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Projet de Fin d’Etudes - ANNEXES
Dimensionnement et vérification de structures Dimensionnement et vérification de structures Dimensionnement et vérification de structures Dimensionnement et vérification de structures ––––
Introduction aux normes britanniques et européennes Introduction aux normes britanniques et européennes Introduction aux normes britanniques et européennes Introduction aux normes britanniques et européennes ----
RéponseRéponseRéponseRéponse dynamique au vent de l’aiguilledynamique au vent de l’aiguilledynamique au vent de l’aiguilledynamique au vent de l’aiguille métalliquemétalliquemétalliquemétallique de la Tour Samba de la Tour Samba de la Tour Samba de la Tour Samba
Élève ingénieur Génie Civil 5ième année INSA Strasbourg: M. Martin Grégoire
Professionnel encadrant Ecole : M. Guth Didier (Arcadis)
Professionnel encadrant Entreprise : M. Robert Franck (Buro Happold Ltd)
Juin 2010Juin 2010Juin 2010Juin 2010
2
SommaireSommaireSommaireSommaire
i. ANNEXE 1 : Comparaison des normes de construction en béton armé ............................ 3
1. Calcul d’une poutre béton armé selon le BS 8110-1 : 1997 (Structural use of
concrete) – Comparaison au BAEL 91 (rèv. 99) : ................................................................ 4
1.1. Charge : ............................................................................................................... 4
1.2. Confrontation des résultats extraits des paragraphes 1.3, 1.4 et 1.5 : ................. 8
1.3. Détermination du ferraillage longitudinal Asmini : ................................................. 9
1.4. Détermination du ferraillage pour les efforts tranchants : .................................. 13
1.5. Dimensionnement d’une poutre avec armatures comprimées – BS 8110 – clause
3.4.4.4 : ................................................................................................................... 15
2. Dimensionnement d’une dalle béton armé selon le BS 8110 – 1 : 1997 – Comparaison
Eurocode 2 – Part 1 et BAEL 91 (rèv.99) : ......................................................................... 19
2.1. Introduction au dimensionnement : ................................................................... 19
2.2. Confrontation des résultats extraits des paragraphes 2.3 et 2.4 : ...................... 21
2.3. Vérification de la flèche : .................................................................................... 22
2.4. Etanchéité de la dalle – Limitation de l’ouverture des fissures : .......................... 25
3. Conclusion ............................................................................................................... 31
ii. ANNEXE 2 : Coefficient de trainée cf .............................................................................. 32
iii. ANNEXE 3 : Méthode statique équivalente ..................................................................... 38
iv. ANNEXE 4 : Détermination du vent moyen Fm,w(z) ......................................................... 45
v. ANNEXE 5 : Détermination du vent en rafale Ft,w(z) ....................................................... 51
vi. ANNEXE 6 : Excitation de vortex Fw(z) ........................................................................... 57
vii. ANNEXE 7 : Excitation de galop ..................................................................................... 63
viii. ANNEXE 8 : Fatigue sous un vent en rafale .................................................................... 67
ix. ANNEXE 9 : Fatigue sous les effets de vortex ................................................................ 75
3
i. ANNEXE 1 : Comparaison des normes de construction en béton armé
Le choix de développer deux dimensionnements béton armé dans le premier rapport
intermédiaire du projet de fin d’études (Mars 2010) s’est imposé de lui-même. Il ne s’agit pas de
simplement relater les calculs entrepris. La clarté des codes britanniques pour les structures
béton armé a été l’opportunité de se poser de nombreuses questions sur la signification physique
des paramètres de calcul et de réorganiser les connaissances acquises à l’INSA.
Après avoir introduit chacun des deux cas pratiques dans leur chapitre respectif, la comparaison
des méthodes de calculs et des résultats entre le British Standard, les Eurocodes 2-1 et le BAEL
est riche d’enseignement. L’étude comparative qui suit ne se veut pas exhaustive et ne pourrait
pas l’être. Elle constitue néanmoins un outil pratique pour la compréhension et l’imprégnation
des normes de construction qui évoluent. Le premier chapitre compare les normes anglaise et
française aux ELU. La détermination des quantités d’armatures longitudinales et transversales est
la base du béton armé. Les principes de résistance des matériaux utilisés ont beau être universels
les formulations diffèrent et soulignent la différence de philosophie dont ont fait preuve les
concepteurs. Sur cette base, le second chapitre intègre les codes européens pour des vérifications
aux ELS. La manière dont le comportement physique des éléments béton est décrit est, ici
encore, sensiblement différente.
Le lecteur pourra se référer aux tableaux de synthèse et de commentaires en début de chapitre
pour avoir une vue d’ensemble des résultats. Au long des calculs les remarques sont visibles en
gras. Les comparaisons aux Eurocode 2 et/ou BAEL 91 rèv. 99 sont en italique encadrées.
4
1. Calcul d’une poutre béton armé selon le BS 8110-1 : 1997 (Structural
use of concrete) – Comparaison au BAEL 91 (rèv. 99) :
Le présent cas d’étude appartient au dossier d’appel à maîtrise d’œuvre lancé par la SEMAPA
pour la construction d’un bâtiment public pour les services de la mairie de Paris sur l’Ilôt Ouest,
Porte d’Ivry, Paris 13ième. Arrivé ex aequo au terme de la phase de compétition, le cabinet
d’architecture Will Alsop at RMJM a eu jusqu’au 1er mars 2010 pour revoir sa proposition. Tout au
long de la phase de consultation Buro Happold est intervenu en appui technique du maître
d’œuvre.
La poutre BA ci-après décrite doit reprendre la descente de charges des étages R+3 à R+6 plus le
toit. Son pré dimensionnement doit permettre à l’architecte de conserver un gabarit nécessaire en
sous face du R+3 (niveau R+2).
1.1. Charge :
La plancher se présente comme suit :
Figure 1 : Poutraison de reprise de la descente de charges (en rouge)
5
Les charges permanentes Gk1 valent 9.9 kN/m² (dead load - DL). Les charges d’exploitation
Qk1 valent 3.5 kN/m² (live load - LL).
• Charges reprises par les poteaux en centre de dalle - Pl (Point Load) :
Reprise sur une zone de 9.45m*(9.5+8.1)/2 pour quatre niveaux (R+4 à toit) :
�� = ��1.4 ∗ 9.9 + 1.6 ∗ 3.5� ∗ 9.45 ∗ �9.45 + 8.1�2 � ∗ 4 �� = 6500 ��
Aux ULS (Ultimate Limit State - ELU) les coefficients préconisés sont 1.6 en charges permanentes
et 1.4 en charges d’exploitation. Le BAEL 91 rèv.99 applique respectivement 1.35 et 1.5 : (Cf.
annexe 1 – table2.1 – BS 8110)
PELU = ��1.35 ∗ 9.9 + 1.5 ∗ 3.5� ∗ 9.45 ∗ ��.����.��� ∗ 4 PELU = 6200 kN
• Charges linéaires le long des poutres de reprise des poteaux centraux – Wul :
A R+3 : ��� = �1.4 ∗ 9.9 + 1.6 ∗ 3.5� ∗ 9.45 = 184 ��/! "# $"%& ∶ ��� = �1.35 ∗ 9.9 + 1.5 ∗ 3.5� ∗ 9.45 = 176 ��/!
Figure 2 : Modélisation du chargement sur la poutre de reprise de charge
• Réaction aux appuis – Charges ponctuelles des poteaux en bord de dalle :
)�� = 6500 + 17.6 ∗ 1842 = 4870 ��
"# $"%& ∶ )�� = 6200 + 17.6 ∗ 1762 = 4650 ��
6
La poutre à dimensionner est continue avec un chargement ponctuel Rul au 2/3 – 1/3 de sa
longueur. Le diagramme des moments obtenus est le suivant (Figure 3) :
Il peut cependant être revu afin de réaliser la condition de redistribution des moments (condition de redistribution des moments (condition de redistribution des moments (condition de redistribution des moments (BS 8110, BS 8110, BS 8110, BS 8110,
3.2.2.3.2.2.3.2.2.3.2.2.) dans les poutres continus) dans les poutres continus) dans les poutres continus) dans les poutres continus. La redistribution est au maximum de 20% pour ajuster la
quantité d’armatures dans la section de poutre. Cela signifie que les moments aux appuis sont
abaissés de 20% quand les moments résistants en travée sont augmentés d’autant. Robot
n’effectue pas la translation de la courbe. Les valeurs extrêmes sont alors les suivantes :
En travée En appui gauche En appui droite
Moment ELU (kN.m) 12000 4150 5850
Pour les sections les plus sollicitées dont les moments sont réduits on vérifiera lors du calcul
d’Asmini la valeur de l’axe neutre x :
* < , !-!./0 123è4 3.5640367#06-/!-!./0 181/0 3.5640367#06-/ − 0.4: ∗ 5 = �0.8 − 0.4� ∗ 5 = 0.4 ∗ 5
avec d la hauteur utile (effective depth).
La courbe enveloppe des moments des différents cas de chargementLa courbe enveloppe des moments des différents cas de chargementLa courbe enveloppe des moments des différents cas de chargementLa courbe enveloppe des moments des différents cas de chargement,,,, obtenue par analyse obtenue par analyse obtenue par analyse obtenue par analyse
élastiqueélastiqueélastiqueélastique,,,, doit aussi être modifiée pour les calculs de Béton Armé au BAEL 91 rèv.99. On décale doit aussi être modifiée pour les calculs de Béton Armé au BAEL 91 rèv.99. On décale doit aussi être modifiée pour les calculs de Béton Armé au BAEL 91 rèv.99. On décale doit aussi être modifiée pour les calculs de Béton Armé au BAEL 91 rèv.99. On décale
hohohohorizontalement la courbe de 0.8*h (en référence au calcul des contraintes de cisaillement). Les rizontalement la courbe de 0.8*h (en référence au calcul des contraintes de cisaillement). Les rizontalement la courbe de 0.8*h (en référence au calcul des contraintes de cisaillement). Les rizontalement la courbe de 0.8*h (en référence au calcul des contraintes de cisaillement). Les
moments extrêmes restent cependant les mêmes alors que tout au long de la poutre les valeurs moments extrêmes restent cependant les mêmes alors que tout au long de la poutre les valeurs moments extrêmes restent cependant les mêmes alors que tout au long de la poutre les valeurs moments extrêmes restent cependant les mêmes alors que tout au long de la poutre les valeurs
sont augmentées.sont augmentées.sont augmentées.sont augmentées.
En travée En appui gauche En appui droite
Moment ELU (kN.m) 10000 4560 6450
7
La courbe des efforts tranchants ne subit pas de modification (Figure 4):
8
1.2. Confrontation des résultats extraits des paragraphes 1.3, 1.4 et 1.5 :
Section en travée
(b;d)�(1.4; 1.46)
2.05m² de béton
longueur 14.18m
Choix des aChoix des aChoix des aChoix des armatures de rmatures de rmatures de rmatures de
flexion flexion flexion flexion tenduestenduestenduestendues
Choix des armatures Choix des armatures Choix des armatures Choix des armatures
au tranchantau tranchantau tranchantau tranchant
Choix des armatures Choix des armatures Choix des armatures Choix des armatures
tendues (As / As1) et tendues (As / As1) et tendues (As / As1) et tendues (As / As1) et
comprimées (As’ / As2)comprimées (As’ / As2)comprimées (As’ / As2)comprimées (As’ / As2)
BS 8110 BS 8110 BS 8110 BS 8110 ––––
1111 :1997:1997:1997:1997
En travée
28 HA32 (22520mm²)
Aux appuis
14 HA25 (6870mm²)
14 HA32 (11260mm²)
4 liens HA14 distants
de 100mm
(615mm²/m)
As 32 HA40 (40200mm²)
As’ 16 HA25 (7850mm²)
BAEL 91 (rèv. 99)BAEL 91 (rèv. 99)BAEL 91 (rèv. 99)BAEL 91 (rèv. 99)
En travée
24 HA32(19302mm²)
Aux appuis
24 HA25 (11780mm²)
24 HA25 (11780mm²)
4 liens HA12 distants
de 66mm
(428mm²/m)
As1 32 HA32 (25740mm²)
As2 12 HA32 (9650mm²)
CoCoCoCommentairemmentairemmentairemmentairessss – Ratio grossier par m3 de béton (armatures de flexion tendues et tranchants) (acier
= 7850kg/m3) :
� BS 8110BS 8110BS 8110BS 8110 ::::
7850 ∗ �22520 + 615� ∗ 14.18! + �6870 + 11260� ∗ 14.18!214.18 ∗ 2.05= 123.3�;!< ∗ 1.2�3.=-#83.!./0 1=6.34� = >?@AB/CD
� BAEL 91 rév. 99BAEL 91 rév. 99BAEL 91 rév. 99BAEL 91 rév. 99 ::::
7850 ∗ �19302 + 428� ∗ 14.18! + �11780 + 11780� ∗ 14.18!214.18 ∗ 2.05= 120.7�;!< ∗ 1.2�3.=-#83.!./0 1=6.34� = >EE. FAB/CD
Les résultats sont les mêmes après une étude distincte sur les deux codes.Les résultats sont les mêmes après une étude distincte sur les deux codes.Les résultats sont les mêmes après une étude distincte sur les deux codes.Les résultats sont les mêmes après une étude distincte sur les deux codes.
� La différence entre les moments utilisés dans les calculs impacte directement les sections
d’armatures.
- Exemple de la section avec armatures comprimées :
Décalage vertical vers le bas de la courbe de moment �BS 8110 plus conservatif en fibre
inférieure et inversement en fibre supérieure.
9
� Le BS 8110 conserve des paramètres de calculs ayant une signification physique directe
pour la section de béton armé. L’objectif de calcul (détermination de la section d’armatures)
est ce qui importe.
- Exemple du calcul des armatures verticales en comparaison du cheminement effectué
par le BAEL.
� Le BAEL 91 rèv. 99 s’attache à reproduire la théorie RdM dans ses calculs pour modéliser au
mieux le comportement. Les concepts sont aboutis (3pivots) et le principe vient avant la
finalité
- Exemple du ferraillage longitudinal avec l’expression :
�# = 1# ∗ 7 ∗ 5 − "4 ∗ G4 et non pas As =… (BS8110)
� Le BAEL lie intimement les hypothèses ELU et ELS au sein des mêmes calculs, compte tenu
de la remarque précédente.
1.3. Détermination du ferraillage longitudinal Asmini :
On note que la longueur de travées pour les poutres continues est la distance ente les centres des
appuis : 14.18m.
Pour les poutres reposant sur des éléments en béton de résistance équivalente (poteaux de
1.4m*1.4m) le BAEL prend la longueur de travées comme la distance entre nus d’appuis : 14.18 –
(1.4/2)*2 = 12.78m
• Détermination de la section béton de poutre :
H = I�éJ1406K#.�5² ∗ LM� ∗ 7
o Mélastique = M(ELU) � K = K’ et quand la redistribution dépasse 10% :
HX = 0.402 ∗ N�O7 = !0 123e4 3.564036.!0 181/0 3.564036 = 1.2� − 0.4P − 0.18 ∗ �O7 − 0.4�� = 0.206
Pour K < K’ � pas d’armatures comprimées.
o b, largeur de la section rectangulaire ou largeur effective de la section en T. On pose b =
1.4m
o fcu est la résistance à la compression du béton. Le BS 8110 utilise la résistance sur
éprouvette cubique : fcu = 40 MPa.
Il n’existe pas de correspondance avec les classes C 30/37 et C35/45 définies dans la norme
européenne. Pour l’application du BAEL on utilisera fcu = 32 MPa estimée sur éprouvette
cylindrique.
10
5 = Q I�%&R�H ∗ L=# ∗ 7 = Q 12.00.206 ∗ 40 ∗ 1.4 = 1.02
La résistance du béton aux efforts tranchants est limitée à 5.0 MPa ou 0.8*SL=# = 5.06 I�1 (BS 8110 – 3.4.5. Design of shear stress). On choisit de limiter cette valeur 2.0 MPa.
8TUV ≥ X7 ∗ 5 → 7 ≥ X8TUV ∗ 5 = 3900 ∗ 10<2.0 ∗ 10Z ∗ 1.02 = 1.91
Donc il faut 7 ∗ 5 ≥ 1.91 ∗ 1.02 = 1.95. On choisit le couple (b ; h) � (1.40 ; 1 .50) soit (b ; d = h –
enrobage – diamètre de barre estimé / 2) � (1.40 ; 1.50 – 0.025 – 0.025/2) � (b ; d) (1.40 ;
1.46).
• Section d’armatures minimale (BS 8110 – 3.12.5.3. – table 3.25.) :
Cas des sections rectangulaires soumises à la flexion simple avec fy = 500 MPa :
"4!6/6 = 0.13% ∗ "7e0-/ → "4!6/6 = 0.0013 ∗ 1.4 ∗ 1.5 = 2730!!²
On choisit Asréel = 3054mm² avec 12 HA18.
• Détermination de la section d’armature (BS 8110 – 3.4.4.4.) :
H = 12.01.40 ∗ 1.46² ∗ 40 = 0.101 < HX = 0.206 → 214 5X13!10#3.4 =-!236!e.4
• Bras de levier des efforts internes z :
\ = min �0.95 ∗ 5 ; 5 ∗ a0.5 + Q0.25 − H0.9b Remarque : Min(…) permet de conserver une épaisseur de béton minimale au-dessus du centre
de gravité du béton comprimé.
\ = !6/�0.95 ∗ 1.46 ; 1.46 ∗ �0.5 + Q0.25 − 0.1010.9 � \ = !6/�1.39 ; 1.27�!
• Axe neutre x :
* = �5 − \�0.45 = 1.46 − 1.270.45 = 0.42
On vérifie aussi pour la redistribution : * = 0.42 < 0.5 ∗ 5 = 0.4 ∗ 1.46 = 0.58
• Section Asmini :
11
"4 = IéJ1406K#.� >cd = >. >? = @. Fe� ∗ fg ∗ \�
"4 = 12�0.87 ∗ 500 ∗ 1.27� = 21721 !!²
On choisit Asréel = 22520 mm² avec 28 HA32.
• Détermination de la section d’armature avec le BAEL 91 rèv. 99 (Cas de la flexion simple
en phase élastique aux ELUR – section rectangulaire) :
• Condition de non fragilité du béton � Section d’armature minimale :
En flexion simple : "4 ≥ 0.23 ∗ 7 ∗ 5 ∗ L028Lh
"4 ≥ 0.23 ∗ 7 ∗ 5 ∗ 0.6 + 0.06 ∗ L=28Lh
"4 ≥ 0.23 ∗ 1.4 ∗ 1.46 ∗ 0.6 + 0.06 ∗ 32500 = 2400!!² 4-60 90% 5. J1 81J.#3 $i8110
On choisit 10 HA18 pour 2540mm².
RemarqueRemarqueRemarqueRemarque ::::
La clause 9.2.1.1 minimum and maximum reinforcement areas de l’EurocodLa clause 9.2.1.1 minimum and maximum reinforcement areas de l’EurocodLa clause 9.2.1.1 minimum and maximum reinforcement areas de l’EurocodLa clause 9.2.1.1 minimum and maximum reinforcement areas de l’Eurocode 2 pour les poutres e 2 pour les poutres e 2 pour les poutres e 2 pour les poutres
donnedonnedonnedonne ::::
"4, !6/6 = 0.26 ∗ L=0!Lh� ∗ 7 ∗ 5 K#6 5-60 ê03. 4#2é36.#3 à 0.0013 ∗ 7 ∗ 5 "4, !6/6 = 0.26 ∗ 2.9500 ∗ 1.4 ∗ 1.46 = 3082!!² > 0.0013 ∗ 7 ∗ 5 = 2730!!²
Il s’agit d’une fusion des deux codes d’inspiration aIl s’agit d’une fusion des deux codes d’inspiration aIl s’agit d’une fusion des deux codes d’inspiration aIl s’agit d’une fusion des deux codes d’inspiration anglaise et française.nglaise et française.nglaise et française.nglaise et française.
• Diagramme non simplifié :
• Résistance de calcul du béton armé :
L7# = 0.85l ∗ L=#m7 = 0.851 ∗ 321.5 = 18.13 I�1
RemarqueRemarqueRemarqueRemarque :::: la résistance du béton n’est pas diminuée au BS 8110.la résistance du béton n’est pas diminuée au BS 8110.la résistance du béton n’est pas diminuée au BS 8110.la résistance du béton n’est pas diminuée au BS 8110.
• Résistance élastique de calcul de l’acier :
12
L.5 = Lhm4 = 5001.15 = 434.2 I�1 • Détermination de mu :
!# = IeJ1406K#.L7# ∗ 7 ∗ 5²= 10.018.13 ∗ 1.4 ∗ 1.46²
= 0.185
mu =0.185 < 0.1872 (pivot A)
RemarqueRemarqueRemarqueRemarque : mu : mu : mu : mu ���� K (BS 8110)K (BS 8110)K (BS 8110)K (BS 8110)
Le diagramme deLe diagramme deLe diagramme deLe diagramme des trois pivots, qui représente la déformation de la section aux états ultimes, s trois pivots, qui représente la déformation de la section aux états ultimes, s trois pivots, qui représente la déformation de la section aux états ultimes, s trois pivots, qui représente la déformation de la section aux états ultimes,
n’est pas repris par le BS 8110. Les concepteurs du BAEL ont choisit de regrouper l’ensemble des n’est pas repris par le BS 8110. Les concepteurs du BAEL ont choisit de regrouper l’ensemble des n’est pas repris par le BS 8110. Les concepteurs du BAEL ont choisit de regrouper l’ensemble des n’est pas repris par le BS 8110. Les concepteurs du BAEL ont choisit de regrouper l’ensemble des
états du béton sous un seul concept. Au pivot A (rotation autour du centre de grétats du béton sous un seul concept. Au pivot A (rotation autour du centre de grétats du béton sous un seul concept. Au pivot A (rotation autour du centre de grétats du béton sous un seul concept. Au pivot A (rotation autour du centre de gravité des aciers) avité des aciers) avité des aciers) avité des aciers)
le béton n’est pas épuisé et l’acier est plastifié jusqu’à sa limite de ruine (déformation maximale le béton n’est pas épuisé et l’acier est plastifié jusqu’à sa limite de ruine (déformation maximale le béton n’est pas épuisé et l’acier est plastifié jusqu’à sa limite de ruine (déformation maximale le béton n’est pas épuisé et l’acier est plastifié jusqu’à sa limite de ruine (déformation maximale
de 1% en fibre intérieure).Le pivot B (rotation sur la fibre supérieure de béton) est un état de 1% en fibre intérieure).Le pivot B (rotation sur la fibre supérieure de béton) est un état de 1% en fibre intérieure).Le pivot B (rotation sur la fibre supérieure de béton) est un état de 1% en fibre intérieure).Le pivot B (rotation sur la fibre supérieure de béton) est un état
transitoiretransitoiretransitoiretransitoire : l’acier peut ou non atteindre : l’acier peut ou non atteindre : l’acier peut ou non atteindre : l’acier peut ou non atteindre sa limite d’élasticitésa limite d’élasticitésa limite d’élasticitésa limite d’élasticité ; c’est le domaine de la flexion ; c’est le domaine de la flexion ; c’est le domaine de la flexion ; c’est le domaine de la flexion
composée ou simple avec le béton épuisé en fibre supérieure de poutre (déformation maximale composée ou simple avec le béton épuisé en fibre supérieure de poutre (déformation maximale composée ou simple avec le béton épuisé en fibre supérieure de poutre (déformation maximale composée ou simple avec le béton épuisé en fibre supérieure de poutre (déformation maximale
en traction de 0.35%). La section est complètement comprimée au pivot Cen traction de 0.35%). La section est complètement comprimée au pivot Cen traction de 0.35%). La section est complètement comprimée au pivot Cen traction de 0.35%). La section est complètement comprimée au pivot C : la déformation du : la déformation du : la déformation du : la déformation du
béton est de 0.3béton est de 0.3béton est de 0.3béton est de 0.35% et celle de l’acier est de 0.20% (max en compression).5% et celle de l’acier est de 0.20% (max en compression).5% et celle de l’acier est de 0.20% (max en compression).5% et celle de l’acier est de 0.20% (max en compression).
Dès lors toutes les formulations sont modifiées. Dès lors toutes les formulations sont modifiées. Dès lors toutes les formulations sont modifiées. Dès lors toutes les formulations sont modifiées. αu reprαu reprαu reprαu représente ainsi le rapport déformation ésente ainsi le rapport déformation ésente ainsi le rapport déformation ésente ainsi le rapport déformation
béton / déformation totale (acier+béton). béton / déformation totale (acier+béton). béton / déformation totale (acier+béton). béton / déformation totale (acier+béton). au fait le lien entre la théorie du diagramme des trois au fait le lien entre la théorie du diagramme des trois au fait le lien entre la théorie du diagramme des trois au fait le lien entre la théorie du diagramme des trois
pivots et la RdM parpivots et la RdM parpivots et la RdM parpivots et la RdM par ::::
�# = n G�7é0-/�. 5"�7é0-/� − "4 ∗ G4 = 1# ∗ 7 ∗ 5 ∗ L7# − "4 ∗ G4
Figure 5 : Représentation du diagramme des trois pivots
• Détermination de αu au pivot A :
o# = 1 − Q1 − 7 + 100 ∗ !#57 == 1 − Q1 − 7 + 100 ∗ 0.18557 = 0.257
• Calcul de au au pivot A :
13
1# = 16 ∗ o# − 115 = 16 ∗ 0.257 − 115 = 0.207
• Section Asmini :
"4!6/6 = 1# ∗ 7 ∗ 5 ∗ L7#Lh = 0.207 ∗ 1.4 ∗ 1.46 ∗ 18.13434.8 = 17700 !!²
On utilise Asréel = 19302 mm² avec 24 HA32.
RemarqueRemarqueRemarqueRemarque : Avec les mêmes valeurs de moments élastiques intégrées au départ (12MN) on : Avec les mêmes valeurs de moments élastiques intégrées au départ (12MN) on : Avec les mêmes valeurs de moments élastiques intégrées au départ (12MN) on : Avec les mêmes valeurs de moments élastiques intégrées au départ (12MN) on
obtient moins de 1%obtient moins de 1%obtient moins de 1%obtient moins de 1% d’écart entre les valeurs minimales de section d’acier calculées au BS 8110 d’écart entre les valeurs minimales de section d’acier calculées au BS 8110 d’écart entre les valeurs minimales de section d’acier calculées au BS 8110 d’écart entre les valeurs minimales de section d’acier calculées au BS 8110
et BAEL 91 rèv. 99et BAEL 91 rèv. 99et BAEL 91 rèv. 99et BAEL 91 rèv. 99 :::: 2178721721 = 0.3%
1.4. Détermination du ferraillage pour les efforts tranchants :
Détermination du ferraillage transversal – BS 8110 – 3.4.5. Design shear resistance in beams:
• Comme introduit précédemment vmax < 5 MPa.
8!1* = X7 ∗ 5 = 3.91.40 ∗ 1.46 = 1.91 < 5 I�1
• Résistance aux efforts tranchants du béton vc (BS 8110 – 3.4.5.4.)
Calcul du rapport : 100 ∗ "47 ∗ 5 �23-2-306-/ 5X1=6.3 51/4 J1 4.=06-/�
As est la section d’acier longitudinal qui continue d’au moins d’une distance d de part et d’autre
de la section considérée.
100 ∗ "47 ∗ 5 = 100 ∗ 22520 ∗ 10pZ1.40 ∗ 1.46 = 1.10
Le tableau 3.8 - BS 8110 évalue la résistance vc de la section de béton sans armatures verticales
aux efforts tranchants. La proportion d’acier est pondérée par la résistance à la compression du
béton sur une base de 25MPa :
8= = 0.79 ∗ �100 ∗ "47 ∗ 5 = 1.10��/< ∗ � 4005 = 1460���m! = 1.25 ∗ �L=# = 3225 ��/< = 0.20I�1
Le tableau 3.7 - donne avec :
14
8= + 0.4 ≤ 8!1* ≤ 5I�1 → 0.20 ≤ 8!1* = 1.91 ≤ 5I�1 ";848 ≥ 7 ∗ �8 − 8=�
0.87�= 1m4� ∗ Lh → ";848 ≥ 1400 ∗ �1.91 − 0.20�0.87 ∗ 500 = 5.50!!²/!!
Agv est la section de renforcement transversal requise. Agv reprend (v-vc) le tranchant résiduel
après la résistance du béton et aciers longitudinaux seuls.
Sv est l’espacement entre les armatures transversales limité à : sv < 0.75*d = 0.75*1.46 = 1.17m
On choisit 4 liens verticaux HA14 espacés de 100mm (";8/i8 = 4 ∗ 0.014² ∗ r/4/0.100 =6.15!!�/!!).
RemarqueRemarqueRemarqueRemarque : la résolution du BS 8110 est directe: la résolution du BS 8110 est directe: la résolution du BS 8110 est directe: la résolution du BS 8110 est directe :::: on calculeon calculeon calculeon calcule la section d’armature la section d’armature la section d’armature la section d’armature pour un effort pour un effort pour un effort pour un effort
tranchant donné.tranchant donné.tranchant donné.tranchant donné.
• Détermination de la section d’armature transversale avec le BAEL 91 rèv. 99 :
• Vérification :
• Pour le béton avec des armatures transversales verticales (α = π/2) :
s# = X7 ∗ 5 ≤ !6/ �0.2 ∗ L=28m7 ; 5I�1 ./ L644#3106-/ 2.# 23ét#56=17J.�� s# = 3.91.4 ∗ 1.46 ≤ !6/ �0.2 ∗ 321.5 ; 5 � s# = 1.91I�1 ≤ !6/ �4.3; 5�I�1
• Pour l’acier :
"0 �4.=06-/ 5X1=6.3�7 ∗ 40 ≥ m4 ∗ �s# − 0.3 ∗ � ∗ L028�0.9 ∗ Lh ∗ �=-4o + 46/o�
En admettant le cas défavorable de k=0 (reprise de bétonnage) pour lequel la part de V équilibrée
par la membrane comprimée est nulle :
40 �.421=.!./0 5.4 13!10#3.4 031/48.341J.4� ≤ "0 ∗ 0.9 ∗ Lh7 ∗ s# ∗ m4
• Condition minimale d’espacement :
st < min(0.9*d ; 40cm) = 40cm
• Section minimale d’armatures :
"0 ∗ Lh7 ∗ 40!1* = 40=! ≥ 0.4I�1
15
RemarqueRemarqueRemarqueRemarque : Le m: Le m: Le m: Le modèle RdM de la poutre soumise à des efforts tranchants est celui du treillis de odèle RdM de la poutre soumise à des efforts tranchants est celui du treillis de odèle RdM de la poutre soumise à des efforts tranchants est celui du treillis de odèle RdM de la poutre soumise à des efforts tranchants est celui du treillis de
RitterRitterRitterRitter----Mörsch. Cette théorie permet une évaluation correcte de la contrainte dans les bielles Mörsch. Cette théorie permet une évaluation correcte de la contrainte dans les bielles Mörsch. Cette théorie permet une évaluation correcte de la contrainte dans les bielles Mörsch. Cette théorie permet une évaluation correcte de la contrainte dans les bielles
comprimées entre les fissures dues à l’effort tranchant. En revanche elle suresticomprimées entre les fissures dues à l’effort tranchant. En revanche elle suresticomprimées entre les fissures dues à l’effort tranchant. En revanche elle suresticomprimées entre les fissures dues à l’effort tranchant. En revanche elle surestime les valeurs de me les valeurs de me les valeurs de me les valeurs de
sections d’acier et d’espacements entre les liens verticaux. L’ensemble des conditions sections d’acier et d’espacements entre les liens verticaux. L’ensemble des conditions sections d’acier et d’espacements entre les liens verticaux. L’ensemble des conditions sections d’acier et d’espacements entre les liens verticaux. L’ensemble des conditions
précédentes découlent donc de l’expérimentation pour corriger la théorie.précédentes découlent donc de l’expérimentation pour corriger la théorie.précédentes découlent donc de l’expérimentation pour corriger la théorie.précédentes découlent donc de l’expérimentation pour corriger la théorie.
• Calcul de différents couples (V ; st) pour ajuster la répartition des aciers au tranchant le
long de la poutre :
• Diamètre mini des barres : on choisit 4 brins transversaux (1 cadre et 2 épingles)
�4 ∗ 10� ∗ Lh7 ∗ 40!1* ≥ 0.4I�1 10 ≥ 0.4 ∗ 1400 ∗ 4004 ∗ 500 = 112!!�
On choisit Φ = 12mm qui donne at = 113mm². D’où :
s#!6/6 = 0.9 ∗ Lh ∗ �4 ∗ 10�m4 ∗ 7 ∗ 40!1* = 0.9 ∗ 500 ∗ 4 ∗ 1.131.15 ∗ 140 ∗ 40 = 0.32 I�1 X!6/6 = 320 ∗ 1.4 ∗ 1.46 = 654 �� 2-#3 40 = 40=!
• Autour de l’appui : s!1* = 3.91.4 ∗ 1.46 = 1.91 I�1
40 ≤ "0 ∗ 0.9 ∗ Lh7 ∗ s# ∗ m4 = 0.000452 ∗ 0.9 ∗ 5001.4 ∗ 1.91 ∗ 1.15 = 66 !!
On choisit st = 65mm d’où 66/65*3900 = 3960 kN.
RemarqueRemarqueRemarqueRemarque : Le BAEL veille en premier lieu à satisfaire toutes les conditions initiales. Plusieurs : Le BAEL veille en premier lieu à satisfaire toutes les conditions initiales. Plusieurs : Le BAEL veille en premier lieu à satisfaire toutes les conditions initiales. Plusieurs : Le BAEL veille en premier lieu à satisfaire toutes les conditions initiales. Plusieurs
couples (armaturescouples (armaturescouples (armaturescouples (armatures ; espacement; espacement; espacement; espacement ; effort tranchant repris) sont calculés dans cette ; effort tranchant repris) sont calculés dans cette ; effort tranchant repris) sont calculés dans cette ; effort tranchant repris) sont calculés dans cette optique.optique.optique.optique.
1.5. Dimensionnement d’une poutre avec armatures comprimées – BS 8110
– clause 3.4.4.4 :
Les armatures comprimées sont nécessaires si la nervure de béton b*h (section rectangulaire) est
insuffisante pour reprendre le moment élastique qui comprime le béton :
M�ELU� = 12MN. m > I# = H ∗ L=# ∗ 7 ∗ 5² = 0.206 ∗ 40 ∗ b ∗ d² → b ∗ d < 1.92 → -/ =ℎ-6460 5 = 1.06m et b = 1.0m
16
Tel est le cas si le choix de côtes de béton est limité (architecture, dispositions constructives,…).
Alors : H = IeJ1406K#.7 ∗ 5² ∗ L=# = 121.0 ∗ 1.06² ∗ 40 = 0.267 > HX = 0.206
• Mise en œuvre des armatures comprimées :
o Bras de levier des efforts intérieurs z. Il est limité par K’ = K, la résistance intrinsèque de
la section.
\ = 5 ∗ a0.5 + Q0.25 − HX0.9b = 1.06 ∗ a0.5 + Q0.25 − 0.2060.9 b = 0.68!
o Axe neutre x :
* = �5 − \�0.45 = �1.06 − 0.68�0.45 = 0.84!
o Section d’armatures comprimées As’. Choix de d’ (profondeur de As’) à partir d’un
enrobage (25mm) et un diamètre d’armature longitudinale tendue (32mm) : d’ = 57mm.
"4X =
= ��H − HX� ∗ L=# ∗ 7 ∗ 5���= � − ���0.87 �= 1m4� ∗ Lh ∗ �5 − 5X��= � ����� ≠ � ���� �é��� ��C���Cé �������d ����f��
= �0.267 − 0.206� ∗ 40 ∗ 1.0 ∗ 1.06²0.87 ∗ 500 ∗ �1.06 − 0.057�
"4X = 6300!!²
On choisit 16 HA25 mm pour 7850mm².
RemarqueRemarqueRemarqueRemarque :::: l’acier comprimé est dimensionné pour reprendre le résidu de ce que le béton ne l’acier comprimé est dimensionné pour reprendre le résidu de ce que le béton ne l’acier comprimé est dimensionné pour reprendre le résidu de ce que le béton ne l’acier comprimé est dimensionné pour reprendre le résidu de ce que le béton ne
peut pas supporter. As’ est positionné le plus proche possible de la fibre supérieure comprimée peut pas supporter. As’ est positionné le plus proche possible de la fibre supérieure comprimée peut pas supporter. As’ est positionné le plus proche possible de la fibre supérieure comprimée peut pas supporter. As’ est positionné le plus proche possible de la fibre supérieure comprimée
du béton. Cet excentrement par rapport au centre de gravité du béton comprimé obdu béton. Cet excentrement par rapport au centre de gravité du béton comprimé obdu béton. Cet excentrement par rapport au centre de gravité du béton comprimé obdu béton. Cet excentrement par rapport au centre de gravité du béton comprimé oblige à lige à lige à lige à
considérer un bras de levier dconsidérer un bras de levier dconsidérer un bras de levier dconsidérer un bras de levier d----d’ plus important,d’ plus important,d’ plus important,d’ plus important, entre les centres de gravité des aciersentre les centres de gravité des aciersentre les centres de gravité des aciersentre les centres de gravité des aciers.
o Section d’armatures tendues As. As est calculé par rapport à z pour la part du moment (ici
égale à Mu) qui est reprise par le béton comprimé. Pour le résidu, le calcul se fait avec (d-
d’) ce qui revient à ajouter As’.
"4 = [HX ∗ L=# ∗ 7 ∗ 5² ]�= I#�0.87 ∗ Lh ∗ \ + "4X = [0.206 ∗ 40 ∗ 1.0 ∗ 1.06�]0.87 ∗ 500 ∗ 0.68 + 6300 "4 = 37600!!²
17
On choisit 32 HA40 pour 40200mm² (Plus de 3 lits d’armatures avec 10 cm entre chaque barre).
• Détermination de la section d’armatures comprimées As2 selon le BAEL 91 rèv. 99 :
• Le calcul est fait aux ELU en imposant la condition calculatoire mu;lim = muc qui équivaut Le calcul est fait aux ELU en imposant la condition calculatoire mu;lim = muc qui équivaut Le calcul est fait aux ELU en imposant la condition calculatoire mu;lim = muc qui équivaut Le calcul est fait aux ELU en imposant la condition calculatoire mu;lim = muc qui équivaut
à avoir une contrainte interne de compression du béton égaà avoir une contrainte interne de compression du béton égaà avoir une contrainte interne de compression du béton égaà avoir une contrainte interne de compression du béton égale à la contrainte résistante. Le le à la contrainte résistante. Le le à la contrainte résistante. Le le à la contrainte résistante. Le
système peut alors être résolu.système peut alors être résolu.système peut alors être résolu.système peut alors être résolu.
• La quantification de la contrainte interne du béton (La quantification de la contrainte interne du béton (La quantification de la contrainte interne du béton (La quantification de la contrainte interne du béton (σb < σblim = 0.6*fc28) est dσb < σblim = 0.6*fc28) est dσb < σblim = 0.6*fc28) est dσb < σblim = 0.6*fc28) est définie aux éfinie aux éfinie aux éfinie aux
ELS uniquement. Une vérification aux ELS de l’hypothèse formulée est donc nécessaire ELS uniquement. Une vérification aux ELS de l’hypothèse formulée est donc nécessaire ELS uniquement. Une vérification aux ELS de l’hypothèse formulée est donc nécessaire ELS uniquement. Une vérification aux ELS de l’hypothèse formulée est donc nécessaire
pour empêcher pour empêcher pour empêcher pour empêcher σb > σblim. σb > σblim. σb > σblim. σb > σblim.
o Données :
Largeur b = 1.0m / hauteur h = 1.10m / d = 1.06m / d2 = 60mm � d2/d = 0.0566
Armatures Fe500 � fed = 434.8 MPa / fc28=32MPa � fbu = 18.13 MPa / M(ELU) = 10 MN.m /
M(ELS) = 5 MN.m (modèle Robot)
o Paramètre mu’ :
!#� = I!1*7 ∗ 5² ∗ L7# = 10.01.0 ∗ 1.06² ∗ 18.13 = 0.491
o Frontière αE2 entre les pivots A et B et As2:
525 = 0.0566 < N525 P J6! = 0.0981 → o��$ = 2.6415 ∗ 525 = 0.150
Or avec M(ELU)/M(ELS) = 1.50, muc = 0.3037 (= mu;lim) et αuc = 0.4652 > o��$. Donc la contrainte dans l’armature comprimée σs2 vaut fed.
!#� = 0.491 = !# + "427 ∗ 5 ∗ G42L7# ∗ N1 − 525 P = 0.3037 + "421.0 ∗ 1.06 ∗ 434.818.13 ∗ �1 − 0.0566� "42 = 8775 !!²
o Détermination des armatures tendues :
o#= = 0.4652 < o�� = 0.6168 → G41 = L.5 et on est au pivot B. 1#� = 1721 ∗ o#= + "427 ∗ 5 ∗ G42L7# = 1721 ∗ 0.4652 + 0.0087751.0 ∗ 1.06 ∗ 434.818.13 = 0.575 "41 = 1#� ∗ 7 ∗ 5 ∗ L7#G41 = 0.575 ∗ 1.06 ∗ 1.0 ∗ 18.13434.8 = 25400 !!²
o Vérification aux ELS avec As2 = 8775 mm² et As1 = 25400 mm² :
22 = "427 ∗ 5 = 0.008 .0 21 = "417 ∗ 5 = 0.024
18
En flexion simple et avec n= 15 (coefficient d’équivalence – BAEL art. A 4.5.1.) :
/ ∗ 21 = o�2 ∗ �1 − o� + / ∗ 22 ∗ o − 5251 − o → o = 0.502 �3é4-J#06-/ /#!é36K#.� Ainsi,
!�7 = o2 ∗ �1 − o3� + / ∗ 22 ∗ �1 − 525 � ∗ �o − 525 �o= 0.5022 ∗ N1 − 0.5023 P + 15 ∗ 0.008 ∗ �1 − 0.0566� ∗ �0.502 − 0.0566�0.502 = 0.309 Donc,
G7= = I�%&i�!�7 ∗ 7 ∗ 5� = 5.00.309 ∗ 1.0 ∗ 1.06� = 14.40 I�1 < G7=# = 0.6 ∗ L=28 = 19.2I�1
L’ajout d’une section d’armatures comprimées As2 = 9650mm² (12 HA32) suffit à limiter la
contrainte de compression agissant sur le béton.
RemarqueRemarqueRemarqueRemarque ::::
Les normes anglaises dimensionnent aux états limites de service (SLS Les normes anglaises dimensionnent aux états limites de service (SLS Les normes anglaises dimensionnent aux états limites de service (SLS Les normes anglaises dimensionnent aux états limites de service (SLS –––– serviciability limit state) serviciability limit state) serviciability limit state) serviciability limit state)
en modifiant les coefficients de sécurité devaen modifiant les coefficients de sécurité devaen modifiant les coefficients de sécurité devaen modifiant les coefficients de sécurité devant les cas de charges. C’est la seule différence entre nt les cas de charges. C’est la seule différence entre nt les cas de charges. C’est la seule différence entre nt les cas de charges. C’est la seule différence entre
un calcul ULS et SLS (coefficients à 1.00). un calcul ULS et SLS (coefficients à 1.00). un calcul ULS et SLS (coefficients à 1.00). un calcul ULS et SLS (coefficients à 1.00).
19
2. Dimensionnement d’une dalle béton armé selon le BS 8110 – 1 : 1997
– Comparaison Eurocode 2 – Part 1 et BAEL 91 (rèv.99) :
2.1. Introduction au dimensionnement :
Dans le cadre du projet de développement des abords du stade de Wembley au Nord de Londres,
plusieurs complexes d’immeubles résidentiels sont récemment sortis de terre. Le projet Wembley
W05, dont Buro Happold conçoit la structure, aura toutes ses eaux usées collectées dans un
réservoir de 2000 m3 agissant comme tampon avant le rejet dans le réseau. Ce réservoir est situé
au niveau sous-sol du projet. Au rez-de-chaussée une dalle de 27.50m*12.05 vient coiffer le
réservoir. Celle-ci a été construite courant Mars-Avril 2010 sur chantier.
En surface l’architecte a fixé le niveau de plancher et les marges de manœuvre sont inexistantes.
En sous face les tuyaux de drainage s’intègre dans le béton de la dalle pour leur maintien. Pour
limiter leur intersection avec les treillis d’armatures, l’épaisseur de la dalle est singulièrement
augmentée :
Figure 6 : Cas à éviter. A gauche : pour une dalle de 300mm on arrive par endroit à 785mm,
1005mm et 1195mm.
Figure 7 : La géométrie de la dalle est complexe et d’autant plus que pour une épaisseur de 785
mm par exemple, la surface de la dalle ne se trouve pas obligatoirement aux mêmes niveaux.
20
Figure 8 : Vue de la sous face de la dalle à droite et compensation des surépaisseurs par des
charges statiques à gauche.
Dix colonnes réparties en deux files sur la longueur de la dalle viennent la soutenir. La dalle est
rotulée avec le reste du plancher rez-de-chaussée (flexion permise � cas le plus contraignant
vis-à-vis des efforts au centre de la dalle).
Afin de modéliser le comportement de la dalle on créé un modèle sous le logiciel Robot. L’effet
des appuis des colonnes est ainsi au mieux pris en compte. Les diverses épaisseurs de dalle
seront représentées en ajoutant aux endroits définis une charge permanente (=ρbéton*épaisseur
additionnelle) sur une dalle plate de 300mm en tout point. La modélisation est une étape clé qui
supporte bien souvent une simplification du cas réel.
Figure 9 : Ci contre :
Maillage et déformation finale aux ELS (-
4mm max).
Figure 10 : Ci-dessus : Modélisation des
colonnes : Décalage du nœud en tête de
la barre. Il n’y apas d’interaction avec le
maillage de la dalle et la modélisation est
« propre »
Pour l’étude la dalle est scindée en panneaux indépendants (P11 à P36) entre Pour l’étude la dalle est scindée en panneaux indépendants (P11 à P36) entre Pour l’étude la dalle est scindée en panneaux indépendants (P11 à P36) entre Pour l’étude la dalle est scindée en panneaux indépendants (P11 à P36) entre les colonnes et ses les colonnes et ses les colonnes et ses les colonnes et ses
bords. Les panneaux reposant sur colonnes ont leurs moments redistribués sur des travées bords. Les panneaux reposant sur colonnes ont leurs moments redistribués sur des travées bords. Les panneaux reposant sur colonnes ont leurs moments redistribués sur des travées bords. Les panneaux reposant sur colonnes ont leurs moments redistribués sur des travées
fictives médianes et de coté (Eurocode 2 annexe I, BAEL 91 rèv.99 annexe E4 et BS 8110 clause fictives médianes et de coté (Eurocode 2 annexe I, BAEL 91 rèv.99 annexe E4 et BS 8110 clause fictives médianes et de coté (Eurocode 2 annexe I, BAEL 91 rèv.99 annexe E4 et BS 8110 clause fictives médianes et de coté (Eurocode 2 annexe I, BAEL 91 rèv.99 annexe E4 et BS 8110 clause
3.7.2.10). La détermination manuelle des moments est 3.7.2.10). La détermination manuelle des moments est 3.7.2.10). La détermination manuelle des moments est 3.7.2.10). La détermination manuelle des moments est obligatoire pour vérifier la conformité du obligatoire pour vérifier la conformité du obligatoire pour vérifier la conformité du obligatoire pour vérifier la conformité du
modèle Robot. A ce propos le BS 8110 propose des formules empiriques de valeurs de moment modèle Robot. A ce propos le BS 8110 propose des formules empiriques de valeurs de moment modèle Robot. A ce propos le BS 8110 propose des formules empiriques de valeurs de moment modèle Robot. A ce propos le BS 8110 propose des formules empiriques de valeurs de moment
facilement utilisable pour de nombreux cas de figure (clause 3.5.3.4 et 3.5.2.4. facilement utilisable pour de nombreux cas de figure (clause 3.5.3.4 et 3.5.2.4. facilement utilisable pour de nombreux cas de figure (clause 3.5.3.4 et 3.5.2.4. facilement utilisable pour de nombreux cas de figure (clause 3.5.3.4 et 3.5.2.4. –––– tableau 3.14).tableau 3.14).tableau 3.14).tableau 3.14).
21
2.2. Confrontation des résultats extraits des paragraphes 2.3 et 2.4 :
Les armatures de flexion initiales sont déterminées sur le modèle du chapitre 1 de l’annexe i. En
Mars 2010 une note de calcul a été rédigée dans le cadre du projet W05 pour les définir.
Panneau P34
1 côté continu
rotulé
3 côtés sur appui
colonne
Armatures de flexion Armatures de flexion Armatures de flexion Armatures de flexion
initialesinitialesinitialesinitiales
Après vérification de la Après vérification de la Après vérification de la Après vérification de la
flècheflècheflècheflèche
Après vérification de Après vérification de Après vérification de Après vérification de
l’étanchéitél’étanchéitél’étanchéitél’étanchéité
BS 8110 BS 8110 BS 8110 BS 8110 ––––
1111 :1997:1997:1997:1997
BS 8007BS 8007BS 8007BS 8007 : 1987: 1987: 1987: 1987
10 HA10 / m 12 HA10 / m 10 HA20 /m
Eurocode 2Eurocode 2Eurocode 2Eurocode 2 10 HA10 / m 10 HA10 / m 10 HA25 / m
BBBBAEL 91 rèv. 99AEL 91 rèv. 99AEL 91 rèv. 99AEL 91 rèv. 99 10 HA10 / m 10 HA10 / m 10 HA14 / m
CommentaireCommentaireCommentaireCommentairessss – Vérification de la flèche :
� L’Eurocode propose d’évaluer la flèche par le calcul de la courbure mais se tourne d’abord
vers une méthode similaire à celle du BS8110 (ajustement du rapport longueur / hauteur
utile).
� Le BAEL évalue la flèche. Des formules issues d’expériences en laboratoire viennent
seconder la RdM.
� Tous les textes prennent en compte l’influence positive des sections d’armatures.
CommentaireCommentaireCommentaireCommentairessss – Vérification de l’ouverture de fissure :
� Les calculs de l’Eurocode 2 ne se limitent pas au cas du béton armé et intègre des
paramètres pour la précontrainte.
� L’Eurocode 2 prend très précisément en compte les zones de contraintes et de
déformation dans le béton armé et propose de nombreux cas de calculs différents. La
représentation détaillée du comportement du béton est pénalisante pour atteindre 0.1mm
d’ouverture de fissures.
� Les limites admissibles d’ouvertures de fissures sont plus importantes dans l’Eurocode
(3mm en environnement très sévère (classe XS3)).
� Le concept de fissuration préjudiciable, spécifique au BAEL, limite σs pour l’ouverture de
fissures. Dans chaque calcul aux ELS, cette valeur est utilisée comme une limite supérieure
de contrainte dans l’acier. Lors de la vérification particulière d’ouverture de fissures, ce
principe global est très efficace.
22
2.3. Vérification de la flèche :
La flèche maximale des panneaux les plus sollicités, calculée avec Robot® en état limite de
service (SLS) et sous charge d’exploitation uniquement, atteint 4mm.
• Sous combinaison de charges permanentes et d’exploitation aux ELS :
�Jè=ℎ. !-5èJ. < J-/;#.#3 5. 0318é.250
• Sous combinaison de charges d’exploitation aux ELS :
�Jè=ℎ. < J-/;#.#3 5. 0318é.360 -# J-/;#.#3 500 2-#3 5.4 !10é361#* L31;6J.4 �8.33., … � �Jè=ℎ. !-5èJ. = 4!! < 7.63 �21//.1# �34 ./ J-/;#.#3�360 = 21!! → 8é36L6é
On étudie le cas le plus contraignant du panneau P34 avec 300mm d’épaisseur. Il doit être vérifié
dans sa largeur et dans sa longueur car les deux côtés sont portants.
En section rectangulaire sur support continu, le rapport (longueur travée) / (d = hauteur utile) est
défini égal à 26 dans le tableau 3.9 – BS 8110. Il s’agit du cas le plus proche du cas réel (1 côté
rotulé et 2 colonnes) dans la norme.
La longueur et la largeur de travée ne doivent donc pas dépasser 26d pour satisfaire la norme.
Le cas réel donne :
./ J13;.#3 ∶ 0318e. = 5.155 = 0.24 = 21.5 < 26 .0 ./ J-/;#.#3 ∶ 7.630.24 = 31.80 > 26
La couverture des armatures est portée à 60mm compte tenu de l’environnement humide de la
dalle. D’où d = 240mm.
Pour tenir compte des armatures longitudinales qui aident le béton à résister, un facteur de
modification ajuste le rapport précédent au cas réel.
!-56L6=106-/ L1=0-3 !L = 0.55 + �477 − L4�120 ∗ �0.9 + I7 ∗ 5�� < 2.0
Avec
L4 = 2 ∗ Lh ∗ "43.K#64 !é=1/6K#.!./03 ∗ "423-=#3é �= 10�"10100!! � ∗ I181/0 3.5640367#06-/I123è4 3.5640367#06-/
L4 = 2 ∗ 500I�1 ∗ 785!!�3 ∗ 785!!� ∗ 1.0 L4 = 333.3I�1 ./ J-/;#.#3 .0 ./ J13;.#3 2-#3 �34 Et, IJ13;.#37 ∗ 5² = 0.060I�. !1.0 ∗ 0.24² = 1.04 .0 IJ-/;#.#37 ∗ 5² = 0.045I�. !1.0 ∗ 0.24² = 0.78
23
Donc,
!L�J13;.#3� = 1.17 .0 !L�J-/;#.#3� = 1.26 → ./ J13;.#3 26 ∗ 1.17 = 30.45 ./ J-/;#.#3 26 ∗ 1.26 = 32.8
De plus, la clause 3.4.6 traite du cas particulier des dalles appuyées sur des colonnes (cas le plus
contraignant) en minorant mf par mf*0.9 :
J13;.#3 ∶ 5.150.24 = 21.5 < 30.45 ∗ 0.9 = 27.4 .0 J-/;#.#3 ∶ 7.630.24 = 31.80 > 32.8 ∗ 0.9 = 29.5
La travée a une longueur trop importante pour l’épaisseur de béton d = 0.24m. La largeur ne
pose pas de problème. L’environnement humide de la dalle à un impact fondamental car sans la
couverture des armatures amenant d à 0.24m, pour d = 0.27m :
7.630.27 = 28.3 < 29.5
On augmente alors As procuré à 10 HA12 tous les 10cm soit 1131mm² dans la longueur.
L4 = 2 ∗ 500I�1 ∗ 785!!�3 ∗ 1131!!� ∗ 1.0 = 231.4 I�1 → 0.9 ∗ !L = 0.9 ∗ 1.76 = 1.59 Et J-/;#.#3 ∶ 7.630.24 = 31.80 < 26 ∗ 1.59 = 41.34
• Vérification de la déflexion selon l’Eurocode 2 – 1 – 1 : 2004 : Design of concrete
structures – General rules and rules for buildings :
La clause 7.4. – Serviceability Limit State (SLS) – deflection control donne :
o Vérification simple sous charges quasi-permanentes (clause 7.4.1) :
�Jè=ℎ. !-5èJ. = 4!! < 7.63250 = 30.5!! 8é36L6é
o La clause 7.4.3 propose un calcul de la flèche réelle faisant intervenir le rayon de
courbure en sous face de la dalle, la résistance en traction du béton et son module
d’Young.
Cette étape n’est pas nécessaire si la clause 7.4.2 est vérifiée :
� = "4 23-=#3é4.=06-/ 5. 7é0-/ = 785!!²1000 ∗ 240 = 0.33% ≤ �0 = 0.001 ∗ SL=28 = 30I�1 = 0.55%
Le sens de l’inégalité impose en largeur et en longueur (As procuré est identique dans les deux
directions et fc28 sur cylindre = 30MPa) :
24
J-/;#.#3 0318é. Jé21644.#3 51JJ. 5 = H ∗ �11 + 1.5 ∗ SL=� = L=28 ∗ �0� + 3.2 ∗ SL=� ∗ N�0� − 1P<�� J 5 = 1.3 ∗ a11 + 1.5 ∗ √30I�1 ∗ 0.550.33 + 3.2 ∗ √30 ∗ N0.550.33 − 1P<�b = 1.3 ∗ 27.3 = 35.5
avec K = 1.3 pour une dalle portant sur deux sens avec un coté continu dont l/d normalisé = 26 (béton est peu sollicité (� # 0.5%)).
RemarqueRemarqueRemarqueRemarque : : : :
On retrouve un rapport l/d normalisé identique à celui du BS 8110 bien qu’il ne soit pas utilisé On retrouve un rapport l/d normalisé identique à celui du BS 8110 bien qu’il ne soit pas utilisé On retrouve un rapport l/d normalisé identique à celui du BS 8110 bien qu’il ne soit pas utilisé On retrouve un rapport l/d normalisé identique à celui du BS 8110 bien qu’il ne soit pas utilisé
directement dans le calcul.directement dans le calcul.directement dans le calcul.directement dans le calcul.
La formulation précédente correspond à une contrainte de traction de l’acier La formulation précédente correspond à une contrainte de traction de l’acier La formulation précédente correspond à une contrainte de traction de l’acier La formulation précédente correspond à une contrainte de traction de l’acier σs = 310MPa pour σs = 310MPa pour σs = 310MPa pour σs = 310MPa pour
fy = 500MPfy = 500MPfy = 500MPfy = 500MPa. On retrouve ainsi :a. On retrouve ainsi :a. On retrouve ainsi :a. On retrouve ainsi :
310500 = 0.62 # 2/3 ←→ L4 = ¢ ∗ Lh ∗ "43.K#64D ∗ "423-=#3é ∗ I181/0 3.5640367#06-/I123è4 3.5640367#06-/ �$i 8110�
Dans les deux normes la même hypothèse est faite au départ Dans les deux normes la même hypothèse est faite au départ Dans les deux normes la même hypothèse est faite au départ Dans les deux normes la même hypothèse est faite au départ et globalement les mêmes et globalement les mêmes et globalement les mêmes et globalement les mêmes
paramètres sont pris en considérationparamètres sont pris en considérationparamètres sont pris en considérationparamètres sont pris en considération ::::
£�����¤� ¢ ∶ ¥d �� d������ ¤� �é��� → ¦ ���éB�é ¤��d §� ��§��§ B§���§ ¨© F>>@ ∶ ¥d �� d������ ¤� �é��� → fd �� �� ∗ ¤¢ ���éB�éd ¤��d §� f������ ¤� C�¤�f�������
o Vérification de la déflection :
Pour le cas des dalles dont la longueur dépasse 7m, l/d = 35.5 est multiplié par :
7.0Jª««¬MUMª�=J1#4. 5.3.2.2� = 7.0J®U¯éª = 7.63 + 2 ∗ 12 ∗ J13;.#3 5. =-J-//. = 0.250 = 0.90
→ J3é.J53é.J = 7.630.24 = 31.80 < 35.5 ∗ 0.90 = 32.0
La largeur ne pose toujours aucun problème et l’Eurocode 2 accepte tout juste la flèche du La largeur ne pose toujours aucun problème et l’Eurocode 2 accepte tout juste la flèche du La largeur ne pose toujours aucun problème et l’Eurocode 2 accepte tout juste la flèche du La largeur ne pose toujours aucun problème et l’Eurocode 2 accepte tout juste la flèche du
panneau P34 en longueur avecpanneau P34 en longueur avecpanneau P34 en longueur avecpanneau P34 en longueur avec 785mm²/m de renforcement, ce qui est plus permissif que le BS 785mm²/m de renforcement, ce qui est plus permissif que le BS 785mm²/m de renforcement, ce qui est plus permissif que le BS 785mm²/m de renforcement, ce qui est plus permissif que le BS
8110.8110.8110.8110.
25
• Vérification de la flèche selon le BAEL 91 rèv. 99 :
o Principe : Le calcul est différent des méthodes précédentes. La flèche maximale est
calculée et comparée à une valeur limite. L’article A.4.6.1. utilise la résistance des
matériaux (courbure) et l’article B.6.5.2. des formules empiriques tirées de
l’expérience.
o Calcul de la flèche réelle :
LJè=ℎ. ./ J-/;#.#3 L = I�%&i� ∗ J²10 ∗ % ∗ °L
avec % = 11000 ∗ L=28�/< = 11000 ∗ 30�/< = 34100I�1 .0 I�%&i� = 0.045I� .0 J = 7.63!
°L = 1.1 ∗ °0�= 7 ∗ ℎ<12�1 + ± ∗ ²
avec ² = 0.05 ∗ L028�2 + 3 ∗ 707 � ∗ ��= "47 ∗ 5� = 0.05 ∗ 0.6 + 0.06 ∗ �L=28 = 30�
�2 + 3 ∗ 1.0� ∗ 7851000 ∗ 240 = 0.00013 ± = 1 − 1.75 ∗ L028
4 ∗ aG4 = I�%&i�\"4 b ∗ � + L028= 0.262
Donc
°L = 1.1 ∗ 1.0 ∗ 0.300</121 + 0.262 ∗ 0.00013 = 0.00247
LJè=ℎ. ./ J-/;#.#3 L = 0.045 ∗ 7.63²10 ∗ 34100 ∗ 0.00247 = 3.1!!
RemarqueRemarqueRemarqueRemarque : C: C: C: Ces formules empiriqueses formules empiriqueses formules empiriqueses formules empiriques donnent des valeurs très proches des valeursdonnent des valeurs très proches des valeursdonnent des valeurs très proches des valeursdonnent des valeurs très proches des valeurs logiciellogiciellogiciellogiciel....
o Calcul de la flèche limite :
2-#3 #/. 2-30é. 4#2é36.#3. à 5! ∶ LJ6!60. = 0.5=! + J = 7631000 = 12.7!! > L®éª��ª
2.4. Etanchéité de la dalle – Limitation de l’ouverture des fissures :
La dalle en couverture du réservoir coïncide avec le rez-de-chaussée accueillant du public où
l’environnement doit être de niveau 3 (surface béton et air sans humidité selon la documentation
CIRIA pour les constructions en environnement sévères). On veille donc à limiter l’ouverture des
fissures en sous face du béton qui dépend de :
26
• La distance entre le point d’ouverture et les armatures
• La distance entre le point d’ouverture et l’axe neutre
• La déformation au point d’ouverture
La norme de référence est le BS 8007 : 1987 Design of concrete structures for retaining aqueous
liquids, annexes A et B. L’annexe B s’intéresse aux fissures dans le béton sous l’effet de la
flexion. L’annexe A, qui détermine la largeur des fissures due à la variation de la température,
n’est pas prise en compte car le réservoir est protégé par le niveau sous-sol du bâtiment.
Pour le béton armé, l’ouverture de fissues est limité à 0.2mm en cas d’environnement sévère à
très sévère et à 0.1mm pour l’esthétique. On retient la seconde valeur.
Pour la flexion simple, en largeur et en longueur de panneau,
-#8.30#3. 5.4 L644#3.4 ´ = 3 ∗ "=3 ∗ %!1 + 2 ∗ �"=3 − µ!6/ℎ − * �
Avec
w ≤ 0.1mm,
Cmin (couverture minimale des armatures en environnement sévère) = CO = 40mm,
h (hauteur totale de la section) = 300mm (cas le plus contraignant pour le panneau P34),
x (position axe neutre) = 27mm.
Acr est la distance du point de calcul à la surface d’une barre de renforcement. Le cas le
plus pénalisant avec Acr max est la configuration suivante (Figure 12) :
On a disposé 10 HA10 avec s = 100mm pour le panneau P34, soit As = 785mm²/m en largeur et
en longueur. "=3 = 0.5 ∗ 4cos ,0;p� � µ¹0.5 ∗ 4�: = 64!!
Em = e1 – e2 avec e1 la déformation en sous face de dalle, calculée sur un modèle
élastique, et e2 la déformation permettant de prendre en compte l’effet résistant du béton
entre les fissures.
L’annexe B donne : .2 = 70 ∗ �ℎ − *� ∗ �1� − *�3 ∗ %4 ∗ "4 ∗ �5 − *�
27
Avec bt = 1.0m, a’ (distance entre la zone de béton comprimée et la sous face de dalle) # z (bras
de levier des efforts intérieurs) – CO = 228 – 40 = 188mm, Es = 200000MPa (BS 8110-2, cl.3.6).
.2 = 1000 ∗ �300 − 27� ∗ �188 − 27�3 ∗ 200000 ∗ 785 ∗ �270 − 27� = 0.000438
Le BS 8110-2: 1997 Structural Use of concrete: Code of Practice for special circumstances, clause
3.6 donne :
Figure 13 : Diagramme des contraintes internes utilisant l’équivalence acier / béton
.4 = L4%4 1# /68.1# 5.4 13!10#3.4 0./5#.4 4-60 à �5 − *�
→ ./ 4-#4 L1=. 4-60 à �ℎ − *� ∶ .1 = �ℎ − *� ∗ L4%45 − * 18.= J. 561;31!!. éJ1406K#. J6/é163.
Avec Fs, la contrainte dans les barres d’armatures :
L4 = I�%&i�\ = ��%&i�"4 = 70000 ./ J-/;.#3 5. �340.228785 = 391I�1
.1 = �300 − 27� ∗ 391200000240 − 27 = 0.002506 → .! = .1 − .2 = 0.00207
Donc, ´ = 3 ∗ "=3 ∗ .!1 + 2 ∗ �"=3 − µ!6/ℎ − * � = 3 ∗ 64 ∗ 0.00207
1 + 2 ∗ � 64 − 40300 − 27� = 0.34!! > 0.1!!
Les armatures tendues ne sont donc pas assez importantes dans la longueur de P34 pour
satisfaire la condition de non ouverture des fissures :
Avec 10 HA20 tous les 100mm, soit 3142mm²/m :
L4 = 97I�1 → .! = .1 − .2 = 0.000622 − 0.000109 = 0.000513 ´ = 0.08 < 0.1!! 8é36L6é
28
Les valeurs sont les mêmes en longueur et en largeur du panneau P34 (valeur de moments
sollicitant quasi identiques).
• Etanchéité de la dalle - Limitation de l’ouverture des fissures aux Eurocodes 2- Design of
concrete structures Part 1 – General rules and rules for buildings :
• Principe de la clause 7.3 – Crack control :
o Clause 7.3.1 � ouverture de fissure wmax = 0.3mm sous charge quasi-permanente et
classe de sévérité supérieures à X0 et X1. Pour obtenir l’étanchéité de la dalle en sous
face on conserve w = 0.1mm.
o Dans le cas où la section minimale d’armatures a été procurée selon la clause 7.3.2, la
clause 7.3.3 permet d’obtenir une largeur de fissures voulue en jouant sur le diamètre
des barres ou leur espacement maximum. Ici on choisit de s’astreindre au calcul
direct de l’ouverture des fissures par la clause 7.3.4.
• Calcul de l’ouverture des fissures en sous face du panneau P34, le plus sollicité :
´� = 43, !1* ∗ �.4! − .=!�
Avec la différence entre la déformation du béton en sous face et sa capacité résistante entre les
fissures :
.4! − .=! = G4 − �0 ∗ L=0, .LL�2, .LL ∗ �1 + o. ∗ �2, .LL�%4 ≥ 0.6 ∗ G4%4
avec
G4 = I�%&i�\ = ��%&i�"4 = 70000 ./ J-/;.#3 5. �340.228785 = 391I�1 �0 = 0.4 �=ℎ13;. 5. J-/;#. 5#3é.� .0 L=0, .LL = L=0! = 2.9I�1 o. = %4 = 210º�1%=! = 33º�1 2-#3 LM��M»�¬¼½®ª = 30I�1
�2, .LL = �"423-=#3é + ℵ² ∗ "�2�"=, .LL avec "423-=#3é = 785!!² .0 "�2 �4.=06-/ 5. 0-3-/4� = 0 "=, .LL �4.=06-/ .LL6=1=. 5. 7é0-/ 0./5#� = min N2.5 ∗ �ℎ − 5�; ℎ2 ; ℎ − *3 P ∗ �7 = 1.0!� − "4 "=, .LL = 135715!!²
Donc
29
.4! − .=! = 391I�1 − 0.4 ∗ 2.9I�1785/135715 ∗ �1 + 21033 ∗ 785135715�210000I�1
.4! − .=! = 0.00186 > 0.6 ∗ 391210000 = 0.00112 8é36L6é
o Avec l’ouverture maximale de fissures (ki = coefficients donnés par la norme)
43, !1* = min ��3 ∗ =-8.3 + �1 ∗ �2 ∗ �4 ∗ ∅ �2, .LL À ; 1.3 ∗ �ℎ − *�1. /. ��� 43, !1* = min �3.4�1//.*. /106-/1J.� ∗ 0.040! + 0.8�7é0-/ 13!é� ∗ 0.5 �LJ.*6-/ 46!2J.�∗ 0.425�1//.*. /106-/1J.� ∗ 0.010!785135715 ; 1.3 ∗ �300 − 27��
43, !1* = min �430!! ; 355!!)
o Donc ouverture de fissure :
´� = 43, !1* ∗ �.4! − .=!� = 355 ∗ 0.00186 = 0.66!! > ´é01/=ℎé60é = 0.1!!
Pour As = 3142mm²/m (10 HA20 tous les 10cm) :
G4 = 98I�1 .0 "=, .LL = 133358!!² → .4! − .=! = 0.00047 .0 43, !1* = min �280 ; 355� → ´� = 280!! ∗ 0.00047 = 0.136 > 0.1mm
RemarRemarRemarRemarquequequeque ::::
L’Eurocode 2 impose des valeurs d’armatures plus importantes que le BS 8110. Si la formulation L’Eurocode 2 impose des valeurs d’armatures plus importantes que le BS 8110. Si la formulation L’Eurocode 2 impose des valeurs d’armatures plus importantes que le BS 8110. Si la formulation L’Eurocode 2 impose des valeurs d’armatures plus importantes que le BS 8110. Si la formulation
n’est pas la même on retrouve des paramètres identiques dont la modélisation physique de la n’est pas la même on retrouve des paramètres identiques dont la modélisation physique de la n’est pas la même on retrouve des paramètres identiques dont la modélisation physique de la n’est pas la même on retrouve des paramètres identiques dont la modélisation physique de la
déformation du béton (esmdéformation du béton (esmdéformation du béton (esmdéformation du béton (esm–––– ecm ecm ecm ecm ���� e1e1e1e1----e2). e2). e2). e2).
La formulation initiLa formulation initiLa formulation initiLa formulation initiale de l’Eurocode 2, «ale de l’Eurocode 2, «ale de l’Eurocode 2, «ale de l’Eurocode 2, « très physiquetrès physiquetrès physiquetrès physique », Wk = sr,max*(esm», Wk = sr,max*(esm», Wk = sr,max*(esm», Wk = sr,max*(esm----ecm) implique ecm) implique ecm) implique ecm) implique
ensuite des calculs plus lourds. A l’inverse le BS 8110 prend le partie d’injecter des paramètres ensuite des calculs plus lourds. A l’inverse le BS 8110 prend le partie d’injecter des paramètres ensuite des calculs plus lourds. A l’inverse le BS 8110 prend le partie d’injecter des paramètres ensuite des calculs plus lourds. A l’inverse le BS 8110 prend le partie d’injecter des paramètres
physiques simples (em, Cmin, Acr,…) dans sa formule initiale.physiques simples (em, Cmin, Acr,…) dans sa formule initiale.physiques simples (em, Cmin, Acr,…) dans sa formule initiale.physiques simples (em, Cmin, Acr,…) dans sa formule initiale.
• Etanchéité de la dalle - Limitation de l’ouverture des fissures aux BAEL :
• Principe de la clause A.4.5.2 :
o Dans le cas de fissuration très préjudiciable on limite la contrainte dans l’acier à σslim :
G4J6! = o ∗ QÁ�=-.LL. 5�15ℎé3./=. = 1.6 2-#3 �"� ∗ L028∅1=6.3 Avec
o = Q6 ∗ %4 ∗ ´�J13;.#3 5. L644#3. = G4� ∗ ∅1=6.36 ∗ %4 ∗ Á ∗ �L028 = 2.9I�1��
30
Pour As = 1539mm²/m (10 HA14 / m) :
G4 = I�%&i�\ = ��%&i�"4 = 70000 ./ J-/;.#3 5. �340.2281539 = 199I�1 ´ = 0.099!! → o = 346 → G4J6! = 200I�1 > G4
RemarqueRemarqueRemarqueRemarque :::: la notion de fissuration non, peu ou très préjudiciable à laquelle se sont uniquement la notion de fissuration non, peu ou très préjudiciable à laquelle se sont uniquement la notion de fissuration non, peu ou très préjudiciable à laquelle se sont uniquement la notion de fissuration non, peu ou très préjudiciable à laquelle se sont uniquement
intéressés les concepteurs du BAEL est un atout indéniable. Le fascicule 74 du CCTG traite intéressés les concepteurs du BAEL est un atout indéniable. Le fascicule 74 du CCTG traite intéressés les concepteurs du BAEL est un atout indéniable. Le fascicule 74 du CCTG traite intéressés les concepteurs du BAEL est un atout indéniable. Le fascicule 74 du CCTG traite
particuparticuparticuparticulièrement des ELS d’étanchéité et de durabilité.lièrement des ELS d’étanchéité et de durabilité.lièrement des ELS d’étanchéité et de durabilité.lièrement des ELS d’étanchéité et de durabilité.
31
3. Conclusion
Les deux études précédentes ont montré que la philosophie des codes de dimensionnement en
béton armé diffère selon les normes et influence les étapes de la réflexion du concepteur. Pour
chaque cas pratique, les résultats sont néanmoins tout à fait comparables. Sans s’appesantir sur
la comparaison point par point des calculs, et ce qui n’aurait pas de sens car l’étude ne peut être
exhaustive, cet annexe remplit un double objectif.
Tout d’abord, les dimensionnements, menés selon le BS 8110-1 :1997 en entreprise, ont
introduit une quantité d’informations substantielles, dans une autre langue, avec de nouvelles
notations. La révision des calculs tout au long de cette annexe, et la comparaison avec les
connaissances acquises à l’INSA, ont permis de mieux en comprendre les tenants et les
aboutissants. Si le BS 8110-1 :1997 et le BAEL 91 rév. 99 sont désormais obsolètes, ils restent
des recueils de règles de l’art indispensables pour comprendre et s’approprier les nouveaux
textes du Comité Européen de Normalisation (CEN). Le travail de collecte des informations,
effectué pour construire l’Eurocode 2, est important, comme le montre le chapitre 2 du rapport.
Pour les concepts qui reposent sur des lois de comportement et de résistance des matériaux
complexes :
- Le BAEL se fonde sur les développements scientifiques détaillés de la RdM. Il envisage
l’étude béton armé dans sa globalité, à chaque étape de la conception. Les ELU et ELS sont ainsi
intiment liés et le diagramme des 3 pivots est transversal aux calculs de section d’armatures.
L’approche française part d’un principe général qui intègre ensuite, et plus ou moins
explicitement, les paramètres de calcul qui dimensionnent l’élément structurel considéré. Il s’agit
d’un raisonnement déductif.
- L’approche britannique est tout autre. Les coefficients utilisés dans les calculs conservent le
plus souvent une signification physique directe (par exemple axe neutre, bras de levier des
efforts intérieurs aux ELU, enrobage aux ELS). Un tel raisonnement inductif privilégie l’objectif du
calcul. La détermination des aciers au tranchant et des aciers comprimées du chapitre 1 est
révélatrice.
Dans cette optique l’Eurocode introduit une grande quantité de paramètres, nouveaux ou non. S’il
s’affranchit des concepts physiques établis dans le BAEL et que les formulations s’apparentent
d’avantage à celles du BS 8110, il existe une différence majeure. Les Eurocodes s’appuient sur
des campagnes d’essais à grande échelle. Cette approche expérimentale n’est pas exhaustive
mais réussit à prendre au mieux en compte les phénomènes réels (mauvais état de surface,...).
32
ii. ANNEXE 2 : Coefficient de trainée cf
Total wind force coefficient Cf – derivation to match the Static Equivalent Method:
The equation verifying the Static Equivalent Method (see Annex 3 of this calc) estimates the inertia of the global spire. Cf used in it must rely on the part of the spire
influencing the structural division considered. Cf is derived from the base of red division to the tip of spire for red division, from the base of brown division to the tip of spire
for brown division and so on.
Cf derived from:
�� = ��,� + ��,� (Equivalent to a drag coefficient)
��,� = � ∗ ��,�,� ∗ � ∑ ��
• Cf,s,0 = Cf,s without end effects
• As = Structural area composed of flat sided + circular members: As = Af (flat sided) + Ac(cylinders)
• ΣA = As + area of secondary elements (Aa)
• Kθ= wind incidence factor
��,� = �� ∗ ��,�,� ∗ �� ∑ �� ∗ sin (�)²
• KA =shielding factor (structural members covering secondary steel elements)
• Cf,a,0 = drag pressure coefficient for circular section (dependant on Reynolds number)
• ψ = Angle between wind incidence and the longitudinal axis of linear ancillaries members
Total wind force coefficient Cf:
Θ (°) 0 30 -30 -60
Cf 1,551 1,534 1,613 1,502
→ Structural frame wind force coefficient Cf,s
Θ (°) 0 30 -30 -60
Cf,s 1,325 1,344 1,344 1,396
→ Ancillaries frame wind force coefficient Cf,a
Θ (°) 0 30 -30 -60
Cf,a 0,226 0,190 0,269 0,106
→ Plan angle of wind incidence to the normal of the face considered
θ (°) 0 30 -30 -60
→ Solidity factor = Ratio "solid face / overall envelope area"
δ= 0,712
→ Af (m²) 55,4 Aa 17,3 A envelope 102,2
Ac cylinders 0 Ac super critical cylinders 0
Above Final results are obtained from the following inputs:
Following example details Cf from bottom of red division to the tip of the spire, derivation for red division.
= wind force coefficient for secondary elements
= wind force coefficient for structural elements
→ Loaded area = Total solid area.
→ Envelope area is the inner boundary drawn
by structural members
All area of the table are projected normal to
the face considered (i.e. θ = 0°)
� = ������ ����(= � + �� + ��)�!"�#�$� ����
Code used: EN 1993-3-1 Annex B
→ Area for ancillary are projected normal to the wind direction
Θ (°) 0 30 -30 -60
Aa (m²) 17,3 14,5 20,5 8,1
→ Angle between wind incidence and the longitudinal axis of linear ancillary members
Ψ= 86,4 degrees
δ leads to → Reference area (= loaded area) projected normal to the face
Θ (°) 0 30 -30 -60
Aref (m²) 72,7 72,7 72,7 72,7
As leads to → K1 0,550
δ leads to → K2 0,289 0,400680272 0,400680272
→
Θ (°) 0 30 -30 -60
Wind incidence factor Kθ 1,000 1,015 1,015 1,054
δ leads to → Cf,0,f 1,738
(force coefficient for flat sided steel members)
Above inputs lead to the following intermediary outputs:
� = 1 + �1 ∗ �2 ∗ � ∗ sin(2')(
Kθ definition is for square cross sections
��� = ) � = *� = � + ��+ + ��
Wind incidence is horizontal. Secondary
members are approximately vertical
Ψ is constant along the top spire
K2 = a constant dependant on δ (EN 1993-
3-1 Annex B2.2.1.)
�, = 0.55 ∗ � � + 0.8 ∗ (�� + �� , ��121��#)
�
δ leads to → Cf,0,c 1,431
(force coefficient for circular steel members)
δ leads to → Cf,0,c,sup 1,377
(force coefficient for circular steel members under supercritical regime)
→ Cf,s,0 1,738
(force coefficient without end effect)
Θ (°) 0 30 -30 -60
→ Cf,a,0 1,2 1,2 1,2 1,2
(drag pressure coefficient for ice-free, circular sections with
Re (EN 1991-1-4 – E.1.3.4) =
1,30E+05 for 0°
1,30E+05 for 30°
1,10E+05 for -30°
1,10E+05 for -60° )
��,�,�
≈ ��,�,�(�) ∗ ���� + ��,�,4(�) ∗ ��
�� +��,�,4,�56(�) ∗ ��, 7$��
8� = ��� ��21�! 91�2ℎ ∗ ;<=>?@AB = "1 �� 12C
Vvortex = wind velocity creating vortexes
perpendicular to the wind direction
More details in EN 1991-1-4 Annex E.1.3.4 and
annex 5 of this calculation
Derivation for Cf,0,f - Cf,0,c - Cf,0,c, critical
can be found in EN 1993-3-1 Annex B.2.2.2 .
Assumption for a square cross section has been
made
They enable to define the following Cf,s,0
(equivalent to Cf but without end effects)
Cf,a,0 can be found in Table B.2.1 En 1993-3-1
Assumption = secondary elements of circular
sections
Cf,a,0 depends on Reynolds number :
Final Results for Cf:
Cf
Angle for the direction of wind
0° 30° -30° -60°
Base of spire 1.86 1.89 1.92 1.92
Top part
of spire
From Red
division 1.55 1.35 1.61 1.50
From Brown
division 1.62 1.58 1.66 1.61
From Orange
division 1.62 1.57 1.64 1.56
From Yellow
division 1.76 1.73 1.76 1.72
From Pink
division 1.95 1.97 1.96 2.02
38
iii. ANNEXE 3 : Méthode statique équivalente
Equivalent static method:
If the following equation is less than 1, “Eurocode EN 1993-3-1 – Annex B.3 – response of lattice tower” enables for the application of a static method to
determine the force imposed by mean and gust wind on the structure.
�1� 7 � �� � ��,� � ������,� � ��� � ��
� �56 � ��� �
�� 1
• H = total height from the bottom of structural part considered to the tip of the structure
• Db = total depth taken at the centroid of H. The spire is then modelised as a tapered rectangular tower.
• τ0 = constant taken as 0.001m
• ρs = steel density
• Cf,t * Atotal,t is the sum of the panel wind forces : Eurocode takes it just less than Cf*Atotal / 3, which is derived from the tip of the spire.
o Cf,t is equivalent to a drag coefficient (see Annex 1 of this calc)
o Atotal,t is the wind loaded area (also called A reference) from the tip of the structure
• Ht = height making Cf,t*Atotal,t. Ht is counted from the tip of the spire
• Mt = total mass over Ht.
Θ (°) 0 30 -30 -60
Applicable ? yes yes yes yes
Equation [1] 0.57 0.57 0.45 0.44
Steel density 7850 kg/m3
Volume/Resistance constant τ0 0,001 m
Total height H 50,2 m
Θ (°) 0 30 -30 -60
Depth Db at centroid (m) 2,5 2,5 4,0 4,0
Height hT making Cf,t 16,7m
Self weight Mt (over Ht) 82 kN
Total mass of steel mT making up Cf,t ~ 4100 kg
Above results obtained from the following inputs:
Code used: EN 1993-3-1 – B.3.1
Depth taken at centroid of structural part considered
Derivation of [1] for the bottom red division of top spire
Above inputs lead to the following intermediary outputs:
Ht needs to be less than 1/3 * H. Here 1/3 *50,5 = 16,8m.
Several iterations needed to determine Ht making
Cf,t*Aref ,t just less than Cf*Aref/3
Mass = Mt/2. Only members facing the wind (in the
forefront) are taken into account
Self weight has been chosen to satisfy equation [1]. Top
spire last 16 meters are built from 400*400*10mm
hollow boxes.
Considering static wind loading of 470 kN from current
Robot model, max deflection limited to span / 350 =
200mm. Cantilever limited to span /180.
→ Design limiting value Cf*A(reference)/3, from results in Annex 1. It is derived for the whole structure standing above the base of the structural division considered.
From Red
division
From Brown
division
For Orange
division
For Yellow
division
For Pink
division
For base of
spire
Aref (m²) 72.7 47.4 35.2 22.8 10.1 47.5
Cf*Aref/3
Angle for the direction of wind
0° 30° -30° -60°
Base of spire 74.0 75.8 76.9 76.7
Top part
of spire
From Red
division 37.6 37.3 39.1 36.3
From Brown
division 25.3 25.0 26.2 25.4
From Orange
division 19.0 18.3 19.2 18.3
From Yellow
division 13.4 13.2 13.4 13.1
From Pink
division 6.6 6.7 6.6 6.8
� !" # $�" % �� % �&
For the structure standing above the base of
the structural division considered
Aref is projected perpendicular to the face
considered
Cf given on p.05 Annex 01
→ Design value Cf,t*A(reference),t = input in equation [ 1]. It is derived from Cf,t obtained as in Annex 1:
For Red
division
For Brown
division
For Orange
division
For Yellow
division
For Pink
division
For base of
spire
H (m) from the
divisions’ base 50.2 40 30 20 10 72
Ht (m) from the
spire’s tip 16.7 12.5 9.2 6.6 3.3 24.0
From Red
division
From Brown
division
For Orange
division
For Yellow
division
For Pink
division
For base of
spire
Aref,t (m²) from
the spire’s tip 18.6 13.3 9.1 6.52 3.2 26.5
Cf,t
Angle for the direction of wind
0° 30° -30° -60°
Base of spire 1.65 1.63 1.65 1.62
Top part
of spire
For Red
division 1.79 1.77 1.80 1.77
For Brown
division 1.87 1.85 1.87 1.88
For Orange
division 1.93 1.95 1.95 2.00
For Yellow
division 1.93 1.95 1.95 2.00
For Pink
division 1.93 1.95 1.95 2.00
Aref,t varies with Ht → A Ht value is found
that makes Cf,t*Aref,t ~ Cf*Aref/3
Cf,t derived as in annex 1 taking Aref,t and
all other parameters for the division over Ht
only
Cf,t*Aref,t
Angle for the direction of wind
0° 30° -30° -60°
Base of spire 43.9 43.2 43.9 43.1
Top part
of spire
For Red
division 33.3 32.8 33.3 32.8
For Brown
division 24.8 24.7 24.9 25.0
For Orange
division 17.5 17.7 17.7 18.1
For Yellow
division 12.6 12.7 12.7 13.1
For Pink
division 6.1 6.2 6.2 6.3
Cf,t*Aref,t just less than Cf*Aref joinly with
Ht less than H/3
[1] can be worked out.
Results:
[1]
Angle for the direction of the wind
0° 30° -30° -60°
Base of the spire 0.93 0.95 0.71 0.72
Top part
of the
spire
Red
division 0.55 0.56 0.44 0.44
Brown
division 0.62 0.62 0.49 0.49
Orange
division 0.76 0.75 0.62 0.60
Yellow
division 0.81 0.80 0.68 0.66
Pink
division 0.99 0.98 0.87 0.85
• The base of the spire will be proved to be static (maximum slenderness ~2). The equivalent static method is yet applicable.
• The top part of the spire has just enough weight to verify [1] (from half yellow to pink divisions)
• The influence of self weight is sensible enough to make [1] less than 1 by reducing Mt only.
45
iv. ANNEXE 4 : Détermination du vent moyen Fm,w(z)
Mean wind load Fm,w(z):
When equation [1] is verified (see Annex 3 of this calc), the force produced by mean wind on each structural division considered is derived from:
��,���� ����
1 � 7 � ������ ����� � ����� �����
• qp(z) : wind pressure. Only parameter dependant on the altitude z
• Iv(ze) : intensity of turbulence around the spire.
• Cf : wind force or drag coefficient. Cf now derived for each division of the spire (red to pink and grey base)
• Aref : total loaded area = structural and secondary members facing the wind for each division of the spire (red to pink and grey base)
Deriving Fm,w(z) for the bottom red division of the top spire:
Final output
Θ (°) 0 30 -30 -60
Fm,w(z) (kN) 22.8 23.1 24.6 21.0
Θ (°) 0 30 -30 -60
→ Fm,w(z) (kN/m) 0.8 0.8 0.9 0.8
50 years return period SLS wind at 10m height Vb,0 25 m/s
Reference height Ze 182.2 m
Total length of structural members – 4nos legs 42 m
Density of air ρair (kg/m3) 1.226
Roughness terrain category 4
→ Roughness length z0 1m
Wind coefficients
C directional = 1 C season = 1 C orography = 1 C roughness (at Ze) = 1,22
Inputs
Fm,w(z)[kN] is divided by the total length
of structural members loaded by the wind
(in the forefront). 3nos legs loaded for
directions 0 / 30 /-60° and 2nos for -30°
Vb,0 = Definition is given by EN 1991-1-4 –
4.2 (2). Vb,0 is a 10 min mean wind speed
and should be derived from a hourly mean
wind speed + an additional 7%
(EN 1991-1-4 – Table 4.1)
Codes used:
EN 1993-3-1 Annex B.3
EN 1991-1-4 chapters 3 to 7
Ze = maximum height above ground for
the structural part considered
Wind coefficients are constant and
conservative if taken as 1.0
Only C roughness (terrain roughness)
decreases with the altitude z
Definitions given in EN 1991-1-4 – Table
4.2 and 4.3.1
Z0 appears in Iv(z), the effects of turbulence
Vb,0 leads to → basic wind velocity Vb 25 m/s
Vb leads to → mean wind velocity Vmean (at Ze) 30.5 m/s
→ wind turbulence Iv(z) (at Ze) 0.192
→ peak velocity pressure qp(z) (at Ze) 1.336 kPa
z (m) 181,2 180,2 179,2 178,2 177,2 176,2 175,2 174,2 173,2 172,2
C roughness (z) 1,22 1,22 1,22 1,21 1,21 1,21 1,21 1,21 1,21 1,21
Vmean (z) (m/s) 30.46 30.43 30.40 30.36 30.33 30.30 30.26 30.23 30.20 30.16
z (m) 181,2 180,2 179,2 178,2 177,2 176,2 175,2 174,2 173,2 172,2
Iv(z) 0,192 0,193 0,193 0,193 0,193 0,193 0,194 0,194 0,194 0,194
z (m) 181,2 180,2 179,2 178,2 177,2 176,2 175,2 174,2 173,2 172,2
qp(z) (kPa) 1.334 1.332 1.330 1.328 1.326 1.324 1.322 1.320 1.318 1.316
Intermediary outputs
Not to apply qp = qp max (at Ze) all over the structural part considered, each intermediary output is worked out at several heights:
� � �1 � 7 � ������ � 12 � ρair � V!"#$²
EN 1991-1-4 – 4.5 gives:
Fm,w(z) is finally derived by summing all values for qp(z).
All values of qp(z) are factored by the same coefficient Cf*Aref (see next page), with Aref divided by the number of intervals used for the calculation of qp.
I&�z� � 1 log �z z,- �.
/0 � � 1234562789: � � ;49;78 � /0,,
/��<= � � 737>39�?@ � � 37A>?84;; � /0
Areas projected perpendicular to one face of the
cross section (= wind angle 0°)
Structural
area
Af (m²)
Secondary
elements
Aa (m²)
Envelope
area Porosity
Base of spire 34.5 13.0 182.7 0.74
Top
part of
spire
Red division 15.9 9.4 32.3 0.22
Brown
division 9.9 2.3 25.9 0.53
Orange
division 9.9 2.5 19.9 0.38
Yellow
division 9.9 2.7 13.9 0.09
Pink division 9.9 0.3 10.2 0.000
Cf Angle for the direction of wind
0° 30° -30° -60°
Base of spire 1.97 2.00 1.99 2.06
Top part
of spire
Red division 1.45 1.47 1.56 1.33
Brown
division 1.83 1.84 1.91 1.91
Orange
division 1.62 1.55 1.69 1.59
Yellow
division 1.64 1.58 1.63 1.52
Pink division 1.95 1.96 1.97 2.01
Geometry for Cf and Aref derivation : Cf derived for the division considered only:
With : �34B � �B � �9
• Yellow and Pink division mainly cladded → Fm,w increases
• High value Aa (secondary elements) for red division make Fm,w higher
Results :
Fm,w(z)
[kN]
Angle for the wind direction (°)
0° 30° -30° -60°
Base of the spire 53.5 54.4 54.3 56.1
Top spire
Red division 22.8 23.1 24.6 21.0
Brown
division 14.2 14.3 14.9 14.8
Orange
division 13.1 12.4 13.6 12.8
Yellow
division 13.7 13.2 13.6 12.7
Pink division 13.3 13.3 13.4 13.7
Total for top
spire 77.1 76.3 80.1 75.0
51
v. ANNEXE 5 : Détermination du vent en rafale Ft,w(z)
Gust wind load Ft,w(z):
Eurocode EN 1993-3-1 derives the force produced by gust wind from the mean wind Fm,w(z) (see Annex 4 of this calc).
��,���� � �,���� �1 ��1 0.2 ��� �²� �1 7 ������� �� � ! 1�"��� #$
Dynamic coefficient applied to Fm,w(z) derived from:
• Iv(z) = intensity of turbulences. Iv derived at Ze, maximum height above the spire
• Co(z) = orography wind coefficient (introduced in Annex 3 of this calc)
• Cs*Cd = dynamic response factor
o Cs : scale factor
o Cd: dynamic factor
• H= total height of the structural division considered (red to pink + grey base)
• Zm = height where the load effect is considered over the structure
Deriving Ft,w(z) for the bottom red part of the top spire. Final output is:
Θ (°) 0 30 -30 -60
Ft,w(z) (kN) 55.7 56.3 63.0 54.7
θ 0 30 -30 -60
→ Ft,w(z) (kN/m) 1.9 1.9 3.1 1.8
Height of structural part h (m) 10.2
Θ (°) 0 30 -30 -60
Width of structure b (m) 5,24 5,24 3.26 3,26
Θ (°) 0 30 -30 -60
Flexural frequency 1st mode n1 0.63 0.63 0.74 0.74
Damping
Structural δs 0,02 Special device (mass damping,…) 0
First hand inputs:
→ Ft,w(z)[kN] is divided by the length of structural
members facing the wind
(Taken as long diagonal) (Taken as short diagonal)
(Flexure about the long diagonal) (Flexure about the short diagonal)
→ n1 � ω1 2π( � )k/m 2π- (w1 = pulsation / k =
stiffness / m = mass). Hand calc gives 0.99 & 1.72 Hz for
top spire. Robot moderate these values by taking into
account the excitation due to the base � less stiffness
� period increases and n1 decreases
Codes used:
EN 1993-3-1 Annex B
EN 1991-1-4 Annex B and F
→ h = height of the structural division considered:
here red division
→ b = width taken at the centroid of structural part
considered. Estimation made for each division
→ Structural damping and special devices damping
are introduced in EN 1991-1-4 Annex F and in EN
1993-3-2
δs = 0.02 for steel structures
Mass damping,… not provided but useful in case of
high fatigue effects → makes Ft,w decrease
Θ (°) 0 30 -30 -60
δ total damping 0.386 0.390 0.235 0.203
Geometrical outputs
Θ (°) 0 30 -30 -60
Aerodynamic damping δa 0.366 0.370 0.215 0.183
h leads to → Zm (m) 5.10
h leads to → Zs (m) 156,1 → Vmean wind(Zs) 29.59 m/s
Zs leads to → Iv(Zs) 0,198
Zs leads to → L(Zs) 251,0
L(Zs) leads to → Θ (°) 0 30 -30 -60
B² 0,866 0,866 0,875 0,875
Vmean wind(zs) & L(z) → Θ (°) 0 30 -30 -60
Fl(Zs ; n1) 5,429 5,429 6,193 6,193
Fl(Zs ; n1) → Θ (°) 0 30 -30 -60
Sl(Zs ; n1) 0,045 0,045 0,041 0,041
Deriving Rh & Rb
Θ (°) 0 30 -30 -60
Fl(Zs ; n1) & L(Zs) → ηh 1.015 1.015 1.158 1.158
. δ1234567189: � δ1 �
Cf�Annex1� b �0.5 V8217 C975�z� ρ193� 1n1mass
Mass = 590 kg/m (red division) to 122 (pink division)
. δH4H1I � δJ δ81JJ damping δ1234567189:
→ Zs = 0.6*total height of structural part considered.
Assumption = add the height of samba tower (150m)
L�z� � 300 �z 200( �".QRS"."TI7 �UV� → Turbulent length – EN 91 -1-4 Table 4.1 - Annex B.1
→Iv(z) = Turbulent intensity (see Annex 3 of this calc)
B² � 1X1 0.9 Z�b h� L�zJ�- \
".Q]^
→ Under resonant frequency response coefficient:
→ Fl, Sl, ηh, ηb derive the structure capacity to
vibrate in its resonant mode (see Annex B.2 EN 1991-
1-4)
→ Zm = height where the wind load is applied. Taken
as half the height of structural part considered
Deriving B² and R² for Cs*Cd
Fl (Zs ; n1) = non dimensional frequency f_�Zs, n1� � n1. L�Zs� v8217 C975�Zs�-
Fl(Zs ; n1) & L(Zs) → Θ (°) 0 30 -30 -60
ηb 0.521 0.521 0.370 0.370
ηh → Θ (°) 0 30 -30 -60
Rh(ηh) 0.564 0.564 0.528 0.528
ηb → Θ (°) 0 30 -30 -60
Rb(ηb) 0.727 0.727 0.793 0.793
→ Θ (°) 0 30 -30 -60
R² 0.234 0.231 0.360 0.416
Deriving Cs*Cd
B² and R² lead to → Θ (°) 0 30 -30 -60
μ (Hz) 0.295 0.294 0.394 0.414
μ leads to → Θ (°) 0 30 -30 -60
kp 3.40 3.40 3.49 3.50
B², R², Iv(Zs) and kp lead to → Θ (°) 0 30 -30 -60
Cs*Cd 1.01 1.01 1.06 1.08
With R about than B/3, resonant response is important. and will imply Cs*Cd (dynamic factor) >1 b² � c² 2d( ef���, gh� bi�ji� bk�jk� → Resonant response (most of the time not
significant compared to B²)
→ µ : Range of effective frequency for
resonance ~ fundamental frequency (1st
mode of
vibration): l � gh mb² n² b²(
op � )2 log �l 600� 0.577 )2 log �l 600�-
→ Kp: peak factor comparing the variation of the
dynamic response to its mean value
�� � � t1 2 op ������ )n² b²u�1 7 �������
→ Cs*Cd = dynamic factor :
ev�wx, g1� � 6.8 zf�wx, g1� �1 10.2 zf�wx, g1��T/]- Sl (Zs ; n1) = Spectral density function
jk {| i � 4.6 �~ �� �� �����- zf��� , gh� ηb and ηh = coefficients for Rb and Rh :
b�k �� i� �
1 j�k {| i�( ! 1 2j�k {| i�²- �1 ! ������ �� ��� Rb and Rh = aerodynamic admittance function
Results:
Ft,w(z)
[kN]
Angle for the direction of wind (°)
0° 30° -30° -60°
Base of the spire
(grey) 114.8 116.4 121.2 125.2
Top part
of the
spire
Red
division 55.7 56.3 63.0 54.7
Brown
division 34.5 34.5 37.8 37.7
Orange
division 32.9 31.5 36.0 34.2
Yellow
division 33.0 31.9 34.2 32.2
Pink
division 31.9 32.0 32.9 33.5
Total for
top spire 188.0 186.2 204.0 192.3
• Same progression as Fm,w when z increases
• Dynamic response (R² & Cs*Cd) more important for the -30° and -60°
winds because frequencies are slightly higher → Ft,w increases with
ratio R² / B²
57
vi. ANNEXE 6 : Excitation de vortex Fw(z)
Vortex shedding:
Eurocode EN 1991-1-4 Annex E considers vortex shedding to be important if:
��������� > 1.25 ∗ ����� ����
• V critical = wind velocity giving rise to vortex
• Vmean wind = mean wind velocity at z where vortex exist
o Eurocode assumes sinusoidal excitations by vortex
o 1st
vibration mode only
o Eurocode assumes vortex shedding along an excitation length (L1): Mean wind applied along L1 only
• Take L1 to make the effective correlation length factor Kw less than 0.6 � L1 = 4m
• Vortex shedding to be derived along L1 ~ ½ pink division of top spire
Eurocode EN 1991-1-4 Annex E.1.4 gives an inertia force Fw(z) [kN/m] to take into account vortex shedding
����� = � ∗ ��� = 2� ∗ ���² ∗ ����� ∗ � �ℎ� = ��"�
• M = mass per unit length, for the structural part under vibration (~ 122 kg/m over L1)
• N1 = fundamental flexural frequency over L1. Vibrations now perpendicular to the wind direction
• Y(h) = max displacement at the tip of the 50m top spire
• Φ1(z) = mode shape of the 50m top spire, considered as a cantilever (EN 1991-1-4 – Annex F.3)
o Φ1(h) = 1.0
o Φ1(h – L1) = 0.77
o Fw(z) decreases with z, as Φ1(z) decreases
Deriving V critical
Θ (°) 0 30 -30 -60
Width b1 of structure along L1 (m) 1,3 1,3 1,1 1,1
Θ (°) 0 30 -30 -60
Frequency 1st mode n1 0.73 0.73 0.64 0.64
Θ (°) 0 30 -30 -60
Vcritical (m/s) 7.9 7.9 7.1 7.1
Θ (°) 0 30 -30 -60
Cross section width b2 (m) 0,60 0,60 0,60 0,60
K 0,130
Θ (°) 0 30 -30 -60
Strouhal number St 0,12 0,12 0,09 0,09
→ ��������� = #1 ∗ �� $%&
b1 = width of structure where vortex acts
n1 = fundamental flexural frequency. Top
cantilever considered to have a frequency
half the one for the bottom of top spire
→ Impact sensible for cross wind only
St = Strouhal number (given by table E.1)
Code used: EN 1991-1-4
→ b1 taken at the centroid of the spire over L1 and assumed constant
→ Cross section taken rectangular with a “depth / width” ratio = 0.6 (0°, 30°) or 1.5(-30°, -60°)
→ Vibration and frequency are now perpendicular to the wind direction: n1 [0°; 30°] cross wind = n1 [-30°; -60°] along wind. & vice versa
→ Vcritical less than 1.25 * V mean wind = 1.25*32.0 m/s: vortex shedding must be considered
Deriving Fw(z)
Deriving Ymax
→ '()*+, = -.)/.0.01$2.$%²
Clat = lateral force coefficient
K = mode shape factor (constant – see
table E.5)
Kw = effective correlation (or excitation)
length L1 factor (see Table E.5)
Sc = Scruton number
b2 = width at the tip of the spire
→ b2 taken where displacement is max (tip of spire)
3 = 4 |�����| �6��� 7��87� . 9�4�. 4 |�����| �6��� 7��87� ². 9�
→ K related to the vibration mode of the global top spire. Constant value given by Table E.5 and integration gives K ~0.136:
Θ (°) 0 30 -30 -60
Kw 0.60 0.60 0.53 0.53
Θ (°) 0 30 -30 -60
Sc 2.4 2.4 4.0 4.0
Θ (°) 0 30 -30 -60
Clat 1,1 1,1 1,1 1,1
3� = 4 |�����| ; � . 9�4 |�����| �6��� 7��87� . 9� = 3 ∗ =1 #1&ℎ/#3 ∗ ?1 − =1 #1&ℎ/#3 + 13 ∗ B=1 #1&ℎ/#3 C,D < 0.6 → 9I%IJ�K�L%K� MN =1 → Kw related to the vibration mode of the global top spire. Eurocode considers a ratio of slenderness:
→ h = top spire height considered to be the only dynamic part of the spire (see annex 5 of this calc)
→ b3=cross section width at centroid of top spire:
Θ (°) 0 30 -30 -60
Width b3 at centroid of cantilever considered 4,3 4,3 2,8 2,8
$2 = 2. OP. �Q��� . #1 δs = structural damping
m = mass per unit length of the spire
vibrating last 16m (~ 122 kg/m)
→ Sc equivalent to the damping from structural inertia
R2JK%K2LS R �IL� TK�9&
→ Clat is equivalent to Cf (drag coefficient) but for cross wind. Table E.3 gives Clat dependant on the ratio:
Clat = 1.1 is maximum and highly influences ymax.
Height z (from tip of top
spire = over L1) Φ1(z)
50 1,00
49 0,95
48 0,90
47 0,90
46 0,81
45 0,77
Θ (°) 0 30 -30 -60
Ymax (mm) 1448 1448 1347 1347
Deriving Φ1(z)
����� = U �%M%LS ℎIKVℎ% = 50�WX
Only the top spire is considered for
bending under cross wind loading
ε = 2.5 for steel towers and masts
→ Mode shape Φ1(z) becomes quickly small → vortex vibrations are assumed over L1 only
Results for Fw(z):
Fw(z)
[kN/m]
Angle for the wind direction (°)
0° 30° -30° -60°
Altitude z
from the
tip of top
spire
(along L1)
(m)
222 3.7 3.7 2.7 2.7
220 3.5 3.5 2.5 2.5
218 3.2 3.2 2.3 2.3
216 3.0 3.0 2.1 2.1
• Less structural damping makes Ymax increase. But Fw is constant:
Damping increases in the same proportion as the mass decreases.
• Smaller frequency makes Fw drop, because structure opposes less inertia
63
vii. ANNEXE 7 : Excitation de galop
Galloping check :
Galloping starts at a special onset of wind velocity Vcg:
��� �2 � ��
��� 1 � �1
�� �2. ��. �
���� . �1²
• N1 = crosswind fundamental frequency (idem as annex 6 – vortex shedding)
• b1 = width of the structure facing the along wind. Taken at the centroid of each division.
• Sc:
o δs = structural damping = 0.02
o m = mass per unit length (varies for each division considered)
o ����= density of air = 1.226 [kg/m3]
• Ag, factor of galloping instability, given by table E.7 (EN 1991-1-4 – Annex E)
• Rectangular cross section assumed along a tapered structure: galloping checked for each
level of legs, from bottom to top spire.
Following equations are to be verified: [1]
�������� ����� � 1.25
[2] 0.7 ��� �!��"�!�#� 1.5
• Vmean wind taken at the altitude z of centroid for the division considered (see annex 3_Mean wind)
• Vcritical given by annex 6 - vortex shedding. Vcritical applied to the last 16m of the spire:
θ 0 30 -30 -60
Vcritical [m/s] 9.7 9.7 8.2 8.2
Θ (°) 0 30 -30 -60
Ag (no dimension) 0,7 0,7 1,7 1,7
Θ (°) 0 30 -30 -60
n1 [Hz] 0.73 0.73 0.64 0.64
Θ (°) 0 30 -30 -60
b1 [m] at centroid (red division) 5.2 5.2 3.4 3.4
division considered red brown orange yellow pink grey base
mass m [kg/m] 590 537 537 226 122 590
Θ (°) 0 30 -30 -60
Sc (no dimension) 0.7 0.7 1.7 1.7
Θ (°) 0 30 -30 -60
Vcg [m/s] 7.7 7.7 4.2 4.2
Deriving [1]
[1] ���
����� ����� � 1.25
Cross section Depth / Width = 0.5 Cross section Depth / Width = 1.5
Following example details the calc for red division at bottom of top spire
�� �2. ��.�
���� . �1²
Deriving Sc
$%& '()
'*+,- ./-0� � 1.25 ?
Angle for the direction of wind (°)
0° 30° -30° -60°
Base of the spire (grey) 0.07 0.07 0.04 0.04
Top part of the
spire
Red division 0.25 0.25 0.14 0.14
Brown division 0.28 0.28 0.16 0.16
Orange division 0.37 0.37 0.20 0.20
Yellow division 0.23 0.23 0.12 0.12
Pink division 0.24 0.24 0.11 0.11
$1& 2. 3 '() '(4/5/(,6
� 1.5 ?
Angle for the direction of wind (°)
0° 30° -30° -60°
Base of the spire (grey) 0.21 0.21 0.15 0.15
Top part of the
spire
Red division 0.79 0.79 0.51 0.51
Brown division 0.89 0.89 0.62 0.62
Orange division 1.17 1.17 0.76 0.76
Yellow division 0.74 0.74 0.46 0.46
Pink division 0.79 0.79 0.42 0.42
Results:
67
viii. ANNEXE 8 : Fatigue sous un vent en rafale
Fatigue Verification – Along wind
EN 1993-1-9: 2005 differentiates fatigue check for along wind and cross wind. No interaction asked between the 2 load cases. It recommends the assumptions of no
maintenance throughout the life of the structure: the Safe Life assessment method allows for higher safety factors.
EN 1993-1-9: 2005 chapter 8 requires 2nos verifications for stresses. Stresses are to be calculated under Serviceability Loading. Wind speeds are taken with a 50 years
return period but could be dropped down to 1 year. Loading from Annex 5 - Gust wind are to be applied along every structural members facing the wind, at the same time
for all division considered (red to pink divisions and grey base).
• 1st
check: [1] ��� � ∆��, �∆��/� �� � 1.0
[2] ��� � ∆��, �∆��/� �� � 1.0
o ΔσE,2 ; ΔτE,2 = equivalent stress range for reference at 2 million cycles
o ΔσC ; ΔτC = reference value of the fatigue strength at 2 million cycles
o γf = partial safety factor for fatigue
o γMf = partial factor for fatigue strength
• 2nd
check: [3] ∆� � 1.5 � �� for direct stress ranges �4 ∆� � 1.5 � �� √3� for shear stress ranges
o Δσ = unfactored structural direct stress range
o Δτ = unfactored structural shear stress range
o fy = 355MPa
Deriving equation [1]
Δσc (plain members) 125 MPa → for plain members - seamless hollow rectangular sections
Δσc (welded splices) 56 Mpa → for rectangular hollow sections, butt welded end to end - load carrying weld
Δσc (weld attachment) 71 Mpa → for rectangular hollow section, fillet-welded to another section
Codes used: EN 1993-1-9 / EN 1991-1-4 / EN 1993-3-1 / NA to EN 1993-1-9 / PD 6695-1-9 : 2008
�1 ��� � ∆��, �∆��/� �� � 1.0
γf = 1.0 when wind velocities rely on wind
testing and site surveys → fair degree of
confidence
γMf = 1.1 given by PD 6695-1-9. Allowance for a
smaller value of γMf, compared to EN 1993-1-9
for safe life assessment method
ΔσC = fatigue strength at 2 millions cycles given
by tables 8.1 to 8.10 EN 1993-1-9 for several
connection and construction details. NA to EN
1993-1-9 gives strength values for each
category. Strength values match with figure 7.1
EN 1993-1-9 - Fatigue strength curves for direct
stress ranges
ΔσE,2 = λ1* λ2* λi*…* λn* Δσ
→ Δσ = stress range due to the fatigue loading
→ λi = damage equivalent factor for the i-th
fatigue loading spectra
∆��, � � � ∆��
For along and cross wind loading, EN 1993-3-1- Chapter 9.4 gives:
• λ = equivalence factor to transfer Δσ to a reference of 2 million cycles → � � � � �2 � 10!"# $ %&
• ∆��= stress range associated to N wind fatigue loading cycles. Derived from “Robot” under accurate loading
• m = slope of the S-N curve
Following example details calcs for red division at bottom of top spire
For in-line vibrations due to along wind, EN 1993-3-1- Chapter 9.2 gives:
• � � 10' � (�)*+,-. /,0* ,. 1*23+"'4 � 10' � '4'4 � 10' 565789
→ m = 3 for direct stresses σ at 100 000 cycles (see Figure 7.1 EN 1993-1-9)
→ Stress range not to be more than 125 MPa. Connections can be strengthened with plates or bolts to match other values.
→ � � : � �2 � 10!"# ; %& � : 10' �2 � 10!"# ;%< � 0.37 (constant for all structural division considered, for direct stress)
• ∆�� � 1.1 � �|�>?@A BCAD�E F �>?@A BCAD|" (Self weight is added to Fm,w and Fm,w*G to obtain global stresses as per reality
(∆σc = total stress range, reduced for fatigue strength)
→ 5?�G" � HI�G?"�I8JK L87M5NO6 IP899QP8 HR �RJ9N5 SNTU L87M5NO6 IP899QP8� � 1.34 KVJ 0.38 KVJ# � 3.52 (see annex 3)
→ 5X � 5D = structural factors given by annex 4 for each wind direction θ:
θ 0 30 -30 -60
cs*cd 1.01 1.01 1.06 1.08
→ G
θ 0 30 -30 -60
G 2.53 2.52 2.71 2.77
→ G*Fm,w(z) / Ft,w(z) given by annex 3 and 4
θ 0 30 -30 -60
G*Fm,w(z) 57.7 58.3 66.5 58.1
Ft,w(z) 55.7 56.3 63.0 54.7
Y � 5?�G" � 5X � 5D F 1
G = gust response factor
Conservative to derive σ from Fm,w(z)*G rather
than Ft,w(z), for every division.
[G*Fm,w(z) + self weight] applied along every
structural members facing the wind, in kN/m.
Idem for [Fm,w(z) + self weight]
A bar analysis in “Robot” gives �>?@A BCAD�E
and �>?@A BCAD maximum for each structural
division considered.
After ∆�� is transferred to 2 million cycles (∆��,),
results interpretation consists in verifying
equation [1] from the bottom to the tip of the
structure
θ 0 30 -30 -60
σ [Fm,w(z)*G] (MPa) 43.4 41.4 44.4 33.3
σ [Fm,w(z)] (MPa) 19.9 18.5 15.8 12.9
Δσ (MPa) 63.3 59.9 60.2 46.2
θ 0 30 -30 -60
ΔσE (MPa) 69.6 65.9 66.2 50.8
θ 0 30 -30 -60
Equivalent ΔσE2 at 2*106
cycles (MPa) 25.7 24.3 24.4 18.7
θ 0 30 -30 -60 Z[ � ∆\],^ 25.7 24.3 24.4 18.7 ∆\_/Z`[
Plain members 114
Welded splices 59
Weld attachment 65
θ 0 30 -30 -60 ∆\ 90.0 83.2 91.6 69.2 a. b � [c 530
�� � ∆��, � ∆��/� �
[1] verified if:
Deriving equation [3]
∆� � 1.5 � ��� � 355dVJ"
→ ∆σ = |σmax-σmin| under wind loading only. ∆σ rely on extreme amplitude only.
Fm,w(z)*G
[kN]
Angle for the direction of wind (°)
0° 30° -30° -60°
Base of the spire (grey) 106.1 107.6 114.1 117.8
Top part of the
spire
Red division 57.7 58.3 66.5 58.0
Brown division 36.7 36.7 40.9 40.8
Orange division 36.4 34.8 40.5 38.5
Yellow division 36.9 35.6 38.7 36.5
Pink division 36.4 36.4 37.8 38.6
Total for top spire 204 202 224 212
ef � ∆gh,^
[MPa]
Angle for the direction of wind (°)
0° 30° -30° -60°
Base of the spire (grey) 35 28 36 35
Top part of the
spire
Red division 26 24 24 19
Brown division 23 21 20 14
Orange division 15 13 14 11
Yellow division 26 21 32 19
Pink division 26 21 32 19
∆\_/Z`[
MPa
Plain
members 114
Welded
splices 59
Weld
attachment 65
Results - direct stress:
∆gh < [1.5*fy =530]?
[MPa]
Angle for the direction of wind (°)
0° 30° -30° -60°
Base of the spire (grey) 105 88 132 98
Top part of the
spire
Red division 90 83 92 69
Brown division 69 66 67 46
Orange division 50 43 51 40
Yellow division 89 76 118 66
Pink division 89 76 118 66
Results – direct stress:
Deriving equation [2] :
�2 ��� � ∆��, �∆��/� �� � 1.0
γf = 1.0 (idem [1])
γMf = 1.1 (idem [1])
ΔτC = 80 MPa
→ Lowest fatigue strength for shear
stress at 2 million cycles (see Figure 7.2 EN
1993-1-9)
∆��, � � � ∆�� �idem [1]) • � � i�� � 10'" �2 � 10!"� j
%&kl �0m3 n o.)*3 %pq r1r/*+"
� � 0.55 (Constant for all structural division considered, for shear stress)
• ∆��derived from “Robot” with along wind loading like for [1]: Application of the same simplified method given in
EN 1993-3-1- Chapter 9.2
∆s_/Z`[
MPa
All details 73
ef � ∆th,^
[MPa]
Angle for the direction of wind (°)
0° 30° -30° -60°
Base of the spire
(grey) 5 4 4 4
Top
part of
the
spire
Red
division 1 1 1 1
Brown
division 1 1 1 1
Orange
division 1 1 1 1
Yellow
division 2 2 2 2
Pink
division 2 2 2 2
∆th < 307 MPa?
Angle for the direction of wind (°)
0° 30° -30° -60°
Base of the spire
(grey) 7 8 8 5
Top part
of the
spire
Red
division 3 3 3 3
Brown
division 3 3 2 3
Orange
division 2 2 2 2
Yellow
division 4 4 6 4
Pink
division 4 4 6 4
Deriving equation [4] :
∆� � 1.5 � ��� � 355dVJ"/√3 = 307 MPa
Results – shear stress:
75
ix. ANNEXE 9 : Fatigue sous les effets de vortex
Fatigue Verification – Cross wind
EN 1993-1-9: 2005 differentiates fatigue check for along wind and cross wind. No interaction asked between the 2 load cases. It recommends the assumption of no
maintenance throughout the life of the structure: the Safe Life assessment method allows for higher safety factors.
EN 1993-1-9: 2005 chapter 8 requires 2nos verifications for stresses. Stresses are to be calculated under SLS loading. Wind speeds are taken with a 50 years return period
but could be dropped down to 1 year. Loading from Annex 6_Vortex shedding are to be applied along every structural members facing the wind, on the top 5m of the spire
(half the pink division). Fatigue due to vortex shedding can be worse than along wind effects and governs the design.
• 1st
check: [1] [�� ∗ ∆��,]
[∆��/� �]� ≤ 1.0
[2] [�� ∗ ∆��,]
[∆��/� �]� ≤ 1.0
o ΔσE,2 ; ΔτE,2 = equivalent stress range for reference at 2 million cycles
o ΔσC ; ΔτC = reference value of the fatigue strength at 2 million cycles
o γf = partial safety factor for fatigue
o γMf = partial factor for fatigue strength
• 2nd
check: [3] ∆� ≤ 1.5 ∗ �� for direct stress ranges
[4] ∆� ≤ 1.5 ∗ ��√3� for shear stress ranges
o Δσ = unfactored structural direct stress range
o Δτ = unfactored structural shear stress range
o fy = 355MPa
Deriving equation [1]
Δσc (plain members) 125 MPa → for plain members - seamless hollow rectangular sections
Δσc (welded splices) 56 Mpa → for rectangular hollow sections, butt welded end to end - load carrying weld
Δσc (weld attachment) 71 Mpa → for rectangular hollow section, fillet-welded to another section
Codes used: EN 1993-1-9 / EN 1991-1-4 / EN 1993-3-1 / NA to EN 1993-1-9 / PD 6695-1-9 : 2008
[1] [�� ∗ ∆��,][∆��/� �]� ≤ 1.0
γf = 1.0 when wind velocities rely on wind
testing and site surveys → fair degree of
confidence
γMf = 1.1 given by PD 6695-1-9. Allowance for a
smaller value of γMf, compared to EN 1993-1-9
for safe life assessment method
ΔσC = fatigue strength at 2 millions cycles given
by tables 8.1 to 8.10 EN 1993-1-9 for several
connection and construction details. NA to EN
1993-1-9 gives strength values for each
category. Strength values match with figure 7.1
EN 1993-1-9 - Fatigue strength curves for direct
stress ranges
ΔσE,2 = λ1* λ2* λi*…* λn* Δσ
→ Δσ = stress range due to the fatigue loading
→ λi = damage equivalent factor for the i-th
fatigue loading spectra
∆��, = � ∗ ∆��
For along and cross wind loading, EN 1993-3-1- Chapter 9.4 gives:
• λ = equivalence factor to transfer Δσ to a reference of 2 million cycles → � = � � (2 ∗ 10!)# $%&
• ∆��= stress range associated to N wind fatigue loading cycles. Derived from “Robot®” under accurate loading
• m = slope of the S-N curve
Following example details calcs for red division at bottom of top spire
For perpendicular oscillations due to cross wind, EN 1991-1-4 – Annex E.1.5.2.6 gives N, the number of cycles produced:
• � = 2 ∗ ' ∗ (� ∗ )* ∗ �+,-./.,01+2
$ ∗ exp 6�− +,-./.,01+2
$8
→ T = life time [sec]: 50 years i.e. 1.6*109 seconds
→ Stress range not to be more than 125 MPa. Connections can be strengthened with plates or bolts to match other values.
→ Ny = natural frequency of cross-wind mode. Same frequency as for every part of the spire
θ 0 30 -30 -60
Ny [Hz] 0.73 0.73 0.64 0.64
→ )*= 0.3. Bandwidth factor describing the band of wind velocities given by EN 1991-1-4 - annex E
→Vcritical given by EN 1991-1-4 – annex E. Stands for the wind velocity creating vortex shedding around the structure.
θ 0 30 -30 -60
Vcritical [m/s] 7.9 7.9 7.1 7.1
.
→ V0 = 20% * Vmean wind. Vmean wind at the tip of spire is given by annex 6_vortex shedding of this calc.
V0 = 0.20*31.7 = 6.35 [m/s]
→ N:
θ 0 30 -30 -60
N cycles 2.3* 108
2.3* 108 2.2* 10
8 2.2* 10
8
• m =5 according to Figure 7.1 EN 1993-1-9 – S-N curve for direct stress levels near 108 cycles
• � = � � (2 ∗ 10!)# $%
&9: :
θ 0 30 -30 -60
λ 2.58
2.58 2.56 2.56
Fw(z) applied along structural members
perpendicularly to the wind direction, in kN/m. As
specified in annex 5_Vortex shedding.
A bar analysis in “Robot” gives �;<=> ?@>A BCD.
∆�� = 2 ∗ |�;<=> ?@>ABCD|. After ∆�� is transferred to 2 million cycles (∆��,),
results interpretation consists in verifying
equation [1] from the bottom to the tip of the
structure
θ 0 30 -30 -60
σ max [Fw(z)] (MPa) 5.0 5.0 7.3 7.3
σ min [Fw(z)] (MPa) -5.0 -5.0 -7.3 -7.3
ΔσE (MPa) 10 10 15 15
θ 0 30 -30 -60
Equivalent ΔσE2 at 2*106
cycles (MPa) 25 25 37 37
θ 0 30 -30 -60
FG ∗ ∆HI,J 25 25 37 37
∆HK/FLG Plain members 114
Welded splices 59
Weld attachment 65
θ 0 30 -30 -60
∆H 6.5 6.5 7.2 7.2
M. N ∗ GO 530
�� ∗ ∆��, ≤ ∆��/� �
[1] verified if:
Deriving equation [3]
∆� ≤ 1.5 ∗ (�� = 355PQC)
RS ∗ ∆TU,J
[MPa]
Angle for the direction of wind (°)
0° 30° -30° -60°
Base of the spire (grey) 134 134 106 106
Top part of the
spire
Red division 25 25 37 37
Brown division 28 28 38 38
Orange division 23 23 30 30
Yellow division 79 79 64 64
Pink division 79 79 64 64
∆HK/FLG MPa
Plain
members 114
Welded
splices 59
Weld
attachment 65
∆TU < [1.5*fy =530]?
[MPa]
Angle for the direction of wind (°)
0° 30° -30° -60°
Base of the spire (grey) 18.0 18.0 12.0 12.0
Top part of the
spire
Red division 6.5 6.5 7.2 7.2
Brown division 7.0 7.0 8.5 8.5
Orange division 7.0 7.0 8.1 8.1
Yellow division 30.0 30.0 28.2 28.2
Pink division 30.0 30.0 28.2 28.2
Results – direct stress:
[�� ∗ ∆��,][∆��/� �]� ≤ 1.0
• N (idem as [1])
θ 0 30 -30 -60
N cycles 2.3* 108
2.3* 108 2.2* 10
8 2.2* 10
8
• � = V� (2 ∗ 10!)# W%
&9: (XY- Z [\0- %2] ,^,1\_)
θ 0 30 -30 -60
λ 2.58
2.58 2.56 2.56
• ∆�� derived from “Robot®” with cross wind loading like for [1].
Deriving equation [4] :
∆� ≤ 1.5 ∗ (�� = 355PQC)/√3 = 307 MPa
Deriving equation [2] :
∆`K/FLG
MPa
All details 73
RS ∗ ∆aU,J
[MPa]
Angle for the direction of wind (°)
0° 30° -30° -60°
Base of the spire
(grey) 10 10 9 9
Top
part of
the
spire
Red
division 2 2 1 1
Brown
division 1 1 1 1
Orange
division 1 1 1 1
Yellow
division 6 6 4 4
Pink
division 6 6 4 4
∆aU < 307 MPa?
Angle for the direction of wind (°)
0° 30° -30° -60°
Base of the spire
(grey) 1 1 1.2 1.2
Top
part of
the
spire
Red
division 0.4 0.4 0.4 0.4
Brown
division 0.2 0.2 0.2 0.2
Orange
division 0.2 0.2 0.2 0.2
Yellow
division 2.2 2.2 1.6 1.6
Pink
division 2.2 2.2 1.6 1.6
Results – shear stress:
