Series temporelles

TP1:series temporelles

Lamrani Alaoui Youssefpropose par:M Berrahou

Universite Cadi Ayyad,Faculte des Sciences et Techniques deMarrakech,Ingenieurie en Actuariat et Finace

20 octobre 2014

Lamrani Alaoui Youssef propose par:M Berrahou TP1:series temporelles

Plan

1 introduction

2 detection de la tendance et de la saisonnalite

3 Estimation de la tendance et la saisonnalite par les methodesnon parametriques

4 elimination de la tendance et de la saisonnalite

5 decomposition de la serie temporelle


Introduction

Introduction

Avant d’appliquer les methodes d’estimation et de selection demodele ,il convient de representer la serie chronologique observeeet de faire une premiere analyse de ses eventuellestandances,saisonnalites ou autres paticulaitees


presentation de la serie etudiee

le logeciel R dispose un tas de bases de donnees qu’on peuttavailler avec,cettes bases sont obtenues par la fonction :

> data()

telechargement de notre base d’etude,la serie INTERNATIONALAIRLINE PASSENGERS qui presente le nombre de voyageurs enavion sur une periode de 144 mois

> data<-AirPassengers

> data


Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec

1949 112 118 132 129 121 135 148 148 136 119 104 118

1950 115 126 141 135 125 149 170 170 158 133 114 140

1951 145 150 178 163 172 178 199 199 184 162 146 166

1952 171 180 193 181 183 218 230 242 209 191 172 194

1953 196 196 236 235 229 243 264 272 237 211 180 201

1954 204 188 235 227 234 264 302 293 259 229 203 229

1955 242 233 267 269 270 315 364 347 312 274 237 278

1956 284 277 317 313 318 374 413 405 355 306 271 306

1957 315 301 356 348 355 422 465 467 404 347 305 336

1958 340 318 362 348 363 435 491 505 404 359 310 337

1959 360 342 406 396 420 472 548 559 463 407 362 405

1960 417 391 419 461 472 535 622 606 508 461 390 432


representations graphiques

visualisation du chronogramme de la serie,c’est-a-dire le diagrammedes points (date, valeur de l’observation) grace a plot.ts()

> plot.ts(AirPassengers,xlab="annee",

+ ylab="nombre de passers")

année

nom

bre

de p

asse

rs

1950 1952 1954 1956 1958 1960

100

400


stabilisation de la variance

Interpretation

On note sur ce graphique que le nombre de passagers a tendance aaugmenter regulierement, le graphe de la serie indique aussi que savariabilite augmente avec le temps.

pour eliminer cette variabilite on fait appel a des tasfomationscomme log() ou

√()

pour notre cas on a opte pour le logarithme neperien de la serieobservee

> plot.ts(log(AirPassengers),xlab="annee",ylab="nombre

+ de passers")


stabilisation de la variance

année

nom

bre

de p

asse

rs

1950 1952 1954 1956 1958 1960

5.0

5.5

6.0

6.5


Fonction d’autocorrelation ; detection de la tendance et dela saisonnalite

la detection d’une tendance ou d’une saisonnalite,parfois peut etrejustifiee par le compotement de son autocorelation ouautocorrelation partielle,calculons la fonction d’autocorrelation etd’autocorrelation partielle pour notre serie d’etude

> par(mfrow=c(1,2))

> acf(AirPassengers)

> pacf(AirPassengers)


0.0 0.5 1.0 1.5

−0.

20.

00.

20.

40.

60.

81.

0

Lag

AC

F

Series AirPassengers

0.5 1.0 1.5

−0.

50.

00.

51.

0

Lag

Par

tial A

CF



interpretation

la fonction d’autocorrelation montre qu’il y a une periodiciteanuelle(12 mois)


Remarque 1

par defaut la representation graphique montre egalementl’intervalle de confiance,celui en bleu au niveau 95%

Remarque 2

les parametres graphiques et le niveau de l’intervalle de confiancepeuvent etre modifies par les instructions qui suivent

> par(mfrow=c(1,2))

> plot(acf(AirPassengers,lag.max=length(AirPassengers)

+ ,plot=F),ci=.95,ci.col="red")

> plot(pacf(AirPassengers,lag.max=length(AirPassengers)

+ ,plot=F),ci=.95,ci.col="red")


0 2 4 6 8 10 12

−1.

0−

0.5

0.0

0.5

1.0

Lag

AC

F


0 2 4 6 8 10 12

−0.

50.

00.

51.

0

Lag

Par

tial A

CF



ci =ci0 ou ci0 est une valeur non nulle qui precise

le niveau strictement compris entre 0 et 1,

de l'intervallede confiance si ci0=0 l'intervallede confiance n'est represente,par defaut ci0=0.95

ci.col="red" permet de choisire la coleur de

l'intervalle de confiance lorsqu'il est repesente

ci.type=c("white","ma") permet de choisir le type de

l'intervalle de confiance represente


Estimation de la tendance et la saisonnalite par lesmethodes non parametriques

Remarque

R possede une fonction qui permet d’estimer la tendance et lasaisonnalite par des methodes non parametriques rubustes


> fit <- stl(AirPassengers, s.window =20

+ , t.window = 20)

> plot(fit)

100

400

data

−50

50

seas

onal

200

400

tren

d

−40

040

1950 1952 1954 1956 1958 1960

rem

aind

er

time


> names(fit)

[1] "time.series" "weights" "call" "win" "deg"

[6] "jump" "inner" "outer"

> head(fit$time.series)

seasonal trend remainder

[1,] -21.440925 124.0766 9.364325

[2,] -26.852671 124.4280 20.424688

[3,] 2.860678 124.7794 4.359957

[4,] -4.905629 125.3969 8.508773

[5,] -4.797845 126.0143 -0.216502

[6,] 26.802340 126.7258 -18.528103


> par(mfrow=c(2,2))

> plot.ts(fit$time.series[,1])




Time

seas

onal

1950 1954 1958

−50

Time

tren

d

1950 1954 1958

200

500

Time

rem

aind

er

1950 1954 1958

−40

40


une autre represenatation est possible avec la fonction montplot()

AirP

asse

nger

s

J F M A M J J A S O N D

100

200

300

400

500

600


seas

onal


−50

050


tren

d


200

300

400

500


elimination de la tendance et de la saisonnalite

la tendance et la saisonnalite peuvent etre eliminees en appliquantles operateurs de difference a la serie observee. la tendance pourraetre elimine par l’operateur de difference d’odre 1 alores que unesaisonnalite d’odre d,l’ordre de la difference doit etre specifiecomme argument de la fonction diff()

> serie1<-diff(AirPassengers,d)

> # pour enlever la saisonnalite d'ordre d

> serie2<-diff(diff(AirPassengers,d))

> # pour enlever la tendance

> plot(serie2)


Remarque

la frequence de la serie analysee est une indication pour touver lavaleur de d,ainsi que le comportement de la fonctiond’autocorrelation

Resume

la figure qui suit montre la fonction emperique d’autocorelation etd’autocorrelation partielle du logarithme de la serie etudiee,nouspouvons y avoir le comportement de ses fonction d’autocorrelationapres avoir desaisonnalise la serie puis en appliquant l’operateur dedifference d’ordre 1 pour enlever la tendance


> par(mfrow=c(3,3))

> plot.ts(log(AirPassengers))

> plot(acf(AirPassengers,lag.max=length(AirPassengers)

+ ,plot=F))

> plot(pacf(AirPassengers,lag.max=length(AirPassengers)

+ ,plot=F))

> plot(diff(log(AirPassengers),12))


> plot(acf(diff(log(AirPassengers),12),lag.max=

+ length(AirPassengers),plot=F))

> plot(pacf(diff(log(AirPassengers),12),lag.max=


> plot(diff(diff(log(AirPassengers),12)))

> plot(acf(diff(diff(log(AirPassengers),12)),lag.max=


> plot(pacf(diff(diff(log(AirPassengers),12)),lag.max=



Time

log(

AirP

asse

nger

s)

1950 1954 1958

5.0

6.0

0 2 4 6 8 12

−0.

40.

20.

8

Lag

AC

F


0 2 4 6 8 12

−0.

50.

5

Lag

Par

tial A

CF


Time

diff(

log(

AirP

asse

nger

s), 1

2)

1950 1954 1958

0.0

0.2

0 2 4 6 8 10

−0.

20.

41.

0

Lag

AC

F

Series diff(log(AirPassengers), 12)

0 2 4 6 8 10

−0.

20.

20.

6

Lag

Par

tial A

CF

Series diff(log(AirPassengers), 12)

Time

diff(

diff(

log(

AirP

asse

nger

s), 1

2))

1950 1954 1958

−0.

150.

000.

15

0 2 4 6 8 10

−0.

40.

20.

8

Lag

AC

F

Series diff(diff(log(AirPassengers), 12))

0 2 4 6 8 10

−0.

30.

00.

2

Lag

Par

tial A

CF

Series diff(diff(log(AirPassengers), 12))

rem

aind

er


−40

−20

020

4060


decomposition de la serie temporelle

> r <- decompose(AirPassengers)

> plot(r)

100

400

obse

rved

150

350

tren

d

−40

20

seas

onal

−40

040

1950 1952 1954 1956 1958 1960

rand

om

Time

Decomposition of additive time series


> names(r)

[1] "x" "seasonal" "trend" "random" "figure" "type"

> r$type

[1] "additive"

> par(mfrow=c(2,2))

> plot(r$seasonal)

> plot(r$trend)

> plot(r$random)

> plot(r$figure)


Time

r$se

ason

al

1950 1952 1954 1956 1958 1960

−40

040

Time

r$tr

end

1950 1952 1954 1956 1958 1960

150

300

450

Time

r$ra

ndom

1950 1952 1954 1956 1958 1960

−40

040

2 4 6 8 10 12

−40

040

Index

r$fig

ure


on peut meme regarder la serie sans bruit

> renc<-r$seasonal+r$trend

> par(mfrow=c(1,2))

> plot(renc,main="serie sans bruit")

> plot.ts(AirPassengers,main="serie originale")

série sans bruit

Time

renc

1950 1954 1958

100

300

500

série originale

Time

AirP

asse

nger

s

1950 1954 1958

100

400


Engineering

Series temporelles