Hydraulique à Surface Libre

v1.6.0

Ecoulement gravitaire en canal prismatiqueHYDRAULIQUE À SURFACE LIBRE

Roland O. YONABAIng. M.Sc. Eau & EnvironnementAssistant d’Enseignement et de Recherche en HydrauliqueDépartement Hydraulique et Assainissement/LEAH ‐ 2iEEmail: ousmane.yonaba@2ie‐edu.org

OBJECTIFS DE COURS■ Connaître et maîtriser les lois fondamentales de conservation en hydraulique

■ Conservation de masse (équation de continuité), de quantité de mouvement et d’énergie

■ Etre capable de résoudre les problèmes typiques en HSL au régime permanent et uniforme

■ Calcul de section, débit, vitesse, pente, rugosité, tirant d’eau,…

■ Maitriser les concepts régissant l’énergie des écoulements■ Energie hydraulique et spécifique

■ Connaître le régime permanent non uniforme■ Caractérisation des écoulements variés, notion de section de contrôle

■ Connaître l’influence de quelques singularités sur l’écoulement■ Changement de pente, de radier, de section, écoulement en courbe

17.04.16 2

SOMMAIRE

1. Hydrodynamique des écoulements à surface libre

2. Ecoulement uniforme

3. Dimensionnement des canaux à surface libre

4. Ecoulements graduellement variés

5. Ecoulements brusquement variés

6. La section de contrôle

7. Etude de quelques singularités

17.04.16 3

REFERENCES

17.04.16 4

■ Biaou, Chabi Angelbert. 2009. Cours d'Hydraulique à Surface Libre. Ouagadougou : 2iE, 2009.

■ Carlier, Michel. 1972. Hydraulique Générale et Appliquée. Paris : Eyrolles, 1972.

■ Class, Holger et Walter, Lena. 2011. Environmental Fluid Mechanics ‐ Part I :

Hydromechanics. Stuttgart : Universität Stuttgart, 2011.

■ Dufresne, Matthieu et Vazquez, José. 2013. Hydraulique pour le technicien et l'Ingénieur.

Strasbourg : ENGEES, 2013.

■ Graf, Walter et Mustafa, Altinakar. 1998. Hydraulique Fluviale. Lausanne : Presses

Polytechniques Romandes, 1998.

■ Idel'Cik. 1969.Memento de pertes de charges. Paris : Eyrolles, 1969.

■ Lencastre, A. 1996. Hydraulique Générale. Paris : Eyrolles, 1996.

■ Mar, Amadou Lamine. 2004. Cours d'Hydraulique ‐ T2: Ecoulements à Surface Libre. s.l. :

Groupe des Ecoles EIER‐ETSHER, 2004. Vol. 1.

■ Mounirou, Adjadi Lawani. 2014. Essentiel d'Hydraulique Générale. Ouagadougou : 2iE, 2014.

■ Te Chow, Ven. 1959. Open Channel Hydraulics. s.l. : McGraw‐Hill, 1959.

HYDRODYNAMIQUE DES ECOULEMENTS À SURFACE LIBRE

Chapitre I

01. GENERALITES

17.04.16

Domaines d’application

6

01. GENERALITES

■ Ecoulements semblables aux écoulements en charge (lois de conservations identiques)

■ Particularité : existence d’une surface libre : surface de contact entre l’écoulement et l’air libre, à pression atmosphérique :■ Débit d’écoulement défini par la

pente■ Mais pas par le gradient de

pression (comme dans le cas des écoulements en charge)

17.04.16

Définition des écoulements à surface libre

7

01. GENERALITES

17.04.16

Classification des écoulements à surface libre (1/2)

8

■ Paramètres : débit et hauteur d’eau■ Hypothèses : Ecoulement 1D (uni-dimensionnel) et conservatif■ Variables : temps et position

■ Classification des écoulements suivant le temps ■ Permanent (Q constant dans le temps à une section de référence)

■ Non permanent (Q variant dans le temps à une section de référence)

■ Classification des écoulements suivant la position■ Uniforme (et conservatif) : et y■ Varié : et y f x

■ Ecoulements Graduellement Variés (EGV)■ Ecoulements Brutalement Variés (EBV)

17.04.16 9

01. GENERALITESClassification des écoulements à surface libre (2/2)

Ecoulement permanent Ecoulement non permanent

Ecoulements uniformes et variés (régime permanent et conservatif)

01. GENERALITES

17.04.16

Forme géométrique

10

rectangle Trapèze

CercleTriangle

Parabole

01. GENERALITES

■ Largeur au radier : ■ Fruit de berges : ■ Tirant d’eau : ■ Largeur en miroir (en gueule) : ■ Section mouillée : ■ Périmètre mouillé : ■ Rayon hydraulique : /

■ Diamètre hydraulique : 4

■ Profondeur hydraulique : /

■ Profondeur du centre de gravité : ■ Pente de fond : tan

17.04.16

Paramètres géométriques et hydrauliques

11

01. GENERALITES

17.04.16

Eléments géométriques de formes paramétrées (tiré de Mar, 2004)

12

02. EQUATION DE CONTINUITE

■ Equation de continuité : équation fondamentale de la mécanique des fluides

« la variation de la masse fluide contenue dans un volume donné pendant un certain temps est égal à la somme des masses fluides qui y entrent, diminuée de celles qui en sortent »

17.04.16

Principe de conservation de masse (1/2)

13

02. EQUATION DE CONTINUITE

■ La variation de volume pendant le temps :

■ Entraîne la variation de la surface libre dans la même durée :

■ En égalisant les expressions, et en faisant l’hypothèse d’un régime permanent :

0 ⇒ 0 ⇒

17.04.16

Principe de conservation de masse (2/2)

14

03. VITESSE D’ECOULEMENT

17.04.16

Dimensionnalité et directionnalité de l’écoulement

15

Ecoulement tridirectionnel

, , Ecoulement bidirectionnel

,

Ecoulement unidirectionnel

Les calculs en hydraulique supposent le plus souvent un écoulement

unidirectionnel et unidimensionnel!


17.04.16

Répartition de vitesse dans la section d’écoulement

16

La vitesse n’est pas constante dans la section et est maximale à

approximativement 25% en dessous de la surface libre.

Influence de la rugosité des parois du canal sur le profil vertical de vitesse

(Chow, 1959)

Ven Te Chow(1914‐1981)


■ La vitesse moyenne en canal :

■ Cependant, la distribution de vitesse n’est pas uniforme dans la section.

■ Quelques relations empiriques existent :■ , (Prony)■ 0,5 , , (USGS)■ , (cf. Graf, 1996)

17.04.16

Vitesse moyenne en section de canal

17

Gaspard de Prony(1755‐1839)

1.

1

.

Équation 2D Équation 1D


■ La conception des canaux à ciel ouvert est parfois régie par des contraintes de vitesse

■ La vitesse d’écoulement doit assurer des fonctions particulières :■ Auto-curage (ou auto-entretien)■ Préservation de la stabilité structurale (érosion) du canal

■ En conséquence, la vitesse moyenne d’écoulement ne doit être ni trop faible, ni trop élevée

17.04.16

Vitesses limites

18

■ Afin d’éviter les dépôts des matériaux en suspension, on choisit une vitesse moyenne supérieure à une vitesse minimale donnée par la formule de Kennedy (1963) :

,

■ Alternativement, on peut adopter une forme de canal pour les faibles débits


17.04.16

Vitesse minimale

19


■ Elle est définie pour préserver la stabilité du canal contre l’érosion par affouillements. Elle est définie sur la base de deux approches :■ Sur la base du matériau formant le lit du chenal■ L’approche par la contrainte tractrice

■ Soit la contrainte tractrice . On définit alors:■ au fond■ sur les parois

17.04.16

Vitesse maximale

20

On adoptera des conditions d’écoulement telles queles contraintes maximales et soient inférieuresà une contrainte critique de destructuration du

matériau du canal


■ Vitesses minimales : on admet , / pour les limons fins et , / pour les sables

■ Vitesses maximales définies suivant la nature des parois

17.04.16

Valeurs indicatives

21

Nature des parois Vitesses maximales admissibles(m/s)

Terre détrempée 0,10 0,15 0,08

Argiles 0,25 0,30 0,15

Sables 0,50 0,60 0,30

Graviers 0,95 1,25 0,70

Roches stratifiées 2,25 2,75 1,80

Roches compactes 3,70 4,25 3,15


17.04.16

Diagramme de Hjulström (1935)

22

Henning Filip Hjulström(1902‐1982)

Diagramme définissant l’état d’un grain, en fonction de sa taille et

de la vitesse de l’écoulement.

Si le matériau en place forme le canal a une granulométrie connue, et peuvent être choisis sur la base du diagramme de Hjulström

04. REGIMES D’ECOULEMENT

■ Elle est exprimée à travers le nombre de Reynolds, en utilisant comme longueur caractéristique le diamètre hydraulique

,//

44 ,

■ Permet de classifier l’écoulement en trois régimes:■ Laminaire : 500■ Transitoire : 500 1000■ Turbulent : 1000

■ Cette classification a peu d’importance en HSL, les écoulements étant rarement laminaires

17.04.16

Effet des forces de viscosité

23

Osborne Reynolds(1842 – 1912)

04. REGIMES D’ECOULEMENT

■ Nombre adimensionnel exprimant le rapport entre la vitesse moyenne et la vitesse de propagation des petites ondes gravitaires (1861)

■ Permet de distinguer trois régimes d’écoulement :■ Fluvial : 1■ Critique : 1■ Torrentiel : 1

17.04.16

Effet des forces de gravité

24

William Froude(1810 – 1879)

05. PRESSION

■ En un point M dans un écoulement, la pression effective est :

cos

■ En admettant que la pente de fond est faible ( 10%, cos 1), il advient que ,d’ou :

cos

17.04.16

Répartition de pression

25

05. PRESSION

■ Dans le cas d’un écoulement se produisant sur un fond courbe, une accélération centrifuge de masse / est introduite, induisant une force d’inertie supplémentaire : la distribution de pression n’est plus hydrostatique

■ L’accélération / est positive sur fond concave (+) et négative sur fond convexe (-). L’expression de la pression sur le fond est :

17.04.16

Répartition de pression : cas des courants courbes

26

Sur fond concave, la pression sur le fond est abaissée et peut devenir inférieure à , entrainement un décollement du fond.

Sur fond convexe, la pression sur le fond est augmentée. Cela accentue l’érosion du

fond de la convexité

06. ENERGIE HYDRAULIQUE

■ La charge hydraulique en un point M : ⁄ 2⁄

■ La charge moyenne dans la section devient alors :

12

■ est le coefficient de Coriolis, de valeur comprise entre 1,03 et 1,36 suivant la rugosité des parois (Chow, 1959). On retient généralement la valeur de 1.

1

17.04.16

Charge hydraulique

27

07. REVÊTEMENT

■ Les fonctions assurées par le revêtement :

■ Réduction des pertes en eau par infiltration

■ Maximisation du débit, par réduction de la rugosité des parois

■ Minimisation de l’effet de l’érosion

■ Quelques exemples de matériaux de couverture :

■ Béton, asphalte, ciment,■ Bois,■ Matériau pulvérulent, graviers,

rochers, etc…

17.04.16

Définition et propriétés

28

ECOULEMENT UNIFORME

Chapitre II

01. ECOULEMENT UNIFORME

17.04.16

Définition et hypothèses

30

■ Un écoulement est dit uniforme lorsque les filets de courants sont rectilignes et parallèles, avec un profil de vitesse constant suivant le profil en long,■ Le débit , la vitesse et le tirant d’eau sont constants

■ Propriétés de l’EU :■ Canal prismatique (section constante)■ Vitesse moyenne constante d’une section à l’autre■ Distribution de pression hydrostatique■ Surface libre parallèle à la pente de fond


17.04.16

Mise en équation

31

■ Application de la 2nde loi de Newton : ∑

datum

1

2

sin0 (canal prismatique)

(écoulement uniforme)

→ 0 ⇒ sin


17.04.16

Equation de Chézy (1768)

32

■ Postulat de Chézy :

■ Il vient alors que :

■ C [m1/2.s-1] est la constante de Chézy et dépend :■ De la forme de la section■ De la rugosité■ Des conditions d’écoulement

Antoine de Chézy(1718 – 1798)


17.04.16

Formulations empiriques de la constante de Chézy

33

■ Kutter (1869)100

■ Bazin (1897)87

■ Powell (1950), logarithmique et implicite en C

2 log 4


17.04.16

Formulation de Bazin de la constante de Chézy

34

0,060,160,460,851,301,75

Nature de la paroi

Parois très unies (ciment lissé)Parois unies (planches, briques, pierres de taille)

Parois en maçonnerieParois en terre bien régulièresParois en terre ordinaires

Parois en terre et fond de galets ou herbes

Henri Bazin(1829 – 1927)

Valeurs du coefficient dans la formulation de Bazin du coefficient de Chézy (1897)

87


17.04.16

Formulation de Gauckler-Manning-Strickler de la constante de Chézy

35

■ Gauckler (1867) relie le coefficient de Chézy à

■ Puis, Manning (1889) et Strickler (1891) proposent une approche similaire :

/ /

■ D’où la formule très usitée de Manning-Strickler :

/ /

Robert Manning(1816‐1897)

Albert Strickler(1887‐1963)


17.04.16

Estimation du coefficient de rugosité de Manning-Strickler (1/2)

36

■ Le matériau de couverture est connu : la valeur de ou est prise dans les tables qui les définit suivant la nature du matériau

■ Le débit , la pente et le rayon hydraulique sont connus : la rugosité est approchée expérimentalement par jaugeage

■ Le revêtement est constitué de matériau non-cohérents : ou est approché de manière empirique :

26⁄

1

0,041 / 1

0,038 /


17.04.16

Estimation du coefficient de rugosité de Manning-Strickler (2/2)

37

Nature du cours d’eau

Petits torrents de montagne à fond très irrégulier 23 à 26Cours d’eau de montagne de 30 à 50m de large, pente supérieure à

0.002, fond de graviers atteignant 10 à 20 cm.27 à 29

Cours d’eau de montagne de 50m et plus de large, pente comprise entre 0.0008 et 0.002, fond de graviers ne dépassant que rarement 10 cm.

30 à 33

Rivières à fond de graviers de 4 à 8 cm et de pente 0.0006 à 0.0008 34 à 37Rivières à fond de graviers inférieurs à 4 cm et de pente 0.0006 à 0.0008 38 à 40Rivières à fond de sable ou petits graviers et de pente 0.0006 à 0.00025 41 à 42Cours d’eau peu turbulents, pente faible de 0.00012 à 0.00025, fond de

sable et de vase43 à 45

Très grands fleuves à très faible pente inférieure à 0.00012 et à fond très lisse

46 à 50

Valeurs estimatives de pour les cours d’eau naturels (CEMAGREF)


17.04.16

Rugosité des sections composites

38

■ Les vitesses dans les sous-sections sont différentes

, ,⁄

■ La vitesse dans les sous-sections sont proches de la vitesse moyenne U. D’où l’expression de rugosité équivalente (Einstein,1934)

é∑ /

⁄

Hans Albert Einstein(1904‐1973)


17.04.16

Problème typique : Calcul d’un débit

39

■ Pour un canal, le tirant , la pente , les dimensions , , et la rugosité sont connus. Nous souhaitons estimer le débit

■ On utilise la formule de Manning-Strickler

/

Ou l’écriture équivalente :

⁄

/


17.04.16

Problème typique : calcul d’une profondeur normale

40

■ Pour un canal, supposons , , les dimensions caractéristiques ( ,, ) et rugosité sont connus. Il s’agit d’estimer le tirant d’eau

■ L’écoulement est uniforme : est alors appelé profondeur normale (noté ) et est déduit de l’équation de Manning-Strickler par la méthode de la débitance.

/

/

■ Alternativement, il est possible d’employer la méthode de l’abaque ou des méthodes de convergence (point fixe, Newton-Raphson,…)


17.04.16

Calcul explicite de en canal rectangulaire

41

■ Achour et Bédjaoui (2006) proposent une formulation explicite pour le calcul de la profondeur normale en section rectangulaire

Bachir Achour

45

45

165

45

8965 ⋯


17.04.16

Calcul explicite de en canal trapézoïdal

42

■ Vatankhah (2013) propose une formule explicite pour le calcul de en section trapézoïdale (avec une erreur maximale 0,25%)

41

∗ 11

0,885 ∗ 0,98 1∗ 1,05 ,

,

12

12 1 ∗ 1 ,

,

Ali R. Vatankhah


17.04.16

Calcul explicite de en canal circulaire

43

■ On définit le débit adimensionnel ⁄⁄

■ Hager (1985) propose une approximation :

■ Achour (2013) propose une meilleure approximation :

Valable :• si 0,2 ⁄ 0,95 ( 5%)• Ou si 0,4 ⁄ 0,95 3%

34 1

712

, , ⁄ ⁄

Valable si ⁄ 0,75et 0,2842 , ,


17.04.16

Abaque de calcul de (tiré de Mar, 2004)

44


17.04.16

Variation de l’énergie le long d’un courant

45

■ Dans un écoulement en charge, la singularité provoque une diminution du débit.

■ Dans un écoulement en surface libre, malgré la présence d’une singularité, le débit reste constant, mais l’écoulement devient localement non uniforme■ Exemple d’un seuil : économie d’énergie en amont du seuil,

puis déperdition en aval du seuil

DIMENSIONNEMENT DES CANAUX À SURFACE LIBRE

Chapitre III

01. CRITERES D’IMPLANTATION

17.04.16

Choix de forme

47

■ La section semi-circulaire est la pluséconome, mais demande une plus grande profondeur. Elle est surtout employée pour les aqueducs en demi-buse (non enterrés) en irrigation.

■ La section rectangulaire doit être excavée dans un sol stable, car elle présente le risque éboulement desparois si la profondeur est grande.

■ La section trapézoïdale est la plus utilisée. Les cavaliers sont confectionnés avec les déblais et les banquettes sont aménagées lorsque la profondeur est grande.

01. CRITERES D’IMPLANTATION

17.04.16

Fruit des berges

48

■ Le fruit de berges doit être inférieur à l’angle de talus naturel lorsque le canal est confectionné avec le matériau en place.

■ On notera que plus le matériau est lâche, plus le fruit de berges est élevé.

Nature du terrainRoche ferme, maçonnerie ordinaire 0 à 0,25

Rocher fissuré, pierre sèche 0,5

Argile 0,74

Alluvions compacts 1

Terre ordinaire, sable grossier 2

Terre remuée, sable fin 2,5 à 3

Quelques valeurs pratiques du fruit de

berges pour les chenaux naturels

02. DIMENSIONNEMENT SIMPLE

17.04.16

Algorithme de calcul simplifié

49

■ Objectif : écouler un débit à travers une section dont les dimensions et le tirant d’eau sont à définir.

■ Hypothèse : écoulement uniforme.

■ Algorithme simplifié :■ Choisir d’une forme de canal (trapézoïdal, circulaire,…)■ Choisir d’un revêtement pour la définition de la rugosité ■ Soit fixer (trapézoïdal) ou (circulaire) et déterminer par

itération,■ Ou, fixer et déterminer par itération

■ Infinité de solutions possibles.

03. SECTION « ECONOMIQUE »

17.04.16

Section Hydrauliquement Favorable (SHF)

50

■ SHF : section minimisant et , de sorte à maximiser sur une pente donnée ou section minimisant pour un débit donné.

■ Elle est dite « économique », mais ne constitue pas toujours la meilleure solution lorsqu’il existe des contraintes:■ De type terrain horizontal■ De type profondeur limite■ De type vitesse limite d’écoulement

■ La section circulaire (cas I) est déjà économique par essence. Mais lasection trapézoïdale (cas II) nécessite des relations particulières entre ses dimensions pour être « hydrauliquement favorable ».

■ La SHF ne tient pas compte de la revanche


17.04.16

Cas I : section circulaire

51

■ Pour la section circulaire et ■ Conséquence : et

■ La fonction S est croissante avec points d’inflexion, tandis que la fonction P est croissante et linéaire.

■ De ce fait, et ne sont pas atteints à la même profondeur

■ Il apparait donc deux situations optimales pour la section circulaire hydrauliquement favorable ■ SHF pour la vitesse ■ SHF pour le débit

8 sin

2


17.04.16

SHF circulaire – vitesse maximale

52

■ En utilisant l’équation de Manning Strickler :

⁄

■ La vitesse est maximale pour :

Condition de vitesse maximale :

0

4,493 257, 453 °

/


17.04.16

SHF circulaire – débit maximum

53

■ En utilisant l’équation de Manning et Strickler :

⁄

■ Le débit est maximal pour :

Condition de débit maximal :

0

5,278 302,413 °

/


17.04.16

SHF circulaire : abaque

54


17.04.16

Valeur pratique pour le dimensionnement des sections circulaires

55

On retiendra plutôt un taux de remplissage de 75% ( 340 ° ). La perte de débit sera de 15% par rapport à .

2r = D

= 302°

= 258°

= 240° 0

r = D/2

1.88 r

1.63 r 1.5 r

0.5 r

15 %

Qmax.

Umax.

Niveau pratique

V(H)

Q(H)

Rh(H)

H

En général on évite de réaliser les SHF en section circulaire car avec les taux de remplissage atteints ( 94% à et 81,5% à ), la conduite peut se

mettre en charge.


17.04.16

Cas II : section trapézoïdale

56

■ La section et le périmètre dependent des variables et . Minimiser et implique 0 et 0

,, 2 1

⇒0 ⇒ 2 00 ⇒ 2 1 0

■ La solution non triviale (0,0) existe si le déterminant est nul. D’où la solution :

2 2⁄ 2 1

/

2 / ⇒ /

2 /

/ /

⇒


17.04.16

Cas II : section trapézoïdale – propriétés géométriques

57

■ Une section trapézoïdale et hydrauliquement favorable a ses trois côtés tangents à un demi-cercle inscrit de centre et de rayon

sin1

1

sin

⇒ sin2

1

On montre que, pour la SHF :

1 2 et 2 2


17.04.16

Cas II : section trapézoïdale – fruit de berges optimal

58

■ Le fruit de berges optimal pour une SHF trapézoïdale est celle qui fait de la section un semi-hexagone, soit °

■ Il est obtenu en retenant la solution non triviale ( 0) qui annule la dérivée du périmètre , pour variant :

2 221

1 0

⇒ °

■ Attention! Le fruit de berges optimal n’est pas toujours la meilleureoption

04. CALCUL DE SECTION AVEC CONTRAINTES

17.04.16

Section trapézoïdale avec vitesse limite

59

■ Contrainte : Il existe une vitesse maximale

■ Le couple solution , doit vérifier l’équation :

0

■ On définit le discriminant ∆ 4 .■ ∆ 0 : pas de solution. Diminuer et reprendre.■ ∆ 0 : solution unique : la SHF: /2■ ∆ 0 : retenir une solution pratique entre les deux suivantes:

∆⇒

∆⇒

/


17.04.16

Calcul d’une pente limite pour section trapézoïdale avec vitesse maximale

60

■ La pente d’écoulement optimale est à définir, ainsi que la section, mais pour une vitesse maximale déjà fixée.

■ Si est optimale, la section est alors hydrauliquement favorable pour écouler le débit de manière efficace. D’où l’écriture :

2 1

■ De l’équation de Manning-Strickler, il vient que :

⁄ ⁄ ⁄

/


17.04.16

Calcul d’une pente limite pour section trapézoïdale avec ou fixé

61

■ La pente d’écoulement optimale est à définir, mais l’une des dimensions ou est fixée, ainsi que la vitesse . Il vient alors que :

0■ La solution est de la forme :

■ De l’équation de Manning-Strickler, nous déduisons :

/

05. SYNTHESE DU CALCUL DE SECTION

17.04.16

1.10 – Principes de calcul

62

■ L’esprit du dimensionnement de section est de remplir les conditions suivantes :1. Minimiser l’emprise de l’ouvrage2. Minimiser la profondeur de fouille3. Minimiser la section de l’ouvrage4. Réaliser une vitesse d’écoulement ni trop faible, ni trop élevée

■ En général, on essaiera le plus souvent de :■ Satisfaire les conditions 3 et 4 en premier,■ Revoir les dimensions afin de satisfaire les conditions 1 et 2 (si

besoin est)■ Jouer la pente pour satisfaire la condition 5 (si besoin est).

ECOULEMENTS GRADUELLEMENT VARIES

Chapitre IV

01. ECOULEMENTS VARIES

17.04.16

Définition

64

■ Les écoulements variés se rencontrent dans les rivières au profil irrégulier, près dessingularités en canal et en zone de transition entre deux écoulements uniformes.

■ Ils sont caractérisés par une variation de la hauteur d’eau entre deux sections. ■ Les écoulements graduellement variés (EGV)■ Les écoulements brusquement variés (EBV)

02. CARACTERISATION DES EGV

17.04.16

Hypothèses et propriétés

65

■ Les EGV se caractérisent par une variation « lente » et « continue » de la ligne d’eau, soit en exhaussement ou en rabaissement.

■ Dans l’étude des EGV, on admet les hypothèses suivantes : ■ La courbure des lignes de courant est suffisamment faible pour être négligée■ La distribution de pression reste hydrostatique■ Le coefficient de Coriolis reste constant

■ La loi de débit par Manning-Strickler s’écrit désormais :

⁄

⁄

03. ENERGIE DES ECOULEMENTS

17.04.16

Charge moyenne et charge spécifique

66

■ Soit l’énergie totale H :

■ La charge diminue toujours dansle sens de l’écoulement■ est décroissante

■ La charge spécifique est la charge moyenne ramenée au fond du canal x

2y

1y

∆

/

/

04. ENERGIE SPECIFIQUE

17.04.16

Variation de suivant

67

■ Etudions la variation de suivant le profil en long du canal :

■ En écoulement uniforme, : est constante.

■ En écoulement non uniforme, :■ If , augmente, diminue.■ If , diminue, augmente.


17.04.16

Variation de suivant pour un débit Q donné (1/2)

68

■ Pour un débit fixé :■ Si → 0, S → 0 donc → ∞■ Si → ∞, → ∞ donc → → ∞■ Aussi, si → ∞, ⁄ → 1, donc → (asymptote)

■ On établit l’expression :

1 1

■ est minimale pour 1 : c’est le régime critique.


17.04.16

Variation de suivant pour un débit Q donné (2/2)

69


17.04.16

Propriétés de la charge spécifique

70

■ Pour qu’il y ait écoulement d’un débit , une charge spécifiqueminimale est nécessaire. C’est la charge spécifique au régimecritique.

2

■ Pour une charge spécifique , le débit est écoulé sous deux régimes possibles :■ 1 : fluvial (potentiel élevé, cinétique faible)■ 1 : torrentiel (potentiel faible, cinétique élevée)

■ Le régime critique 1 est un régime de transition, instable, qui apparaît généralement aux sections de contrôle.


17.04.16

Charge spécifique critique (1/2)

71

■ À la profondeur critique :

11

■ On en déduit donc :


17.04.16

Charge spécifique critique (2/2)

72

2

2

8sin

sin 2


17.04.16

Variation de pour une énergie spécifique fixée (1/2)

73

■ Pour une charge spécifique fixée , étudions la variation du débit avec la hauteur d’eau

■ On en déduit le comportement suivant aux limites :■ → 0, → 0, → 0■ → , → 0

■ Le graphe est parabolique et admet un maximum pour

0 ⇒ 1 ⇒


17.04.16

Variation de pour une énergie spécifique fixée (2/2)

74

Ainsi, pour une énergiespécifique fixée, le débit estmaximal lorsque le régime est critique. La hauteur d’eaucorrespondante est appellée“tirant d’eau critique”

05. REGIME CRITIQUE

17.04.16

Propriétés

75

■ L’écoulement critique présente les propriétés suivantes :

■ Il transporte un débit avec une charge spécifique minimale

■ Pour une énergie spécifique fixée, il transporte le débit maximal

05. REGIME CRITIQUE

17.04.16

Calcul de la profondeur critique

76

■ La profondeur critique est obtenue par résolution de la condition critique 1.

■ Canaux rectangulaires :

■ Canaux triangulaires :

■ Canaux circulaires :

2

2 1 cos 2sin 8 sin 2

Cette équation est engénéral résolue par la méthode des itérations

successives dans le cas des sections trapézoïdales

et circulaires

La profondeur critique resteindépendante de la pente

1 ⇒ 1 ⇒

05. REGIME CRITIQUE

17.04.16

Calcul explicite de en section trapézoïdale

77

■ Vatankhah (2013) propose la méthode explicite suivante, d’erreurmaximale relative 0,07%, en section trapézoïdale symétrique :

4

t 1 1,161 1 0,666 , ,

12

12

5 16

Ali R. Vatankhah

05. REGIME CRITIQUE

17.04.16

Calcul explicite de en section circulaire

78

■ En notant l’erreur relative, Hager (1999) propose les approximations suivantes en canal circulaire :

■ De plus, en posant que le débit réduit ⁄ :

Valable si 0,3 ⁄ 0,95Avec une erreur relative 4%

Valable si 0,2 ⁄ 0,91Avec une erreur relative 4%

Valable si 0,1 0,75Avec une erreur relative 4%

53

32

/

05. REGIME CRITIQUE

17.04.16

Abaque de calcul de (tiré de Mar, 2004)

79

05. REGIME CRITIQUE

17.04.16

Ecoulement à l’approche d’une chute

80

■ En pratique, il est admis que le tirant d’eau est critique pour un écoulement à pente faible à l’approche d’une chute.

■ Rouse (1938) et Rajaratnam (1964) ont montré que la hauteur à l’approche d’une chute est en réalité , à , tandisque est mesuré à une distance de 3 à4 en amont de la chute

N. Rajaratnam

05. REGIME CRITIQUE

17.04.16

Franchissement d’un déversoir

81

■ En pratique, il est admis que le tirant d’eau est critique lors du franchissement de la crête d’un déversoir

Déversoir à seuil minceLe tirant d’eau à la crête est critique

Déversoir à seuil épaisL’écoulement au dessus de la crête est assimilable à l’écoulement à l’approche

d’une chute

05. REGIME CRITIQUE

17.04.16

Pente critique

82

■ La pente critique est la pente pour laquelle un débit donné s’écoule en régime uniforme à la profondeur normale critique

■ On ne dimensionne jamais un canal avec une pente critique. Le comportement de la ligne d’eau y serait imprévisible.

■ La détermination de la pente critique nécessite la résolution simultanée de la condition critique et de l’équation de Manning-Strickler pour la section critique.

⁄

05. REGIME CRITIQUE

17.04.16

Problèmes typiques au régime critique

83

■ Si l’on cherche la pente critique et que le débit est connu, on résout la condition critique pour obtenir et l’on déduit de l’équation de Manning-Strickler la pente

⁄

■ Si l’on cherche le tirant critique et que la pente critique est connue, la résolution itérative de l’équation suivante fournit la solution

⁄

06. TYPES DE CANAUX

17.04.16

Classification des canaux suivant le type de pente (1/2)

84

■ Il s’agit d’attribuer une lettre latine à un bief de canal, obtenue en faisant la comparaison entre et , ou entre et , ou entre et 1

Signe de la pente

Pente Tirant d’eau NotationFrançaise

Notationanglaise

Type de canal

0

F : fluvial M : mild Canal à pente faible

C : critique C : critical Canal à pente critique

T : torrentiel S : steep Canal à pente forte

0 → ∞ H : horizontal H : horizontal Canal horizontal

0 ? A : adverse A : adverse Canal à contre pente

06. TYPES DE CANAUX

17.04.16

Classification des canaux suivant le type de pente (2/2)

85

Pente critique

Pente faible (Canal de type F

Pente forte (Canal de type T

Pente critique (Canal de type C

Pente nulle 0Canal de type H

Pente adverse 0Canal de type A

Attention: ne pas confondre le type de canal à l’écoulement qui s’y produit. Il est possible d’avoir un EGV fluvial en canal T, ou un EGV torrentiel en canal F

07. COURBES DE REMOUS

17.04.16

Définition et problématique

86

■ C’est le profil en long de la surface libre dans un EGV exprimée en fonction de l’abscisse de la section considérée

■ En canal prismatique, la pente étant constante, elle se réduit à la fonction analytique . Son expression n’est pas connue à priori et reste difficilement approchable. Mais sa dérivée / reste connue.

■ Pour un EGV, on compare la position du tirant d’eau varié aux tirants d’eau et . On en déduit les 3 cas suivants :■ est au dessus de et de : zone 1■ est compris entre et de : zone 2■ est en dessous de et de : zone 3


17.04.16

Nomenclature

87

■ En associant le type de canal à la position de la ligne d’eau, on établit l’existence de 13 profils différents de lignes d’eau.

■ Fluvial : , ■ Critique : , ■ Torrentiel : , ■ Horizontal : ■ Adverse :

NB: Le est sujet à controverse!

■ Pas de remous de type (car → ∞) et de type (car ?)


17.04.16

Courbes en canal de classe F (ou M)

88Courbes de remous en canal à pente faible (type F ou M)


17.04.16

Courbes en canal de classe T (ou S)

89Courbes de remous en canal à pente forte (type T ou S)


17.04.16

Courbes en canal de classe C

90Courbes de remous en canal à pente critique (type C)


17.04.16

Courbes en canal de classe H

91Courbes de remous en canal à pente nulle (type H)


17.04.16

Courbes en canal de classe A

92Courbes de remous en canal à pente adverse (type A)


17.04.16

Comportement de la ligne d’eau aux limites

93

■ Les limites des zones 1,2 et 3 sont : 0, , ∞

■ Quand → 0, → et la courbe de remous tend asymptotiquementvers

■ Quand → , la courbe de remous devient normale à et l’onobserve une variation brusque de la ligne d’eau : il s’agit d’un ressaut ou d’une chute.

■ Quand → ∞, alors → 0 et ⁄ → : la ligne d’eau tend versl’horizontal

■ Quand → 0, on obtient une indétermination de type ∞/∞ qui sera levée par une condition aux limites définissant l’origine du débit


17.04.16

Equation dynamique de la ligne d’eau

94

■ On recherche la dérivée de la fonction caractérisant le profil en long de la ligne d’eau. Il a été établi les relations suivantes :

1

■ On en déduit alors que :

■ est donné par la formule de Manning-Strickler en écoulement non uniforme :

⁄


17.04.16

Section de contrôle

95

■ La résolution de l’équation de la ligne d’eau nécessite une condition à la limite : c’est la section de contrôle, à l’abcisse où l’on connaitle tirant d’eau

■ Cette section est définie à partir des propriétés hydrauliques de la singularité occasionnant le remous : déversoir, vanne de fond, changement de pente, de section, exhaussement ou décrochement du fond

■ Elle est située à l’aval en EGV fluvial pour les courbes, , , , , et se calcule de l’aval vers l’amont.

■ Elle est située à l’amont en EGV torrentiel pour les courbes, , , , , et se calcule de l’amont vers l’aval.


17.04.16

Méthodes de calcul

96

■ L’intégration du problème différentiel suivant permet de définir le profil de la ligne d’eau

1

⁄

1

■ Les méthodes de résolution suivantes sont employées:■ Méthode d’intégration graphique■ Méthode d’intégration directe (Bresse, Bakhmeteff, Chow,

Silber, Raytchine et Chatelain, Pavlovski,…)■ Méthode des différences finies


17.04.16

Méthode d’intégration graphique

97

■ Soit la fonction

■ Le canal étant supposé prismatique :

■ Le calcul est mené par petits pas ∆ constants dont la finesse définira la précision du résultat. La méthode reste applicable à toutes formes de section de canal prismatique

1

⇒


17.04.16

Méthode d’intégration directe de Bakhmeteff (1/5)

98

■ Méthode applicable à toutes les formes de sections. Elle emploie la formule de Manning-Strickler pour l’expression de la perte de charge

■ On définit les quantités et qui sont des débitances dépendant respectivement de l’écoulement normal et de l’écoulement varié

⁄

⁄

Boris Bakhmeteff1880‐1951

Jean Antoine Charles Bresse1822‐1883


17.04.16


99

1

1

1

1

1

1

■ Soit le débit correspondant à la débitance pour l’écoulement varié sur la pente critique . Il advient alors :

⇒ 1 1

■ D’où :

1

1


17.04.16


100

■ Bakhmeteff fait l’hypothèse que le carré de la débitance varie comme une fonction puissance du tirant d’eau.

ù

■ Si l’on pose ⁄ et ⁄ alors :

1

11

1


17.04.16


101

■ A partir de la section de contrôle , , on développe la relation suivante

, Φ , 1

■ La fonction , est lue sur la table de Bakhmeteff ou approchée par le développement limité suivant :

, ,

, ,


17.04.16


102

■ Algorithme d’application de la méthode de Bakhmeteff■ Calculer les profondeurs , ■ En déduire puis /■ Calculer / et /■ Calculer l’exposant hydraulique de section ■ Lire sur la table de Bakhmeteff les valeurs , et , ou

les calculer à partir du développement limité de ,■ Calculer la longueur de la courbe de remous :

, ,


17.04.16

Détermination de l’exposant hydraulique (1/2)

103

■ L’exposant hydraulique s’obtient par représentation de la débitance en fonction du tirant d’eau sur papier bi logarithmique :

⁄

■ L’exposant est la moitié de la pente de la droite obtenue

ln12 ln 2 ln 2 ln

■ Quelques valeurs indicatives pour des formes paramétrées :■ rectangulaire : 2 ≪ , 2,5 2 , 3 ≫■ trapézoïdale : 3 4■ triangulaire : 5,3 5,5■ parabolique : 4


17.04.16

Détermination de l’exposant hydraulique (2/2)

104

■ Chow (1959), partant du postulat et en dérivant l’équation de Manning-Strickler, établit que :

2lnln 2

43

■ La relation peut être généralisée pour une section trapézoïdalesous la forme suivante :

■ L’analyse de la relation précédente montre que ,


17.04.16

Méthodes des différences finies

105

■ Elles sont basées sur une subdivision du canal en biefs courts et une progression par pas de calcul■ Méthode de variation de profondeurs ou à pas directs : ∆

fixé, ∆ calculé■ Méthode des tronçons ou à pas standards: ∆ fixé, ∆ calculé

■ Ces méthodes introduisent une erreur systématique d’ordre 2 (∆ou ∆ selon les cas) mais elles sont suffisamment précises pour les applications pratiques. Elles ont des variantes sur la manière d’évaluer les valeurs moyennes sur le bief ∆

■ Nous exposerons ici la méthode des pas directs (cf. Mar, 2004 pour la

méthode des pas standards).


17.04.16

Méthodes des pas directs

106

■ Algorithme d’application : soit connu à la section de contrôle

■ Calculer et ■ Pour ∆ , calculer et ■ Calculer /2 ou /

■ Calculer ∆ / ■ Passer à la section suivante en prenant et ∆

ECOULEMENTS BRUSQUEMENT VARIES

Chapitre V

01. ECOULEMENT BRUSQUEMENT VARIE

17.04.16

Définition

108

■ Un EBV est un écoulement permanent dont les variables physiques varient très vite (voire de manière discontinue) dans l’espace.

■ Caractéristiques des EBV :■ Courbure prononcée des lignes de courant (répartition des pressions

non hydrostatique)■ Coefficient de Coriolis ≫ 1■ Effet de frottement contre les parois négligeable (distance courte)■ Surface libre souvent instable et irrégulière

■ Principe d’étude : l’on choisit deux sections englobant l’EBV■ Théorème d’Euler pour les EBV divergents (dissipation d’énergie) : cas

du ressaut hydraulique■ Théorème de Bernoulli pour les EBV convergents (sans dissipation

d’énergie) : cas des écoulements sous vanne (cf. section de contrôle)

02. RESSAUT HYDRAULIQUE

17.04.16

Illustration (1/2)

109

Barrage des Trois Gorges, Yangzi Jiang, Chine


17.04.16

Illustration (2/2)

110

Ressaut en canal rectangulaire en aval d’un déversoir


17.04.16

Définition

111

■ Un ressaut est une surélévation brusque de la ligne d’eau au passage d’un écoulement torrentiel à un écoulement fluvial.

■ Les hauteurs d’eau avant et après le ressaut sont appelées profondeurs conjuguées.

Ressaut aval d’un déversoir sur le fleuve MississipiRessaut circulaire en évier


17.04.16

Classification des ressauts sur la base du Froude d’amont

112


17.04.16

Valeurs caractéristiques

113

■ Hauteur du ressaut : ■ Rendement du ressaut :

■ Perte de charge au ressaut :

∆

■ Longueur du ressaut (formules empiriques)■ Smetana : ■ Safranez : ,■ Miami District :

■ Hsing et Posey (trapézoïdal) :

Jan Smetana(1883‐1962)


17.04.16

Notion d’impulsion (1/3)

114

■ Soit la quantité notée et appelée impulsion. On pose :

■ Application du théorème des quantités de mouvement entre les sections et du ressaut :

■ Il y a conservation de l’impulsion au ressaut


17.04.16


115

■ L’analyse de la fonction montre que :■ Si → 0, → 0 et → ∞■ Si → ∞, → ∞ et → ∞

■ La fonction étant positive et continue sur 0,∞ elle admet nécessairement un minimum.

1

0 ⇒ 1 é

■ Au régime critique, l’impulsion est minimale.


17.04.16


116

■ Un débit donné peut s’écouler sous deux profondeurs (torrentiel) et (fluvial) qui sont des profondeurs conjuguées au sens du ressaut

■ Ce principe est utilisé pour la résolution graphique du calcul d’une profondeur conjuguée par le ressaut


17.04.16

Réajustement de l’équation d’Euler

117

■ L’équation de conservation de l’impulsion peut être présentée de la façon suivante

1 1

■ En posant (avec un coefficient indiquant la position du centre de gravité de section) on en déduit:

■ Cette forme simplifiée servira à l’écriture de l’équation du ressaut en canal rectangulaire et triangulaire


17.04.16

Ressaut en canal rectangulaire (1/3)

118

■ En canal rectangulaire, on définit les relations suivantes :

12

■ En posant / , on établit une équation symétrique du 2nd degré :

■ La résolution en ,donne l’expression d’un discriminant toujours positif :

∆ 8 18

1 8 0


17.04.16


119

■ La solution physiquement acceptable est l’équation de Bélanger :

■ Ou sa solution duale, obtenue en résolvant le problème en :

Jean‐Baptiste Charles Joseph Bélanger(1790‐1894)


17.04.16


120

■ Il est alors possible d’écrire des expressions simplifiées du rendement ressaut et de la perte de charge au ressaut ∆ pour la section rectangulaire :■ Rendement du ressaut :

■ Perte de charge au ressaut :

∆


17.04.16

Ressaut en canal triangulaire

121

■ En canal triangulaire, on définit les relations :

13

■ Ce qui permet d’établir la relation suivante :


17.04.16

Ressaut en canal circulaire

122

■ Soit / le taux de remplissage de section

■ En canal circulaire, Hager (1999) propose une approximation pour le calcul de la profondeur aval connaissant la profondeur d’amont , valable si et seulement si , : ■ on définit les débits réduits et

■ La valeur de est alors donnée par la relation :

,


17.04.16

Degré de submersion du ressaut

123

■ Lorsque le tirant d’eau conjugué de l’écoulement torrentielamont est inférieur au tirant d’eau normal fluvial d’aval , le ressaut est dit « submergé ». Le cas échéant, on parlera de ressaut « libre » .

■ Le facteur de submersion peut être évalué :

■ La longueur du ressaut submergé :■ Selon Lencastre, 1996 : , ,■ Selon Rao et Rajaratnam, 1963 : , ,

Armando Lencastre(1924 ‐ ?)


17.04.16

Position du ressaut (1/4)

124

■ La position du ressaut est définie suivant la relation entre le point de contrôle au torrentiel d’amont et le tirant d’eau fluvial normal aval.

■ Soit la hauteur de la veine contractée, son conjugué par le ressaut et le tirant d’eau normal aval.

■ Cas 1 : on a . Le ressaut se forme au pied de la chute


17.04.16


125

■ Cas 2 : on a . Le ressaut se déplace vers l’aval

■ Cas 3 : on a . Le ressaut est noyé.


17.04.16


126

■ Dans le cas où le régime uniforme aval arrive à s’établir (bief aval suffisamment long), on fait l’hypothèse que le ressaut effectue la connexion avec l’écoulement normal aval.

■ La démarche de résolution est alors la suivante :■ On évalue par Manning-Strickler la profondeur à l’aval■ Puisque , conjugué de par le ressaut d’amont, on

déduit par l’équation d’Euler■ On détermine alors l’abscisse à laquelle la hauteur est

atteinte par la courbe de remous d’amont, en partant de son point de contrôle amont à la section de contrôle


17.04.16


127

■ Si l’écoulement uniforme ne s’établit pas à l’aval, on recherche la position précise du ressaut à l’intersection entre le conjugué de la ligne d’eau torrentielle en amont et fluvial en aval

■ Procédure :■ tracer les lignes d’eau amont et

aval■ Tracer la conjuguée de la ligne

d’eau amont■ Définir la droite A’Z’ à

l’intersection à l’amont■ Calculer la longueur du ressaut

■ Positionner de sorte que et parallèle au fond

du canal■ Le ressaut est alors localisé

entre A et Z.


17.04.16

Applications du ressaut hydraulique

128

■ Le ressaut hydraulique peut être forcé en canal afin de remplir les objectifs suivants :

■ Dissiper l’énergie à la sortie des évacuateurs de crue et vannes de fond, afin de limiter l’érosion régressive sur le talus aval.

■ Augmenter, maintenir, réguler le débit vanné ou déversé

■ Réaliser une coupure hydraulique dans un écoulement, de sorte que l’aval n’influence pas l’amont

■ Mixer les produits chimiques dans le traitement de l’eau

■ Aérer l’eau

LA SECTION DE CONTRÔLE

Chapitre VI

01. SECTION DE CONTRÔLE

17.04.16

Définition

130

■ Il s’agit de toute singularité permettant le passage d’un régime fluvial au torrentiel.

■ Cela suppose l’existence d’un régime critique localisé au droit de la section de contrôle où la relation « débit-hauteur » est univoque■ La section de contrôle est utilisée pour la mesure de débit.■ La courbe est appelée courbe de tarage

■ Le contrôle d’un écoulement:■ fluvial se fait à l’aval de cet écoulement■ torrentiel se fait à l’amont de cet écoulement

■ Nous aborderons le cas des déversoirs et des vannes de fond.

02. DEVERSOIRS

17.04.16

Définition (1/2)

131

■ Considéré comme un orifice incomplet laissant passer l’eau en nappe par-dessus.

■ Deux types distincts : frontal, ou latéral

02. DEVERSOIRS

17.04.16

Définition (2/2)

132

■ Le déversoir peut se résumer à une plaque de hauteur appelée « pelle », obstruant le passage de l’eau.

■ On distingue les déversoirs à seuil mince /2 et les déversoirs à seuil épais 2 /3 (CETMEF, 2005)

■ Pour un seuil ni mince, ni épais, aucune loi à priori n’étant définie, une étude spécifique est nécessaire

Déversoir à seuil mince Déversoir à seuil épais

02. DEVERSOIRS

17.04.16

Modes de fonctionnement

133

■ Le déversoir peut fonctionner en écoulement noyé ou dénoyé.Fonctionnement dénoyéLa hauteur en amont (appelée marnage) est

entièrement conditionnée par le débit déversé. La hauteur aval n’influence

pas l’écoulement

Fonctionnement noyéLa côte d’eau à l’aval passe au

dessus du seuil. La hauteur en amont en alors influencée par le débit et par la hauteur aval . Plus le ratio / augmente, plus l’influence sur le débit est

grande

02. DEVERSOIRS

17.04.16

Formule des déversoirs à seuil mince

134

■ Pour un déversoir frontal de largeur , le débit passant au dessus est lié à un coefficient de contraction :

/

■ Existence de formules empiriques spécifiques : Bazin (1898), Rehbock(1929), Francis, Gourley et Grimp, Thompson, Cipoletti, Hegly, etc.

■ Le choix de la forme du déversoir se fait suivant le débit à mesurer :■ Triangulaire, si 30 /■ Rectangulaire, si 300 /

02. DEVERSOIRS

17.04.16

Formule des déversoirs à seuil épais

135

■ Pour les seuils épais, il est admis que l’écoulement sur la crête épaisse se fait en régime critique. Le débit déversé est alors :

■ Cette relation suppose les coefficients (donnés par les tables)■ , coefficient de débit, représentant les conditions d’amenée■ , coefficient de vitesse ( 1)

■ Une approche simplifiée ne tenant pas compte des coefficients définis ci-dessus peut être retenue :

■ Existence d’approches empiriques par Bélanger, Bazin,…

03. VANNES

17.04.16

Définition

136

■ Considéré comme un organe mobile placé de manière frontale (ou latérale) permettant la régulation de la hauteur d’eau en amont et la régulation du débit à la sortie d’un réservoir d’eau

03. VANNES

17.04.16

Modes de fonctionnement

137

■ La vanne de fond peut fonctionner en écoulement noyé ou dénoyé.

Fonctionnement dénoyéAprès la vanne, on observe un raccordement rapide au a) torrentiel normal d’aval ou b) fluvial normal d’aval

par un ressaut

Fonctionnement noyéOn observe un tirant d’eau fluvial aval. Cela se produit lorsque le conjugué de la hauteur de veine contractée par le ressaut est inférieur au tirant d’eau

normal aval

03. VANNES

17.04.16

Principe d’étude

138

■ Soit la hauteur de levée de la vanne et le coefficient de contraction de l’orifice. La hauteur .

■ Le principe d’étude est alors le suivant : on définit deux sections, l’une à l’amont immédiat de la vanne et l’autre à la naissance de la veine contractée et l’on applique le théorème de Bernoulli.

2 2

■ Le fond est supposé plat entre les deux sections (dénivelée quasiment nulle). Il advient alors que

2 2

03. VANNES

17.04.16

Cas d’une vanne rectangulaire dénoyée

139

■ Pour une section rectangulaire de vanne dénoyée, on a :

2 2■ On en déduit :

■ En admettant que ≪ , on obtient la relation simplifiée :

03. VANNES

17.04.16

Cas d’une vanne rectangulaire noyée

140

■ Pour une section rectangulaire de vanne noyée, on a :

2 2

■ On en déduit :

■ En admettant que ≪ , on obtient la relation simplifiée :

ETUDE DE QUELQUES SINGULARITES

Chapitre VII

01. SINGULARITES

17.04.16

Objectifs d’étude

142

■ En canal prismatique, le régime d’écoulement reste uniforme, mais perturbé aux abords des singularités.

■ En écoulement en charge, la singularité entraine une chute brusque de la ligne de charge. En écoulement à surface libre, elle modifie la ligne d’eau sur un bief plus ou moins long.

■ Etudier les singularités permettra de :■ Prévoir un dimensionnement local des ouvrages afin de

contenir les perturbations engendrées par les singularités■ Modifier les dispositions des singularités de sorte à réduire

les irrégularités de l’écoulement

01. SINGULARITES

17.04.16

Types de problèmes

143

■ Deux situations de calcul peuvent se présenter■ Cas 1 : le débit est connu. Il s’agit alors de déterminer les sections

de contrôle et de définir la ligne d’eau dans la zone d’influence de la singularité

■ Cas 2 : le débit n’est pas connu. Il s’agit alors de le déterminer à partir d’une condition de niveau et de tracer alors la ligne d’eau

■ Divers types de singularités :■ Changement de pente, de radier, de section■ Pile de ponts, grille, coudes■ Passage canal-réservoir, réservoir-canal

■ Nous n’aborderons ici que les changements de pente, les écoulements dans les courbes et les transitions (cf. Mar, 2004 pour le développement des autres cas)

01. SINGULARITES

17.04.16

Leçons tirées de l’étude des EGV (1/2)

144

■ Pour une charge spécifique donnée correspond deux tirants d’eau : (torrentiel) et (fluvial)

■ L’écoulement d’un débit nécessite une charge spécifique minimale critique

■ Les courbes , , , sont des courbes qui permettent d’augmenter l’énergie spécifique : ⁄ 0

■ Le passage du fluvial au torrentiel nécessite de passer par une section critique (chute)

■ Le passage du torrentiel au fluvial nécessite un ressauthydraulique

01. SINGULARITES

17.04.16

Leçons tirées de l’étude des EGV (2/2)

145

■ Il n’existe pas de courbe de remous qui se raccorde à un tirant d’eau normal torrentiel en amont : l’écoulement torrentiel, contrôlé par l’amont, arrive jusqu’à la singularité, ou au ressaut.

■ Il n’existe pas de courbe de remous qui se raccorde à un tirant d’eau normal fluvial en aval: l’écoulement fluvial, contrôlé par l’aval, arrive jusqu’à la singularité ou au ressaut

02. CHANGEMENT DE PENTE

17.04.16

Augmentation de la pente de fond

146

Remous (ou )Remous (ou )

Remous (ou )

02. CHANGEMENT DE PENTE

17.04.16

Diminution de la pente de fond

147

Remous (ou )Remous (ou )

Remous (ou ) et ressaut Ressaut et remous (ou )

03. COURBES

17.04.16

Dévers transversal de la surface libre d’un écoulement dans une courbe

148

■ Un écoulement en courbe voit naitre des courants secondaires impulsant un mouvement hélicoïdal aux masses fluides. Il se crée alors :■ Des pertes de charges singulières (négligeables si 2 ou

45°)■ Un dévers latéral et symétrique de la surface libre de valeur ∆ (surélévation du côté extérieur, abaissement du côté intérieur)

∆ 2

04. TRANSITIONS

17.04.16

Passage d’une transition

149

■ Une transition est un bref passage d’un écoulement uniforme à un autre qui se fait par l’intermédiaire d’un court EBV. ■ Le passage par une section critique n’est pas ici obligatoire.

■ Les transitions sont rencontrées dans le cas d’un changement brusque de section de canal :■ Décrochement positif ou négatif d’un seuil au fond■ Elargissement ou rétrécissement brusque de section

■ Nous traiterons du cas des décrochements de seuils (cf. Graf, 1998 pour les autres cas)

04. TRANSITIONS

17.04.16

Décrochement de radier

150

■ Notons ∆ le décrochement de radier :■ Dans le cas d’une sous-élévation (abaissement), on a ∆■ Dans le cas d’une surélévation (exhaussement), on a ∆

■ En admettant que la transition est courte, Rouse (1938) propose de négliger les pertes de charges entre deux sections très proches encadrant le décrochement de seuil. D’où l’équation du 3ème degré :

∆

∆ Hunter Rouse(1906‐1996)

04. TRANSITIONS

17.04.16

Décrochement de radier : seuil négatif

151

■ Pour une charge spécifique donnée, deux tirants d’eau (fluvial et torrentiel) sont possibles.

■ L’écoulement n’est possible qu’à la condition que .

■ La charge spécifique définira alors deux nouveaux tirants d’eau possibles selon le type d’écoulement à l’amont :■ fluvial : (élévation)■ torrentiel : (abaissement)

04. TRANSITIONS

17.04.16

Décrochement de radier : seuil positif

152

■ Pour une charge spécifique donnée, deux tirants d’eau (fluvial et torrentiel) sont possibles. De plus :

∆

■ L’écoulement n’est possible qu’à la condition que .

■ La charge spécifique définira alors deux nouveaux tirants d’eau possibles selon le type d’écoulement à l’amont :■ fluvial : (abaissement)■ torrentiel : (élévation)

04. TRANSITIONS

17.04.16

Calcul de à l’aval immédiat d’un seuil

153

■ Si , le débit passe entièrement et est donné par la résolution du théorème de Bernoulli (avec en fluvial ou en torrentiel).

■ Si , le débit passe entièrement, avec .

■ Si , alors deux cas peuvent se produire :

■ Le débit passe entièrement (pas de contrôle au seuil). Un exhaussement se produit en amont, et en aval. On calcule

, ∆ et on en déduit ′ y

■ Un débit passe (contrôle au seuil) : pour avec ′ ′.

QUELQUES LOGICIELS…

LOGICIELS

17.04.16

Outils de simulation des écoulements à surface libre

155

Engineering

Hydraulique à Surface Libre