ELE2611 Classe 7 - Circuits non-linéaires statiques

Introduction

ELE2611 - Circuits Actifs

3 credits, heures/semaine: 4 - 0 - 5https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756

Cours 7 - Circuits non-lineaires statiques

Instructeur: Jerome Le [email protected]

Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c©Le Ny, J. 1/30

https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756

Introduction

Motivation pour ce cours

I Jusqu’ici quasiment tous les circuits rencontres ont ete lineaires :I Utilisation exclusive de composants fondamentaux lineaires (R, L, C).I Maintient des AO dans leur regime lineaire (avec retroaction negative).

I Il existe aussi de nombreuses applications ou l’on desire realiser desfonctions non-lineaires. Exemples : comparateurs, interrupteurs, limiteurs,redresseurs, melangeurs (transposition de frequence), etc.

I Pas d’outil theorique comme la transformee de Laplace permettantd’etudier les circuits non-lineaires en toute generalite. Ces circuits peuventexhiber toutes sortes de comportements, y compris chaotique. On secontente d’etudier des petits systemes non-lineaires avec des structuresparticulieres. Pour les circuits dynamiques non-lineaires, on doit fairel’etude principalement dans le domaine temporel (equa. diffs.).

I On s’attardera ici sur des composants statiques dont les caracteristiquessont approximativement “lineaires par morceau”. Ex : diodes, AO dans sestrois modes de fonctionnement (-Sat, lineaire, +Sat).

I N.B. : On retourne a partir de ce cours au modele ideal de l’A.O.,introduit au cours 1. Par contre, on ne le contraint plus a fonctionneruniquement en mode lineaire.


Introduction

Outline

Composants statiques non-lineairesCaracteristiques courant-tensionCaracteristiques lineaires par morceaux, exemple des diodesExemples d’analyse de circuits non-lineaires statiques, caracteristiques detransfert

Montages avec l’AO operant en mode non-lineaire ou sature


Introduction

Composants statiques non-lineaires

Caracteristiques courant-tension

Outline




Introduction




I Rappel du cours 1 (revoir diapositives 12-14) : d’autres composants queles resistances etablissent une relation statique (vs. dynamique) entrecourant et tension : F (v(t), i(t)) = 0 verifiee a tout instant, mais pasforcement lineaire ou affine.

I Dipoles statiques non-lineaires (“resistances non-lineaires”)

I On peut tracer leur caracteristique courant-tension dans le plan v − i oui − v (“driving point characteristic”)

i+

-v

i i

v

i

v

Diode à jonction pn Diode à effet tunnel

Résistancenon linéairegénérique

(asymmétrique)

+

-

i

Ex: diode idéale

i+

-v vv

I Exemples :I Lineaires/affines : resistance v(t)−Ri(t) = 0, source de tension, de courant.I Diodes : caracteristique tension-courant d’une diode a jonction p-n, dans les

basses frequences et pour v pas trop negatif : i(t) = Is[exp

(v(t)VT

)− 1].


Introduction



Terminologie

I Rappel : composant statique et passif, en convention recepteur :

p(t) = v(t)i(t) ≥ 0, ∀tI v(t) et i(t) toujours de meme signe (convention recepteur).I Caracteristique tension-courant dans les quadrants 1 et 3.I Un composant statique non passif est dit actif (ex : resistance negative)

I Un dipole statique dont la caracteristique F (i , v) = 0 definit une fonctionv 7→ i est dit controle en tension

I I.e., pour toute valeur de v , on associe au plus une valeur de i

I Un dipole statique dont la caracteristique F (i , v) = 0 definit une fonctioni 7→ v est dit controle en courant

I I.e., pour toute valeur de i , on associe au plus une valeur de v

I Un dipole peut etre controle a la fois en tension et en courant (ex :resistance lineaire), ou aucun des deux (ex : diode ideale).


Introduction


Caracteristiques lineaires par morceaux, exemple des diodes

Outline




Introduction



Approximations lineaires par morceau d’une caracteristique

i

v

-Ez

Ez: tension de claquage, d'avalanche ou tension Zener (par ex. Ez = 5 V pour une diode Zener)

zone d'utilisationdes diodesclassiques

zone d'utilisationdes diodes

Zener

Vs

Vs: tension de seuil(typiquement Vs = 0.7 V)

Approximationlinéaire parmorceaux

Diode idéale: Vs = 0, Ez = 1

iCaractéristique d'une diode à jonction p-n

I Approximations lineaires par morceaux des caracteristiques i − vI Simplifie les calculs pour la conception, p. ex. modele de diode passante a

tension de seuil constant vs. modele exponentiel.I Tant que l’on ne change pas de segment sur les caracteristiques, on peut

appliquer l’analyse lineaire.I Modeles non-lineaires plus precis plutot utilises en simulation pour valider

les analyses.


Introduction



Approximations lineaires par morceau d’une caracteristique (suite)

i

v

Diode à effet tunnel

i+

-v

v0

! R = -1/"

v0+

-

ii0=" v0

v = v0 - i/"

R = -1/"

ou

v

+

-

i

v

+

-i = i0 - " v(i0= " v0)

i0

I Avec l’approximation lineaire par morceaux de la caracteristique i − v , onpeut remplacer dans chaque region le composant non-lineaire par undipole equivalent comprenant une source ideale (de tension ou de courant)et une resistance (positive ou negative).

I Ex : pour la diode a effet tunnel, le segment du milieu a pour equationv = v0 − i/α (α > 0) ou i = i0 − αv : correspond a une source de tensionv0 en serie avec une resistance negative R = −1/α, ou encore a une sourcede courant i0 = αv0 en parallele avec une conductance negative G = −α.


Introduction


Exemples d’analyse de circuits non-lineaires statiques, caracteristiques de transfert

Outline




Introduction



Exemple : points d’operation possibles

I Calculer les 3 modeles (Vd ,Rd)equivalents a la diode pourchaque region lineaire, enfonction des parametres donnessur la figure.

I En supposant les conditions dela figure, calculer les 3 pointsd’operation (i , v) possibles dece circuit (les points d’equilibresmultiples ne sont pas possiblespour les circuits lineaires).

Is Rs

i

v

caractéristique i-v de la diode

0

I2

I1

V1

RsVd=Vd1,Vd2,Vd3

Rd=Rd1,Rd2,Rd3

+

-

v

i

Is

Isi=Is-v/Rs

caractéristique i-v de la source

V2V3

V4

Region 1 : Vd1 = ,Rd1 = car v = i ×

Region 2 : Vd2 = ,Rd2 = (< 0) car v =

Region 3 : Vd3 = ,Rd3 = (> 0) car v =


Introduction



Exemple : points d’operation possibles

I Calculer les 3 modeles (Vd ,Rd)equivalents a la diode pourchaque region lineaire, enfonction des parametres donnessur la figure.

I En supposant les conditions dela figure, calculer les 3 pointsd’operation (i , v) possibles dece circuit (les points d’equilibresmultiples ne sont pas possiblespour les circuits lineaires).

Is Rs

i

v

caractéristique i-v de la diode

0

I2

I1

V1

RsVd=Vd1,Vd2,Vd3

Rd=Rd1,Rd2,Rd3

+

-

v

i

Is

Isi=Is-v/Rs

caractéristique i-v de la source

V2V3

V4

Region 1 : Vd1 = 0,Rd1 = V1/I1 car v = i × V1/I1

Region 2 : Vd2 = V2,Rd2 =V1 − V2

I1(< 0) car v = V2 +

V1 − V2

I1i

Region 3 : Vd3 = V3,Rd3 =V4 − V3

I2(> 0) car v = V3 +

V4 − V3

I2i


Introduction



Combinaisons serie et parallele de resistances non lineaires

+

-

v R

+v1

+-

-v2

ia

ib

i

-Ez

ia

v1

ia

Ez

ia

v2

Ez

-Ezv

v

ib

1/R

Ez

-Ezv

1/R

i

v

R

i

Ez

-Ez

combinaisonsérie combinaison

parallèle

I Pour obtenir la caracteristique courant-tension d’un dipole complexe :I Pour les composants en serie, on somme les tensionsI Pour les composants en parallele, on somme les courants


Introduction



Caracteristique de transfert d’un quadripole non-lineaire statique

I On utilise aussi la notion de caracteristique de transfert, qui est la relationentre la tension (ou courant) d’entree vin et la tension (ou courant) desortie vout d’un quadripole statique, en general non-lineaire

I Les caracteristiques lineaires par morceaux peuvent etre realisees par desresistances, diodes (de caracteristique i − v lin. par morceaux aussi), etsources DC, p. ex.

vin

vout

v1

v2V1

6

V2

6

R1{Rparam2}

R2{Rparam1}

R3{Rparam1}

R4{Rparam2}

R5{Rparam3}

R6{Rparam3}

R7

12k

D2

myD

D3

myD

D4

myD

R9

10k

R10

10k

D1

myD

PWL(

0 0

0.25

8 0

.5 0

0.7

5 -8

1 0

1.2

5 8

1.5

0 1.

75 -8

2 0

)

V3

tuo

ni

2

1

.model myD D(Ron=0 Roff=1G Vfwd=0.0)

.param Rparam1=100

.param Rparam2=100

.param Rparam3=100

.tran 0 2

v1

v2

Diviseur pour la génération

des niveaux detension

Diodes devenantpassantes au

points de cassure


Introduction



Exemple : mise en forme d’un signal triangulaire

I Soit un signal periodique a produire. On dispose d’une source de signaltriangulaire (cf. prochain cours).

I Faire une approximation lineaire par morceaux de la demi-periode du signala produire. On concoit ensuite un quadripole non-lineaire ayant cetteapproximation comme caracteristique de transfert.

I Application p. ex. a la synthese de sinusoıdes (pas de tres bonne qualite).

V1

6

V2

6

R1{Rparam2}

R2{Rparam1}

R3{Rparam1}

R4{Rparam2}

R5{Rparam3}

R6{Rparam3}

R7

12k

D2

myD

D3

myD

D4

myD

R9

10k

R10

10k

D1

myD

PWL(

0 0

0.25

8 0

.5 0

0.7

5 -8

1 0

1.2

5 8

1.5

0 1.

75 -8

2 0

)

V3

tuo

ni

2

1

.model myD D(Ron=0 Roff=1G Vfwd=0.0)

.param Rparam1=100

.param Rparam2=100

.param Rparam3=100

.tran 0 2

V1

V2

-V1

-V2


Introduction



Exemple : limiteur d’amplitude 1

-

+vin

1+

-

+

-

vo

i� = 0

i+ = 0

i1

+ -vf

v1+ -

R1

Rf

vd = 0+-

if vf = f(if )vo = −vf = −f (if ), i1 = if =

v1

R1

vin = v1 ⇒ vo = −f(vinR1

)

Validite : −Vsat < −f(

vinR1

)< Vsat

I Application : limiteur d’amplitude (protection de circuits, traitement designaux). Pour Rf le circuit a diodes Zener de la diapo 12 : symmetrie dela caracteristique par rapport a l’axe des x et changer les noms des axes.

Ez

-Ez

vf (V )

i (mA)

Ez

-Ez

vo (V )

vin (V )

R1 = 1 k⌦

I N.B. : Malgre la presence des composants non lineaires, ici l’AOfonctionne en mode lineaire quelque soit vin ! (pour Ez < Vsat)


Introduction



Exemple : limiteur d’amplitude 2

I Etablir la caracteristique de transfert vin − vout du circuit suivant. L’etagede sortie permet de limiter l’amplitude en sortie d’un circuit general(application ici pour un amplificateur inverseur).

-+

+V

-V

A

B

vout

vin

R1

R2

R3

R4

R5

Rf

vin

vout

L+

L-�(Rf k R3)/R1

�(Rf k R4)/R1

�Rf/R1

D1

D2

I N.B. : on peut bien sur concevoir des limiteurs d’amplitude plus simplesmais moins flexibles a base de diodes et resistances seulement.


Introduction



Differences avec l’analyse lineaire

I L’introduction de composants non-lineaires donne lieu a une variete dephenomenes impossibles a obtenir avec des circuits lineaires.

I Par exemple, on a vu qu’un circuit non-lineaire statique alimente par unesource de courant ideale peut avoir un, plusieurs, ou meme aucun pointd’operation possible (mathematiquement). Pour un circuit lineaire, il existenecessairement une unique solution.

I Pour les circuits non-lineaires, meme si la source est une tensionsinusoıdale pure de frequence ω0, les signaux de tension aux bornes descomposants en regime permanent peuvent contenir d’autres harmoniques.Ce phenomene est necessaire par exemple a la realisation des melangeurs(de frequence) utilises en communications, radars, etc.


Introduction


Outline




Introduction


Rappel du cours 1 : AO fonctionnant en mode sature

-

+

v�

v+i+ = 0

i� = 0

vo+

-vd

+Vsat

�Vsat

Région linéaire

vd = v+ � v�

Entrée inverseuse

Entréenon

inverseuse

région "+ Saturation"

1

vo = f(vd)

région "- Saturation"

Caractéristiquede transfertlinéaire parmorceaux

I L’AO opere en mode sature lorsque la condition de validite du modelineaire (−Vsat < vo < Vsat) n’est pas satisfaite

I Rappelons que pour l’AO ideal hors de la region lineaire on avo = Vsat × signe(vd) (et toujours i− = i+ = 0)

I vd = v+ − v− > 0 est la condition de validite pour la region “+Saturation”

I vd = v+ − v− < 0 est la condition de validite pour la region “-Saturation”

-

+i+ = 0

i� = 0

+

-vd = 0 1

+

-o

Région linéaire�Vsat < vo < Vsat

i� = 0-

i+ = 0+

vd > 0+

-Vsat

oi� = 0-

i+ = 0++

-Vsat

ovd < 0

Région +Saturation Région -Saturationv+ � v� > 0 v+ � v� < 0Condition de validité:

vo = Vsat vo = �Vsat


Introduction


Comparateur

I Circuit le plus simple utilisant le mode sature : le comparateur oudetecteur de seuil.

I vin < ET → vo = −VsatI vin > ET → vo = +VsatI vin = ET → −Vsat < vo < VsatI iin = 0 dans tous les cas

-

+1

ET

i+ = 0

i� = 0

+

-

vin ET vin

vo

vo + Saturation

- Saturation

régionlinéaire

Vsat

�Vsat

Caractéristique de transfert

I N.B. : La specification de performance la plus importante pour uncomparateur est le temps de reponse. Pour qu’un AO puisse etre utilisecomme un bon comparateur, il faut donc que sa vitesse de balayage (slewrate) soit elevee. Il y a aussi des circuits integres comparateurs optimisespour cette operation.


Introduction


Amplificateur non inverseur : analyse complete

I On raisonne pour les 3 modes de l’AO, avec leur condition de validite.

I Mode lineaire (cours 1) : vo =(

1 + R2R1

)vin

pour − R1R1+R2

Vsat ≤ vin ≤ R1R1+R2

Vsat.

I Mode +Sat : vo = +Vsat pour vd > 0.

v− =R1

R1 + R2Vsat , vd = vin − v−

⇒ vin −R1

R1 + R2Vsat > 0→ vin >

R1

R1 + R2Vsat

+

-1

+

-

vin vo

+

-

i+ = 0

i� = 0

R1

R2

I Zone -Sat : vo = −Vsat pour vin < − R1R1+R2

Vsat .

Vsat

-Vsat

R1

R1 + R2Vsat

� R1

R1 + R2Vsat

vin

vo


Introduction


Bascules de Schmitt

I Les bascules de Schmitt sont des circuits ou l’AO est monte avec unfeedback positif, qui le force a saturer.

+

-1+

-

+

-

i� = 0

i+ = 0

Bascule non inverseuse(inverser polarités de l'A.O.

en ampli. inverseur)R2

R1iin

vin vo

vo

vin

-

+1

+

-

vin vo

VsatR1

R2

Vsat

�Vsat

�VsatR1

R2

�R2

R1

Bascule inverseuse(inverser polarités de l'A.O.

en ampli. non inverseur)

+

-

i+ = 0

i� = 0

vin

vo

VsatR1

R1 + R2

�VsatR1

R1 + R2

R1

R2

Vsat

�Vsat

1 +R2

R1

zone linéaireinstable



Introduction


Bascules de Schmitt : caracteristique de transfert

+

-1+

-

+

-

i� = 0

i+ = 0

R2

R1iin

vin vo

vo

vin

VsatR1

R2

Vsat

�Vsat

�VsatR1

R2

�R2

R1


I Exemple de la bascule non-inverseuse.I On raisonne pour les 3 modes de l’AO, avec leur condition de validite.I Mode lineaire : vo = −R2

R1vin pour −R1

R2Vsat ≤ vin ≤ R1

R2Vsat.

I Mode +Sat : vo = +Vsat pour vd > 0.

vd − vo =R2

R1 + R2(vin − vo)

⇒ R1Vsat + R2vin ≥ 0→ vin ≥ −R1

R2Vsat.

I Mode -Sat : vo = −Vsat pour vin ≤ R1R2Vsat .


Introduction


Bascules de Schmitt : caracteristique de transfert (suite)

+

-1+

-

+

-

i� = 0

i+ = 0

R2

R1iin

vin vo

vo

vin

VsatR1

R2

Vsat

�Vsat

�VsatR1

R2

�R2

R1


I Au contraire de l’amplificateur inverseur, la zone de validite du modelineaire pour la bascule se superpose a celles des modes -Sat et +Sat.

I Seuls les equilibres vo = −Vsat et vo = +Vsat sont stables. Pour voir que lemode lineaire est instable, considerer l’effet d’une petite tension vd 6= 0,amplifiee par le feedback positif. La bascule ne fonctionne donc jamais enpratique en mode lineaire.

I Les segments horizontaux de la characteristique peuvent etre parcourusdans les 2 sens, pas les segments verticaux qui decrivent un basculementd’un equilibre a l’autre dans une seule direction lorsque la condition devalidite de l’equilibre actuel n’est plus verifiee.


Introduction


Analyse algebrique de l’instabilite du mode lineaire

-+

R1

R2

C

Vi

Vo

V1

I Supposons l’AO en mode lineaire, le gain A (statique) fini, et une petitecapacite parasite C entre les entrees.

Vo = A V1,Vi − V1

R1− V1Cs +

Vo − V1

R2= 0

⇒Vi = −VoR1

R2+ V1(1 + R1Cs + R1/R2)

Vi = Vo

(−R1

R2+

1

A(1 + R1Cs + R1/R2)

)(on elimine V1)

Vo

Vi=

1

−R1R2

+ 1A

(1 + R1Cs + R1R2

)=

(−R2

R1

)1[

1− 1A

(1 + R2

R1

)]− R2C

As

I Systeme instable, avec un pole reel tres a droite p ≈ AR2C

pour A grand :l’AO entre rapidement en saturation !


Introduction


Bascules de Schmitt : exemples d’utilisation

I Comparateur a hysteresis pour eviter les commutations rapides(“chattering”), problematiques avec un comparateur standard en cas debruit.

(Source : S. Franco, “Design with Operational Amplifiers”)

I Bascule asynchrone ou verrou (latch)


Introduction


Resistance negative (type S)

-+

vin

1+

-

vo

vo

�Vsat

��Vsat

Rf

R1R2

iin

1

�

Vsat

�Vsat

vin

iin

- Satu

ration

+ Satu

ration

Régionlinéaire �Vsat

��Vsat

(1 � �)Vsat

Rf

pente � R1

R2Rf

1/Rf

1/Rf

Caractéristique de transfert (comme une bascule)

Caractéristique tension-courant

� =R2

R1 + R2

I Circuit qui comprend un feedback positif et negatif.I Le circuit convertit les resistances positives R1,R2,Rf en une resistance

d’entree viniin

negative egale a −R2Rf /R1 dans la region lineaire.I A partir de ce dipole, on peut realiser un oscillateur ou un flip-flop (cf.

prochain cours).


Introduction


Resistance negative (type S) : analyseI Region lineaire :

vin = v2 = βv0 avec β =

LKC : vin = Rf iin + v0 ⇒ iin = × vin

Cond. de validite :

-+

vin

i� = 0

1+

-

vo

Rf

R1R2

iin

i+ = 0

23

1

4

v2

+

-

I Region +Sat :

vin = Rf iin + Vsat ⇒ iin =vin − Vsat

Rf

Validite : vd =R2

R1 + R2Vsat − vin > 0⇒ vin < βVsat

vin

i� = 0

+

-

vo

Rf

R1R2

iin

i+ = 0

23

1

4

+-vd > 0

Vsat

I Region -Sat :

vin = ⇒ iin =

Validite :

vin

i� = 0

+

-

vo

Rf

R1R2

iin

i+ = 0

23

1

4

+-

Vsat

vd < 0


Introduction


Resistance negative (type S) : analyse

I Region lineaire :

vin = v2 = βv0 avec β =R2

R1 + R2

LKC : vin = Rf iin + v0 ⇒ iin = − R1

R2Rf× vin

Cond. de validite : − βVsat < vin < βVsat

-+

vin

i� = 0

1+

-

vo

Rf

R1R2

iin

i+ = 0

23

1

4

v2

+

-

I Region +Sat :

vin = Rf iin + Vsat ⇒ iin =vin − Vsat

Rf

Validite : vd =R2

R1 + R2Vsat − vin > 0⇒ vin < βVsat

vin

i� = 0

+

-

vo

Rf

R1R2

iin

i+ = 0

23

1

4

+-vd > 0

Vsat

I Region -Sat :

vin = Rf iin − Vsat ⇒ iin =vin + Vsat

Rf

Validite : vin > −βVsat

vin

i� = 0

+

-

vo

Rf

R1R2

iin

i+ = 0

23

1

4

+-

Vsat

vd < 0


Introduction


Resistance negative (type N)

+-

vin

1+

-

vo

vo

�Vsat

��Vsat

Rf

R1R2

iin

1

�

Vsat

�Vsat

vin

iin

- Satu

ration

Régionlinéaire

�Vsat

��Vsat

(1 � �)Vsat

Rf

pente � R1

R2Rf

Caractéristique de transfert

Caractéristique tension-courant

� =R2

R1 + R2

1/Rf

+ Satu

ration

1/Rf

I On echange les bornes de l’AO

I Exercice : obtenir les caracteristiques vin − vo et vin − iin ci-dessus.


Introduction


Conclusion

I Nous avons etudie le comportement de quelques circuits statiquesnon-lineaires, en insistant sur les circuits lineaires par morceaux qui sontencore analysables “a la main”.

I Les approches d’analyse ne sont pas aussi systematiques que pour lescircuits lineaires, et il faut donc s’entraıner a analyser des circuits.

I Typiquement on doit raisonner en considerant differents modes d’operationpossibles des composants, en particulier avec les modeles lineaires parmorceaux.

I Les montages de resistances negatives sont particulierement importantsdans ce cours : nous verrons au prochain cours comment les utiliser pourrealiser des oscillateurs, des flip-flops, etc., en rajoutant juste un ou oudeux composants dynamiques.


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