Énergétique

Résistance des matériaux II Chapitre 145

é é é iMéthodes énergétiqueschapitres 9 et 14

• Objectifs– Utiliser le théorème de Castigliano pour calculer des lesUtiliser le théorème de Castigliano pour calculer des les

réactions aux appuis de structures hyperstatiques– Utiliser le théorème de Castigliano pour calculer des

déplacements, rotations ou rotations angulaires de structures hyperstatiques

– Savoir la définition de l’aire effective en cisaillementSavoir la définition de l aire effective en cisaillement– Calculer l’énergie de déformation en tenant compte de l’effort

tranchant

Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 1


Ch it 9 É i d déf tiChapitre 9: Énergie de déformation9.7 Énergie de déformation9.7.1 Expression de l’énergie pour un chargement uniaxial9.7.2 Énergie de déformation élastique pour un chargement général

Chapitre 14 : Méthodes énergétiques Fichier 1Chapitre 14 : Méthodes énergétiques14.2 Cas particuliers

14.2.1 Tension14.2.2 Flexion

Fichier 1

14.2.3 Torsion14.3 Théorème de la réciprocité, de Maxwell-Betti14.4 Théorème de Castigliano

h14.4.1 Application aux systèmes isostatiques14.4.2 Application aux systèmes hyperstatiques

14.5 Effets de l’effort tranchant

Fichier 2

Fichier 3



14 4 2 Applications aux systèmes hyperstatiques14.4.2 Applications aux systèmes hyperstatiques

Cette poutre est hyperstatique: A

wxx

y

Cette poutre est hyperstatique: il n’y a pas suffisamment d’équations d’équilibre pour calculer les réactions.

y

AL

BB

Il y a trois inconnues: Ra, Rb et Mb.Deux équations d’équilibre sont

BM

L

w

A Bx

y

disponibles: ∑Fy = 0 ; ∑Mz = 0Par conséquent, il manque une équation. AR

LBR

On peut lever l’indétermination en posant une équation decompatibilité et en transformant cette équation en équation de

Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

p q qforces ou de moments à l’aide du théorème de Castigliano.

3


Mé h d d l i d’ è h iMéthode de solution d’un système hyperstatique• poser les équations d’équilibre

disponibles BMwydisponibles

• déterminer le nombre d’équation(s)

A

RL

R

Bx

q ( )d’équilibre manquante(s), NN = degré d’hyperstaticité (N = 1 pour notre cours)

AR BR

Pour la poutre montrée, il manque une équation;le système est hyperstatique du premier degré



Méthode de solution (suite)Méthode de solution (suite)• établir N équations de compatibilité

– Pour la poutre montrée, on connaît trois conditions de ibili écompatibilité:

δA = 0 δB = 0 θB = 0– Le système étant hyperstatique A

BMw

Bx

y

Le système étant hyperstatiquedu premier degré, on choisit uneseule condition de compatibilité AR

LBR

B

et la réaction correspondante estappelée surabondante:a) si on choisit δ = 0 R est la réaction surabondantea) si on choisit δA = 0, RA est la réaction surabondante,

appelée RSelon Castigliano: AR

URU δ=

∂∂

=∂∂


AA RR ∂∂

5


Méthode de solution (suite)Méthode de solution (suite)

b) si on choisit δB = 0, RB est la ) B , B

réaction surabondante, appelée R

A

BMwx

y

etB

B RU

RU δ=

∂∂

=∂∂ A

AR LBR

B

c) si on choisit θB = 0, MB est la réaction surabondanteréaction surabondante

et U θ=∂


etB

BMθ=

∂

6


Méthode de solution (suite)

i l é i A

BMwx

y

• Exprimer toutes les réactionsen fonction de la réaction surabondante et du chargement

A

ARL

BR

B

surabondante et du chargement.

• Appliquer Castigliano:L ff i l’é i

A

Les efforts internes et l’énergie de déformation doivent être exprimés en fonction de la é i b d dréaction surabondante et du

chargement seulement.



E lExemple :On demande de calculera) les réactions aux appuis A

mNw /,

B Ca) les réactions aux appuisb) l’angle de rotation θ A

au point A de cette poutre.L L

A B

p p

Cette poutre est hyperstatique car elle est appuyée sur trois appuis simples A, B et C:

– 3 réactions inconnues, soit RA,RB et RC

2 équations d’équilibre disponibles soit ∑F = 0 ; ∑M = 0– 2 équations d équilibre disponibles, soit ∑Fy = 0 ; ∑Mz = 0

La solution est d ’utiliser le théorème de Castigliano.


La solution est d utiliser le théorème de Castigliano.

8


La procédure pour trouver les réactions aux appuis d’un problème hyperstatique est :1 Choisir une condition de compatibilité et déclarer la réaction1. Choisir une condition de compatibilité et déclarer la réaction

correspondante surabondante (R)2. Établir les équations d’équilibre. Les réactions sont exprimées

en fonction du chargement et de la force surabondante3. Établir les équations des efforts internes et les exprimer en

fonction du chargement et de la surabondantefonction du chargement et de la surabondante4. Appliquer le théorème de Castigliano à la condition de

compatibilité choisie– Permet de déterminer la surabondante (R)– Déterminer les autres réactions aux appuis à l’aide des

é ti d’é ilib


équations d’équilibre

9


RR

On choisit δ comme

mNw /,

B C

RRA =1. Réactions aux appuis

On choisit δ A comme condition de compatibilité

L L

A B C

BR CR

∂U 0==∂∂

AAR

U δ

La force RA est déclaréeb dsurabondante



RRmNw /,

B C

RRA =

RRA =

2. Équilibre

L L

A B C

BR CR

A

M C =∑ 0 Fy =∑ 0

Lw

LRLwLRB ⋅⋅+⋅

=⋅ 22

2

L

RRLwR BC −+⋅=

RLwRB ⋅+⋅= 22 RLwRC −

⋅=

2


Les réactions sont exprimées en fonction de R et du chargement seulement

11


mNw /,RR =

A B C

RRA =

BR CR

3. Efforts internes

L LB C

BCM VR V

ABM•O

Cx

CRDe A à B : 0 < x < Là

xA •O

02xwxRMM ⋅

+∑

De B à C : 0 < x < L

xRM AB ⋅=⇒=∑ 0OM0

22xwxRLwM

xRMM

BC

CBCO

⋅−⋅⎟

⎞⎜⎛ −

⋅=

=+⋅−=∑Les efforts internes sont

exprimées en fonction de R


22xRM BC ⎟

⎠⎜⎝

=

12

et du chargement seulement


RM

⎞⎛ ∂⎞⎛ ∂ M

xRM AB ⋅=

22

2xwxRLwM BC⋅

−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅=

4. Appliquer la condition de compatibilité

000

=⋅

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⋅

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

==∂∂

∫∫L

BCBCL

ABAB

A IE

dxR

MM

IE

dxR

MM

RU δ

( ) ( ) ( ) 0220

2=⋅−⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅+⋅⋅⋅=

∂∂

∫∫LL

odxxxwxRLwdxxxR

RU

0 ⎦⎣o

0423323

4333=

⋅⋅

+⋅

+⋅⋅⋅

−⋅

=∂∂ LwLRLLwLR

RU

423323∂R

16LwR ⋅

=16

7 LwRC⋅⋅

=8

5 LwRB⋅⋅

=Avec les équations d’équilibre


16 16C 8B

13

d équilibre


b) Rotation θ A de la poutre en A

La tâche est facile avec A

mNw /,

B CLa tâche est facile avecCastigliano, sachant que L L

U∂θ

Le problème est qu ’il n ’y a pas de A

A MU

∂∂

=θmNw /,

C

16LwRA⋅

=

moment concentré MA au point A!Que fait-on? O j t t fi tif

LL

A B C

AM16

7 LwRC⋅⋅

=

On ajoute un moment fictif. L

85 LwRB

⋅⋅=

Mais, par le fait même, on perturbe l ’éq ilibre de la po tre


l ’équilibre de la poutre

14


Truc pour restaurer l’équilibre LTruc pour restaurer l équilibreComment?On garde les réactions calculées

A

mNw /,

B C

16LwRA⋅

=

gprécédemmentOn équilibre seulement le moment fictif M en ajo tant des

LL

A B C

AM16

7 LwRC⋅⋅

=

moment fictif MA en ajoutant des forces :• qui ont un moment égal et opposé à celui du moment ajouté

L

85 LwRB

⋅⋅=

q g pp j• qui sont d’intensité égale et opposée pour ne pas perturber

l’équilibre de la poutre dans la direction y• qui s’appliquent aux points d’appui de la poutre pour ne pas• qui s appliquent aux points d appui de la poutre pour ne pasperturber la déformée de la poutre et pour ne pas ajouter de l’énergie de déformation dans la poutre



LM A / Alternative 1 Alt ti 2

A

mNw /,

B C16

LwRA⋅

=

A

A

mNw /,

B C16

LwRA⋅

=

Alternative 2

L L8

5 LwRB⋅⋅

=16

7 LwRC⋅⋅

=AM

LM A / L L

A B

85 LwRB

⋅⋅=

167 LwRC

⋅⋅=AM

LM A /LM A /A

mNw /,LwR ⋅

LM A ⋅2/ Alternative 3

A

,

B C16

RA =

85 LwRB

⋅⋅=

167 LwRC

⋅⋅=AM

• Les trois alternatives permettent d’annulerMA et de garder la poutre en équilibre en y.

• Le choix d’une alternative plutôt qu’uneL L

8 16

LM A ⋅2/

• Le choix d une alternative plutôt qu uneautre est basé sur une question d’expérience.

• Ici, c’est l’alternative 1 qui semble et


s’avérera la plus avantageuse.

16


LM A / Alternative 1

A

mNw /,

B C16

LwRA⋅

=

A

Les efforts internes

L L8

5 LwRB⋅⋅

=16

7 LwRC⋅⋅

=AM

LM A /LM A /De A à B : 0 < x < L

A

AM VABM

AR

•O•O

De B à C : 0 < x < L

xA CCR

BCMV x•O

xL

MxRMM

M

AAAAB

O

⋅−⋅+=

⇒=∑ 0 02xwxRM

M

CBC

O

⋅−⋅=

⇒=∑


LAAAB2

xRM CBC ⋅=

17


MSelon Castigliano x

LMxRMM A

AAAB ⋅−⋅+=

2

2xwxRM CBC⋅

−⋅=2

∫∫⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

=∂

=θL

A

BCBCL

A

ABAB

A

dxMMMdx

MMM

U

⎥⎤

⎢⎡

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅−⋅+∫

LA

AA dxxxMxRM 1)(

∫∫ ⋅+

⋅∂θ

= 000AMAA IEIEM

16LwRA⋅

=

( )⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢⎢

⎣⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−⋅+

⎟⎠

⎜⎝

⋅=

∫

∫

L

C

AA

A

dxxwxR

LL

IE

0

20

02

)(1θ

167 LwRC

⋅⋅=

⎥⎦⎢⎣ ⎠⎝0

961

61 32 Lw

IELR

IEA

A ⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅=θEn posant MA = 0 ⇒


966 IEIE ⋅⎟⎠

⎜⎝⋅p A ⇒

18


Exemple:On demande de calculer θ pour

yxmNw /,On demande de calculer θ A pour

la poutre illustrée ci-contreL

zA

B

Les réactions RA, RB et le moment MB sont déjà connus.

L

mNw /,

AB

5 L

8

2LwM B⋅

=

P i l l θ il f t j t t fi tif t é A

L

83 LwRA

⋅⋅= 8

5 LwRB⋅⋅

=


Pour pouvoir calculer θ A, il faut ajouter un moment fictif concentré en A et ensuite restaurer l’équilibre.

19


Deux alternatives sont possibles 2LwM AB

⋅=Alternative 1

L’alternative 1 est possible parce que l’encastrement B peut reprendre un moment sans

L

mNw /,

A

8M AB

AM

BAM

peut reprendre un moment sans que de l’énergie de déformation soit ajoutée au système.

L

83 LwRA

⋅⋅=

85 LwRB

⋅⋅=

B

Alternative 2

mNw /,

A

8

2LwM B⋅

=

Alternative 2

AM

LM A /

LA

B

83 LwRA

⋅⋅= 5 LwR ⋅⋅

=


8A

8RB = LM A /

20


On choisit l’alternative 1.mNw /, 8

2LwM B⋅

=

Eff t i tAM

LA

3 LwR ⋅⋅ 5 LwR ⋅⋅

BAM

Efforts internes

8RA = 8

RB =

RMxwMM ⋅∑ 0

2

De A à B :

xRMxwMM AAABO ⋅−+=⇒=∑2

0

mNw /,AM

xA

3 LwR ⋅⋅ V

•OABM


8RA = V

21


Appliquant Castigliano :pp q g

x

mNw /,

A xRMxwM AAAB ⋅−+⋅

=2

2

M x

83 LwRA

⋅⋅= V

xw ⋅ 2

AM

dxM

MIE

MMU

A

ABL

AB

MAA

A∂∂

⋅=

∂∂

= ∫= 00

θ ( ) dxIE

xRxwML AA⋅⋅

⋅

⋅−⋅

+= ∫ 12

0

Lw ⋅ 3

θEn posant MA = 0, ⇒ IEA ⋅⋅−=

48θ

i.e., dans le sens inverse de


i.e., dans le sens inverse de MA fictif

22


Thé è d C ti liThéorème de Castigliano

CommentaireCo e eLorsque le système est isostatique, il est plus simple de mettre sur la structure, dès le début, les charges réelles et fictives et d’établir les é i d’é ilib idé l d d héquations d’équilibre en considérant les deux types de chargement, fictif et réel.



Ch it 9 É i d déf tiChapitre 9: Énergie de déformation9.7 Énergie de déformation9.7.1 Expression de l’énergie pour un chargement uniaxial9.7.2 Énergie de déformation élastique pour un chargement général

Chapitre 14 : Méthodes énergétiques Fichier 1Chapitre 14 : Méthodes énergétiques14.2 Cas particuliers

14.2.1 Tension14.2.2 Flexion

Fichier 1

14.2.3 Torsion14.3 Théorème de la réciprocité, de Maxwell-Betti14.4 Théorème de Castigliano

h14.4.1 Application aux systèmes isostatiques14.4.2 Application aux systèmes hyperstatiques

14.5 Effets de l’effort tranchant

Fichier 2

Fichier 3



Jusqu’ici, on a négligé l’apport de l’énergie de déformation associée à l’effort tranchant dans le calcul de la flèche ou de l’angle de rotation.g

La notion de l’aire effective en cisaillement Ac simplifie considérablement le calcul de l’énergie de déformation due à l’effort tranchant et permet ainsi de tenir compte de l’effort tranchant dans le calcul de la flèche et de l’angle de rotation.g

Ac devient une propriété de la section au même titre que les moments d’aire et que la constante de torsion



Ai ff ti d i ill tAire effective de cisaillement

Ac est déterminée de façon à ce que l’énergie de déformation,c ç q g f

• calculée en utilisant la distribution moyenne de la contrainte de cisaillement agissant sur l’aire Ac par :

m AV

=τ

au lieu de la distribution réelle:cA

∫= dAV τ

• soit équivalente à l’énergie de déformation calculée en utilisant la distribution réelle de la contrainte de cisaillement sur la section



Ainsi, pour une contrainte de cisaillement τ, l ’énergie de déformation U est donnée par :

∫1

Puisque :

dVUV

⋅⋅= ∫ γτ21

G/q

on peut écrire :

G/τγ =

(a) 2

1 2∫ ∫ ⋅⋅= dxdAG

U τ2 ∫ ∫⋅ L AG



E idé l i d i ill iEn considérant la contrainte de cisaillement moyenne agissant sur l ’aire effective de cisaillement, l ’énergie de déformation est donnée par :p

∫∫ ∫ ⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=L

cmL A

m dxAG

dxdAG

U 22

21

21 ττ

Puisque

LL A GG 22

cm AV /=τ

(b) 2

1 2

∫ ⋅= dxAV

GU

2 ⋅ L cAG



1 (a) 2

1 2∫ ∫ ⋅⋅⋅

=L A

dxdAG

U τ

2(b)

21 2

∫ ⋅⋅

=L c

dxAV

GU

En comparant (a) et (b), on tire :

∫ dAV 22

∫ ⋅=Ac

dAA

2τ

(c) 2

2

∫ ⋅=

A

c dAVAτ


A

29


L’aire effective de cisaillement A d’une section estL aire effective de cisaillement Ac d une section est déterminée en utilisant (c). Lorsque sa valeur est connue, l’énergie de déformation due à l’effort tranchant peut alors êt l lé f il t tili t (b)être calculée facilement en utilisant (b).

2(b)

21 2

∫ ⋅⋅

=L c

dxAV

GU

(c) 2

2

∫=c dA

VA ( )2∫ ⋅

A

c dAτ




Exemple : Déterminer l’aire effective de cisaillement AC d’une p Cpoutre de section rectangulaire.

QV⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − yhb

2

bIQV

z

zy

⋅⋅

=τh y

⎞⎛ h1

⎠⎝

τx

yz

V

⋅=

3hbIb

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + yh

221 τ

yV

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⋅⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −⋅=⋅= )

2(

21)

2(

12

yhyhbyAQ

I

z

z

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

⋅⋅

= 22

3 26

yhhbVyτ


⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ 222 ⎦⎣ ⎠⎝hb



Exemple (suite) : Section rectangulairep ( ) g

dyyhhbV

bdAh

y

A

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅

⋅=⋅ ∫∫2

222/

062

22

236

2τ∫ ⋅

=c dAVA2

2

τA ⎦⎣ ⎠⎝0

dyyyhhhbV

dAh

y ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

=⋅ ∫∫2/

4224

6

22

22

272

τ

∫A

yyyhbA

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝⋅ ∫∫

06 22

VhhhVdA y ⋅

=⎥⎤

⎢⎡

⎟⎞

⎜⎛⋅+⎟

⎞⎜⎛⋅−⎟

⎞⎜⎛⋅

⋅=⋅∫

61272 255522τ

hbhbdA

A ⋅⋅=⎥

⎦⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝

+⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝⋅

=∫ 5252326τ

55 AhbA ⋅⋅⋅


66Ac ==

32



Application : yppAire effective de cisaillement Acd’un tube rond à paroi mince. z

R

t

A2AtRAc =⋅⋅= π

Aire effective de cisaillement Ac R29 RAcd’un tube rond plein.

R2

109 RAc ⋅⋅= π




Application : yppaire effective de cisaillement Acd’un tube rectangulaire à paroi mince. t

hzthAc ⋅⋅≈ 2

b

aire effective de cisaillement Ac

y

cd’une poutre en I.

hwt

zhwAc ⋅≈


b



Exemple : Déterminer la contribution de l’effort tranchant à la flèche pau point d’application de la force P

PP

L52200xWA B

PV

ABM Bx

•o

xPMM AB ⋅=⇒=∑ 0 2

46

33

h mm10x7,52I

MPa77x10G ; MPa10x200E=

==De A à B : 0 < x < L

xPMM ABo ⇒∑ 0 2c mm1627mm206x 7,9mmh x wA ===

PV =

S l C ti liU∂δ


Selon Castigliano :PB ∂

=δ


VM LL 22

dxAG

VdxIE

MUL

c

LAB ∫∫ ⋅⋅

+⋅⋅

=0

2

0

2

22

( ) ( )PVVPMMU LL ∂∂∂∂∂ //

MAB = P·x

V = P( ) ( )dx

AGPVVdx

IEPMM

PU L

c

LABAB

B ∫∫ ⋅∂∂

+⋅

∂∂=

∂∂

=00

//δ

( ) ( )LL LPLPPP 1 3( ) ( )c

L

c

L

B AGLP

IELPdx

AGPdx

IExxP

⋅⋅

+⋅⋅

⋅=

⋅+

⋅⋅

= ∫∫ 31 3

00

δ

⎤⎡3Plus la poutre est courte, plus la

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

⋅= 2

3 313 LAG

IEIE

LPc

Bδ

L, mm α α

p , pcontribution de l’effort tranchant

à la flèche est importante.

[ ]3

3

253x10

13

+⋅⋅⋅

⋅= αδ

IELP

B

α+1500 1,012 0,503

1000 0,253 0,202

2000 0,063 0,059


2L253x10 =α L en mm

36

, ,

4000 0,016 0,016



Problème synthèse: Portiquey qa) Déterminer les réactions aux appuis de

ce portiquemNw /,

B CD•

b) Déterminer la flèche au point C situé à L/2 L

2/L 2/L

Les joints en B et D sont rigides; les attaches en A et E sont des rotules A E

L



mNw /, mNw /,

B CD

,

B CD•

2/L 2/L

L

A

ERHA = RHE =A E

L

AV EV• Quatre réactions inconnues et trois équations d ’équilibre disponibles

∑∑∑ === 0;0;0 MFF•Problème hyperstatique du premier degré; on choisit une équation de compatibilité : δAH = δA = 0

∑∑∑ === 0;0;0 zyx MFF


• HA est la réaction surabondante

38


B D• B D•B CD B C

D

A E A E



mNw /, mNw /,

B CD

,

B CD•

2/L 2/L

L

A

ERHA = RHE =A E

L

Par symétrie, on peut poser VA=VE=(wL)/2.

AV EV

La valeur de HA et HE sera obtenue à l ’aide de :

∑ =⇒= HHF 00=

∂∂

=A HUδ


∑ =⇒= EAx HHF 0 ∂ AH

40


mNw /,Efforts internes

De A à B : 0 < x < LDe D à E : 0 < x < L

B CD

Efforts internes

De D à E : 0 < x < L

Px

L

LwP

xRM

AB

AB

⋅−=

⋅=

2ABM

ABP

V•o

AE

LwV ⋅ VRHA = RHE =

RVAB

AB

=2

RH

xABV 2

VA = EV

ALwV ⋅

=

RHA =


2VA =

41


mNw /,

De B à D : 0 < x < LB D

x

Efforts internes

22

2

xLwLRxwM BD ⋅⋅

−⋅+⋅

=V

LwxwV

RP

BD

BD

⋅−⋅=

= mNw /,

Bx

BDVBDM

BDP•o AE

LwV ⋅ V

RHA =

RHE =

2xwVBD x

2VA = EV

RHA =


A

2LwVA⋅=

42


xLwLRxwM BD ⋅⋅

−⋅+⋅

=xRM AB ⋅=

2

22

LwxwV

RP

xLRM

BD

BD

BD

⋅−⋅=

=

+

RV

LwP

AB

AB

=

⋅−=

2

( ) ( ) ( )∑∑∫∑∫∂∂

+∂∂

+∂∂

==∂

=δLR/PPdxR/VVdxR/MM0U ii

Lii

Lii

2

Selon Castigliano:

∑∑∫∑∫ ⋅+

⋅+

⋅==

∂=δ

AEAGIE0

R 0 c0A

( )1A B et DE

( ) ( ) ( )021

212200

⎞⎛⎞⎛

+⋅

−+

⋅+

⋅=

∂∂

∫∫ AE

LwL

AGdxR

IEdxxRx

RU L

c

L

( ) ( ) ( ) 010

221

21

00

2

=⋅+

+⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

∫∫ AELR

AG

dxwLwx

IE

dxLwLxwxRL L

c

L


00 c

BD

43


44 wLwL

02232232

33

=⋅

+⋅

⋅−

⋅+

+⋅

+⋅

=∂∂

AERL

IE

wLwLRL

AGRL

IERL

RU

c

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎛

+

⋅=

22 365

14 IEI

LwR⎟⎠

⎜⎝

+⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

+ 22 365ALGLAc

1⎟⎞

⎜⎛ EI 1⎟

⎞⎜⎛ ISi C l i12 <<<⎟⎟

⎠⎜⎜⎝ GLAc

12 <<<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

AL

'RwLR ≈

Si et

l

Conclusion :

L’effet de l’effort tranchant et de la force axiale sur l’énergie '

20RR =≈alors g

de déformation est négligeable



Pour un portique fabriqué d ’un profilé W200x52 :Pour un portique fabriqué d un profilé W200x52 :2246 1350et 6660 , 107,52 mmAmmAmmxI c ===

L, mm R/w x10-3

R’/w=L/20 x10-3

R’/R 20' wLR =

500 16,596 25 1,506

1000 44,405 50 1,127⎟⎞⎜⎛+⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+

⋅=365

14 IEI

LwR, ,

2000 96,974 100 1,032

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

+ 22 365ALGLAc

4000 198,57 200 1,007



Dans un portique de faible dimension L 500mm l ’effortDans un portique de faible dimension, L = 500mm, l ’effort tranchant contribue pour 50% de la réaction horizontale aux points A et E. Pour un portique aux dimensions plus normales, L = 4 m, cette contribution est de 0,7 %.

L, mm R/w R’/w=L/20 R’/R,x10-3 x10-3

500 16,596 25 1,506

1000 44,405 50 1,127

2000 96,974 100 1,032

4000 198,57 200 1,007



b) la flèche au point CmNw /,

fictive=P

∂UB C

D

0=∂∂

=P

C PUδ

L

Puisqu’il n’y a pas de force au point C,on ajoute une force fictive à cepoint ; il faut ensuite l ’équilibrer.

A

ERHA = RHE =

AV EV2/P 2/P



On utilise les réactions calculéesOn utilise les réactions calculées précédemment :

fictive=P

2wLVV EA ==

mNw /,

B CD

M

2EA

20wLRHH EA ===

LIci on néglige les effets de l ’énergie de déformation associée à la force axiale P et à ABM

BDM L

l ’effort tranchant V.

ERHA =wLwxPLRM2

A

2wLVA = EV

RHE =

2/P 2/PxRM AB ⋅=

x22

x2

LRMBD −+−⋅=


AB

48


LP 2 fictive=P

xRM AB ⋅=

x2

wL2

wxx2PLRM

2

BD −+−⋅= mNw /,

B CDwLR =xRM AB

dPMMU ii∑∫∂∂∂ )/(δ

ABM

BDM20R =

dxEIP

ii

Pc ∑∫=

∂=

=

)(0

δ

ERHA = RHE =A

2wLVA = EV

2/P 2/P∫ +=∂∂

=δ=

L

00Pc EI

dx)0(Rx2PU

∫−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+−L

2

0

EI

dx)2x()Lxx(

2wx

2PRL

EIwL

c 192013 4

=δ⇒


∫0 EI EI1920

49


P blè lé t i (f lt tif)Problème supplémentaire (facultatif) : Calculer les déplacements vertical et horizontal δhC et δvC dans la structure ci-contre soumise à la force P.

RB

0=∂∂

=Q

hC QUδ

0=∂∂

=Q

vC PUδ

PQ

B CEfforts internes :

θBCMBCP BCV

•oL

A CR

P Q



En négligeant les effets de la force axiale PBC et de l’effortEn négligeant les effets de la force axiale PBC et de l effort tranchant VBC sur l ’énergie de déformation :

BCP BCVDe B à C : 0 < θ < π

[ ])cos(1)sin( θθ −⋅+⋅−= RPRQM BC θBCM

R

•o

B C

RC

RP Q

P0=Q

C

ABM x De A à B : 0 < x < L

RPxQM AB ⋅⋅+⋅= 2



dxMU ∂∂∫ IE

dxP

MMPU i

iQ

CV ⋅∂∂

=∂∂

= ∑∫=0

δ

[ ])cos(1)sin( θθ −⋅+⋅−= RPRQM BC

RPxQM + 2 RPxQM AB ⋅⋅+⋅= 2

( )R cos11 θπ

[ ]{ } ( )∫ ⋅

−−⋅+⋅−

⋅=

L

CV

dxR

dIE

RRPRQIE 0

2

cos1)cos(1)sin(1 θθθθδ

[ ]∫ ⋅⋅⋅

⋅⋅+⋅+IEdxRRPxQ

0

22



dMU ∂∂IE

dxP

MMQU i

iQ

CH ⋅∂∂

=∂∂

= ∑∫=0

δ

[ ])cos(1()sin( θθ −⋅+⋅−= RPRQM BC

RPxQM AB ⋅⋅+⋅= 2

{ } ( )dRRPRQEI

L

CH −−⋅+⋅−= ∫0

sin)cos(1()sin(1 θθθθδπ

( ) dxxRPxQEI

L

⋅⋅⋅⋅+⋅+ ∫0

21


Engineering

Énergétique