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Les outils d’aide à la décision Soufiane Mir Ingénieur en Business Intelligence Septembre 2015 Ingénierie de la décision

Théorie de la decision

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Page 1: Théorie de la decision

Les outils d’aide à la décision

Soufiane MirIngénieur en Business Intelligence

Septembre 2015

Ingénierie de la décision

Page 2: Théorie de la decision

Introduction et position du problèmeIntroduction et position du problèmeLa prise de décision est un problème central dans les entreprises. Les décisions concernent différents types d'activités : on peut ainsi distinguer les

décisions commerciales, administratives, financières. Les décisions les plus importantes sont :

• les décisions de financement (par exemple, réaliser une augmentation de capital),

• les décisions d'exploitation (par exemple, établir le programme de production de l'année),

• les décisions d'investissement (par exemple, construire une nouvelle usine).

Mais le problème de prise de décision est complexe • Grand nombre de facteurs• Structuration du problème (problèmes mal définis), considérations subjectifs et

conflits d’intérêt• Incertitude

Page 3: Théorie de la decision

• Peuvent aider le décideur à :

–Modéliser et connaître la nature des relations de son problème

–Trouver la meilleure façons d'évaluer les valeurs de ces relations, et

-Aider à la réduction des effets de l’incertitude qui entoure les plans d'actions

Introduction et position du problèmeIntroduction et position du problème

Page 4: Théorie de la decision

Etapes pour l’aide à la décision Etapes pour l’aide à la décision

• Définir le problème et les facteurs essentiels• Établir un critère de décision• Choisir un outil d’aide à la décision (modèle)• Identifier et évaluer les alternatives par ce modèle• Sélectionner la meilleure alternative• Implémenter la décision• Évaluer le résultat

Page 5: Théorie de la decision

Les modèles Les modèles

• Sont moins coûteux et perturbateur que l’expérimentation réelle

• Permettent de poser les questions de type “Et si”• Encourage l’implication des managers• Implique une approche systématique d’analyse des problèmes• Impose aux managers de prendre en compte d’une manière

plus précise la relation contraintes - résultats• Aident à réduire le temps de prise de décision

Page 6: Théorie de la decision

Limitations Limitations desdes Mod Modèèlleess

• Ils sont coûteux et long à développer et à tester • souvent mal utilisés et mal compris (et craints) en raison de

leur complexité mathématique et logique• ont tendance à minimiser le rôle et la valeur de l'information

non quantifiable • Font souvent des hypothèses qui surestiment les variables

réelles

Page 7: Théorie de la decision

Processus de décisionProcessus de décision

Problème Décision

Analyse Quantitative

Cadre LogiqueDonnées historiquesRecherche Marketing Analyse ScientifiqueModélisation

Analyse Qualitative

EmotionsIntuitionExpérience PersonnelleMotivationRumeurs

Page 8: Théorie de la decision

Problème de décision

Ensemble A desAlternatives (Actions)

Ensemble E des États de la Nature

Événements non contrôlés

Ensemble C des Conséquences

Résultats

Tables de décision : relation locale entre A, E et CTables de décision : relation locale entre A, E et C Arbre de décision : relation globale entre A, E et CArbre de décision : relation globale entre A, E et C

Schémas d’un problème de décisionSchémas d’un problème de décision

Page 9: Théorie de la decision

Formalisation d’un problème de décisionFormalisation d’un problème de décisionSymboles utilisés dans un arbre de décision :

• Noeud “décision” : qui représente une action de décision (élément de A)

• Noeud “événement” : à partir du quel un état de la nature peut se produire (occurrence d’un événement)

A

A1

Aj

AM

E

e1

ei

eN

On désigne par d l’élément courant de A : dA

i est l’indice des événements i[1,….N]

Page 10: Théorie de la decision

Types de modèles de décisionTypes de modèles de décision• Décision en environnement certain Il n’y a aucun facteur externe non contrôlé. Le décideur

connaît « parfaitement » l’état de la nature

• Décision en environnement incertain L’état de la nature n’est pas connu. Il dépend de

facteurs dont on ne dispose pas de probabilité pour estimer leur occurrence.

• Décision avec risque L’état de la nature n’est pas connu. Il dépend de

facteurs dont on connaît la probabilité de leur occurrence

Page 11: Théorie de la decision

Types de modèles de décisionTypes de modèles de décision

Probabilités connues

Environnement certain

Programmation linéaire

OptimisationSous

contraintes

Théorie de la décision

Méthodes des scénarios

(Opt, Att, Pess…)

Théorie des jeux

Analyse multicritères

Environnement non certain

Page 12: Théorie de la decision

Décision en environnement certainDécision en environnement certain1°) Optimisation statique = une seule période

•Choix optimal sous contraintes des consommateurs et des producteurs•modèles de gestion des stocks. •Ordonnancement et planning d'atelier

2°) Optimisation inter temporel

•Choix inter temporel du consommateurs•Choix des investissements futurs (VAN)

Page 13: Théorie de la decision

C’est l’exemple e du comportement d’un consommateur qui doit choisir entre par exemple entre trois biens : pomme, orange et poire

Soit X l’ensemble des alternatives et ≿ la relation de préordre sur X qui traduit les préférences du consommateur. C’est l’ensemble des paniers de consommation accessibles à un individu donné.

Soit x et y deux paniers de consommation; x X, y X

•x ≿ y signifie que le panier de consommation x est au moins aussi désirable que le panier y.•x ≻ y signifie que le panier de consommation x est strictement préféré au panier y.•x ~ y signifie que l’individu est indifférent entre les paniers de consommation x et y; ce qui est équivalent à poser x≿y et x≾y simultanément.

Choix statique du consommateurChoix statique du consommateurDécision en environnement certainDécision en environnement certain

Page 14: Théorie de la decision

A.1 (Complétude) Pour tout couple x1, x2 X, ou bien x1 ≿ x2 ou bien x2 ≿ x1. Tous les complexes de biens peuvent être comparés entre eux.

A.2 (Réflexivité) Pour tout x X, x ≿ x

A.3 (Transitivité) Si x1 ≿ x2 et si x2 ≿ x3 alors x1 ≿ x3. Cet axiome nous assure qu’il y a un meilleur élément dans l’ensemble, ce qui est nécessaire pour les problèmes de maximisation.

Les axiomes A.1, A.2 et A.3 définissent un préordre sur X

A.4 continuité Pour tout x0 X( x X x0 x) et ( x X x x0) sont fermés dans XL’axiome A.4 nous assure qu’il n’y ait pas de discontinuité dans les choix du consommateur.

Choix statique du consommateurChoix statique du consommateurDécision en environnement certainDécision en environnement certain

Page 15: Théorie de la decision

Soient des préférences complètes, réflexives, transitiveset continues, alors il existe toujours une fonction d’utilité continue U : X → R qui représente ces préférences: ∀x1, x2 Є X, x1 ≿ x2 ↔ U(x1)≥U(x2).

il est possible de modéliser les préférences d’un individu par une fonction mathématique appelée fonction d’utilité et il n’est donc pas plus restrictif de travailler avec u que de travailler avec «≿».

Théorème de Debreu : Fonction d’utilité

A5 ConvexitéSi x1,x2 et x3 appartiennent à X et que x ≿ z et y ≿ z, alors tx+(1−t)y ≿ z, ∀t Є [0, 1] . C’est-à-dire que {x : x ≿ z} est un ensemble convexe. Convexité stricte est également craie)

La convexité implique que les agents préfèrent les paniers intermédiaires aux paniers extrêmes.

Choix statique du consommateurChoix statique du consommateurDécision en environnement certainDécision en environnement certain

Page 16: Théorie de la decision

Une fonction d’utilité de type Cobb-Douglas a la forme suivante:U(x, y) = xay1−a , où x et y sont deux biens et 0 ≤ a ≤ 1

Dans le cas de deux biens on peut faire des représentations graphiques à deux dimensions par des courbes d’indifférence.

Choix statique du consommateurChoix statique du consommateurDécision en environnement certainDécision en environnement certain

Page 17: Théorie de la decision

Le consommateur est contraint de limiter ses consommations qui lui sont accessibles compte tenu de son budget. L’ensemble accessible au consommateur est A(p,m) = {x €X |px ≤R}, où X = Rk+ et x={x1, ...xk}, un vecteur de k biens; p={p1,..., pk} est le vecteur de prix qui lui est associé; et R est le revenu disponible.

Cas de deux biens nous avons p1x1 +p2x2 ≤ m. Cet ensemble budgétaire estreprésenté par la surface ombragée sous la droite de budget : p1x1 + p2x2 = R

Choix statique du consommateurChoix statique du consommateurDécision en environnement certainDécision en environnement certain

Page 18: Théorie de la decision

R

Il est possible de démontrer qu’une solution optimale à ce problème se situe nécessairement sur la droite de budget. Interprétée en termes graphiques, une solution optimale à ce problème apparaît à un point de tangence entre une courbe d’indifférence et la droite de budget

.

Suite axiomes et Fonction d’utilitéChoix statique du consommateurChoix statique du consommateur

Décision en environnement certainDécision en environnement certain

Page 19: Théorie de la decision

Si la fonction d’utilité est différentiable, nous pouvons alors former le Lagrangien:L = U(x) − λ(px−R)

Conditions de premier ordre (CPO):

Remarquez que cette expression pose l’égalité entre le taux marginal de substitution TMS (la pente de la courbe d’indifférence) et la pente de la droite de budget.

Suite axiomes et Fonction d’utilitéChoix statique du consommateurChoix statique du consommateur

Décision en environnement certainDécision en environnement certain

Page 20: Théorie de la decision

Valeur actuelle nette (VAN) LA VAN est égale à la somme des flux actualisés à la date présente (y compris l’investissement initial) au taux d’actualisation approprié. On peut aussi la définir comme le différence entre les flux monétaires actualisés et l’investissement initial

… … 1 … i … n0

Flux financier

-I

k est le taux d’actualisation. Il représente le taux de rentabilité minimum exigé par l’entreprise

Règle de décision : Le projet est accepté si la VAN >0

Choix des investissementsChoix des investissementsDécision en environnement certainDécision en environnement certain

Page 21: Théorie de la decision

Taux de rendement interne (TRI)Le TIR est le taux d’actualisation qui annule la VAN. En quelque sorte, c’est le taux de rendement du projetRègle de décision : Le projet est accepté si le TRI est supérieur au coût d’opportunité du capitalRépercussion du niveau de risque à travers le taux d’actualisation

Délai de récupération (Temps de retour TR)C’est la période dans laquelle l’investissement initial est récupéré grâce aux flux générés par le projet.

Choix des investissementsChoix des investissementsDécision en environnement certainDécision en environnement certain

Page 22: Théorie de la decision

Soit un projet qui a un profile de flux de coût revenu sur cinq ans donné par

Année 0 1 2 3 4 5Coûts 300 20 20 20 20 20Revenus 0 100 100 200 200 200

-300 80 80 180 180 180

0 1 2 3 4 5

Choix des investissementsChoix des investissementsDécision en environnement certainDécision en environnement certain

Exemple

Page 23: Théorie de la decision

Année 0 1 2 3 4 5Cash flow -300 80 80 180 180 180

Taux d’actualisation 0 0,909 0,826 0,751 0,683 0,621

Cash flows actualisés -300 72,72 66,08 135,18 122,94 111,78

Cash flows actualisés cumulés

-300 -227,28 -161,2 -26,02 96,92 208,70

Valeur nette actualisée = 208,70Temps de retour 3,21 années

Taux d’intérêt minimum exigé par l’investisseur est i=10%

Choix des investissementsChoix des investissementsDécision en environnement certainDécision en environnement certain

Exemple

Page 24: Théorie de la decision

Taux d’intérêt i 0 10 20 25 30 35VAN 400 208,7 85,5 40,4 2,2 -29,4

TR 2,78 3,21 3,85 4,32 4,95 >5

Choix des investissementsChoix des investissementsDécision en environnement certainDécision en environnement certain

Exemple

10% 20% 30%

100

200

300

400

0

0

40%

TIR = 30,35%

VAN

i

Page 25: Théorie de la decision

i 0 10 20 25 30 35

TR 2,78 3,21 3,85 4,32 4,95 >5

Choix des investissementsChoix des investissementsDécision en environnement certainDécision en environnement certain

Exemple

1 2 3

100

200

300

400

0 4

VANC

i

-200

-100

-300

05

i

Page 26: Théorie de la decision

Decision Decision dans l’idans l’incertainncertain

• Critères basés sur les extrêmes Maximax - On choisit la décision qui maximise le gain

maximal (Critère optimiste) Maximin (Critère de Wald) : On choisit la décision

qui maximise le gain minimal (Critère pessimiste)

Page 27: Théorie de la decision

Critères basés sur les extrêmes

Critère de Wald ou MaxiMinOn choisit la décision qui maximise le gain minimal (ici m(d))Stratégie de prudence extrême

Critère de MaxiMaxOn choisit la décision qui maximise le gain maximal (ici M(d))Stratégie de risque extrême

Critère de Hurwitcz

On calcule deux valeurs extrêmes

Decision Decision dans l’idans l’incertainncertain

d est la décision générique : dAi est l’indice des événements i[1,….N]Ci(d) est la conséquence de la décision d si l’événement i se produit

Page 28: Théorie de la decision

Exemple:

Etats de la Nature Alternatives Marché

Favorable MarchéDéfavorable

Maximum En colonne

Minimum

Hurwitcz

Construire Grand projet

200,000 -180,000 200,000 -180,000 10,000

Construire Petit projet

100,000 -20,000 100,000 -20,000 40,000

0 0 0 0 0

Maximax Maximin Hurwitcz

Rien

En colonne Α=0.5

Decision Decision dans l’idans l’incertainncertain

Page 29: Théorie de la decision

Idée : on anticipe les regrets (manque à gagner) que l'agent pourrait avoir en ayant pris une décision, après observation des événementsRegret d'une décision par rapport à un événement

Payoff Maximum Payoff Maximum -- Payoff Payoff dedepour un événementpour un événement l’action choisie l’action choisie

Decision Decision dans l’idans l’incertainncertainCritères basés sur les regrets

Page 30: Théorie de la decision

Etats de la Nature Alternatives Marché

Favorable MarchéDéfavorable

Maximum Des regrets

Construire Grand projet

00 160 000 160 000

Construire Petit projet

100 000 0 100,000

0 0 0

Minimiser le maximum des regrets

Rien

Decision Decision dans l’idans l’incertainncertainCritères basés sur les regrets

RemarqueLe minimum des maximums des regrets donne la même résultat que le Maximin

Page 31: Théorie de la decision

Decision Decision dans l’idans l’incertainncertainCritères basés sur les regrets

05

Autre exemple

Page 32: Théorie de la decision

05

Critère de SavageChoisir la décision pour laquelle on rend minimal le maximum des regrets. Le regret est défini comme le coût d’opportunité ou le manque à gagner

La stratégie choisie est donc C

Il est facile de vérifier qu’elle correspond également à MaxiMin

Autre exemple

Decision Decision dans l’idans l’incertainncertainCritères basés sur les regrets

Page 33: Théorie de la decision

DDéécision cision en environnement risquéen environnement risqué

L'arbre de décision est un graphe orienté formé de nœuds L'arbre de décision est un graphe orienté formé de nœuds successifs qui représentent les décisions et les événements. successifs qui représentent les décisions et les événements.

•Nœuds de décisions. Un nœud de décisions représente un choix Nœuds de décisions. Un nœud de décisions représente un choix entre plusieurs décisions fait librement par le décideur. Il est entre plusieurs décisions fait librement par le décideur. Il est figuré par un carré. figuré par un carré.

•Nœuds d'événements. Un nœud d'événements représente une Nœuds d'événements. Un nœud d'événements représente une alternative entre plusieurs événements. Il est figuré par un cercle. alternative entre plusieurs événements. Il est figuré par un cercle. À chaque événement sont attachées une probabilité. La somme À chaque événement sont attachées une probabilité. La somme des probabilités affectées aux événements d'un nœud égale 1. des probabilités affectées aux événements d'un nœud égale 1.

Chaque décision conduit à un nœud d'événements.Chaque décision conduit à un nœud d'événements.La racine de l'arbre de décision est toujours un nœud de décision.La racine de l'arbre de décision est toujours un nœud de décision.

Arbre de décisionArbre de décision

Page 34: Théorie de la decision

Une entreprise vient de développer une nouvelle ligne de produits et on doit choisir la manière de conduire la stratégie marketing.Trois stratégies principales sont possibles :•A : stratégie agressive•B : stratégie classique•C : stratégie prudente

L'efficacité de la stratégie choisie dépendra d'un facteur externenon contrôlé qui est la dynamique du marché. Deux états dumarché sont envisagés :•S : le marché est porteur•W : le marché est peu porteur

Les conséquences des décisions en fonction des événements sont données par le tableau suivant

Exemple de marché porteur (S) ou non porteur (W)

DDéécision cision en environnement risquéen environnement risqué

Arbre de décisionArbre de décision

Page 35: Théorie de la decision

Table de décisionTable de décision

Arbre de décisionArbre de décision

DDéécision cision en environnement risquéen environnement risqué

Arbre de décisionArbre de décision

Page 36: Théorie de la decision

DDéécision cision en environnement risquéen environnement risqué

Critères :Critères :• Maximiser l’état le plus probableMaximiser l’état le plus probable• Critère de l’espérance des regretsCritère de l’espérance des regrets• Maximiser l’espérance du payoff (du gain ou Maximiser l’espérance du payoff (du gain ou

de la valeur monétaire). C’est la règle de de la valeur monétaire). C’est la règle de décision de Bayes)décision de Bayes)

• Maximiser l’espérance de l’utilitéMaximiser l’espérance de l’utilité

Etat de la nature probabiliséEtat de la nature probabilisé

Page 37: Théorie de la decision

DDéécision cision en environnement risquéen environnement risqué

Identifier l’état le plus probable, ignorer les autres, et choisir le plus grand payoffLes décisions personnelles sont souvent basées sur ce critèrePlusieurs informations sont ignorées

Choix de stratégie

État du marché Probabilité A B C

Strong S 0.45 30 20 5Weak W 0.55 -8 7 15

Critère de l’état le plus probableCritère de l’état le plus probable

L’état le plus probable est WMaximum de gain : 15Stratégie choisie : C

Page 38: Théorie de la decision

RegretsÉtat du marché Probabilité A B C

Strong S 0.45 0 10 25Weak W 0.55 23 8 0

Espérance des Regrets 12,65 8,9 11,25

La stratégie choisie est donc B

Critère de l’espérance des regrets Critère de l’espérance des regrets DDéécision cision en environnement risquéen environnement risqué

Page 39: Théorie de la decision

Le critère de l'espérance mathématique de gain s’écrit :

où désigne la probabilité d'occurrence de l'événement i et désigne la conséquence de la décision d si l'événement i survient

Dans notre exemple•E(A) = 30 . 0,45 + (-8) . 0.55 = 9,1•E(B) = 20 . 0,45 + 7 . 0.55 = 12,85•E(C) = 5 . 0,45 + 15 . 0.55 = 10,5

Le choix serait alors B > C > A

Remarque : La critères de maximisation de l’espérance de gain et la minimisation de l’espérance du regret donnent les mêmes stratégies

Critère de maximisation de l’espérance du payoffCritère de maximisation de l’espérance du payoff

DDéécision cision en environnement risquéen environnement risqué

Cas particulier : Critère de Laplace (événements équiprobables)L(d) = la moyenne des conséquences possibles pour la décision d (sur l'ensemble des événements).

Page 40: Théorie de la decision

Si le décideur ne connaît que les probabilités des événements, il ne dispose Si le décideur ne connaît que les probabilités des événements, il ne dispose alors que d’une information imparfaite. En effet, ne connaissant que le alors que d’une information imparfaite. En effet, ne connaissant que le pourcentage des fois où l’alternative a eu lieu, il ne connaît pas exactement pourcentage des fois où l’alternative a eu lieu, il ne connaît pas exactement l’état réel à chaque fois pour prendre la bonne décision. l’état réel à chaque fois pour prendre la bonne décision.

Dans ce cas le décideur adopte un comportement « Bayesien » basé sur la Dans ce cas le décideur adopte un comportement « Bayesien » basé sur la comparaison des espérances de gaincomparaison des espérances de gain

Flexibilité d’informationFlexibilité d’information

DDéécision cision en environnement risquéen environnement risqué

Gains

État du marché Probabilité A B C

Strong S 0.45 30 20 5

Weak W 0.55 -8 78 15

Espérance des gains 9,1 12,85 10,5

La stratégie B

Page 41: Théorie de la decision

Si le décideur arrive à avoir une information supplémentaire (études de Si le décideur arrive à avoir une information supplémentaire (études de marché, marché test commandé à un consultant expérimenté) susceptible de marché, marché test commandé à un consultant expérimenté) susceptible de l’aider dans la connaissance des événements, il va pouvoir en tirer profit et l’aider dans la connaissance des événements, il va pouvoir en tirer profit et améliorer sa décision. Dans le cas extrême où il connaît à chaque fois l’état améliorer sa décision. Dans le cas extrême où il connaît à chaque fois l’état exact des événements (consultant parfait, espion, « voyante »), il dispose exact des événements (consultant parfait, espion, « voyante »), il dispose alors d’une information parfaite qui lui permettra de maximiser son payoff. alors d’une information parfaite qui lui permettra de maximiser son payoff.

Flexibilité d’informationFlexibilité d’information

DDéécision cision en environnement risquéen environnement risqué

L’écart de l’état réel de l’information par rapport à cet état d’information L’écart de l’état réel de l’information par rapport à cet état d’information parfaite permet de définir la flexibilité informationnelle pure. Celle-ci parfaite permet de définir la flexibilité informationnelle pure. Celle-ci caractérise l’aptitude à améliorer l’information jusqu’à sa limite maximale. caractérise l’aptitude à améliorer l’information jusqu’à sa limite maximale. Cette possibilité n’existe pas toujours et on parle alors de rigidité Cette possibilité n’existe pas toujours et on parle alors de rigidité informationnelle. informationnelle.

Page 42: Théorie de la decision

La Valeur attendue en Information Parfaite (Expected Value of Perfect La Valeur attendue en Information Parfaite (Expected Value of Perfect Information = EVPI) est donnée par : Information = EVPI) est donnée par :

EVPIEVPI = Espérance du = Espérance du Payoff Payoff - - Maximum de l’espérance du Maximum de l’espérance du en information parfaite en information parfaite payoff (sans information payoff (sans information

additionnelle)additionnelle)

EVPIEVPI donne un plafond de ce qu’on doit payer pour avoir une donne un plafond de ce qu’on doit payer pour avoir une information additionnelleinformation additionnelle

Espérance du payoff en Espérance du payoff en information parfaiteinformation parfaite = =

EVPIEVPI

DDéécision cision en environnement risquéen environnement risqué

Page 43: Théorie de la decision

Pour un consultant « parfait » (il s’agit en fait d’un « voyant » ou d’un espion dans le cas de soumission dans des marchés publiques) .

Le consultant étant parfait, il annoncera toujours S pour les 45% de cas où le marché est porteur, on choisira alors A ave un gain de 30Dans le cas de 55% où le marché est faible, il annonce W et on choisira C(15)

Valeur de l’information EVPIValeur de l’information EVPI

DDéécision cision en environnement risquéen environnement risqué

Gains

État du marché Probabilité A B C

Strong S 0.45 30 20 5

Weak W 0.55 -8 78 15

Espérance des gains

30

15

0,45*30+0,55*15 = 21,75

EPVI = 21,75 - 12,85 = 8,9

Recours au service d’un consultant

Page 44: Théorie de la decision

Cas d’un consultant non parfaitOn considère maintenant que le consultant ne donne pas l’information parfaite mais une tendance du marcheEn un mois, l'entreprise peut savoir si les perspectives sont encourageantes (E) ou décourageantes (D).L'étude de marché coûte 0.5

L’étude ne donne pas d’information à 100%. On utilise les informations passées pour estimer sa pertinence. On sait que par le passé, ces études ont donné de bonnes indications ;

•Quand le marché a finalement été porteur, l'étude a donné des perspectives encourageantes avec une probabilité de 0.6 P(E/S)=0.6 p(D/S)=1 - p(E/S)=0.4•Quand le marché n'a finalement pas été porteur, l'étude a donné des perspectives décourageantes avec une probabilité de 0.7 p(D/W)=0.7 p(E/W)=1 – p(D/W)=0.3

L'arbre de décision est donnée dans la suite

Etude de marché pour augmenter l’information Etude de marché pour augmenter l’information DDéécision cision en environnement risquéen environnement risqué

Page 45: Théorie de la decision

Arbre de décision

Etude de marché pour augmenter l’information Etude de marché pour augmenter l’information DDéécision cision en environnement risquéen environnement risqué

Page 46: Théorie de la decision

Calcul de p(E)p(E) = p(E et (S ou W))p(E) = p((E et S) ou (E et W))p(E) = p(E et S) + p(E et W)or p(E et S) = p(E/S).p(S) et p(E et W)=p(E/W).p(W)donc p(E) = p(E/S).p(S) + p(E/W).p(W)=0.435

Calcul de p(D)de manière analogue p(D) = p(D/S).p(S) + p(D/W).p(W)=0.565

Calcul de p(S/E)p(E et S) = p(E/S).p(S) =p(S/E).p(E)donc p(S/E)=p(E/S).p(S)/p(E)=0.621 (Note p(W/E)=0.379)

Calcul de p(W/D)de manière analogue p(W/D)=p(D/W).p(W)/p(D)=0.682Note p(S/D)=0.318

Calcul des probabilités conditionnellesEtude de marché pour augmenter l’information Etude de marché pour augmenter l’information DDéécision cision en environnement risquéen environnement risqué

Page 47: Théorie de la decision

Calcul des décisionsOn va « replier » l'arbre de décision dans l'ordre chronologique inverse des prises de décision

Etude de marché pour augmenter l’information Etude de marché pour augmenter l’information DDéécision cision en environnement risquéen environnement risqué

Page 48: Théorie de la decision

Calcul des décisions

Etude de marché pour augmenter l’information Etude de marché pour augmenter l’information DDéécision cision en environnement risquéen environnement risqué

Page 49: Théorie de la decision

Calcul des décisionsEtude de marché pour augmenter l’information Etude de marché pour augmenter l’information DDéécision cision en environnement risquéen environnement risqué

Page 50: Théorie de la decision

Calcul des décisions

Etude de marché pour augmenter l’information Etude de marché pour augmenter l’information DDéécision cision en environnement risquéen environnement risqué

Page 51: Théorie de la decision

Le scénario optimal est le suivant

•On demande une étude de marché puis

•Si l'étude de marché donne E, alors choisir une stratégie marketing agressive (A)

•Si l'étude de marché donne D, alors choisir une stratégie marketing prudente (C)

Bilan

Etude de marché pour augmenter l’information Etude de marché pour augmenter l’information DDéécision cision en environnement risquéen environnement risqué

Page 52: Théorie de la decision

Paradoxe de St Peters burgC’est un jeu à deux personnes A et B dans lequel A propose à B un jeu à pile ou face moyennant un mise d’une somme S. Les règles du jeu et le gain qui pourra en résulter sont comme suit :si pile arrive au premier lancé, A donnera à B 2 DH et le jeu s’arrête, sinon le jeu continuera;si pile arrive au second lancé, A donnera à B 22=4 DH et le jeu s’arrête, sinon le jeu continuerasi pile arrive au nème coup, A donnera à B 2n DH et le jeu s’arrête, sinon le jeu continueraQuel est le prix maximum S que B est prêt à payer ?Le critère de l’espérance du gain s’écrit

.....221......8

814

412

21 n

nV

L’application du critère d’espérance du gain débouche donc sur le ‘paradoxe de Saint Peters Bourg’: quel que soit le prix du jeu fixé par A, B devrait l’accepter puisque le gain espéré est infini

Contradictions et paradoxes avec l’espérance de gain

Critère de l’utilité espérée Critère de l’utilité espérée DDéécision cision en environnement risquéen environnement risqué

Page 53: Théorie de la decision

Évaluation du prix d’une actionC’est un exemple similaire au précédent, il concerne la détermination de la valeur de l’action (son prix) dont le dividende est initialement d et à chaque période, on a une chance sur 2 que l’activité ne dégage aucun profit et une chance sur deux qu’elle croit avec un taux de progression g. On suppose en plus que l’on d ≥1 et (1+g) ≥ 2(1+r) La méthode d’actualisation au gain espéré donne pour la valeur de l’action :

....)11(11

21.....

)1()1(

21.....

)1()1(

81

)1()1(

41

1)1(

21

13

3

2

2

drgd

rgd

rgd

rgd

rddV

j

jn

n

n

La valeur de l’action de croissance serait alors infinie. Un investisseur adoptant ce critère serait donc prêt à payer n’importe quel prix pour cette action. Ce critère a longtemps prévalue dans les pratiques boursières jusqu’aux années 70 où le crash boursier de 1974 a remis en cause la pertinence du critère d’espérance des gains. Peu de personnes seraient prêt à payer une somme infinie.

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Effet du risqueSoit une loterie L qui consiste à tirer une pièce de monnaie. Si la pièce indique face, on vous paie 1000 DH; si la pièce indique pile, vous devez payer 1000 DH. Le revenu espéré E[R]L de la loterie est de:

0 = 500 + 500 (1000)21 + (-1000)

21 = ]E[R L

Si on joue et donc on prend un risque l’espérance est nulle et si on ne joue pas, donc pas de risque, on a aussi une espérance nulle. On est donc en présence de deux situations où le revenu espéré est le même mais dont la première est risquée. Si la maximisation du revenu espéré constitue le critère de décision, on devrait être totalement indifférent entre prendre part ou non à cette loterie. Pourtant, on a probablement un jugement plus favorable pour l'une ou l'autre des deux alternatives. L'attitude face au risque est déterminante dans le choix des individus

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Ces paradoxes et bien d’autres montrent que l’espérance du revenu ne reflète pas toujours le bon comportement des agents économiques. Les individus préfèrent, à valeur égale, les gains sûrs que les gains risqués de même espérance. Cette préférence universelle pour la sûreté révèle donc une aversion à l’égard du risque, une risquophobie de l’individuPour lever ces paradoxes, on doit concevoir un critère faisant

explicitement appel à cette attitude de l'individu face au risque. Cela est possible avec le modèle d'utilité espérée initié d’abord par Daniel Bernoulli (1700-1782) puis formalisé par von Neumann et Morgenstern en 1944.

A la maximisation du revenu R on substitue la maximation de l’utilité qu’il procure. Dans ce cas, contrairement au cas du gain, l’utilité dépend du comportement de chaque agent. Un gain de 1000 unités est sans doute plus apprécié par un pauvre que par un homme riche même si le gain est le même pour les deux.

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)ln(11 RuRR

uRR

u

RR

u 1

L’utilité résultant de tout petit accroissement de la richesse sera inversement proportionnel à la quantité de biens antérieurement possédés. De ce fait pour un accroissement faible de la richesse ∆R, l’accroissement de l’utilité (∆u) est alors donné par:

Cette relation due à Bernoulli permet de déterminer la forme de la fonction d’utilité

Ceci indique que les fonctions d’utilités doivent avoir une allure proche des fonctions logarithmiques dont la principale caractéristique très utile est la concavité. Application au paradoxe de Saint Peters bourg.

T

ttT

T

t

ttT

tU11

)4ln(2

lim)2ln()2ln(21lim

La valeur du jeu proposé par le joueur B est en fait exactement ln (4) DH.

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)9000ln(21)11000ln(

21)( uE

)10000ln()( uE

)9000ln(21)11000ln(

21)1000ln(

On suppose que le revenu initial avant le jeu est R0=10000. Les deux alternatives conduisent au même gain espéré.

L’utilité espérée de l’alternative du jeu est

Pour l’alternative sans jeu (certaine) on a

Cas de l’exemple 3

La fonction logarithme étant concave on a donc la situation certaine de même espérance de gain est préférée à la situation risquée.

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