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Références bibliographiques:Dynamique des systèmes linéaires, Dunond, GILE, DECAULNE & PELEGRINDes notes de cours provenant d’internet La liste des références sera mise à jour au fur et à mesure que le cours avance .
Université Hassan II – Mohammedia – CasablancaFaculté des Sciences et TechniquesDépartement de Génie Electrique
F. I.: G. P. E.
CHAPITRE 2: SIGNAUX USUELS ET SYSTMES.
Pr. Elm. KHEDDIOUI
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PROPRIETES GENERALES D’UN SYSTEME.
Système physique s(t)e(t)
et )()()( 21 tetete )()()( 21 tststs
)(1 te )(1 ts
)(2 te )(2 tsSi
Avec, α et β ont des valeurs constantes
Alors le système est linéaire: Il s’agit de la superposition des causes et des effets.
La linéarité.
Automatique linéaire analogique. Chapitre II: Signaux et systèmes
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Cas d’une résistance électrique, notée R:
la sortie, s(t), est l’intensité du courant électrique qui la traverse. L’entrée, e(t), est la différence de potentiels qui l’alimente. On écrit . Donc, il va de soit que:
La résistance est un composant linéaire.
Cas d’une diode:Le courant qui la traverse évolue selon une loi exponentielle avec la tension électrique entre ses bornes: )()(exp])(exp)([exp)( 2121 tetetetets
La diode n’est donc pas linéaire.
Autrement dit, un système linéaire, si son entrée est sa sortie, sont couplées par une équation différentielle de type :.
où les coefficients an et bm sont constants
n
m
m
mn
n
nn dt
tedbdt
tsda )()( )()(
)(1)( teR
ts
)(1)(1)()()( 2121 teR
teR
tststs
Automatique linéaire analogique. Chapitre II: Signaux et systèmes
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Automatique linéaire analogique. Chapitre II: Signaux et systèmes
La causalité.
Un système est dit causal, si son futur ne peut pas influencer ni son présent ni son passée. C'est-à-dire, s(t) ne peut pas dépendre de l’entrée e(t+τ), avec τ une quantité positive. Autrement dit, l’effet vient toujours après la cause.
L’invariance dans le temps.
Un système est invariant dans le temps, ou stationnaires, si et seulement si sa sortie se reproduit de façon identique dans le temps. Donc s(t-τ), avec τ une quantité positive, n’est que la version décalée de s(t) correspondante à l’entrée e(t).
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Automatique linéaire analogique. Chapitre II: Signaux et systèmes
DEFINITION DE SIGNAL.
La première définition concerne la mesure, dans le temps, d’une grandeur physique porteuse d’information. De cette définition se dégage quatre mots clefs :
La mesure : est effectuée par un capteur.
dans le temps : on s’intéresse à des phénomènes évolutifs dans le temps. Mais en plus du domaine de la télécommunication, la théorie du signal s’applique à d’autres domaines.
D’une grandeur physique : les signaux réels, et par conséquent les systèmes, sont soumis aux lois de la physique (variations bornées, énergie ou puissance finie……)
D’une information : par nature l’information a un caractère aléatoire, les signaux vecteurs de cette information sont donc naturellement aléatoire.
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Automatique linéaire analogique. Chapitre II: Signaux et systèmes
CLASSIFICATION DES SIGNAUX.
Un signal expérimental est l’image d’un processus physique, il est ainsi soumis à des contraintes :
Son énergie est obligatoirement bornée Son amplitude est aussi bornée Pour des raison d’inertie, le signale et par suite le système est exempt de discontinuité. Le spectre du signal en fréquence est borné.
En théorie, il faut créer des modèles mathématiques suffisamment proches de la réalité pour être d’intérêt pratique et significatif et suffisamment simples pour permettre un traitement simple. La qualité du modèle mathématique dépend finalement du compromis « fiabilité de l’approximation – commodité d’emploi ».
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Automatique linéaire analogique. Chapitre II: Signaux et systèmes
DETERMINISTES – ALEATOIRES.
Les signaux déterministes : ce sont des signaux dont on peut prédire l’avenir. En général, leur expression analytique est connue. On y distingue deux catégories principales :
Les signaux périodiques : Les signaux transitoires :
)2sin()( ftAtxatAetx )( , avec a>0
Les signaux aléatoires : Tous les signaux véhiculant une information sont par essence aléatoires. De plus, certains phénomènes physiques altèrent l’information transmise en se superposant au signal utile : ces signaux perturbateurs sont dits « bruits » et ont pour modèle un processus aléatoire. On y distingue aussi deux catégories :
Les signaux aléatoires stationnaires dont les caractéristiques statistiques sont invariants dans le temps.
Les signaux aléatoires non stationnaires (comme la parole) qui n’ont pas la propriété précédente.
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Automatique linéaire analogique. Chapitre II: Signaux et systèmes
CLASSIFICATION MORPHOLOGUQUE.
Signal analogique, temps continu Signal quantifié, temps continu
Signal échantillonné, temps discret Signal numérique, temps discret
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Automatique linéaire analogique. Chapitre II: Signaux et systèmes
SIGANUX APERIODIQUES (DE TEST).
Si A = 1 alors il est unitaire. Heaviside ailleurspartout
tsiAte
00
)(
A
t
e(t)
Échelon d’amplitude A.
Échelon d’amplitude A retardé (décalé)
t
A
τ
e(t)ailleurspartout
tsiAte
0)(
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Fonction fenêtre ou porte ou créneau
)()()( tutuAte
Fonction fenêtre ou porte ou créneau décalé
)()()( 21 tutuAte
Fonction fenêtre centrée
tutuAtte ()()()(A
tτ-τ
tτ1 τ2
A
tτ
A
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o Une application de la fonction fenêtre.
t
S(t)
*
t
f(t)
t
)(t
)()()( ttfts
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Fonction rampe
)()( tAtute
Fonction rampe décalée
)()()( tutAte
Fonction rampe modifiée
)()()()( tutttuAte
t
A
1
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Autres fonctions
)()()()()()()()( 332211 tuttuttutttuAte
)()()( ttuttuAte
ailleurspartout
tsitte
0
101)(
t
1
tτ
A
τ3τ2τ1
A
t
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Fonctions périodiques de période T .
t
A
T
tT
A
ailleurspartout
tsit
te0
11
)(
1
t-1
1
1
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Automatique linéaire analogique. Chapitre II: Signaux et systèmes
)()()( kfdttfktNotez que, . De même .
)0()()( fdttft
Impulsion de Dirac réelle
εt
)()( tte
1
1)(0
0
01
)()( dttetavec
ailleurs
tsi
tte
Suite à cette propriété, on peut penser à l’échantillonnage d’un signal.
Impulsion d Dirac
Théoriqueailleurs
tsioutte
00???1
)()(
Avec,
1)( dtt
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o Obtention pratique:
t1
1
Dérivateur
Avec un appareillage peu sophistiqué.
t
1
1
Dérivateur
t0.1
10
t0.1
1
o Obtention théorique:
1
t
Dérivateur
t
Avec un appareillage sophistiqué.
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Peigne de Dirac.
t
t
t
t
t
t
On obtient,
k
kttts )()()(
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Automatique linéaire analogique. Chapitre II: Signaux et systèmes
o Une application de la peigne de Dirac.
t
Ainsi, on obtient,
k
k
k
ktftftkttftfts )()()()()()()(
Qui représentent le signal f(t) mais échantillonné : les valeurs de f(t) ne sont prises en compte qu’aux instants kτ ; avec k un entier naturel.
t
t
f(t)
)(t
f*(t)
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Automatique linéaire analogique. Chapitre II: Signaux et systèmes
ENERGIE FINIE – PUISSANCE MOYENNE FINIE.
Signaux à énergie finie :
Tous les signaux transitoires, s(t), sont à énergie finie.
dttsES2)(
Signaux à puissance moyenne finie : .)(lim2/
2/
2
TquantdttsPT
TS
Ils sont donc à énergie infinie.
Dans cette catégorie, on trouve les signaux périodiques et aléatoires stationnaires.
Il ne s’agit que de modèles théoriques : dans la pratique on n’enregistre que des signaux à temps limité.
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Automatique linéaire analogique. Chapitre II: Signaux et systèmes
CARACTERISATION D’UN SYSTEMECaractériser un système c’est identifier la relation qui lie sa sortie à son entrée. Pour cela et en général, on utilise deux techniques :
Caractérisation temporelle.On analyse le comportement du système soumis à des entrées connues. On peut citer les exemples suivants :
La réponse indicielle. L’entrée du système est un échelon. On cherche, en fait, à positionner la sortie à une valeur donnée.
La réponse impulsionnelle.L’entrée du système est de très courte durée (assimilable à une impulsion). Dans ce cas de figure, seule le régime transitoire est décrit.
La réponse à une rampe. L’entrée du système est une rampe. Elle donc une vitesse
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Automatique linéaire analogique. Chapitre II: Signaux et systèmes
On s’intéresse à l’étude, en fréquence, du signal de sortie, lorsque celui de l’entrée est harmonique (sinusoïdale) et de fréquence variable
La réponse harmonique d’un système linéaire est aussi harmonique et de même fréquence. La dérivée et la primitive d’un signal harmonique est aussi harmonique.
PRODUIT DE CONVOLUTION.
Caractérisation fréquentielle :
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Automatique linéaire analogique. Chapitre II: Signaux et systèmes
Physicien britannique auto didacte. Il quitta l'école à l'âge de seize ans et devint opérateur de télégraphe. En 1872, alors qu'il travaillait comme chef opérateur à Newcastle, il commença à publier ses résultats de recherche en électricité. Il a formulé à nouveau et simplifié les équations de Maxwell sous leur forme actuelle utilisée en calcul vectoriel. Entre 1880 et 1887 il développa le calcul opérationnel. En 1887, il suggéra que des bobines d’induction devraient être ajoutées au câble du téléphone transatlantique afin de corriger la distorsion dont il souffrait. Pour des raisons politiques, cela n'a pas été fait. En 1902 il prédit l'existence de couches conductrices pour les ondes radio qui leur permettent de suivre la courbure de la terre; ces couches, situées dans l'ionosphère, sont appelées couches de Kennelley - Heaviside. Elles ont finalement été détectées en 1925 par Edward Appleton. Il a développé aussi la fonction de Heaviside, utilisée communément dans l'étude de systèmes en automatique et il a étudié la propagation des courants électriques dans les conducteurs.
18 mai 1850 3 février 1925
Oliver Heaviside
LE CONNAISSEZ VOUS???
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Automatique linéaire analogique. Chapitre II: Signaux et systèmes
Mathématicien et physicien français, connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes appelées séries de Fourier. Il fait ses études chez les Bénédictins à l'École militaire d'Auxerre. Destiné à l'état monastique, il préfère s'adonner aux sciences. Il intègre l'École normale supérieure, où il a entre autres comme professeurs Joseph-Louis Lagrange et Pierre-Simon Laplace, auquel il succède à la chaire à Polytechnique en 1797.Il participe à la Révolution, manquant de peu de se faire guillotiner durant la Terreur, sauvé de justesse par la chute de Robespierre. En 1798, il prend part à la campagne d'Égypte. Il occupe un haut poste de diplomate et devient secrétaire de l'Institut d'Égypte. À son retour en France en 1801, il est nommé par Napoléon préfet de l'Isère : il est destitué lors de la Restauration. En 1817, il est élu membre de l'Académie des sciences, dont il devient secrétaire perpétuel pour la section des sciences mathématiques à la mort de Jean-Baptiste Joseph Delambre en 1822. En 1826, il est élu membre de l'Académie française. Il est connu pour sa Théorie analytique de la chaleur, paru en 1822. Il est élu membre étranger à la Royal Society le 11 décembre 1823. Fourier est enterré au cimetière du Père-Lachaise à Paris, à côté de Champollion.
21 mars 1768 à Auxerre 16 mai 1830 à Paris
Joseph Fourier
LE CONNAISSEZ VOUS???
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Automatique linéaire analogique.
PROCHAIN CHAPITRE:
FONCTION DE TRANSFERT.
![Traitement de signal (Signaux et Systèmes)php.iai.heig-vd.ch/~mee/cours/cours_ts/chap_01/latex/...Traitement des signaux Bibliographie [1] F.Mudry. Signaux et systèmes. Cours polycopié,](https://img.pdfslide.fr/doc/110x75/5fe8c348aa047d0a117bebda/traitement-de-signal-signaux-et-systmesphpiaiheig-vdchmeecourscourstschap01latex.jpg)
