Chapitre 34

Aires

34.1 Questions

34.1.1 Questions A

Question 34.1 On donne un polygone non croisé. Comment calculer sonaire ?

Question 34.2 Comment faire pour calculer l’aire d’une surface dans R3 ?

Réponse — Choisir beaucoup de points sur cette surface, dessiner des tri-angles à partir de ces points pour obtenir une représentation de la surface en…l de fer, puis calculer la somme des aires de tous ces triangles. On dit qu’on atriangulé la …gure, ou que l’on a e¤ectué une triangulation. Cela me rappellema thèse de doctorat où il était question de triangulations... Plus on prend depoints sur la surface et plus l’approximation obtenue de l’aire de cette surfaceest meilleure.

Question 34.3 Que dire des aires et des symétries axiales ? Démontrez-ledans le cas d’un triangle.

Question 34.4 Quelles sont les deux propriétés essentielles de l’aire ?

Réponse — L’additivité ([25], 14.2.3.(3)) et l’invariance par isométrie ([25],14.2.3.(4)) démontrée dans la Question 14.3 de [25].

Question 34.5 {[25], Question 14.1}Pourquoi un disque possède-t-il une aire ?

Réponse — Parce que c’est une partie quarrable du plan, comme le montrepar exemple la méthode d’Archimède (voir [25], chapitre 14).

251

252 CHAPITRE 34. AIRES

Question 34.6 Expliquez au moins deux façons di¤érentes de calculer l’aired’un disque.

Réponse — On peut penser à la méthode d’Archimède ([25], Section 14.5.2)et à la méthode de Monte-Carlo qui revient à calculer la probabilité pourqu’une ‡èche lancée au hasard sur une cible carrée tombe dans le grand cercleinscrit dans ce carré.

Question 34.7 Qu’est-ce qu’une partie quarrable ?

Réponse — C’est expliqué à la Section 14.2.3 de [25] qui est reprise icidans les extraits de la Section 34.3. Les compléments sur les parties quar-rables proposés en annexe de [25] permettront de mieux retenir le principeet voir quelques démonstrations si on dispose de su¢samment de temps pourapprofondir cette question.

Question 34.8 Quelle est l’aire d’un cercle ? Pourquoi ?

Réponse — C’est zéro. Il faut avoir un argument à ce sujet ! Et cela revientà retourner à la dé…nition d’une partie quarrable.

Question 34.9 Connaissez-vous des parties du plan qui n’ont pas d’aire ?

Réponse —Des parties qui manquent d’air donc ? Bon elle est mauvaise. Unepartie non quarrable du plan est par exemple donnée par l’ensemble des pointsdu carré [0 1]£ [0 1] de R2 dont les coordonnées sont des nombres rationnels.Il est très facile de démontrer que cette partie n’a pas d’aire en retournant à ladé…nition d’une partie quarrable, ce qui est l’objet de l’exemple 2 du §.15.8.2de [25].

Question 34.10 Justi…ez que l’aire d’un rectangle est donnée par A = £ ?

Réponse — Cette question sera facile à poser par le jury, et une réponse estdétaillée au §.14.2.2 de [25]. On ne nous aura pas comme ça si facilement !

Question 34.11 Quel lien existe-t-il entre la dé…nition d’une aire d’une par-tie quarrable et la dé…nition de l’intégrale d’une fonction d’un segment [ ]de R dans R ?

Réponse — Le travail est identique puisqu’il revient dans les deux cas à direque l’on peut encadrer une certaine quantité de façon aussi précise qu’on ledésire. Cela se voit de façon frappante si l’on prend la peine d’énoncer les deuxdé…nitions (possibles) côte à côte :

34.2. SUR LE TERRAIN 253

Dé…nition d’une intégrale – Une fonction de [ ] dans Rest intégrable au sens de Riemann (c’est-à-dire « possède une in-tégrale ») si la borne supérieure des intégrales des fonctions en es-calier qui minorent est égale à la borne inférieure des intégralesdes fonctions en escalier qui majorent . Dans ce cas, l’intégraleR () de sur [ ] est la valeur commune de cette bornesupérieure et de cette borne inférieure.

Dé…nition d’une aire – Une partie du plan est quarrable(c’est-à-dire « possède une aire ») si la borne supérieure des airesdes parties pavables du plan incluses dans est égale à la borneinférieure des aires des parties pavables du plan qui contiennent .Dans ce cas la valeur commune de cette borne supérieure et decette borne inférieure.

La démarche est identique, même si l’on a remplacé des sommes d’aires derectangles « bien placés » par rapport à la courbe représentative de (lesintégrales des fonctions en escalier qui minorent ou majorent ) par des airesde parties pavables dé…nies comme des réunions …nies de pavés. Après avoirvu ça, on ne peut plus douter de la proximité de ces deux concepts !

Question 34.12 {Reprise de la Question 32.3} Soit une fonction continued’un intervalle ouvert de R dans R. Soit 2 . On pose () = R () quel que soit 2 . Lorsque est monotone sur , démontrer que estdérivable sur comme on le ferait dans une classe de terminale.[Réponse à bien connaître, expliquée sur la fig. 32.1 p. 247]

34.1.2 Questions B

34.1.3 Questions C

Question 34.13 {[25], Question 14.2} La notion d’aire est une notion mé-trique ou a¢ne ?

34.2 Sur le terrain

Ä Une candidate à une simulation propose un plan en quatre parties :I. GrandeurII. MesureIII. Aires des …gures usuellesIV. Intégration sous une courbe

Le libellé de la partie IV est étonnant : intègre-t-on « sous une courbe » ?Mais cela n’est pas trop grave.

254 CHAPITRE 34. AIRES

Par contre, la première dé…nition écrire au tableau au début de la partie I poseun véritable problème qui ne passera pas aperçu par le jury :

Dé…nition – On dit que deux …gures ont la même aire si en décou-pant l’une d’entre elles, on peut recomposer l’autre.

La candidate donne rapidement un exemple en dessinant un triangle ,puis un polygone où l’on retrouve ce triangle quelque part, et où on peut ledécouper et le replacer ailleurs sans changer l’aire du polygone.

Je joue le rôle du jury dans cette simulation. Pendant l’entretien, je demandede relire cette dé…nition et d’expliquer quel est son niveau de vérité, de la criti-quer puis d’expliquer pourquoi on l’a choisie ici. Je n’obtiens malheureusementaucune réponse, aucune justi…cation. Il était pourtant nécessaire de corrigerle tir...

J’attendais à ce qu’on m’explique que cette dé…nition était inapplicable dansla pratique :

- d’abord parce que « découper une …gure » est quelque chose de physiquedont on peut se satisfaire dans un premier temps, mais en admettant de devoirtravailler avec des approximations de longueurs,

- ensuite parce que cette dé…nition est inutilisable dans la pratique (essayezdonc de montrer par des découpages qu’une …gure donnée n’a pas la même airequ’une autre …gure donnée : bonjour les dégâts), sauf dans quelques activitéstriées sur le volet que l’on pourrait proposer à des élèves.

L’idée n’est pas mauvaise en sixième pour faire prendre conscience de la no-tion d’aire, et la candidate aurait dû parler dans ce sens. Ne rien répondreà ce niveau montre un manque de ré‡exion critique sur cette dé…nition et laméconnaissance de ce qui pourrait être une dé…nition rigoureuse d’une aire, etcela sera très certainement lourdement sanctionné par un jury.

La candidate se « suicide » alors dans le second énoncé qu’elle propose :

Proposition – On peut toujours découper un polygone en un rec-tangle de même aire.

Elle rajoute le dessin suivant pour seule justi…cation :

34.2. SUR LE TERRAIN 255

Que répondra-t-elle quand le jury lui demandera de démontrer cette propo-sition ? L’exemple pris montre un parallélogramme, ce qui est loin d’être unpolygone quelconque. Ensuite elle insiste avec une seconde dé…nition qui re-prend la première avec d’autres termes :

Dé…nition – On dit que deux …gures n’ont pas la même aire si enessayant de découper une des …gures pour reconstituer l’autre, lesdeux surfaces obtenues ne sont pas superposables.

Cette dé…nition a-t-elle été prise dans un livre de CM1? On notera qu’il su¢tde découper et de faire un seul essai pour pouvoir a¢rmer que deux …guresn’ont pas la même aire ! Pendant l’entretien, le jury aura beau jeu de demandercomment faire pour savoir qu’il n’existe pas de méthode qui permette d’obtenirdeux …gures superposables, même si on a l’impression qu’elles ne le serontjamais quelle que soit la découpe.

On notera quand même que l’existence ou non de découpages et de recolle-ments permet de caractériser deux polygones de même aire d’après le résultatbien di¢cile à établir suivant dont la preuve, inspirée de celle de Lebesgue, estproposée par Daniel Perrin en [27] et [28] :

Théorème de Bolyai (1832) – Si et sont deux polygonesde même aire, alors et sont équivalents par découpage etrecollement.

Ce résultat est résolument hors du programme du CAPES, et je pense qu’ilvaut mieux l’éviter, pour éviter des problèmes.

Dans la troisième partie de son exposé, la candidate ne présente que les for-mules donnant l’aire d’un rectangle, d’un triangle rectangle, d’un carré, et en…nd’un disque. Elle oublie de parler de l’aire d’un triangle quelconque, ce qui estinacceptable, et montre un désintérêt complet pour les aires des losanges etdes trapèzes, ce qui me semble inconcevable !

Je lui demande de démontrer la formule donnant l’aire du triangle rectangle(Question 34.10). La candidate arrive à la démontrer en partant de l’aire dutriangle rectangle, et vice versa, mais s’interroge pour savoir si c’est su¢sant,sans voir le cercle vicieux dans lequel elle est tombée.

Il faudra chercher une autre approche pour démontrer, ou tout au moins expli-quer, pourquoi l’aire d’un rectangle est A = £ , en s’inspirant par exempledu chapitre 14 de Géométrie du collège pour les matheux [25].

Je conclurai en disant que c’est en écoutant cet exposé que m’est venue à l’idéede poser beaucoup de questions « simples », et donc dangereuses les jours desoraux, que l’on trouvera maintenant pour vous dans la Section 34.1.1.

256 CHAPITRE 34. AIRES

34.3 Extrait de Géométrie du collège

Le livre Géométrie du collège pour les matheux [25] permet de réunir su¢sam-ment de munitions pour créer sa leçon de CAPES sur les aires. Ce livre, quine mentionne pas le concours du CAPES et ne propose pas de leçons toutesfaites, permet de ré‡échir sur l’enseignement de la géométrie au collège, et àce titre devrait être accepté comme compagnon pendant les épreuves oralesd’admission.

Les huit pages suivantes sont extraites du chapitre 14 consacré aux aires des…gures classiques et à la dé…nition des parties quarrables du plan qui est ensuitereprise et détaillée dans l’annexe qu’on pourra parcourir si on a le temps.

34.3. EXTRAIT DE GÉOMÉTRIE DU COLLÈGE 257

258 CHAPITRE 34. AIRES

34.3. EXTRAIT DE GÉOMÉTRIE DU COLLÈGE 259

260 CHAPITRE 34. AIRES

34.3. EXTRAIT DE GÉOMÉTRIE DU COLLÈGE 261

262 CHAPITRE 34. AIRES

34.3. EXTRAIT DE GÉOMÉTRIE DU COLLÈGE 263

264 CHAPITRE 34. AIRES

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