realicemos la justificación de esta igualdad por inducción. La cosa va bien para el primer

impar:

• Base inductiva: S1=1=12

• Paso inductivo: Supongamos que es cierto que, cuando sumamos los n primeros impares,

resulta

Sn=1+3+5+...+2n−3+2n−1=n2

Veamos que pasa con los n+1 primeros impares. ¿Cuál es su suma?

Sn+1=1+3+5+…+2n−3+2n−1+2n+1

Usando la hipótesis inductiva resulta que:

Sn+1=Sn+(2 n+1)=n2+2n+1=(n+1)2

• Conclusión:

Por tanto, al ser cierto queSn+1=(n+1)2, es cierto para todo natural la propiedad:

1+3+5+…+2n−3+2 n−1=n2

3.5 Definiciones por recurrencia.1. El factorial de n.

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Además de las demostraciones por inducción o recurrencia están las definiciones

recursivas. Así por ejemplo, el número n !, que se lee factorial de n se define como el

producto de todos los números naturales, no nulos, menores o iguales a él:

n !=1× 2× 3×…×(n−1)×n

Por ejemplo: 3 !=6 ;2!=2 ;5 !=120.

Sin embargo se puede definir recursivamente para evitar esos misteriosos puntos

suspensivos y para que quede definido para todo número natural inclusive el 0;

0={ 0 !=1(n+1 )!=n !×(n+1)

2. Potencia de un número real.

Sabes de cursos anteriores que si a es un número a0=1 y que si n un natural mayor que

uno, entonces: an=a × a×…× a× a (n factores).

Ahora estamos en condiciones de reformular la definición del siguiente modo:

Si a∈R y n es un natural, se define la potencia de base a y de exponente n inductivamente

de la manera siguiente:

{ a0=1an+1=an× a

si a ≠ 0 es habitual usar la notación a−1 para expresar 1a y a−n representa ( 1a )

n

3. El símbolo de sumatoria.

Otra definición que encierra una notación conveniente para escribir una suma de n

términos:

a0+a1+a2+…+an−1

Es mediante el símbolo de sumatoria:

∑i=1

i=n−1

ai

Empleando la letra griega sigma mayúscula, Σ, para designar la suma de los números

obtenidos variando i desde 0 hasta n − 1.

Así por ejemplo:

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∑i=1

i=4

i2=12+22+32+42=1+4+9+16=30

Para definir el símbolo de sumatoria con más precisión nos hace falta una definición

recursiva:

{i=0

∑i=0

a i=0

∑i=1

i=n−1

ai=∑i=0

i=n

ai+an+1

4. AXIOMAS DE PEANO: ADICIÓN, MULTIPLICACIÓN, ORDEN

El conjunto N de los números naturales puede ser introducido de forma natural como el

conjunto de los cardinales de los conjuntos entre sí coordinables, en el sentido de

Dedekind:

0=card (φ) ,1=card ({φ }), 2=card({φ , {φ }}) ,.. .

Sin embargo, resulta equivalente introducirlos desde el punto de vista de un lenguaje

formalizado, desde la lógica matemática, mediante un conjunto de axiomas o condiciones

postuladas. En 1989 Giusepe Peano propuso un conjunto de nueve axiomas (que después de

algunas correcciones quedarían en solo cinco) con los cuales es posible deducir en N tanto

las propiedades de las operaciones internas de suma y multiplicación como su orden total.

En la presentación que sigue exponemos los cinco postulados de Peano y la derivación de

las propiedades básicas para la suma y la multiplicación en N , así como su ordenación.

4.1 Los axiomas de Peano:Se define el conjunto N de los números naturales como un conjunto que verifica las cinco

condiciones siguientes:

1) Existe un elemento de N al que llamaremos cero (0), esto es, 0∈N

2) Existe la llamada aplicación siguiente ϕ : N → N :

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ϕ : N → N ,∀ n∈ N , ϕ(n)∈N

3) El cero no es imagen por la aplicación siguiente:

∀n∈N , ϕ (n)≠ 0

4) La aplicación siguiente es inyectiva:

n ,m∈ N × N , ϕ(n)=ϕ (m)→ n=m

5) Se verifica la inducción completa:

1¿

0∈ A ¿2¿∀n∈ A → φ(n)∈ A¿}⇒ A=N

Resumiendo lo que afirman estos postulados o axiomas, podemos entender que se trata de

un conjunto que tiene un elemento, el cero (Ax.1), que no es siguiente de ningún otro

( A ×.3), es decir, se trata del primer elemento del conjunto, y todos los demás elementos

tienen cada uno un elemento siguiente ( A ×. 2), de modo que dos elementos distintos tienen

siguientes distintos ( A × .4 ). El quinto postulado es de suma importancia por dotarnos de un

método de demostración de propiedades, ya que nos indica que todo conjunto A al que

pertenezca el cero, y tal que todo elemento de A tiene siguiente en A, necesariamente ha de

coincidir con el conjuntoN de los números naturales. Es lo que se acostumbra a denominar

método simple de inducción completa.

A partir de estas cinco condiciones, y usando sistemáticamente el quinto axioma, de la

inducción completa, podemos probar todas las propiedades del conjunto N

Teorema 1.1:

Ningún número natural coincide con su siguiente, ∀ n∈N , n≠ ϕ(n).

Teorema 1.2:

Si dos aplicaciones de N en N conmutan con la aplicación siguiente y tienen la misma

imagen para el cero, entonces ambas coinciden. Es decir:

f , g∈ Ap ( N )❑

f ∘φ=φ∘ fg∘φ=φ∘g}∧ f (0 )=g (0 )⇒ f (n )=g¿

Donde hemos llamado Ap(N ) al conjunto de las aplicaciones de N en N

Teorema 1.3:

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Si dos aplicaciones deN en N , f , g∈ Ap(N ) , tienen la misma imagen para el cero y existe

alguna aplicación ρ de N en N tal que f oϕ=ρ o f , g oϕ=ρ o g , entonces ambas

aplicaciones coinciden, esto es, f (n)=g(n) , ∀n∈ N

4.2 La suma o adición de números naturales:Definición 2.1:

Definimos la suma de números naturales como una aplicación S : N × N →N , de modo que

para ∀ n , m∈N × N , S(n,m)∈N se cumple que:

1) S(0 ,m)=m

2) S(ϕ(n), m)=ϕ [S (n , m)].

Teorema 2.1:

La definición de suma es única, es decir, si S1 , S2 son sumas, entonces S1 ,=S2 .

Demostración:

Definamos dos aplicaciones, f y g, mediante S1 y S2, y veamos a continuación que han de

coincidir.

Sea f : N → N definida para ∀ n∈N , f (n)=S1(n , m) , m∈N

Sea g : N → N definida para ∀ n∈N , g (n)=S2(n,m), m∈ N

Entonces:

Es decir, las dos aplicaciones, f y g, son tales que tienen la misma imagen para el cero y

además conmutan con la aplicación siguiente, por lo que, aplicando el teorema 1.2,

f (n)=g(n) , ∀ n∈ N esdecir , S1(n , m)=S2(n, m), n , m∈N

NOTACIÓN: Representaremos en adelante la suma de dos elementos de N , m y n, en la

manera habitual:

S(n,m)=n+m

y las dos condiciones de la definición serían, con esta notación:

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Estructuras Numéricas 2015

1) 0+m=m

2) ϕ (n)+m=ϕ (n+m)

Teorema 2.2:

Se verifican las propiedades asociativa, conmutativa y cancelativa para la suma de números

naturales:

Propiedad asociativa: ∀a ,b , c∈ N ,(a+b)+c=a+(b+c)

Propiedad conmutativa: ∀a ,b∈N ,a+b=b+a

Propiedad cancelativa: ∀a ,b , c∈N ,a+c=b+c→ a=b (también llamada propiedad

simplificativa de la suma)

Demostración:

4.3 La multiplicación o producto de números naturales:Definición 3.1:

Definimos la multiplicación de números naturales como una aplicación P : N × N → N de

modo que para ∀n ,m∈N × N , P(n ,m)∈N se cumple que:

1) P(0 ,m)=0

2) P(ϕ(n), m)=P(n , m)+m

Teorema 3.1:

La definición de multiplicación es única, es decir, si P1 , P2 son multiplicaciones, entonces

P1=P2

Demostración:

Definamos dos aplicaciones, f y g, mediante P1 y P2, y veamos a continuación que han de

coincidir.

Sea f : N → N definida para ∀n∈N , f (n)=P1(n ,m) , m∈N

Sea g : N → Ndefinida para ∀ n∈N , g (n)=P2(n ,m), m∈N

Definamos también ρ : N → N :∀ n∈ N , ρ(n)=n+m, m∈N

Entonces:

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Estructuras Numéricas 2015

Es decir, las dos aplicaciones, f y g, son tales que tienen la misma imagen para el cero y

además existe una aplicación ρ de N en N tal que f oϕ=ρ o f , go ϕ=ρ o g , por lo que,

teniendo en cuenta el teorema 1.3, ambas aplicaciones coinciden, f (n)=g(n) , ∀ n∈ N es

decir, P1(n , m)=P2(n , m) , n ,m∈N

NOTACIÓN: Representaremos en adelante la multiplicación de dos elementos de N , m y n,

en la manera habitual:

P(n , m)=n . m

y las dos condiciones de la definición serían, con esta notación:

1) 0× m=0

2) ϕ (n)×m=n× m+m

Teorema 3.2:

Se verifican las propiedades distributiva respecto de la suma, asociativa, conmutativa y

cancelativa para la multiplicación de números naturales:

Propiedad distributiva respecto de la suma: ∀ a ,b , c∈ N , a×(b+c)=a×b+a×c

Propiedad conmutativa: ∀ a ,b∈N , a ×b=b × a

Propiedad asociativa: ∀a ,b , c∈ N ,(a ×b)× c=a ×(b ×c )

Propiedad cancelativa: ∀a , b , c∈N , a×c=b×c →a=b

Demostración:

5. AXIOMÁTICA ORDINAL DE N

De los axiomas de Peano sabemos que todo número natural tiene un siguiente.

Veamos, que cualquier número natural, salvo el cero, es siguiente de otro número natural,

mediante una sencilla proposición.

Teorema 4.1:

Todo número natural distinto del cero es el siguiente de otro número natural:

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Estructuras Numéricas 2015

∀ n∈N /n≠ 0 ,∃m∈N /ϕ (m)=n

Demostración:

Consideremos el conjunto Α={n∈N /n=0∨∃m∈N /ϕ (m)=n }, y veamos que ha de

coincidir con N usando el axioma 5 de la inducción completa.

- 0∈ Α , por construcción de Α .

- ∀n∈ Α ,∃m∈ N /ϕ(m)=n → ϕ [ϕ (m)]=ϕ (n)→∃ϕ (m)/ ϕ[ϕ (m)]=ϕ(n)→ ϕ (n)∈ Α

O sea, 1) 0∈ Α , ∀n∈ Α → ϕ(n)∈ Α , lo que implica que Α=N , y, por consiguiente, todo

número natural n distinto del cero es el siguiente de otro número natural m, que, además, es

único, pues por el axioma 4, ϕ (a)=ϕ (b)→ a=¿ b

Definición 4.1:

a) Se define la relación “menor o igual que” (≤) del modo siguiente:

∀ a , b∈N ,a ≤ b↔∃ q∈N /a+q=b

b) Se define la relación “mayor o igual que”(≥) de la forma:

∀a ,b∈N , a ≥ b ↔b ≤ a

c) Se define la relación “menor estrictamente que” (¿):

∀a ,b∈N , a<b↔ a ≤ b∧a≠ b

d) Se define la relación “mayor estrictamente que”(¿):

∀ a , b∈N ,a>b↔ b<a

Teorema 4.2:

La relación “menor o igual que” es relación de orden, es decir, es reflexiva, anti simétrica y

transitiva.

Demostración:

a) es reflexiva:

∀a∈N ,∃0∈N /a+0=0+a=a → a ≤ a

b) es antisimétrica:

a≤ bb≤ a}→ ∃ p∈ N ∕ a+ p=b

∃q∈ N ∕ b+q=a }→b=a+p=b+q=b+( p+q )→ b=b+( p+q)

c) es transitiva:

a ≤ bb ≤ a}→ ∃ p∈ N ∕ a+ p=b

∃q∈N ∕ b+q=c }→ c=b+q=a+p+q=a+( p+q ) →c=a+(p+q)→∃( p+q)∈N ∕ a+( p+q)=c → a≤ c

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Corolario 1:

a) La relación “mayor o igual que” es también relación de orden.

b) La relación “menor estrictamente que” es relación de orden estricto.

c) La relación “mayor estrictamente que” es relación de orden estricto.

Demostración:

Es trivial, en los tres casos, a la vista del teorema.

Corolario 2:

Todo número natural es estrictamente menor que su siguiente: ∀a∈N , a<ϕ (a)

Demostración:

ϕ (a)=ϕ (0+a)=ϕ (0)+a→∃ϕ(0)∈N /a+ϕ (0)=ϕ (a)→a ≤ ϕ (a)

Por teorema 1.1 sabemos que a≠ ϕ (a) , por tanto:

a≤ ϕ (a)∧a≠ ϕ(a)→ a<ϕ (a)

Corolario 3:

El cero es menor estrictamente que cualquier otro número natural: 0<n ,∀n≠ 0

Demostración:

Por teorema 4.1 ∀n∈N /n ≠ 0 ,∃m∈N /ϕ (m)=n.

Si m=0 → m=0∧m<ϕ(m)=n→ 0<ϕ (0)→ 0<n

Si m≠ 0→∃ p∈N /ϕ ( p)=m

Si p=0→ p=0∧ p<ϕ ( p)=m→0<ϕ (0)→ 0<m<n

Si p≠ 0→∃q∈ N /ϕ (q)=p

Y así, podríamos continuar el proceso, con lo que aplicando la propiedad transitiva,

encontramos que 0<n ,∀n≠ 0 .

Teorema 4.3:

Se verifica la alternativa siguiente:

∀a ,b∈N ,a<b∨a=b∨a>b (Propiedad de tricotomía).

(Esto es lo mismo que afirmar que ∀a ,b∈N , a≤ b∨b≤ a, es decir, que la relación de

orden “≤" es un orden total)

Demostración:

Fijemos el elemento a y definamos los tres conjuntos que establecen la tricotomía:

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Estructuras Numéricas 2015

Α1={a }, Α2={b∈N /b<a }, Α3={b∈N /b>a} . Como veremos, los tres conjuntos son

disjuntos dos a dos.

El teorema quedará probado si:

N=¿i=1¿3 Ai

Siendo Αi ∩ Α j=∅ ,i ≠ j

Veámoslo suponiendo en primer lugar que es a=0 y luego para a ≠ 0.

a) Si es a=0 : A1= {0 } , Α2=∅ , Α3= {b∈N /b>0 }= {b∈N /b ≠ 0 } . Obviamente, en este caso

se verifica que N= {0 }∪∅∪ {b∈N /b≠ 0 }=A1∪ Α2∪ Α3 , verificándose también que:

A1 ∩ Α2= {0 }∩∅=∅

A1 ∩ Α3= {0 }∩ {b∈N /b ≠ 0 }=∅

A2 ∩ Α3= {b∈ N /b<a } ∩ {b∈N /b>a }=∅

b) Si es a ≠ 0 , como es a>0, entonces 0∈ Α2

Consideremos el conjunto Α=Α1∪ Α2∪ Α3 a fin de aplicar la inducción completa:

- 0∈ Α, pues 0∈ Α2

−∀b∈ Α → b∈ Α1∨b∈ Α2∨b∈ Α3

- Si b∈ Α1→=a→φ (b )>b→ φ (b )>a → φ(b)∈ A3→ φ(b)∈ A

- Si b∈ Α2→ b<a→∃ p∈N /b+ p=a , p≠ 0

Si p=φ(0)→b+φ(0)=a→ φ(b)=a→ φ(b)∈ Α1 →φ (b)∈ Α

Si p≠ φ(0)→∃ r∈N / p=r+φ(0)→ b+ p=b+r+φ(0)→

→¿

→ φ(b)∈ A

−Sib∈ Α3→ b>a→ φ (b)>b>a→ φ (b)>a → φ(b)∈ Α3 → φ(b)∈ A

→ φ(b)∈ Α

En definitiva, ∀b∈ Α → φ(b)∈ Α. En consecuencia es Α=N por el axioma 5.

Verificándose que

Α1 ∩ Α2= {a }∩ {b∈N /b<a }=∅

Α1 ∩ Α3= {a } ∩ {b∈N /b>a }=∅

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Estructuras Numéricas 2015

Α2 ∩ Α3= {b∈ N /b<a } ∩ {b∈N /b>a }=∅

Es obvio que las dos primeras intersecciones son el vacío. Veamos que también se verifica

la tercera mediante una reducción al absurdo. Supongamos que existe un número

q∈ Α2∩ Α3 :

q∈ Α2∩ Α3→ q∈ Α2∧q∈ Α3 → q<a∧q>a→ q>q

Lo que es absurdo

Teorema 4.4:

∀ a ,b∈N ,a<b→ a+ p<b+ p ,∀ p∈Na × p<b× p ,∀ p∈N , p≠ 0}

Demostración:

Teorema 4.5:

1) ∀ p∈ N , a+ p<b+ p→ a<b

2) ∀ p∈ N , p ≠ 0 , a × p<b × p → a<b

Demostración:

Teorema 4.6:

∀ a ,b∈N ,a>b → a+ p>b+ p ,∀ p∈Na × p>b × p ,∀ p∈N , p ≠ 0}

Demostración:

Teorema 4.7:

1) ∀ p∈ N , a+ p>b+ p→ a>b

2) ∀ p∈ N , p ≠ 0 , a × p>b × p → a>b

Demostracion:

En consecuencia, los cinco axiomas de Peano permiten construir el conjunto N de los

números naturales y establecer su estructura algebraica como la de un semianillo

conmutativo con elemento unidad y totalmente ordenado, en donde es el cero el elemento

neutro de la suma o ley aditiva del semianillo y φ (0) el elemento unidad, neutro para la

multiplicación o ley multiplicativa del semianillo.

∀ a∈N , a+0=0+a=a

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∀a∈N , a× φ(0)=φ(0)×a=a

(N ,+, . , ≤)es semianillo conmutativo con elemento unidad totalmente ordenado.

6. SUCESIONES NUMÉRICAS

6.1 Sucesiones numéricas.Imaginemos el recorrido que efectúa un balón que se ha lanzado al suelo y midamos las

distancias entre bote y bote:

Las distancias forman una sucesión de números: 40 ,35 , 30 , 25 ,….

Una SUCESIÓN NUMÉRICA es un conjunto ordenado de números, que se llaman

TÉRMINOS de la sucesión.

Cada término se representa por una letra y un subíndice que indica el lugar que ocupa

dentro de ella.

En nuestro ejemplo, tenemos:

a1=40 ;a2=35 ;a3=30 ;a4=25 ,…

Aquí, la distancia recorrida en cada bote es 5 cm. menor que la anterior. Podemos calcular

así más términos de la sucesión: 40 ,35 , 30 , 25 ,20 , 15 , …

Esta sucesión tiene un número finito de términos. Se dice que es una SUCESIÓN FINITA.

Las que tienen infinitos términos se dicen SUCESIONES INFINITAS.

Un ejemplo de una sucesión infinita sería la formada por los cuadrados perfectos:

1 , 4 ,9 , 16 , 25 ,36 , 49 ,64 ,81 , 100 ,121 , 144 , 169 ,196 ,225 , … . .

EJERCICIO 1. Escribe los 10 primeros términos de las sucesiones formadas por:

a) Los números pares : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20

b) La suma de cada natural y su cuadrado: 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110

EJERCICIO 2. Completa los términos que faltan en las siguientes sucesiones:

a) 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32 c) 1, 3, 6, 10,15, 21, 28, 36 , 45, 55

b) 105, 100, 95, 90, 85, 80, 75, 70 d) 1, 8, 27, 64, 125, 216

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6.2 Término general de una sucesión.El TÉRMINO GENERAL ( o TÉRMINO n-ÉSIMO ) , n a , de una sucesión es una fórmula

que nos permite calcular cualquier término de la sucesión en función del lugar que ocupa.

Por ejemplo, en la sucesión de los cuadrados perfectos, cada término se obtiene elevando al

cuadrado el lugar que ocupa en ella:

En esta sucesión, el término general será: an=n2

6.3 Cálculo del término general de una sucesión.Dados los términos de una sucesión, para calcular su término general tenemos que buscar

una regla que relacione el valor de cada término con el lugar que ocupa en la sucesión. Para

hallar esta relación debemos descomponer los términos en expresiones numéricas que

tengan la misma estructura dependiendo del lugar que ocupan.

EJEMPLO:

Consideremos la siguiente sucesión: 2 ,5 ,10 ,17 ,26 ,37 …. .

Para calcular el término general nos ayudamos de la siguiente tabla:

LUGAR 1 2 3 4 5 6 … n …

TÉRMINO 2=12+1 ¿22+1 10=32+1 17=42+1 n2+1

6.4 Sucesiones recurrentes.Una SUCESIÓN es RECURRENTE cuando todos sus términos se pueden calcular a partir

de uno dado.

La fórmula mediante la cual se pueden calcular los términos se llama LEY DE

RECURRENCIA.

EJEMPLO: an=an−1+n

Si sólo nos dan esta fórmula no podemos hacer nada. Pero si se añade el datoa1=4 ,

entonces ya podemos obtener el resto de los términos de la sucesión:

La ley de recurrencia sería:

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7. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS

Sea I n={1 ,2 ,. . . , n}⊆N .

Un conjunto X es finito, si X=∅ o existe para algún n∈N una biyección φ : I n→ X .

En el primer caso, decimos que X no posee elementos y el segundo decimos que X posee n

elementos. Es claro que:

(a) I n es finito y posee n elementos.

(b) Si φ : X →Y es una biyección, entonces uno de los conjuntos es finito si y solo si el otro

lo es, y además, si esto ocurre, ellos poseen el mismo número de elementos.

Una biyección φ : I n→ X significa una enumeración de los elementos de X, escribiendo

φ (1 )=x1 , ϕ (2 )=x2 , . .. , φ (n )=xn, tenemos que X={x1 , x2 , . . . , xn } .

(c) φ : I n→ Xy φ : I m→ X son bisecciones, entonces m=n. En efecto, considerando la

función compuesta f =ψ−1∘φ :∈→ ℑ debemos probar que si existe una biyección f : I n → Im

, entonces m=n.

Para ello tenemos el siguiente teorema

Teorema 1.7. Sea A⊆ I n. Si existe una biyección f : I n → A, entonces A=In.

Demostración. Por inducción sobre n. Para n=1, el resultado es obvio.

Supongamos que es verdadero para n∈N Consideremos una biyección

f : I n+1 → A . Sea a=f (n+1), la restriccion de f a I n es una biyección

f : I n → A−{a }. Si A−{a }⊆ I nentonces por la hipótesis de inducción, se tiene que

I n=A−{a }, de donde a=n+1y A=In+1.

Si no se cumple que A−{a }⊂ I n, en este caso existe p∈ I n tal que ¿ f ( p)=n+1. Definimos

una nueva biyeccion g : In+1→ A como g(x )=f (x) si x ≠ p y x≠ n+1 , g( p)=a , y

g(n+1)=n+1. Ahora la restricción g a I n es una biyección

g : In → A−{n+1}, y A−{n+1}⊆ I n. Luego, por hipótesis de inducción A−{n+1 }=I n, de

donde A=In+1.

Corolario 1.8. No puede existir una biyección desde un conjunto finito sobre una parte

propia de él.

Teorema 1.9. Todo subconjunto de un conjunto finito es finito.

Demostración. Inmediata.

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Estructuras Numéricas 2015

Corolario 1.10. Sea f : X → Y una función inyectiva. Si Y es finito, entonces X es finito, y el

número de elementos de X no puede exceder el número de elementos de Y.

Corolario 1.11. Sea f : X → Y una función sobreyectiva. Si X es finito, entonces Y es finito y

su número de elementos no excede al de X.

Un conjunto X es infinito, si no es finito, es decir, X es no vacío y para cualquier n∈N no

existe una biyección φ : I n→ X .

Del Corolario 1.8, se sigue que si existe una biyección entre X un subconjunto propio de

este, entonces X es infinito. Usamos esto para los siguientes ejemplos.

Ejemplo. N es infinito.

En efecto, sea φ : N → P={2 n :n∈N } (conjunto de los números naturales pares), definida

por φ (n)=2 n. Tenemos queφ es inyectiva, pues si φ (n)≠ ω (m) se sigue que 2 n=2m y por

la Ley de Corte, concluimos que n=m. Por otra parte, es inmediato que φ es sobreyectiva.

Resumiendo, φ es una biyección entre los números naturales y los números naturales pares,

por lo tanto N es infinito, pues P es un subconjunto propio de N .

Definición 1.2. Decimos que un conjunto X es numerable si es vacío o existe una biyección

φ : N1 → X, donde N1⊂N .

Por ejemplo, N ,Z y Q son numerables.

Tenemos el siguiente resultado.

Teorema 1.12. Todo subconjunto de un conjunto numerable es numerable

Demostración. Inmediata.

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Estructuras Numéricas 2015

8. APLICACIONES DE CONOCIMIENTO

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7. Se deja a demostración de los estudiantes los teoremas de Peano que no están

demostrados

8. Sucesiones numéricas

1. El número que sigue en la secuencia:

3; 5; 7; 11; 17; 27; ….. es:

A) 37 B) 44 C) 39

D) 43 E) 45

2. ¿Cuál es el noveno término en la siguiente secuencia numérica?

3; 4; 6; 9; 13; ….

A) 40 B) 30 C) 39

D) 50 E) 59

3. Calcule el número que sigue en la siguiente secuencia y da como respuesta la suma de

las cifras del valor encontrado

A)7 B) 8 C) 9

D)10 E) 13

4. ¿Qué número continúa la secuencia?

1 ; 4 ; 11 ; 34 ; 101 ;

A) 302 B) 404 C) 292

D) 304 E) 284

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Estructuras Numéricas 2015

5. Determine el valor de en la siguiente sucesión:

4 ; 14 ; 7 ; 12 ; 11 ; 9 ; x ; y

A) 19 B) 20 C) 21

D) 22 E) 23

6. Determine el número que continúa en la sucesión:

; ; ; ;

A) 12 B) 23 C) 11

D) 14 E) 52

7. Indique la alternativa que completa la siguiente sucesión:

10 ; 8 ; 16 ; 13 ; 39 ; 35 ;

A) 140 B) 70 C) 105

D) 65 E) 79

8. Indique la alternativa que completa la siguiente sucesión:

1 ; 3 ; 4 ; 7 ; 11 ; 18 ;

A) 26 B) 27 C) 28

D) 29 E) 30

9. Señale el número que completa la sucesión mostrada:

1 ; 3 ; 7 ; ; 31

A) 14 B) 15 C) 16

D) 17 E) 19

10. Indique la alternativa que completa la siguiente sucesión:

2 ; 3 ; 7 ; 25 ; 121 ;

A) 361 B) 484 C) 721

D) 726 E) 842

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Estructuras Numéricas 2015

11. Indique la alternativa que completa la siguiente sucesión:

4 ; 9 ; 25 ; 49 ; 121 ; 169 ;

A) 289 B) 256 C) 225

D) 196 E) 361

12. ¿Qué número continúa en la siguiente sucesión?

2 ; 10 ; 30 ; 68 ;

A) 98 B) 116 C) 130

D) 136 E) 142

13. ¿Qué número continúa en la siguiente sucesión?

2 ; 2 ; 3 ; 7 ; 25 ;

A) 49 B) 121 C) 84

D) 61 E) 53

14. Determine el número que completa la sucesión mostrada:

16 ; 15 ; 30 ; 10 ; 8 ; 24 ; 6 ; 3 ;

A) 12 B) 15 C) 9

D) 5 E) 4

15. Indique la alternativa que continúa en la siguiente sucesión:

10 ; 13 ; 15 ; 15 ; 12 ;

A) 10 B) 5 C) 9

D) 2 E) 7

16. Señale el valor de en la sucesión mostrada:

1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 8; 7 ; m ; n

A) 19 B) 21 C) 23

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Page 31: Modulo estructuras numéricas

Estructuras Numéricas 2015

D) 25 E) 27

17. Indique la alternativa que continúa en la siguiente sucesión:

1 ; 9 ; 49 ; 225 ;

A) 1 089 B) 961 C) 841

D) 729 E) 625

18. En la sucesión mostrada determine el valor de

4 ; 4 ; 12 ; 8 ; 20 ; 12 ; M ; N

A) 40 B) 42 C) 44

D) 48 E) 52

19. Señale la alternativa que continúa correctamente la siguiente sucesión:

2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 36 ; 41 ; 246 ;

A) 252 B) 253 C) 255

D) 738 E) 1722

20. Indique la alternativa que continúa correctamente la siguiente sucesión:

2 ; 3 ; 6 ; 15 ; 45 ;

A) 126 B) 132 C) 144,5

D) 151 E) 157,5

21. En la sucesión mostrada indique el valor de :

2 ; 5 ; 2 ; 6 ; 4 ; 8 ; 12 ; 11 ; x ; y

A) 57 B) 63 C) 68

D) 38 E) 31

22. Indique la alternativa que continúa coherentemente la siguiente sucesión:

2 ; 9 ; 28 ; 65 ;

A) 114 B) 121 C) 126

D) 137 E) 144

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Page 32: Modulo estructuras numéricas

Estructuras Numéricas 2015

23. ¿Qué número continúa en la siguiente sucesión?

1 ; 2 ; 4 ; 10 ; 34 ;

A) 154 B) 144 C) 121

D) 96 E) 81

24. ¿Qué número continúa en la sucesión mostrada?

1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 8 ; 10 ;

A) 12 B) 13 C) 14

D) 15 E) 16

25. ¿Qué número continúa en la siguiente sucesión?

1 ; 2 ; 4 ; 3 ; 7 ; 4 ;

A) 6 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11

26. ¿Qué número continúa en la siguiente sucesión?

12 ; 30 ; 75 ;

A) 132 B) 147 C) 112,5

D) 157 E) 187,5

9. Usando inducción matemática, pruebe cada una de las siguientes proposiciones

referentes a los números naturales

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Estructuras Numéricas 2015

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