267
SOPHIE CANTIN-RIVIÈRE CYRIL PAILLER-MATTEI FRANÇOISE PERROT ANNE-LAURE VALETTE Physique 2 e édition Mécanique, thermodynamique, électricité, ondes, optique

Maxi fiches de physique 2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

SOPHIE CANTIN-RIVIÈRE CYRIL PAILLER-MATTEI FRANÇOISE PERROT

ANNE-LAURE VALETTE

Physique2e édition

Mécanique, thermodynamique, électricité, ondes, optique

Page 2: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

© Dunod, 2015

5 rue Laromiguière, 75005 Paris www.dunod.com

ISBN 978-2-10-072473-4

Page 3: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

III

Table des matières

Table des matières III

Avant-propos 1

1 La mécanique 2

2 Cinématique du point matériel 4

3 Des exemples de forces 8

4 Les trois lois de Newton 12

5 Loi de composition des mouvements 16

6 Mouvement de rotation 18

7 Travail et puissance d’une force 20

8 Énergie cinétique et théorème de l’énergie cinétique 24

9 Énergie potentielle 26

10 Énergie mécanique 30

11 Théorème du moment cinétique 32

12 Forces centrales 34

13 Oscillations mécaniques libres non amorties 36

14 Oscillations mécaniques libres amorties 40

15 Oscillations mécaniques forcées 44

16 Systèmes de n points matériels 48

17 La thermodynamique 52

18 Gaz et phases condensées 54

19 Travail des forces de pression 56

20 Premier Principe 58

Page 4: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Table des matières

IV

21 Enthalpie 62

22 Second Principe 64

23 Identité thermodynamique 66

24 Contact thermique 68

25 Détentes de gaz 72

26 Transition de phase (1) 74

27 Transition de phase (2) 79

28 Machines thermiques 84

29 Conduction thermique 88

30 La mécanique des fluides 92

31 Statique des fluides 94

32 Écoulement parfait 99

33 Intensité et tension en électrocinétique 104

34 Puissance instantanée 108

35 Dipôles électrocinétiques 110

36 Réseaux linéaires en régime continu 116

37 Régimes libres du premier ordre 120

38 Régimes libres du deuxième ordre 125

39 Régime sinusoïdal forcé 130

40 Puissance en régime sinusoïdal 134

41 Résonances 137

42 Filtrage électrique 142

43 Loi de Coulomb 146

44 Champ électrostatique 148

Page 5: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Table des matières

V

45 Potentiel électrostatique 152

46 Dipôle électrostatique 156

47 Théorème de Gauss 158

48 Conducteurs en équilibre 160

49 Condensateurs 162

50 Énergie électrostatique 164

51 Champ magnétique 166

52 Loi de Biot et Savart 168

53 Théorème d’Ampère 170

54 Forces magnétiques 174

55 Dipôle magnétique 178

56 Phénomènes d’induction 180

57 Inductance 182

58 Équations de Maxwell 184

59 Les ondes 186

60 Équation de d’Alembert 188

61 Ondes sonores 192

62 Ondes électromagnétiques dans le vide 196

63 L’optique 198

64 Rayons lumineux, images optiques 200

65 Réflexion et réfraction 204

66 Miroir plan 208

67 Prisme 210

68 Lentilles minces 214

Page 6: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Table des matières

VI

69 Relations des lentilles minces 218

70 Focométrie 220

71 L’œil 222

72 Loupe 224

73 Instruments d’optique 226

74 Interférences lumineuses 231

75 Interférences à deux ondes 236

76 Diffraction 241

77 Réseaux optiques 246

A Systèmes de coordonnées et vecteur position 249

B Éléments d’analyse vectorielle 252

C Notation complexe 254

Page 7: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Avant-propos

Cet ouvrage de physique, de la collection « maxi fiches », est destiné aux étudiants de niveauL1, L2 ou équivalent des filières scientifiques et santés. L’objectif de cet ouvrage est de faciliter l’acquisition des notions de base. Il est constituéde 75 fiches synthétiques explorant les différentes parties du programme de physique des2 premières années du premier cycle universitaire (mécanique, thermodynamique, électri-cité, optique). Les fiches sont généralement articulées en 3 parties. La première « En quelques mots » apour but d’expliquer succinctement une notion de physique. La seconde « Ce qu’il fautretenir » donne les définitions, les formules et les démonstrations essentielles à la compréhen-sion de la notion abordée. Enfin, la troisième partie « En pratique » permet à l’étudiant demettre en application la dite notion au travers d’exemples détaillés. Ce recueil de fiches sera un allier précieux pour les étudiants désireux d’aller à l’essentiel aucours de leur apprentissage, et/ou s’avérera être un « mémo » indispensable en période derévisions.

Les conseils pertinents, discussions et relectures attentives de mesdames Danielle Bodevigie-Piroird, Christelle Guerret et Sophie Pavan ont considérablement enrichi cet ouvrage. Noustenons à leur adresser nos plus sincères et chaleureux remerciements.

Sophie Cantin-RivièreCyril Pailler-MatteiFrançoise PerrotAnne-Laure Valette

1

Page 8: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

1 La mécanique

1. EN QUELQUES MOTS…Cette fiche définit le domaine d'application de la mécanique newtonienne et les grandeursclés utilisées.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Cadre de l’étude

b) Point matérielLe point matériel est un « objet idéal » dont les dimensions sont petites, donc négligeablesdevant les distances caractéristiques du mouvement étudié. Il est modélisé par un point géo-métrique, généralement noté M.

c) MasseEn mécanique newtonienne, on associe à tout point matériel M une masse m (unité : le kilo-gramme, noté kg). La masse d’un objet caractérise la quantité de matière qu’il renferme. La masse est une grandeur scalaire positive, qui se conserve au cours du temps et qui est indé-pendante du référentiel choisi. La masse est une grandeur additive car la masse totale d’un système de points matériels estégale à la somme des masses de chacun de ses constituants. La masse d’un corps est une grandeur fondamentale en mécanique, car elle traduit l’inertiedu corps, c’est-à-dire la résistance à la mise en mouvement du corps. En effet, plus la massed’un objet est grande, plus l’action nécessaire pour provoquer ou modifier son déplacement(force, moment…) doit être importante.

d) TempsC’est une grandeur absolue, c’est-à-dire qu’il « s’écoule » de la même manière dans tous lesréférentiels, quel que soit l’observateur qui le mesure (unité la seconde, notée s). Il permetd’étudier le mouvement des corps, c’est une quantité essentielle en cinématique et en dyna-mique du point matériel. Par la suite, A(t) indiquera que la grandeur A (vectorielle ou scalaire) est une fonction dutemps. Cependant, afin de ne pas « surcharger » les écritures, la variable (t) n’apparaîtra pasde façon explicite dans toutes les expressions dépendantes du temps.

Notre étude se situe uniquementdans le cadre de la mécaniquenewtonienne :c taille des objets > nm (nanomètre)

c vitesse des objets <

(c = célérité de la lumière dans le

vide ; m.s–1)10

c

nm

Taille des objets

Vitesse des objets

mécanique relativiste

mécanique quantique relativiste

mécanique quantique

mécanique newtonienne

c10

c 3.10≈ 8

2

Page 9: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 1 • La mécanique

e) Référentiel En mécanique, la description de la position ou du mouvement d’un objet est nécessairementliée à un référentiel. Le référentiel est donc un corps de référence (lieu, objet, point, observa-teur…) à partir duquel la position et la trajectoire d’un objet sont étudiées.Il existe un référentiel privilégié, appelé référentiel galiléen, dans lequel le mouvement d’unsystème isolé est rectiligne et uniforme (donc la quantité de mouvement d’un système isoléreste constante). Le caractère « privilégié » du référentiel galiléen provient du fait que les loisde la mécanique newtonienne et notamment le principe fondamental de la dynamique, nesont valables que dans ce type de référentiel. L’expérience montre qu’un référentiel lié à lasurface de la Terre pourra être considéré comme galiléen pour de nombreux systèmes méca-niques, à condition, par exemple, que leurs vitesses soient très inférieures à celle de la lumièreet que le temps de l’expérience ne soit pas trop long. Par la suite, nous noterons (Ri) les réfé-rentiels d’étude qui seront tous supposés galiléens.Il existe des référentiels galiléens pré-établis qu’il peut être judicieux d’utiliser suivant lanature et le mouvement de l’objet étudié : référentiel de Copernic, référentiel géocentrique,référentiel terrestre…

f) RepèrePour décrire le mouvement d’un objet, l’observateur doit connaître la position de cet objet aucours du temps. Pour cela, il a besoin d’un repère d’espace, muni d’une origine O (fixe dans leréférentiel), d’axes de référence lui permettant de déterminer la direction dans laquelle setrouve l’objet et d’un repère temporel (chronomètre, montre…).

g) Notion de forceLa force peut être définie comme une action appliquée sur un objet, afin de produire ou demodifier son mouvement, ou encore de créer une déformation sur cet objet. Dans le cadre dela mécanique du point matériel, la notion de déformation n’existe pas.Une force (unité : le Newton, noté N) est représentée par un vecteur qui a une direction (ouligne d’action) un sens et une norme (ou intensité). Une force est modélisée par un vecteurassocié à un point d’application, généralement le centre de gravité du système considéré.En mécanique du point matériel, le centre d’inertie (fiche 16) et le centre de gravité d’unpoint matériel sont confondus.

3. EN PRATIQUE…Quel que soit le problème de mécanique du point matériel que l’on souhaite résoudre, il estimportant de commencer par : c indiquer le système étudié ; c indiquer le référentiel et la base de projection ;c réaliser le bilan des forces extérieures appliquées sur le système étudié.Une fois ces étapes réalisées, il suffit bien souvent d’appliquer un des théorèmes fondamentauxde la mécanique (principe fondamental de la dynamique, théorème de l’énergie cinétique…)pour répondre à la question posée.

Par la suite, on notera (R0) le référentiel fixe supposé galiléen, d’origine O, composé d’un sys-tème de trois axes orthogonaux, , , , muni d’une base orthonormée directe .

De plus, tout référentiel (Ri) (avec i = 1…n) sera un référentiel galiléen, d’origine Oi, com-posé d’un système de trois axes orthogonaux, , , , muni d’une base directe

.

Ox Oy Oz i j k, ,( )Oi ix Oi iy Oi iz

ii ji ki, ,( )

3

Page 10: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

2 Cinématique du point matériel

1. EN QUELQUES MOTS...Le mot cinématique vient du grec « kinêma » qui signifie mouvement. La cinématique est lapartie de la mécanique qui étudie les mouvements des corps, indépendamment des causes quiles produisent.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Vitesse moyenne

b) Vitesse instantanée

La vitesse instantanée est la limite de lorsque t’ tend vers t. Posons (avec

variation infinitésimale de t), la vitesse instantanée du point M s’écrit alors :

La vitesse instantanée d’un point M est donc la dérivée par rapport au temps du vecteur posi-

tion . C’est un vecteur toujours tangent à la trajectoire du point M et dirigé dans le sensdu mouvement du point M sur (C). Par la suite, la vitesse instantanée du point M, à l’instant t,

relativement à un espace de référence spatial (R0) sera notée ou plus simplement

, telle que :

c) Accélération

L’accélération d’un point M par rapport à un référentiel (R0) est la dérivée première du vec-teur vitesse instantanée par rapport au temps, ou la dérivée seconde du vecteur position par

La vitesse moyenne représente la distance parcou-rue par un mobile M pendant le temps de parcours.Soit un point M occupant à l’instant t la position

et à l’instant t’ (avec t’ > t) la position

sur la trajectoire orientée (C), alors lavitesse moyenne du point M entre les instants t et t’

est : ,

où le point O est l’origine de l’espace de référence à partir duquel la vitesse moyenne dupoint M est déterminée.

M(t)=MM(t') = M'

moyenneVr

r

(C)

0M/RV

M = M( )t

M' = M( ')t

Vt t

tmoyenne =

MM'=

OM OM

'

( ')

−( )

't

t t−

V moyenne t t t' = + δδt

Vt t

tt t t

( )'

'

= limMM'

= limOM

→ →− δ 0

(( ) ( ) ( )

t t t t

t t+ −

=δδ

OM dOMd

OM( )t

V M/R ( )0 t

V M/R0

Vt

tM/R

R0

0

=dOM

d( )

4

Page 11: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 2 • Cinématique du point matériel

rapport au temps. Par la suite, l’accélération du point M, à l’instant t, par rapport à un réfé-rentiel (R0) sera notée ou plus simplement , telle que :

d) Expression du vecteur vitesse et du vecteur accélération dans les différents systèmes de coordonnéesVoir tableau page suivante.

3. EN PRATIQUE…À titre d’exercice, on propose d’établir les expressions du vecteur vitesse d’un point M parrapport à (R0) en coordonnées cylindriques (ou polaires) et en coordonnées intrinsèques,puis l’expression du vecteur accélération d’un point M par rapport à (R0) en coordonnéesintrinsèques.

* Vitesse en coordonnées cylindriques (ou polaires)Le vecteur vitesse d’un point M correspond à la dérivée première par rapport au temps du

vecteur position par rapport à (R0), d’où :

Les vecteurs unitaire et sont mobiles, donc dépendants du temps, par rapport à (R0) et

le vecteur unitaire , élément de l’axe fixe , est indépendant du temps (Annexe A). L’expression de la dérivée par rapport au temps du vecteur unitaire tournant par rapport à (R0)

s’écrit : avec vitesse angulaire du vecteur

autour de l’axe fixe .

Le vecteur vitesse du point M par rapport au référentiel (R0) en coordonnées cylindriques(ou polaires) s’écrit alors :

d’où :

Cette relation est applicable à tout vecteur (de norme constante) en rotation

autour d’un axe fixe avec une vitesse angulaire : .

a tM/R0

( ) aM/R0

aV

t t

tM/R

M/R

R2

R0

0

0 0

=d

d

d OM

d=

2( )

Vt

r u z k

tt r

M/R

R R

0

0 0

= dOM

d

d

d

( ) =+( )

ur uθk Ok

ur

d

dR0

u

tu ur

t r= ∧ = ( )ω θθ ω( )( )

tt

tk k=

d

d

θθ= ur

Ok

AB( )t

Δ( ) ω( )tdAB

dAB

t t t( ) ( )= ∧ω

Vt

r ur z k

t

rt tM/R

R R0

0 0

= dOM

d

d

d

d( ) ( =

+( )= ))

( )( )

d

d

d

d

ddd

R R R R0 0 0 0

tur r

urt

z

tk z

k

ttt+ + +

= 0

V r u r ur tM/R0

coordonnées polaires

= + ( ) θ θ + z k

5

Page 12: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 2 • Cinématique du point matériel

Vect

eur

posi

tion

Vect

eur

vite

sse

Vect

eur

accé

léra

tion

Coor

donn

ées

cart

ésie

nnes

(Ann

exe

A)

la n

otat

ion

« po

inté

e »

signi

fiant

qu’

il s’a

git d

’une

dér

ivée

par

ra

ppor

t au

tem

ps v

is-à-

vis d

u ré

fére

ntie

l (R 0

). Pa

r la

suite

, la

nota

tion

« po

inté

e »

sera

choi

sie p

réfé

rent

ielle

men

t par

rapp

ort à

la

not

atio

n «

class

ique

».

la n

otat

ion

du d

oubl

e po

int s

igni

fiant

qu’

il s’a

git d

’une

dér

ivée

se

cond

e pa

r rap

port

au

tem

ps v

is-à-

vis d

u ré

fére

ntie

l (R 0

).

Coor

donn

ées

cylin

driq

ues

(ou

pola

ires)

(Ann

exe

A)

(Cf.

En p

ratiq

ue fi

che

2)

Coor

donn

ées

sphé

riqu

es(A

nnex

e A

)

Coor

donn

ées

intr

insè

ques

(Cf.

En p

ratiq

ue fi

che

2) e

t so

nt re

spec

tivem

ent l

’acc

élér

atio

n ta

ngen

tielle

et

l’acc

élér

atio

n no

rmal

e (C

f. En

pra

tique

fich

e 2)

OM

()

()

()

()

t

tt

tx

iy

jz

k=

++

Vt

x ti

y tj

tt

tM

/R

R0

0

= dO

M d

d d

d d

d(

)(

)(

) =

++

zz tk

t()

d

Vt

xi

yj

zk

M/R

(t)

R0

0

=dO

M d=

++

a

V

tt

xi

tM

/RM

/R

RR

0

0

00

= d

d

dO

M

d=

=+

(

)2

2yy

jz

k+

OM

coor

donn

ées

pola

ires

()

()

()

tt

rt

ru

zk

=+

Vt

ru

ru

tr

tM

/R

R0

0

=dO

M dco

ord

(

)(

)=

θ

oonné

es p

olai

res

+z

ka

V

tr

ru

rt

rt

M/R

M/R

20

0=

d

d

()

()

=− (

)+

θθ

++

coor

donn

ées

pola

ires

2 ru

θ(

) θ+

zk

OM

()

()

t

tr

ru

=V

tr

ur

ur

tr

M/R

R0

0

=

dO

M d(

)si

n=

++

θθ

ϕθθ

u ϕa

rr

r

r

tt

t

tM

/R

22

0=

+ −

sin

()

()

()

()

θθ

θ

ϕ2

22

2

rr

rt

tt

tt

θθ

θ

θ

sin

(

)(

)(

)

()

()

+

si

nco

s2

ϕϕ

rr

tt

tu r

ϕϕ

sin

co

s(

)(

)(

),

θθ

θ+

⎛ ⎝⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞ ⎠⎟ ⎟ ⎟ ⎟2

uuu

ϕθ

,(

)

Vs tt

M/R

R0

0

= d d

s (

)

τ

τ=

as

sR

V

t

V

Ra

M/R

M/R

M/R

0

00

==

d

ητ

τ

++

()

2

2

aaη

η

a τa η

6

Page 13: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 2 • Cinématique du point matériel

* Vitesse en coordonnées intrinsèques

Le long de la trajectoire (C) le point M est repéré par son abscisse curviligne, notée , qui

correspond à la longueur de l’arc de courbe orienté . (le point étant un point

arbitrairement choisi sur (C) comme origine de l’espace de référence). La longueur de l’arc

est égale au produit du rayon de courbure R de la trajectoire de centre C par l’angle

orienté , soit : .

La vitesse du point M en coordonnées intrinsèques, par rapport au référentiel (R0), s’écrit

alors :

* Accélération en coordonnées intrinsèques

La dérivée par rapport au temps de est donc : . On peut alors écrire :

or

et sont respectivement l’accélération tangentielle et l’accélération normale et la norme du vecteur vitesse .

Pour certaines trajectoires (curvilignes par exemple), afin deconnaître la vitesse du point M par rapport au référentiel (R0),il est intéressant de lui affecter une base mobile, dite base deFrenet. Celle-ci est composée d’un vecteur tangent à la trajec-toire (C) noté (dirigé dans le sens de la direction du dépla-cement du point M au cours du temps) et d’un vecteur normalà la trajectoire noté (dirigé suivant le rayon de courbure dela trajectoire et orienté vers l’intérieur de la courbure).

Lorsque le point M est repéré à partir de son abscisse curvi-ligne , l’accélération du point M dans la base de Frenet par rapport au référentiel (R0) s’écrit :

Sur une portion de trajectoire (C) suffisamment petite, la tra-jectoire du point M peut être assimilée à un cercle de centreC et de rayon de courbure R (cercle osculateur).Le vecteur , lié au point M est alors en rotation autour del’axe fixe (axe normal au plan de la trajectoire, passant

par C et dirigé tel que soit une base orthonormée directe) avec une vitesse

angulaire .

(C)

M

O0

0M/RV

R

α

τ

η

C

(t)τ

η

s t( )

O M0 ( )= s t O0

O M0

CO , CM0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ( )α t s R t= =O M0 α( )

Vs

ts

tM/R

R0

= d

d

0

( ) τ τ=

k

(C)

M

O0

R

α

C

τ

η

a η

a τ

(t)

s t( )

as

t

s

t

s

ts

tM/R 2

R R R0

0 0 0

= d

d

d

ddd

2( )

=( )

= +τ

τ ddd

R0

τt

τOk

τ η, , k( )ω( )

( ) t

tt

k k= d

d

αα=

τddτ ω τ ηt t ( )= ∧ = α

as

ts s

t

M/R 2

R

0

0

= d

d

2( ) = + τ ηα

V s

s Rt t

M/R0

= τ

( ) ( )=

⎧⎨⎪

⎩⎪ α⇒ + +a s s

R

V

t

V

a

M/RM/R M/

0

0= = d

d τ η τ

τ

2 RR0( )2

Raη

η

aτ aη VM/R0VM/R0

7

Page 14: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

3 Des exemples de forces

1. EN QUELQUES MOTS…Dans l’état actuel des connaissances, tous les processus physiques, chimiques ou biologiquesconnus peuvent être expliqués à l'aide de quatre interactions fondamentales : l’interactiongravitationnelle, l’interaction électromagnétique et les deux interactions dites « fortes » et« faibles ».Les forces observées à l’échelle macroscopique dans la nature ne sont en réalité qu’une mani-festation des quatre interactions fondamentales.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Les 4 interactions fondamentales

* Interaction gravitationnelleDeux points matériels quelconques M1 et M2 de masses respectives m1 et m2 séparés d’une

distance r, s’attirent toujours avec une force colinéaire à et telle que la norme decette force est :

* Interaction électromagnétiqueDeux points matériels M1 et M2, chargés électriquement respectivement avec une charge q1et q2 et séparés d’une distance r :

– s’attirent si q1 et q2 sont de signes opposés ;– se repoussent si q1 et q2 sont de même signe.

avec une force colinéaire à et telle que la norme de cette force est :

* Les deux interactions dites « fortes » et « faibles »L'interaction forte assure la cohésion des noyaux atomiques en liant les protons et les neutronsentre eux. Si elle n'existait pas, les noyaux ne pourraient pas être stables et seraient dissociéssous l'effet de la répulsion électrostatique des protons entre eux. L’interaction faible intervient dans les réactions nucléaires et elle agit sur toutes les particules.Contrairement aux interactions gravitationnelles et électromagnétiques qui ont des portéesinfinies, les interactions fortes et faibles ont des portées extrêmement faibles, de l’ordre de10–15 m pour la première et 10–18 m pour la seconde. L’étude des interactions fortes et fai-bles ne sera pas abordée par la suite.

G : constante de gravitation universelle ; G = 6,67.10–11 m3.kg–1.s–2

K : constante ; K= 9.109 N.m2.C–2

F M M1 2

Fm m

r= G 1 2

2

F M M1 2

Fq q

r= K 1 2

2

8

Page 15: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 3 • Des exemples de forces

b) Force de gravitation et poids d’un corps

Lorsque l’altitude, h, du point matériel M est faible (M proche ou sur la surface de la terre),

, la force de gravitation s’écrit alors : . En posant , on a

. La force, , correspond dans ce cas au poids du point matériel M de masse m.

Elle est usuellement notée , d’où :

c) Force de frottementLe frottement est le résultat de tout déplacement d’objet. Les forces de frottement ainsiengendrées s’opposent toujours au déplacement de celui-ci. Elles sont classées en2 catégories : le frottement solide (contact solide-solide) et le frottement visqueux (contactsolide-fluide).

* Le frottement solide

Si on note M la masse de la Terre et R son rayon,l’action (ou force de gravitation) de la Terre de masseM sur un point matériel M de masse m situé à une alti-tude h de la surface terrestre s’écrit :

L’action de la Terre sur le point matériel M est expri-mée dans la base polaire afin de faciliter les projections.Il s’agit d’un problème à symétrie radiale, la ligne

d’action de la force passant par le point M et lecentre de la Terre, noté O.

: poids du point matériel M (N)m : masse du point matériel M (kg)

: accélération de pesanteur (ou champ de pesanteur) (m.s–2) ;

à l’altitude h = 0

Soit un solide S, en appui sur un supporthorizontal, soumis à une force extérieuremotrice, . On note , la réaction du sup-port et la force de frottement engendréepar le déplacement de l’objet sous l’effet de

. La réaction du support peut s’écrirecomme la somme vectorielle d’une compo-sante normale au support, notée et d’une composante tangentielle au support, correspondant à la force de frottement :

. On note le poids de l’objet S. Toutes les forces ont pour point d’applicationle centre de masse de S, noté G.

Fm

R hu Fm rM

M→ = −

+( )=G

2

FM m→

Surface de la Terre

R

h

ru

M

mF

→M

O

ligne d'action de la force

h → 0 Fm

Rur= − G

M2

gR

ur= − GM

2

F m g= F

P

P m g=

P

g

g = 9 81, –m.s 2

F Rf

F R

RN

S

f

NRR

P

F

Plan horizontal

G

fR R fN = + P

9

Page 16: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 3 • Des exemples de forces

L’expérience montre que l’intensité de la force de frottement, , est proportionnelle à celle

de la réaction normale du support, . Ce facteur de proportionnalité, noté µ, correspond au

coefficient de frottement tel que :

* Le frottement visqueux

En général, le coefficient de frottement dépend des propriétés physiques (ou physico-chimiques)des matériaux en contact et également des conditions de sollicitation. Il est présent dans la quasi-totalité de nos gestes de la vie quotidienne tels que la marche (contact chaussure-chaussée), lerasage (contact lame-peau) ou encore la cuisine par le biais de l’utilisation des poêles avec desrevêtements en téflon (propriétés anti-adhésives) …

d) Force de rappel d’un ressort

Soit un ressort de masse négligeable et de longueur à vide , fixé à un support horizontalen A. Une masse m est accrochée à l’extrémité B du ressort. À l’équilibre, le ressort exerce

sur la masse m une force de rappel (ou tension) qui s’oppose au poids, . La longueur du res-

sort est alors . La force de rappel du ressort, notée , est :

Considérons un solide S en mouvement dans un fluide(liquide ou gaz), il subit de la part du fluide des forcesde frottement qui s’opposent à son déplacement. Cesforces de frottement sont principalement attribuablesà la viscosité du fluide et dépendent également de la

vitesse de déplacement, , de S dans le fluide. Lorsque la vitesse de déplacement de S est faible, la force de frottement visqueuse est don-

née par : , où est un coefficient positif dépendant de la viscosité du fluide et dela géométrie de S.

: force de rappel du ressort (N)

k : raideur du ressort force (N.m–1), la raideur est telle que k ≥ 0

: élongation du ressort (m)

Le signe négatif de indique qu’il s’agit d’uneforce de rappel, elle s’oppose à la déformation duressort.Cette loi est valable pour des variations de longueurdu ressort inférieures à sa limite d’élasticité (défor-mation réversible du ressort).

f

RN

μ =f

RN

V

fluide

f VS

f V= − β β

0

P

FR

F kR = 0− ( )k -

FR

- 0( )FR

P

z

k

A A

B

B RF

O

l

0l

m

10

Page 17: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 3 • Des exemples de forces

e) Force de liaison

3. EN PRATIQUE…Montrons que jusqu'à une altitude d’environ h = 32 km par rapport à la surface de Terre, laforce gravitationnelle entre la Terre et un objet M de masse m, assimilable à un point maté-riel, peut être assimilée au poids de l’objet.Lorsque le point matériel M de masse m se situe à une altitude h par rapport à la surface de la

terre, la norme de est donnée par :

On peut également écrire : en posant

Le rayon de la Terre étant R 6 400 km, (pour h = 32 km, alors ), on

a alors : .

Pour écrire l’expression de , nous avons utilisé le développement limité de en 0 au

premier ordre .

Donc : .

La variation relative de , notée , entre la surface de la terre (h = 0) et l’altitude h,

s’écrit alors : .

On constate que la variation de est inférieure à 1 % tant que h < 32 km. Ainsi, pour des

objets situés à une altitude inférieure à 32 km de la surface de la Terre, la force gravitation-

nelle peut être assimilée au poids de l’objet.

Pour décrire le mouvement d’un point matériel libre de toute contraintedans l’espace à trois dimensions, il faut 6 paramètres (position et vitesse),on dit alors que le point matériel a 6 degrés de liberté (ddl) (3 translations+ 3 rotations). Un point matériel est soumis à des liaisons si sa position(et/ou) sa vitesse sont astreintes à satisfaire une contrainte physique. Lesliaisons diminuent alors le nombre de degrés de liberté du point matériel. Prenons l’exemple d’un point matériel M de masse m au bout d’unfil infiniment mince (épaisseur négligeable) inextensible (Pendule).

Le fil impose au point matériel M, une force de liaison, notée , etl’astreint dans son déplacement (3 rotations possibles et aucunetranslation). Cette force est portée par le fil tant qu’il est tendu, elleest appelée tension du fil. L’expression de la tension du fil peut êtredéterminée à partir de la deuxième loi de Newton.

FT

fil

M

P

TF

g gR h

=+( )

GM

2

gR h

R

gh

R=

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−G2 2 0

2

1

1M1

gR

0 = G M2

≈h

R1

h

R= 0 005 1,

g gh

R= −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟0 1 2

g 1+( )εn

⇒ +( ) ≈ +→

DL en 0: n0

n

εε ε1 1

DL en 0: 0

2

h

R

h

R

h

R→

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −1 1 2–

g Δg

g0

Δg

g

h

R0

20 01= = ,

g

11

Page 18: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

4 Les trois lois de Newton

1. EN QUELQUES MOTS…La dynamique s’intéresse aux causes qui produisent les mouvements et elle est capable de lesprévoir. Les concepts fondamentaux de la dynamique du point matériel sont résumés dans lestrois lois de Newton.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Vecteur quantité de mouvementLe vecteur quantité de mouvement, noté ou plus simplement (unité : kg.m.s–1), d’un

point matériel M de masse m se déplaçant à la vitesse par rapport à un espace de réfé-

rence (R0) est :

Le vecteur quantité de mouvement est une grandeur vectorielle qui, contrairement à lamasse, dépend du référentiel d’étude. C’est un vecteur colinéaire au vecteur vitesse, ,donc toujours tangent à la trajectoire du point M.

b) Première loi de Newton : Le principe d’inertieLe principe d’inertie fait intervenir le concept de point matériel isolé (ou système matérielisolé) et complète la notion de référentiel galiléen préalablement introduite. c Avant d’énoncer le principe d’inertie, il est nécessaire de définir le concept de système

isolé : un point matériel M est isolé s’il ne subit aucune action de la part des systèmes envi-ronnants. Un point matériel M suffisamment éloigné des autres systèmes matériels pourraêtre considéré comme isolé.

c Le principe d’inertie exprime le fait qu’il existe des référentiels privilégiés (au moins un)dans lesquels un point matériel isolé M (ou centre d’inertie d’un système matériel isolé) estsoit en mouvement rectiligne et uniforme par rapport à ce référentiel, soit au repos. Cesréférentiels sont galiléens.

En d’autres termes, le principe d’inertie signifie que dans un référentiel galiléen, noté (R0),l’accélération par rapport à (R0) d’un point matériel, M, isolé (ou centre d’inertie d’un sys-tème matériel isolé) est nulle :

donc , la vitesse du point M est donc cons-

tante, ce qui implique la conservation du vecteur quantité de mouvement au cours du

temps : .

: vecteur quantité de mouvement (kg.m.s–1) m : masse du point matériel M (kg)

: vitesse du point M par rapport à (R0)

p t( ) p

V M/R0

p m V= M/R0

p

V M/R0

V M/R0

aM/R0= 0

d

dcste

M/R

R

M/R 00

0

0

V

tV V= ⇒ = =0

p

pp mV mV= =M/R 00

12

Page 19: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 4 • Les trois lois de Newton

Le référentiel (R1) est alors en translation rectiligne uniforme par rapport à (R0). Or l’accélé-ration de M par rapport à (R0) est nulle et l’accélération de (R1) par rapport à (R0) est égale-ment nulle. Par conséquent, l’accélération du point M par rapport à (R1) est nulle et leréférentiel (R1) est aussi un référentiel galiléen. Cette analyse peut être étendue à une infinitéde référentiels (Ri), tous en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres.

c) Deuxième loi de Newton : Le principe fondamental de la dynamique (PFD)Si des actions extérieures agissent sur le point M, de masse m, son mouvement est modifié, desorte que sa quantité de mouvement (donc sa vitesse) change. Il existe alors une accélérationnon nulle qui apparaît sous l’effet d’une grandeur vectorielle appelée force. La deuxième loide Newton définit cette force telle que :

La force est une grandeur vectorielle, ainsi si n actions agissent sur le point M, on a :

. La quantité désigne alors la résultante des forces extérieures

(ou somme des forces extérieures) appliquées au point matériel M tel que: que

l’on notera par la suite :

Le principe fondamental de la dynamique (PFD) s’écrit alors :

Si le système à étudier n’est pas un point matériel, mais un ensemble de ni points maté-riels chacun de masse mi constante, alors le PFD doit être appliqué au centre d’inertie dusystème (fiche 16), noté G tel que : avec et accélérationdu centre d’inertie du système par rapport à (R0).

La conséquence du principe d’inertie(ou première loi de Newton) est qu’ilexiste une infinité de référentiels gali-léens, tous en translation rectiligne uni-forme les uns par rapport aux autres.En effet, soit un référentiel galiléen, noté(R0), d’origine O et un point M isolé parrapport à (R0). L’accélération du point Mpar rapport à (R0) est nulle. Soit un autreréférentiel (R1), dont l’origine, O1, est enmouvement rectiligne uniforme par rap-port à (R0) et dont les axes gardent desdirections fixes par rapport à ceux de (R0).

: force appliquée sur le point M par l’extérieur (N)

: vecteur quantité de mouvement (kg.m.s–1)m : masse du point matériel M (kg), constante en mécaniquedu point matériel

: vitesse du point M par rapport à (R0)

: résultante des forces extérieures appliquées au point M (N) m : masse du point matériel M (kg)

: accélération du point M par rapport à (R0)

y

z

O

M

O1

(R1)

(R0)

x

y

z

x

0M/R csteV =

0M/R 0a =

1M/R 0a =

1M/R csteV =

Fp

tm

V

textR

M/R

R

dd

d

d0

0

0

= =

Fext

p

V M/R0

Fext

F F F Fnext = + + +1 2 ... Fext

F Fii

n

ext ==∑

1

Fext∑

F m aext M/R 0

∑ =Fext∑

aM/R0

F m aext G/R 0

∑ = m mi=∑ aG/R0

13

Page 20: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 4 • Les trois lois de Newton

d) Troisième loi de Newton : Le principe des actions réciproques

3. EN PRATIQUE…Cherchons à déterminer l’altitude h d’un satellite S de masse m, en orbite circulaire autour dela Terre, pour qu’il paraisse immobile à un observateur situé à la surface de la Terre.On précise que la masse M de la Terre est égale à M = 5,98.1024 kg et que le rayon de la TerreR est R = 6,38.106 m.

Æ Effectuons le bilan des forces extérieures : – Action de la Terre sur S (force gravitationnelle : attraction de la Terre sur S), noté

Si dans un référentiel galiléen, (R0), la résultante de forces appliquées au point M est

nulle , alors le point M doit être considéré comme isolé et le PFD donne :

, on retrouve donc la 1re loi de Newton.

La 1re loi de Newton n’est donc qu’un cas particulier du principe fondamental de ladynamique.

Si deux points matériels M1 et M2 sont eninteraction, et si et sont respec-tivement les forces de M1 sur M2 et de M2

sur M1 alors le principe des actions réci-proques (ou principe d’action-réaction)stipule que ces deux forces sont colinéai-res, opposées, et égales en norme quel quesoit le référentiel d’étude (galiléen ounon) et leur mouvement respectif (ouabsence de mouvement). On peut écrire :

: action de M1 sur M2 (N)

: action de M2 sur M1 (N)

Æ Système étudié : satellite S de masse mÆ Référentiel et base de projection : le mouve-ment du satellite S est étudié par rapport auréférentiel fixe (R0) d’origine O le centre de laTerre, muni du repère supposé gali-léen. Étant donnée la nature du mouvement deS (trajectoire circulaire plane), toutes les gran-deurs vectorielles du problème seront expri-mées dans la base de Frenet

liée à S.

Fext∑ =( )0

m a V csteM/R M/R M/R0 0 0= ⇒ = ⇒ =0 0γ

M1

M2

1 2F→

2 1F →

ligne d'actiondes forces

F1 2→ F2 1→

F F1 2→ →= − 2 1

F1 2→

F1 2→

O i

j x

y

h

R

(M)

(m)

η

τ

T SF →

Terre

( , , , )O i j k

( )η τ,

FT S→

14

Page 21: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 4 • Les trois lois de Newton

Æ Projetons les forces extérieures dans la base de Frenet liée à S :

– Action de la Terre sur le satellite S :

La Terre est assimilée à un point matériel, donc toute la masse de la Terre est « contenue » enson centre. La distance Terre/satellite est donc : R + h.Æ Appliquons le principe fondamental de la dynamique appliqué à S :

(comme la trajectoire de S est circulaire : ,

l’accélération de S est uniquement centripète)

Projetons le PFD sur l’axe :

(1)

Pour un mouvement circulaire, la vitesse du satellite S par rapport à (R0) s’écrit dans la base de

Frenet : , où est la vitesse angulaire du satellite par rapport à(R0).

L’équation (1) s’écrit alors :

On veut que le satellite S paraisse immobile pour un observateur situé à la surface de la

Terre, il faut donc que le satellite et la Terre aient la même vitesse angulaire : .

La Terre fait un tour (soit radian) sur elle-même en 24 heures, donc :

Application numérique : m, soit environ

h ≈ 36 000 km.

η τ, ( )

FMm

R hT S→ +

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟

= G( )

( , )

2

0 η τ

F m aext S/R 0

∑ = ⇔ =→F m aT S S/R0

⇔+

=( )

+G

Mm

R hm

V

R h

S R

( )

/

2

2

0η η aV

tτ τ= = d

d

S/R0 0

⇔+

= ( )GM

R hVS Rη η / 0

2

( )Sη

GM

R hVS R+

= ( ) / 0

2

V s R hS/R S0= ( ) τ ω τ= + ωS

GM

R hR h S+

= + ( )2 2ω

⇔ + =( ) R hM

S

32

G

ω⇔ =

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟

−hM

RS

G

ω 2

1

3

ω ω ωS T= =

ω πT rad.s=

×= − −

, . .

224 3 600

7 26 10 5 1

h = ×

( )⎛

⎜⎜⎜⎜

⎟⎟⎟⎟

6 67 10 5 98 10

7 26 10

11 24

52

1

, . , .

, .

33

6 38 10 3 6 106 7− ≈, . , .

15

Page 22: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

5 Loi de composition des mouvements

1. EN QUELQUES MOTS ...La loi de composition des mouvements permet de connaître le mouvement d’un point M(vitesse, accélération) par rapport à un référentiel (Ri) connaissant le mouvement de ce pointM par rapport à un référentiel (Rj) lui-même en mouvement par rapport à (Ri) (avec i ≠ j).

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Loi de composition des vitessesLa loi de composition des vitesses permet d’écrire la vitesse d’un point matériel M par rap-port à un référentiel galiléen fixe (ou absolu), noté (R0), à partir de la vitesse du point M parrapport à un référentiel intermédiaire, appelé référentiel mobile (ou relatif), noté (R1), lui-même en mouvement par rapport à (R0). La vitesse du point M par rapport à (R0), appelée vitesse absolue et notée ou s’écrit :

On procède de la manière suivante pour obtenir les expressions de et :

Æ Pour : On « immobilise » (R1) et on détermine la vitesse du point M par rapport à (R1).

Æ Pour : On s’intéresse au mouvement de (R1) par rapport à (R0), pour obtenir la vitessede (R1) par rapport à (R0).

b) Loi de composition des accélérationsLa loi de composition des accélérations permet d’écrire l’accélération d’un point matériel Mpar rapport à un référentiel galiléen fixe (ou absolu), noté (R0), à partir de l’accélération dupoint M par rapport à un référentiel mobile (ou relatif), noté (R1), en mouvement par rapportà (R0). L’accélération du point M par rapport à (R0), appelée accélération absolue et notée ou s’écrit :

: vitesse relative (également notée ). Elle représente la vitessedu point M par rapport à (R1).

: vitesse d’entraînement. Elle correspond à la vitesse d’entraînementde (R1)/(R0) (mouvement de (R1)/(R0)).

: accélération relative (également notée ). Elle représentel’accélération du point M par rapport à (R1)

: accélération d’entraînement. Elle correspond à l’accélérationde (R1)/(R0)

: accélération de Coriolis, telle que : , où

est le vecteur vitesse angulaire instantanée de (R1)/(R0),

correspondant à la rotation de (R1)/(R0). L’accélération de Coriolisexiste lorsque le point M est en mouvement dans (R1) et (R1) est enrotation par rapport à (R0).

VA V M/R0

V V VA R E= +

VR V M/R1

VE

VRVE

VR

VE

aAaM/R0

a a a aA R E C= + +

aR aM/R1

aE

aC a VC = ∧2ωR /R M/R1 0 1

ωR /R1 0

16

Page 23: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 5 • Loi de composition des mouvements

Ox

3. EN PRATIQUE…Étudions le mouvement d’une rustine collée sur la roue arrière d’une bicyclette de rayon r. Larustine est assimilée à un point matériel noté M.Soit une route que l’on considère comme le référentiel fixe ou référentiel absolu, noté (R0)(c’est-à-dire qu’il s’agit du référentiel à partir duquel on veut connaître le mouvement de larustine). Ce référentiel est muni d’un système de trois axes orthogonaux, , , , d’ori-

gine O, muni d’une base directe . On considère que la bicyclette roule sur la route

avec une vitesse constante par rapport à (R0) telle que : .

Le point M est en rotation autour de l’axe avec une vitesse angulaire w(t).Æ Expression de la vitesse relative : vitesse du point M par rapport au référentiel (R1)

Le point M décrit un cercle de centre et de rayon r par rapport à (R1), sa vitesse est donc :

Æ Expression de la vitesse d’entraînement (R1)/(R0)Le référentiel (R1) décrit un mouvement de translation par rapport à (R0), d’où :

Æ Expression de la vitesse absolue : vitesse du point M par rapport au référentiel (R0) Le mouvement du point M par rapport à (R0) est une cycloïde. La vitesse du point M par rap-port à (R0) est délicate à déterminer car le point M est en rotation par rapport à (R1) et (R1)est en translation par rapport à (R0). Il faut donc tenir compte de la combinaison des 2 mou-vements pour établir l’expression de la vitesse du point M par rapport à (R0) :

Ce résultat établit la nuance entre une vitesse calculée par rapport à un référentiel et le résul-tat de cette vitesse exprimé dans un repère de projection qui n’est pas nécessairement lerepère lié au référentiel par rapport auquel la vitesse est calculée.

On lie à la roue arrière, qui roule sans glisserpar rapport au sol, un référentiel, noté (R1),

muni de trois axes orthogonaux , ,

, d’origine le centre de la roue, et d’une

base directe . Le référentiel (R1) est entranslation uniforme par rapport au référentiel

(R0), par conséquent : , et .

Ox Oy Oz

i j k, ,( )V x ibic/R0

=

x

y

O

O1

M

iRoute

j

1j

1i

(R1)

1x

1y

(R0)

(t)

O1 1x O1 1y

O1 1z O1

i j k1 1 1, ,( )

i i1 = j j1 = k k1 =

O1 1k

O1

V Vt

r iRt= = −M/R

1

R

(t)1

1

=dO M

d( )

(sin cω θ 1 oos (sin cosθ θ θj r i j1 1 1) = )θ −

V x i x iE = = 1

V Vt tA

t t= =( ) ( )M/R

R R

0

01

=dOM

d

dO M

d

1++ −( )dOO

d= )

R Vitesse0

11 1

t

tr i jθ (sin cosθ θ

de M/R translation de R / R1

1 0

+

( )

x i1

(( )

17

Page 24: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

6 Mouvement de rotation

1. EN QUELQUES MOTS…Les mouvements de rotation sont très nombreux en mécanique (mouvement d’un satelliteautour d’une planète, mouvement d’un électron autour du noyau de l’atome…). Ils sontcaractérisés par des grandeurs appelées moment. Le moment (d’une force, d’inertie…) estune grandeur associée à un mobile en rotation autour d’un axe ou d’un point.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Moment d’une force

La force ne peut pas faire tourner le point M car le bras de levier est nul (la force est

colinéaire à ).Le moment d’une force , noté , appliquée sur un point matériel M en rotation parrapport à (Δ), est le vecteur défini par :

b) Moment d’inertie

Le moment d’une force renseigne sur la forcequ’il faut appliquer sur un mobile pour le mettreen rotation autour d’un axe ou d’un point. Soient3 forces , et de même norme, agissant surle point M comme indiqué sur la figure ci-contre.Plus le bras de levier, , est grand (ici > ),plus le moment de la force appliquée sur lemobile est grand, plus la mise en rotation dumobile est facilitée. Le bras de levier est la dis-tance perpendiculaire à la ligne d’action de laforce passant par l’axe de rotation ( ).

: moment de la force par rapport à O (N.m)

: force appliquée sur le point M (N)

: vecteur entre le point O et le point M (O est le point de l’axe (Δ) tel que :

(Δ))

Le moment d’inertie, noté (unité : kg.m2),reflète l’effet de la masse sur la mise en rotationd’un mobile. Plus la masse d’un corps est con-centrée loin de son axe de rotation, plus sonmoment d’inertie est grand et plus sa mise enrotation (ou l’arrêt de la rotation) est difficile.Considérons 2 cylindres S1 et S2 constitués dumême matériau, de masses respectives et

(telles que : > ) et de rayon et (tels que > ).

ligne d'action de la force

1F 2F

3F

O

( )Δ

1r

2r

2F

M

F1 F2 F3

ri r1 r2

Δ

F3 F3

OMF MF / O( )

MF F/ O OM( ) = ∧

MF / O( ) F

F

OM

OM ⊥

( )Δ1S

2S 1R

2R

1m

2m

1F

2F

I

m1m2 m1 m2 R1 R2

R1 R2

18

Page 25: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 6 • Mouvement de rotation

Pour mettre ces 2 cylindres en rotation autour de l’axe (ΔΔΔΔ), avec la même vitesse de rotation,il est nécessaire d’appliquer une force sur le cylindre S1 et une force sur le cylindre S2telles que : > .Le moment d’inertie d’un point matériel M de masse m en rotation par rapport à (ΔΔΔΔ), est lescalaire défini par :

3. EN PRATIQUE…Comparons le moment de deux forces et , de même intensité, qu’il faut appliquer sur uneporte, de largeur l, pour la mettre en rotation.

Æ Calculons le moment de par rapport à O

Æ Calculons le moment de par rapport à O

Le moment de par rapport à O est plus grand que le moment de par rapport à O. Il est

donc plus facile de mettre la porte en rotation en appliquant la force ( perpendiculaire à

) qu’en appliquant la force . Le bras de levier de est plus faible que celui de .

: moment d’inertie du point matériel M (kg.m–2) m : masse du point matériel M (kg) r : distance entre le point M et l’axe de rotation

Les forces et sont exprimées parrapport au repère orthonormé direct

, d’origine O, et muni de la

base .

F1 F2F1 F2

I= m r2

I

F1 F2

O

Al

1F

2F

θj

i

charnière Porte

bras de levier pour 2FF1 F2

O, , ,x y z( )i j k, ,( )

F1

M F F1

1/ O OA( )= ∧

MF

i j k

l

F1

0

0

0

0/

, ,

O( )( )

=⎛

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

∧⎛

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

i j k

Fl k

, ,( )=

F2

MF F2 2/ O OA( ) = ∧

M F

i j k

l F

F2

0

0/

, ,

cos

sinO( )( )

=⎛

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

∧−+

θθ

00

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

=

( )i j k

Fl k

, ,

sinθ

F1 F2

F1 F1

OA F2 F2 F1

19

Page 26: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

7 Travail et puissance d’une force

1. EN QUELQUES MOTS…Dans la vie courante le terme « travail » possède diverses significations. En physique, il per-met de décrire le résultat de l’application d’une force servant à déplacer un objet sur une cer-taine distance.

2. À RETENIR…

a) Travail d’une force constante au cours d’un déplacement rectiligneConsidérons un point matériel M, soumis à une force constante , se déplaçant le long d’untrajet rectiligne AB.

b) Travail élémentaire

Le vecteur déplacement élémentaire, , le long d’un trajet quelconque est toujours tangent àla trajectoire.

Soit l’angle de la force par rapport au dépla-

cement orienté de A vers B. Le travail de , noté (unité le Joule, noté J), sur le trajet de A

vers B est égal au produit scalaire entre le vecteur

force, et le vecteur déplacement :

Le travail est une grandeur scalaire qui peut être négative, nulle ou positive. Lorsque le

travail d’une force est négatif ou positif, on dit qu’il est respectivement résistant ou

moteur. Lorsqu’il est nul, alors la force est perpendiculaire au déplacement et on dit

que la force ne travaille pas le long du trajet considéré.

Soit un point matériel M, soumis à une force et à un déplacement élémentaire le long d’untrajet orienté (C). On suppose suffisammentpetit pour considérer que la force est cons-tante le long de . Si on appelle l’angleorienté entre et , le travail élémentaire de associé au déplacement s’écrit alors :

F

FA B αM

α F

FW (F)A B→

F AB

W ( ) . AB ABA B

F F F→

= = × cosα

F

F

F

F

α

ld

M

(C)

Fdl

dlF

dl αF dl F

dl

d ( ) . d dW F F l F l= = × cosα

dl

20

Page 27: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 7 • Travail et puissance d’une force

F

Il est plus commode d’écrire le travail élémentaire de la force de manière analytique. Con-

sidérons un repère cartésien muni d’une base orthonormée directe . La projection de

la force sur la base s’écrit : (où , , sont respective-

ment les composantes de sur les axes , , ). De la même manière, l’expression duvecteur déplacement élémentaire en coordonnées cartésiennes s’écrit :

(où , , sont respectivement les composantes de sur les axes

, , ). Le travail élémentaire de est alors :

c) Travail total d’une force le long d’un trajet finiConsidérons un point matériel M qui sous l’action de la force (qui peut varier pendant ledéplacement), décrit un trajet orienté fini sur la courbe (C) entre la position A et la position B.

Compte tenu de l’expression analytique du travail élémentaire de , l’expression analytique

du travail total de le long du trajet AB s’écrit :

Suivant les symétries des problèmes étudié*s et l’expression de la force , il n’est pas tou-jours pertinent d’exprimer le vecteur déplacement élémentaire, , en coordonnées cartésien-nes. Il est parfois plus commode de l’exprimer en coordonnées cylindriques (ou polaires) ousphériques :

c Coordonnées cylindriques (ou polaires) :

c Coordonnées sphériques :

Néanmoins, le calcul du produit scalaire de 2 vecteurs nécessite bien évidemment que leursprojections soient exprimées dans la même base.

d) Puissance d’une forceLa puissance d’une force exprime le travail effectué par la force par unité de temps. Soit

le travail élémentaire accompli par la force pendant l’intervalle de temps .

L’expression analytique du travail de est surtout utilisée dans les cas où la force n’est pasconstante au cours du déplacement envisagé.

Le travail total de la force entre lespoints A et B est alors la somme des tra-vaux élémentaires de entre A et B telleque :

: force entre A et B (N)

: déplacement élé-mentaire sur (C) (m)

F

i j k, ,( )F i j k, ,( ) F F i F j F kx y z= + + Fx Fy Fz

F Ox Oy Oz

dld = d + d + d l x i y j z dx dy dz dl

Ox Oy Oz F d ( ) = . d = d + d + dW F F l F x F y F zx y z

F F

F

F

A

B ld(C)

M M

MM

F

FF

ld

ldld

F

F

W ( ) .F F lA B A

B

d→

= ∫F

dl

F

F

W ( ) . .F F l F x F y F zx y zA B A

B

A

B

d d + d + d→

= = ( )∫ ∫F

dl

d = d + d +

coordonnées polaires

l r u r ur θ θ dz k

d = d + d + sin d l r u r u r ur θ θθ ϕϕ

d ( )W F F dt

21

Page 28: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 7 • Travail et puissance d’une force

Durant cet intervalle de temps, le point matériel M sur lequel agit la force parcourt une dis-tance élémentaire . La puissance instantanée de la force , notée (unité le Watt, notéW), s’écrit :

Il est également possible d’exprimer la puissance de la force agissant sur un point matérielM en fonction de la vitesse de M :

, la quantité correspond à la vitesse instantanée du point

M, par rapport à (R0), également notée , donc : .

La puissance de la force au temps t correspond alors au produit scalaire entre la force et

la vitesse du point M, par rapport à (R0), notée , au même instant. Cette dernière

expression de la puissance permet d’écrire le travail d’une force agissant sur un point maté-

riel M, en fonction de la vitesse de M, par rapport à (R0) :

3. EN PRATIQUE…

Æ Système étudié : point matériel M de masse mÆ Référentiel et base de projection : le mouvement de M est étudié par rapport au référentielgaliléen fixe (R0), d’origine O, muni du repère orthonormé direct, de base .Étant donnée la nature du mouvement de M (trajectoire circulaire), toutes les grandeurs vecto-rielles du problème seront exprimées dans la base mobile (base polaire) liée à M.

Æ Effectuons le bilan des forces extérieures : c Poids du point matériel M de masse m, noté c Tension du fil infiniment mince et inextensible, notée

: travail élémentaire de (N.m)dt : intervalle de temps (s)

Soit un point matériel M de masse m suspendu par

un fil infiniment mince et inextensible de masse

négligeable et de longueur r. Le point M décrit un

mouvement de rotation autour du point O. L’angle

orienté permet de repérer la position

de M au cours du temps. On se propose de calculer le

travail des forces appliquées au point M entre le

point A, d’altitude hA et le point B d’altitude hB

(étant donné l’orientation du repère les

altitudes hA et hB sont positives, d’où hB > hA).

Fdl F PF

PW

F

F

t=

d ( )

d

d ( )W F F

F

PW

FF

t

F l

tF

l

t

.=

d ( )d

dd

.dd

= = ddl

t

VM/R0PF F V= . M/R0

F F

VM/R0

F

W ( ) d dA B A

B

0

A

B

M/RF t F V tt t

Ft

t

t

t

→= =∫ ∫P . .

M θ

ldru

O

P

A

B

hA

hB

x

y

TF

j

ir

θ t = O ,OM( ) ( )x

O O O, ,x y( )

u ur , θ( ) i j k, ,( )

u ur , θ( )

PFT

22

Page 29: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 7 • Travail et puissance d’une force

Æ Projetons les forces extérieures dans la base polaire liée à M :

c Poids :

c Tension du fil :

Æ Écrivons le travail des forces extérieures agissant sur M :

– Travail de la force entre A et B :

La force et le déplacement élémentaire sont orthogonaux sur le trajet orienté AB, donc

la force ne travaille pas sur AB, d’où

– Travail du poids entre A et B :

Pour des raisons pratiques, le vecteur déplacement élémentaire est exprimé en coordonnées

polaires : car il n’y a pas de déplacement suivant .

Produit scalaire

donc : .

Dans un premier temps, les positions des points A et B sont repérées par rapport au paramètreangulaire , soit respectivement et pour A et pour B. Le travail du poids entre A et

B s’écrit alors :

.

D’après la figure on peut écrire : et , on a alors dans l’expression du

travail du poids précédemment déterminée :

.

Le travail de est : , il s’agit d’un travail positif, donc moteur, car les

altitudes hB et hA sont positives et hB > hA.

u ur , θ( )

Pmg

mgu ur

= cos

sin

θθ−

⎝⎜⎞

⎠⎟( , )θ

FF

TT

u ur

= 0

⎝⎜⎞

⎠⎟( , )θ

FT W ( ) .F F lT TA B A

B

d→

= ∫

FT dl

FT W ( ) .F F lT TA B A

B

d→

= =∫ 0

P W ( ) .P P lA B A

B

d→

= ∫

d = d + d = d l r u r u r ur θ θθ θ ur

P lmg

mg rmg. .d =

cos

sin

0d

θθ θ−

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − rr sin dθ θ

W ( ) .P P l mgrA B A

B

d sin d

A

B

→= = −∫ ∫ θ θ

θ

θ

θ t( ) θA θB

W ( )P mgrA B

sin d

A

B

→= −∫ θ θ

θ

θ

⇔ = [ ] = −[ ]→

W ( ) cosP mgr mgrA B

B Acos cosA

Bθ θ θθθ

cos BBθ =

h

rcos A

Aθ =h

r

W ( ) P mgrh

r

h

rA B

B A →

= −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

P W ( )P mg h hA B

B A→

= −[ ]

23

Page 30: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

8 Énergie cinétique et théorème de l’énergie cinétique

1. EN QUELQUES MOTS…L'énergie cinétique correspond à l’énergie que possède un corps en mouvement.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Énergie cinétique d’un point matérielc L’énergie cinétique à l’instant t, notée ou plus simplement (unité le Joule, noté J),

d’un point matériel M de masse m, ayant une vitesse par rapport à un référentiel

(R0), est la quantité scalaire (dépendante du référentiel d’étude (R0)) :

c Lorsque le point matériel M de masse m est en rotation autour d’un axe fixe, il est souvent pluspratique d’utiliser l’expression ci-dessous pour déterminer son énergie cinétique à un instant t :

Cette expression est communément appelée énergie cinétique de rotation (unité le Joule, noté J).

b) Théorème de l’énergie cinétiqueSoit un point matériel M de masse m, et la résultante des forces extérieures appliquées surM. Dans un référentiel galiléen (R0), le travail de la résultante des forces extérieures, noté

, agissant sur M entre une position initiale A où la vitesse de M par rapport à (R0) estnotée et une position finale B où la vitesse de M par rapport à (R0) est notée , estégal à la variation de l’énergie cinétique du point M entre les positions B et A, soit :

: Énergie cinétique du point M de masse m (J)

m : masse du point matériel M (kg)

, ou : carré de la norme de la vitesse

: Energie cinétique du point M de masse m (J)

: moment d’inertie du point matériel M par rapport à l’axe de rotation,

tel que : (r est la distance entre le point M et l’axe de rotation) : norme de la vitesse angulaire de M par rapport à l’axe de rotation

: travail de entre A et B

: Énergie cinétique en A (J)

: Énergie cinétique en B (J) m : masse du point matériel (kg)

: norme de (m.s–1)

: norme de (m.s–1)

EC t( ) EC

VM/R0

E m V m VtC( ) M/R M/R21

2

12

0 0

= =2

EC t( )

VM/R0

2VM/R

20

VM/R0

EC t( ) = 12

2I ω

EC t( )

I

I = m r2

ω

F

W ( )FVA/R0

VB/R0

W ( .F F l mV mV E EC C) d12

12

B AA B A

B

B2

A2

→= = − = ( ) − ( )∫

W (F )A B→

F

EC A( )EC B( )

VA VA/R0

VB VA/R0

24

Page 31: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 8 • énergie cinétique et théorème de l’énergie cinétique

3. EN PRATIQUE…Soit un point matériel M de masse m qui glisse sans frottement le long d’une courbe plane (C),à partir du point A, où il est abandonné sans vitesse initiale, jusqu’au point B. Déterminons lanorme du vecteur vitesse du point M par rapport à (R0) en B, notée .

Æ Projetons les forces extérieures dans la base cartésienne :c Poids : c Réaction du support :

Æ Exprimons le travail des forces extérieures agissant sur M :

c Travail de la réaction du support entre A et B :

La réaction du support et le déplacement élémentaire sont toujours orthogonaux le

long de (C), car le point M se déplace sans frottement, donc

c Travail du poids entre A et B : or

( est exprimé en coordonnées cartésiennes : ) donc :

( et sont les ordonnées de A et de B)

Æ Appliquons le théorème de l’énergie cinétique au point matériel M entre A et B.

.

La norme de la vitesse du point matériel M en B, notée est donc : .

Æ Système étudié : point matériel M de masse mÆ Référentiel et base de projection : le mouvementde M est étudié par rapport au référentiel fixe gali-léen (R0), d’origine O, muni du repère cartésien

orthonormé direct de base .

Æ Effectuons le bilan des forces extérieures : c Poids du point matériel M de masse m, noté c Réaction du support, notée

VB

M ld

P

hA

hB

x

y

A

B

R

i

j

O

g = -g j

(C)

(R0) O, ,x y( ) i j,( )

PR

i j, ( )P mg j = −

R R i R jx y = +

R W ( ) dA B A

B

R R l→

= ∫ .

R dl

W ( ) dA B A

B

R R l→

= =∫ . 0

P W ( ) .P P lA B A

B

d→

= ∫ P lmg

xy

mg y. . d = 0 d

d d

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −

dl d = d + d l x i y j

W ( ) . P P l mg y mg h hh

h

h

h

A BA Bd d =

A

B

A

B

→= = − −(∫ ∫ )) hA hB

W ( ) . P P l mg h h E Eh

h

C CA B

A Bd B A

A

B

→= = −( ) = ( ) −∫ (( ) = −

12

12B

2A2

= 0

mV mV

VB V g h hB A B= −( ) >2 0

25

Page 32: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

9 Energie potentielle

1. EN QUELQUES MOTS…On distingue deux types de force : les forces conservatives et les forces non conservatives. Lesforces conservatives sont des forces dont le travail sur un trajet AB ne dépend que de l’étatinitial en A et de l’état final en B (indépendant du chemin suivi). En revanche, le travail surun trajet AB de forces non conservatives dépend de la forme du trajet AB (dépendant duchemin suivi). Par la suite, seul le cas des forces conservatives est envisagé, excepté pour lethéorème de l’énergie mécanique d’un système S composé de n points matériels où il seraquestion cette fois de forces non conservatives (fiche 16).

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Énergie potentielleOn dit qu’une force dérive d’un potentiel, s’il existe une fonction telle que :

La fonction scalaire est alors appelée énergie potentielle.Une force qui dérive d’un potentiel est dite conservative, c’est-à-dire que son travail le longde n’importe quel trajet AB dépend uniquement des positions initiale en A et finale en B. L’opérateur gradient peut être exprimé dans les différents systèmes de coordonnées. Dans lecas du système de coordonnées cartésiennes, si , et désignent respectivement les

composantes de dans la base associée au repère orthonormé direct galiléen

, alors s’écrit :

dans la base

L’opérateur gradient agit sur la fonction scalaire en associant à chaque point de

l’espace un vecteur force . Le vecteur est dirigé dans le sens des potentielsdécroissants.

M i

F E x y zP , ,( )

F EP= grad−

E x y zP , ,( )

Fx Fy Fz

F i j k, ,( )O, , ,i j k( ) F EP= grad−

F E

FE

x

FE

y

FE

P

xp

yp

zp

:= grad

=

=

=

−∂

−∂

−∂

∂zz

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

i j k, ,( )

EP x y z, ,( )x y z, ,( ) F F

26

Page 33: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 9 • Energie potentielle

b) Équivalence entre la forme différentielle et la forme locale de l’énergie potentielle

Soit une force conservative, on note le travail élémentaire de cette force, tel que :

.

Supposons que l’on ait :

où est la différentielle totale de , tell que :

on a alors : d’où :

Le produit scalaire de 2 vecteurs est nul si et seulement si l’un des 2 vecteurs est nul ou si lesdeux vecteurs sont orthogonaux. Comme varie au cours du temps, on a , ce quiimplique :

Ces deux expressions sont totalement équivalentes (si est indépendant du temps).La première forme est appelée forme locale de l’énergie potentielle et la seconde forme diffé-rentielle de l’énergie potentielle. Le terme local indique que le résultat de l’opérateur gra-dient sur la fonction scalaire énergie potentielle peut être différent en chaque point del’espace ; cela introduit alors la notion de champ (ici champ de forces), c'est-à-dire qu’à cha-

que point de l’espace est associé un vecteur force , défini par : . La forme dif-férentielle indique que l’énergie potentielle est égale à l’opposé du travail élémentaire de la

force conservative : .

c) Travail d’une force dérivant d’un potentiel

Soit un point matériel M soumis à une force dérivant d’un potentiel . Le travail de sur

le trajet AB est indépendant du chemin suivi (car dérive d’un potentiel), donc :

, où et sont les énergies poten-

tielles du point M respectivement en A et en B. Le travail d’une force conservative le long d’un trajet donné est égal à la diminution d’énergiepotentielle le long de ce trajet.

Soit un point matériel M soumis à une force dérivant d’un potentiel .

Le travail de sur un trajet fermé (c’est-à-dire partant de A et revenant vers A) est

nul : .

Le signe indique que l’intégrale s’effectue sur un trajet fermé.

F d ( )W F

d ( ) = . dW F F l

d ( ) = . dW dF F l EP= −

dEP EP dEE

xx

E

yy

E

zzP

P P P= d d d∂∂

+∂∂

+∂∂

dE E l F lP P= grad . d . d− = F E lP + grad . d = 0( )

dl dl ≠ 0

F E F l EP P = grad . d− ⇔ = −d

E x y zP , ,( )

F F EP = grad−

dE F lP = − . d

F EP F

F

W d( ) . F F l E E EP P PA B A

B

A

B

= d = A B→

∫ ∫− = ( ) − ( ) EP A( ) EP B( )

F E x y zP , ,( )F

W ( ) = d A AF F l E EP P.∫ = − =( ) ( ) 0

27

Page 34: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 9 • Energie potentielle

3. EN PRATIQUE…

Pour prouver qu’une force dérive d’un potentiel , montrons qu’il faut calculer son tra-

vail élémentaire, , et étudier si celui-ci peut se mettre sous la forme de la différentielled’une fonction. Cette fonction est alors l’énergie potentielle du système étudié ; elle est défi-nie à une constante réelle additive près. c Cas du poidsSoit un point matériel M, de masse m constante au cours du temps, effectuant un déplace-

ment élémentaire sous l’action de son poids dans un espace fixe muni d’un repère ortho-

normé direct galiléen de base . L’axe est choisi vertical ascendant.

Le déplacement élémentaire de M exprimé dans la base cartésienne s’écrit :

.

Le poids du point matériel M de masse m s’écrit dans cette même base :

Le travail élémentaire du poids est alors :

, où représente la différentielle de la fonction , où met g sont constants au cours du temps. On a donc .Par intégration on obtient : . L’énergie potentielle de M est alors appeléeénergie potentielle de pesanteur.La fonction énergie potentielle est définie à uneconstante additive près et ne dépend que de l’alti-tude, z, du point M. Il est possible de déterminercette constante à partir des conditions aux limites.Par exemple, on peut choisir l’énergie potentiellede pesanteur nulle pour z = 0, d’où cste = 0 et

.

F EP

d ( )W F

dl P

O, , ,x y z( ) i j k, ,( ) Oz

i j k, ,( )d = d + d + d l x i y j z k

i j k, ,( )P mg mg k= = −

d ( ) . d dW dP P l mg z mgz= = − = − ( ) d mgz( )mgz

d dE mgzP = ( )E mgzP = + cste

EP

E mgzP =

i j

k

x

y

z

O

M

g g k= −

P

28

Page 35: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 9 • Energie potentielle

c Cas de la force de rappel d’un ressortSoit un ressort de masse négligeable et de longueur à vide fixé à un support en A. Unemasse M est accrochée à l’extrémité B du ressort. A un instant t quelconque, le ressort estétiré et la longueur du ressort est .

Une force de rappel, notée , est alors exercée par le ressort telle que : ,avec la raideur du ressort.Le travail élémentaire de la force de rappel est :

Étant donnée la géométrie du problème, le déplacement élémentaire a une seule compo-

sante suivant l’axe telle que : , car le déplacement élémentaire de la force de

rappel, , pour une variation infinitésimale de longueur suivant est noté .

Donc : (car )

On pose : qui est l’allongement relatif du ressort,

d’où :

On peut également écrire : , où est la différentielle

de la fonction .

On a donc .

Par intégration on obtient : .

L’énergie potentielle du ressort, est appelée énergie potentielle élastique.

La fonction énergie potentielle est définie à une constante additive près et ne dépend que de

l’allongement relatif du ressort . La constante d’intégration est déterminée à partir desconditions aux limites. On peut choisir de prendre l’énergie potentielle élastique nulle lors-

que l’allongement relatif du ressort est nul, = 0, d’où cste = 0 et .

l0

l

yj

A B

BA M

0l

l

RF

O

FR F yR = 0− ( )k l l-k > 0

d ( ) = . d = W dF F l ER R P −

dl

Oy d = dl j l

FR l Oy d l

d ( ) = d d0 0W k kl l l l l lF j jR − = −( ) ( )- - . j j. = 1

Δ l l l= −( )0

d ( ) dW l lF kR = − ( ) Δ

d ( ) 12

W ldF kR = − ( )⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ Δ 2 d l

12

k Δ( )⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

12

k Δl( )2

d d lE 12P = ( )⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ k Δ 2

E kP = 12

csteΔl( ) +2

EP

Δl

Δl E kP =12

Δl( )2

29

Page 36: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

10 Énergie mécanique

1. EN QUELQUES MOTS…L'énergie mécanique désigne l’énergie d'un système emmagasinée sous forme d’énergie ciné-tique et d’énergie potentielle mécanique.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Énergie mécanique Si une force (ou la résultante des forces) qui agit sur un point matériel M dérive d’unpotentiel , alors l’énergie mécanique du point M, notée , est définie comme lasomme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle de M :

b) Conservation de l’énergie mécanique

Soit un point matériel M, de masse constante m, se déplaçant sous l’action d’une force (ourésultante des forces) dérivant d’un potentiel , le long d’un trajet AB quelconque. D’après

le théorème de l’énergie cinétique, on peut écrire : .

Comme la force dérive d’un potentiel , alors , d’où :

.

On a alors : , d’où

donc :

Lorsqu’un point M se déplace sous l’action d’une force (ou la résultante des forces) déri-vant d’un potentiel , alors son énergie mécanique reste constante le long du trajet envisagé.Ainsi l’énergie cinétique et l’énergie potentielle du point M se compensent constamment(transformation de l’une en l’autre) de telle sorte que l’énergie mécanique reste constante au

cours du mouvement. La force (ou résultante des forces) est dite conservative en ce sensqu’elle crée un mouvement dont elle conserve l’énergie mécanique.

: énergie mécanique du point M (J) : énergie cinétique du point M (J) : énergie potentielle du point M (J)

Dans le cas où la force (ou résultante des forces) agissant sur un point M n’est pas con-servative alors l’énergie mécanique n’est pas constante au cours du mouvement.

FEP EMeca

E E EC PMeca + =EMecaECEP

FEP

W ( ) d B AA B A

B

F F l E EC C→

= = ( ) − ( )∫ .

F EP F EP = grad−

W d( ) d grad dA B A

B

A

B

A

F F l E l EP P→

= = − = −∫ ∫. . BB

A B∫ = ( ) − ( ) E EP P

E E E EC C P PB A A B( ) − ( ) = ( ) − ( ) E E E EC P C PA A B B( ) + ( ) = ( ) + ( )

E EMeca MecaA B( ) = ( ) ⇔ =EMeca cste

FEP

F

F

30

Page 37: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 10 • énergie mécanique

3. EN PRATIQUE…Cherchons l’énergie mécanique d’un point M de masse m astreint à se déplacer sans frotte-ment le long d’une courbe plane (C) assimilable à un demi cercle de rayon r et de centre O.Les forces agissant sur le point M sont des forces conservatives (pas de frottement) doncl’énergie mécanique de M le long de (C) est constante. L’altitude du point M est repérée par h. Le point M est lâché de A sans vitesse initiale.

Æ Écrivons l’énergie cinétique du point M en un point P quelconque le long de la courbe (C) :

.

Æ Exprimons l’énergie potentielle du point M en un point P quelconque le long de la courbe (C) :

.

Æ Energie mécanique du point M en un point P quelconque le long de la courbe (C) :

.

Æ Traçons l’énergie mécanique en fonction de la position du point M le long de la courbe (C) :

ÆSystème étudié : point matériel M de masse m

ÆRéférentiel et base de projection : le mouvementde M est étudié par rapport au référentiel fixe (R0)d’origine O, muni du repère cartésien orthonormédirect de base , supposé galiléen. L’axe

est la verticale descendante.

• , car le point M est lâché deA sans vitesse initiale et l’énergie poten-tielle en A est maximum :

• , car h = r et l’énergie ciné-tique en B est maximum :

O i

j x

y

h r(m)

( )C

A

B P

R

O, ,x y( ) i j,( )Oy

E mVC M RP( ) = /12 0

2

E mg r hP P( ) = −( )

E E EC PMeca P (P) (P)( ) = +

⇒ ( ) = + −( ) =E mV mg r hM RMeca P cste /12 0

2

A B A'

MecaE

Énergie

( )Cposition de M sur

( )PE P

( )CE P

EC A( ) = 0

E mgrP A( ) =EP B( ) = 0

E mV BC M RB( ) = ( )12 0

2/

31

Page 38: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

11 Théorème du moment cinétique

1. EN QUELQUES MOTS…Le moment cinétique, noté (unité : kg.m2.s–1), est un concept très important en physique. Ilest l’analogue de la quantité de mouvement pour les mouvements de rotation.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Moment cinétique

Le vecteur moment cinétique de M en O, est un vecteur perpendiculaire au plan formé par lesvecteurs et , d’origine O (vecteur lié). Il est orienté suivant la règle du trièdre directde la main droite. Le moment cinétique en un point est donc le « moment de la quantité de mouvement, » ence point.

b) Relation entre le moment cinétique et le moment d’inertie

Considérons un point matériel M, de masse m, en rota-tion autour d’un axe fixe (Δ) dans le référentiel gali-léen (R0), d’origine O, point fixé sur (Δ). Le point M

est animé d’une vitesse vis-à-vis du référentiel

(R0). Le moment cinétique de M en O, noté ,est alors défini par :

ou

: vitesse de M parrapport à (R0)

: vecteur de O à M

: vecteur quantité demouvement du point M

Notons , la distance entre O et M, et l’angle

polaire orienté tel que : . L’expression

de dans la base polaire est :

(car )

L

O

M(R0)

( )Δ

( )O ML

0M/RV

x

y

zV M/R0

LO M( )

L O M/RM OM0

( ) = ∧ mV

L O M OM( ) = ∧ p

V M/R0

OM

p

OM VM/R0

p

O

M(R0)

( )Δ

0M/RV

z

y

x

( )tθ

ru

( )MOL

r = OM θ t( )

θ t = O ,OM( ) ( )x

L O M( ) u ur , θ( )LO M/RM OM

0( ) = ∧ = ∧ +( ) mV r u m r u r ur r θ θ

⇔ ( ) = ∧ + ∧

=

L

O M r u m r u r u mr ur r r

0

θ θθ

⇔ ( ) =L O M mr k2 θ u u kr ∧ =θ

32

Page 39: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 11 • Théorème du moment cinétique

Dans cette expression on reconnaît la quantité qui est le moment d’inertie, noté , dupoint matériel M de masse m situé à la distance r du point O fixe sur l’axe de rotation (Δ). Onpeut alors écrire le moment cinétique de M en O en fonction du moment d’inertie :

c) Théorème du moment cinétiqueLa dérivée du moment cinétique d’un point matériel M, de masse m, en un point fixe O, parrapport au temps relativement au référentiel fixe supposé galiléen (R0) s’écrit :

Or d’après le PFD on a : , d’où : .

La quantité représente la résultante des moments en O des forces extérieures

appliquées au point M, noté : . Le théorème du moment cinétique s’écrit alors :

Le théorème du moment cinétique permet d’écrire que dans un référentiel galiléen (R0), la dérivéepremière par rapport au temps du moment cinétique d’un point matériel M est égale au moment en O(fixe dans (R0) au cours du temps) de la résultante des forces extérieures agissant sur M.

Si la résultante des moments des forces agissant sur M est nulle alors le moment cinétique du

point M en O (O fixe) est constant : si alors . Pour un système

isolé, le moment cinétique d’un point M en O est une constante du mouvement, c’est-à-dire quele moment cinétique de M en O (O fixe) se conserve au cours du mouvement.

: moment d’inertie de M par rapport à O fixe sur l’axe de rotation(Δ), tel que :

: vitesse angulaire de M par rapport à O fixe sur l’axe de rotation (Δ)

mr2 I

I

L I O M ( ) = θ kI

I = m r 2

θ

d M

ddd

OMO

RM/R

R0

00

L ( )= ∧( )

t tmV

⇔( )

= ∧

=

d M

dd OM

dO

R RM/R

car

0 0

0

M/

L

t tmV

V

0

RR0 M/R0

0OMd M/R

∧ =

+ ∧(

mV

mV

0

))= ∧

dOM

R

M/R

0

0tm a

F m aext M/R 0

∑ = d M

dOMO

Rext

0

L ( )

= ∧ ∑tF

OM ext∧ ∑ F

MFext O/( )∑d M

dOMO

Rext O

0

ext

LM

( )= ∧ =∑ ∑ ( )

tF F /

MFext O/( )∑ = 0 L O M cste( ) =

33

Page 40: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

12 Forces centrales

1. EN QUELQUES MOTS…L’étude du mouvement d’un point matériel M soumis à une force constamment dirigée versun point fixe est un problème récurrent en physique : mouvement d’un électron autour dunoyau d’un atome, trajectoire de la Terre autour du Soleil... Ces situations sont appeléesmouvement à forces centrales. Les résultats démontrés ici ont été observés par Kepler pour lemouvement des planètes bien avant la formulation du théorème du moment cinétique et lanotion de force centrale (première et deuxième loi de Kepler).

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Définitionsc Dans un référentiel galiléen, un point matériel M, de masse m, est soumis à une force cen-

trale de la part d’un point O fixe (généralement pris comme origine du référentiel), si laforce exercée par O sur M est parallèle à et de la forme : . La force nedépend que de la distance r entre O et M. Si , alors la force est dite attractive et si

alors la force est dite répulsive.

c Une force centrale dérive d’un potentiel, l’énergie mécanique d’un corps soumis à uneforce centrale est donc conservée.

c Exemples de forces centrales :

– Force de rappel d’un ressort : , avec la raideur du ressort (unité : N/m)

– Force électrostatique créée par un noyau de charge + Ze (Z = nombre de protons), sur un

électron de charge –e, dans le vide : (fiche 46)

b) Propriété des mouvements à forces centrales : mouvement planSoit un point matériel M, de masse m, soumis à l’action d’une force centrale de la part d’unpoint O fixe (origine du référentiel (R0)). D’après le théorème du moment cinétique, on peutécrire :

(car si est une force centrale alors est parallèle à ).

Le moment cinétique de M par rapport à

O est donc constant au cours du temps.

En posant :

alors, est constamment perpendiculaire à

et à . Le point M est donc

astreint à se déplacer dans le plan

.

OM F f r ur= ( ) Ff r( ) > 0

f r( ) < 0

F r ur = − k k > 0

FZ

rur = − 1

4e

0π ε

2

2

F

d M

dOMO

R0

L ( )= ∧ =

tF 0 F F OM

O

0M/RVMx

y

z

( )MOL L L O M/RM OM cste0

( ) = = ∧ =mV

L

OM VM/R0

OM, M/R0

V( )34

Page 41: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 12 • Forces centrales

Conclusion : si la force (ou la résultante des forces) agissant sur le point M est « centrale »alors le mouvement de M est plan.

3. EN PRATIQUE…Établissons l’expression de la loi des aires, qui exprime le fait que lors d’un mouvement à

force centrale, les aires balayées par pendant des intervalles de temps égaux sont égales.

Considérons un point matériel M, de masse m, soumis à l’action d’une force centrale . À un

instant t le point M se trouve en A où il est repéré par ses coordonnées polaires . À un

instant infiniment voisin, le point M se trouve en C où il est repéré par ses coordonnées

(avec et des variations élémentaires de r et de ). Considérons l’aire

élémentaire, , balayée par le vecteur entre les instants t et (aire hachurée sur la

figure ci-dessous), on a :

.

Au premier ordre, par rapport aux infiniment petits et , la quantité est négligea-

ble devant . Cela revient à négliger la surface devant la surface , ainsi :

.

En dérivant l’expression précédente par rapport au temps, on obtient : .

On a montré que le moment cinétique d’un point M décrivant un mouvement de rotation

plan par rapport à O pouvait s’écrire : (fiche 11). Dans le cas d’une forcecentrale, le moment cinétique de M par rapport à O est constant au cours du

temps : .

On peut alors écrire : .

La quantité est appelée vitesse

aréolaire, elle correspond à la surface

balayée par le vecteur par unité detemps. Généralement, la vitesse aréo-laire est notée A (unité le mètre carrépar seconde : m2.s–1). Le résultat précédent montre que dansun mouvement à force centrale, lavitesse aréolaire est une constante,appelée aussi constante des aires et

égale à : .

La loi des aires exprime le fait que lorsd’un mouvement à force centrale, lesaires balayées par pendant desintervalles de temps égaux sont égales.

F

OM

F

r,θ( )t t+ Δ

r r , + +( )d dθ θ dr dθ θ

dS OM t t+ Δd d dOAB ABCS S S= +

⇒ = +d d d dS r r r r12

12

θ θ

dr dθ 1

2r rd dθ

12

2r dθ d ABCS d OABS

d dS r≈ 12

2 θddS

tr= 1

22θ

LO M( ) = mr k2θ

L L O M cste( ) = = =mr2θ

dd

csteS

tr

m = = =1

2 22θ L

BO

θ θd

r rd

x

y

z

A

Sd

C

ddS

t

OM

AL=

2 m

OM

35

Page 42: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

13 Oscillations mécaniques libres non amorties

1. EN QUELQUES MOTS…Les systèmes oscillants (ou systèmes vibratoires) font partie des objets courants de la viequotidienne. Nous sommes entourés de systèmes fonctionnant grâce à des oscillations :montre à aiguille, instruments de musique à cordes, même les atomes dans la matièreoscillent autour de leur position d’équilibre. Par la suite, nous nous restreindrons au cas desoscillations harmoniques, c’est-à-dire lorsque la force de rappel est proportionnelle à l’écartpar rapport à la position d’équilibre.Dans un premier temps, nous nous intéresserons aux oscillations mécaniques libres nonamorties, ce qui correspond au cas où les forces de frottement dues au milieu extérieur sur lesystème étudié sont négligeables.Pour les fiches concernant les oscillations mécaniques (libres, amorties, forcées) le systèmeétudié n’est pas un point matériel. Néanmoins, on s’intéresse au mouvement du centre de gra-vité du système étudié qui est assimilé à un point matériel de masse m correspondant à lamasse du système.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Équation du mouvement

Soit un ressort de masse négligeable, de raideur et de longueur à vide . Le ressort estaccroché en A, à un support horizontal d’axe . On accroche en B, une masse M de masse

m. On introduit l’axe tel que : afin de repérer la position verticale de M.

Sous l’effet de la masse M le ressort s’allonge d’une quantité , où est lalongueur du ressort à l’équilibre. Cette configuration correspond à l’état d’équilibre du sys-tème masse-ressort.

eqx

P

i

j

État d'équilibre

O A A A

B

B

B

Longueur à vide

Oscillations à un instant t quelconque

vxFR

y

x

M

M(R0)x (t)

P

FR

k > 0 xvOy

Ox O Ox y, ( ) = π2

Δx x x( )= −eq v xeq

36

Page 43: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 13 • Oscillations mécaniques libres non amorties

c Équilibre de MLes forces extérieures agissant sur la masse M sont :

– Le poids , tel que :

– La force de rappel du ressort , telle que :

Le système masse-ressort étant à l’équilibre, les deux forces et se compensent parfai-tement et on peut écrire : .En projection sur l’axe on obtient : (1)c Oscillations de MÀ un instant t quelconque, le ressort est étiré par rapport à sa position d’équilibre d’une quan-tité et lâché sans vitesse initiale. Le ressort exerce une force de rappel sur M et lesystème masse-ressort oscille autour de la position d’équilibre . On suppose que le ressorttravaille constamment en dessous de sa limite d’élasticité. Mettons alors en équation le mouvement de M.Æ Système étudié : masse MÆ Référentiel et base de projection : le mouvement de la masse M est étudié par rapport auréférentiel fixe (R0) d’origine O, muni du repère cartésien orthonormé direct de base

, supposé galiléen. L’axe est vertical descendant. Æ Effectuons le bilan des forces extérieures :

– Poids de la masse M de masse m, noté – Force de rappel du ressort, notée

Æ Projetons les forces extérieures dans la base cartésienne :

– Poids :

– Force de rappel du ressort :

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse M s’écrit :

On note l’accélération verticale de la masse M par rapport à (R0), donc sur l’axe , d’où :

Projetons le PFD sur l’axe (le mouvement de M sur l’axe est nul) :

, car d’après (1) :

.

On pose : (avec ).

P P mg i=

FR F x iR = − k ΔP FR

P FR + = 0Oi − + = k Δx mg 0

Xmax FRxeq

( , , )O x y( , )i j Ox

PFR

( )i j,

Pmg

i j

=⎛

⎝⎜

⎠⎟

0 ( , )

Fx x

Ri j

=0

− +⎛

⎝⎜

⎠⎟

( )

( , )

k Δ

F m aext M/R 0

∑ =

P F m aR+ = M/R0⇔ − + =mg i x x i m ak( )Δ M/R0

x Ox

⇔ − + =mg i x x i m x ik( )Δ

Ox Oy

mg x x m x− + =k( ) Δ ⇔ − − ==

mg x x m xk k Δ 0

− + = k xΔ mg 0

⇔ + =m x x 0k ⇔ + = 0xm

xk

ω02 = k

mkm

> 0

37

Page 44: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 13 • Oscillations mécaniques libres non amorties

On obtient alors : (2)

(2) est une équation différentielle homogène du 2ème ordre en , caractéristique de l’oscilla-teur harmonique non amorti. La solution générale de (2), notée (E), est de la forme :

(E)

avec A et B des constantes réelles, déterminées à partir des conditions initiales :

où correspond à l’amplitude du mouvement et à la vitesse à

l’instant initial. On obtient alors :

En dérivant par rapport au temps les 2 membres de (E) on a :

donc , puisque

L’équation du mouvement de M est donc : (E)

repère la position de la masse M à un instant t quelconque. Le paramètre est la pulsation

propre du système pour un mouvement périodique de période T telle que :

3. EN PRATIQUE…Cherchons à déterminer l’énergie mécanique d’un système oscillant non amorti. Dans le casdes oscillations mécaniques non amorties, les forces de frottement sont négligées et l’énergiemécanique du système est constante.Æ Énergie cinétique instantanée

L’énergie cinétique de la masse M à un instant t quelconque est : .

On peut également écrire : avec .

La dérivée par rapport au temps de s’écrit : .

L’énergie cinétique instantanée de M à l’instant t est alors : .

Les résultats obtenus dans le cas d’un ressort en position horizontale sont les mêmesque ceux obtenus pour un ressort en position verticale.

x x+ =ω02 0

x

x A t B tt( ) cos sin= +ω ω0 0

x X

x

t

t

( )

( )

=

=

=

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

0

0

max

0Xmax x t( )= 0

x A Xt( ) = = =0 max

x A t B tt( ) sin cos= − +ω ω ω ω0 0 0 0 x B Bt( )= = = ⇒ =0 0 0 0ω ω0 0≠

x X tt( ) max cos= ω0

x t( ) ω0

ω π0

2= =T m

k

EMeca

E mVC = 12

2M/R0

E mx

tCt=

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

12

d

dR

2

0

( ) x X tt( ) cos= 0 0ω

x t( ) xx

tX tt

t( )

( ) sin= = −d

dR0

0 0 0ω ω

E m X tC = 12

202 2

00ω ωsin

38

Page 45: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 13 • Oscillations mécaniques libres non amorties

Æ Énergie potentielle instantanéeIl a précédemment été montré que l’énergie potentielle de la masse M à un instant t quel-conque dans le cas d’un ressort de raideur k, s’écrivait (en utilisant les notations de cet

exemple) : , que l’on peut également écrire : .

Æ Énergie mécaniqueL’énergie mécanique est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle, d’où :

.

À un instant t quelconque on a alors : .

Comme : alors :

.

L’énergie mécanique, dans le cas d’oscillations mécaniques non amorties, est une constantepositive car elle est indépendante du temps et ne dépend que des caractéristiques du systèmemasse-ressort (raideur et conditions initiales).

E xP t= 12

k ( )2 E X tP = 1

2 0

2k cos20ω

E E EMeca C P= +

E m X t X tMeca = +12 0

2 20

20

12

02

02ω ω ωsin cosk

ω02 = k

m

E m Xm

t X tMeca = +12

20 0

20

12

02 2k ksin cosω ω ⇒ = +( )

=

E X t tMeca12

20

20

1

k 02 cos sinω ω

E XMeca = 12

k 02

39

Page 46: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

14 Oscillations mécaniques libres amorties

1. EN QUELQUES MOTS…On s’intéresse à présent aux oscillations mécaniques libres amorties, c’est-à-dire au cas où lesfrottements (de type visqueux) ne sont pas négligés.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Équation du mouvementConsidérons le même problème que précédemment (oscillations libres non amorties) entenant compte en plus cette fois d’une force de frottement de type visqueux. On admet que la

force de frottement, notée , est proportionnelle à la vitesse de déplacement de la masse Mpar rapport à (R0) et orientée dans le sens inverse du déplacement de M telle que :

( est un coefficient constant strictement positif).

En appliquant le PFD à la masse M, on obtient :

(1)La masse M se déplace uniquement sur l’axe , la relation (1) s’écrit alors :

(1)où et sont respectivement la vitesse et l’accélération de M par rapport à (R0).La projection de (1) sur l’axe s’écrit :

car à l’équilibre : (fiche 13)

On pose , avec

On obtient alors : (2)

(2) est une équation différentielle homogène du 2e ordre en , sans second membre, à coeffi-cients constants, caractéristique de l’oscillateur harmonique amorti. La solution générale de (2) est de la forme : où A et B sont des constantesréelles et r1 et r2 les solutions de l’équation dite « caractéristique ».

L’équation caractéristique de (2) s’écrit : .

En fonction du signe du discriminant de l’équation caractéristique, noté , tel que :

, il y a différents régimes d’amortissement à envisager.

Fv

F f VV = − M/R0f

P F F m a mg i x x i f V mR V+ + = ⇔ − +( ) − = M/R M/R0 0k Δ aaM/R0

Ox⇔ − +( ) − =mg i x x i f x i m x ik Δ

x xOx

mg x x f x m x mg x x f x m x− +( )− = ⇔ − − − ==

k k kΔ Δ

0

− + =k Δx mg 0 ⇔ + =m x f x x + k 0

ω02 = k

mkm

> 0

xf

mx x+ + =ω0

2 0

x

x A Btr t r t

( ) = e + e1 2

rf

mr2

02+ + =ω 0

Δ

Δ = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −f

m

2

024ω

40

Page 47: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 14 • Oscillations mécaniques libres amorties

c Si : régime apériodique

Alors , on obtient deux racines réelles négatives :

La solution générale de l’équation différentielle dans le cas apériodique est de la forme :

avec A et B des constantes réelles déterminées à partir des conditions initiales.

c Si : régime critique

Alors , on obtient une racine réelle double :

La solution générale de l’équation différentielle dans le cas critique est de la forme :

avec A et B des constantes réelles déterminées à partir des conditionsinitiales.

c Si : régime pseudo-périodique.

Alors , on obtient deux racines complexes conjuguées :

; où j est le symbole imaginaire (j2 = –1).

En posant (avec ) et (pseudo-pulsation), la solution

générale de l’équation différentielle dans le cas pseudopériodique s’écrit :

avec A et B des constantes réelles déterminées à partir des conditions initiales.

Pour le régime apériodique l’effet du frottementest très important et l’amortissement est grand.La masse M met alors un temps très grand pouratteindre sa position d’équilibre.

Le régime critique correspond au cas où lamasse M revient à sa position d’équilibre dansla période de temps la plus courte(application : amortisseur de voiture).

Δ > 0

f

m> 2 0ω r

f

m

f

m1 2

2

02

212

4, = − ± ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − ω

x A Btr t r t

( ) = e + e1 2

O t

régime apériodique

x (t)

Δ = 0

f

m= 2 0ω r r

f

m1 2 02= = − = −ω

x At Btt

( )−= +( )e 0ω

O t

régime critique

x (t)

Δ < 0

f

m< 2 0ω

rf

mj

f

m1 2

2

02

212

4, = − ± ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − ω

α = f

m2α > 0 ω ω= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −1

24

2

02f

m

x A t B ttt

( )−= +( )e cos sinα ω ω

41

Page 48: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 14 • Oscillations mécaniques libres amorties

Pour caractériser l’amortissement dans le régime pseudopériodique, on introduit le para-

mètre , appelé décrément logarithmique, et défini par : où T est la

pseudopériode des oscillations.

3. EN PRATIQUE…

Le système masse-ressort étant amorti, à cause de la viscosité de l’air, l’équation différentielle

du mouvement de la masse M est de la forme : (1)

avec

L’équation caractéristique de (1) s’écrit : .

Le discriminant de l’équation caractéristique, noté , est : .

Le paramètre réel est l’amortissement du sys-tème, il peut être interprété comme une mesurede la rapidité avec laquelle les oscillations dimi-nuent jusqu'à devenir nulles.

Cherchons à déterminer au bout de combien detemps l’amplitude des oscillations d’un systèmemasse-ressort oscillant dans l’air diminue de moitié.L’air est assimilé à un fluide visqueux de viscosité

= 1,8.10-5 Pa.s (pour une température de 20 ˚C).Le système masse-ressort est composé :– d’une masse M, de masse m, assimilée à unesphère homogène en aluminium de rayon r = 5 mmet de masse volumique = 2,7.103 kg.m-3 ;– d’un ressort de raideur On considère que la force de frottement de l’airsur la masse M est de la forme :

δ δ α= =⎛

⎝⎜

⎠⎟

( )

+( )T

x

xt

t T

Ln

O t

régime pseudo-périodique

x (t)

α

P

i

jO A

FR

y

x

M

(R0)

FV

η

ρk > 0

F r VV = −6π η M/R0

xr

mx x+ + =6

02π η ω 0

ω02 = k

m

rr

mr2

026+ + =π η ω 0

Δ Δ = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −6

42

02π η ωr

m

42

Page 49: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 14 • Oscillations mécaniques libres amorties

On suppose que l’amortissement est suffisamment faible pour considérer que le mou-vement de M est pseudo-périodique, alors < 0 et l’équation du mouvement de M est de laforme :

avec

avec A et B des constantes réelles déterminées à partir des conditions initiales.

On exprime la masse de M en fonction de sa masse volumique , d’où : .

L’amortissement s’écrit alors : .

On obtient : .

D’où : ,

soit environ 19 minutes.

Traçons l’évolution de l’amplitude des oscillations,notée , en fonction du temps. L’amplitude desoscillations décroît en suivant une loi :

avec l’amplitude maximum déterminée à partirdes conditions initiales. On cherche le temps t au bout duquel l’amplitude desoscillations diminue de moitié, c'est-à-dire pour quelle

valeur de t : .

αΔ

x A t B ttt

( )−= +( )e cos sinα ω ω α π η= 6

2r

m

ρ m r= 43

3π ρ

α α π η

π ρ

ηρ

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=6

243

943 2

r

r r

α =( ) ×

=−

− −94

1 8 10

5 10 2 7 10

6 105

3 2 3

4 1, .

. , .

. s

O t

x (t)

maxe tA α−

( )tA A t( )

A A Att t

( )− −= =

max maxe eα 6 10 4.

Amax

AA

t( ) = max

2

AA

tt tmax

. max .

.e e = Ln− −

− −= ⇔ = ⇒ =6 10 6 10

4

4 4

212

1

6 102 11155 s

43

Page 50: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

15 Oscillations mécaniques forcées

1. EN QUELQUES MOTS…Dans la nature, les systèmes oscillants non amortis (parfaits) n’existent pas. Pour entretenir« indéfiniment » les oscillations d’un système, il est nécessaire de lui appliquer une force exci-tatrice. Ici, nous nous intéressons uniquement au cas d’une force excitatrice de nature sinusoï-dale, dans ce cas les oscillations engendrées par ce type d’excitation sont appelées oscillationsforcées.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Equation du mouvement

Pour permettre à la masse M d’osciller autour de sa position d’équilibre, une force excitatrice

du type : est appliquée en M.

est l’amplitude de la force excitatrice et la pulsation de la force excitatrice, telle que :

, où est la fréquence de la force excitatrice.

Le ressort exerce alors une force de rappel sur M et la position de la masse M à un instant

t quelconque est repérée par . La force de frottement de type visqueux, , agissant sur M

est : ( est un coefficient constant strictement positif).

* Mise en équation Æ Système étudié : masse MÆ Référentiel et base de projection : le mouvement de la masse M est étudié par rapport auréférentiel fixe (R0) d’origine O, muni du repère cartésien orthonormé direct debase , supposé galiléen. L’axe est vertical ascendant. Æ Bilan des forces extérieures :

– Poids de la masse M de masse m, noté – Force de rappel du ressort, notée

Soit un ressort de raideur, de masse négligeable et

de longueur à vide . La lon-gueur à vide du ressort estprise comme origine des posi-tions, soit = 0. Le ressort est accroché en A àun support vertical et onaccroche en B une masse Mde masse m.

P

i

O

A

AB

M

BLongueur à vide

Oscillations à un instant t

vx

RF

R

j

y

x

x (t)

VF

NR

Support horizontal

Support horizontal

0 ωF(t)=F cos t

(R0)

k > 0xv

xv

F F tt( ) cos= 0 ω

F0 ωω πν= 2 ν

FR

x t( ) FV

F f VV = − M/R0f

O, ,x y( )i j,( ) Oy

PFR

44

Page 51: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 15 • Oscillations mécaniques forcées

– Réaction du support horizontal, notée . La réaction du support intègre à la fois la réac-tion normale du support, notée et la réaction tangentielle correspondant à la force defrottement visqueuse .

– Force excitatrice, notée

Æ Projetons les forces extérieures appliquées sur M dans la base cartésienne :

c Poids :

c Force de rappel du ressort :

c Réaction du support :

c Force excitatrice :

Æ Appliquons le principe fondamental de la dynamique à la masse M :

Æ Projetons le PFD sur l’axe (car le mouvement de la masse M sur l’axe est nul) :

où et sont respectivement la vitesse et l’accélération de M par rapport à (R0).

On pose : , où est l’amortissement ( ) et , où est la pulsation

propre du système oscillant

On obtient alors : (1)

(1) est une équation différentielle homogène du 2e ordre en , avec second membre, àcoefficients constants, caractéristique d’un système oscillant forcé. La solution de (1) dans le cas du régime permanent ou régime forcé, est de la forme :

(2)

où et sont respectivement l’amplitude du mouvement et le déphasage de la réponse endéplacement de la masse M par rapport à la force excitatrice.

RRN

FV

F t( )

i j, ( )

Pmg

i j

=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0

( , )

Fx

Ri j

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

k

0 ( , )

RF

RV

N i j

=⎛

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟

( , )

FF t

ti j

( )( , )

cos=

⎝⎜⎞

⎠⎟0

0

ω

F m aext M/R0∑ =

P F F R F m aR V N

R

t+ + + + =

=

( ) M/R0

Ox Oy

− − + = ⇔ + =kx f x F t mx m x f x x F t0 0cos cosω ω+ k

x x

2α = f

mα α > 0 ω0

2 = km

ω0

km

>⎛⎝⎜

⎞⎠⎟0

x x xF

mt+ + =2 0

2 0α ω ωcos

x

x X tt( ) = +( )0 cosω ϕ

X0ϕ

45

Page 52: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 15 • Oscillations mécaniques forcées

b) Expression de et Il est en général plus commode d’utiliser les notations des variables complexes, faisant inter-venir le symbole imaginaire j, pour déterminer les expressions de et de (Annexe C).

(2) s’écrit alors en notation complexe :

où est le module du complexe et ( ) est l’argument du complexe .

On obtient alors dans (1) :

(3)

où .

En identifiant respectivement module et argument de (3), on obtient :

et .

En toute rigueur, il existe un régime transitoire (équation différentielle sans secondmembre) que l’on observe avant l’établissement du régime permanent. Cependant lacontribution du régime transitoire sur la réponse mécanique totale du système est trèsbrève et rapidement négligeable par rapport au régime permanent. Pour cette raison,nous nous intéresserons uniquement à la réponse mécanique du système dans le cadredu régime permanent, également appelé régime forcé.

La solution générale de (1) : est la partie réelle du complexe. En utilisant ce complexe comme solution et en ne retenant que la

partie réelle dans le résultat, on facilite le calcul de et de . Seule la partie réellea donc une signification physique.

X0 ϕ

X0 ϕ

x X t x X et tj t

( ) ( )( )= +( ) ⇒ =0 0

+

écriturecomple

cosω ϕ ω ϕ

xxe

X0 x t( ) ω ϕt + x t( )

x X tt( ) = +( )0 cosω ϕx X et

j t( )

( )= 0 +ω ϕ

X0 ϕ

− + + =+ + +X e j X e X eF

mej t j t j t

0 0 0ω α ω ωω ϕ ω ϕ ω ϕ202 02( ) ( ) ( ) jj t( )ω

⇔ − + +⎡⎣ ⎤⎦ =+X e jF

mej t j t

0( ) ( )ω ϕ ωω αω ω2

02 02 ⇔ − + = −ω ω αω ϕ

02 2 02j

F

X me j

0

⇔ −( ) + = −ω ω α ω φ ϕ02 2 2 2 2 04

module0

eF

X mej j

tanφ αωω ω

=−

2

02 2

XF

m0 =

−( ) +

0

02 2 2 2 24ω ω α ω

tanϕ αωω ω

= −−

2

02 2

46

Page 53: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 15 • Oscillations mécaniques forcées

3. EN PRATIQUE…Cherchons l’expression de la pulsation ou de la fréquence correspondant au cas où l’ampli-tude du mouvement est maximum. L’expression de indique que l’amplitude des oscillations du système masse-ressort estdépendante de la pulsation de la force excitatrice . L’amplitude passe par une valeur maximum qu’il est possible de déterminer en calculant

la valeur de pour laquelle la dérivée s’annule, d’où :

.

La dérivée s’annule pour : et .

Seul le second cas nous intéresse : (car pour , le problème physique envi-sagé n’a pas de sens).

L’amplitude des oscillations est donc maximum lorsque : .

Ce phénomène est appelé résonance d’amplitude. La pulsation correspondant à la résonanced’amplitude, notée , est dépendante de l’amortissement du système.La fréquence correspondant à la résonance d’amplitude, notée , est :

De la même manière que pour la résonance d’amplitude, il existe une résonance de vitesse.Ce phénomène correspond au cas où la vitesse du système oscillant passe par une valeurmaximum pour une certaine valeur de la pulsation excitatrice. La résonance de vitesse se pro-duit toujours lorsque la pulsation de la force excitatrice est égale à la pulsation propre du sys-tème oscillant .

Plus l’amortissement est faible,plus la résonance est marquée, etse produira pour une pulsation

proche de . En revanche, sil’amortissement est grand alors larésonance est peu ou pas visibleet a lieu pour une valeur de pulsa-tion inférieure à .

X0ω

X0

ω d

d0X

ω

d

d0X F

ω ω ω α

ω ω α ω

=− −( )

−( ) +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 2

4

0 02 2 2

02 2 2 2 2

3 2

d

d0X

ωω = 0 ω ω α2

02 22= −

ω ω α202 22= − ω = 0

X0 ω ω α ω= − =02 22 R

ω RνR

νω

π πω αR

R= = −2

12

202 2

ω

Amortissement faible α=0,01

Amortissement α=0,05

Amortissement α=0,1

(rad/s)

0X

0Rω ω=

ω R ω0

ω0

ω ω= 0

47

Page 54: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

16 Systèmes de n points matériels

1. EN QUELQUES MOTS…Cette fiche traite des évolutions des lois de la mécanique précédemment décrites lorsque lesystème étudié n’est plus un point matériel unique, mais un système de n point matériels (avec i = 1,…n), chacun ayant une masse constante au cours du temps, notée mi (avec

i = 1,…n) et une vitesse par rapport à un référentiel galiléen (R0).

2. À RETENIR…

a) Système étudiéDans ce qui suit, S désigne un système composé de n points matériels , chacun de masse .

b) Centre d’inertie

On appelle centre d’inertie d’un système matériel constitué de n points matériels , chacun

de masse , le barycentre, G, des positions des points matériels, tel que : ,

avec (définition du barycentre) et = masse totale du système ( ).

c) Référentiel du centre de masse (ou référentiel barycentrique)Pour l’étude des systèmes de points matériels, il est commode d’introduire un nouveau réfé-rentiel, appelé référentiel du centre de masse ou référentiel barycentrique, qui permet, danscertains cas, de simplifier les calculs.

Ce référentiel, généralement noté , dont l’origine est le barycentre G du système S esten mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport au référentiel galiléen (R0). Ils’agit donc également d’un référentiel galiléen. La vitesse du centre de masse par rapport à

est nulle : .

d) Quantité de mouvement d’un système de n points matérielsPour un système S, la résultante des vecteurs quantité de mouvement appliquée à S, notée

, est égale à la somme vectorielle des quantités de mouvement de chacun des n points

matériels : .

Introduisons le barycentre G (ou centre d’inertie) des n points matériels :

et

d’où : , car .

M i

ViM /R0

M i m i

M i

m i m mi ii

n

OG OM==∑

1

mi ii

n

GM=∑ =

1

0 m m mii

n

==∑

1

RG*( )

RG*( ) V G/RG

* = 0

pS

M ip m V pS i

i

n

ii

n

i= =∑ ∑

=M R

=10/

1

M i

p m VS ii

n

i= ∑ M R

=10/ V

ti

iM R

R0

0

dOM

d/ =

pt

m mtS i i

i

n

= =∑dd

OMdd

OG=1 R R

0 0

m mi ii

n

OG OM= ⇔=∑

1

p mVS = G/R0

48

Page 55: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 16 • Systèmes de n points matériels

Dans le référentiel barycentrique, la résultante des vecteurs quantité de mouvement appli-

quée au système S, notée , est nulle : , car .

e) Moment cinétique d’un système de n point matérielsPour un système S, le moment cinétique total de S en un point O, dans son mouvement parrapport à (R0), est égal à la somme vectorielle des moments cinétiques en O de chacun des n

points matériels : .

f) Énergie cinétique d’un système de n points matériels

L’énergie cinétique totale d’un système S, notée , est la somme des énergies cinétiques des

différents points qui le composent : .

Il est également possible de calculer l’énergie cinétique d’un système S, par rapport à un réfé-

rentiel (R0) à partir de l’énergie cinétique de S dans le référentiel barycentrique , telle

que : , où est la masse totale du système S. Cette

relation porte le nom de 2e théorème de Koenig.

g) Notion de forces extérieures et de forces intérieures à un système de points matérielsSoit un point matériel élément d’un système S en mouvement par rapport à un référentielgaliléen (R0). Le point matériel est soumis à 2 types de forces : – des forces dites extérieures, notées , dues aux actions mécaniques exercées sur S par le

milieu extérieur à S ; – des forces dites intérieures, notées , représentant les interactions entre l’ensemble des

points matériels constituant le système S et le point matériel

.

h) Théorème de la quantité de mouvementDans un référentiel galiléen (R0), le théorème de la quantité de mouvement permet d’écrireque la dérivée première par rapport au temps de la résultante des vecteurs quantité de mou-

vement, notée , appliquée à un système S, en mouvement par rapport à (R0), est égale à la

résultante des forces extérieures agissant sur S, notée :

Cette relation est très intéressante car elle montre que l’étude du mouvement d’un système Sen mouvement par rapport à un référentiel galiléen (R0), se réduit à l’étude du mouvement deson centre d’inertie assimilé à un point matériel.

La résultante des forces intérieures à S est nulle, car . La résultante desmoments en un point O, telle que le point O soit fixe dans (R0) au cours du temps, desforces intérieures à S est nulle.

pS* pS

* = 0 V G/RG* = 0

M i LO M /RM OM OM0

( ) = ∧ = ∧= =∑ i ii

n

i ii

m V pi

1 11

n

ECS

M i E m VC ii

n

i

SM /R0

==∑ 1

2

2

1

RG*( )

E m V m VC ii

n

i

SG/R M /R0 G

*= +=∑1

212

2 2

1

m

M jM j

Fext

FintM j

F Fi j j i→ →= −

pS

Fextd

d

d

dR

/R

R

ext0

0

0

p

t

mV

tFS G

=( )

=

49

Page 56: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 16 • Systèmes de n points matériels

i) Théorème du moment cinétiqueDans un référentiel galiléen (R0), le théorème du moment cinétique permet d’écrire que ladérivée première par rapport au temps du moment cinétique total d’un système S, notée

, en un point O fixe par rapport à (R0) est égale à la résultante des moments en O des

forces extérieures agissant sur S, notée :

j) Théorème de l’énergie cinétique

Dans un référentiel galiléen (R0), la variation d’énergie cinétique d’un système S, notée ,entre deux instants t1 et t2 est égale à la somme des travaux des forces extérieures, notés

et intérieures, notés , appliquées au système S entre t1 et t2 :

Il existe une autre formulation du théorème de l’énergie cinétique faisant intervenir la puis-

sance des forces extérieures, notée et intérieures, notée , appliquées au sys-

tème S entre deux instants t1 et t2 , telle que :

k) Théorème de l’énergie mécaniqueDans un référentiel galiléen (R0), la variation d’énergie mécanique d’un système S, notée

, entre deux positions A et B est égale à la somme des travaux des forces extérieures

non conservatives, notée et intérieures non conservatives, notée , appli-

quées au système S entre les points A et B :

Le travail des forces non conservatives sur un trajet AB dépend du chemin suivi lors du trajetAB. Les forces non conservatives ne dérivent pas d’un potentiel, c'est-à-dire qu’il n’existe

aucune fonction scalaire (énergie potentielle), telle que : .

L’énergie mécanique d’un système S n’est pas conservative, c’est une grandeur qui diminueau cours du temps.

Compte tenu de ce qui a été dit au paragraphe g, la résultante des forces intérieuresn’intervient pas dans l’expression du théorème de la quantité de mouvement.

Compte tenu de ce qui a été dit au paragraphe g la résultante des moments en un pointO, telle que le point O soit fixe dans (R0) au cours du temps, des forces intérieures à Sn’intervient pas dans l’expression du théorème du moment cinétique.

LO S( )

MFext O/( )d S

dO

RO

0

ext

LM

( )= ( )

tF /

ΔECS

W ( )Fext W ( )Fint

ΔE F FCt t

Sext int

1 2→= +W W( ) ( )

P( )FextP( )Fint

d

d

S

ext int

E

tC

F F= +P P( ) ( )

ΔEMecaS

W ( )FextNC W ( )Fint

NC

ΔE F FMecaS

A BextNC

intNC

→= +W W( ) ( )

E x y zP , ,( ) F EP= grad−

50

Page 57: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 16 • Systèmes de n points matériels

3. EN PRATIQUE… Montrons que le moment cinétique d’un système S dans un référentiel barycentrique estindépendant du point où il est calculé.

Calculons le moment cinétique total , , d’un système S, en un point O1, dans son mou-

vement par rapport au référentiel barycentrique .

On a : .

Introduisons un point intermédiaire O2, tel que :

d’où :

.

Le moment cinétique d’un système S, dans un référentiel barycentrique est donc indé-pendant du point où il est calculé.

On peut alors écrire : .

Il est également possible de déterminer le moment cinétique d’un système S, en un point Opar rapport à un référentiel galiléen fixe (R0), à partir du moment cinétique du système S cal-

culé dans le référentiel , tel que :

Cette relation est connue sous le nom de 1er théorème de Koenig.

LO*

1S( )

RG*( )

LO M /RS O MG*

1 11

* ( ) = ∧=∑ i ii

n

m Vi

O M O O O M1 21 2i i= +

LO 1 M /RS O O O MG*

1 2 2* ( ) = +( ) ∧

=i i

i

m Vi

11

n

⇔ ( ) = ∧ +=∑LO 1 2 M /R 2S O O O M

G*

11

* m Vii

n

ii∧

=∑ m Vii

n

iM /RG*

1

⇔ ( ) = ∧=

=

∑LO*

1 2 M /R

car

1 G*S O O m Vi

i

n

p

i

S

1* 00

1 2+ ( ) ⇔ ( ) = ( )L L LO O O2

S S S* * *

RG*( )

L* S GM M /RG*( ) = ∧

=∑ i ii

n

m Vi

1

RG*( ) L LO /RS OG S

0( ) = ∧ + ( )

=∑ m Vi Gi

n

1

*

51

Page 58: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

17 La thermodynamique

1. EN QUELQUES MOTS…Les principales notions utilisées en thermodynamique (système, état d’équilibre thermo-dynamique, transformation) sont définies. La méthode de résolution d’un problème dethermodynamique est décrite.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Système thermodynamiquec Le système est l’objet de l’étude. Les systèmes thermodynamiques sont des systèmes

macroscopiques : ils comportent un grand nombre de particules. Par exemple, le systèmeconstitué de 3 g d’eau est un système macroscopique, il contient 1023 molécules d’eau.Le milieu extérieur est, par définition, le complément du système dans « l’Univers ».

c Les échanges avec le milieu extérieur (échange de matière, échange d’énergie) ont lieu auniveau de la surface séparant celui-ci du système. D’où les différents systèmes :– Isolé : le système n’a aucun échange avec le milieu extérieur.– Fermé : le système échange de l’énergie, mais pas de matière avec le milieu extérieur.– Ouvert : le système échange de la matière et de l’énergie avec le milieu extérieur.

Un système est homogène, si ses propriétés sont les mêmes en tous ses points.

b) État d’équilibre thermodynamique et variables thermodynamiquesLes propriétés du système sont décrites par un petit nombre de variables macroscopiques. Définissons l’équilibre thermodynamique

– Un état stationnaire est un état décrit par des variables indépendantes du temps.– Un état d’équilibre thermodynamique est un état où le système est dans un état stationnaire

et est homogène. Il est décrit par des variables thermodynamiques qui sont indépendantesdu temps et ont la même valeur en tout point du système, par exemple la pression, la tem-pérature. L’état d’équilibre thermodynamique est un état d’équilibre global.

c Propriétés des variables thermodynamiquesÆ Variables extensives, variables intensivesDeux systèmes identiques dans le même état d’équilibre thermodynamique sont réunis en unseul système. Les variables thermodynamiques décrivant le système global sont :

– Soit multipliées par 2, ces variables sont appelées variables extensives, par exemple lamasse, le volume, l’énergie… Les variables extensives vérifient la propriété d’additivité.

– Soit identiques à leurs valeurs initiales, ces variables sont appelées variables intensives,par exemple la pression, la température, la masse volumique…

Æ Toutes les variables décrivant un système à l’équilibre thermodynamique ne sont pas indé-pendantes. Elles sont reliées par une relation appelée équation d’état. Considérons, par exemple, l’état d’équilibre thermodynamique d’un gaz. Le nombre n demoles, la pression p, la température T et le volume V décrivent l’état du gaz. Ces variables nesont pas indépendantes et sont reliées par l’équation d’état : . Si le système gazeux est fermé, n est fixé, il n’y a donc que deux variables indépendantes. Lesétats d’équilibre thermodynamique de ce système peuvent être représentés dans un espace àdeux dimensions muni d’axes orthonormés, par exemple le diagramme de Watt (p, V).

p f n V T= ( , , )

52

Page 59: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 17 • La thermodynamique

c) Transformationc Une transformation est une évolution du système d’un état à un autre. Dans le cadre de la

thermodynamique à l’équilibre, l’état initial et l’état final sont des états d’équilibre thermo-dynamique. On distingue :

Æ transformation spontanée : les états intermédiaires ne sont pas nécessairement des étatsd’équilibre (les variables thermodynamiques du système ne sont pas définies à cause desinhomogénéités du système lors de la transformation). Æ transformation quasistatique : c’est une suite d’états d’équilibre du système ; c’est donc unetransformation suffisamment lente. Les variables définissant le système sont connues danstous les états intermédiaires.c Transformations particulières

Les transformations isobare et isotherme sont nécessairement quasistatiques, car l’état dusystème est défini pendant toute la transformation.

d) Échanges d’énergiec Le travail est le transfert d’énergie associé au travail de forces non conservatives (ne déri-

vant pas d’une énergie potentielle). Il est lié à des mouvements macroscopiques ; exemple :le travail des forces de pression.

c Le transfert thermique (ou chaleur) correspond à tout transfert d’énergie qui n’est pas dutravail. Au niveau microscopique, il correspond à un transfert d’énergie d’une formed’énergie à de l’énergie microscopique d’agitation moléculaireexistant dans tout système.Les échanges sont des grandeurs algébriques qui sont :– positives si elles sont reçues du milieu extérieur par le système ;– négatives si elles sont cédées au milieu extérieur par le système.

c Différents types de parois peuvent limiter un système :Æ les parois adiabatiques ou calorifugées ne permettent pas le transfert thermique, la trans-formation subie par le système est appelée transformation adiabatique.Æ les parois diathermanes permettent le transfert thermiqueÆ lorsque les parois sont fixes et rigides, le travail des forces de pression est nul.

3. EN PRATIQUE…Pour traiter un problème en thermodynamique, il est nécessaire de :1. définir le système étudié ; le choix n’est pas unique2. caractériser la transformation subie par le système3. caractériser l’état initial et l’état final.Cela permet de déterminer, en particulier, les variables inconnues du problème.Ensuite, les conditions d’équilibre, l’équation d’état et les principes de la thermodynamiquesont utilisés pour résoudre le problème.

Transformation Définition

cyclique l’état final est identique à l’état initialisochore le volume du système reste constant lors de la transformationmonobare la pression du milieu extérieur est constante durant la transformationmonotherme la température du milieu extérieur est constante durant la transformationisobare la pression du système est constante durant la transformationisotherme la température du système est constante durant la transformation

> 0 < 0

Système

53

Page 60: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

18 Gaz et phases condensées

1. EN QUELQUES MOTS…Dans la vie courante, on parle de solides, de liquides et de gaz. Les gaz sont parfois décrits par lemodèle du gaz parfait ; les solides et les liquides peuvent dans certains cas être modélisés par unephase condensée indilatable et incompressible. L’aspect microscopique de ces modèles est étudié.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) États de la matièrec Aspect macroscopique :Les coefficients thermoélastiques relient la variation relative de volume à la variation de tem-pérature (à pression constante) ou à la variation de pression (à température constante).

L’équation d’état d’une masse donnée V = f (p,T) s’obtient à partir des coefficients thermoélastiques.En différentiant, on obtient :

⇔ .

Donnons quelques ordres de grandeur des coefficients thermoélastiques pour un solide, unliquide et un gaz à la pression atmosphérique et à température ambiante :

Les masses volumiques des liquides et des solides sont comparables et très supérieures àcelles des gaz. Les liquides et les solides ont des compressibilités isothermes très inférieuresà celles des gaz, les liquides étant plus compressibles que les solides. Les solides et les liqui-des sont appelés phases condensées. c Aspect microscopique :

– Le solide est le plus ordonné, il possède un ordre à longue portée dû aux interactions attrac-tives entre les particules qui le composent (atomes, molécules, ions). L’effet de la tempéra-ture (agitation thermique) est de faire vibrer les particules autour de leur position moyenne.

– Le gaz est le plus désordonné. Les forces attractives sont à courte portée (de l’ordre dequelques tailles moléculaires). L’agitation thermique induit un désordre total avec denombreux chocs entre les molécules de gaz ou avec les parois du récipient qui le contient.

– Le liquide est intermédiaire. Chaque molécule conserve des interactions avec ses plus prochesvoisins, mais est en mouvement par rapport aux autres. Il en résulte un ordre à courte portée.

V : volume (m3)αp : coefficient de dilation thermique isobare (unité : K−1)T : température χT : compressibilité isotherme (unité : Pa-1) avec χT > 0p : pression (Pa)

Matériau ( K−1) (Pa−1) masse volumique ρ (kg.m−3)

aluminium 7,2 10-5 1,4 10-11 2,7 103

eau 2,1 10-4 4,6 10-10 103

dioxygène 3,3 10-3 10-5 1,43

α ppV

V

T= ∂

∂⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

χTTV

V

p= − ∂

∂⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

d d dVV

TT

V

pp

p T= ∂

∂⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + ∂

∂⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ d d dV V T V pp T= −α χ

α pχT

54

Page 61: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 18 • Gaz et phases condensées

b) Phase condensée indilatable et incompressibleLes liquides et les solides peuvent être décrits, en première approximation, par cette phase.Elle est définie par : αp = 0 et χT = 0. L’équation devient : dV = 0 ⇒ C’est l’équation d’état : le volume d’une masse de phase condensée indilatable et incompres-sible est constant, indépendant de la température et de la pression.

c) Gaz parfaitc Le gaz parfait est un gaz dans lequel les molécules sont sans interaction. Il correspond au

cas limite où la densité moléculaire est faible, si bien que la distance moyenne entre molé-cules est grande ; les interactions entre molécules sont alors négligeables.

c L’équation d’état du gaz parfait a été déterminée expérimentalement au XVIIIème siècle surl’air dans un domaine limité de pression et de température. Elle s’écrit :

Æ La température T est la température thermodynamique exprimée en K ; elle est reliée à latempérature en ˚C par : T(en K) = T (en ˚C) + 273,15. La température thermodynamique estnécessairement positive et est celle qui intervient en thermodynamique. Æ Un modèle microscopique du gaz parfait (molécules ponctuelles et hypothèse statistiquesur la distribution des vitesses des molécules) conduit à cette équation d’état.

d) Gaz réelsLes gaz parfaits ne peuvent pas être liquéfiés, car il n’y a pas d’interaction.Pour décrire les gaz réels, un modèle souvent utilisé est le gaz de van der Waals qui tientcompte de la taille finie des molécules et des forces attractives entre les molécules, ces forcesdiminuant quand le volume molaire augmente. Des tables thermodynamiques permettent aussi de décrire ces gaz.

3. EN PRATIQUE…c Déterminons les coefficients thermoélastiques du gaz parfait :

le coefficient de dilation thermique isobare

la compressibilité isotherme

c Déterminons la variation relative de volume de l’eau quand la pression varie de 105 Pa à 106

Pa à T = 20 ˚C. La compressibilité isotherme de l’eau χT = 4,6. 10-10 Pa-1 est indépendante de p.Le volume ne dépend alors que de p ; la définition de la compressibilité isotherme donne :

⇒ ⇔ ou .

Comme , la relation peut donc être approximée par :

⇔ .

Cet ordre de grandeur montre que l’approximation de la phase condensée est justifiée.

p : pression du gaz (Pa) ; n : nombre de moles de gaz (mol) ;R : constante des gaz parfaits

V : volume du gaz (m3)T : température du gaz (Kelvin, K) avec R = 8,314 J.K-1.mol-1

V V= 0

pV n T= R

α pp pV

V

T V

n

p

T

T

n

pV T= ∂

∂⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ∂

∂⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = =1 1 1R R

χTT

TV

V

p Vn T

p

p

n T

V= − ∂

∂⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

∂( )∂

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟

= −−

1 11

RR⎛⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=1 12p p

dd

V

VpT= −χ d

dV

Vp

V

V

Tp

p

1

2

1

2∫ ∫= − χ lnV

Vp pT

2

12 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − −( )χ V V e T p p2 1

2 1= − −( )χ

χT p p2 1−( ) = 4,14. 10-4

V V p pT2 1 2 11≅ − −( )( )χV V

Vp pT

2 1

12 1

44 14 10−

≅ − −( ) = −χ , .

55

Page 62: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

19 Travail des forces de pression

1. EN QUELQUES MOTS…Le travail des forces de pression est un exemple de travail de forces non conservatives.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Définition de la pression

La pression au point M est un scalaire.

b) Condition d’équilibre mécanique du piston

La force exercée par l’atmosphère sur le piston est : .

La force exercée par le gaz sur le piston est :

À l’équilibre mécanique du piston : .

c) Travail élémentaire des forces de pression reçu par le système du milieu extérieurLorsque le piston subit un déplacement infinitésimal dx dans la direction , le travail élémen-taire δW reçu par le gaz est : .En appelant dV = Adx, la variation de volume du système, ce travail s’écrit : .

c Pourquoi la pression extérieure intervient-elle dans l’expression du travail élémentaire ? L’atmosphère, qui a une taille beaucoup plus grande que le système, n’est pas perturbée parle mouvement du piston. La pression extérieure est toujours définie pendant la transforma-tion, ce qui n’est pas le cas de la pression du système.

Considérons un fluide au repos. Soit une surface fermée fictive Σ dansce fluide et dA un élément de surface au point M sur Σ. La pression au point M est définie à partir de la force due à l’actiondu fluide extérieur à Σ agissant sur l’élément de surface dA au voisinagedu point M.

p(M) : pression au point M : force exercée sur la surface dA

dA : élément de surface sur Σ au voisinage du point M : vecteur unitaire normal extérieur à Σ au point M

Un gaz est enfermé dans un cylindre fermé par un pistonde surface A. L’ensemble se trouve dans une atmosphèreà la pression pext.Le système considéré est le gaz ; le milieu extérieur estconstitué du cylindre, du piston et de l’atmosphère.Le vecteur est le vecteur unitaire normal extérieur aupiston dans la direction x.

Le gaz est dans un état d’équilibre thermodynamique à la pression p.

dF

M

ΣdF

n

dA

i

F p Aiext ext= −

F p Aigaz =

F Fext gaz + = ⇔0 p pext=

iδW F i x p A x= ⋅ = −ext extd d

δW p V= − extd

56

Page 63: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 19 • Travail des forces de pression

c Le travail W dépend du chemin suivi. Lors d’une transformation infinitésimale, le travailéchangé est une forme différentielle notée δW.

Lors d’une transformation de (I) à (F) le long du chemin (C), le travail W des forces de pres-

sion est l’intégrale le long du chemin (C) :

c L’expression élémentaire du travail des forces de pression est le produit d’une variableintensive (– p) par la variation d’une grandeur extensive (V).

D’autres travaux peuvent être utilisés, ceux-ci auront la même forme. Prenons l’exemple d’unfil élastique soumis à une tension , il subit un allongement et reçoit du milieu extérieur letravail : .

d) Expression du travail des forces de pression dans quelques cas particuliersc Transformation isochore (volume du système contant) : W = 0.c Transformation monobare (à pression extérieure constante) : ( est la

variation de volume lors de la transformation).c Transformation quasistatique : c’est une suite d’états d’équilibre entre l’état initial (I) et l’état

final (F), par suite la pression p du système en tout point de la transformation est définie etégale à la pression extérieure : fi Le travail élémentaire s’écrit : .

Le travail est positif si la courbe IFBA est parcourue dans le sens trigonométrique.Sur la figure, c’est le sens opposé : le travail est donc négatif ; le travail est fourni par le sys-tème au milieu extérieur. La transformation étudiée est la détente d’un gaz.

3. EN PRATIQUE…Une mole de gaz parfait monoatomique est comprimé de la pression initiale pI = 105 Pa à lapression finale pF = 2.105 Pa lors d’une transformation isotherme à la température T = 300 K.Déterminons le travail W reçu par le gaz.La transformation étant isotherme, elle est quasistatique.⇒ La pression p du système est alors connue en tout point de la transformation.

Le travail W reçu par le gaz lors de la transformation s’écrit donc :

Tous les points de la transformation peuvent être représentés dans lediagramme p,V (figure ci-contre) ; le chemin suivi (CCCC) est la courberouge entre (I) et (F). Le travail échangé W lors de la transformation est : .

L’aire sous la courbe (zone rougie) correspond au travail reçu par lesystème. Cette aire délimitée par la courbe IFBA est orientée par lesens de la transformation.

Cette transformation peut être représentée dans le diagramme p, V.L’équation de la courbe est : ; c’est l’équation d’unehyperbole. En tout point de la transformation pext = p ⇒ .

W p VV

V

I

F= −( )∫ ext d

C

F dlδW = F ld

W p V= − extΔ ΔV

p pext = δW p V= − d

p

V

I

F

A B

W p VV

V

I

F= −( )∫ d

C

pV T= =R cste

δW p V p V= − = −extd d

W p V RTV

VRT

V

VV

V

V

V= − = − = − ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟∫ ∫d

d.

I

F

I

F F

Iln

p V p VI I F F= W Tp

pT

p

p= − ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=R R 1,73 kJ.I

F

F

Iln ln

p

V

I

FpF

pI

VI

VF

57

Page 64: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

20 Premier Principe

1. EN QUELQUES MOTS…L’existence de forces non conservatives (forces de frottements…) entraîne la non-conservationde l’énergie mécanique. L’énergie totale d’un système est définie ainsi que son énergie interne.L’équation de bilan de l’énergie totale d’un système fermé correspond au premier principe.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…Considérons un système fermé.

a) Définition de l’énergie totale

À l’aide du théorème de Koenig (fiche 16), l’énergie cinétique du système s’écrit :

L’énergie potentielle du système est donnée par :

L’énergie totale est une grandeur extensive. Elle est définie à une constante près.

b) Définition de l’énergie interne L’énergie totale du système se met sous la forme :

c La partie microscopique est par définition l’énergie interne du système. L’énergie interne U d’un système est son énergie microscopique dans le référentiel barycentrique.On en déduit que l’énergie interne est aussi une grandeur extensive.

c) Fonction d’état c Définition : Une fonction d’état est une fonction dont la variation lors d’une transformation

ne dépend que de l’état initial et de l’état final.

: énergie totale du système (J)

: énergie cinétique du système (J)

: énergie potentielle du système (J)

: énergie cinétique du système

: énergie cinétique macroscopique due au mouvement d’ensemble

: énergie cinétique microscopique dans le référentiel barycentrique(énergie d’agitation thermique).

: énergie potentielle du système

: énergie potentielle due aux forces extérieures dérivant d’unpotentiel

: énergie potentielle intérieure (on suppose que les forces inté-rieures d’interaction dérivent d’un potentiel et qu’elles sont à courteportée)

: énergie totale du système : énergie macroscopique

: énergie microscopique

E E EC ptot = +Etot

EC

Ep

EC

E E EC K T= +

EC

EK

ET

Ep

E E Ep p p= +ext int

Ep

Epext

Ep int

Etot

E E Utot Macro= +EtotEMacro E E EK pMacro ext= +U U E ET p= + int

U U

U

58

Page 65: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 20 • Premier Principe

Cette variation ne dépend donc pas du chemin suivi lors de la transformation.c Les énergies cinétiques et les énergies potentielles sont des fonctions d’état.

En conséquence, l’énergie totale et l’énergie interne U sont des fonctions d’état.c Lors d’une transformation finie de l’état initial (I) à l’état final (F), la variation d’une fonc-

tion d’état f(x, y) dépendant de deux variables est notée Δf et donnée par :

où les indices I et F représentent respectivement l’état initial (I) et l’état final (F).c Une fonction d’état est une différentielle totale (Annexe A).

d) Premier principe pour un système fermé c Énoncé : pour un système fermé évoluant entre deux états d’équilibre thermodynamique

(I) et (F), la variation d’énergie totale ΔEtot est égale à la somme du travail W et du trans-fert thermique Q reçus du milieu extérieur :

Le transfert thermique Q et le travail W dépendent du chemin suivi lors de la transformation. c Le premier principe est un exemple d’équation de bilan d’une grandeur extensive. Néanmoins,

c’est un cas particulier où il n’existe pas de terme de création ou d’annihilation (destruction)d’énergie : la grandeur est dite conservative.

c Considérons quelques cas particuliers :– Lorsque le système est isolé : il n’y a pas d’échange d’énergie avec le milieu extérieur

⇒ : l’énergie totale d’un système isolé est conservée.– Lorsque le système fermé subit une transformation cyclique : l’état final (F) est identique

à l’état initial (I) ⇒ – Lorsque le système est au repos ( ) et soumis à un potentiel extérieur dont les

variations sont négligeables ( ) ⇒ ⇔ . Le premier

principe s’écrit alors : .

e) Capacité thermique à volume constantLa capacité thermique à volume constant est, par définition : (unité J.K–1). On utilise plus souvent :

– la capacité thermique massique (unité J. kg–1.K–1) où m est la masse du système

;

– la capacité thermique molaire (unité J. mol–1.K–1) où M est la masse

molaire.

ΔEtot : variation d’énergie totale (J) avec W : travail (des forces non conservatives) reçu du milieu extérieur (J)Q : transfert thermique reçu du milieu extérieur (J)

EC EpEtot

Δf f x y f x y= −( , ) ( , )F F I I

ΔE E E

W Qtot tot tot= ( )− ( )

= +

F IE E Utot Macro= +

ΔEtot = 0

ΔEtot = 0

ΔEK = 0

ΔEp ext = 0 ΔEMacro = 0 Δ ΔE Utot =

ΔU W Q= +

CV CVV

U

T= ∂

∂⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cmVV=

C

Cm

MVV=

C

59

Page 66: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 20 • Premier Principe

f) Énergie interne de quelques systèmes simples

3. EN PRATIQUE…

c Un corps solide incompressible et indilatable de masse de capacité thermique massi-

que supposée indépendante de la température en mouvement de trans-lation dans le champ de pesanteur reçoit du milieu extérieur un travail de 21 J, fournit aumilieu extérieur un transfert thermique de 28 J alors que sa vitesse varie de 2 m.s–1 à 5 m.s–1

tandis que son altitude diminue de 3 m. L’accélération de la pesanteur est g = 10 m.s–1.Déterminons la variation de température du solideÆ Système : le corps solide, c’est un système fermé.État initial (I) : vitesse vI = 2 m.s–1 et altitude zI ; température TI

État final (F) : vitesse vF = 5 m.s–1 et altitude zF = zF – 3 ; température TF

Æ Énergie échangée : travail W = 21 J ; transfert thermique Q = – 28 J.Æ Variation d’énergie macroscopique :

– variation de l’énergie cinétique macroscopique : ;

– variation de l’énergie potentielle due aux forces extérieures conservatives, dans ce cas

les forces de pesanteur, par suite ⇒

Æ Le premier principe, pour cette transformation, est donné par :

Par suite, la variation d’énergie interne est .Æ Le solide étant incompressible et indilatable et sa capacité thermique étant indépendantede la température, la variation d’énergie interne du solide est .La variation de température du solide est donc :

Il y a échauffement du corps solide dû aux frottements.

Système Énergie interne molaire UMCapacité thermique molaire

à volume constant

Gaz parfait ne dépend que de la température

(1re loi de Joule)

Gaz parfait monoatomique

Gaz parfait diatomique(températures ordinaires)

Gaz parfait(zone restreinte de T)

(U0 constante) constante

Phase condensée incom-pressible indilatable

Solide(températures ordinaires)

= 3R

CV

U M

U TM ( )

C TV ( )d dU T C T TM V( ) = ( )

U TM = 32

R CV = 32

R

U TM = 52

R CV = 52

R

U C T UM V= + 0 CV CV > 32

R

d dU T C T TM V( ) = ( ) C TV ( )

U TM = 3R CV

m = 1 kg

cV = 460 J.kg .K-1 -1

Δ Δ ΔE E EK pMacro ext= +

ΔE m v vK F I= −( ) =12

10 52 2 , J

Ep ext = mgz ΔEp ext F I J= −( ) = −mg z z 30 .

Δ Δ Δ ΔE E E U W QK ptot ext= + + = +

Δ Δ ΔU W Q E EK p= + − − =ext J12 5,

ΔU ΔU mc T TV= −( )F I

Δ ΔT T T

U

mcV

= − = =×

= =−F I K mK.

12 51 460

2 7 10 272,, .

60

Page 67: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 20 • Premier Principe

c Considérons une mole de gaz parfait monoatomique enfermée dans un cylindre fermé parun piston sans masse et sans frottement. Le piston, de surface A = 1 dm2, est libre de sedéplacer verticalement. Le cylindre et le piston sont calorifugés. L’accélération de la pesan-teur est g = 10 m.s–1.

L’équilibre mécanique du piston entraine : pI = p0 = 105 Pa. Utilisons l’équation d’état pour obtenir le volume initial du gaz :

.

Æ Quand la masse est posée que le piston, la pression extérieure devient :

Æ La transformation subie par le système est

– adiabatique, car les parois sont calorifugées ; – monobare, car la pression extérieure est constante et égale à

Æ État final (F) ; il y a 3 inconnues pF, TF, VF et trois relations :– l’équilibre mécanique du piston : ; – l’équation d’état ;– l’expression du premier principe :

Le système étant au repos, le premier principe s’écrit : La transformation étant adiabatique : Q = 0 ⇒

Le gaz est monoatomique ⇒ , car il n’y a qu’une mole.

Le travail lors de cette transformation (monobare à pext) est

L’état final (F) est défini par : – la pression finale : ;

– la température finale : ;

– le volume final : .

Le gaz a subi une compression adiabatique, ce qui conduit à son échauffement, car en rece-vant du travail de l’extérieur, son énergie interne augmente.

Le système est en contact avec l’atmosphère à la pres-sion p0 = 105 Pa. Le système, dans l’état initial (I), est à l’équilibre ther-modynamique à la température TI = 300 K. Une masse M0 = 10 kg est alors posée sur le piston. Aubout d’un certain temps, le gaz atteint l’état d’équilibrethermodynamique (F). Déterminons l’état final (F) du gaz : (pF, TF, VF).Æ Système : gaz (système fermé)Æ État initial (I) : TI = 300 K

État (I)

p0

gaz gaz

État (F)

p0

M0

V nT

PII

I

3R m= = × × = −1

8 32 300

102 5 10

52,

, .

p pM g

Aext = + = + × =−0

0 52

51010 10

101 1 10, . Pa.

pext = 1 1 105, . . Pa

p pextF Pa= = 1 1 105, .p V TF F F R=

ΔU W Q= +ΔU W=

ΔU T T= −( )3R2 F I

W p V Vext= − −( )F I

3R2

RF I F IF

FIT T p V V p

T

pp Vext ext ext−( ) = − −( ) = − ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ == − +R F IT p Vext

pF Pa= 1 1 105, .

T Tp Vext

F II

R K= + =3

5

2

5312

VT

PFF

F

R= = − 2,36.10 m32

61

Page 68: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

21 Enthalpie

1. EN QUELQUES MOTS…L’enthalpie est une fonction d’état qui est bien adaptée pour décrire des systèmes soumis àune transformation monobare où le système est en équilibre avec l’atmosphère dans l’état ini-tial et dans l’état final. L’exemple de la calorimétrie est développé.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Définition de l’enthalpie c Le système considéré est au repos ; il n’est sensible qu’aux forces de pression. Ce système

est en contact avec une atmosphère à la pression p0, le système étant en équilibre avecl’atmosphère dans l’état initial (I) et dans l’état final (F).

État initial (I) : pression pI = p0, volume VI

État final (F) : pression pF = p0, volume VF c Le système subit une transformation monobare à la pression extérieure p0. Le travail échangé avec le milieu extérieur est : Le transfert thermique avec le milieu extérieur est appelé Q.c Appliquons le premier principe à ce système (fiche 20) :

p0 = pI = pF ⇒ ⇔

⇔ avec

L’enthalpie H est une grandeur extensive et une fonction d’état, car sa variation ne dépendque de l’état initial et de l’état final.

b) Expression particulière du premier principe Un système fermé subit une transformation monobare entre deux états d'équilibre (I) et(F), le système étant en équilibre avec l’atmosphère dans l’état initial et dans l’état final(pF = pI = p0). Le travail reçu par le système est la somme du travail des forces de pressionet du travail W’ des autres forces non conservatives. La variation d'enthalpie du système lors de cette transformation est la somme du transfertthermique Q et du travail W’ des autres forces non conservatives reçus par le système :

.

c) Capacité thermique à pression constante

Elle est notée (unité J.K–1) ; c’est la dérivée de l’enthalpie par rapport à la température à

pression constante : .

d) Enthalpie de quelques systèmes simples c Phases condensées incompressibles et indilatables (solide ou liquide)Les capacités thermiques à pression constante et à volume constant sont les mêmes : Cp ≈ CV = C.

H : enthalpie (J) U : énergie interne (J)

p : pression du système (Pa)V : volume du système (m3)

W p V V= − −( )0 F I

ΔU U U Q p V VI I= − = − −( )F F0U U Q p V p VI I IF F F− = − −( ) U p V U p V QI I IF F F+( ) − +( ) =

ΔH H H QI= − =F

H U pV= +

ΔH H H Q W= − = +F I '

C p

C pp

H

T= ∂

∂⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

62

Page 69: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 21 • Enthalpie

Par suite, pour une transformation infinitésimale dH = C (T) dT, car C ne dépend que de T.c Gaz parfaits

Les capacités thermiques molaires à pression constante et à volume constant d’un gaz parfait

sont reliées par la relation de Mayer : . En posant , .

3. EN PRATIQUE…Prenons l’exemple d’une mesure de calorimétrie. Considérons un calorimètre adiabatiquefermé par un couvercle dont l’intérieur est à la pression atmosphérique p0. La capacité ther-mique du calorimètre et de ses accessoires est C0 = 150 JK–1. Initialement, le calorimètre con-tient une masse m1 = 200 g de liquide de capacité thermique massique c1 = 2850 J kg–1 K–1 à latempérature T1 = 20˚C. On y plonge rapidement un bloc de cuivre de masse m2 = 250 g et decapacité thermique massique c2 pris initialement à la température T2 = 80 ˚C. Dans l’état final,l’ensemble contenu dans le calorimètre est à la température TF = 27,2 ˚C. Les solides et lesliquides seront supposés incompressibles et indilatables, de capacité thermique massiqueindépendante de la température.Déterminons la capacité thermique massique c2 du bloc de cuivre. c Système : masse m1 de liquide + calorimètre et accessoires + bloc de cuivre de masse m2.c État initial : masse m1 de liquide + calorimètre et accessoires à T1, à la pression pI = p0

masse m2 de cuivre à T2, à la pression pI = p0

c État final : masse m1 de liquide + calorimètre + masse m2 de cuivre à TF, à la pression pF = p0.c La transformation est monobare à la pression p0 et adiabatique (calorimètre adiabatique).c Le 1er principe appliqué à cette transformation monobare avec pI = pF = p0 s’écrit :

L’enthalpie H étant une fonction d’état, on peut choisir le chemin entre (I) et (F) pour calculersa variation. Choisissons le chemin fictif suivant : masse m1 de liquide + calorimètre à T1, p0 masse m1 de liquide + calorimètre à TF, p0

masse m2 de cuivre à T2, p0 masse m2 de cuivre à TF, p0

La variation d'enthalpie pour la transformation 1 est : .

La variation d'enthalpie pour la transformation 2 est : .

L’enthalpie étant une grandeur extensive,

⇒ ⇔ .

Système Enthalpie molaire HMCapacité thermique molaire

à pression constante CP

Gaz parfaitHM ne dépend que de la température HM(T) (2e loi de Joule)

CP(T)dHM = CP(T) dT

Gaz parfait monoatomique

Gaz parfait diatomique (températures ordinaires)

Gaz parfait diatomique (zone restreinte de T)

(H0 constante) est constante

or

H U pV U T TM M M= + = + =R52

R C Rp = 52

H TM = 72

R Cp = 72

R

H C T HM p= + 0 Cp

C Cp V− = R γ =C

Cp

VCV =

−R

γ 1

ΔH Q W= + ' W ' = 0 : pas de travail autre que celui des forcess de pression : transformation adiabatiqueQ = 0{{ ⇒ =ΔH 0

1⎯ →⎯

2⎯ →⎯

ΔH m c T T1 1 1 0 1= +( ) −( )C F

ΔH m c T T2 2 2 2= −( )F

Δ Δ ΔH H H= +1 2

m c T T m c T T1 1 0 1 2 2 2 0+( ) −( ) + −( ) =C F F cm c T T

m T TF

F2

1 1 0 1

2 2=

+( ) −( )−( ) =

C390 J.kg .K-1 -1

63

Page 70: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

22 Second Principe

1. EN QUELQUES MOTS…Le second principe est un principe d’évolution ; il permet de prévoir si une transformation estpossible ou non.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…Considérons un système fermé comprenant N particules.

a) Thermostat (ou source de chaleur)Un thermostat est un système fermé n’échangeant aucun travail avec l’extérieur, mais échan-geant de l’énergie sous forme de transfert thermique, sans que sa température ne varie. Un système en équilibre avec un thermostat est à la même température que celui-ci.

b) Transformation irréversible, transformation réversiblec Une transformation spontanée est irréversible : par exemple, le transfert thermique passe

naturellement d’un corps chaud vers un corps froid ; par contre le transfert thermique spon-tané d’un corps froid vers un corps chaud n’est jamais observé.Les causes d’irréversibilité sont le transfert thermique, les frottements, les inhomogénéitésde température, de masse volumique ou de pression, les phénomènes de mélange.

c Une transformation réversible est une succession continue d’états d’équilibre pour le sys-tème étudié et le milieu extérieur avec lequel il interagit. La transformation inverse del’état final (F) à l’état initial (I) passe par les mêmes états d’équilibre pour le système et lemilieu extérieur que la transformation de (I) à (F). Elle est nécessairement quasi-statique.Une transformation quasi-statique n’est pas nécessairement réversible. Un piston présen-tant des frottements et déplacé très lentement donne lieu à une transformation irréversible.

c) Second principe pour un système ferméc Pour tout système fermé, il existe une fonction d’état S extensive, non conservative, appe-

lée entropie, telle que sa variation lors d’une transformation entre deux états d’équilibre estla somme de l’entropie échangée Séch avec le milieu extérieur et de l’entropie créée Scrééedans le système. L’entropie créée Scréée est nécessairement positive ou nulle.

c Entropie échangée

L’entropie échangée Séch, comme l’entropie créée Scréée, n’est pas une fonction d’état.

ΔS : variation d’entropie lors de la transformation (en J.K–1)Séch : entropie échangée avec le milieu extérieur(en J.K–1)

Transformation Transfert thermique Q reçu du milieu extérieur Entropie échangée Séch

adiabatique

monothermemilieu extérieur : thermostat à la températureText (K)

ΔS S S= +éch crééeScréée: entropie créée dans le système :

transfoormation irréversible transformation

crééeS > 0rréversible crééeS ={ 0

Q = 0 Séch = 0

SQ

Téchext

=

64

Page 71: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 22 • Second Principe

c Le second principe est une équation de bilan d’une grandeur extensive, l’entropie, danslaquelle il existe un terme de création d’entropie, qui traduit le sens d’évolution du système.

c Système isolé : Q = 0 ⇒ Séch = 0 ⇔ ΔS = Scréée ≥ 0.L’entropie d’un système isolé ne peut que croître.

c Transformation isotherme réversible : c’est une suite d’états d’équili-bre entre l’état initial (I) et l’état final (F), par suite la température Tet l’entropie S du système sont définies en tout point de la transforma-tion, la température T0 du système étant constante. Dans le dia-gramme entropique T en fonction de S, la transformation estreprésentée par une droite parallèle à l’axe S. Scréée= 0 ⇒ Q = T0ΔS.L’aire sous la courbe (partie rougie) représente le transfert thermique.Cette aire est algébrique ; elle est négative si elle est parcourue dans le sens trigonométrique.

d) Interprétation microscopique de l’entropieL’entropie d’un système macroscopique permet de mesurer son degré de désordre. En effet,le système sera d’autant plus désordonné (et donc son entropie d’autant plus élevée) que lenombre d’états microscopiques accessibles sera grand.

3. EN PRATIQUE…Une masse m = 1 g de gaz (vapeur d’eau) est enfermée dans un cylindre fermé par un pistonmobile sans masse et sans frottement. L’ensemble est en contact avec l’atmosphère à la pressionp0 = 105 Pa. Initialement, la vapeur d’eau est à la température TI = 200 ˚C. L’ensemble est placédans un thermostat à la température T0 = 100 ˚C et atteint l’état d’équilibre final (pF, TF, VF).Les tables thermodynamiques de la vapeur d’eau sont :

Calculons l’entropie créée Scréée lors de cette transformation. – Le système utilisé est le gaz. – La transformation est monobare à la pression p0 et monotherme à la température T0.– État initial : TI = 200 ˚C = 473 K ; l’équilibre mécanique du piston implique pI = p0 = 105 Pa.

Le volume initial est obtenu à l’aide du volume massique à 200 ˚C : VI = m v(200) = 2,49.10-3 m3.– État final : l’équilibre mécanique du piston implique : pF = p0 = 105 Pa

L’équilibre thermique avec le thermostat donne : TF = T0 = 100 ˚C = 373 KLe volume final est obtenu à l’aide du volume massique à 100 ˚C : VF = m v(100) = 1,75.10–3 m3.

– D’après le second principe : , ¤ où Q est le transfert ther-

mique échangé par le gaz avec l’extérieur lors de cette transformation.c La variation d’entropie se calcule à partir des tables : ΔS = m(s(100) – s(200)) ΔS = – 0,44 J.K−1 ; ΔS < 0 car le gaz est plus ordonné dans l’état final que dans l’état initial.c Pour obtenir Q, le premier principe est utilisé.

La transformation étant monobare avec pI = pF = p0, il s’écrit en utilisant l’enthalpie (fiche21) : ΔH = Q, car seulement travail des forces de pression. ΔH = m(h(100) – h(200)) ⇒ Q = ΔH = – 194 J ; Q est cédé par le gaz au thermostat.

c La température étant en K, Scréée = 0,08 J.K–1 ; l’entropie créée est bien positive en accordavec le second principe. La transformation est irréversible.

Température T Volume massique v Enthalpie massique h Entropie massique s

100 ˚C 1,75 m3.kg–1 2681 kJ.kg–1 7,41 kJ.K-1.kg–1

200 ˚C 2,49 m3.kg–1 2875 kJ.kg–1 7,85 kJ.K-1.kg–1

ΔSQ

TS= +

0créée S S

Q

Tcréée = −Δ0

T

I

AS

F

B

65

Page 72: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

23 Identité thermodynamique

1. EN QUELQUES MOTS…Les variations des fonctions d’état sont calculées en choisissant des chemins réversibles. Celaconduit à l’identité thermodynamique qui permet d’obtenir l’expression de l’entropie du gazparfait et de la phase condensée.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…Considérons un système au repos, en l’absence de champ extérieur et soumis uniquement àdes forces de pression. Il est défini par son volume V, sa pression p et sa température T.

a) Choix de la transformationLa variation d’une fonction d’état dépend uniquement de l’état initial (I) et de l’état final (F) ; ilest donc possible de choisir le chemin suivi entre (I) et (F) pour obtenir cette variation. La trans-formation choisie est une transformation infinitésimale réversible.

b) Expression des deux principesc Pour exprimer les deux principes, les notations utilisées sont :

– Les fonctions d’état sont des différentielles totales ; par exemple la variation de l’énergieinterne lors d’une transformation infinitésimale est notée dU.

– Les grandeurs dépendant du chemin suivi sont des formes différentielles ; par exemple letransfert thermique lors d’une transformation infinitésimale est noté δQ.

c Premier principe : dU = δW + δQ La transformation étant réversible, donc nécessairement quasistatique, le travail échangé est :δW = – p dV.c Second principe : La transformation étant réversible, il n’y a pas d’entropie créée

et (à chaque instant Text = T) ⇒ .

c Toutes les grandeurs utilisées sont celles du système.c) Identité thermodynamique

c L’identité thermodynamique est obtenue en éliminant δQ :

c Les variables naturelles décrivant l’énergie interne sont donc l’entropie S et le volume V.c Elle peut être généralisée au cas où d’autres formes de travaux Wautre existent. L’identité

thermodynamique devient alors : dU = TdS – pdV + δWautre.d) Conséquences

c L’énergie interne U étant une fonction d’état, dU est une différentielle totale :

– dérivées premières : température thermodynamique ; pression :

– L’énergie interne U étant une différentielle totale, les dérivées secondes vérifient la rela-

tion de Maxwell : ⇔ .

U : énergie interne (J) T : température (K) S : entropie (J.K−1)

p : pression (Pa) V : volume (m3)

δScréée = 0 δ δ δS

Q

T

Q

Téchext

= = dSQ

T= δ

d d dU T S p V= −

TU

S V= ∂

∂⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ p

U

V S= − ∂

∂⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∂∂

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ∂ ∂⎛

⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟V

U U

VV S S V

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − ∂

∂⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

T

V

p

SS V66

Page 73: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 23 • Identité thermodynamique

c Différentielle de l’entropie : de l’égalité précédente, on obtient : (1)

Cette relation donne l’entropie en fonction de l’énergie interne U et du volume V.

Une autre expression de la différentielle de S est obtenue en utilisant l’enthalpie : ;

la différentielle dH = dU + pdV + Vdp est reportée dans (1) ⇒ (2)

dS est une différentielle totale ⇒ ; ; .

La connaissance de l’entropie S en fonction de ses variables naturelles permet d’obtenir tou-tes les informations sur le système : équation d’état, énergie interne.

3. EN PRATIQUE…c Exprimons l’entropie d’un gaz parfaitConsidérons n moles de gaz parfait de capacité thermique molaire à volume constant Cv et àpression constante Cp. L’équation d’état du gaz parfait est : pV = n RT. Æ en fonction de T et de V : S(T,V). Utilisons l’expression (1). La différentielle de l’énergie interne est dU = nCv(T) dT (fiche 20). En utilisant l’équation

d’état, dS devient : .

Le premier terme ne dépend que de la température, le second terme que du volume, ce quidonne en intégrant entre l’état (T0, V0) et l’état (T,V) :

.

Dans une gamme de températures restreintes, CV peut être supposée constante ; l’entropie

devient alors :

Æ en fonction de T et de p : S(T, p). Utilisons l’expression (2). La différentielle de l’enthalpie est : dH = nCp dT où Cp est supposée indépendante de la tem-

pérature. L’expression de dS devient : .

En intégrant entre l’état (T0, p0) et l’état (T, p), l’expression devient :

.

c Exprimons l’entropie d’un corps condensé incompressible et indilatable.L’équation d’état d’un corps condensé incompressible et indilatable est : V = V0 où V0 est uneconstante (fiche 18), donc dV = 0. De plus, la différentielle de l’énergie interne est dU = nCdT, où n est le nombre de moles et C la capacité thermique molaire supposée indépendante

de la température (fiche 20). L’expression (1) de dS devient :

L’entropie ne dépend donc que de la température.

En intégrant entre T0 et T, on obtient : .

dd

dSU

T

p

TV= +

H U pV= +

dd

dSH

T

V

Tp= −

1T

S

U V= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

∂∂

p

T

S

V U= ∂

∂⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − ∂

∂⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟V T U

p

TU V

1

dd

d d d dd

SU

T

p

TV n

C T

TT

p

TV n

C T

TT nR

V

VV V= + =

( )+ =

( )+

S T V S T V nC T

TT nR

V

VV

T

T

V

V, ,( ) = ( ) +

( )+∫ ∫0 0

0 0

dd

S T V S T V nCT

TnR

V

VV, , ln ln( ) − ( ) = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟0 0

0 0

dd

dd

Rd

SH

T

p

TV nC

T

Tn

p

pp= − = −

S T p S T p nCT

TnR

p

pp, , ln ln( ) − ( ) = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟0 0

0 0

dd

S nCT

T=

S T S T nCT

T( ) − ( ) = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟0

0ln

67

Page 74: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

24 Contact thermique

1. EN QUELQUES MOTS…Le contact thermique est la mise en contact d’un système avec un thermostat. Le bilan entro-pique du contact thermique montre qu’il est possible d’approximer cette transformation parune transformation réversible nécessitant un opérateur extérieur.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…Considérons un solide incompressible et indilatable de masse m et de capacité thermiquemassique c indépendante de la température. Les seules forces extérieures sont les forces depression. La température initiale du solide est TI. Ce solide est mis en contact avec un thermostat à latempérature T0 et atteint l’état d’équilibre à la température TF.c Le système étudié est le solide ; c’est un système fermé.c Il subit une transformation monotherme, car elle a lieu en contact avec un thermostat à la

température T0.c Le solide étant incompressible et indilatable, la température T suffit pour décrire l’état du

système.État initial (I) : TI État final (F) : TF = T0, car le système est en équilibre avec le thermostat à la température T0.

c Le second principe conduit au bilan entropique :

– Exprimons la variation d’entropie S : (fiche 23).

– Exprimons l’entropie échangée Séch : la transformation étant monotherme,

où Q est le transfert thermique reçu par le système. Le premier principe permet de déterminer Q : .

Le solide étant incompressible et indilatable, le travail des forces de pression est nul : W = 0

(fiche 20).

L’entropie créée Scréée dans le système s’exprime donc : .

Introduisons la variable réduite positive .

.Traçons les fonctions y = x – 1 (en rouge) et y = ln(x) (en noir)sur le même graphe. La courbe y = ln(x) est toujours en dessousou tangente à la droite y = x – 1.

⇒ .

Δ ΔS S S S S S= + ⇔ = −éch créée créée éch

ΔS S T S T mcT

T= ( ) − ( ) = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟F I

F

Iln

SQ

T

Q

Téchext

= =0

ΔU W Q= +

⇒ = ⇔ = = −( ) F IΔ ΔU Q Q U mc T T

S mcT

T

T T

TcrééeI

I= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

ln 0 0

0

xT

T= I

0

⇒ = − + −( )( )S mc x xcréée ln 1

x x− ≥1 ln( )

y

x1

Scréée

68

Page 75: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 24 • Contact thermique

c Lors du contact thermique, l’entropie créée Scréée est toujours positive ou nulle. L’expé-rience prouve que cette transformation est toujours réalisable, ce que confirme bien lesecond principe.– Discutons d’abord le cas Scréée = 0 obtenu lorsque TI = T0 : la transformation est alors

réversible. Le transfert thermique a lieu sans que la température du système ne varie. Unexemple est le thermostat, qui fonctionne de façon réversible.

– Quand , Scréée > 0 : la transformation est irréversible. Sur le graphe, on constateque l’entropie créée augmente quand augmente.

c Utilisons cette propriété : Considérons deux transformations différentes entre l’état initial (I) et l’état final (F).Prenons l’exemple suivant : mc = 10 kJ.K-1.

– Transformation 1 (en noir) : Le solide à la température TI = 400 K est mis en contact thermique avec le thermostat à latempérature T0 = 300 K.

Le calcul précédent donne : = 450 J.K1.

– Transformation 2 (en rouge) : Elle est formée d’une suite de 2 transformations : – le solide à la température TI est d’abord mis en contact thermique avec un thermostat à

la température TE = 350 K ; il atteint l’état d’équilibre (E), à la température TE.– Le solide est ensuite mis en contact avec le thermostat à la température T0 = 300 K.

L’entropie créée étant extensive, Scréée(transformation 2) = Scréée((I)→(E)) + Scréée((E)→(F)).

Or = 93 J.K-1

et = 125 J.K-1

⇒ Scréée(transformation 2) = 218 J.K-1.

L’entropie créée dépend du chemin suivi et est plus petite lors de la transformation 2 que lorsde la transformation 1.c De façon générale, on montre que l’entropie créée peut être rendue aussi petite que l’on

veut en utilisant un nombre de plus en plus élevé de thermostats intermédiaires, conduisantainsi à une transformation réversible.

T TI ≠ 0T TI − 0

État (I) État (F )

État (E )thermostat

à T0

thermostatà TE

thermostat à T0

S mcT

T

T T

TcrééeI

Itransformation 1( ) = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−−

ln 0 0

0

⎛⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

S mcT

T

T T

TcrééeE

I

E I

EI E( ) →( ) = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

( ) ln⎫⎫⎬⎭

S mcT

T

T T

TcrééeE

EE F( ) →( ) = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

( ) ln 0 0

0

⎫⎫⎬⎭

69

Page 76: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 24 • Contact thermique

3. EN PRATIQUE…Une mole de gaz parfait monoatomique est contenue dans un cylindre rigide fermé par unpiston mobile supposé sans masse et sans frottement. L’ensemble est en contact avec l’atmosphère considérée comme un thermostat à la tempéra-ture T0 = 300 K et comme un réservoir de pression à la pression p0 = 105 Pa. Initialement, le piston est maintenu par une cale ; le gaz est dans l’état (I) : pI = 0,5 .105 Pa, TI, VI.c Transformation (1) : on enlève la cale et on attend l’état d’équilibre final (F). Æ Le système utilisé est le gaz. Le milieu extérieur est l’atmosphère, le cylindre et le piston.Æ Le gaz subit une transformation monobare (contact avec une atmosphère à la pression p0)et monotherme (contact avec un thermostat à la température T0).

Æ État initial (piston bloqué) : pression pI = 0,5 .105 Pa, température (équilibre avec le thermostat) TI = T0 = 300 K

volume 49,9.10-3 m3.

Æ État final : pF = p0 (équilibre avec l’atmosphère) ⇒ pF = 105 PaTF = T0 (équilibre avec le thermostat) ⇒ TF = 300 K

volume : 24,9.10–3 m3.

Æ Écrivons le 2nd principe : car la transformation est monotherme à T0.

Æ Déterminons le transfert thermique Q à l’aide du 1er principe :

. Or TI = TF = T0 ⇒ ⇒ ⇔ .

La transformation est monobare à p0 ⇒

Æ Déterminons la variation d’entropie :

ΔS < 0, cela confirme bien que le système est plus « ordonné » après compression.

Æ Déterminons l’entropie créée lors de la transformation (1) : .

L’entropie créée est bien positive, en accord avec le second principe. Cette transformation spontanée est irréversible, car le gaz subit une discontinuité de pressionlorsque la cale est enlevée.

c Transformation (2) : transformation isotherme entre l’état (I) et le même état final (F).Æ Le système utilisé est le gaz. La transformation étant isotherme, la température du système reste constante pendant latransformation ; celle-ci est donc quasistatique. Un opérateur doit déplacer très lentement lepiston. Le milieu extérieur est formé de l’atmosphère, du cylindre, du piston et de l’opérateur.

VT

pII

I

R= =

VT

pFF

F

R= =

ΔSQ

TS= +

0créée

ΔU W Q= +

ΔU C T TV= −( )F I ΔU = 0 W Q+ = 0 Q W = −

W p V V= − −( )0 F I

⇒ = −( ) − = 2,49 kJ.F IQ p V V0

ΔS CT

T

p

p

p

ppF

I

F

I

F

I

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=ln ln lnR R −−5 76, . J.K-1

S SQ

TJ K

créée 2,5 = − = −Δ

0

1.

70

Page 77: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 24 • Contact thermique

Æ L’énergie U et l’entropie S étant des fonctions d’état, leurs variations ne dépendent pas duchemin suivi entre (I) et (F)

.

Æ Déterminons le transfert thermique Q’ à l’aide du 1er principe :

La transformation étant quasistatique, la pression p du système est connue en tout point de la

transformation et telle que pext = p avec .

Le travail W reçu par le gaz s’écrit donc :

Le travail et le transfert thermique dépendent du chemin suivi entre (I) et (F).Æ Déterminons l’entropie créée lors de la transformation (2) :

La transformation est réversible, car le transfert thermique a lieu à la température du systèmeet qu’il n’y a pas d’autres causes d’irréversibilité (piston sans frottement). L’entropie créée, comme l’entropie échangée, dépend du chemin suivi entre (I) et (F).

Æ Déterminons le travail Wop fourni par l’opérateur. Le travail fourni par le milieu extérieur au système est égal à la somme du travail Watm fournipar l’atmosphère et du travail Wop fourni par l’opérateur.Le travail W′ reçu par le gaz est donc :

Or

L’opérateur reçoit du travail du gaz, car il maintient le piston afin que celui-ci se déplace len-tement.

⇒=

= − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

R

Δ

Δ

U

Sp

pF

I

0

ln

ΔU W Q= +' ' .

pT

V=

R 0

W p V TV

VT

V

VV

V

V

V F

II

F

I

F' ln ,= − = − = − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=∫ ∫d Rd

R 0 0 1 733 kJ

⇒ = − = − 1,73 kJQ W' '

S SQ

TR

p

p TRT

V

V'

'ln lncréée

F

I

F

I= − = − ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− ⎛⎝⎜

⎞Δ0 0

01

⎠⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⇒ =

,

or = F

I

I

Fcréée

p

p

V

VS ' .0

W W W W W Watm op op atm' '= + ⇒ = −

W p V V W W Watm op atm= − −( ) ⇒ = − = −0 F I 0,76 kJ.'

71

Page 78: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

25 Détentes de gaz

1. EN QUELQUES MOTS…Les détentes de Joule-Gay Lussac et de Joule-Kelvin de gaz sont des exemples de transfor-mations irréversibles, qui ne peuvent pas être approximées par une transformation réversible.La détente de Joule-Kelvin est utilisée pour liquéfier certains gaz.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…a) Détente de Joule-Gay Lussac

c Le système étudié est l’ensemble formé par le gaz et le vide ; c’est un système fermé.Il subit une transformation isochore (parois fixes et rigides) et adiabatique (parois calorifugées).

– État initial (I) : gaz parfait à TI, V1 et pI (avec ) + vide– État final (F) : gaz parfait à TF, pF et VF = V1 + V2.

c Déterminons l’état final à l’aide du premier principe appliqué au système :

.

La détente de Joule-Gay Lussac est isoénergétique : U(I) = U(F).L’énergie interne étant extensive, ΔU = ΔUgaz + ΔUvide avec ΔUvide = 0.Pour un gaz parfait, l’énergie interne ne dépend que de la température, par suite TF = TI.c L’entropie créée Scréée dans le système (gaz parfait) est donnée par :

or

Comme V1 + V2 > V1, Scréée > 0. La détente de Joule-Gay Lussac est irréversible.

Or, L’entropie créée est la même pour toutes les transformations entre l’étatinitial et l’état final. Cette transformation est donc intrinsèquement irréversible. C’est une détente dans le vide, donc il y a toujours une inhomogénéité de densité particulairedue à la discontinuité de pression ; c’est elle qui est la cause de l’irréversibilité.

b) Détente de Joule-ThomsonConsidérons l’écoulement à travers un milieu poreux d'un gaz parfait de masse molaire Mdans une conduite cylindrique horizontale rigide, calorifugée. Le régime est stationnaire. L’écoulement est suffisamment lent pour que la pression et latempérature soient homogènes à l’entrée (pe et Te) et à la sortie (ps et Ts) du milieu poreuxavec ps < pe. De plus, la vitesse d’ensemble du fluide est négligeable en tous ces points.

Un récipient à parois fixes, rigides et calorifugées est forméde deux compartiments de volumes V1 et V2. Un robinet per-met de mettre en communication les deux compartiments.Initialement (état (I)), le robinet est fermé. n moles de gaz parfaità la température TI occupent le volume V1 et le volume V2 estvide. Initialement, le robinet est ouvert ; le gaz subit une détentedans le vide et atteint l’état d’équilibre final (F).

vide

V1 V2

gaz

p V n TI I1 R=

ΔU W Q= +

- transformation isochore - transformation

⇒ =W 0aadiabatique

⇒ = } ⇒ =

QU

00Δ

S S Scréée éch= −Δ

ΔS nCT

Tn

V

Vn

V V

VVF

I

F

I

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=+⎛

⎝ln ln lnR R 1 2

1⎜⎜

⎞⎠⎟

=la transformation étant adiabatique, échS 00

1 2

1

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒ =

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

RcrééeS nV V

Vln

S Scréée = ⇒Δ

72

Page 79: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 25 • Détentes de gaz

c Appliquons le 1er principe à ce système pour la transformation entre t1 et t2 :

– Exprimons la variation d’énergie totale ΔEtot :

Le régime étant stationnaire, l’énergie interne et la masse dans le volume A2B1C1D2 sont indépen-

dantes du temps U(t1) = U(t2) et me = ms = m

c Exprimons le transfert thermique Q reçu entre t1 et t2 : Q = 0 (transformation adiabatique).c Exprimons le travail W reçu entre t1 et t2 : la conduite étant rigide, W correspond unique-

ment au travail des forces de pression liées à l’écoulement ⇒ :

À l’entrée : We est le travail de la force de pression entre t1 et t2. Cette force entraîne ledéplacement du gaz, le travail fourni au système est positif : .

À la sortie : Ws est le travail de la force de pression entre t1 et t2. Cette force s’oppose audéplacement du gaz, le travail fourni au système est négatif : .Ve et Vs sont respectivement les volumes massiques entrant et sortant.

Le 1er principe s’écrit donc : .

Utilisons l’enthalpie massique , le premier principe donne : .La détente de Joule-Thomson est isenthalpique.Le gaz étant parfait, l’enthalpie ne dépend que de la température (fiche 21) ⇒ Ts = Te. c En utilisant le même raisonnement, le second principe donne : où se et ss sont les entropies massiques respectivement entrante et sortante.

Or .

Lors d’une détente, ⇒ La détente de Joule-Thomson est irréversible. L’irréversibilité a pour cause les frottementsdu gaz dans le milieu poreux. Le second principe interdit la transformation inverse.

c Pour définir le système, nous suivrons unemasse de gaz dans son mouvement entre les ins-tants t1 et t2. À l’instant t1, cette masse de gaz esten A1B1C1D1. À l’instant t2, cette masse de gazest en A2B2C2D2. C’est un système fermé.Le système subit une transformation adiabati-que (conduite calorifugée) entre l’instant t1 etl’instant t2.

à travers A1D1 : masse entrante me, énergie interne massique entrante ue

meue : énergie interne dans le volume A1A2D2D1

U(t1) : énergie interne dans le volume A2B1C1D2

à travers B1C1 : masse sortante ms, énergie interne massique sortante us

msus : énergie interne dans le volume B1B2C2C1

U(t2) : énergie interne dans le volume A2B1C1D2

A1 A2 B1

D1 C1

B2

D2 C2

pe

Te

ps

Ts

milieu poreux

FS

FE

ΔE W Qtot

= +Δ Δ Δ Δ Δ ΔE U E U E E

tot Macro K pext= + = + +

conduite horizontale dans le champ de pesanteuur

vitesse du fluide négligeable

pext⇒ =ΔE 0

K⇒ =

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ = ( ) − ( )

ΔΔ

E 0 2 1U U t U t

U t m u te e( )1 1= + ( )U

U t t m us s( )2 2= ( ) +U

⇒ ⇒ = ( ) − ( ) = −( ) ΔU U t U t m u us e2 1

W W We s= +

FeW p V m p V me e e e e e= =

FsW p V m p V ms s s s s s= − = −

m u u m p V p V u p V u p Vs e e e s s s s s e e e−( ) = −( ) ⇔ + = +

h u pV= + h hs e=

m s s Ss e

−( ) =créée

s sC

M

T

T M

p

ps ep s

e

s

e

− = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ln lnR

(fiche 24)) Rcréée⇒ = − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Sm

M

p

ps

e

ln

p ps e= Scréée > 0

73

Page 80: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

26 Transition de phase (1)

1. EN QUELQUES MOTS…Les transitions de phase d’un corps pur sont développées au travers d’une approche descrip-tive introduisant le diagramme de Clapeyron et le diagramme pression – température.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…Le système est une masse m d’un corps pur enfermé dans un récipient muni d’un piston.

a) Différentes transitions d’un corps purc Toute partie d’un système thermodynamique, dont les variables d’états intensives sont con-

tinues est appelée phase. De plus, les phases sont supposées homogènes.c Pour les corps purs les plus simples, les phases ainsi que les différentes transitions sont

représentées ci-dessous.

c La variance d’un système, notée vint, est le nombre de variables intensives décrivant le système

D’où le nombre de variables nécessaires pour décrire un corps pur : – sous une phase : c = 1, f = 1, vint = 2 ; deux variables sont nécessaires – sous deux phases : c = 1, f = 2, vint = 1 ; une seule variable suffit– sous trois phases : c = 1, f = 3, vint = 0 ; toutes les variables sont fixées

vint : variance c : nombre de constituantsf : nombre de phases

c À pression atmosphérique p0, chauf-fons lentement de la glace (T = – 18 ˚C).En fonction du temps t, d’abord la tem-pérature croît, puis atteint un palier oùla glace fond. Puis, le système étantliquide, la température est à nouveaucroissante, jusqu’à un deuxième palieroù l’eau se vaporise. Sur un palier, deux phases du corps purcoexistent, une seule variable suffit àdéfinir un système diphasique. Il existeune relation p = f(T).

gaz

liquidesolidefusion

solidification

liquéfaction

sublimation vaporisation

condensation

v c fint = + −2

T

temps

0 °C

vapeur d'eau

eau liquide

glace

100 °C

fusion

vaporisation

74

Page 81: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 26 • Transition de phase (1)

c Pour décrire complètement un corps pur sous deux phases, il est nécessaire, en plus de latempérature, de connaître la répartition de la masse entre les deux phases, par exemple lamasse d’une des phases.

b) Diagramme pression - température c Dans le diagramme pression – température, trois courbes p = f(T) correspondent à l’équi-

libre sous deux phases :

c Un point en dehors de ces courbes, comme M, représente un seul état (TM, pM) : le corpspur est sous une seule phase.

c La courbe de vaporisation se termine en un point C appelé point critique. Le point critique du dioxyde de carbone correspond à une pression de 73,8 bar et à unetempérature de 304 K.c Pour la plupart des corps, les pentes des courbes de fusion, de vaporisation et de sublima-

tion sont positives.c Étudions le cas particulier de l’eau

→ solide-liquide : (1) appelée courbe de fusion ;→ liquide-vapeur : (2) appelée courbe de vaporisation ;→ solide-gaz : (3) appelée courbe de sublimation.c Un point sur l’une de ses courbes, comme N, cor-respond à tous les états liquide – gaz à la températureTN ayant toutes les compositions possibles en gaz. c Ces trois courbes ont un point commun Ptriappelé point triple, correspondant à l’équilibre destrois phases solide – liquide – gaz. Pour le dioxyde de carbone, la pression du point tripleest 5,17 bar = 5,17 105 Pa et sa température 216 K.

→ La courbe de fusion a une pente négative.Lorsque de la glace initialement à la pressionatmosphérique est comprimée, elle fond.→ La transformation décrite au paragraphe a)est tracée sur la figure, les points F et V corres-pondent aux deux paliers observés.

liquide

gaz

solide C

p

T

(1)

(2)

M

N

TNTM

pN

pM

(3)

Ptri

Eau Pression TempératurePoint triple 0,006 bar 273,16 K

Point critique 221 bar 647,3 K

eau liquide

vapeur d'eau

glaceC

p

T

(1)

p0

0 °C 100 °C

F VM

Ptri

75

Page 82: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 26 • Transition de phase (1)

c) Diagramme de Clapeyron de la transition liquide-gazc Le diagramme de Clapeyron représente la pression p en fonction du volume massique v.

→ T > TC : lors de la compression du gaz, la pression est toujours croissante. Le système estmonophasique dans l’état fluide.→ T = TC : lors de la compression du gaz, la pression est toujours croissante, mais présente un

point d’inflexion ( ) avec une tangente horizontale ( ) au point critique C.

La compressibilité isotherme est infinie au point critique.c Le lieu des points V est appelé courbe de rosée. Le lieu des points L est appelée courbe d’ébul-

lition, car lors de la détente du liquide, il y apparition, en L, de la première bulle de gaz. La réu-nion de ces deux courbes est appelée courbe de saturation ; celle-ci sépare la région diphasiquede la région monophasique. La courbe de saturation présente un maximum au point critique.

c Sur le palier LV, le système est diphasique à la pression psat appelée pression de vapeur satu-rante. Il est constitué de deux phases : – une phase formée de liquide saturant de volume massique vL (celui du point L) ;– une phase formée de vapeur saturante de volume massique vV (celui du point V).

La répartition de la masse entre les deux phases varie quand le point N décrit le palier de V à L.

d) Fraction massique en vapeur d’un état diphasiqueDéfinissons, au point N, la masse mL du liquide saturant de volume massique vL et la massemV de la vapeur saturante de volume massique vV. c La fraction massique en gaz est définie par :

c Les isothermes obtenues, soit par compres-sion isotherme du gaz, soit par détente iso-therme du liquide sont tracées dans cediagramme. Ces deux transformations étantquasistatiques, les différents états intermé-diaires de celles-ci peuvent être représentés. → T < TC : lors de la compression du gaz,d’abord, la pression augmente, puis devientconstante à partir du point V qui correspondà l’apparition de la première goutte deliquide. La pression reste constante de V àL, point où la dernière goutte de liquide dis-paraît. Ensuite, la pression augmente à nou-veau, le système est alors monophasique àl’état liquide.

: fraction massique en gaz (sans dimension)mV : masse de la phase gaz (kg)m : masse de corps pur (kg)

liquide

gazL V

fluide

diphasique

p

psat

C

vL vVptri

N

v vC

pC

T < CT

T > CT

T = CT

v

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =p

v T0 ∂

⎝⎜⎞

⎠⎟=

2

20

p

v T

xm

mVV=

xV

76

Page 83: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 26 • Transition de phase (1)

c Les deux phases étant disjointes, le volume V du système est la somme des volumes de cha-cune des phases :

De plus, .

Ces deux équations donnent la fraction massique en vapeur :

et la fraction massique en liquide :

À partir du diagramme de Clapeyron : ⇒ et .

Ces relations constituent le théorème des moments (ou règle du levier).

3. EN PRATIQUE…Une chaudière est constituée d’une enceinte fermée, indéformable, de volume V = 0,1 m3.Elle contient une masse m = 585 g d’eau (masse molaire M = 18 g.mol–1) à la températureT0 = 100 ˚C.La vapeur d’eau est assimilée à un gaz parfait (GP). L’eau liquide est supposée incompres-sible et indilatable de masse volumique ρ = 103 kg.m–3.La pression de vapeur saturante de l’eau à 100 ˚C est psat(100 ˚C) = 1 bar = 105 Pa.Caractérisons l’état de l’eau contenue dans la chaudière. Le système considéré est la masse m d’eau contenue dans la chaudière, correspondant à un nombre

de moles = 32,5 mol. Son volume massique est = 0,17 m3.kg–1.

→ Première méthode : cette méthode est valable dans tous les cas : tables thermodynamiques oumodèles approchés. Dans le diagramme de Clapeyron, traçons l’isotherme de l’eau à T0 = 373 K.

Il est nécessaire de connaître . Déterminons-les à partir des modèles :

c le volume massique du liquide incompressible et indilatable ;

Cette isotherme est formée de 3 parties :c celle dans la phase gaz (par exempleN1) ⇒ c celle dans la région diphasique (parexemple N2) ⇒ c celle dans la phase liquide (par exem-ple N3) ⇒

V m v m vL L V V= +m m mL V= +

xv v

v vVL

V L

=−−

x xv v

v vL VV

V L

= − =−

−1

v v v vL V L− = − =LN et LV xV = LNLV

xL = NVLV

nm

M= = 585

18v

V

m= =

−100 100 585

3.,

liquidegaz

L

Vdiphasique

p

psat

C

vL

N2

T0

vV v

N1

N3

v vV≥

v v vL V≤ ≤

v vV≥

v vL V et

vL = = − −110 3 1

ρ m kg3.

77

Page 84: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 26 • Transition de phase (1)

c le volume massique du gaz, supposé parfait :

Or le volume massique de l’eau est = 0,17 m3.kg-1 ⇒ L’eau, à la température T0 = 100 ˚C, est diphasique ; sa fraction massique en vapeur est :

et sa pression p = psat = 1 bar.

→ Seconde méthode : cette méthode est utilisée quand chaque phase est modélisée.Le système peut être dans trois états : gazeux, liquide – gaz, liquide. Examinons chacun des trois cas : c système gazeux : Sa pression est donnée par l’équation d’état du GP : .

La pression du gaz est supérieure à la pression de vapeur saturante à T0 (1 bar) : d’après lediagramme de Clapeyron (p,v), ce cas est impossible.c système diphasique liquide – gaz :Le gaz est sous forme de vapeur saturante à la pression psat(T0) = 1 bar = 105 Pa.

En négligeant le volume du liquide, le nombre de moles d’eau vapeur est :

soit nV = 3,2 mol. Ce nombre est inférieur au nombre de moles n d’eau. L’hypothèse est donccorrecte.La masse d’eau liquide est : mL = m – mV = (n – nV) M = 525 g. L’eau liquide occupe unvolume de 0,525 L qui est petit par rapport à 100 L. L’approximation faite est bien vérifiée.c système liquide :Il n’est pas nécessaire d’étudier ce cas, puisqu’un seul état est possible. Vérifions néanmoinsque ce cas est bien impossible.Si l’eau est liquide, la masse d’eau liquide est alors mL = ρV = 100 kg ; la masse de liquide estalors plus grande que la masse d’eau dans la chaudière : mL > m ; ce cas est bien impossible.L’eau à la température T0 est diphasique ; sa fraction massique en vapeur est :

.

vT

MpV = = ×

×= −R

m kgsat

305

18 31 373

0 018 101 72

,

,, .

v v v vL V≤ ≤

xv v

v v

v

vVL

V L V

=−−

= =0 171 72

0 098,,

,

pn T

V= = =

R 10 Pa bar60 10

np T V

TV =( )sat

R0

0

xm

m

n M

nMVV V= = = =3 2

32 50 098

,,

,

78

Page 85: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

27 Transition de phase (2)

1. EN QUELQUES MOTS…À partir de l’exemple de l’équilibre liquide-vapeur d’un corps pur, sont développées lesméthodes d’étude des systèmes diphasiques.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

c Fonctions d’état du système diphasique liquide-gaz → Définissons les fonctions d’état massiques, à la température T d’équilibre, pour les deuxphases en présence :

L’entropie massique varie comme le désordre, d’où sL < sV ; → Les deux phases sont disjointes et les fonctions d’état U, H, S sont extensives. Par suite, xV

étant la fraction massique en vapeur, les fonctions d’état massiques du corps pur sont donnéespar :

– énergie libre massique : ;– enthalpie massique : ;– entropie massique : .

c Chaleur latente massique LV de vaporisation d’un corps pur → Définition : c’est le transfert thermique nécessaire pour réaliser, de façon réversible à pres-sion et température constantes, la transition de l’unité de masse du corps pur de la phaseliquide à la phase gazeuse. → Conséquences : considérons le système formé de l’unité de masse du corps pur.Son état initial (I) est : système monophasique liquide à la pression p et à la température T.Son état initial (F) est : système monophasique gaz à la pression p et à la température T.La température et la pression du système étant constantes durant la transformation, celle-ciest isobare et isotherme.

Le système est une masse m d’un corps purenfermé dans un récipient muni d’un piston.

a) Équilibre liquide vapeurConsidérons une masse m d’un corps purdans un état diphasique à la température T.

Fonctions d’état Unité Liquide saturant Vapeur saturante

Énergie interne massique J.kg–1 uL uV

Enthalpie massique J.kg–1 hL hV

Entropie massique J.kg–1.K–1 sL sV

liquide gazL V

diphasique

p

psat

C

vL

N

T < CT

vVv v

u x u x uV V V L= + −( )1h x h x hV V V L= + −( )1

s x s x sV V V L= + −( )1

79

Page 86: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 27 • Transition de phase (2)

– Le premier principe donne la variation d’enthalpie Δh = Q où Q est le transfert thermi-que échangé. Par définition, Q est la chaleur latente massique de vaporisation.

Par suite, la variation d’enthalpie massique de vaporisation est : .

– L’entropie créée est nulle : Scréée = 0, car la transformation est réversible.

L’entropie échangée est , la température T étant la température de vaporisation

(Text = T). Le second principe donne la variation d’entropie massique de vaporisation :

→ Signe des chaleurs latentes de vaporisation LV et de liquéfaction LL

sV(T) > sL(T) ⇒ LV(T) > 0 et LL(T) = T (sL(T) - sV(T)) = - LV(T)

La vaporisation est une transformation endothermique, la liquéfaction une transformationexothermique.La chaleur latente de vaporisation décroît avec la température et s’annule au point critique.Pour l’eau, à T = 373 K, LV = 2 250 kJ.kg–1.c Relation de Clapeyron : elle permet d’exprimer la chaleur latente massique à une température T

c Le volume massique de la vapeur est toujours plus grand que celui du liquide. Comme Lv etT sont positives, la pente de la courbe de vaporisation est toujours positive.

b) Discussion du diagramme p–T c La chaleur latente massique de fusion à la température T est : Lf = T(sL – sS) où sS est

l’entropie massique du solide saturant à la température T.La chaleur latente massique de sublimation Ls est : Ls = T(sV – sS).Comme sS < sL < sV, Lf > 0 et Ls > 0.

Pour l’eau : Lf(273 K) = 334 kJ.kg–1 et Ls(273 K) = 2 830 kJ.kg–1.c La pente de la courbe de fusion a le même signe que (vL – vS).→ Pour la plupart des corps, vL > vS, le solide « tombe » dans le liquide. La pente de la courbede fusion est alors positive.→ Dans le cas de l’eau, la glace flotte sur l’eau liquide, donc vL < vS. La pente de la courbe defusion est alors négative.c Comme la courbe de vaporisation, la courbe de sublimation a toujours une pente positive.

LV : chaleur latente massique de vaporisation à la tempéra-

ture T (J.kg–1)T : température de vaporisation (K) vV – vL : variation de volume massique lors de vaporisation à

la température T (m3.kg–1)

: pente de la courbe de vaporisation

à la température T (Pa.K–1)

h T h T L TV L V( ) − ( ) = ( )

SQ

Téch =

s T s TL T

TV LV( ) − ( ) =

( )

L T T v vp

TV V L( ) = −( )⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

dd vap

dd vap

p

T⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

80

Page 87: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 27 • Transition de phase (2)

3. EN PRATIQUE…L’eau liquide et la glace sont supposées incompressibles et indilatables ; les capacités thermi-ques de la glace cg = 2,10 kJ.kg–1.K–1 et de l’eau liquide ce = 4,18 kJ.kg–1.K–1 sont supposéesconstantes. La vapeur d’eau est assimilée à un gaz parfait (GP) de capacité thermique molaire à volumeconstant indépendante de la température CV = 33,3 J.mol–1K–1.

La masse volumique de l’eau liquide est ρ = 103 kg.m–3 et sa masse molaire M = 18 g.mol–1.La pression de vapeur saturante de l’eau à 200 ˚C est psat(200 ˚C) = 16 bar.

La chaleur latente massique de vaporisation de l’eau, Lv = 2300 kJ.kg–1, est supposée indé-pendante de la température. c Une chaudière contenant n = 32,5 mol d’eau est constituée d’une enceinte fermée, indéfor-

mable, de volume V = 0,1 m3. Dans l’état initial (I), l’eau, à la température T0 = 100 ˚C, estdans un état diphasique, la fraction massique en vapeur xV = 0,098.

→ Représentons l’état initial dans le diagramme de Clapeyron.

Le point I représentant l’état initial est à l’abscisse v sur le palier de l’isotherme T0 = 373 K.

→ La chaudière est alors mise en contact avec un thermostat à la température Tth = 200 ˚C.Déterminons l’entropie créée lors de cette transformation.

– Le système étudié est la masse m d’eau.– La transformation subie par l’eau est monotherme (température extérieure constante) et

isochore.– Déterminons l’état final (F) : le système est à l’équilibre avec le thermostat : TF = Tth = 200 ˚C.

Pour déterminer si le système est monophasique ou diphasique, procédons par hypothèse

(fiche 26) ; supposons l’eau sous forme de gaz. Sa pression est alors : = 12,8 105 Pa.

Cette valeur étant inférieure à la pression psat(200) = 16 bar, l’hypothèse est correcte.

Dans l’état final (F), le système est monophasique : gaz à pF = 12,8 105 Pa et TF = 200 ˚C. Dans le diagramme de Clapeyron, le point F est sur l’isotherme T = 473 K à l’abscisse v.On ne peut pas représenter la transformation dans le diagramme de Clapeyron, car les étatsintermédiaires ne sont pas des états d’équilibre (transformation brutale non quasistatique).

Ce diagramme représente la pression enfonction du volume massique.La courbe d’ébullition est donnée par :

= constante : c’est une droite paral-

lèle à l’axe p.

La courbe de rosée est : , car

psat(T) = p ; cette courbe est une hyperbole.

vL = 1ρ

vT

MpV = R

gaz

diphasique

li

qu

id

ep

T0 = 373 K

v v

T = 473 K

vL vV

I

F

(bar)

1

16

A

courbe d'ébullition courbe de rosée

pn T

V= R

81

Page 88: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 27 • Transition de phase (2)

– Déterminons le transfert thermique Q échangé, en appliquant le 1er principe à l’eau :

ΔU = W + Q.

La transformation est isochore, le travail échangé est nul : W = 0.L’énergie interne étant une fonction d’état, sa variation ΔU ne dépend pas du chemin suivi.On choisit le chemin suivant de l’état (I) à l’état (F) :

La transformation 1 est réversible, isotherme et isobare sur le palier de transition de phase ; lavariation d’enthalpie de I → A est reliée à la chaleur latente massique de vaporisation Lv :

. Or H = U + pV ⇒ .

Transformations 2 et 3 : échauffement isochore du gaz (GP) :

et (fiche 20).

D’où

Le transfert thermique reçu par le système est .

Or = 10–3 m3.kg–1 et = 1,72 m3.kg–1, ainsi Q = 1,3 MJ.

– Appliquons le second principe à l’eau : où Tth est la température duthermostat.

L’entropie étant une fonction d’état, la variation d’entropie ΔS au cours de cette transfor-mation est calculée sur le même chemin que la variation d’énergie interne.

Transformation 1 : réversible, isobare et isotherme à la température T0 :

Transformations 2 et 3 : échauffement isochore du gaz :

et

Doù ; 2,92 kJ.K–1.

Par suite, l’entropie créée est = 321 kJ.K–1.

Scréée> 0 en accord avec le 2nd principe. La transformation est irréversible, le transfert thermique avec le thermostat en est la cause.

nL moles d’eau liquide saturantT0, psat(100)

eau vapeur saturanteT0, psat(100) (point A)

eau gazTF, pF

nV moles d’eau vapeur saturanteT0, psat(100)

eau gazTF, pF

1⎯ →⎯ 2

⎯ →⎯

3⎯ →⎯

ΔH n MLL v1 = ΔU n ML n Mp T v T v TL V L V L1 0 0 0= − ( ) ( ) − ( )[ ]sat

ΔU n C T TL V F2 0= −( ) ΔU n C T TV V F3 0= −( )

Δ Δ Δ ΔU U U U n ML n Mp T v T v TL V L sat V L= + + = − ( ) − ( )[ ]1 2 3 0 0 0( ) ++ −nC T TV F( )0

Q U= Δ

v TL 0( ) v TV 0( )ΔS

Q

TS= +

thcréée

ΔSn ML

TL v

10

=

ΔS n CT

TL VF

20

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ln ΔS n CT

TV VF

30

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ln

Δ Δ Δ ΔS S S Sn ML

TnC

T

TL v

VF= + + = + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟1 2 3

0 0ln ΔS =

S SQ

Tcrééeth

= −Δ

82

Page 89: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 27 • Transition de phase (2)

c Un calorimètre adiabatique de capacité thermique négligeable est en contact avec une atmos-phère à la pression atmosphérique p0. Initialement, ce calorimètre contient une masse m0 =250 g d’eau liquide et une masse m = 40 g de glace en équilibre thermique.

On chauffe lentement l’ensemble avec une résistance électrique alimentée par un courantd’intensité I0 = 0,85 A, sous une tension U0 = 220 V. La température de l’eau du calorimètreatteint la valeur TF = 28,8 ˚C au bout d’une durée d’alimentation de la résistance Δt = 260 s.Déterminons la chaleur latente de fusion de la glace Lf. → système utilisé : masse m0 d’eau liquide et masse m de glace→ État (I) : l’eau liquide et la glace étant en coexistence à la pression atmosphérique p0, latempérature du système est la température Tfus à p0, donc TI = Tfus = 0 ˚C = 273 K et pI = p0.État (F) : La masse m0 + m est liquide à la température TF = 28,8 ˚C et à la pression pF = p0.→ La transformation est adiabatique et monobare à la pression p0.→ Comme pI = pF = p0, le premier principe s’écrit : ΔH = Wautre Wautre est le travail électrique fourni au système : Wautre = U0I0 Δt.La variation d’enthalpie est calculée en utilisant le chemin suivant :

La transformation 1 est une fusion réversible isotherme et isobare : ΔH1 = m Lf .Transformations 2 et 3 : échauffement du liquide : ΔH2 = m ce(TF – TI) et ΔH3 = m0 ce(TF – TI)Par suite, ΔH = ΔH1 + ΔH2 + ΔH3 = m Lf + (m + m0) ce(TF – TI).

Le 1er principe s’écrit alors : m Lf + (m + m0) ce(TF – TI) = U0I0 Δt.

La chaleur latente de fusion à 273 K est : .

D’où : Lf = 343 kJ. kg–1 ; cette valeur est cohérente avec la valeur tabulée : Lf = 334 kJ. kg–1 .

masse m de glaceTI = Tfus, p0

eau liquide saturantTfus, p0

eau liquideTF, p0

masse m0 d’eau liquide saturantTI = Tfus, p0

eau liquideTF, p0

1⎯ →⎯

2⎯ →⎯

3⎯ →⎯

LU I t m m c T T

mfe F I=

− +( ) −( )0 0 0Δ

83

Page 90: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

28 Machines thermiques

1. EN QUELQUES MOTS…Les machines thermiques étudiées dans cette fiche sont utilisées dans de nombreuxdomaines : automobiles, centrales électriques, installations frigorifiques, pompes à chaleur…

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Les différentes machines thermiquesc Définition : Les machines thermiques dithermes fonctionnent de façon cyclique, échan-

geant du travail W avec le milieu extérieur et du transfert thermique avec deux thermostatsappelés source froide et source chaude. Le transfert thermique est QC avec une sourcechaude à la température TC et QF avec une source froide à la température TF (TC > TF).

c Application des deux principes Le système étudié est la machine.

Le premier principe appliqué à la machine donne la variation d’énergie interne lors d’uncycle : , or la transformation étant cyclique, l’état initial est identique à

l’état final, , d’où la relation : .

Le second principe appliqué à la machine donne la variation d’entropie lors d’un cycle : où (transformation cyclique), l’entropie créée et l’entropie

échangée , ce qui conduit à l’inégalité de Clausius :

L’égalité correspond à une transformation réversible.c Diagramme de RaveauUn cycle est représenté par un point dans le diagramme de Raveau QC en fonction de QF.

– La droite (1) d’équation correspond aux cycles réversibles. L’inégalité de

Clausius définit la région correspondant aux cycles possibles dans le diagramme deRaveau ⇒ la partie grisée du diagramme représente les cycles interdits par le secondprincipe.

QC : transfert thermique reçu de la source chaude (J)QF : transfert thermique reçu de la source froide (J)TF : température de la source froide (K)TC : température de la source chaude (K)

machine

W

sourcefroide

sourcechaude

TF

TC

QF

QC

ΔUΔU W Q QC F= + +

ΔU = 0 W Q QC F

+ + = 0

ΔSΔS S S= +éch créée ΔS = 0 Scréée ≥ 0

SQ

T

Q

TC

C

F

Féch = +

Q

T

Q

TC

C

F

F

+ ≤ 0

Q

T

Q

TC

C

F

F

+ = 0

84

Page 91: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 28 • Machines thermiques

– La droite (2) d’équation sépare le plan en deux zones correspondant à W < 0au-dessus de cette droite et W > 0 au-dessous.

Ces droites et les axes déterminent dans le diagramme de Raveau les zones I, II, III et IV con-duisant à deux types de machines : Æ La machine est un moteur si elle fournit du travail au milieu extérieur, par suite W < 0 ou

.Les moteurs possibles sont dans la zone I. Æ Les zones II, III et IV correspondent au fonctionnement des machines en récepteur, c’est-à-dire qu’elles reçoivent du travail du milieu extérieur, donc W > 0.

b) Moteurc La machine fournit du travail au milieu extérieur (W < 0), reçoit du transfert thermique de

la source chaude (QC > 0) et en cède à la source froide (QF < 0).

Le système étudié est la machine.c Le rendement η d’un moteur est le rapport de ce que l’on gagne (le travail fourni à l’exté-

rieur, − W) à ce que l’on dépense (le transfert thermique fourni par la source chaude, QC) :

.

Le premier principe donne : et l’inégalité de Clausius donne : car QC > 0.

Considérons la zone III : elle correspond àQC > 0, QF < 0 et W > 0 : le transfert thermi-que a lieu de la source chaude vers lasource froide, via la machine qui reçoit dutravail. Cette zone ne présente pas d’intérêtpratique, car le transfert thermique a lieuspontanément de la source chaude à lasource froide sans avoir à fournir de travail.La zone IV ne présente pas non plus d’inté-rêt pratique. Seule la zone II présente un intérêt prati-que, car QC < 0, QF > 0 et W > 0, le travailfourni permet le transfert thermique de lasource froide à la source chaude.

η : rendement : nombre sans dimension, positif et toujours inférieur à 1W : travail reçu par la machine (J) QC : transfert thermique fourni par la source chaude (J)TF : température de la source froide (K)TC : température de la source chaude (K)

Q QC F+ = 0

Q QC F+ > 0

QF

QC

I

III

IV

II

(1)

(2)

machine

W

sourcefroide

sourcechaude

TF

TC

QF

QC

η = −W

QC

η = +1Q

QF

C

Q

Q

T

TF

C

F

C

≤ −

η = − ≤ −W

Q

T

TC

F

C

1

85

Page 92: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 28 • Machines thermiques

Le rendement maximum ou rendement de Carnot correspond à une transfor-

mation cyclique réversible. Il ne dépend que des températures des deux sources. Par exemple, le rendement du moteur à combustion interne d’une automobile est de l’ordre de0,33, c’est-à-dire qu’un tiers de l’énergie fournie par le carburant est transformée en énergieutile pour déplacer le véhicule, le reste étant dissipé dans l’atmosphère qui est la source froide.

c) Récepteurs : réfrigérateur et pompe à chaleurLa machine reçoit du transfert thermique de la source froide (QF >0), en cède à la sourcechaude (QC < 0) et reçoit du travail du milieu extérieur (W > 0).

Le travail et les transferts thermiques sont algébrisés par rapport à la machine.

Dans les deux cas, l’efficacité peut être supérieure à 1. L’efficacité maximum correspond àune transformation cyclique réversible et ne dépend que des températures des deux sources.

3. EN PRATIQUE…c Une centrale nucléaire est un moteur thermique ditherme cyclique installé au bord d’unfleuve servant de source froide dont la température est TF = 20 ˚C. La source chaude est lecœur du réacteur à la température TC = 425 ˚C. La centrale fournit une puissance mécanique Pm= 1 000 MW = 109 W. Le rendement de la centrale est η = 0,34.Æ Calculons le rendement d’une machine thermique ditherme cyclique réversible fonction-nant entre ces deux sources. La transformation cyclique étant réversible, le rendement est le rendement maximum de

Carnot : ; (les températures sont en K).

La machine réelle a un rendement plus faible, ce qui est cohérent avec le second principe ; latransformation est donc irréversible.

Æ Calculons l’entropie créée par seconde par cette centrale. La puissance mécanique Pm est le travail fourni pendant l’unité de temps. Pendant l’unité de temps, la machine reçoit le travail PW = − Pm et échange les transferts ther-miques PC avec la source chaude et PF avec la source froide.

Réfrigérateur Pompe à chaleur

Système étudié source froide : intérieur du réfrigérateur source chaude, intérieur d’une maisonAutre source source chaude : atmosphère source froide : atmosphère ou sol

Efficacité

Efficacité maximum

ηmax = −1T

TF

C

machine

W

sourcefroide

sourcechaude

TF

TC

QF

QC

eQ

W

T

T TRF F

C F

= ≤−

eQ

W

T

T TPC C

C F

=−

≤−

eT

T TRF

C Fmax -

= eT

T TPC

C Fmax

=−

ηmax = −1T

TF

C

ηmax ,= − =1293698

0 58

86

Page 93: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 28 • Machines thermiques

Le second principe donne l’entropie créée par unité de temps σcréée :

Le rendement est donné par : d’où

Le premier principe donne : PC + PF − Pm= 0 d’où PF = Pm − PC = − 1 940 MW.

.

L’entropie créée par unité de temps est positive et la transformation cyclique irréversible.c Pour fabriquer, à la pression atmosphérique, une masse m = 4 kg de glace à la températurefinale Tf = 0 ˚C à partir d’eau liquide à la température initiale Ti = 0 ˚C, on utilise un réfrigéra-teur. La température du milieu extérieur est T0 = 17 ˚C.La chaleur latente massique de fusion de la glace à Ti = 0 ˚C est Lf = 336 kJ.kg–1. Déterminons le travail minimum Wmin qu’il faut fournir au réfrigérateur pour fabriquer lamasse m de glace.Æ L’intérieur du réfrigérateur est la source froide à la température TF = Tf. La source chaude est le milieu extérieur : TC = T0. La machine fonctionne en récepteur de façon cyclique entre ces deux sources.

Æ L’efficacité du réfrigérateur est : , où QF est le transfert thermique fourni par la

source froide à la machine (QF > 0) et W le travail reçu par la machine (W > 0). Or, l’efficacité

est toujours inférieure à une valeur maximale .

Par suite : ou ; il y a donc un travail minimum à fournir

pour extraire le transfert thermique QF de la source froide, correspondant à une machinefonctionnant suivant un cycle réversible. Æ Calculons le transfert thermique QF, – Le système étudié est la masse m d’eau dans le réfrigérateur. – État initial : eau liquide à la pression Patm et à la température Ti = 0 ˚C – État final : glace à la pression Patm et à la température Tf = 0 ˚C.– La transformation dans le réfrigérateur est monobare à la pression atmosphérique, le sys-

tème étant en équilibre avec l’atmosphère dans l’état initial et dans l’état final. – Le premier principe s’écrit : ΔH = Q, où ΔH est la variation d’enthalpie et Q le transfert

thermique reçu par la masse m d’eau lors de la transformation ; comme il n’y pas de travailautre que celui des forces de pression, le travail W’ est nul (fiche 21).

– L’enthalpie étant une fonction d’état, le chemin choisi pour calculer la variation d’enthalpieest la solidification réversible de l’eau liquide à 0 ˚C et à Patm :

masse m d’eau liquide à Patm et à Ti = 0˚C masse m de glace à Patm et à Tf = 0 ˚C

d’où ΔH = m Ls où Ls est la chaleur latente massique de solidification. Or Ls = – Lf où Lf est la chaleur latente massique de fusion. ⇒ Q = – m Lf . Le transfert thermique de la source froide à la machine est donc : QF = – Q = m Lf .Æ Le travail minimum nécessaire pour fabriquer la masse m de glace est :

.

σ créée + + =P

T

P

TC

C

F

F

0

η = − =P

P

P

PW

C

m

C

PP

Cm= =η

2 940 MW

σ créée MW.K-1= − − = − − − =P

T

P

TC

C

F

F

2940698

1940293

2 4,

eQ

WRF=

eT

T TRF

C Fmax -

=

Q

WeF

R≤max

WQ

eF

R

≥max

WQ

eF

Rmin =

max

WmL T T

Tf f

fmin =

−( )=0 84 kJ

87

Page 94: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

29 Conduction thermique

1. EN QUELQUES MOTS…La conduction thermique est un phénomène de transport par transfert thermique. Ses princi-pales propriétés sont décrites et comparées à celle de la conduction électrique.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Conduction thermique ou diffusion thermiquec Le système étudié est hors équilibre thermodynamique. Dans ce système, il existe des inho-

mogénéités de température qui entraînent un transfert thermique d’énergie, sans transportmacroscopique de matière : c’est la conduction thermique.Dans les fluides, la conduction thermique est très souvent masquée par la convection, quis’accompagne de mouvements macroscopiques de matière.

c Nous ne considérerons que des écarts faibles à l’état d’équilibre thermodynamique, décritspar la thermodynamique linéaire hors équilibre.

b) Conductivité thermiquec La densité de courant thermique est le transfert thermique traversant l’unité de surface

par unité de temps.

c Loi de FourierDéfinition : un déséquilibre thermique entraîne une densité de courant thermique qui tend àréduire le déséquilibre qui lui donne naissance et dont l’importance est proportionnelle à lagrandeur du déséquilibre tant que celui-ci n’est pas trop important ; la loi de Fourier de laconduction thermique s’écrit ainsi :

À une dimension, selon x, cette loi s’écrit :

– La conductivité thermique KT est positive, d’où le signe "–" dans la loi de Fourier. – La densité de courant thermique est orientée dans le sens des températures décroissantes. – Cette loi phénoménologique est linéaire et vérifie le second principe.La valeur de KT est donnée pour quelques matériaux à température et pression ambiantes :

Les métaux sont de bons conducteurs thermiques, les isolants et les gaz en sont de mauvais.

δQ : transfert thermique traversant la surface (J)dA : surface (m2) ; dt : intervalle de temps (s)

: vecteur unitaire normal à la surface

: densité de courant thermique (W.m-2)

KT : conductivité thermique (W.m–1.K–1)

: densité de courant thermique (W.m–2)T : température (K)

Matériau air eau cuivre acier verre béton laine de verre

KT (W.m−1.K−1) 0,026 0,6 390 16 1,2 0,9 0,04

jth

δQ j n A t= ⋅th

d d n

jth

dA

n

thj

j K Tth T= − grad jth

j x t KT x t

xth T,,( ) = − ∂ ( )

88

Page 95: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 29 • Conduction thermique

c) Équation de la diffusion thermique (ou équation de la chaleur)Considérons une barre métallique isotrope et homogène, de section A, de masse volumiqueρ, de capacité thermique massique c et de conductivité thermique KT, supposées indépen-dants de la température. Cette barre est calorifugée sur son pourtour. Le rayon de la barre étant petit devant sa longueur, nous utiliserons un modèle unidimension-nel dans la direction x. c Le système utilisé est une tranche de barre comprise entre x et x + d x.

c Effectuons le bilan énergétique (premier principe) dans ce système entre t et t + dt :

Æ Le solide étant incompressible et indilatable, où dT est la variation de température dans la tranche pendant la durée dt.

le travail des forces de pression est nul : δW = 0.Æ Le pourtour de la barre étant calorifugé, le transfert thermique δQ est formé de deux termes :

ce qui donne : .

La température étant uniforme dans le système, ; d’où

c Avec la loi de Fourier, cela donne l’équation de diffusion thermique :

Æ Cette équation aux dérivées partielles est linéaire du second ordre par rapport à x et dupremier ordre par rapport au temps. Par suite, si T(x,t) est solution de cette équation, T(– x,t)l’est aussi. Par contre, si T(x,t) est solution de cette équation, T(x, – t) ne l’est pas, ce qui tra-duit l’irréversibilité de l’évolution de la température dans le temps. La conduction thermique est un phénomène irréversible.Æ Pour résoudre cette équation, les conditions initiales T(x,0) et les conditions aux limitessont nécessaires. Dans un modèle unidimensionnel, les conditions aux limites sont :

L’épaisseur dx est choisie petite par rapport aux varia-tions macroscopiques suivant x, mais grande devant lestailles microscopiques. Ainsi, les variables thermody-namiques peuvent être définies dans la tranche : en x età l’instant t, on définit la température T(x,t) et l’énergieinterne U(x,t).

La transformation correspond à l’évolution de la barre entre les instants t et t + dt.

: énergie entrante à l’abscisse x pendant dt

: énergie sortante à l’abscisse x + dx pendant dt

ρ : masse volumique (kg.m–3)c : capacité thermique massique (J. kg–1.K–1)KT : conductivité thermique (W m–1 K–1) T(x,t) : température (en K) à l’abscisse x et à l’instant t

Condition aux limites Expression Surface en contact avec un thermostat à T0 Température de la surface T0

Surface calorifugée Densité de courant thermique nulle en tout point de la surface calorifugée

Contact entre deux matériaux Egalité de la densité de courant thermique et égalité des températures à l’interface

jth(x,t)

jth(x+dx,t)

x x+dx

U x t t U x t U x t W Q, , ,+( ) − ( ) = ( ) = +d d δ δ

d d dU x t A xc T,( ) = ρ

δ δ δQ Q Qe s= −δQ j x t A te th= ( ), d

δQ j x x t A ts th= +( )d d,

ρA xc dT j x t j x x t A td d dth th= ( ) − +( )( ), ,

d dTT

tt= ∂

∂ρc

T x t

t

j x t

x

∂ ( )∂

= −∂ ( )

∂, ,th

j x t KT x t

xTth , -,( ) = ∂ ( )

ρcT x t

tK

T x t

xT

∂ ( )∂

= ∂ ( )∂

, ,2

2

89

Page 96: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 29 • Conduction thermique

d) Régime permanent dans un système unidimensionnel : barreEn régime permanent, la température et la densité de courant thermique ne dépendent pasdu temps. Par suite, la solution recherchée de l’équation est de la forme : T(x).

Æ L’équation de la diffusion thermique devient : ; en intégrant ⇒

⇒ où B et D sont des constantes.Le gradient de température est constant en régime permanent.Æ À partir de la loi de Fourier, la densité de courant thermique est : .La densité de courant thermique est la même en tout point de la barre.

Introduisons le temps τd de diffusion thermique et utilisons les variables sans dimension x’ et

t’ telles que et . L’équation de diffusion devient .

Quand les deux dérivées partielles sont du même ordre de grandeur, cela donne τd :

où DT est la diffusivité thermique donnée par : (unité m2.s–1).

Pour une barre en aluminium de longueur 1 m avec c = 0,90 kJ.K-1.kg-1, ρ = 2,4.103 kg.m-3, KT = 200 W.m-1.K-1 : DT = 2,1 10-4 m2.s-1 ⇒ τd = 4 800 s = 1,33 h.Cela donne une idée du temps nécessaire pour atteindre l’équilibre thermique (quelques td).

3. EN PRATIQUE…c Considérons un récipient de forme cubique en polystyrène, muni d’un couvercle également

en polystyrène, de conductivité thermique KT = 0,01 W m-1 K-1. Le contenu du récipient està la pression atmosphérique p0. La température extérieure est Text = 313 K.

Initialement, le récipient contient un mélange eau – glace, la masse de glace étant m = 1 kg. Chaque face du récipient a une épaisseur e = 1 cm et une surface A = 200 cm2.

Barre calorifugée en régime permanent

Mise en contact de la barre avec

un thermostat à T0 en x = 0deux thermostats, un à T1 en x = 0 et

l’autre à T2 en x = L (T 1 > T 2)

Température

avec les conditions aux limites

T(0) = T 0 et jth(L) = 0⇒ D = T 0 et B = 0

⇔ T (x) = T 0

Température uniforme : c’est un état d’équilibre

thermodynamique

T(0) = T 1 et T (L) = T2

⇒ D = T1 et

gradient de température constant

Densité de courant thermique

jth(x) = 0nulle en tout point de la barre

d

d

2

20

T

x= d

dT

xB=

T x Bx D( ) = +

j x KT

xK BT Tth

dd

( ) = − = −

T0 barre

0 xL

barre

0x

L

T1 T2

T x Bx D( ) = + BT T

L=

−2 1

T xT T

Lx T( ) =

−+2 1

1

j x KT T

LTth ( ) = −−2 1

x Lx= ' t t= τd ' ρcT

tK

T

L xdT

∂∂

= ∂

∂τ ' '

2

2 2

τdT T

cL

K

L

D= =ρ 2 2

DK

cTT=

ρ

90

Page 97: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 29 • Conduction thermique

Æ Déterminons la puissance thermique Pth reçue par le mélange eau – glace en régime permanent.

Æ Déterminons le temps τ au bout duquel toute la glace aura fondu. La chaleur latente massi-que de fusion de la glace à 0 ˚C est Lf = 335 kJ kg-1.– Système utilisé : masse m de glace ;– État initial : masse m de glace TI = 273 K, pI = p0 ; – État final : masse m d’eau liquide TF = 273 K, pF = p0 ;

– Transformation : monobare à p0.Appliquons le premier principe à ce système. Comme pI = pF = p0, ΔH = Q, où Q est le transfertthermique reçu par la glace pendant le temps t, soit Q = Pthτ.

Or ΔH = m Lf (fiche 27) ⇒ .

Ces emballages sont utilisés pour le transport de crèmes glacées (contenant beaucoup d’eau).c Considérons une baie vitrée en régime permanent. Deux types de baie sont étudiés : Æ Un simple vitrage est constitué d’une vitre d’épaisseur d = 3 mm et de conductivité thermi-que KV = 1,0 W.m-1.K-1. La température extérieure est Text = – 29 ˚C et la température intérieure Tint = 19 ˚C. Déterminons la puissance thermique cédée à l’extérieur par unité de surface. La puissance thermique surfacique est la densité de courant thermique :

.

Æ Un double vitrage est constitué de deux vitres identiques à la vitre précédente séparées parune couche d’air d’épaisseur D = 7,5 cm, de conductivité thermique Kair= 0,026 W.m-1.K-1. Déterminons la puissance thermique jth cédée à l’extérieur par unité de surface. Les conditions aux limites sont : la température est T1 à l’interface verre-air et T2 à l’interfaceair-verre. La densité de courant thermique est identique dans les deux vitres et l’air :

Or

⇒ .

Ce double vitrage permet de diviser par 103 la puissance thermique cédée à l’extérieur.

Le mélange eau – glace, à la pression atmosphérique, est à Tint = 273 K. À travers la paroi en polystyrène, il y a une densité de courant thermique :

, d’où ,

car le cube a 6 faces. Par suite, Pth = 4,8 W.

jth

TintTextj K

T T

eTthext= −

− int P j A AKT T

eTth thext= = −

−x int6 6

τ = = ⋅ =mL

Ps

f

thh1 4 10 3 94, ,

j KT T

dVthext -2kW.m= −

−=int 16

j KT T

KT T

KT T

Vth air vext

d D d= −

−=

−=

−1 2 1 2int

T T = jd

KT j

D

KT T = j

Vint 1

airext

et − − = −1 2 2th th th

; Tdd

KV

T T T T T T T Tint int

− = −( ) + −( ) + −( )ext ext1 1 2 2

jT T

d

K

D

KV

thext

air

W m=−

+= −int .

217 2

jth

Tint T2 Text

d dD

T1

verre air verre

x

91

Page 98: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

30 La mécanique des fluides

1. EN QUELQUES MOTS…Le modèle continu permettant de décrire les fluides est développé, ainsi que les différentesreprésentations.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Définition d’un fluidec Définition macroscopique : un fluide ne peut résister à une force de cisaillement (effort tangen-

tiel), aussi faible soit-elle, sans subir un mouvement, à condition qu’elle agisse suffisammentlongtemps. Le fluide n’a pas de forme propre. Exemple : liquide, gaz.

c Différence solide-fluide : sous l’effet d’un cisaillement, un solide subit une déformation finie(ou casse). Un fluide au repos ne peut supporter un effort tangentiel, il se met en mouvement.

c Différence liquide-gaz : le gaz n’a pas de volume propre (il occupe tout le volume offert).

b) Modèle continu du fluidec Trois échelles de longueur sont définies :

– L1 microscopique : typiquement la distance moyenne parcourue entre deux chocs successifs.– L2 mésoscopique : dans le volume L2

3, il y a suffisamment de particules pour que l’équilibrethermodynamique soit atteint, on peut donc définir les grandeurs locales qui sont cons-tantes dans ce volume.

– L3 macroscopique : échelle sur laquelle les grandeurs locales varient.Le modèle continu du fluide s’applique si L1 << L2 << L3 . c Dans le modèle continu, le fluide est constitué de particules fluides qui sont, par définition,

de taille L2. L’échelle L2 est assimilée aux grandeurs infinitésimales. Pour un fluide contenu dans un récipient de taille 10 cm, L2 est de l’ordre du µm. Dans l’étudedes phénomènes atmosphériques, L2 est de l’ordre du m, voir du km dans la haute atmosphère.On fait, de plus, l’hypothèse d’individualité de la particule fluide par rapport aux particulesvoisines : entre les instants t et t + dt, les molécules contenues dans l’enveloppe imaginaire fer-mée qui limite la particule fluide sont toujours les mêmes. En fait, il y a des échanges, mais lazone d’échange entre particules fluides est typiquement de l’ordre de L1.C’est un modèle plausible ; il n’est justifié que par les prédictions qu’il permet d’obtenir.

c) Grandeurs localesc Les grandeurs locales sont définies à l’échelle de L2 en un point et à l’instant t.c Dans le cadre du modèle continu, toutes les grandeurs utilisées sont des grandeurs intensives

(fiche 17). Les densités locales volumiques sont associées aux variables extensives correspon-dantes, par exemple à la masse est associée la masse volumique ρ.

c La vitesse de la particule fluide est la vitesse moyenne de l’ensemble des molécules conte-nues dans la particule fluide, c’est donc la vitesse d’ensemble de la particule fluide.

d) Représentations c Représentation lagrangienne Dans un référentiel donné, le mouvement individuel de chaque particule fluide est étudiédans le temps, ce qui définit la trajectoire de la particule fluide. Pour la visualiser, une gouttede colorant est déposée dans le fluide et une photo est prise pendant un temps long.

r

v

92

Page 99: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 30 • La mécanique des fluides

Le mouvement du fluide est décrit par l’ensemble des trajectoires de chacune de ses particules.Ceci nécessite de connaître la position et la vitesse de chaque particule fluide à l’instant t = 0.c Représentation eulérienne : c’est la représentation utilisée en mécanique des fluides.Dans un référentiel donné, le fluide est à chaque instant considéré dans son ensemble. Enchaque point de l’espace, l’évolution des grandeurs locales au cours du temps est étudiée.Les coordonnées d’espace et le temps sont donc des variables indépendantes. Cette représentation est une théorie de champ.Le système est donc défini par des champs : le champ de pression , le champ de tempé-rature , le champ de masse volumique , le champ de vitesse .À l’instant t, les lignes de courant sont, par définition, les lignes de champ de vitesse. Pour lesvisualiser, un nombre suffisant de gouttes de colorant est déposé dans le fluide et une photoest prise pendant un temps de pause très bref.Le long d’une ligne de courant, toutes les particules fluides sont différentes. Les lignes decourant changent à chaque instant et sont différentes des trajectoires dans le cas général.Lorsque l’écoulement est stationnaire (dans un référentiel donné), toutes les grandeurs nedépendent pas explicitement du temps. Par suite les lignes de courant sont les mêmes à tousles instants. Les lignes de courant et les trajectoires définissent le même réseau de courbes.

e) Forces appliquées à une particule fluidec Forces volumiques : ce sont des forces à longue portée, proportionnelles au volume de la

particule fluide, par exemple la gravité. c Forces surfaciques : ce sont des forces de contact liées à l’interaction au niveau des surfaces

limitant les particules fluides ; elles sont proportionnelles à un élément de surface de la par-ticule fluide. Par exemple, les forces normales sont les forces de pression, les forces tangen-tielles sont liées aux phénomènes de frottement (viscosité) dans le fluide.

c Les forces d’interaction à moyenne portée telles que les forces d’attraction newtonienneentre particules fluides sont négligées.

f) Dérivée particulaire en représentation eulérienneLes lois de la mécanique ou de la thermodynamique s’appliquent à des systèmes fermés. Enmécanique des fluides, le système utilisé est une particule fluide. En représentation eulérienne, à l’instant t et à un instant t + dt, il y a deux particules fluidesdifférentes au point M. Il est donc nécessaire de suivre dans son mouvement la particulefluide située au point M à l’instant t. Cela conduit à l’introduction de la dérivée particulaire,définie, pour une grandeur scalaire , par :

3. EN PRATIQUE… Déterminons le champ d’accélération en représentation eulérienne

La dérivée particulaire pour chaque composante de la vitesse donne les composantes

du champ d’accélération qui s’écrit : .

: dérivée temporelle liée au caractère non permanent de p

: dérivée convective liée au caractère non uniforme de p

r

p r t( , )T r t( , ) ρ ( , )r t v r t( , )

p r t,( )

DD

gradp

t tv p= ∂

∂+ ⋅⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

∂∂p

t

v p⋅( )grad

a r t( , )

v r t( , )

a r tv

t tv v( , ) = = ∂

∂+ ⋅⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

DD

grad

93

Page 100: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

31 Statique des fluides

1. EN QUELQUES MOTS...La statique des fluides est l’étude des fluides au repos sous l’effet de forces extérieures. Parmises applications, citons le baromètre, le densitomètre, l’écluse, le siphon, la presse hydraulique.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR… Considérons un fluide au repos dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le fluide estétudié en représentation eulérienne. Le champ de vitesse est nul en tout point.

a) Bilan des forces de pression sur une particule fluide cubique Considérons une particule fluide cubique au point (x, y, z) de volume . Le fluide étantau repos, seules les forces surfaciques dues à la pression agissent sur la particule fluide.

Æ Suivant l’axe Oy : en utilisant les faces d’ordonnée y et y+ dy, d’aire , on obtient :

.

Æ Suivant l’axe Oz : de même, .

En effectuant un développement limité, .

La résultante de la force de pression est : .

Comme est le volume de la particule fluide, la résultante des forces de pression

sur la particule fluide est équivalente à une force volumique : .

Les forces de pression sont normalesaux six faces et dirigées vers l’intérieurdu cube. Leur résultante est :

.

Æ Suivant l’axe Ox : comporte deux termes : la force de pression normale à la face à l’abscisse x et la force de pression normale à la face à l’abscisse x + dx, l’aire de ces deux faces étant identique et égale à dy dz,

.

d d dx y z

M

z

yO

x

d d d dF F i F j F kx y z= + +

dFx

d d d dF p x y z p x x y z y zx = ( ) − +( )( ), , , ,

d dx z

d d d dF p x y z p x y y z x zy = ( ) − +( )( ), , , ,

d d d dF p x y z p x y z z x yz = ( ) − +( )( ), , , ,

p x x y z p x y zp

xx+( ) − ( ) = ∂

∂d d, , , ,

d d d dFp

xi

p

yj

p

xk x y z= − ∂

∂+ ∂

∂+ ∂

∂⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

d d d dx y z = V

d grad dF p= − V

94

Page 101: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 31 • Statique des fluides

b) Relation fondamentale de la statique des fluidesLe fluide est soumis en chacun de ses points M à des forces volumiques .La particule fluide au point M, de volume dV, est soumise :c à la résultante des forces de pression donnée par : ;

c aux forces volumiques : où est la densité volumique de forces.

Le système étant au repos, , d’où la relation :

c) Statique des fluides dans le champ de pesanteur

La densité volumique de forces de pesanteur est donnée par : , ρ étant la masse volu-

mique et l’accélération de la pesanteur ; d’où .

L’axe étant vertical et orienté vers les altitudes croissantes, on a : .

En projetant sur les 3 axes, cela donne : ⇒ la pression p est

indépendante de x et de y ; elle ne dépend que de z : . Il en est de même pour ρ : .

Æ Si la pression est connue en un point du fluide, elle est alors définie en tout point.Æ Si dz > 0, alors dp < 0 ; la pression diminue quand l’altitude augmente.Æ Au sein d’un fluide au repos, les isobares (surface d’égale pression) sont des plans horizontaux.

d) Statique des fluides incompressibles homogènes dans le champ de pesanteurConsidérons un fluide incompressible (liquide) à la température T0 constante. La masse volumique ρ est alors une constante ρ0. Connaissant à l’altitude z = 0, la pression p(0) = p0, l’intégration donne : .Æ La pression augmente avec la profondeur. Ainsi, dans l’eau (ρ = 1 000 kg.m-3), pour une

profondeur de 10 m (z = – 10 m), la différence de pression est : .Æ La surface libre d’un liquide est horizontale (expérience des vases communicants).Æ Les différences de pression peuvent être mesurées par des hauteurs équivalentes de liquide.Æ Théorème de Pascal : Si une variation de pression est appliquée en un point du liquide, ellese transmet intégralement à tous les points du liquide. Æ L’interface entre deux liquides de masses volumiques différentes est horizontal. La pres-sion est continue à l’interface des deux liquides.

p(M) : pression au point M (Pa)

: densité volumique de forces au point M (N.m-3)

: pression à l’altitude z (Pa)

: masse volumique à l’altitude z (kg.m–3)

g : accélération de la pesanteur (m.s–2)

FV M( )

d grad dF M p M( ) = − ( ) V

d M M dF fV V( ) = ( ) V fV M( )d M d MF FV( ) + ( ) = 0

grad M Mp fV( ) = ( )fV M( )

f gV = ρ

g grad p g= ρOz g gk= −

∂∂

= ∂∂

= ∂∂

= −p

x

p

y

p

zg0 0 ; ; ρ

p z( ) ρ z( )

d dp z z g z( ) ( )= −ρ

p z( )ρ z( )

p z p gz( ) = −0 ρ

p z p( ) − ≅0510 Pa

95

Page 102: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 31 • Statique des fluides

e) Poussée d’Archimède Considérons un volume V à l’intérieur d’un fluide au repos dans le champ de pesanteur. Æ Le volume V est occupé par du fluide (cas (a) et (b), surface en rouge).Les forces agissant sur ce volume V de fluide sont :– son poids appliqué au centre de gravité C– les forces de pression exercées par le fluide extérieur dont la résultante est ; celle-ci estnon nulle car la pression n’est pas uniforme dans le fluide.

À l’équilibre, les deux forces se compensent : . Le point d’application de la résultante

est au centre C de gravité du volume de liquide. Æ Le volume V est occupé par un solide (solide grisé en (c)).Les forces de pression exercées par le fluide sur le solide sont identiques à celles s’exerçantquand le volume est rempli de fluide. Leur résultante est appliquée au point C, appelé centre de poussée. Celui-ci est en généraldifférent du centre de gravité G du solide.Le fluide occupant le volume du corps est appelé fluide déplacé.

Théorème d’Archimède : Les forces de pression exercées par un fluide au repos dans lechamp de pesanteur sur un corps immergé en son sein ont une résultante appelée pousséed’Archimède , opposée au poids du fluide déplacé et appliquée au centre de poussée C quiest le centre de gravité du fluide déplacé.

: poussée d’Archimède appliquée au centre de poussée C (N)ρf : masse volumique du fluide déplacé (kg.m–3)g : accélération de la pesanteur (m.s–2)V : volume du corps immergé (m3)

: vecteur unitaire suivant l’axe vertical ascendant

(a)

C C

(b)

Π = −P

Π

Π

(c)

CG

Π

Π = ρf gV k

Π

k Oz

96

Page 103: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 31 • Statique des fluides

3. EN PRATIQUE…Données : accélération de la pesanteur : g = 9,8 m.s–2 ; Constante des gaz parfaits : R = 8,31 J.mol–1.K–1 ; masse molaire de l'air : Mair = 29 g.mol–1.Les gaz utilisés sont parfaits (GP). Les liquides utilisés sont homogènes et incompressibles ; Masse volumique de l’eau ρeau = 103 kg.m–3.

Les liquides étant incompressibles, la relation fondamentale de la statique des fluides donnepour le mercure entre A et B : et pour l’eau entre D et C :

avec la hauteur d’eau : = 80 cm.

⇒ ⇔ = 5,9 cm.

Les surfaces libres des trois récipients se trouvent dans le même plan horizontal ; par suite lespressions aux points A1, A2 et A3 sont identiques et égales à p0. Les trois points B1, B2 et B3

sont dans le même plan horizontal à la pression , l’eau étant incompressible.

La force de pression exercée par le fond du récipient sur le fluide est verticale, dirigée versl’intérieur de l’eau et de module F = pA ; cette force est identique dans les trois cas et nedépend pas de la forme du récipient.

c Considérons un tube en U ouvert à ses deux extrémités,et placé dans l’atmosphère à la pression atmosphérique p0.Ce tube est vertical et placé dans le champ de pesanteur .Sa section est s = 1 cm2. Le tube contient du mercure demasse volumique ρHg = 1,36 104 kg.m–3. Dans la branche dedroite, on verse un volume d’eau V = 80 cm3.Déterminons la dénivellation h entre la surface libre dumercure et l’interface eau-mercure.La continuité de la pression à l’interface mercure-air eteau-air donne : pA = pD = p0. Dans le champ de pesanteur,les isobares sont les plans horizontaux ⇔ pB = pC.

c Considérons trois récipients cylindri-ques, dont le fond a la même aire A,posés sur une table horizontale dansl’atmosphère à la pression atmosphéri-que p0. Ils sont remplis, tous les trois,d’eau jusqu’à la même hauteur h.Déterminons la force de pression exercéepar le fond du récipient sur le fluide dansles 3 cas.

g

mercure

eauA

B C

D

h

z

p p ghB Hg= +0 ρ

p p gHC eau eau= +0 ρ HV

seau =

ρ ρHg eau eaugh gH= h H=ρρeau

Hgeau

1 2 3

h

A2

B2B1 B3

A1 A3

z

p p gh= +0 ρeau

97

Page 104: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 31 • Statique des fluides

c Supposons l’atmosphère isotherme. La température de l'air, assimilé à un gaz parfait, estuniforme et égale T0 = 293 K. Au niveau du sol (z = 0), la pression est p0 = 1013 hPa. On sup-

posera l'accélération de la pesanteur g constante. L’axe est vertical ascendant.Établissons la loi de variation de la pression p en fonction de l'altitude z. Dans le champ de pesanteur, la pression p et la masse volumique r ne dépendent que de z. Utilisons la relation fondamentale de la statique des fluides : À une altitude z, p et sont reliées par l’équation d’état du gaz parfait :

pour une mole : pVm = RT0, où Vm est le volume molaire. Comme ,

Doù : ; en intégrant et en utilisant p(0) = p0 , ,

où est la hauteur caractéristique de l’atmosphère isotherme : H = 8,5 km.

Il est raisonnable de considérer uniforme la pression de l’atmosphère dans une pièce, ainsique la pression d’un gaz dans un récipient de l’ordre de quelques m3.

Déterminons si le ballon-sonde décolle lorsqu’on lâche les amarres.Le système est le ballon-sonde et le matériel. Les forces s’appliquant sur le système sont :

– Son poids : où est la masse d’hélium contenue dans l’enveloppe.

– La poussée d’Archimède : où est la masse de l’air déplacé.

La résultante des forces sur le ballon-sonde est : .

Pour que le ballon décolle, la résultante doit être ascensionnelle ⇒

Au sol : et (hélium et air GP)

⇒ Le ballon décolle lorsqu’on lâche les amarres.

c Un ballon-sonde est constitué d'une enve-loppe souple fermée et d’une nacelle contenantle matériel d’observation. La masse de l’enve-loppe et du matériel embarqué est M = 250 kg.Le ballon-sonde est amarré au sol. L’enveloppe estremplie d'hélium à la température T0 = 290 K et à

la pression p0 = 105 Pa (température et pression au

niveau du sol). Son volume est V = 300 m3. Les volumes de l’enveloppe et du matériel sontnégligés.La masse molaire de l’hélium est MHe = 4 g.mol–1.

Oz

d dp z z g z( ) ( )= −ρρ

VM

m =ρ

ρ = M

Tp

R 0

dR

dp

p

Mg

Tz= −

0

p z p e p e

Mgz

Tz

H( ) = =− −

0 00R

HT

Mg=

R 0

matériel

ballon d'hélium

solmatériel

z

P M V g kHe= − +( )ρ ρHeV

Π = ρairVg k ρairV

R P V M g kair He= + = −( ) −⎡⎣ ⎤⎦Π ρ ρ

ρ ρair He V M−( ) − > 0

ρHe

M p

T= = −He 3

R 0,166 kg.m0

0

ρairair

R 1,203 kg.m= = −M p

T0

0

3

ρ ρair He kg−( ) − = >V M 61 1 0, .

98

Page 105: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

32 Écoulement parfait

1. EN QUELQUES MOTS…Dans les écoulements parfaits, les phénomènes dissipatifs sont négligés. Ces écoulementsvérifient l’équation d’Euler. Celle-ci conduit, dans certains cas, à une équation de conserva-tion (relation de Bernoulli) permettant de nombreuses applications.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…Considérons un écoulement fluide dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Cet écoule-ment est décrit en représentation eulérienne.

a) Bilan de la massec La densité de courant massique est la masse traversant l’unité de surface par unité de temps.

Considérons une surface dS fixe dans le référentiel terrestre, centrée sur le point M.

La densité de courant massique, au point M, à l’instant t, est :

.

c Débit massiqueLe débit massique Dm à travers une surface S est la masse traversant cette surface par unitéde temps. Il s’exprime en kg.s–1.En sommant les débits massiques élémentaires sur la surface S, ledébit massique Dm à travers une surface S est donné par :

.

δm : masse traversant la surface (kg)dS : surface (m2) ; δt : intervalle de temps (s)

: vecteur unitaire normal à la surface : densité de courant massique (kg.s–1.m–2)

La masse δm traversant la surface dS pendant le temps dt estla masse des particules fluides occupant, à l’instant t, le cylin-dre de base dS et de génératrice parallèle à la vitesse

; la longueur du cylindre est . En introdui-

sant la masse volumique :

.

jm

δ δm j ndS tm= ⋅ njm

dS

n 1

mj

dS

M

génératrice

v tM,( ) v t tM,( )δρ M, t( )

δ ρ δm t v t n S t= ( ) ( ) ⋅M M d , ,

j M t t v tm , , ,( ) = ( ) ( )ρ M M

d M M dD t v t n Sm = ( ) ( )ρ , , .

D t v t n Sm = ( ) ( )∫∫ρ M M d, , .S

99

Page 106: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 32 • Écoulement parfait

c Bilan de masse en représentation eulérienne

Æ Forme intégrale de la conservation de la masseDans le volume V, considérons un volume fixe dτ autour du point M. Dans ce volume dτ, lamasse contenue, à l’instant t, est ; par suite, la variation de masse, entre lesinstants t et t + δt, dans dτ, est :

.

Le fluide s’écoulant au cours du temps, de la masse entre et sort du volume V fixe. Entre lesinstants t et t + δt, la somme de la variation de la masse dans le volume V et de la masse sor-tant à travers la surface S est nulle :

.

Æ Équation locale de la conservation de la masseEn divisant par δt et en utilisant le théorème d’Ostrogradski (Annexe B) :

.

Cette relation est vérifiée pour tout volume V ; d’où :

b) DéfinitionsÆ Un écoulement parfait est un écoulement où les phénomènes dissipatifs sont négligeables : c Absence de frottements liés à la viscosité : les seules forces surfaciques sont les forces pressantes c Absence de transfert thermique d’un point à l’autre du fluide.Æ Un écoulement est permanent ou stationnaire si les champs qui le décrivent ne dépendentpas explicitement du temps.

c) Équation d’Euler décrivant un écoulement parfait Æ Soit un écoulement parfait dans le champ de pesanteur. Considérons le système formé par une particule fluide de volume dτ ; sa masse est . Ce système est soumis aux forces extérieures suivantes :c forces de pression sur sa surface, forces équivalentes à la force volumique (fiche 30) ;c force volumique de pesanteur .La relation fondamentale de la dynamique donne : .

En utilisant l’expression de la dérivée particulaire, on obtient l’équation d’Euler :

. Cette équation est non linéaire.

Considérons un volume V fixe dans le référentiel terrestre,limité par une surface S fermée. Par convention, la nor-male est orientée vers l’extérieur. Dans l’écoulement, il n’ya aucune source de masse.

volume V

surface S

n

d M dm t t( ) = ( )ρ , τ

d d M M dM

dm t t m t t t tt

t+( ) − ( ) = +( ) − ( )( ) = ∂ ( )

∂δ ρ δ ρ, ,

,τ ρ τ δδt

∂ ( )∂

+ ( ) ( )∫∫∫ ρ δ ρ δMd M M d

volume su

,, , .

t

tt t v t n S t

V

τrrface S∫∫ = 0

∂ ( )∂

+ ( ) ( )( )⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =∫∫∫ ρ ρM

div M M dvolume

,, ,

t

tt v t

V

τ 00

∂ ( )∂

+ ( ) ( )( ) =ρ ρMdiv M M

,, ,

t

tt v t 0

ρ τd

−grad dp τρg dτ

ρ τ ρ τ τdDD

d grad dv

tg p= −

ρ ρ∂∂

+ ( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= −v

tv v g p.grad grad

100

Page 107: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 32 • Écoulement parfait

Æ L’équation d’Euler couple les variables locales de vitesse , de pression et demasse volumique . Ce sont donc 5 variables scalaires qui décrivent l’écoulement parfait.Il est donc nécessaire d’avoir 5 équations pour résoudre le problème. L’équation d’Euler, quiest vectorielle, en fournit trois ; l’équation locale de conservation de la masse en fournit une.Une équation supplémentaire décrivant les propriétés du fluide est nécessaire, par exemple,si le fluide est incompressible et homogène, la masse volumique est alors constante et connue.

d) Relation de Bernoulli Considérons un écoulement parfait permanent d’un fluide incompressible homogène (ρ = ρ0).

L’écoulement étant permanent, il n’y a pas de dépendance explicite en temps : .

L’équation d’Euler s’écrit :

en utilisant .

Considérons une ligne de courant (L). Elle ne varie pas au cours du temps, car l’écoulement estpermanent. Intégrons l’équation d’Euler entre deux points A et B de cette ligne de courant. Soit l’élément de ligne de courant en M :

De plus, la force de pesanteur dérive d’un potentiel, V = ρ0gz ( orienté suivant la verticale

ascendante) ; par suite . ρ0 étant constante, l’expression devient :

⇔ .

C’est la relation de Bernoulli qui exprime la conservation de l’énergie massique le long d’uneligne de courant.

.

Comme est parallèle à la vitesse, .

A et B étant deux points d’uneligne de courant,

v : vitesse (m.s–1)g : accélération de la pesanteur (m.s–2)z : altitude (m)p : pression (Pa)r0 : masse volumique du fluide incompressible (kg.m–3)

v tM,( ) p M, t( )ρ M, t( )

∂∂

=v

t0

grad rotgradv

v v gp2

02

⎝⎜⎞

⎠⎟+ ∧ = −

ρv v

vv.grad grad rot( ) =

⎝⎜⎞

⎠⎟+ ∧

2

2vv

dl

grad rot dv

v v l g2

2

⎝⎜⎞

⎠⎟+ ∧

⎝⎜⎞

⎠⎟⋅ =∫A

B−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅∫ gradd

pl

ρ0A

B

dl rot dv v l∧( ) ⋅ = 0 A

B

Mv(M)dl

Oz

g gz= − ( )grad

grad dv

gzp

lA

B 2

020+ +

⎝⎜⎞

⎠⎟⋅ =∫ ρ

vgz

p2

020+ +

⎣⎢

⎦⎥ =

ρA

B

vgz

p vgz

pAA

A BB

B2

0

2

02 2+ + = + +

ρ ρ

101

Page 108: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 32 • Écoulement parfait

3. EN PRATIQUE…c Considérons un écoulement parfait dans un milieu unidimensionnel suivant x. Il est défini

par les champs de vitesse v(x,t), de pression p(x,t) et de masse volumique ρ(x,t).Supposons que ces grandeurs s’écartent peu de celles du fluide au repos. À l’équilibre, lapression est p0 et la masse volumique ρ0. Les forces de pesanteur seront négligées.Æ Déterminons l’équation d’Euler au premier ordre par rapport aux perturbations.Les champs peuvent alors s’écrire : , avec lesécarts , et la vitesse v(x,t) faible devant la vitesse caractéristiquedans le fluide (vitesse du son, fiche 61).

L’équation d’Euler à une dimension est :

⇒ en introduisant les écarts : .

Conservons uniquement le premier ordre en , ou ou v(x,t) pour chaque terme.

Les termes et sont du second ordre, par suite

; l’équation obtenue est linéaire.

c Considérons une pompe refoulante placée dans une nappe d’eau souterraine. Elle fonc-tionne en régime permanent. Le débit volumique de la pompe est D = 80 m3.h–1. La pressionau niveau de la pompe dans l’eau est pA= 20 atm. L’eau est refoulée dans un bassin à la pres-sion atmosphérique p0 = 1 atm = 105 Pa ; celui-ci se trouve à une hauteur h au-dessus duniveau de la nappe d’eau.

L’eau est incompressible et a une masse volumique r0 = 103 kg.m–3. Le rayon r de la canalisation refoulant l’eau est constant (r = 5 cm).L’écoulement est parfait et supposé unidimensionnel suivantl’axe de la canalisation. La vitesse est supposée la même en toutpoint d’une section droite normale à l’axe.

Æ Déterminons la vitesse vB de l’eau en sortie de la canalisation.L’écoulement étant permanent, le débit massique est constant. En sortie : , or

Par suite, est suivant ; vB = 2,83 m s–1.

ρ ρ δx t x t, ,( ) = + ( )0 ρ p x t p p x t, ,( ) = + ( )0 δδ ,p x t p( ) << 0 δρ , ρx t( ) << 0

ρ x tv x t

tv x t

v x t

t

p x t,

,,

, ,( ) ∂ ( )∂

+ ( ) ∂ ( )∂

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= − ∂ ( )∂xx

ρ δρ0 + ( )( ) ∂ ( )∂

+ ( ) ∂ ( )∂

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= −∂

x tv x t

tv x t

v x t

t

p,

,,

, 00 + ( )( )∂δp x t

x

,

δ ,p x t( ) δρ ,x t( )

δρ , ,x t

v x t

t( ) ∂ ( )

∂v x t

v x t

t,

,( ) ∂ ( )∂

ρ δ0

∂ ( )∂

= − ∂ ( )∂

v x t

t

p x t

x

, ,

D v rm = ρ π02 D Dm = ρ0

vD

rB =

π 2 Oz pompenappe d'eau

A

B

réservoir

h sol

z

102

Page 109: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 32 • Écoulement parfait

Æ Déterminons la hauteur h. L’écoulement étant parfait et l’eau incompressible, appliquons la relation de Bernoulli le longde l’axe de la canalisation qui est une ligne de courant par symétrie. Les points A et B appar-tiennent à cette ligne de courant, d’où :

avec zB = zA + h.

Le débit étant constant, il est le même à travers toute section droite : .La section du tuyau étant constante et l’eau incompressible, vA = vB.

⇒ = 194 m.

Æ Déterminons la vitesse vB dans le pincement en fonction de la vitesse vA dans le tuyau.La conservation du débit massique entraîne :

, d’où .

La vitesse est plus élevée dans le pincement que dans le tuyau.

Æ Déterminons la pression pB dans le pincement en fonction de la pression pA dans le tuyau.L’écoulement étant parfait et l’eau incompressible, appliquons la relation de Bernoulli le longde l’axe de la canalisation qui est, par symétrie, une ligne de courant. Le tuyau étant horizontal,

Comme vB > vA, pB < pA : il y a une dépression dans le pincement, c’est l’effet Venturi.Cet effet est utilisé, par exemple, pour améliorer l’aérodynamisme des voitures et pour profi-ler les ailes d’avion.

c Considérons l’écoulement parfait, en régimepermanent, d’un fluide incompressible demasse volumique ρ0, dans un tuyau horizontal.L’écoulement s’effectue dans le champ depesanteur. Le tuyau de section S possède unpincement de section s. L’écoulement est sup-posé unidimensionnel suivant l’axe du tuyau.La vitesse est supposée la même en tout pointd’une section droite.

vgz

p vgz

pAA

A BB

B2

0

2

02 2+ + = + +

ρ ρ

D v r v rm A B= =ρ π ρ π02

02

hp p

g=

−A B

ρ0

fluide

S

s

A Bxv

A vB

D v S v sm = =ρ ρ0 0A B v vS

sB A=

v p v pA A B B2

0

2

02 2+ = +

ρ ρp p

v vp

v S

sB A

A BA

A= +−

= + −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ρ ρ0

2 2

0

2 2

22 21 .

103

Page 110: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

33 Intensité et tension en électrocinétique

1. EN QUELQUES MOTS…L’électrocinétique est la partie de l’électromagnétisme traitée en utilisant des courants et destensions. Un courant électrique correspond à un déplacement ordonné de charges électriquesappelées « porteurs de charge ». L’intensité correspond au débit de ces charges dans un maté-riau conducteur. La tension aux bornes d’un composant électrique est une différence depotentiel entre deux points.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) IntensitéLes porteurs de charges peuvent être:c des électrons libres dans les métaux ;c des ions (cations et anions) dans les solutions électrolytiques.Dans un circuit électrique, l’intensité mesure le nombre de « porteurs de charges » qui traversentla section S du circuit par unité de temps. L’intensité du courant correspond au débit de charges.

Dans un circuit électrique, on fixe le sens d’orientation du courant. Le courant circule de laborne + vers la borne – à l’extérieur du générateur, ce qui correspond à .L’intensité du courant se mesure avec un ampèremètre, branché en série, dont le symbole est :

b) TensionDans un circuit électrique, le générateur est responsable de la mise en mouvement des por-teurs de charges. L’énergie potentielle d’un porteur de charge à la sortie d’un générateur esttrès grande, mais diminue au fur et à mesure du circuit électrique, étant convertie en énergiethermique.

i : intensité du courant (A)dq : charge élémentaire électrique traversant la sec-tion S d’un circuit (C)

: temps pendant lequel la surface S est parcouruepar la quantité de charge dq (s)

Le courant est une grandeur algébrique : il peutêtre positif ou négatif. Par convention, le courant circule dans le sens dudéplacement des charges positives.

La valeur affichée se donne en Ampère, noté A, en hommage à André-Marie Ampère (1775 – 1836). Les valeurs peuvent varier de quelquesmilliampères à quelques ampères.

i =q

t

dd dt

+

sens du courant

+

I > 0

A

Section S

sens d'orientation du courant

104

Page 111: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 33 • Intensité et tension en électrocinétique

Au lieu de parler d’énergie en chaque point du circuit électrique, la notion de potentiel élec-trique, noté V, est introduite (fiche 45). Il n’est pas possible de mesurer le potentiel en unpoint. En revanche, une différence de potentiel entre deux points peut l’être.

Dans un circuit électrique, la tension se mesure avec un voltmètre, branché en dérivation,dont le symbole est :

Les valeurs peuvent être égales à quelques volts aux bornes d’une pile neuve, à quelques mil-lions de volt entre les deux extrémités d’un éclair. Dans une maison, la tension au secteurfournie par EDF vaut 230 V.

c) Approximation des Régimes Quasi Stationnaires : A.R.Q.S Comme la lumière dans un milieu transparent, les courants et les tensions électriques sont desgrandeurs qui se propagent (ondes). L’intensité du courant varie donc en fonction du tempset des coordonnées d’espace. Sa vitesse de propagation est de l’ordre de la vitesse, c, de lalumière. Le temps de propagation du courant dans un circuit de longueur L, noté τ (tau), est

donc . Il faut le comparer au temps caractéristique du système, noté T (période du cou-

rant, temps de réponse…). Les phénomènes de propagation sont négligeables si :l’Approximation des Régimes Quasi Stationnaires, dite A.R.Q.S., est alors vérifiée. L’inten-sité et la tension ne dépendent ainsi que du temps.Dans la suite, nous nous placerons toujours dans le cadre de l’A.R.Q.S..Outre les régimes transitoires, nous nous intéresserons à deux régimes permanents :

Considérons les points A et B, placés de part et d’autre d’uncomposant électrique. La tension uAB est égale à la différence

de potentiel (ddp) entre les points A et B :

On représente la tension uAB par une flèche, orientée de B vers A.

Il est possible de visualiser les variations d’une tension à l’aided’un oscilloscope. La valeur affichée se donne en Volt, noté V, enhommage à Alessandro Volta (1745-1827), qui réalisa de nom-breux travaux sur l’électricité et inventa la première pile (1800).

Régime Propriétés Notation

Régime continu L’intensité et la tension sont constantes. en majuscule : - intensité I - tension U

Régime sinusoïdal permanent L’intensité et la tension sont des fonctions périodiques sinusoïdales :

en minuscule - intensité i(t) - tension u(t) I0 : amplitude (A)

U0 : amplitude (V) : pulsation (rad.s–1)

u = V - VAB A B

A B

uAB

=VA-V

B

V

τ = L

c

τ T

i t = I cos t( ) ( )0 ω

u t = U cos t( ) ( )0 ω ω

105

Page 112: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 33 • Intensité et tension en électrocinétique

d) Lois vérifiées par l’intensité et la tension

3. EN PRATIQUE…c Un fil électrique en cuivre, de section droite S = 1,0 mm2, est parcouru par un courant

d’intensité constante I = 5,0 A durant 10 heures. La quantité d’électricité circulant dans lefil électrique est :

Dans les métaux, les porteurs de charges sont les électrons libres, de charge négative égale à–e. Ainsi, . Le nombre « N » d’électrons libres s’étant déplacés est donc :

c Étudions le sens de déplacement des porteurs de charge dans les deux cas représentés ci-dessous :

Loi d’unicité de l’intensité Loi d’unicité des tensions

L’intensité est la même en tout pointd’un circuit en série :

Les tensions aux bornes de branches parallèlessont égales :

Lois de Kirchhoff

Loi des nœuds Loi des mailles ou loi d’additivité des tensions

La somme des courants qui entrent parun nœud est égale à la somme des cou-

rants qui en sortent :

Cela traduit la conservation de la charge.

Dans une maille orientée, la somme des tensions

est nulle : avec

si la tension est orientée dans le sens dela maille

si la tension est orientée dans le con-traire de la maille.

On peut donc écrire :

i

i1

i2

i = i = i1 2

u

u1

branches

u2

u = u = u1 2

noeud

isort

isort

isort

ientreientre

i ientre sort∑ ∑=

maille

u1

u2

u3

+u4

εi iumaille∑ = 0

εi = +1

εi = −1

−u + u + u + u =1 4 3 2

0

q = I tΔ = × × × = ×5 0 10 60 60 1 8 105, , C

q = − , .1 8 105C

Nq=

−= −

− −e

1 8 10

1 6 10

5

19

, .

, .⇔ N , = ×1 7 1022 électrons

I = - 4A

A B

fil métalliqueI = 7A

A B

fil métallique

106

Page 113: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 33 • Intensité et tension en électrocinétique

I = – 4 A < 0 Le courant va de B vers A. Les porteurs de charges sont les électrons libres. Ils se déplacent en sens inverse, soit de A vers B.

I = 7 A > 0 Le courant va de B vers A. Les électrons libres se déplacent en sens inverse, soit de A vers B.

c Le courant délivré par EDF est alternatif de fréquence f = 50 Hz. Il peut s’écrire :

Æ Calculons la période T et la pulsation ω du courant :

et

Æ Regardons s’il est possible d’utiliser l’A.R.Q.S. au sein d’une maison ayant une installationélectrique de longueur L.L’onde se propage environ à la vitesse v = 2,0.105 km.s–1. Son temps de propagation τ dans les

fils électriques s’exprime donc : . Le temps caractéristique du circuit est la période T du

courant calculée précédemment. On peut se placer dans l’A.R.Q.S. lorsque

.

La longueur des fils électriques étant bien inférieure à 4 000 km, on peut considérer le cou-rant quasi-stationnaire dans une maison ou même un réseau électrique local.

• Une portion de circuit électrique est représentée ci-con-tre. Cherchons une relation entre les divers courants.La loi des nœuds s’applique :

– nœud A : i1 + i2 = i3– nœud B : i4 + i3 = i5

• Considérons le circuit ci-contre comportant deux mailles.Dans chaque maille, il faut choisir un sens de façonarbitraire afin d’appliquer la loi des mailles.

Maille 1 Maille 2

i t = I cos t( ) ( ) 0 ω

T =1

f⇔ T = = × −1

502 0 10 2, s ω π

= 2

T⇔ ω π=

×= ×

, ,

2

2 0 103 1 10

22 rad.s–1

τ =L

vT τ

⇔ TL

v⇔ L vT ⇔ L 2 0 10 2 0 108 2, . , .× − ⇔ L 4 0 106, × m

nœud A

nœud B

i1 i2

i3

i4 i5

u1

u2

u3

u4

u5

u

maille1

++u

1

u2

u3

u4

u5

u6

-u + u - u + u =4 3 2 1 0 maille 2

++ ++u1

u2

u3

u4

u5

u6

u + u - u =3 5 6 0

}⇒ i1 + i2 + i4= i5

107

Page 114: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

34 Puissance instantanée

1. EN QUELQUES MOTS…Un dipôle électrocinétique comporte une borne d’entrée et une borne de sortie. On distinguedeux types de dipôles : les récepteurs et les générateurs. c Un récepteur transforme de l’énergie électrique en une autre énergie (thermique, mécani-

que, lumineuse…). c Un générateur transforme une énergie chimique, lumineuse (ou autre) en énergie électrique. Pour les différencier, on regarde le signe de la puissance électrique.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…c Considérons un circuit comportant des générateurs et des récepteurs. Pour un de ces

dipôles, la puissance électrique instantanée, notée p, est définie comme le travail électriqueéchangé pendant une unité de temps (fiche 7).

La puissance instantanée est égale au produit de la tension aux bornes du dipôle et de l’inten-sité du courant qui le traverse :

c Comme en thermodynamique, la puissance reçue par le dipôle est comptée positivement,tandis que celle cédée au milieu extérieur est négative. Il est possible de classer les dipôlessuivant le signe de la puissance :

Les conventions utilisées sont :

p(t) : Puissance électrique instantanée en Watt (W)

u(t) : Tension aux bornes du dipôle en Volt (V)

i(t) : Intensité du courant parcourant le dipôle en Ampère (A)

Dipôle récepteur Dipôle générateur

PuissancePuissance reçue par le dipôle Puissance cédée au reste du circuit

Transforme de l’énergie électrique en une autre forme d’énergie

Transforme une énergie non électrique en énergie électrique

Exemples

– moteur– lampe– conducteur ohmique– diode

– générateur basse fréquence G.B.F.– pile

Convention récepteur Convention générateur

Les flèches représentant u et i sonten sens inverse

Les flèches représentant u et i sontdans le même sens

p t = u t i t( ) ( ) ( )

i

u

i

u

108

Page 115: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 34 • Puissance instantanée

En convention récepteur,

3. EN PRATIQUE…Plaçons-nous en régime continu. La tension et l’intensité sont constantes. La puissance élec-trique est donc aussi une constante.Examinons le comportement du dipôle utilisé.

Signe de la puissance instantanéePositivep(t) > 0

Négativep(t) < 0

Type de dipôle Le dipôle est un récepteurLe dipôle

est un générateur

Le dipôle ci-contre est représenté en conven-tion récepteur : la flèche de l’intensité et de latension sont en sens contraire.

Calculons la puissance électrique :

En convention récepteur, la puissance estnégative. Le dipôle considéré est donc un générateur,il fournit de l’énergie au reste du circuit.

En revanche, dans ce cas, le dipôle est en con-vention générateur : les flèches de tension etd’intensité sont dans le même sens.

Calculons la puissance électrique :

En convention générateur, la puissance est positive.Le dipôle considéré ici est donc un générateur.

I = - 3 A

U = 8 V

dipôle

P = UI

P = × −( )8 3

P = −24 W

I = + 4 A

U = 12 V

dipôle

P = UI

P = ×12 4

P = 48 W

109

Page 116: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

35 Dipôles électrocinétiques

1. EN QUELQUES MOTS…Un dipôle est un composant comportant deux bornes, placé dans un circuit électrique. Dansl’A.R.Q.S. (Approximation du régime quasi-stationnaire), ces dipôles peuvent être qualifiésd’actifs ou de passifs, de linéaires ou non-linéaires, symétriques ou non-symétriques. Pourcela, il faut étudier leur caractéristique courant – tension.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Caractéristique statique courant-tension

c Les générateurs de courant et de tension ont des caractéristiques courant – tension statiques.

La caractéristique courant - tension d’un dipôle est la courbe,en régime continu, représentant les variations de l’intensité Iparcourant le dipôle en fonction de la tension U à ses bornes,soit I = f(U).– Un dipôle est linéaire lorsqu’il existe une relation affine ouune équation différentielle linéaire à coefficients constantsentre l’intensité et la tension. – Un dipôle est passif lorsque sa caractéristique courant – ten-sion passe par l’origine, alors qu’il est actif si sa caractéristiquene passe pas par l’origine.– Un dipôle est dit symétrique si sa caractéristique courant –tension est symétrique par rapport à O ; si ce n’est pas le cas, ledipôle est qualifié de non-symétrique.

Dipôle Définition Caractéristique

Générateur de tension(modèle de Thévenin)- linéaire- actif- non-symé-trique

Lorsque le générateur est idéal, la tension déli-vrée est constante : quel que soit le cou-rant débité.Un générateur de tension réel délivre une ten-sion .

U : tension délivrée par le générateur en VE : force électromotrice (f.e.m.) en Vr : résistance interne en ΩI : intensité du courant en A

Générateur de tension idéal :

Générateur de tension réel :

i

u

I

U

U = E

U = E - Ir I (A)

U (V)E

(pente de - 1 / r)

E / r

générateur de tension

générateur de tension idéal ( r = 0 )

I

E

rI

U

E rI

110

Page 117: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 35 • Dipôles électrocinétiques

c Étudions les divers dipôles récepteurs les plus utilisés en électrocinétique.

Générateurde courant(modèle de Norton)- linéaire- actif- non-symé-trique

Lorsque le générateur est idéal, le courant déli-vré est constant : quelle que soit la ten-sion à ses bornes. Un générateur de courant réel délivre un cou-rant tel que

I0 : courant de court – circuit en A

Générateur de courant :

Générateur de courant réel :

Dipôle Définition et Schéma Caractéristique courant tension

Conducteurohmiquenoté : Runité : Ohm (Ω)- linéaire- passif- symétrique

Composant qui s’oppose à la cir-culation du courant électriqueLe passage du courant entraîneun échauffement de ce dipôleappelé l’effet Joule.

Loi d’Ohm :

u : Tension aux bornes de la résis-tance (V)i : Intensité qui parcourt la résis-tance (A)R : Résistance (Ω)

Electrolyseur- non- linéaire- passif- symétrique

Permet de réaliser des réactionschimiques en utilisant l’énergieélectrique.

Dipôle Définition Caractéristique

I = I0

I (A)

U (V)r x I0

I0

générateur de courant

(pente de - 1 / r)

générateur de courant idéal

( r = 0 )

I = I -U

0 r

I0

U

I

r

I0

U

RésistanceI

U

u = iR

u (V)

i (A)pente de

1/R

I

U

I (A)

U (V)

111

Page 118: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 35 • Dipôles électrocinétiques

Diode à jonction- non-linéaire- passif- non symé-trique

Ne laisse passer le courant quedans un sens.

Condensateurnoté : Cunité :Farad (F)- linéaire- passif

Constitué de deux plaques métal-liques séparées par un isolant.

q : Charge du condensateur (C)C : Capacité du condensateur (F)(fiche 49)

Le courant est nul quelle que soit la ten-sion constante à ses bornes.

Le condensateur se comporte comme un circuit ouvert

Inductancenotée : Lunité : Henry (H)- linéaire- passif

Constitué d’un enroulement de filen forme de spires.

L : Inductance (H) (fiche 57)

La tension à ses bor-nes est nulle quel que soit le courant cons-tant la traversant

L’inductance se com-porte comme un fil.

Dipôle Définition et Schéma Caractéristique courant tension

I

U

I (A)

U (V)

uC

i+q

q = ucC i =uct

Cd

d

I

UI = 0

i

uL

L

u =i

tLL

dd

I

UU = 0

112

Page 119: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 35 • Dipôles électrocinétiques

b) Caractéristique dynamique courant-tensionLa caractéristique dynamique est obtenue en régime variable. Lorsque le signal est sinusoïdalde pulsation ω, la réponse des dipôles dépend de la fréquence. Cette notion est illustrée àl’aide du condensateur et de l’inductance en régime sinusoïdal. Quand ω Æ 0, la caractéristi-que dynamique tend vers la caractéristique statique.

Condensateur Inductance

Expression de la tension et du courant sinusoïdaux

Caractéristique dynamique

Comportement lorsque

Le condensateur se comporte comme un circuit ouvert

L’inductance se comporte comme un fil

Comportement lorsque

Le condensateur se comporte comme un fil

L’inductance se comporte comme un circuit ouvert

u t = U tc m( ) ( )cos ω

i t =uc t

t= Um t( ) ( )

− ( )Cd

dCω ωsin

i t = I tm( ) ( )cos ω

u t =i t

t= Im tL ( ) ( ) − ( )L

dd

Lω ωsin

i (A)

uC (V)

i (A)

uL (V)

ω → 0

uC

i

uC

i

⇔uL

i

uL

i⇔

ω → ∞uC

i

uC

i

⇔uL

i⇔uL

i

113

Page 120: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 35 • Dipôles électrocinétiques

3. EN PRATIQUE…c Étudions différentes associations de conducteurs ohmiques.– Cherchons la valeur de la résistance équivalente à une association de résistances montéesen série. Dans ce montage, chacune des résistances est parcourue par le même courant i.D’après la loi d’additivité des tensions,

En utilisant la loi d’Ohm, on peut écrire :

Une association de résistances montées en série peut être rem-

placée par une seule résistance de valeur .

Æ De la même manière, cherchons la valeur de la résis-tance équivalente, notée Req, à une association de résis-tances montées en parallèle. D’après la loi des nœuds,

. La tension aux bornes de chacune

des résistances est la même, notée u.En utilisant la loi d’Ohm, la relation devient :

.

Une association de résistances en parallèle peut être remplacée par

une seule résistance telle que . En utilisant la conduc-

tance , la relation devient : .

• Considérons deux générateurs de tension montés en série.D’après la loi d’additivité des tensions,

Il est donc possible d’assimiler cette associa-tion à un seul générateur de tension, avec :

u u u u= + + +1 2 … n

u i i i= ( ) + ( ) + + ( )R R Rn1 2 …

u i= + + +( )R R Rn1 2 …u

u1 u2 u3

i R1 R2 Rn

Réq

u

i

Req Rkk

= ∑

i = i + i + ...+ i1 2 n

u u u uu

Req R R R R R R= + + + = + + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟1 2 1 2

1 1 1... ...

n n

R1

R2

Rn

u

i1

i2

in

Réq

u

i 1 1Req Rkk

= ∑

GR

= 1Geq Gk

k= ∑

U E I E I1 2= −( ) + −( )r r1 2

U = E + E - I1 2( ) ( )r1 2+ r

r1 r2

E1 E2

UI

E = E + E1 2

r r r= +⎧⎨⎩ 1 2

r

E

UI

114

Page 121: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 35 • Dipôles électrocinétiques

c Considérons deux générateurs de courant montés en parallèle. Cherchons le générateur decourant équivalent.

D’après la loi des nœuds, .En remplaçant par le modèle de Norton,on obtient :

Le générateur de Norton correspondant est

donc tel que : .

I1

r1

I2

r2

I

I01

I02

U I = I + I1 2

I IU

IU

01 02= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟r r1 2

I = I + I U01 02( ) − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 1

1 2r r

I = I + I0 01 02

1 1 1

1 2r r r

= +

⎨⎪

⎩⎪

I0

r

I

U

115

Page 122: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

36 Réseaux linéaires en régime continu

1. EN QUELQUES MOTS…Beaucoup de circuits électriques ne comportent que des dipôles linéaires. En régime continu,plusieurs lois ou théorèmes permettent de connaître la tension aux bornes d’un dipôle,l’intensité qui le parcourt ou de simplifier le circuit. Ces lois et théorèmes sont dérivés des loisdes nœuds et des mailles de Kirchhoff.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Théorème de superpositionLorsqu’un circuit linéaire comporte plusieurs sources libres de courant et/ou de tension, lethéorème de superposition permet de calculer simplement le courant ou la tension dans uneportion de circuit.Considérons une branche d’un circuit électrique comprenant plusieurs sources libres et desdipôles linéaires. Éteignons toutes les sources libres du circuit à l’exception d’une seule, lasource k :c Le courant dans la branche du circuit est Ik.c La tension aux bornes de cette branche est Uk.Réalisons cette manipulation pour chacune des sources libres du circuit.Le théorème de superposition donne alors le courant I dans la branche de circuit considérée

et la tension U aux bornes de la branche :

Ainsi, le courant (ou la tension) dans la branche de circuit est égal à la somme algébrique descourants (ou des tensions) obtenus en faisant agir chacune des sources libres du circuit, lesautres étant éteintes. Les schémas suivants montrent comment éteindre une source libre :

b) Théorème de ThéveninConsidérons un circuit linéaire qui alimente par les bornes A et B, un dipôle D. Le théorèmede Thévenin permet de remplacer ce circuit linéaire par un générateur de tension idéal def.é.m. Eth en série avec une résistance Rth.

Éteindre une source de tension revient à la remplacer par un fil :

Éteindre une source de courant revient à la remplacer par un circuit ouvert :

I I

U U

=

=

⎨⎪

⎩⎪

∑k

k

kk

E ⇔ I0 ⇔

116

Page 123: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 36 • Réseaux linéaires en régime continu

– La f.é.m. Eth du générateur de Thévenin est égale à la différence de potentiel UAB entreA et B lorsque le dipôle D est débranché.

– La résistance de Thévenin Rth est égale à la résistance mesurée entre A et B lorsque ledipôle D est débranché et que les générateurs sont éteints et remplacés par leurs résis-tances internes.

c) Théorème de MillmanCe théorème permet de calculer le potentiel en un point d’un circuit. Considérons le nœud Adu circuit ci-dessous, de potentiel VA.

En éliminant les courants, on peut déduire le potentiel au point A :

d) Quelques circuits équivalents

Écrivons la loi des nœuds et la loi des mailles :

Nom Schéma Relation

Diviseur de tension

Diviseurde courant

G : conduc-tance en Siemens (S) :

A

B

Circuitcomprenant

des générateurset des dipôles

linéaires

A

B

dipô

le D

dipô

le D Rth

Eth

UABUA

R2

R1

VA Vk

V2

V1

RkI1 Ik

I2

I I I

V V I

V V I

V V I

A

A

A

1 2

1 1 1

2 2 2

0+ + + =

− =

− =

− =

⎨⎪

... k

k k k

R

R

R

⎪⎪

⎩⎪⎪

V

V

A

k

=∑

Rk

Rk

1

R1

R2

U

U2

I

U I

U I

U U

= +( )=

⎧⎨⎩

⇒ =+

R R

R

R

R R

1 2

2 2

22

1 2

R1 R2

I

I2

U2U1

U I

U I

I I I

I I

=

=

= +

⎨⎪

⎩⎪

⇒ =+

R

R

G

G G

2 2

1 1

1 2

22

1 2

GR

= 1

117

Page 124: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 36 • Réseaux linéaires en régime continu

3. EN PRATIQUE…

• Cherchons un circuit équivalent au circuit ci-dessous. Pour cela, utilisons le passage du modèlede Thévenin à celui de Norton.

Passage du modèle de Thévenin à celui de Norton

Les deux représentations sont équivalentes avec

• À l’aide du théorème de Millman, écrivons l’expressiondu potentiel au point N.

La zone est équivalente à un générateur de Thévenin de f.é.m. et de résistance R.Remplaçons la zone par ce générateur Thévenin.

Les deux résistances R en série des zones

et sont équiva-lentes à une résistance de valeur 2R.

Nom Schéma Relation

U

r

E

I

r U

I

I0⇔

E I= r 0

V

e e e e

N

1 1

=+ −

+ +=

+ +

R R R

R R R

R R

R R R

0

2 11 1

2

1

1

11 1

2

1

1

R

e

R2

R1

e1

N

R

E

R

R

R

R

I1

11

e I1 1= R

R

E

R

R

R

RR

e1

2233

118

Page 125: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 36 • Réseaux linéaires en régime continu

Éteignons les sources tour à tour. D’après le théorème de superposition, avec I1 etI2 définis comme sur les schémas ci- dessous.

– Pour déterminer I1, on utilise le diviseur de courant,

– La tension aux bornes du générateur est égale à la tension aux bornes de la résistance :

Le courant circulant dans la résistance R vaut donc,

Les générateurs des zones et sont en parallèles. Pour simpli-fier le circuit, transfor-mons les en générateurs de Norton, avec :

et

La zone est formée de trois résistances en parallèle. La résis-tance équivalente est :

La zone possèdedeux générateurs decourant en parallèle.Le générateur decourant équivalent

est : .

r

• Considérons le circuit ci-contre, comprenant un générateur decourant et un générateur de tension. Utilisons le théorème desuperposition afin de déterminer le courant I circulant dans larésistance R.

2R2R

E e1

2R2R

R

44 55

IE

3 =2R

Ie

21=

2R

2R2RR2R2R

II22

II33

66

1 12

1 12

2

R R R R

R

eq

eqR

= + +

⇔ =

I3

RReq

I2

77

I = I I4 3 2−

I4

RReq

R

r1

E

I0

I

I = I + I1 2

R

r1

E

I0

I

R

r1

E

I2

R

r1

I1

I0 +

I I I1 0 0=+

=+

1

1 1

1

1

1

R

r R

r

r R.

E I I2 2− =r R1 ⇔ IE

2 =+R r1

.

I I I IE= + =

++

+1 21

10

1

r

r R R r.

119

Page 126: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

37 Régimes libres du premier ordre

1. EN QUELQUES MOTS…Lors de la mise sous tension constante d’un circuit, le courant et la tension évoluent dans letemps : c’est le régime libre. Il est composé, au départ, d’une variation temporelle de ces deuxgrandeurs : c’est le régime transitoire. Il est suivi d’un régime permanent, où les grandeurssont constantes. L’étude du régime libre des circuits RC ou RL conduit à une équation diffé-rentielle du premier ordre où seulement des dérivées premières interviennent.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

b) Circuit RC :

c L’équation différentielle est linéaire du 1er ordre à coefficients

constants avec un second membre non nul. La solution de cette équation est de la forme :

– Cherchons , solution de l’équation

avec A constant. avec B constant.

a) Forme de l’excitationUn générateur de tension impose une tension au circuit sous laforme d’un échelon de tension : la tension passe brutalementde 0 à la valeur constante E à l’instant t = 0.Il s’agit d’étudier la réponse du circuit à cette excitation enrésolvant l’équation différentielle vérifiée par le courant ou latension.

• Pour connaître l’évolution de la tension aux bornes d’un con-densateur soumis à un échelon de tension, écrivons l’équation

différentielle vérifiée par ; le condensateur se charge.

La loi des mailles ⇒ . La loi d’ohm ⇒ .

Or ⇒ . Comme ,

t

e(t)

E

0

uR

uC

E

i

+

u tC ( )u t + u t - E =C R( ) ( ) 0

u + = EiC R

i =q

t

dd

u + = Eq

tC Rdd

q u= C C u Eu

tC RCd

d+ =C

d

d RC

u tu t

ECC

( )+ ( ) =

t RC

1

u t = u tc c( ) ( )1

solution de l'équation sans second mmembre

2

solution particulière

+ u tc ( )

u tc1 ( ) d

d RC

u t

tu t 0C1

C1( )

+ ( ) =1

d

d RC

u t

tu tC1

C1( )

= − ( )1 ⇔d

RCd

u t

u ttC1

C1

( )( ) = − 1 ⇔ d

RCdln u tC1( )( ) = − 1

⇔ ln u t + AC1( ) = − 1RC

⇔ u t Bt

C1 ( ) =−

e RC

1

120

Page 127: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 37 • Régimes libres du premier ordre

– Cherchons la solution particulière de la même forme que l’excitation

En reportant dans l’équation différentielle : .

La solution de l’équation est donc : .

Le condensateur est déchargé à t = 0 ⇒ La condition initiale est : .

• Les principaux résultats pour un circuit RC sont regroupés dans ce tableau, aussi bien concer-nant la charge que la décharge du condensateur.

La solution de l’équation différentielle s’écrit :

avec .

La tension aux bornes du condensateur est continue.

• L’expression de l’intensité du courant dans le circuit peut se déterminer à partir de :

avec

L’intensité du courant traversant le condensateur est discontinue.

• Le condensateur emmagasine de l’énergie électrique au cours du temps. L’énergie emmagasinéesous forme électrique, notée Eél en Joule (J), s’écrit :

Charge du condensateur Décharge du condensateur

Schéma et mise en équation

Équation différen-

tielle Équation du 1er ordre à coefficients cons-tants avec second membre non nul

Équation du 1er ordre à coefficients cons-tants avec second membre nul

u tc2 ( ) u t Uc2 ( ) =dd RC RC

RC RC

U

tU

EU

E U E+ = ⇔ = ⇒ =1 1

u t B Et

C ( ) = +−

e RC

1

u t = 0C ( ) = 0 ⇔ u t = 0 B EC ( ) = + = 0 ⇔ B = E−

t (s)

uC (t) (V)

E

0

u t E Et

C ( ) = − +−

e RC

1

⇔ u t E

t

C ( ) = −⎛

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟

−1 e RC

u t = 0

u t = 0

-

+

C

C

( ) =

( ) =

⎧⎨⎪

⎩⎪

0

0

u tC ( )

t (s)

i(t) (A)

E/R

0

i tq t

t

u t

t( ) = ( ) =

( )dd

Cd

dC ⇔ i t

Et

( ) =−

Re RC

i t = 0

i t = 0E

-

+

( ) =

( ) =

⎧⎨⎪

⎩⎪

0

R

E P t t u tu iu

t

u2

él él CCC

C= = = =

⎛⎝⎜

∫ ∫ ∫d d dCd C

0 0 0

12

t t t d

d

⎠⎠⎟=∫ d

Cdt

ut0

212

t

C

uR

uC

E

i

+

u t + u t - E =C R( ) ( ) 0

uu

tEC

C+ =RCd

d

i

+uR

uC

u t + u t =C R( ) ( ) 0

uu

tCC+ =RC

d

d0

d

d RC RC

uc t

tuc t

E( )+ ( ) =1 d

d RC

u t

tu tC

C( )

+ ( ) =10

121

Page 128: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 37 • Régimes libres du premier ordre

c) Circuit RLLes principaux résultats pour un circuit RL sont regroupés dans ce tableau, aussi bien concer-nant l’établissement du courant que sa rupture.

Condition initiale

Solution de l’équation différen-

tielle

Allure de la tension aux bor-

nes du con-densateur

La tension aux bornes du condensateur est continue tandis que l’intensité le traver-sant est discontinue

Installation du courant Rupture de courant

Schéma

Mise en équation

D’après la loi des mailles,

D’après la loi d’ohm,

donc

D’après la loi des mailles,

D’après la loi d’ohm,

donc

Équation différentielle

Équation du 1er ordre à coefficientsconstants avec second membre non nul

Équation du 1er ordre à coefficients constants avec second membre nul

Condition initiale

Charge du condensateur Décharge du condensateur

u tC ( ) = 0 u t = EC ( )

u t E

t

C ( ) = −⎛

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟

−1 e RC

u t E

t

C ( ) =−

e RC

u tC ( ) i tE

t

( ) =−

Re RC u tC ( ) i t

Et

( ) = −−

Re RC

t (s)

uC (t) (V)

E

0

t (s)

i(t) (A)

E/R

0t (s)

uC (t) (V)

E

0

t (s)

i(t) (A)

-E/R

0

uR

uL

E

i

+ uR

uL

i

+

u t + u t - E = 0L R( ) ( )

u EiL + =R

ui

tL = Ldd

Ldd

Ri

ti E+ =

u t + u t = 0L R( ) ( )

u iL + =R 0

ui

tL = Ldd

Ldd

Ri

ti+ = 0

dd

RL L

i t

ti t

E( ) + ( ) = dd

RL

i t

ti t

( ) + ( ) = 0

i t =( ) 0 i t I( ) = 0

122

Page 129: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 37 • Régimes libres du premier ordre

d) La constante de temps La constante de temps, notée τ (tau), caractérise la rapidité de l’établissement du régime per-manent. Plus sa valeur est petite, plus le régime transitoire est court et le régime permanentatteint rapidement. On considère qu’au bout de , le régime permanent est atteint.La constante de temps peut être déterminée de trois manières :

3. EN PRATIQUE…

Solution de l’équation différentielle

Allure de l’intensité traversant la bobine

L’intensité du courant à travers l’inductance est continue tandis que la tension àses bornes est discontinue.

Énergie stockée dans l’inductance

Énergie magnétique en Joule (J) :

Par le calculPar la méthode des 63% de la valeur maxi-

male atteintePar la méthode de la tangente

à l’origine

CircuitRC :

CircuitRL :

Considérons un circuit comprenant une inductanceL = 50 mH en parallèle avec une résistance

alimentée par une source de courantd’intensité I0. À l’instant t = 0, l’interrupteur estouvert, isolant le circuit RL de la source de courant. La rupture du courant dans l’inductance est étudiée.Æ Déterminons la tension aux bornes de l’induc-tance

Installation du courant Rupture de courant

i tE t

( ) = −⎛

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟

Re

R

L1 i tE t

( ) =−

Re

R

L

i t( ) u t Et

L ( ) =−

eR

L i t( ) u t It

L

R

LR e( ) = −−

0

t (s)

i(t) (A)

E/R

t (s)

uL(t) (V)

E

0t (s)

i(t) (A)

I0

0

t (s)

uL(t) (V)

-RI0

0

E t i tmag ( ) = ( )12

2L

t (s)

grandeurétudiée

valeurmaximale

63% de lavaleur maximale

!

t (s)

grandeurétudiée

valeurmaximale

tangente à l'origine

0 τ

τ = RC τ = LR

R = 15 Ω

u tL ( )

uL

i

I0uR R

123

Page 130: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 37 • Régimes libres du premier ordre

c Pour cela, établissons l’équation différentielle vérifiée par . D’après la loi des mailles, .

Dérivons l’équation par rapport au temps : .

L’équation différentielle vérifiée par est du premier ordre à coefficients constants, avecun second membre nul.c La solution de cette équation est de la forme . La constante B est déterminée grâce à la condition initiale. À t = 0, l’inductance étant équiva-lente à un fil, , or ⇒ .Par suite, . La tension aux bornes de la bobine s’écrit :

La tension aux bornes de la bobine est discontinue.Æ Visualisons la tension uL(t) aux bornes de l’inductance et celle uR(t) aux bornes de la résis-tance au cours du temps à l’aide d’un oscilloscope.

avec

– La masse commune aux deux voies de l’oscillos-cope est indiquée sur le schéma.– Pour visualiser la tension uL(t) aux bornes del’inductance, branchons la voie 2 comme indiquéesur le schéma.– Pour visualiser la tension uR(t) aux bornes de larésistance, branchons la voie 1 comme indiquée surle schéma ; dans ce cas, –uR(t) est mesurée. À l’aided’une fonction de l’oscilloscope permettant de multi-plier la valeur mesurée par – 1, la tension uR(t) estalors visualisée.

L’oscillogramme observé est reporté ci-contre. La tension aux bornes de la résistance uR(t) et l’inten-sité du courant dans le circuit i(t) sont liées par la loi

d’Ohm : . Les variations du couranti(t) sont identiques à celles de uR(t). Cet oscillogramme montre la continuité du cou-rant lors de la rupture ; par contre la tension auxbornes de l’inductance génère une surtension.

u tL ( )u t + u t =L R( ) ( ) 0 ⇔ u t + i t =L R( ) ( ) 0

d

dR

dd

Lu t

t+

i t

t=

( ) ( )0 ⇔

d

dRL

u t

t+ u t =L

L( ) ( ) 0

u tL ( )

u t Bt

L ( ) =−

eR

L

i I0 0( ) = u t + t =L ( ) ( )Ri 0 ⇔ u + =L 0 0 0( ) ( )Ri u t = 0 = - IL 0R( )u t = 0 = I BL 0R( ) − =

u t = - It

L 0R( )−

eR

Lu t = 0

u t = 0 I

-

+

L

L 0

( ) =

( ) = −

⎧⎨⎪

⎩⎪

0

R

t (s)

uL(t) (V)

-RI0

0

i

Y1Y2

I0

-uR uLR

u t i tR ( ) = ( )Rt (s)

uL(t) voie 2

0

RI0

uR(t) voie 1

-RI0

124

Page 131: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

38 Régimes libres du deuxième ordre

1. EN QUELQUES MOTS…Le régime libre du second ordre est illustré par la décharge d’un condensateur dans uneinductance et une résistance. La charge du condensateur vérifie une équation différentiellelinéaire du deuxième ordre semblable à celle rencontrée en mécanique, ce qui conduit à uneanalogie électromécanique.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Équation différentielle

Pour alléger la notation, la dépendance en temps est omise.

⇒ avec les conditions initiales :

L’équation différentielle vérifiée par la charge du condensateur est du deuxième ordre à coef-ficients constants avec un second membre nul.

b) Analogie électromécaniqueDans un circuit RLC, l’équation vérifiée par la charge q du condensateur et celle établie enmécanique pour l’oscillateur linéaire amorti (fiche 14) sont semblables. Il est possible d’éta-blir une analogie entre les grandeurs utilisées.

Considérons un circuit comprenant un condensateur, une inductanceet une résistance en série. Initialement, le condensateur est chargé(charge q0). Pour étudier la décharge du condensateur, utilisons la loi d’additi-

vité des tensions . À partir de la loi d’Ohm

et de la relation liant la tension aux bornes de l’inductance et l’inten-

sité du courant, cette relation devient : .

Grandeurs électriques Grandeurs mécaniques

Équation différen-tielle vérifiée par q :

Équation différen-tielle vérifiée par x :

Conditions initiales Conditions initiales

Charge du condensateur q en C Élongation de la masse x en m

Intensité du courant en A Vitesse de la masse en m.s–1

Inductance propre L en H Masse m en kg

u t u t u tC R L( ) + ( ) + ( ) = 0

u ii

tC R Ldd

+ + = 0

L

R

uL

uR

uC

i

iq

tq = u= d

d et C C L

d

dR

dd C

2

20

q

t

q

t

q+ + =q t q

i t

=( ) =

=( ) =⎧⎨⎩

0

0 00

Ld

dR

dd C

2

2

10

q

t

q

t+ + =q m

x

tf

x

tx

d

d

dd

2

20+ + =k

q t qi t

=( ) ==( ) ={ 0

0 00 x t x

v t=( ) ==( ) ={ 0

0 00

iq

t= d

dx

x

t= d

d

125

Page 132: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 38 • Régimes libres du deuxième ordre

c) Les différents régimes libres c L’équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur est donnée, en

posant et , par :

avec les conditions initiales

L’équation caractéristique est donnée par : avec ou

avec la résistance critique .

Résistance du circuit R en Ω Coefficient de frottement

en N.s.m–1

Capacité du condensa-teur en F–1 Constante de raideur k en kg.N.m–1

Pulsation propre Pulsation propre

Énergie magnétique

Énergie cinétique

Énergie électriqueÉnergie potentielle élastique

Régime Apériodique Critique Pseudo - périodique

Signe du discriminant

Résistance R

RacinesRacine double

avec

Solution Voir ci-dessous

Amortissement fort critique faible

Tension uC en fonction du temps

Grandeurs électriques Grandeurs mécaniques

f

1C

ω01=LC

ω0 = km

E imag L= 12

2 E mvc = 12

2

E qél C= 1

22 E xp = 1

22k

λ = R2L

ω02 1=

LC

d

d

d

dC C

C

2

2 022 0

u

t

u

tu+ + =λ ω

u tq

E

i tc =( ) = =

=( ) =

⎧⎨⎪

⎩⎪0

0 0

0

C

r r2022 0+ + =λ ω Δ ' = −λ ω2

02

Δ ' = − = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −( )R

L LC LR

4LC 4L

R R2

2 22

22 2

4

1 1

4

1c

RLCc = 2

Δ ' > 0 Δ ' = 0 Δ ' < 0

R R> c R R= c R R< c

rr1

2

= − −= − +

⎧⎨⎩

λλ

ΔΔ

'' r = −λ

r jr j1

2

= − −= − +{ λ ω

λ ω

ω = −Δ = ω − λ202 2'

u t Aer t

Ber t

C ( ) = +1 2 u t At B tC ( ) = +( ) −e λ

t

uC

E

0t

uC

E

0

t

uC

E

0

- E

T

126

Page 133: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 38 • Régimes libres du deuxième ordre

c Régime pseudopériodique

La solution s’écrit :

Les coefficients A et B sont déterminés à partir des conditions initiales.

Cette solution est pseudo-périodique de pseudo-période

Quand l’amortissement est nul ou très faible, la pseudo-période T est égale à la période

propre . Quand l’amortissement augmente, la pseudo période augmente.

Le décrément logarithmique (fiche 14) est défini par

En utilisant l’analogie électromécanique : .

3. EN PRATIQUE…

⇒ le régime est pseudopériodique avec s–1.

La pseudo-période T est : = 0,629 ms. Elle est très voisine de la périodepropre.

Le décrément logarithmique est : = 0,03.Æ Effectuons le bilan énergétique lors de la décharge du condensateur

Utilisons la relation : . Multiplions cette relation par le courant i ⇒ .

⇒ .

En introduisant l’énergie magnétique stockée dans l’inductance et l’énergie

électrique stockée dans le condensateur, le bilan énergétique est :

.

c Considérons la décharge d’un condensateur de capacité C = 1 µFdans un circuit série formé d’une inductance L = 10 mH et d’unerésistance R = 10 W

Æ Déterminons la période propre T0 de ce circuit :

.

Æ Déterminons le régime de la décharge.Pour cela, calculons la résistance critique :

.

R R< c

u t A t B t e tC ( ) = ( ) + ( )[ ] −cos sinω ω λ

T = =−

2 2

02 2

πω

π

ω λ

T0 2= π LC

δ =( )+( )

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Ln C

C

u t

u t T

δ = λT

T02 6 42 2 3 14 10 10 6 28 10= = × × × =− − −π LC = 0,628 ms, , . s

RLC

c = = = =−

−2 2

10

102 10 200

2

64 Ω

L

R

uL

uR

uC

i

R R< c λ = =× −

=R2L

10

2 10 25 102.

T = =−

2 2

02 2

πω

π

ω λδ = λT

u ii

tC + + =R Ldd

0u i i i

i

t2

C + + =R Ldd

0

iu

t= C Cd

dC

d

dR L

dd

C2

d

dR

L ddC

C C2

uu

ti i

i

t

u

ti

i

t2 2

2+ + = ⇔ + + =0

20

E imag L= 12

2

E uél c2C

2=

dd

Rél magtE E i+( ) + =2 0

127

Page 134: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 38 • Régimes libres du deuxième ordre

Traçons l’énergie magnétique Emag, l’énergie électrique Eél et l’énergie totale Etot = Eél + Emag.

Cette équation est du second ordre à coefficients constants avec second membre constant.Pour résoudre une telle équation, il faut :

– résoudre l’équation homogène sans second membre : uC1(t) – trouver une solution particulière uC2(t) de l’équation avec second membre

La solution de l’équation de l’équation avec second membre est : .Cherchons la solution particulière de la même forme que l’excitation, c’est-à-dire constante :

uC2(t) = U ⇒ .

Trois régimes sont observés suivant l’expression de uC1(t). Les constantes A et B sont obte-nues grâce aux conditions initiales.

Par exemple, en régime apériodique, la solution s’écrit : .

Les constantes A et B vérifient :

Dans les régimes critique et pseudo-périodique, .

L’énergie totale est échan-gée entre le condensateuret l’inductance. La pseudo-période de ces échanges estla moitié de la pseudo-période de la tension uC(t).

Ri2 est la puissance dissipéepar effet joule dans la résis-tance. L’amortissement del’énergie totale est dû à ladissipation dans la résis-tance R.

• Étudions la charge du condensateur de capacité C à traversune bobine d’inductance L et une résistance R à l’aide d’ungénérateur de tension continue de fem E (schéma ci-contre).Le circuit est fermé à t = 0.L’équation différentielle vérifiée par uC(t) est :

avec

car à t = 0, le condensateur est déchargé et aucun courant ne circule dans le circuit.

t

E

0 0,5 1 1,5

(J)

(ms)

Etot

Eél

Emag

q0

2C

2

LCd

d

RL

d

d

2

2

u

t

u

tu EC C

C+ + =u

uC

C

d

d

( )

( )

0 0

0 0

=

=

⎧⎨⎪

⎩⎪ t

L

R

uL

uR

uC

E

i

u t u t u tC C C( ) = ( ) + ( )1 2

LCd

d

RL

dd

2

2

U

t

U

tU E U E+ + = ⇔ =

u t Ar t

Br t

EC ( ) = + +e e1 2

u A B E

uAr Br E

C

C

d

d

( )

( )

0 0 0

0 0 01 2

= ⇔ + + =

= ⇔ + + =

t

⎨⎨⎪

⎩⎪

λ = R2L

128

Page 135: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 38 • Régimes libres du deuxième ordre

Régime apériodique Régime critique Régime pseudo-périodique

u t ECr re e1 2( ) = + +A Bt t u t t Et

C e( ) = +( ) +−A B λ u t t t EtC e( ) = ( ) + ( )[ ] +−A Bcos sinω ω λ

t

uC

E

0t

uC

E

0t

uC

E

0

129

Page 136: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

39 Régime sinusoïdal forcé

1. EN QUELQUES MOTS…Dans le cadre de l’A.R.Q.S., les propriétés des circuits formés de dipôles linéaires sont étu-diées lorsqu’on leur applique un signal (tension ou courant) sinusoïdal. À la mise en route dugénérateur sinusoïdal, il y a, d’abord, des phénomènes transitoires rapides que nous n’étudie-rons pas, puis le circuit répond de façon sinusoïdale à la même pulsation que le générateur :c’est le régime sinusoïdal forcé. L’utilisation de la notation complexe permettant l’introduc-tion de l’impédance complexe facilite la résolution des problèmes.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Dipôles linéaires en régime sinusoïdal forcé :Un courant sinusoïdal d’amplitude Im et de pulsation ω donné par traverse :c une résistance R La loi d’Ohm donne : ⇒ .La tension aux bornes de la résistance est, à chaque instant, proportionnelle au courant.c un condensateur CLa relation entre et est :

⇒ .

La tension est en retard de par rapport au courant . c une inductance L

La relation entre et est : ⇒ .

La tension est en avance de par rapport au courant .

Dans le cas du condensateur et de l’inductance, il n’y a plus proportionnalité entre le couranti(t) et la tension u(t). Par suite, dans un circuit comportant des condensateurs et des induc-tances, il existe un déphasage ϕ de la tension par rapport au courant.

b) Loi d’Ohm complexe c Pour résoudre simplement le problème, la notation complexe est utilisée (annexe C) :

c Écrivons la tension complexe aux bornes :

– du condensateur :

Notation réelle Notation complexe

avec l’amplitude complexe

avec l’amplitude complexe

i t I t( ) = ( )m cos ω

u i tR Rt( ) = ( ) u t I tR ( ) = ( )R m cos ω

u tC ( ) i t( ) i =uct

Cd

d

u t i tI

tI

tm mC

1C

dC C

( ) = = = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∫ ω

ωω

ω πsin cos

2u tC ( ) π

2i t( )

u tL ( ) i t( ) u =i

tL Ldd

u t I t = I t +2m mL L L( ) = − ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ω ω ω ω π

sin cos

u tL ( ) π2

i t( )

i t I t( ) = ( )m cos ω i I e jt t( ) = ω

I Im=

u t U tm( ) = +( )cos ω ϕ

ϕ ϕ > 0 : tension en avance ; < 0 : tension en retard

u U e jt t( ) = ω

U emj= U ϕ

u tI

I i tmt

mt

Cj( ) = = = ( )

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Ce

eC

ejC

jj

ω ω ω

ω ππ

ω22 1

130

Page 137: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 39 • Régime sinusoïdal forcé

– d'une inductance : .Il y a donc proportionnalité entre la tension complexe u(t) et l’intensité complexe i(t).c La loi d’Ohm complexe, en convention récepteur, s’écrit :

c) Impédance complexe

Comme , l’impédance complexe d’un dipôle est le rapport de l’amplitude

complexe U de la tension complexe aux bornes du dipôle à l’amplitude complexe I de l’inten-sité complexe du courant qui le traverse. L’impédance complexe s’écrit : .Le module de l’impédance complexe est noté Z et appelé impédance : son argument

est souvent noté ϕ.Le tableau regroupe les valeurs pour les dipôles linéaires élémentaires :

d) Lois de Kirchhoff Ces lois (fiche 33) s’écrivent en utilisant les tensions complexes et les courants complexes.Par exemple, la loi des mailles s’écrit, en fonction des tensions complexes :

Toutes les tensions étant à la même pulsation, elle s’écrit aussi en fonction des amplitudescomplexes des tensions :

L’impédance complexe d’un ensemble de dipôles placés en série est la somme des impédan-ces complexes de chacun des dipôles.

e) Représentation de FresnelL’amplitude complexe I de l’intensité du courant le traversant est : . Pour chaque dipôle,l’amplitude complexe U de la tension à ses bornes est reportée dans le tableau ci-dessous :

u(t) : tension complexe aux bornes du dipôle i(t) : intensité complexe traversant le dipôle Z : impédance complexe du dipôle

Dipôle Résistance R Condensateur C Inductance L

Impédance complexe Z

Impédance Z

Argument de Z : ϕϕϕϕ

Dipôle Résistance R Condensateur C Inductance L

amplitude complexe U

u t I = I i tm

t+2

mt

L

j j jL e L e e jL( ) = − = ( )⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ω ω ω

ω π πω2

u t i t( ) = ( )Z

Z = ( )( ) =u

i

U

I

t

tZ

Z Z Arg Z= ( )e j

Zarg Z( )

Z = R Z = 1jCω

Z = jLω

Z Z= = R Z =C

Z = 1ω

Z Z= = Lω

ϕ = 0 ϕ π= −2

ϕ π=2

u t u t u t u tAD AB BC CD( ) ( ) ( ) ( )= + +

U U U UAD AB BC CD= + + Z Z Z ZAD AB BC CD= + +

I Im=

RImI

ImmjC

jCω ω

= − jLωIm

131

Page 138: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 39 • Régime sinusoïdal forcé

Représentons, dans le plan complexe, l’amplitude complexe I de l’intensité et celle U de latension (Annexe C) :

3. EN PRATIQUE…c Un dipôle constitué d’une résistance R = 1 000 Ω en série avec un condensateur C = 1 µF est

parcouru par un courant sinusoïdal d’amplitude Im = 10 mA et de pulsation ω = 800 rad.s–1.

Les expressions de Z et de ϕ sont :

et .

Résistance Condensateur Inductance

Représentation de Fresnel

et sont en phase.

est en retard par rapport au courant

de .

est en avance par rapport au courant

de .

Æ Déterminons la tension u(t) aux bornes dece dipôle.

Le courant est : .

Sur le schéma, portons les différentes tensions.Pour résoudre le problème, passons en nota-tion complexe.Les différentes amplitudes complexes sont portées sur le schéma ci-dessous.

La loi d’additivité des tensions comple-xes donne en amplitudes complexes :

En appliquant la loi d’Ohm complexe àchaque élément, on obtient :

L’impédance complexe du dipôle est la somme des impédances complexes de chaque élé-ment.

I

UR

UC

I

+

2

UL

I

+

2

i t( ) u tR ( ) u tC ( )

i t( ) π2

u tL ( )

i t( ) π2

i t I t( ) = ( )m cos ω

Ri(t)C

u(t)

uR(t) uC(t)

R

U

C

UR

I

UC

U U U= +R C

U I jI

j I e Ii= − = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =R

CR

CZ

ω ωϕ1

Z RC

= 1 600 2= + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

ωΩ tan ,ϕ

ωϕ= − ⇒ = − °1

51 3RC

132

Page 139: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 39 • Régime sinusoïdal forcé

À cette amplitude complexe U est associé le signal complexe u(t) :

; or ⇒ La tension u(t) aux bornes du dipôle est : ⇒

La tension u(t) a une amplitude ; elle est en retard (ϕ < 0) par rap-port au courant i(t).

Donnons la longueur des différents vecteurs : RIm = 10 V, et . Il n’y a pas additivité de l’amplitude des tensions.c Cherchons l’impédance complexe d’une résistance R et d’un condensateur en parallèle.

Par suite l’impédance est : et l’argument :

Si deux dipôles (ou plus) sont branchés en parallèle, on ajoute les inverses de leurs impé-dances complexes, pour trouver l’inverse de l’impédance complexe équivalente.

Æ Traçons la représentation de Fresnel Représentons les amplitudes complexes :• UR : vecteur de longueur RIm suivant l’axe réel

• UC : vecteur de longueur faisant un angle avec l’axe

réelLe vecteur correspondant à U s’obtient en sommant cesdeux vecteurs ; il a une longueur Um donnée par le théo-rème de Pythagore :

.

La loi des nœuds en notation complexe au point A donne :

En utilisant la loi d’Ohm complexe dans chaque branche,

cette expression devient :

Or avec l’impédance complexe Z :

.

u t Ue Ie ej t j j t( ) = =ω ϕ ωZ I Im= u t I emj t( ) = +( )Z ω ϕ

u t u t( ) e = R ( )( ) u t I tm( ) = +( )Z cos ω ϕ

UI

mm= +

CR C2 2

ωω1 2

Im

Cω− π

2

U Im m= + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟R

C 2 1

2

ω

CmI

R mI

+

2

Um

Im

C V

ω= 12 5, Um = 16 V

I I I= +1 2

IU U

j

= +R 1

CωI

U=Z

1 11Z R

ZR= + ⇔ =

+jC

jRCω

ω

UI1

I

I2

A

Z Z= =+

R

R C

2

1 2 2 2ωϕ ω= Arc tan RC− ( )

133

Page 140: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

40 Puissance en régime sinusoïdal

1. EN QUELQUES MOTS…En régime sinusoïdal forcé, l’intensité et la tension varient au cours du temps. Les multi-mètres mesurent les tensions et les intensités efficaces. Ces notions d’intensité et de tensionefficaces sont utilisées pour obtenir la puissance moyenne dissipée dans un dipôle.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Valeurs efficaces de grandeurs périodiquesc L’intensité efficace se note et s’exprime en Ampère.

La valeur efficace vaut . Ainsi, l’intensité s’écrit : .

c De même, la tension efficace d’une tension sinusoïdale a une

valeur efficace . La tension s’écrit alors : , où est

le déphasage de la tension par rapport à l’intensité.

b) Puissance instantanée en régime sinusoïdal

c Pour un courant et une tension sinusoïdaux de fréquence f,

, elle s’exprime par :

⇔ .

La puissance instantanée est une fonction sinusoïdale de fréquence 2f.

– La période étant T, l’intensité efficace est donnée par :

– Si le courant est sinusoïdal, l’intensité s’écrit .

• Considérons le dipôle ci-contre en convention récepteur.La puissance instantanée dissipée par ce dipôle est égale au

produit de l’intensité et de la tension (fiche 34) :

.

Ieff

I t teff = ( )∫1 2

0Ti d

T

i t I t( ) = ( )max cos ω

II

eff = max

2i t I t( ) = ( )eff 2 cos ω

u t t( ) = +( )Umax cos ω ϕ

UU

eff = max

2u t U t( ) = +( )eff 2 cos ω ϕ ϕ

i t( ) u t( )p t i t u t( ) = ( ) ( )

dipôle Du(t)

i(t)

i t I t

u t U t( ) = ( )( ) = +( )

⎧⎨⎩

eff

eff

22coscos

ωω ϕ

p t i t u t I U t t( ) = ( ) ( ) = ( ) +( )2 eff eff cos cosω ω ϕ p t I U t( ) = +( ) + ( )[ ]eff eff cos cos2ω ϕ ϕ

p t( )

134

Page 141: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 40 • Puissance en régime sinusoïdal

c) Puissance moyenne en régime sinusoïdal

c Dans le cas d’un régime sinusoïdal,

est appelé facteur de puissance du dipôle et est compris entre 0 et 1.La puissance active est celle mesurée par les distributeurs d’électricité, qui impose un facteurde puissance supérieur à 0,93.

3. EN PRATIQUE…

.

c Calculons la puissance instantanée et la puissance moyenne de divers dipôles.

– Pour une résistance R, et sont en phase (fiche 39), la puissance instantanée est

donnée par , elle est toujours positive, la résistance étant un dipôlepassif.

• La puissance moyenne, notée , en W, est lamoyenne sur une période T de la puissance instantanée.

: déphasage de la tension par rapport à l’intensité : puissance moyenne ou active (W) dissipée dans le dipôle.

: intensité efficace traversant le dipôle (A)

: tension efficace aux bornes du dipôle (V)

• Calculons l’intensité efficace d’un signal sinusoïdal de

la forme :

.

Or, , ainsi

Pmoy P p t t i t u t tmoy

T T

Td

Td= ( ) = ( ) ( )∫ ∫1 1

0 0

P I U t tmoy eff eff

T

Td= +( ) + ( )[ ]∫1

20

cos cosω ϕ ϕ

P I Umoy eff eff= cosϕ

ϕPmoy

Ieff

Ueff

cosϕ

i t I t( ) = ( )max cos ω

I i t t I t teff

T T

Td

Td= ( ) = ( )∫ ∫1 12

0

2 2

0max cos ω

cos cos2 2 12a a( ) = ( ) − coscos2 2 1

2a

a( ) = ( ) +

i (t)

Imax

ω

I It

teff = ( )( ) +∫1 2 12

22

0T

dT

maxcos ω

I It

t +2 22 2

00

1 22

12eff

TT

Td

T

It= ( )( ) ∫∫ max

maxcos ωd

I II2 2

0

0

21 2

21

eff = ( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+T

T

T

T

maxmaxsin ω

ω 22T ⇔ I 2

2

2eff =Imax

i t( ) u t( ) ϕ = 0

p t I tR eff2R( ) = ( )2 2cos ω

135

Page 142: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 40 • Puissance en régime sinusoïdal

⇒ La puissance active est .

L’inductance est alternativement récepteur et générateur .

La puissance moyenne est : .

– Pour un condensateur, ⇒ , comme pour l’inductance.

Calculons la puissance moyenne ou active du moteur :Les indications données pour la tension et l’intensité sont des valeurs efficaces. Donc,

La puissance instantanée totale dissipée par les deux dipôles est égale à la somme des puis-sances instantanées dissipées par chaque élément.Æ Calculons la puissance moyenne dissipée par cette association de dipôles :

La puissance moyenne est uniquement dissipée dans la résistance.

– Pour une inductance L, la tension est

, elle est en avance sur de

(fiche 39). La puissance instantanée est donnée par :

.

• Une plaque signalétique d’un moteur indique : 50 Hz 230 V 9,0 A 0,87 1 500 W

• Calculons la puissance totale dissipée dans le dipôle formé d’unerésistance R en série avec un condensateur C.

cosϕ = 1 P U Imoy eff eff eff2R= = I

u t I tL effL( ) = − ω ω2 sin i t( )π2

p t I t t I tL eff2

eff2L L( ) = − ( ) ( ) = − ( )2 2ω ω ω ω ωcos sin sin

p(t)

trécepteur

générateur

p t( ) >( )0 p t( ) <( )0

Pmoy = 0

ϕ π= −2

⇔ cosϕ = 0 Pmoy = 0

cosϕ =

P U Imoy eff eff= cosϕ ⇔ Pmoy W= × × =230 9 0 0 87 1 8 103, , , .

p t u t u t i t u t i t u t i t p t( ) = ( ) + ( )[ ] ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) = (C R C R C )) + ( )p tR

RC

uRuC

i(t)

P p t t p t + p t t p t tC R Cmoy

T T

Td

Td

Td= ( ) = ( ) ( )[ ] = ( )∫ ∫1 1 1

0 0 00

0

1T

moyRTd∫ ∫ ( ) =+ p t t PR

0

T

136

Page 143: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

41 Résonances

1. EN QUELQUES MOTS…En régime sinusoïdal forcé, dans un circuit RLC série, pour une certaine valeur de pulsation,nommée pulsation de résonance, l’amplitude de l’intensité est maximum. Ce phénomènes’appelle la résonance en intensité. L’amplitude de la tension aux bornes du condensateurprésente aussi un phénomène de résonance si la résistance R est inférieure à une valeurdépendant des caractéristiques propres du circuit LC. C’est le phénomène de résonance entension qui est l’analogue de la résonance en élongation d’un oscillateur harmonique mécani-que (fiche 15).

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…Considérons le circuit RLC comportant en série une résistance R, une inductance L et unecapacité C, alimenté par un générateur de tension sinusoïdale : .

a) Impédance complexe du circuit RLC série L’impédance complexe du dipôle série est la somme des impédances complexes de chaqueélément (fiche 39) :

Représentons l’impédance complexe dans le plan complexe (représentation de Fresnel)

.

Son module, l’impédance, est donné par :

Cette impédance passe par un minimum pour une pulsation ω0 vérifiant

.

C’est la pulsation propre du dipôle RLC.

L’effet capacitif l’emportesur l’effet inductif.

Les effets capacitif et inductifse compensent ⇒ Z = R

L’effet inductif l’emportesur l’effet capacitif.

e t E tm( ) = cosω

Ζω

ω ωω

= + + = + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟R

jCjL R j L

C1 1

Z R LC

= + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

22

1ωω

LC

LC

ωω

ω00

01

01− = ⇔ =

e(t)

R C L

i(t)

uR(t) uC(t) uL(t)

R

Z

+

1

C

L

< 0

R

Z

+

1

C

L

= 0

Z

+1

C

L

> 0

R

137

Page 144: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 41 • Résonances

b) Résonance en intensité

c Écrivons la loi d’Ohm complexe avec les amplitudes complexes : avec .

Introduisons la pulsation réduite et le facteur de qualité (sans dimension)

.

L’amplitude complexe du courant s’écrit :

c Par suite, le module et le déphasage du courant par rapport à la tension sont :

et .

c Bande passante

La bande passante ne dépend que des caractéristiques propres du circuit RLC. Quand la résistance R est faible, le facteur de qualité Q est grand, la bande passante étroite etla résonance en intensité aiguë.Par contre, lorsque la résistance est élevée, le facteur de qualité Q est faible, la bande pas-sante large et la résonance floue.

• L’amplitude de l’intensité dépend de la pulsation ω imposée.L’impédance étant minimum pour , l’amplitude du courantIm(ω) passe par un maximum : c’est la résonance en intensité. La pulsation de résonance en intensité correspondant au maxi-mum Imax de l’amplitude de l’intensité est la pulsation propre

du dipôle RLC série. Ce maximum vaut .

À la pulsation de résonance, le courant i(t) et la ten-sion e(t) sont en phase.Quand , le courant i(t) est en avance sur latension e(t), l’effet capacitif étant prédominant.Par contre, quand , le courant i(t) est en retardsur la tension e(t), l’effet inductif l’emportant.

La bande passante, notée , en rad.s–1, correspond aux

pulsations pour lesquelles l’amplitude de l’intensité

est supérieure ou égale à .

⇒ .

E I= Z E Em=

x = ωω0

Q = =L

R RC

ωω

0

0

1

IE E

Q Q

=−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

R+j L1

C

=

R+j R R0

0ωω

ωω

ωω

IE

xx

m=+ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

R jQ11

I i t( ) e t( )

I IE

Q

mm= =

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟R 1

122

xx

ϕ = − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Arc Qtan x

x

1

ω ω= 0

ωRω0

IEm

max R=

IImax

=

π/2

−π/2

ϕ

ω ω< 0

ω ω> 0

Δω

Im ω( ) Imax

2Δωω ω0 0

1= =RL Q

IImax

Imax/ 2

Δω

=

138

Page 145: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 41 • Résonances

c) Résonance en tensionEn utilisant la loi d’Ohm complexe, l’amplitude complexe de la tension uC(t) aux bornes du

condensateur s’exprime en fonction de l’amplitude complexe du courant i(t) : .

En utilisant l’expression de du b) :

En fonction des grandeurs sans dimension x et Q : .

– Lorsque le facteur de qualité Q est élevé (Q > 10), . – Quand Q diminue, la pulsation de résonance diminue ( ). – Quand , il n’y a plus résonance en tension.

• L’amplitude de la tension uC(t) est donnée par :

.

Elle est proportionnelle à l’amplitude de la charge ducondensateur. L’analogie électromécanique (fiche 39)montre que la résonance en charge est équivalente à larésonance en élongation rencontrée en mécanique(fiche 15).

Q Résistance R Pulsation de résonance

ωR = 0

U IC jC= 1

ω

I UEm

CLC jRC

=− +1 2ω ω

UE

xx

Q

mC

j=

− +1 2

U UE

xx

mm

C C

Q

= =

−( ) + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1 2 2 2 Umax

Emax

Q>1/√2

Q<1/√2

0R

U

ωR

Q > =1

20 707, R

2LC

< ω ωR = −0 21

1

2Q

Q ≤ 0 707, R2LC

ω ωR 0ωR ω ωR < 0

Q ≤ 0 707,

139

Page 146: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 41 • Résonances

c L’argument de la tension uC(t) est

C’est le déphasage de la tension uC(t) aux bornes du condensateur par rapport à la tension e(t).

3. EN PRATIQUE…c Déterminons l’amplitude UCm de la tension uC(t) aux bornes du condensateur à la pulsation

propre ω0.L’amplitude complexe est :

⇒ signal complexe ⇒ .

Par suite UCm = QEm.Il existe une surtension aux bornes du condensateur à la pulsation ω0 si Q > 1. Si le facteur dequalité est élevé, la surtension peut être importante, ce qui peut endommager le condensateur.c Considérons le circuit série formé d’une capacité C = 20 F et d’une bobine modélisée par

une inductance L et une résistance R en série. Ce circuit est alimenté par une tension sinu-soïdale .

Le déphasage varie entre 0 et –π. Quand la pulsation tend vers zéro, l’inductance estéquivalente à un fil et le condensateur à un circuitouvert (fiche 36). Aucun courant ne circule dans lecircuit (voir b)). Par suite, la tension aux bornes ducondensateur uC(t) est égale à la tension e(t) appli-quée au circuit ; les tensions uC(t) et e(t) sont doncen phase.

Æ Un oscilloscope permet de visualiser les

tensions aux bornes du condensateur et e(t). À la pulsation ω = 250 rad.s–1, on mesure : ,

; de plus, uC(t) est en retard de 40˚ par rapport à e(t).

ϕ =−( )

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟

ArcQ x

tanx2 1

ω0ω

- /2

ϕ

0

UI

IE

UE

em mC CjC

or R

RC

ωωω

ω ωω0

0

00 0

0( ) =

( ) ( ) = ⇒ ( ) =− jj

2j2

π π

=−

QE em

u t QE em

t

C

j( ) =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ω π

2 u t u t QE tmC C( ) e cos = R ( )( ) = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ω π

2

μ

e t E tm( ) = cosω

u t E tmC ( ) = +( )cos ω ϕ

Em = 1 V

U mC = 1 6, VE

R

C

UU R

I

UC GBF

L

Lbobine

140

Page 147: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 41 • Résonances

Æ Déterminons l’inductance L et la résistance R de la bobine.Le déphasage de uC(t) par rapport à e(t) est , la pulsation est inférieure à la pulsationpropre ω0 du circuit. L’effet capacitif est donc prédominant.

⇒ L’amplitude Im du courant est : Dans le triangle rectangle OAB,

⇔ et .

Æ Caractérisons la résonance en intensité et la résonance en tension de ce circuit.

Déterminons la pulsation propre et le facteur de qualité :

.

– Résonance en intensité : elle a lieu à la pulsation propre .

La bande passante est large : la résonance est floue.

– Résonance en tension : comme , la résonance en tension est observée.

Déterminons la fréquence de résonance :

La fréquence de résonance est plus faible que la pulsation propre.

Exprimons les amplitudes complexes , et enfonction de l’amplitude complexe du courant (fiche 39) :

(1), (2),

Loi des mailles (fiche 40) ⇒ Traçons la représentation de Fresnel de ces amplitudes complexes en plaçant celle du courant suivant l’axe réel. Le déphasage ϕ est représenté sur le diagramme.

ϕ = − °40

U RU L U C

U IR R= U IL jL= ω UI

C jC

= −ω

E U U U= + +R L CO

RIm

Em

+

C Cm

mI

U =

L Im

A

B

U mC I Um m= =C mACω 8

(BO,BA)OA OB R

BA OBC

L= ⇒

= ⇔ =

= ⇔ −ϕ

ϕ ϕ

ϕω

sin sin

cos

I EIm m

m ωω ϕI Em m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

⎧⎨⎪

⎩⎪cos

R = =E

Im

m

sin ϕ108 Ω L

C H= − =1

0 552ω

ϕω

E

Im

m

cos,

ω011

302= =LC

rad.s-

Q = =L

R

ω0 1 54,

ω01302= rad.s-

Δωω

= =0 196Q

rad.s-1

Q > 0 707,

ω ωR-1 rad.s= − =0 2

11

2238

Q

141

Page 148: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

142

1. EN QUELQUES MOTS...Un filtre est un circuit électrique recevant une tension d’entrée ue(t) et produisant une ten-sion de sortie us(t). Il permet de sélectionner les fréquences que l’on souhaite transmettred’une excitation. Ils jouent un rôle important dans le traitement du signal en télécommunica-tions.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Définition d’un filtre et de sa fonction de transfert

Si et sont des polynômes à coefficients réels, le quadripôle est linéaire. Le degré le plusélevé de ces deux polynômes donne l’ordre du filtre.Comme tout complexe, on peut définir le module et la phase de la fonction de transfert (fiche 39)

Afin de pouvoir représenter graphiquement les faibles et les fortes amplitudes, on définit le

gain en tension en utilisant l’échelle logarithmique : .

Le gain varie en fonction de la fréquence. Plus le gain est grand pour une fréquence donnée,moins le signal est atténué à cette fréquence.Pour visualiser le comportement du filtre pour toutes les fréquences, il faut tracer le dia-gramme de Bode.

b) Diagramme de BodeLe diagramme de Bode est la représentation graphique de la fonction de transfert. Pour cela,il est nécessaire de représenter deux courbes :

Un filtre peut être représenté par un quadripôle compre-nant une tension d’entrée ue(t) et une tension à la sortieus(t).Il est caractérisé par sa fonction de transfert.La fonction de transfert est, en régime harmonique, lerapport de l’amplitude complexe de la tension d’entrée

à l’amplitude complexe de la tension d’entrée .US Ue

H jUU

s

e

ω( ) =

ue(t) us(t)filtre

Ue US

H j H j eule

jj

phaseω ωϕ ω

( ) ( )=( )

mod

GdB H jUU

s

e

= ( ) =20 20log logω

42 Filtrage électrique

Page 149: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 42 • Filtrage électrique

143

Un filtre est caractérisé par :

– sa bande passante définie par l’intervalle des pulsations tel que soit. La bande passante à 3 dB est le domaine de pulsations pour lesquelles l’atté-

nuation du signal par rapport àHmax est supérieure à 3 dB.

c) Classification des filtres :Il existe 4 types de filtres, classés suivant leur bande passante :

3. EN PRATIQUE…

Courbe de réponse en gain Courbe de réponse en phase

donne la variation deen fonction de la fréquence f (ou de la pul-sation ) ou de leurs logarithmes.

donne la variation de enfonction de la fréquence f (ou de la pulsa-tion ) ou de leurs logarithmes.

– sa pulsation de coupure : En cette pulsation,

soit . On parle aussi de

fréquence de coupure à 3 dB (avec )

Filtre passe-bas Filtre passe-haut Filtre passe-bande Filtre coupe-bande

Le filtre ne laissepasser que

les fréquencesinférieures à la fré-

quence de coupure fC

Le filtre ne laissepasser que

les fréquencessupérieures

à la fréquencede coupure fC

Le filtre laisse passerles fréquencescomprises entre

les deux fréquencesde coupures fC1 et fC2et atténue les autres.

Le filtre atténueles fréquencescomprises entre

les deux fréquencesde coupures fC1 et fC2.

Considérons le circuit ci-contre comportant unerésistance R = 1,1 kΩ et un condensateur de capa-cité C = 22 nF.

G H jdB = ( )20 log ω

ω

ϕ ω= ( )arg H j

ω

GdB (dB)

f (Hz)ou

log (f)

0,1 1 10 102 103

– 1 0 1 2 3

ϕ (rad)

f (Hz)ou

log (f)

0,1 1 10 102 103

– 1 0 1 2 3

ωC

HH

ωC( ) = max

2G G dBdB max 3

ω πC Cf= 2

GdB (dB)Gmax

3dBω (rad)

oulog (ω)ωc

H Hω ω( ) > ( )C

G GdB dB> ( )ωC

GdB

f (Hz)f C

GdB

f (HzfC

GdB

f (Hz)fC1 fC2

GdB

f (Hz)fC1 fC2

Page 150: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 42 • Filtrage électrique

144

La fonction de transfert de ce filtre d’ordre 1 s’écrit donc : .

→ Cherchons la pulsation de coupure de ce filtre. Il faut donc déterminer tel que

. Le module de la fonction de transfert vaut .

Il est maximal pour et vaut Hmax = 1.

Résolvons .

La fréquence de coupure est donc

En utilisant la pulsation de coupure et la pulsation réduite , la fonction

de transfert s’écrit .

→ Étudions l’évolution du gain en fonction de la pulsation réduite x.Le tracé rigoureux de la fonction de transfert est assez difficile, le tracé asymptotique descourbes est suffisant pour pouvoir étudier le comportement du filtre.

Le gain a pour expression avec H0= 1.

Ainsi, en décibel, .

– Pour . L’asymptote est une droite horizontale.

– Pour . L’asymptote est une droite

d’équation , il s’agit d’une droite de pente – 20 dB/décade.– En x = 1, par définition, .

En utilisant le diviseur de tension, il vient :

.H j jC

jCR

ωω

ω

( ) =+

1

1 Ue(t) Us(t)C

R

H jjRC

ωω

( ) =+

11

ωC

H ωCH( ) = max

2H j H

R Cω ω

ω( ) = ( ) =

+

1

1 2 2 2

ω= 0

HR C

ωω

C

C

( ) = =+

12

1

1 2 2 22 1 2 2 2= + R C ωC ωC =

1RC

⇔ ⇔

fC = = =−

12

12 1 1 10 22 10

6 6 103 93

π πRCHz

,,

× × × ××

ωc =1

RCx

C= ω

ω

H j =H0

1 + jx

x( )

H = H0

1 + 2x

x( )

G = 20 log H 10 log 1 +dB 02( ) ( )x–

x 0 1, , G 20 log (H ) = GH dB 0 max→ → →

xx

→∞, , G 20 log (H ) 20 log (x)H dB 01

→ → –

G 20 log (x)max –G GdB max1 = 3dB( ) –

GdB

Gmax3db

Courberéelle

1log (x)

Comportementasymptotique

– 20 dB/décade

Page 151: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 42 • Filtrage électrique

145

→ Étudions l’évolution de la phase en fonction de la pulsation réduite x.De même, cherchons à tracer le comportement asymptotique de la phase. Cette dernière a

pour expression .

– Pour par valeur inférieure. L’asymptote est une droite horizontale.

– Pour par valeur supérieure. L’asymptote est une droite horizontale.

– En .

L’analyse de la courbe permet de montrer que :– la pulsation de coupure à 3 dB est égale à .– le filtre atténue les pulsations élevées de 20 dB par décade.– En revanche, les pulsations inférieures à sont transmises. L’atténuation est intérieure

à 3 décibels. La bande passante à 3 dB est

→ Retrouvons ces résultats en utilisant les comportements limites du condensateur.

En basse fréquence, x→ 0, d’après la relation pré-cédente, GdB→ 0.En effet, le condensateur se comporte comme uninterrupteur ouvert : la tension de sortie est égale àla tension d’entrée.Le filtre laisse donc passer les basses fréquences.En haute fréquence, x→∞, d’après la relation pré-cédente, GdB→ – 20 log (x).En effet, le condensateur se comporte comme uncourt-circuit. La tension de sortie est nulle.Le filtre ne laisse donc pas passer les fréquencesélevées.

ϕ x x( ) ( )= Arctan–

x 0 0, ϕ→ →

x ∞2

, ϕ π→ → –

x = =14

, ϕ π–

φ

1

Comportementasymptotique

Courberéelle

0

-P/4-P/2

log(x)

ωc

x >( )1ωc

0 c,ω] ]

e(t) S(t)

R

e(t) S(t)

R

Page 152: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

43 Loi de Coulomb

1. QUELQUES MOTS…D’un point de vue microscopique, la matière est composée d’atomes eux-mêmes composés departiculaires élémentaires. On entend ici par « particules élémentaires » les protons, les neu-trons et les électrons, qui seront les seules « particules élémentaires » considérées par la suite.L’atome, qui est un édifice électriquement neutre, est constitué d’un noyau (proton + neutrons)et d’électrons qui « gravitent » autour du noyau (modèle de Bohr) (Chimie Générale fiche 33).

Seuls le proton et l’électron possèdent une charge électrique(ou charge électrique élémentaire), le neutron est nonchargé. La charge électrique négative de l’électron est notée–e, et la charge électrique positive du proton, notée +e. Les 2charges sont égales mais de signes opposés. La valeur de lacharge électrique élémentaire, notée e, est environ égale à : e= 1,602.10-19C (unité le Coulomb, noté C). Expérimentalement, il a été observé que les charges électri-ques de même signe se repoussent alors que celles de signesopposés s’attirent.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Conducteur et isolantsSelon la capacité de la matière à conduire l’électricité, il est possible de la classer en deuxgrandes catégories : les conducteurs et les isolants. Un matériau capable de conduire l’électri-cité est un matériau conducteur, en revanche lorsqu’il ne conduit pas l’électricité c’est un iso-lant. Un isolant se distingue d’un conducteur par le fait que ses électrons périphériques sontfortement liés au noyau (fort potentiel d’ionisation), contrairement à ceux des conducteursqui sont libres de se déplacer dans le matériau (sous l’effet d’un champ électrique). Dans lecas des conducteurs, les électrons participant à la conduction du courant électrique sont appe-lés électrons de conduction. Il existe une troisième classe de matériaux, dont la physique ne sera pas abordée par la suite :les semi-conducteurs.

b) Invariance et principe de conservation des charges électriquesContrairement à d’autres grandeurs physiques comme la vitesse ou la force, la charge élec-trique élémentaire est un invariant, c’est-à-dire que sa valeur reste inchangée quel que soit leréférentiel d’étude. Cette propriété amène à énoncer le principe de conservation des chargesélectriques : la quantité de charges électriques produites au cours de n’importe quelle trans-formation est nulle (autant de charges positives que de charges négatives).

c) Loi de Coulomb Soient deux charges ponctuelles q1 et q2, placées dans le vide de permittivité électrique àune distance r l’une de l’autre. Pour l’exemple, on choisit arbitrairement de prendre q1 et q2positives, mais le raisonnement est identique quel que soit le signe des deux charges.

Électron

Neutron

Proton

Noyau

ε0

146

Page 153: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 43 • Loi de Coulomb

Les 2 forces sont égales et opposées conformément à la 3e loi de Newton (principe des actionsréciproques). On montre que la force exercée entre les 2 charges est proportionnelle au pro-duit des charges et inversement proportionnelle au carré de leur distance. La valeur appro-

chée de la constante de proportionnalité K est d’environ : . On pose

généralement : (ce qui permet de définir ). La loi de Coulomb s’écrit alors :

Lorsque les charges sont de même signe alors la force électrostatique est répulsive, si ellessont de signes opposés alors la force électrostatique est attractive.

3. EN PRATIQUE…Traçons la norme de la force électrostatique en fonction de la distance r entre 2 charges ponc-tuelles q1 et q2. On choisit : q1 = q2 = 1,6.10–19 C

La charge q1 exerce sur la charge q2 une forceélectrostatique, notée , dirigée suivantle vecteur unitaire (vecteur unitaire portépar la ligne d’action de la force électro-statique dirigé de q1 vers q2). Au même ins-tant, la charge q2 exerce sur la charge q1 uneforce électrostatique, notée , dirigéeen sens inverse de .

: force électrostatique de q1 sur q2 (N)

q1 , q2 : charges électriques (C) : permittivité électrique du vide (F.m–1)

( = 8,854.10–12 F.m–1) r : distance entre q1 et q2 (m)

: vecteur unitaire porté par la ligne d’action de laforce électrostatique

Lorsque le milieu considéré n’est pas le vide, il suffit d’introduire la permittivité du milieuconsidéré, notée , à la place de la permittivité électrique du vide dans la loi de Coulomb.On pose généralement : , où est la permittivité relative du milieu considéré(grandeur sans dimension). Pour l’air = 1,00058, de sorte que l’électrostatique étudiéedans l’air se confond pratiquement avec l’électrostatique étudiée dans le vide. Par la suite, nous traiterons uniquement l’électrostatique et la magnétostatique dans le vide.

La force électrostatique décroît en « »,

c’est une force dont la portée varie del’Angstrom (10–10 m) jusqu’à théorique-ment l’infini.

q >01

q >02

r

1 2q qF →

2 1q qF →u

Ligne d'actionde la force

Fq q1 2→u

Fq q2 1→Fq q1 2→

K m.F-1≈ 9 109.

K = 14 0π ε

ε0

Fq q

ru Fq q q q1 2 2 1

14 0

1 22→ →= = −

π ε

Fq q1 2→

ε0ε0

u

εε = ε ε0 r εr

εr

1 2 2 1q q q qF F→ →=

r

82,3.10−

282,3.10−

402,3.10−

1010− 610(m)

(N)

1

12r

147

Page 154: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

44 Champ électrostatique

1. EN QUELQUES MOTS…Toute charge électrique « perturbe » l’espace environnant en créant en tout point de l’espaceun champ appelé champ électrique. Lorsque la distribution de charges est indépendante dutemps (régime permanent) alors le champ créé est appelé champ électrostatique (unité leVolt par mètre, noté V.m–1).

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Champ électrostatique créé par une charge ponctuellePar définition, si une charge ponctuelle q est placée en un point P de l’espace où règne un

champ électrostatique, noté , alors la charge est soumise à une force électrostatique,

notée , telle que : .

La charge q1 exerce sur la charge q2 une force électrostatique, notée , dirigée en sens

inverse du vecteur unitaire (vecteur unitaire porté par la ligne d’action de la force électro-

statique et dirigé de q1 vers q2), tel que : . En identifiant cette relation

avec la relation générale donnant la force électrostatique, , agissant sur une charge q, placée

en un point P de l’espace, en fonction du champ électrostatique : , on obtient :

, où est le champ électrostatique créé par la charge q1 à l’endroit où se trouve

la charge q2.

L’expression du champ électrostatiquecréé par une charge ponctuelle q1 en unpoint P de l’espace où se trouve unecharge q2, est établie à partir de la notionde force électrostatique. Prenons deuxcharges ponctuelles q1 et q2, placées dansle vide de permittivité électrique àune distance r l’une de l’autre, telle que :q1 > 0 et q2 < 0 (le choix du signe descharges est arbitraire).

E P( )

F F q E= ( )P

q >01

q <02

r

1 2q qF →

Ligne d'action de la force

u

( )PEP

ε0

Fq q1 2→

u

F qq

ruq q1 2 2

0

12

14→ =π ε

F

E P( ) F q E= ( )P

Eq

ru= 1

4 0

12π ε

E

148

Page 155: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 44 • Champ électrostatique

D’une manière générale, le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle q en unpoint P de l’espace à la distance r de q est :

c Propriétés :– Le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle q en un point P de l’espace, à la

distance r de la charge, est inversement proportionnel au carré de la distance entre q et P.– Il est porté par la droite passant par q et P, on dit alors que le champ électrostatique est radial. – Le champ électrostatique est non défini au point où se trouve la charge ponctuelle q, car

lorsque r Æ 0, alors .

b) Champ électrostatique créé par une distribution de charges ponctuellesSi on dispose en n points Mi de l’espace une charge ponctuelle qi, celles-ci vont créer en unpoint P, distant de ri de chaque point Mi, un champ électrostatique résultant tel que :

.

Le champ électrostatique total est la somme vectorielle des champs créés en P par lesdifférentes charges qi : c’est le principe de superposition. Ainsi :

.

c) Champ électrostatique créé par une distribution continue de charges À l’échelle macroscopique, les particules chargées sont très nombreuses et forment une sorte de« continuum de gaz électrique », ce qui permet d’introduire la notion de densité de charges.c Distribution linéique de charges (méthode)Dans le cas d’une distribution linéique de charges, les charges ponctuelles sont réparties surune courbe (C) (sur le schéma les charges sont choisies positives de façon arbitraire).

: champ électrostatique créé par une charge ponctuelle q à ladistance r de q (V.m-1) q : charge électrique (C)

: permittivité électrique du vide (F.m–1) r : distance entre q et P (m)

: vecteur unitaire porté par la ligne d’action de la force électrostatique

La répartition linéique des charges est caractérisée en chaque pointde (C), par la densité linéique de charge, notée , telle que :

, où est la charge élémentaire contenue sur l’élément

de longueur . En un point P de l’espace, situé à la distance r de lacourbe (C), l’élément de longueur portant la charge élémentaire

crée un champ électrostatique élémentaire, noté , tel

que : (l’orientation du vecteur

unitaire est arbitraire).

Eq

ruP( ) = 1

4 02π ε

E P( )

ε0

u

Er →( ) →∞

0

E Ei

i

n

P( )=

= ∑1

Ei

Eq

rui

ii

n

iP0

( )=

= ∑14 2

1π ε

(C)

qd

ldP

+

+

+

+

+

r

u ( )PEd

+

+

++

++

+

+

λ

λ = ddq

ldq

dldl

dq d PE( )

d =

14

d 14

dP

0 0E

q

ru

l

ru( ) =

π πλ

ε ε2 2

u

149

Page 156: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 44 • Champ électrostatique

Le champ électrostatique total est alors obtenu par intégration du champ électrostatique élé-mentaire précédent, tel que :

c Distribution surfacique de charges et distribution volumique de charges (résultats)

3. EN PRATIQUE… On se propose de calculer le champ électrostatique créé en un point P situé à une distance Rd’un fil rectiligne infini, placé dans le vide, portant une densité linéique de charge uniformetelle que : .

: champ électrostatique créé par une densité de charge linéiqueà la distance r (V.m–1)

: densité linéique de charge (C.m–1) : élément de longueur contenant la charge élémentaire dq (m) : permittivité électrique du vide (F.m–1)

r : distance entre et le point P (point où le champ est mesuré) (m) : vecteur unitaire porté par la ligne d’action de la force élec-

trostatique

En pratique il faudra projeter chaque vecteur suivant la direction du champ résul-tant avant d’intégrer.

Distribution surfacique de charges Distribution volumique de charges

Densité surfacique de charge : Densité volumique de charge :

Expression du champ électrostatique : Expression du champ électrostatique :

El

ruP

0=

14

d( )

( )∫ π

λε 2

C

E P( )

λdlε0

dlu

dE

σ = dd

q

Sρ = d

dq

V

ES

ru

SP

0=

14

d( )

( )∫∫ π

σε 2

Er

uP0

=1

4d

( )( )∫∫∫ π

ρε

V

V2

(S)

Sd

P

+

r

+

u

qd

( )PEd

+ ++ +

++

++

++

+ ++

++

++

+

+ +

P

+

+

+

+

+

qd

r

(V)

u

( )PEd

dV+

+

+

+

++

+

+

++

+ ++

+

++

+

+

+

+

+

+

+

λ > 0

150

Page 157: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 44 • Champ électrostatique

Il faut donc exprimer toutes les variables du problème, c’est-à-dire r et , en fonction de α.

Æ Exprimons r en fonction de α : on a : , d’où :

Æ Exprimons en fonction de α :On commence par écrire l’expression de l en fonction de α, d’où : . Pour obtenir l’expression de en fonction de α, on écrit la différentielle de l par rapport à α

que l’on assimile au déplacement élémentaire , soit : .

D’après (1) le champ élémentaire s’écrit alors :

. (2)

Avant d’obtenir par intégration l’expression du champ résultant en P, il est nécessaire de pro-jeter au préalable la relation (2) qui est une relation vectorielle sur les axes et afind’obtenir deux relations scalaires que l’on pourra intégrer. On remarque que pour des raisonsde symétrie, la composante du champ électrostatique total sur l’axe est nulle.

Projetons le champ élémentaire sur l’axe :

Intégration du champ élémentaire sur tout le fil (c’est-à-dire pour ) :

.

Le champ total créé par un fil infini en un point P de l’espace à la distance R du fil infini est

donc : .

On choisit un point M quelconque sur le filauquel correspond un élément de longueur .Cet élément de longueur « porte » une chargeélémentaire , telle que : . Lacharge crée alors en P, à la distance r de ,un champ électrostatique élémentaire tel que :

(1)

La distance R étant fixée, la valeur du champélectrostatique dépend uniquement du para-

mètre angulaire a défini par .

R

qd ld

P

r

Ed

αl

u

O

fil infini

M

x

yj

i

dl

dq d dq l= λdq dl

d =1

4d 1

4d

P0 0

Eq

ru

l

ru( ) =

π πλ

ε ε2 2

α= OP,PM( )dl

cosα=R

rr

R=

cosαdl

l R= tan αdl

dl dlR

l=cos

d =d2α

α

d PE( )

d =4

dP0

ER

u( )1

πλ

εα

Px Py

Px

Py ⇒ ( )d =4

dP0

ER

λε

α αcos

d PE( ) − ≤ ≤ +π α π2 2

ER RP

02

02

=4

d4( )

+

+

∫ = [ ]1 12 2π

λπ

λ απ

π

π

π

εα α

εcos sin

ERP

0=

2( )1

πλ

ε

ER

jP0

=2( )

λε

151

Page 158: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

45 Potentiel électrostatique

1. EN QUELQUES MOTS…De la même manière qu’il est possible d’affecter à chaque point de l’espace une grandeur vec-torielle qui est le champ électrostatique, il est également possible de lui affecter une grandeurscalaire que l’on appelle potentiel électrostatique (ou plus simplement potentiel), noté V(unité le Volt, noté V).

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Potentiel électrostatique créé par une charge ponctuelleL’expression du potentiel électrostatique créé par une charge ponctuelle q en un point P de

l’espace à la distance r de la charge est donnée par : .

Le potentiel électrostatique est une fonction scalaire définie à une constante près. La conven-tion classique pour déterminer cette constante est de prendre le potentiel nul à l’infini (sousla condition qu’il n’y ait pas de charge à l’infini), d’où :

Comme pour le champ électrostatique, le potentiel électrostatique est non défini au point oùse trouve la charge ponctuelle q, car lorsque rÆ 0, alors Æ ∞.

b) Potentiel électrostatique créé par une distribution de charges ponctuellesLorsque l’on place en n points Mi de l’espace une charge ponctuelle qi fixe, le potentiel élec-trostatique créé par ces charges en un point quelconque P de l’espace est la somme algébri-que des potentiels créés par chacune de ces charges, tel que :

, où ri est la distance entre le point Mi et le point P.

c) Potentiel électrostatique créé par une distribution continue de charges De façon similaire à ce qui a été fait pour le champ électrostatique dans le cas d’une distribu-tion continue de charges, on peut déterminer le potentiel créé par cette distribution en unpoint P quelconque de l’espace. La répartition des charges est caractérisée en chaque point de l’élément considéré (courbe (C),surface (Σ), volume (V)), par la densité de charge (linéique , surfacique , volumique ).

: potentiel électrostatique créé par une charge ponctuelle q à la dis-tance r de q (V)q : charge électrique (C)r : distance entre q et le point P (point où le potentiel est mesuré) (m)

: permittivité électrique du vide (F.m–1)

Vq

rP0

cste( ) = +14π ε

Vq

rP0

( ) = 14π ε

V P( )

ε0

V r→( )0

Vq

ri

ii

n

P0

( )=

= ∑14

1π ε

λ σ ρ

152

Page 159: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 45 • Potentiel électrostatique

En un point P de l’espace, situé à la distance r de l’élément considéré, l’expression du potentielélectrostatique, noté , est donné par :

d) Relation entre potentiel et champ électrostatiqueConsidérons le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle q, placée en unpoint O, en un point P quelconque de l’espace à la distance r de O. La charge q est placéedans le vide et choisie arbitrairement positive. L’expression du champ électrostatique est

donnée par : .

Considérons à présent le déplacement élémentaire du point P suivant la direction et calcu-

lons le produit scalaire , on obtient : .

Calculons à présent l’expression du potentiel électrostatique créé par la charge q au point P :

.

En écrivant la différentielle de par rapport à r on a :

. (2)

En identifiant les relations (1) et (2) on obtient : .

Distribution linéique de charges Distribution surfacique de charges Distribution volumique de charges

Densité linéique de charge : Densité surfacique de charge : Densité volumique de charge :

Expression du potentiel électrostatique :

Expression du potentiel électrostatique :

Expression du potentiel électrostatique :

Le vecteur champ électrostatique étant porté parle vecteur unitaire , seule la composante de suivant la direction du vecteur unitaire inter-vient dans le calcul du produit scalaire. On note

la composante de suivant , on a alors :

. (1)

V P( )

λ = ddq

lσ = d

dq

Sρ = d

dq

V

Vl

rP0

=1

4d

( )( )∫ π

λε

C

VS

rS

P0

=1

4d

( )( )∫∫ π

σε

VrP

0=

14

d( )

( )∫∫∫ π

ρε

V

V

E P( )

Eq

ruP

0( ) = 1

4 2π ε

dl

E lP( ).d E lq

ru lP

0.d = d( )

14 2π ε

.

q>0

Pr

u

( )PEld

rd

O

u dlu

dr dl u

E lq

ru r uP

0.d = d( )

14 2π ε

.

⇒ ( )E lq

rrP

0.d = d

14 2π ε

Vq

rP0

( ) = 14π ε

V P( ) d dVq

rP0

=4

( )⎛⎝⎜

⎞⎠⎟π ε

1

⇒ −( )dVq

rrP

0=

14

dπ ε 2

dV E lP P= .d( ) ( )−

153

Page 160: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 45 • Potentiel électrostatique

Cette relation est fondamentale car elle relie le potentiel électrostatique au champ électrosta-tique. Elle permet de déterminer le champ électrostatique connaissant l’expression du poten-tiel ou le potentiel électrostatique connaissant l’expression du champ électrostatique :

e) Notion de circulationPar définition la circulation élémentaire du champ électrostatique, , le long d’une courbe(C), d’extrémités A et B, s’écrit : , où est le vecteur déplacement élémentairede le long de (C).

En utilisant le fait que : alors la circulation élémentaire du champ électro-statique, , le long de la courbe (C) s’écrit : .La circulation totale de le long de (C) entre A et B est donnée par : .

Le champ électrostatique dérive donc d’un potentiel scalaire V, ce qui implique :

Pour calculer le champ électrostatique à partir du potentiel électrostatique ou vice versa, on

peut alors utiliser indifféremment l’expression de la circulation de : ou le fait

que le champ électrostatique dérive d’un potentiel scalaire : , car les deux relations

sont strictement équivalentes : .

f) Surfaces équipotentielles et lignes de champc Surfaces équipotentielles Les surfaces équipotentielles sont constituées par l’ensemble des points ayant la même valeurde potentiel. Par définition, une surface équipotentielle est représentée par l’équation :

.

: potentiel électrostatique (V) : champ électrostatique (V.m–1) : déplacement élémentaire (m)

La circulation de le long de la courbe (C) est doncégale à la différence de potentiel entre le point A etle point B.

La circulation de le long de (C) est indépendantedu chemin suivi pour passer de A à B, mais dépenduniquement de l’état initial (A) et de l’état final (B).

: champ électrostatique (V.m–1) : potentiel électrostatique (V)

: opérateur gradient (il transforme un champ scalaire en un champ vectoriel)

Comme le champ électrostatique dérive d’un potentiel alors sa circulation le long

d’une courbe fermée est nulle : .

Le champ électrostatique est toujours normal (ou perpendiculaire) aux surfaceséquipotentielles.

dV E l= . d−VEdl

Ed = dABC E l. dl

E

dV E l= d− .E d = dABC E l V. = −d

E E l V V.dA

B

A B∫ = −( ) ( )

(C)

++

++E

A

B

ld

E

E

E

E V= grad−EV

grad

E dV E l= d− .

E V= grad−

dV E l E V= d = grad− ⇔ −.

E

E l.d =∫ 0

V x,y,z =cste( ) ⇔ E l. d =0

154

Page 161: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 45 • Potentiel électrostatique

c Lignes de champ

3. EN PRATIQUE

On sait que : ne dépend que de r et il est « porté » par , donc :

d’où :

Lorsque , alors , d’où

.

Une ligne de champ est une courbe telle que lechamp électrostatique soit tangent en tout pointà cette courbe. Les lignes de champ sont orientéesdans le sens du champ électrostatique.On vient de voir que le champ électrostatiqueétant toujours perpendiculaire aux surfaces équi-potentielles, les lignes de champ sont toujoursperpendiculaires aux surfaces équipotentielles.

Le champ électrostatique est toujours orienté dans le sens des potentiels décroissants.

Cherchons à calculer le potentiel électrostatique créépar une sphère (S) de rayon R, à la distance r du centrede la sphère O, telle que : r > R. La sphère porte unedensité surfacique de charge uniforme, notée , telleque : . On donne l’expression du champ électrosta-

tique créé par la sphère (S) en r : (étant

donnée la géométrie du problème le champ est

radial). L’expression de est déterminée grâce au théo-rème de Gauss (Fiche 46).

E

lignes de champs

surfaces équipotentielles

EE

q>0

E

R

r

O

(S)

E

u σσ > 0

ER

ru= σ

ε0

2

2

E

E

E V= grad−E u E

V

ru= − ∂

d = dV E r ⇔ −d = d0

VR

rr

σε

2

2

VR

rr

R

r= d cste

0 0

σ σε ε

− = +∫2

2

2

r → ∞ V → 0 cste = 0

⇔ VR

r=

0

σε

2

155

Page 162: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

46 Dipôle électrostatique

1. EN QUELQUES MOTS ...Un dipôle électrostatique est un système composé de deux charges ponctuelles de signeopposé, –q et +q, respectivement placées en deux points N et P distant de a. La distance a esttrès faible par rapport à la distance à laquelle on détermine le potentiel électrostatique et lechamp électrostatique créé par le dipôle.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Potentiel créé par un dipôleLe potentiel électrostatique créé par le dipôle électrostatique est calculé en un point M situé àune distance r du centre du dipôle (point O) telle que : .

Le potentiel créé par le dipôle en M est :

.

La valeur q est toujours positive et le moment dipolaire est orienté de la charge négative versla charge positive. Le potentiel s’écrit :

b) Champ électrostatique créé par un dipôleL’expression du champ électrostatique créé par le dipôle en M est obtenue à partir de

l’expression du potentiel en utilisant le fait que : . Le problème du dipôle

On appelle H la projection orthogonale de P sur .

Les angles et sont considérés comme

égaux car , et sont notés .

Comme , on peut écrire : et

, le potentiel électrostatique créé par le dipôle en

M s’écrit alors :

Le vecteur moment dipolaire ou plus simplement moment

dipolaire, noté (unité le Coulomb mètre, noté C.m), est

défini par : .

: potentiel électrostatique créé par le dipôle en M (V) p : norme du moment dipolaire (C.m) r : distance entre le centre du dipôle et le point M (m)

: permittivité électrique du vide (F.mm–1)

r a

Vq

r

q

rM0 0

( ) = −14

141 2π πε ε

⇒ = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟( )V

q

r r

q r r

r rM0 04

1 141 2

2 1

1 2π πε ε

q− q+

N P

a

O

M

r1r

2r

H

θ θ

ruuθ

( )ME

p

NM

ON,NM( ) OP,PM( )r a θ

r a r r a2 1− ≈ ≈NH cosθr r r2 1

2≈

Vq a

rM

0( ) =

4 2π εθcos

p

p q= NP

Vp

rM

0( ) =

4 2π εθcos

V M( )

ε0

E VM M= grad( ) ( )−

156

Page 163: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 46 • Dipôle électrostatique

électrostatique ayant une symétrie de révolution autour de , le champ électrostatique créé

par le dipôle est contenu dans le plan formé par la base polaire . Le potentiel dépendant du paramètre angulaire , il est judicieux d’utiliser l’expression dugradient en coordonnées polaires plutôt qu’en coordonnées cartésiennes, soit :

.

On obtient alors pour l’expression du champ électrostatique créé par le dipôle en M :

3. EN PRATIQUE…

Exprimons la résultante des forces agissant sur le dipôle :

, la résultante des forces est nulle. Exprimons le moment de la force résultante agissant sur le dipôle :

, car et

.

Le dipôle est en équilibre lorsque : , c'est-à-dire : .

Il existe alors deux positions qui vérifient la condition d’équilibre : – si , alors et sont dans le même sens (équilibre stable) ;– si , alors et sont en sens contraire (équilibre instable).

Le moment de la force résultante au point O tend donc à aligner le dipôle dans le sens duchamp . Autrement dit, il fait tourner le dipôle autour de O de façon ce que et soientcolinéaires.

: champ électrostatique (V.m–1)

p : norme du moment dipolaire (C.m) r : distance entre le centre du dipôle et le point M (m)

: permittivité électrique du vide (F.m–1)

Caractérisons l’action d’un champ électrostatique surun dipôle. Plaçons ce dipôle, constitué de deux char-ges –q et +q, dans un champ électrostatique uniforme,noté . Sous l’action du champ extérieur , le dipôleest soumis à une action mécanique. Cette action estcaractérisée par une force résultante, notée et lemoment de la force résultante au point O (centre dudipôle), noté .

NP

u ur , θ( )θ

EV

ru

r

VurM

M M=( )

( ) ( )−∂

∂−

∂1

θ θ

Ep

ru

p

rurM

0 0=( ) +2

4 43 3π π θεθ

εθcos sin

E M( )

ε0

q−

q+

N

P

a

O

θ

E

i

j

x

y

PF

NF

E

p

E E

F

MF / O( )

F F F qE i qE i= + = − + =N P 0

MF F F/ O P NOP ON( ) = ∧ + ∧

⇔ = ∧ + ∧( )MF F F/ O P POP NO ON NO= − F FP N= −

⇔ = +( ) ∧ = ∧( )MF F F/ O P PNO OP NP

⇔ = ∧ = ∧ = ∧( )MF qE q E p E/ O NP NP

MF / O( ) = 0 p E sin θ = 0

θ = 0 p Eθ =π p E

E p E

157

Page 164: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

47 Théorème de Gauss

1. EN QUELQUES MOTS…Le théorème de Gauss est un outil puissant qui permet de calculer facilement le champ élec-trostatique créé par une distribution de charges. En pratique, le théorème de Gauss s’appli-que essentiellement lorsque les charges sont réparties régulièrement sur un plan, ou dansl’espace avec une symétrie sphérique autour d’un point fixe, ou une symétrie cylindriqueautour d’un axe de révolution.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Orientation d’une surface

Une surface est dite ouverte lorsqu’elle s’appuie sur un contour fermé. Une surface ferméeest formée de 2 surfaces ouvertes s’appuyant sur le même contour fermé.Dans le cas d’une surface fermée, par convention, la normale positive est toujours dirigée del’intérieur de la surface vers l’extérieur de la surface.

b) Flux du champ électrostatiqueLe flux électrostatique élémentaire, noté , du vecteur champ électrostatique , à traversun élément de surface , est le scalaire, tel que :

, ou .

Le flux du vecteur champ électrostatique , à travers une surface finie S est alors :

Considérons une surface ouverte Σ, s’appuyant sur un contour

fermé Γ, orienté. Soit le vecteur unitaire tangent au contour

Γ, en un point P. Soit le vecteur unitaire orthogonal à ,situé dans le plan tangent en P à Σ. Par convention, le sens de la

normale positive, , en P à Σ est donné par : .

Si la surface est ouverte, il est possible de passer d’une face à l’autre sans traverser lasurface. En revanche, si la surface est fermée, elle sépare l’espace en deux zones corres-pondant aux deux faces, intérieur et extérieur, et il faut traverser la surface pour passerd’une zone à l’autre.

: flux du champ électrostatique (V.m)

: champ électrostatique (V.m–1)

: surface élémentaire à travers laquelle on calcule le flux de (m2)

*T Tn

P

Σ

ΓT

T * T

n n T T= ∧ *

dφ EdS d dS n S=( )

d dφ = E S. d d dφ = ( )E S E S. cos ,

E

φ = ∫∫ E SS

.dφ

E

dS E

158

Page 165: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 47 • Théorème de Gauss

c) Théorème de GaussLe théorème de Gauss permet d’écrire que le flux du champ électrique à travers une surface Sfermée, appelée surface de Gauss, est égal à la somme des charges intérieures au volume déli-mité par S divisée par , d’où :

3. EN PRATIQUE…

Le flux total du champ électrostatique créé par le fil à travers S est la somme de trois contri-butions : le flux à travers la surface latérale S1, et les flux à travers les deux surfaces S2et S3. On obtient alors :

.

Le champ électrostatique étant radial (orienté suivant le rayon du cylindre), le flux de àtravers les surfaces S2 et S3 est nul : et , car et (où et sont les vecteurs surfaces élémentaires sur les faces S2 et S3).Le vecteur surface élémentaire sur la surface S1, orientée vers l’extérieur de la surface,est un vecteur radial, donc : , d’où le flux sur la paroi latérale :

car E uniforme sur S1, d’où :

.

La charge intérieure au volume du cylindre est : .

D’après le théorème de Gauss on a alors : .

La norme du champ électrostatique pour un fil rectiligne de longueur l portant une densité

linéique de charge uniforme est donc : .

: flux du champ électrostatique (V.m) : champ électrostatique (V.m–1) : vecteur surface élémentaire

: charge totale contenue dans le volume délimité par lasurface de Gauss S considérée (C)

: permittivité électrique du vide (F.m–1)

Reprenons l’exemple précédent d’un fil rectili-gne de longueur l portant une densité linéiquede charge uniforme telle que : . On cher-che à déterminer le champ électrostatique créépar le fil à la distance r. Pour des raisons desymétrie on choisit comme surface de Gauss lasurface S d’un cylindre de rayon r et de lon-gueur l.

ε0

φ = =∫∫ E SQ

S

.int

d0ε

φEdSQint

ε0

l

r0λ >

(S1)

fil

surface du cylindre perpendiculaire au

fil

surface latérale du cylindre

2dS 3dS

(S2) (S3)

λ > 0

φ1 φ2 φ3

φ φ φ φ= + + = + +∫∫ ∫∫1 2 3 1 2 3

1 2 3

E S E S E SS S S

. . .d d d∫∫∫E

φ2 0= φ3 0= E S⊥ d 2 E S⊥ d 3 dS2 dS3

dS1E Sd 1 φ1

φ φ= = = × =∫∫ ∫∫ ∫∫1 1 1 1

1 1 1

E S E S E S.d d dS S S

φ φ π= = =1 1 2ES E r l

Q l l lint = = =∫ ∫λ λ λd d

E r l l2π λ=ε0

Er

π2 ε0

159

Page 166: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

48 Conducteurs en équilibre

1. EN QUELQUES MOTS ...Un conducteur est un corps qui contient des porteurs de charges susceptibles de se déplacersous l’action d’un champ électrique. Un conducteur est dit en équilibre électrostatique lorsquele mouvement d’ensemble des porteurs de charges est nul (les charges libres sont immobiles).

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Champ électrostatique à l’intérieur d’un conducteur en équilibreLes charges à l’intérieur d’un conducteur en équilibre sont immobiles, elles ne sont soumises àaucune force, d’où : . On en déduit donc que le champ électrostatique à l’intérieur

d’un conducteur en équilibre, noté , est nul : .

b) Potentiel à l’intérieur d’un conducteur en équilibreLe champ électrostatique étant nul à l’intérieur d’un conducteur en équilibre, ceci implique quele potentiel électrostatique est constant en tout point à l’intérieur d’un conducteur en équilibre :

.

c) Densité volumique de charge à l’intérieur d’un conducteur en équilibreD’après le théorème de Gauss pour une densité volumique de charge, notée , le flux duchamp électrostatique à l’intérieur d’une surface de Gauss, notée S, délimitant le volume

du conducteur en équilibre s’écrit : . Le champ électrostati-

que étant nul à l’intérieur du conducteur , le flux électrostatique est alors nul àl’intérieur de celui-ci. La densité volumique de charge est donc nulle à l’intérieur d’un con-ducteur en équilibre :

.

Par conséquent, la charge est uniquement répartie à la surface du conducteur en équilibre,avec une densité surfacique de charge .

d) Théorème de CoulombD’après le théorème de Coulomb en un point M, au voisinage extérieur d’un conducteurchargé en équilibre , le champ est normal à la surface du con-ducteur et a pour expression :

À cause de la propriété de continuité de la fonction potentiel, le potentiel électro-statique est également constant sur la surface du conducteur en équilibre.

: normale à la surface du conducteur, orientée vers l’extérieur : densité surfacique de charges au voisinage de M : permittivité électrique du vide (F.m–1)

F qE= =int 0

Eint Eint = 0

Vint = cste

ρ

φρ

= = =∫∫ ∫∫∫( )

E SQ

Sint

int

.dd

0 0ε εV

V

Eint =( )0

ρint = 0

σ

E Vint int int;= = =( )0 0cste ; ρ

E n= σε0

nσε0

160

Page 167: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 48 • Conducteurs en équilibre

Le théorème de Coulomb montre que le champ électrostatique est discontinu à la traverséed’un conducteur en équilibre, puisque, nul à l’intérieur, il a une valeur finie juste à l’extérieur.Par convention le champ électrostatique sur la surface d’un conducteur en équilibre est égalà la moyenne arithmétique entre la valeur du champ à l’intérieur du conducteur et sa valeur

au voisinage immédiat, d’où :

e) Phénomènes d’influencec Influence partielle

En revanche, lorsque l’on rapproche (A) et (B), on constate qu’il y a apparition à la surfacede (B) de charges négatives sur la partie faisant face à (A) et de charges positives sur l’autrepartie, la charge totale de (B) restant neutre. On dit alors que (A) et (B) sont en positiond’influence partielle. c Influence totale

3. EN PRATIQUE…Cherchons à déterminer la pression électrostatique (force par unité de surface de nature élec-trique), notée P, à la surface d’un conducteur en équilibre électrostatique. Prenons un élément de surface à la surface d’un conducteur en équilibre électrostatique etsupposons que la densité surfacique de charge est constante sur toute la surface. Il existe

un champ électrostatique sur la surface du conducteur tel que : .

La charge élémentaire contenue sur est alors soumise à une force électrostatique élé-

mentaire, notée , tel que : . On définit alors la pression électrostatique, notée P (unité le Pascal, noté Pa), comme lerapport sur , d’où :

Considérons un conducteur (A) chargé positi-vement et un conducteur (B) électriquementneutre. Si les deux conducteurs sont suffisam-ment loin l’un de l’autre il n’y aura aucuneinfluence entre eux.

Deux conducteurs sont en position d’influence totale lorsque l’undes deux entoure complètement l’autre. Les charges globales por-tées par les deux surfaces en regard sont alors égales et opposées.Il va apparaître, si (A) est chargée +Q, une charge –Q sur la faceinterne de (B).

E

E n= σ2ε0

+

+

+

+

+

+++++

++

++

+ + + +

+ ++++

+++-

-----

- -

A B

B

A

-Q

+Q

dSσ

E E n= σ2ε0

dq dS

dF d dF q E=

dF dS

PF

S= =

d

d 0

σ 2

161

Page 168: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

49 Condensateurs

1. EN QUELQUES MOTS…Un condensateur est un ensemble de 2 conducteurs (A) et (B) en position d’influence totale,donc : , où et sont respectivement les charges sur la partie externe de (A)et sur la partie interne de (B). Les parties (A) et (B) sont appelées les armatures du condensateur.On appelle la charge du condensateur, il s’agit de la valeur absolue commune des chargesdes deux armatures : .

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Capacité d’un condensateurLa capacité d’un condensateur (unité le Farad, noté F) est une grandeur positive. C’est unecaractéristique intrinsèque du condensateur qui dépend uniquement de sa géométrie. Elle estdéfinie par :

b) Association de condensateursDe la même façon que pour les résistances, il est possible d’associer des condensateurs ensérie, ou en parallèle (dérivation) afin de calculer la capacité équivalente, notée Ceq.

C : capacité du condensateur (F)Q : charge du condensateur (C)

: différence de potentiel aux bornes du condensateur, égalementnotée U. Par convention , donc est le potentiel de l’arma-ture chargée +Q et celui de l’armature chargée –Q.

En série :

Ceq : Capacité équivalente (F)Ci : ième capacité (F)

Q Qext = − int Qext Qint

QQ Q Q= =ext int

B A extQintQ

C =−Q

V V1 2V V1 2−

V V1 2 0− > V1V2

1Q+ 1Q− 2Q+ 2Q− nQ+ nQ−

1C 2C nC

1 1

1C Ceq ii

n

==∑

162

Page 169: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 49 • Condensateurs

3. EN PRATIQUECherchons à déterminer la capacité C d’un condensateur plan de surface S. La distance entreles deux armatures est notée d et le vide est établi entre elles. Le potentiel de l’armature char-gée +Q est V1, et celui de l’armature chargée –Q est V2. Il existe entre les deux armatures unchamp électrostatique, , dirigé dans le sens des potentiels décroissants ( ). Pour cal-culer le champ électrostatique on peut utiliser le théorème de Gauss. On choisit alors une sur-face de Gauss parallélépipédique liée à la géométrie du problème, notée . La surface deGauss est composée de six faces, notées : , , , , et .

Le théorème de Gauss s’écrit : , où Q est la charge intérieure contenue dans S.

Le flux de à travers les faces , , et est nul car (avec [1,4]). Il est égale-

ment nul à travers car est à l’intérieur du conducteur et .

Le flux du champ électrostatique à travers s’écrit : , car .

La norme du champ électrostatique est alors : car le flux de à travers

est équivalent au flux de à travers S.À partir de la circulation du champ entre les deux armatures, on détermine la différence depotentiel aux bornes du condensateur :

et sont colinéaires entre les 2 armatures, donc :

. (1)

En parallèle :

Ceq : Capacité équivalente (F)Ci : ième capacité (F)

La neutralité électrique impose que la charge estla même pour tous les condensateurs.

Or, on sait que la capacité d’un condensa-teur, quelle que soit sa géométrie, est de

la forme : .

Par conséquent d’après (1), on obtient :

.

La capacité d’un condensateur plandépend uniquement de la surface desarmatures et de la distance entre elles.

Q+

Q−

Q+

Q−

Q+

Q−1C 2C nCC Ceq i

i

n

==∑

1

E V V1 2→

SS1 S2 S3 S4 S5 S6

φ = =∫∫ E SQ

S

.d0ε

E S1 S2 S3 S4 E Si⊥ d i ∈

S5 S5 Eint = 0

S6 φ = × =E SQ

6 ε0

E Sd 6

EQ

S

Q

S= =

ε ε0 06

E S6

EE

V V1 2− dV E l= d− .

E d l dV E lV

V d

1

2

0∫ ∫−= d

dV E lV

V d

1

2

0∫ ∫−= d ⇒ −V VQd

S1 2 =0ε

d

( )S

0int =E

E++

---+

1V

2V

1S2S

3S

4S

5S

6S

C =−Q

V V1 2

C 0=ε S

d

163

Page 170: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

50 Énergie électrostatique

1. EN QUELQUES MOTS…L’expression de l’énergie potentielle électrostatique, ou plus simplement l’énergie électro-statique est calculée pour tous les cas envisagés précédemment : charge ponctuelle, conduc-teur en équilibre électrostatique, condensateur, dipôle.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Énergie électrostatique d’une charge ponctuelle placée dans un champ électrostatique uniformeConsidérons une charge q, située en un point P de l’espace où règne un champ électrostatique

dérivant d’un potentiel V. On appelle énergie potentielle électrostatique, ou énergie élec-trostatique, notée , de la charge q le travail à fournir pour amener cette charge de l'infini(où le potentiel est nul) à la position P (où le potentiel est ), telle que :

(L’énergie électrostatique est définie à une constante additive près).

b) Énergie électrostatique d’interaction de deux charges ponctuellesAppliquons le résultat précédent à la situation où le potentiel au point P, où se trouve unecharge q1, est créé par une charge ponctuelle q2 située à la distance r de q1. La charge q1 est

alors soumise au potentiel V2, tel que : . L’énergie électrostatique d’interactionest alors :

c) Énergie électrostatique d’interaction de n charges ponctuellesL’énergie électrostatique d’interaction d’un système formé de n charges ponctuelles, s’écrit :

La sommation se fait sur tous les couples (i, j) avec i ≠ j. Le facteur corrige le fait quel’interaction de chaque couple de charges est comptée deux fois.

: énergie potentielle électrostatique (J) q : charge électrique (C)

: potentiel au point P (V)

: énergie potentielle électrostatique (J) q1 et q2 : charges électriques (C)

: potentiel créé par la charge q2 au point où setrouve q1 (V) r : distance entre q2 et q1 (m)

EEp

V P( )

Ep = ( )qV P

Ep

V P( )

Vq

r221

4=

π ε0

Ep = =q Vq q

r1 21 21

4π ε0

Ep

V2

Ep =≠

∑∑12

14π ε0

q q

ri j

ijj ii12

164

Page 171: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 50 • Énergie électrostatique

d) Énergie électrostatique d’une distribution continue de chargesPour une distribution continue de charges, la généralisation de la formule précédente (cas den charges ponctuelles) permet d’écrire :

e) Énergie électrostatique d’un condensateurL’énergie électrostatique d’un condensateur est définie par :

3. EN PRATIQUEOn propose d’établir l’expression de l’énergie électrostatique d’un dipôle NP placé dans un

champ électrostatique externe uniforme . On s’intéresse à l’énergie électrostatique entre le

dipôle et le champ et non à l’énergie d’interaction du dipôle lui-même (interaction entre lacharge +q et la charge –q du dipôle lui-même). On considère donc le dipôle comme un sys-tème de deux charges, +q et –q , qui n’interagissent pas entres elles, placées respectivement

en P et N. On note et les potentiels en P et en N. L’énergie électrostatique du dipôle

s’écrit : . (1)

En écrivant la circulation du champ électrostatique entre N et P, on obtient :

(2)

En combinant (1) et (2), on obtient : .

: énergie potentielle électrostatique (J) dq : charge élémentaire contenu autour du point P

: potentiel au point P

: énergie potentielle électrostatique (J)Q : charge du condensateur (C)V : différence de potentielle aux bornes du condensateur (V)C : capacité du condensateur (F)

La quantité correspond au moment dipolaire dudipôle NP, également noté . L’énergie potentielleélectrostatique d’un dipôle placé dans un champ externe uniforme est donc égale au produit scalaireentre le champ externe et le moment dipolaire dudipôle, d’où :

: énergie potentielle électrostatique (J) : moment dipolaire (C.m)

: champ électrostatique (V.m–1)

Ep = ( )∫12

dqV P

Ep

V P( )

Ep = = =12

12

12

22Q

V QVC

C

Ep

E

E

V P( ) V N( )Ep = − = −( )( ) ( ) ( ) ( )qV qV q V VP N P N

E dV E l= − .d

dV E lV

V

N

P dN

P

( )

( )∫ ∫= − .

V V E l E lP N N

P

N

Pd d( ) ( )− = − = −∫ ∫.

V V EP N NP( ) ( )− ≈ − .

Ep = − = −qE E q. .NP NP

-q

+q

O

E

N

Pp

qNPp

E

Ep = − p E.

Epp

E

165

Page 172: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

51 Champ magnétique

1. 1. EN QUELQUES MOTS…Un fil parcouru par un courant électrique ou encore un aimant crée en son voisinage unchamp magnétique. Présentons les principales propriétés du champ magnétique. En régimepermanent, le champ magnétique sera appelé champ magnétostatique.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Sources de champ magnétique c On peut distinguer deux sources de champ magnétique :

– les aimants : certains matériaux, comme le fer, le nickel ou le cobalt, sont capablesd’engendrer en leur voisinage un champ magnétique ; ils constituent des aimants perma-nents et sont dits ferromagnétiques.Un aimant possède toujours deux pôles, un pôle nord et un pôle sud, même si l’aimant estbrisé en deux : il n’est pas possible d’isoler les deux pôles. Par opposition, une substanceélectrisée présente soit une charge positive, soit une charge négative.

– les courants électriques, c’est-à-dire des charges en mouvement d’ensemble : un conduc-teur parcouru par un courant électrique crée un champ magnétique en son voisinage.

c Unité du champ magnétique : le Tesla (T).c Ordres de grandeur :

– Champ créé par un aimant : 0,1 à 1 T– Champ magnétique terrestre : 5.10–5 T

b) Lignes de champ c Les courbes tangentes au champ magnétique sont appelées lignes de champ. Elles sont

orientées dans le sens du champ magnétique. Ainsi, l’équation d’une ligne de champs’écrit : où est un déplacement élémentaire le long de la ligne de champ. Laligne de champ issue d’un point initial est obtenue par intégration de cette équation.

c Citons des exemples de lignes de champ :

c Un ensemble de lignes de champ s’appuyant sur une courbe fermée constitue un tube de champ.

Lignes de champ d’un aimantLignes de champ d’une spire circulaire d’axe

, dans un plan contenant cet axe.

B

dl B∧ = 0 dl

Oz

166

Page 173: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 51 • Champ magnétique

c) Propriétés de symétrie du champ magnétiquePour déterminer la direction du champ magnétique créé par une distribution de courant, il est sou-vent utile d’étudier les propriétés de symétrie de cette distribution. Cela permet également dedéterminer les variables d’espace dont le champ magnétique dépend et simplifie alors son calcul.c Plans de symétrie : Soit une distribution de courant présentant un plan de symétrie Π.

– Si M et M′ sont deux points symétriques par rapport au plan Π, alors le champ magnéti-que au point M′ est l’opposé du symétrique du champ magnétique au point M.

Considérons par exemple deux fils rectilignes infinis parallèles parcourus par un courant I demême sens.

– Si M appartient au plan Π de symétrie, alors le champ magnétique est perpendicu-

laire au plan de symétrie. En effet .

c Plans d’antisymétrie : Soit une distribution de courant présentant un plan d’antisymétrie Π′.– Si M et M′ sont deux points symétriques par rapport au plan Π′, alors le champ magnéti-

que au point M′ est le symétrique du champ magnétique au point M.Prenons l’exemple de deux fils rectilignes infinis parallèles parcourus par un courant I. Lesens du courant est opposé dans les deux fils.

– Si M appartient au plan Π′, alors le champ magnétique est contenu dans le plan

d’antisymétrie Π′. En effet .

c Invariance par translation : Si la distribution de courant est invariante par translation lelong d’un axe alors le champ magnétique est indépendant de la coordonnée d’espace z.

c Invariance par rotation : Si la distribution de courant est invariante par rotation autour d’unaxe alors le champ magnétique est indépendant de l’angle radial θ.

Il faut noter que le champ magnétique n’a pas les mêmes propriétés de symétrie que lechamp électrostatique .

Le champ peut se mettre sous forme de lasomme d’une composante parallèle et d’unecomposante perpendiculaire au plan desymétrie.

étant l’opposé du symétrique de par rapport au plan Π, on a :

et

étant le symétrique de parrapport au plan Π′, on a :

et

(M')B

(M)B

M (M)⊥B

(M)B

M'

I I

(M ')⊥B

Π

(M ')BB

B

B⊥

B( )M'B( )M

B B⊥ ⊥=( ) ( )M' M B B( ) ( )M' M= −

B( )M

M' M≡ ⇒ B B( ) ( )M M= − ⇒ B ( )M = 0

(M ')B

M’ (M ')⊥B

(M ')B(M)B

I

M (M)⊥B

Π’

(M)B

I

B( )M' B( )M

B B⊥ ⊥= −( ) ( )M' M B B( ) ( )M' M=

B( )M

M' M≡ ⇒ B B⊥ ⊥= −( ) ( )M M ⇒ B⊥ =( )M 0

Oz

OzB

E

167

Page 174: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

52 Loi de Biot et Savart

1. EN QUELQUES MOTS…De la même manière que la loi de Coulomb permet de calculer le champ électrostatique crééen un point de l’espace par une distribution de charges, la loi de Biot et Savart permet dedéterminer le champ magnétostatique créé en un point de l’espace par une distribution decourant.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…c Considérons un élément de conducteur filiforme de longueur dl, centré au point M, et par-

couru par un courant I. La loi de Biot et Savart permet de déterminer le champ magnétos-

tatique élémentaire créé en un point P par l’élément de courant .

c Caractéristiques de :

– Direction : est orthogonal au plan formé par la portion de conducteur et le vecteur .– Sens : il est déterminé par la règle des trois doigts de la main droite :

Pouce : sens du courant électrique ; Index : sens de ; Majeur : sens de .

c Pour un circuit filiforme (C) parcouru par un courant I, le champ magnétostatique créé enun point P s’obtient par sommation vectorielle des champs élémentaires créés par l’ensem-ble des éléments de courant du circuit :

3. EN PRATIQUE…

I : intensité du courant électrique (Ampère, A)

: élément de longueur de conducteur orientédans le sens du courant électrique (m)µ0 : perméabilité du vide : µ0 = 4π10–7 H.m–1 (H : Henry)

Déterminons le champ magnétostatique créé par un

solénoïde infini de rayon R, d’axe , comportant n spirespar unité de longueur, et parcouru par un courant I, en unpoint P de son axe. Æ Commençons par calculer le champ créé par une spire dusolénoïde, de centre O, en un point P de son axe.

dB I ld

d d MP

MPB I l= ∧

μπ0

34dl I

P M dl

dB

dB MP

MP dB

B I lMP

MP( )P d = ∧

( )∫

μπ0

34C

B

Oz r

M

P

O

R

dl

I

dB

α 2

π− α

zk

168

Page 175: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 52 • Loi de Biot et Savart

Le champ élémentaire créé au point P par un élément de longueur de la spire, centré

au point M est orthogonal à et à .

Notons r la distance et α l’angle . Lorsque le point M décrit la spire, décrit

un cône de sommet M et de demi-angle . Le champ résultant est donc selon .

Exprimons la norme du champ élémentaire puis sa composante selon l’axe :

Le champ résultant s’écrit donc :

Or r et α sont constants lorsque le point M décrit la spire,

Æ Déterminons maintenant le champ magnétostatique créé par le solénoïde infini en unpoint P de son axe.

D’après les résultats obtenus pour une spire, est selon l’axe . Exprimons le champ élé-mentaire créé par les spires situées entre les cotes z et z + dz, au nombre de ,parcourues par le courant élémentaire :

Exprimons dz en fonction de dα : , d’où

Pour décrire le solénoïde complet, α doit varier entre 0 et π :

dB dl

dl MP

MP PO PM,( ) dB

π α2

− B k

dB dB Oz

dd MP d MP

MP

d B

I l l I l= =

μπ

μπ

03

0

4 4sin( , ) ssin

π

π2

420

2r

I l

r=

μ d

d d dB B Bz = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =cos sin

π α α2

BI l

rk= ∫

μπ

α024

d

spire

sin

sinsin sinα

μπ

α μπ

α= ⇒ = =∫R

rB

I

rl k

I

r d

spire

02

0

4 4 220 32

μαR k

I

Rk = sin

B

B OzdBz d dn n z=

d dI n zI=

d d

Bn z I

Rz =μ

α0 3

2sin

tansin

α α

α= − ⇒ =R

zz

R d

d

2d dB

nIz =

μα α0

2sin

BnI

knI

k( ) sin cosP d = = −[ ]∫μ

α αμ

απ

π0

0

002 2

⇔ = B nI k( )P μ0

169

Page 176: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

53 Théorème d’Ampère

1. EN QUELQUES MOTS…Le théorème d’Ampère permet le calcul du champ magnétostatique créé par une distributionde courant lorsque celle-ci présente des symétries élevées. C’est l’équivalent du théorème deGauss en électrostatique (fiche 46).

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Vecteur densité de courant électrique Le vecteur densité de courant électrique est la charge élémentaire traversant une unitéde surface par unité de temps. Ainsi, la charge élémentaire dQ qui traverse la surface élémen-taire dS pendant dt est donnée par :

On en déduit l’intensité du courant I traversant une surface S :

c Les particules de charge q, de vitesse , traversant la surface dS pendant dt sont celles con-tenues dans un cylindre de base dS et de génératrice (volume Vcyl). Appelons n la den-sité particulaire. La charge élémentaire dQ traversant la surface élémentaire dS pendant dtest donc :

En identifiant avec l’expression : , on obtient l’expression du vecteur densité de

courant électrique associé à un mouvement d’ensemble de particules à la vitesse : b) Circulation du champ magnétiqueConsidérons une courbe fermée quelconque (C) orientée. La circulation du champ magné-tique sur cette courbe est définie par :

ou

: vecteur surface élémentaire avec dSsurface élémentaire (m2), vecteur unitairenormal à dS, orienté vers l’extérieurdQ : charge élémentaire traversant la surfaceélémentaire dS (Coulomb, C)

: vecteur densité de courant électrique (A.m–2)dI : intensité élémentaire du courant électriquetraversant la surface élémentaire dS (A)

: champ magnétique (T) : élément de longueur du contour (m)

C : circulation du champ magnétique (T.m)

j

j

d d dQ j S t= .

d dI j S= .

d dS n S=n

j

j

dS

dv t

I j SS

= ∫∫ .d

vv td

d d dQ nqV nqv t Scyl= = .

d d dQ j S t= .

v j nqv=

C B l= ∫ .( )

d C

Bdl (C)

dB

l

170

Page 177: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 53 • Théorème d’Ampère

c) Théorème d’AmpèreConsidérons un ensemble de fils parcourus par des courants d’intensité I1, I2, …, In et unecourbe fermée orientée quelconque (C) enlaçant certains de ces courants. Soit un vecteurunitaire normal à une surface S s’appuyant sur (C) et orienté selon la règle du tire-bouchon :un tire-bouchon tournant dans le sens choisi pour (C) traverse la surface S dans le sens de .

La géométrie du contour (C) est choisie de telle manière que le champ magnétique soit uni-forme sur le contour. Il faut donc d’abord examiner les symétries de la distribution et endéduire la direction du champ et les variables d’espace dont il dépend.

3. EN PRATIQUE…c Déterminons le champ magnétostatique créé par un tube conducteur creux infiniment long,

de rayon intérieur R1 et de rayon extérieur R2, parcouru par un courant d’intensité I avec

un vecteur densité volumique de courant uniforme. Déterminons le champ magnétique

créé en tout point P de l’espace.

Ienlacé : intensité du courant électrique enlacé par le contour (C),comptée algébriquement.

Ainsi, où :

si Ii traverse la surface S dans le sens de si Ii traverse la surface S dans le sens de

Sur le schéma ci-contre, on a par exemple :

Compte tenu de la symétrie cylindrique de la distribution de courant, uti-lisons les coordonnées cylindriques (r, θ, z), l’axe étant l’axe du tube. Æ 1re étape : Examinons les propriétés de symétrie de la distribution decourants :

Les plans contenant l’axe sont des plans de symétrie. Au point P,

est perpendiculaire au plan contenant P et l’axe :

La distribution de courant est invariante :– par translation le long de l’axe : ne dépend pas de la coordonnée z. – par rotation autour de l’axe : ne dépend pas de la coordonnée θ.On a donc : .

n

n

C B l I= =∫ .( )

d enlacéC

μ0 I Iii

ienlacé = ∑ ε

εi = 1 nεi = −1 −n

nI1

I3 I4 I5 I6

(C)

S

I2

I I I I Ienlacé = + − +2 3 4 5

j

B( )P

Oz

Oz

B( )P Oz

B B r z u( ) ( , , )P = θ θθ

Oz B( )POz B( )P

B B r u( ) ( )P = θ θ

I

r

1

z

R2 (C)

ru

θu

k

R

171

Page 178: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 53 • Théorème d’Ampère

Compte tenu de la symétrie cylindrique de la distribution de courant, utilisons les coordonnées

cylindriques (r, θ, z), l’axe étant l’axe du tube. Æ 2e étape : Choisissons un contour d’Ampère adapté aux symétries de la distribution de cou-rants. Le champ magnétostatique ne dépendant que de la coordonnée d’espace r, on choisitun contour orienté (C) circulaire, de rayon r et d’axe , sur lequel le champ est uniforme.Æ 3e étape : Exprimons la circulation du champ magnétostatique sur ce contour :

.

Æ 4e étape : Examinons le courant enlacé par le contour d’Ampère. Trois cas doivent être dis-tingués :

– Si , – Si , il faut calculer le courant traversant la section du conducteur creux com-

prise à l’intérieur du contour d’Ampère :

où S est la section du conducteur. étant uniforme et colinéaire à , on obtient :

où Si est la section du conducteur à l’intérieur du contour.

On obtient donc :

– Si , .

Le champ magnétostatique est continu en r = R1 et r = R2. Son expression en fonction de r est donc :

c Déterminons le champ magnétostatique créé en tout point P de l’espace par un solénoïdeinfini, de section circulaire (rayon R), comportant n spires par unité de longueur, et par-couru par un courant I.

Oz

Oz

C B l B r u r u rB= = =∫ ∫. ( ) . (( )

d dC

θ θ

π

θ θθ π0

2

2 rr)

r R≤ 1 I rB r B renlacé = ⇒ = ⇔ =0 2 0 0π θ θ( ) ( )R r R1 2≤ ≤

I j SS

= ∫∫ .d j dS

I jS j R R

I jS j r Ri

= = −

= = −

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒

( )

( )

π π

π π22

12

212

enlacé

enlacéI Ir R

R RI

r R

R R=

−=

π π

π π

212

22

12

212

22

12

220

02

12

22

12

212

π μμ

πθ θrB r Ir R

R RB r

I

r

r R

R( ) ( )=

−⇔ =

222

12− R

r R≥ 2 I I rB r I B rI

renlacé = ⇒ = ⇔ =220

0π μμ

πθ θ( ) ( )

B r R

BI

r

r R

R Ru

= ≤

=−

0

2

1

212

22

12

0

pour

poμ

π θ uur

pour

R r R

BI

ru r R

1 2

20

2

≤ ≤

= ≥

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

μ

π θ

0 2 4 6 8 10

0,0

2,0x10-6

4,0x10-6

6,0x10-6

I = 1 A ; R1= 2 cm ; R

2 = 3 cm

B(r

) (

T)

r (cm)

172

Page 179: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 53 • Théorème d’Ampère

Compte tenu de la symétrie cylindrique de la distribution de courant, utilisons les coordon-nées cylindriques (r, θ, z), l’axe étant l’axe du solénoïde. Æ 1re étape : Examinons les propriétés de symétrie de la distribution de courants : Les plans normaux à l’axe du solénoïde sont des plans de symétrie, donc est perpen-diculaire à ces plans : .La distribution de courant est invariante :

– par translation le long de l’axe : ne dépend pas de la coordonnée z. – par rotation autour de l’axe : ne dépend pas de la coordonnée θ.

Ainsi, Æ 2e étape : Choisissons un contour d’Ampère adapté aux symétries de la distribution de cou-rants. Le champ magnétique ne dépend que de la coordonnée d’espace r et est colinéaire àl’axe ; choisissons un contour orienté rectangulaire ABCD dont deux des côtés sont paral-lèles au champ, le côté AB étant sur l’axe .

Æ 3e étape : Exprimons la circulation du champ magnétique sur ce contour :

où Baxe est le champ magnétostatique sur l’axe du solénoïde (r = 0) calculé dans la fiche 52relative à la loi de Biot et Savart : . La contribution des côtés BC et DA s’annulecar la distribution de est la même sur les deux côtés qui sont parcourus en sens inverse.Æ 4e étape : Examinons le courant enlacé par le contour d’Ampère. Deux cas se distinguent :

– Si le contour rectangulaire est entièrement à l’intérieur du solénoïde (contourA1B1C1D1), alors . Ainsi pour : le champ est uni-forme à l’intérieur du solénoïde.

– Si le contour rectangulaire traverse le solénoïde (contour A2B2C2D2), alors

où représente le nombre de spires sur la longueur

. Ainsi . Or

pour .

Finalement :

Le champ magnétostatique présente donc une discontinuité à la traversée de la surface dusolénoïde qui peut être assimilé à une distribution surfacique de courant.

Oz

Oz B( )PB B r z kz( ) ( , , )P = θ

Oz B( )POz B( )P

B B r kz( ) ( )P =

OzOz

A1 B1

C1D1

A2 B2

C2D2

kz

C B l B r k lk B r kz z= = = +∫ ∫. ( ) . ( ) .( )

d d A

B

CC

0DD

axe axe d AB CD AB∫ = − = −lk B B r B B rz z( ) ( ))( )

OzB nIaxe = μ0

B

Ienlacé = 0 B r B nIz ( ) = =axe μ0 r R<

I n Ienlacé 2 2A B= μ0 n A B2 2

A B2 2 C B B r n Iz= −( ) =A B A B2 2 axe 2 2( ) μ0 B nIaxe = μ0⇒ B rz ( ) = 0

r R>

B nI k

B

=

=

μ0

0

à l’intérieur du solénoïde

à ll’extérieur du solénoïde

⎧⎨⎪

⎩⎪

173

Page 180: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

54 Forces magnétiques

1. EN QUELQUES MOTS…Lorsque des charges en mouvement sont soumises à un champ magnétique, elles subissentdes forces appelées force de Lorentz pour une charge ponctuelle et force de Laplace pour uneportion de circuit.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Force de Lorentz c Une charge ponctuelle q se déplaçant avec une vitesse dans un champ magnétique uni-

forme subit une force magnétique appelée force de Lorentz et donnée par :

Notons qu’en présence d’un champ électrostatique , il faut également prendre en compte laforce de Coulomb : .c Caractéristiques de la force de Lorentz :

– Direction : est orthogonale à la vitesse et orthogonale au champ magnétique , donc

au plan formé par et .

– Sens : il est déterminé par la règle des trois doigts de la main droite :

Pouce : sens de ; index : sens de ; majeur : sens de

– Norme : où α est l’angle entre et . Ainsi la norme de est

maximale lorsque et sont orthogonaux (α = 90˚) et vaut alors : . La

norme de est nulle lorsque et sont colinéaires. b) Force de Laplace :

c Considérons un élément de circuit filiforme parcouru par un courant électrique d’intensitéI. Soit un élément de longueur du circuit orienté dans le sens du courant. On appelle élé-ment de courant le vecteur . Lorsque cet élément de courant est placé dans un champmagnétique , il subit une force magnétique appelée force de Laplace et donnée par :

c Donnons une interprétation de la force de Laplace. Le courant électrique est lié au déplace-ment des électrons libres du conducteur métallique, avec la même vitesse , dans le sens

q : charge (Coulomb, C). : vitesse de la charge q (m.s–1). : champ magnétique (Tesla, T). : force de Lorentz (Newton, N).

I : intensité du courant électrique (Ampère, A). : élément de longueur de circuit orienté dans le sens du courant I (m). : champ magnétique (Tesla, T).

: force de Laplace (Newton, N).

vB f

f qv B= ∧vBf

Ef qv B qE= ∧ +

f

f v B

v B

v B f

f q v B= × × sin α v B f

v B f q v Bmax

= ×

f v B

dlI ld

B dF

d dF I l B= ∧dlBdF

v

174

Page 181: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 54 • Forces magnétiques

opposé au sens conventionnel du courant. La force de Laplace constitue la résultante de toutesles forces de Lorentz qui s’exercent sur les électrons contenus dans l’élément dl de circuit.

or où n est le nombre d’électrons par unité de volume.

Par conséquent la vitesse étant uniforme sur la section du conducteur, colinéaire à et de

sens opposé, on obtient : .

Ainsi, car et sont de sens opposés.

On obtient alors : c Caractéristiques de la force de Laplace :– Point d’application : le milieu de l’élément de conducteur

– Direction : est orthogonale au plan formé par la portion de conducteur et le champ .– Sens : il est déterminé par la règle des trois doigts de la main droite :

Pouce : sens du courant électrique ; index : sens de ; majeur : sens de

– Norme : où α est l’angle entre et . Ainsi la norme de est

maximale lorsque et sont orthogonaux (α = 90˚) et vaut alors : .

La norme de est nulle lorsque et sont colinéaires.c Force de Laplace sur un circuit : La résultante des forces de Laplace s’exerçant sur une

portion de circuit AB placée dans un champ magnétique est donc :

En conséquence, la force de Laplace qui s’exerce sur un circuit (C) fermé placé dans unchamp magnétique uniforme est nulle :

.

Chaque électron de l’élément de circuit, de charge q = –e est

soumis à une force de Lorentz : La force de Laplace résultante s’obtient par sommation desforces de Lorentz s’exerçant sur les N électrons de l’élément

: Introduisons l’intensité I du courant électrique. Par définition,

où est le vecteur densité de courant électrique et

S la section du conducteur rigide

fv

-e

I

dl

B

dF

f v B= − ∧e

dl d eF N v B= − ∧

I j SS

= ∫∫ .d j

j nqvN

S lv= = −( )

de

dS

IN

S lv S

N v

lS

= − =∫∫de d

ed

.

I l N vl

lN v d e

dd

e= = − dl v

d dF I l B= ∧dF

dF B

B dF

d dF I l B= × × sin α dl B dF

dl B d dF I l Bmax

= ×

dF dl BF

B

F I l B= ∧∫ dA

B

B

F I l B I l B= ∧ =⎛

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟

∧ =∫ ∫d d( ) ( )C C

0

175

Page 182: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 54 • Forces magnétiques

3. EN PRATIQUE…

c Un électron de charge pénètre avec une vitesse initiale à l’instant

t = 0 dans une zone où règne un champ magnétique uniforme et constant. On définit un

référentiel orthonormé direct d’origine O, muni d’une base , tel qu’à

l’instant t = 0, l’électron est en O avec une vitesse , le champ magnétique étant

selon l’axe : avec B > 0. Étudions le mouvement de l’électron.

La force de Lorentz étant par définition orthogonale au champ magnétique , la relation pré-cédente montre que l’accélération l’est aussi. La composante selon de l’accélération est donc nulle : .

Or à tout instant : le mouvement de l’électron s’effectue

dans le plan .Æ Projetons la relation fondamentale de la dynamique sur les axes et :

Où le coefficient est appelé pulsation cyclotron.

Intégrons l’équation (2) : ; or à t = 0, .

Substituons cette équation dans l’équation (1) :

: on obtient une équation différentielle du 2nd ordre dont la

solution est : A1 et A2 sont des constantes obtenues avec les conditions initiales :

À t = 0, .

L’électron est soumis à la force de Lorentz .

À l’instant t = 0, la force de Lorentz s’écrit :

.

La charge q étant négative, est dirigée dans le sens du vecteur

unitaire .Le poids de l’électron étant négligeable devant la force deLorentz, la relation fondamentale de la dynamique s’écrit :

.

q = − = − −e C1 6 10 19, . v0

B

( ; , , )O x y z ( , , )i j k

v v i0 0=

Oz B B k=

0v

B

y

xO

0f

i

j

f qv B= ∧

f0

f qv B qv B i k qv B j0 0 0 0= ∧ = ∧ = −

f0j

f ma qv B mv

t= ⇔ ∧ =

dd

B

kd

d cte

v

tvz

z= ⇒ =0

v t vz z0 0 0 0= = ⇒ = à l'instant

( ; , )O x yOx Oy

qBv mv

tBv m

v

t

v

tv

q

yx

yx x

y= ⇔ − = ⇔ = −

d

d e

d

d

d

d ω ( )1

BBv mv

tBv m

v

t

v

tvx

yx

y yx= ⇔ = ⇔ =

⎨⎪

d

d e

d

d

d

d ω ( )2

⎪⎪

⎩⎪⎪

ω = eB

m

v x Ay = +ωv

xv xy

y

=

=

⎧⎨⎩

⇒ =0

0 ω

d

d

d

d

v

tx

x

txx = − ⇔ = −ω ω2

2

22

x A t A t= +1 2cos( ) sin( )ω ω

v v

x

Av

A

xv

tx =

=⎧⎨⎩

⇒=

=

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒ =0 2

0

1

0

0 0 ω

ωωsin( )

176

Page 183: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 54 • Forces magnétiques

On en déduit que où C est une constante obtenue

avec les conditions initiales : À t = 0, ; d’où

Les équations horaires sont donc :

c Déterminons la force de Laplace agissant sur une portion de circuit électrique hémi-circulaire de rayon R, parcourue par un courant I, et placée dans un champ magnétiqueuniforme et constant perpendiculaire au plan du circuit.

Considérons un élément de longueur de circuit orienté dans le sens du courant I. Définis-sons le référentiel et les vecteurs polaires unitaires et .

Par symétrie, la résultante des forces est dirigée selon le vecteur unitaire . Projetons donc

sur l’axe : Pour décrire l’ensemble du circuit, il faut faire varier θ entre 0 et π :

D’où la force de Laplace qui s’exerce sur ce circuit : .

L’équation de la trajectoire est donc :

On reconnaît l’équation d’un cercle de centre C ,

avec et , et de rayon .

Le mouvement est uniforme, de vitesse angulaire .

La force de Laplace élémentaire qui s’exerce sur

l’élément de courant est . Ainsi

d’après la règle des trois doigts de la main droite, la

force élémentaire est dirigée selon le vecteur unitaire

. Exprimons :

v v t yv

t Cy = ⇒ = − +00sin( ) cos( )ω

ωω

y Cv

= ⇒ =0 0 ω

yv

t= − −( )0 1ω

ωcos( )

xv

t

yv

t

xv

=

= − −( )

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⇔=0

0

0

1

ωω

ωω

ωsin( )

cos( )

s

iin( )

cos( )

ω

ω ωω

t

yv v

t+ = −

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

0 0

0v

B

y

xO

0f

i

j

C

x yv v2 0

20

2

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ω ω

x yC C,( )xC = 0 y

v mv

BC e= =0 0

ωR

v mv

B= =0 0

ω e

ω = eB

m

F

Bdl

( ; , )O x y ur uθ

B

dl

x

y

θ

ruθu

R

O i

j

dF

I ld d dF I l B= ∧

ur dF

d d d d

l R u

B B kF IRB u

=

=

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒ =

θθθ

θ ∧ =k IRB ur d θ

F j dF

Oy d d d dF F j IRB u u IRBy r y= = =. . sin θ θ θ

F IRB IRB IRBy = = −[ ] =∫ sin cosθ θ θ ππ

d 00

2

F IRB j= 2

177

Page 184: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

55 Dipôle magnétique

1. EN QUELQUES MOTS…Tout circuit fermé parcouru par un courant continu se comporte à grande distance comme undipôle magnétique. Nous allons mettre en évidence certaines similitudes entre les expressionsà grande distance du champ magnétostatique créé par un dipôle magnétique et du champélectrostatique créé par un dipôle électrostatique.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Moment magnétique dipolaire Considérons un circuit électrique fermé parcouru par un courant électrique I. Soit S une sur-face quelconque s’appuyant sur le contour (C) du circuit, orienté selon le sens de I.

c Le vecteur surface est défini par :

Le vecteur surface est indépendant du choix de la surface s’appuyant sur le contour.c Le moment dipolaire magnétique est défini par :

Dans le cas d’une spire circulaire de rayon R, parcourue par un courant I, .

b) Champ magnétique créé à grande distance du dipôle

dS : surface élémentaire (m2)

: vecteur unitaire normal à dS, orienté selon larègle du tire-bouchon.

: vecteur surface (m2)

j

: vecteur surface du circuit (m2)I : courant électrique (A)

: moment dipolaire magnétique (A.m2)

Considérons un dipôle magnétique de moment dipolaire

situé en un point O et exprimons le champ magnétique

créé en un point P situé à grande distance de ce dipôle. Ainsi la

distance est nettement supérieure à l’extension spa-

tiale R du dipôle.

Considérons un repère cartésien (O, , , ) de base ( , , )

tel que et repérons le point P par ses coordonnées

sphériques (r, θ, ϕ) dans la base ( , , ).

S

S n SS

= ∫∫ d n

S( C)

S

SM

M = I S

S

M

M = I R nπ 2

MB( )P

OP = r

x y z i j k

M M= k

ur uθ uϕ

O

P ru

θu

ik

x

z

yj

178

Page 185: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 55 • Dipôle magnétique

Comme dans le cas du dipôle électrostatique, l’approximation dipolaire consiste à effectuer

un développement limité du champ magnétique au 1er ordre en . On obtient :

Ainsi, dans la base ( , , ) :

Si l’on substitue le moment dipolaire électrique au moment dipolaire magnétique et

à , on retrouve l’expression du champ électrostatique créé à grande distance par un

dipôle électrostatique (fiche 46). Il s’ensuit que les lignes de champ d’un dipôle magnétique sont semblables à celles d’undipôle électrostatique.

c) Dipôle magnétique placé dans un champ magnétique extérieurSoit un dipôle magnétique de moment dipolaire situé au point O et placé dans un champmagnétique .c Couple Ce dipôle magnétique subit un moment , exprimé en Joules, et donné par :

.Considérons le cas particulier d’un champ magnétique uniforme : le dipôle magnétique cons-tituant un circuit électrique fermé, il subit une force de Laplace nulle (fiche 54). Par contre sonmoment est non nul. Le dipôle subit donc un couple qui tend à l’orienter dans le sens de .c Énergie potentielleL’énergie potentielle d’un dipôle magnétique plongé dans un champ magnétique , expri-mée en Joules, s’écrit : .

Si le champ magnétique n’est pas uniforme, le dipôle magnétique est soumis à la force :

3. EN PRATIQUE…

: moment dipolaire magnétique (A.m2) placéau point O et dirigé selon l’axe ( ).

: distance (m). : champ magnétique au point P (T).

Considérons un circuit rectangulaire filiforme, de largeur a et delongueur b, de centre O, contenu dans le plan (O, , ), et par-couru par un courant I. La largeur du rectangle est parallèle à l’axe

. Ce circuit est placé dans un champ magnétique uniforme appartenant au plan (O, , ) et faisant un angle α avec l’axe .

Æ Déterminons le moment dipolaire magnétique de ce circuit.Compte tenu de l’orientation du courant, le vecteur surface de cecircuit plan s’écrit : . Ainsi, .

Æ Déterminons le moment qui s’exerce sur ce dipôle :

:

le couple s’annule pour .

R

r

Bu u

r

r r( ).

P =( ) −⎡⎣ ⎤⎦μ

π0

34

3 M MM M= k

ΟzOP = rurB( )P

ur uθ uϕ Bu u

r

r( )cos sin

P

=+μ

πθ θ θ0

34

2M M

p M1

0εμ0

MB

M( )O

M O( ) = ∧M BB

B

BEp = −M .B

B

F B= − =grad gradEp ( . )M

x y

Ox B

y z Oz

M

S ab k= M = I ab k

MM0( ) = ∧

= +

⎧⎨⎩⎪

⇒M B

B B j B ksin cosα α ( ) cos0 = −BI ab i α

α π=2

I

B

i jy

kO

z

x

179

Page 186: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

56 Phénomènes d’induction

1. EN QUELQUES MOTS…Un circuit électrique peut être le siège d’un courant induit s’il est placé dans un champmagnétique variable ou s’il se déplace dans son ensemble ou en partie au cours du temps dansun champ magnétique constant. Ce phénomène est appelé induction électromagnétique.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…a) Flux du champ magnétique

c Considérons une surface S. Le flux du champ magnétique à travers la surface S est lasomme des flux élémentaires à travers tous les éléments de surface dS la constituant.

c Propriétés :Le flux du champ magnétique à travers une surface S fermée est nul : .

Soit un contour fermé. Le flux du champ magnétique est indépendant du choix de la surfaceorientée s’appuyant sur ce contour. Un tube de champ magnétique a le même flux dans toute section. On dit que le champmagnétique est à flux conservatif. Cela signifie que si la section du tube de champ se rétrécit,les lignes de champ sont plus concentrées et le champ magnétique est plus intense.

b) Loi de Faradayc Toute variation du flux Φ du champ magnétique à travers un circuit électrique induit une

force électromotrice (f.é.m.) dans ce circuit. La loi de Faraday relie la f.é.m. induite e(t) à lavariation du flux :

c Le flux Φ du champ magnétique à travers un circuit électrique peut varier si la surface ducircuit varie au cours du temps, si le champ magnétique est variable ou enfin si l’orientation

du circuit par rapport au champ varie au cours du temps. c La création d’une f.é.m. induite se traduit par le passage d’un courant induit dans le circuit.

c) Loi de Lentz c Le courant induit s’oppose toujours à la cause qui lui a donné naissance.Cette loi justifie le signe négatif dans la loi de Faraday.c Détermination du sens du courant induit :On choisit un sens positif arbitraire sur le circuit. L’application de la règle du tire-bouchonimpose alors le sens du vecteur unitaire . On exprime ensuite le flux Φ du champ magnétiqueà travers le circuit puis la f.é.m. induite e(t). Le sens du courant induit est déduit du signe de e(t).

: champ magnétique (T)

: vecteur élément de surface (m2) avec vecteur unitaire normalà l’élément de surface dS.Φ : flux du champ magnétique (Weber, Wb)

Φ : flux du champ magnétique (Wb)t : temps (s)e : force électromotrice induite (Volts, V)

Φ = ∫∫ B SS

.dB

d dS n S= n

B SS

.d∫∫ = 0

e tt

( ) = − ddΦ

B

n

180

Page 187: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 56 • Phénomènes d’induction

Si e(t) > 0, le courant induit circule dans le sens positif choisi ; si e(t) < 0, le courant induit circuledans le sens opposé au sens positif choisi.

3. EN PRATIQUE…c Étudions le cas d’un circuit mobile dans un champ magnétique uniforme et constant.Un circuit électrique comprenant une résistance et terminé par une tige conductrice mobile

MN est placé dans un champ magnétique constant et uniforme, de direction perpendicu-laire au plan du circuit. Montrons qu’un déplacement de la tige conductrice MN induit uncourant électrique dans le circuit, dont le sens dépend du sens de déplacement de la tige.

La f.é.m. induite e(t) se déduit de la loi de Faraday : , B étant constant.

Ainsi si la tige MN est déplacée vers la droite (S augmente) alors e(t) < 0 : le courant induitcircule dans le sens opposé au sens positif choisi. Si la tige MN est déplacée vers la gauche(S décroît), alors e(t) > 0 : le courant induit circule dans le sens positif choisi.c Étudions le cas d’un circuit fixe dans un champ magnétique variable. Un solénoïde infini, d’axe , de rayon R, comportant n spires par unité de longueur, est parcourupar un courant variable . On rappelle que le champ magnétique produit par un

solénoïde infini est uniforme et égal à :

Un cadre carré placé dans le plan entoure le solénoïde. Montrons qu’un courantinduit sinusoïdal circule dans le cadre.

Le flux du champ magnétique à travers le circuit varie au cours dutemps par l’intermédiaire de la variation de la surface S du circuit.Choisissons un sens positif sur le circuit. La règle du tire-bouchonfixe alors le sens du vecteur unitaire normal à la surface du circuit.Le champ magnétique étant uniforme sur la surface du circuit, leflux du champ magnétique s’écrit :

Le flux du champ magnétique à travers le cadre varie au cours du temps parl’intermédiaire de la variation du champ magnétique au cours du temps.Choisissons un sens positif sur le cadre. La règle du tire-bouchon fixe alors lesens du vecteur unitaire normal à la surface du cadre. Exprimons le flux du champ magnétique à travers la surface S du cadre :

or à l’extérieur du solénoïde donc le flux n’est non nul

qu’à travers la section du solénoïde :

, B étant uniforme sur

la section du solénoïde.

Le cadre est donc parcouru par un courant sinusoïdal orienté dans le senspositif choisi.

B

M

N

+

n

R

B

n

B

Φ = = =∫∫ ∫∫B S B n S BSS S

. .d d

e tt

BS

t( ) = − = −d

ddd

Φ

Ozi t i t( ) cos( )= 0 ω

B t n i t k( ) ( )= μ0 à l’intérieur du solénoïde

BB t( ) =

⎧⎨⎪

⎩⎪ 0 à l’extérieur du solénoïde( , , )O x y

n

Φ = ∫∫ B SS

.d B t( ) = 0

S Rsol = π 2

Φ = = =∫∫ ∫∫B S B n S n i t SS S

sol. . ( )d d

sol sol

μ0 == μ π02n i t R ( )

e tt

n Ri

tn R i t( ) sin( )= − = − =d

ddd

Φ μ π μ π ω ω02

02

0

z

z

k

+

n

181

Page 188: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

57 Inductance

1. EN QUELQUES MOTS…Un circuit électrique fixe et rigide parcouru par un courant variable est le siège d’une forceélectromotrice générée par le circuit lui-même. Ce phénomène est appelé auto-induction. Onparlera d’induction mutuelle lorsque la force électromotrice est induite par un autre circuit.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Auto-inductionc Flux propre : Considérons un circuit (C) orienté, parcouru par un courant d’intensité i. Ce courant crée unchamp magnétique propre dont le flux à travers toute surface orientée S s’appuyant sur lecontour (C) du circuit est appelé flux propre et défini par :

c Inductance propre : Le flux du champ magnétique propre à travers le circuit est proportionnel au courant i, toutcomme le champ magnétique. Le coefficient de proportionnalité est appelé inductance pro-pre ou coefficient d’auto-induction.

– L est toujours positif.– L ne dépend que de la géométrie du circuit et de la perméabilité du milieu (μ0 pour le vide).

c Force électromotrice (f.é.m.) d’auto-induction :Si le circuit (C), fixe et rigide, est parcouru par un courant d’intensité i(t) variable, il sera lesiège d’une force électromotrice d’auto-induction eP(t) (fiche 35), donnée par :

b) Induction mutuelleConsidérons deux circuits fixes (C1) et (C2).c Inductance mutuelle : Si le circuit (C1) est parcouru par un courant d’intensité i1, il crée en son voisinage un champ

magnétique . Le flux Φ1→2 de à travers une surface orientée s’appuyant sur le contourdu circuit (C2) est proportionnel à l’intensité i1 du courant dans le circuit (C1). Le coefficientde proportionnalité est appelé inductance mutuelle ou coefficient d’induction mutuelle.

: champ magnétique créé par le courant i circulant dans le circuit (T).

: vecteur élément de surface (m2).ΦP : flux propre du champ magnétique (Weber, Wb).

i : courant électrique circulant dans le circuit (A).L : inductance propre (Henry, H).ΦP : flux propre du champ magnétique (Wb).

i : courant électrique (A).L : inductance propre (Henry, H).eP : force électromotrice d’auto-induction (V).

BP

ΦP PS

B S= ∫∫ .dBP

d dS n S=

ΦP i= L

e ti

tP ( ) = −Ldd

B1 B1

182

Page 189: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 57 • Inductance

De la même manière, un courant d’intensité i2 dans le circuit (C2) crée un champ magnétique dont le flux Φ2→1 à travers une surface s’appuyant sur le contour du circuit (C1) est proportion-nel à i2 : où M21 est l’inductance mutuelle du circuit (C2) sur le circuit (C1).

Les coefficients d’induction mutuelle vérifient la relation suivante :

– M est positif ou négatif selon les sens positifs choisis sur les circuits.– M ne dépend que de la géométrie des circuits, de leurs positions relatives et de la perméa-

bilité du milieu (μ0 pour le vide).c Force électromotrice d’induction mutuelleÆ Si le circuit (C1) est parcouru par un courant d’intensité i1(t) variable, la f.é.m. induitee1→2(t) dans le circuit (C2) par le circuit (C1) est donnée par :

De la même manière, un courant d’intensité i2(t) variable dans le circuit (C2) induit une f.é.m.

e2→1(t) dans le circuit (C1) dont l’expression est : .

Æ F.é.m. induite totale : Considérons le circuit (C1). Le flux total Φ1 du champ magnétique àtravers le circuit (C1) d’inductance propre L1, est la somme de son flux propre ΦP1 et du fluxΦ2→1 induit par le circuit (C2) sur le circuit (C1) : .

On en déduit la f.é.m. induite e1(t) dans le circuit (C1) : .

3. EN PRATIQUE…Considérons un long solénoïde, de longueur l = 0,5 m, de rayon R1 = 4 cm, d’axe , compor-tant N = 500 spires. Ce solénoïde, parcouru par un courant i1, est supposé suffisamment longpour que le champ magnétique qu’il crée soit uniforme et égal à :

à l’intérieur du solénoïde et à l’extérieur du solénoïde.

Æ Déterminons son coefficient d’auto-inductance L.

Exprimons le flux propre du champ magnétique à travers une surface S s’appuyant

sur chaque spire du solénoïde puis le flux propre à travers le solénoïde :

;

ainsi, .

Æ Une spire de rayon R2 = 3 cm, d’axe , parcourue par un courant i2, est contenue à l’inté-rieur du solénoïde précédent. Déterminons l’inductance mutuelle M entre les deux circuits.Exprimons le flux Φ1→2 du champ magnétique créé par le solénoïde à travers une surfaceorientée S2 s’appuyant sur le contour de la spire :

.

i1 : courant électrique circulant dans le circuit (C1) (A).M12 : inductance mutuelle du circuit (C1) sur le circuit (C2) (Henry, H).Φ1→2: flux magnétique induit par le circuit (C1) sur le circuit (C2) (Wb).

i1(t): courant électrique dans le circuit (C1) (A).M : inductance mutuelle (H).e1→2 : f.é.m. induite dans le circuit (C2) par le circuit (C1) (V).

Φ1 2 12 1→ = M i

B2

Φ2 1 21 2→ = M i

M M M12 21= ≡

e ti

t1 21

→ = −( ) Md

d

e ti

t2 12

→ = −( ) Md

d

Φ Φ Φ1 1 2 1 1 1 2= + = +→P i iL M

e ti

t

i

t1 11 2( ) = − −L

d

dM

d

d

Oz

BN

li kint = μ0 1 Bext = 0

ΦPspire

ΦP

Φ ΦPS

PB S B RN

li R etspire d = = = =∫∫ . intπ μ π1

20 1 1

2 NN PΦ spire

L mH= =μ π0

2

12 3 1

N

lR ,

Oz

Φ1 2 1 2 22

0 22

1

2

→ = = = ⇒∫∫ B S B RN

lR i

S

. intd π μ π Μ == =μ π μ0 22 3 5

N

lR , H

183

Page 190: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

58 Équations de Maxwell

1. EN QUELQUES MOTS…Les lois locales décrivant les propriétés du champ électromagnétique en tout point de l’espace sontétablies en régime permanent (indépendant du temps). Ces lois, qui constituent les équations deMaxwell, sont obtenues à partir des équations intégrales comme le théorème de Gauss ou le théo-rème d’Ampère. Les équations de Maxwell générales qui permettent de décrire les phénomènesélectromagnétiques dépendant du temps, tels que l’induction, sont ensuite énoncées.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Équations de Maxwell en régime permanentPrésentons, en régime permanent, le passage des équations intégrales aux équations locales :

Forme intégrale Relations de passage Forme locale

Théorème de Gauss

(fiche 47)

– Théorème de Green-Ostrogradski (annexe B) :

– Charge Qint contenue àl’intérieur de la surface de

Gauss :

Équation de Maxwell-Gauss :

: champ électrostatique (V.m–1)ρ : densité volumique de charge (C.m–3).

Circulation du champélectrostatique nulle surun contour fermé (C) :

(fiche 45)

Théorème de Stokes (annexe B) :

Équation de Maxwell-Faraday :

: champ électrostatique (V.m–1)

Théorème d’Ampère :

(fiche 53)

– Théorème de Stokes (annexe B) :

– Courant électrique enlacépar le contour d’Ampère (C) :

Équation de Maxwell-Ampère :

: champ magnétostatique (T)

: vecteur densité de courant élec-trique (A.m–2)

Flux du champ magné-tostatique nul à traversune surface fermée S :

(fiche 56)

Théorème de Green-Ostro-gradski (annexe B) :

Équation de Maxwell-Flux :

: champ magnétostatique (T)

Φ = =∫∫ E S QS

. intd

E S ES

.d div d∫∫ ∫∫∫=V

V

Q int = ∫∫∫ ρ d VV

div E = ρε0

E

C E l= =∫ .( )

d C

0 E l E SS

. .( )

d rot dC∫ ∫∫=

rot E = 0

E

C B l I= =∫ .( )

d enlacéC

B l B SS

. .( )

d rot dC∫ ∫∫=

I j SS

enlacé d= ∫∫ .

rotB j= μ0

B

j

Φ = =∫∫ B SS

.d 0 B S BS

.d div d∫∫ ∫∫∫=V

V div B = 0B

184

Page 191: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 58 • Équations de Maxwell

b) Équations de Maxwell en régime dépendant du tempsLes équations de Maxwell-Faraday et de Maxwell-Ampère sont modifiées en régime dépen-

dant du temps ; elles couplent le champ électrique et le champ magnétique . Les quatreéquations de Maxwell s’écrivent alors :

3. EN PRATIQUE…

Écrivons l’équation de Maxwell-Ampère pour chacune des régions de l’espace :

– Si , où C1 est une constante. Or,

.

– Si , où C2 est une cons-

tante.

– Si , où C3 est une constante.

Les constantes sont déterminées avec les conditions de continuité en r = R1 et r = R2. On obtient ainsi l’expression du champ magnétostatique en fonction de r :

Déterminons le champ magnétostatique créé en tout point P del’espace par un tube conducteur creux infiniment long, parcouru par uncourant d’intensité I, avec un vecteur densité volumique de courant uniforme et selon l’axe du tube. On note R1 le rayon intérieur dutube et R2 son rayon extérieur. Montrons que l’équation locale deMaxwell-Ampère permet de retrouver le résultat obtenuprécédemment par le théorème d’Ampère (fiche 53).

Nous avions montré que : dans la base de coordonnéescylindriques. L’expression de dans cette base se réduit donc à :

(Annexe B).

Or la densité volumique de courant j est reliée à

l’intensité I par la relation : .On retrouve bien l’expression du champ magné-tostatique obtenue précédemment par le théorèmed’Ampère.

E B

div

div

rot E

B

EB

=

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

= − ∂ρε0

0

= + ∂∂

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

t

B jE

trot μ0

B( )P

jOz

rot B j= μ0

B B r u( ) ( )P = θ θrot B

rot Br

rB

rk=

∂∂

1 ( )θ

I

1

z

R2

k

R

r R≤ 1 jr

rB

rB r

C

r= ⇒

∂∂

= ⇒ =01

0 1 ( )

( )θθ

B Cθ ( )0 0 01= ⇒ =

R r R1 2≤ ≤ j j kr

rB

rj B r j

r C

r= ⇒

∂∂

= ⇔ = + 1

20 02( )

( )θθμ μ

r R≥ 2 j B rC

r= ⇒ =0 3 θ ( )

B r R

Bj

rR

ru

= ≤

= −⎛

⎝⎜

⎠⎟

0

2

1

12

0

pour

pourμ

θ

pour

R r R

Bj

rR R u r R

1 2

22

12

20

2

≤ ≤

= −( ) ≥

⎪⎪

μθ

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

I j R R= − ( )π π22

12

185

Page 192: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

59 Les ondes

1. EN QUELQUES MOTS…Diverses ondes sont observées dans la nature : sur une corde, à la surface de l’eau, sonores,électromagnétiques. Nous définissons leurs principales propriétés.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Une onde est une perturbation qui se propage de la source vers toutes les directions qui luisont offertes. Elle transporte de l’énergie. Certaines ondes ont besoin d’un support matériel (solide, liquide ou gaz) pour se propager. La pro-pagation se fait sans transport de matière. On parle alors d’ondes mécaniques ; exemple : son, ondele long d’une corde, onde à la surface de l’eau. En revanche, certaines ondes n’ont pas besoin desupport matériel, c’est le cas des ondes électromagnétiques qui peuvent se propager dans le vide.La grandeur se propageant peut être scalaire ou vectorielle. On distingue :

b) Onde progressiveUne onde progressive est une onde qui se propage dans une direction et un sens bien déterminé.

– Une onde progressive se propageant vers les x croissants avec la célérité c est représentée

par une fonction f telle que : .

– Une onde progressive se propageant vers les x décroissants avec la célérité c est représentée

par une fonction g telle que : .

La célérité de l’onde ou vitesse de propagation dépend du milieu dans lequel elle se propage.

c) Onde progressive monochromatiqueUne onde est monochromatique ou sinusoïdale, si la source qui la crée est sinusoïdale.Considérons une onde se propageant dans un milieu unidimensionnel homogène, et caractériséepar la grandeur scalaire A(x). La célérité de l’onde étant c, l’onde progressive monochromatique depulsation ω et de phase à l’origine ϕ, se propageant dans la direction des x positifs, s’exprime par :

Cette onde possède une double périodicité : la période temporelle T et la période spatiale λ.

Ondes transversales Ondes longitudinales

DéfinitionLa grandeur se propageant est perpendi-culaire à la direction de la propagation.

La grandeur se propageant est paral-lèle à la direction de la propagation.

Exemple Onde se propageant le long d’une corde Onde se propageant le long d’un ressort

L’évolution en fonction du temps est observée en unpoint x du milieu. La période temporelle, notée T, enseconde, est la durée au bout de laquelle un point dumilieu de propagation se retrouve dans le même état.

T : période temporelle en s f : fréquence de l’onde en Hz ω : pulsation de l’onde en rad.s–1

f fx t tx

cu avec u t

x

c, ,( ) = −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = ( ) = −0 F

g gx t tx

cv v t

x

c, ,( ) = +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = ( ) = +0 G avec

A Ax t tx

cf t

fx

c, cos cos( ) = −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ +⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

= −0 0 22ω ϕ Α π π ++⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = − +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ϕ

λϕA

T02 2

cosπ πt x

TA(x,t) x fixé

tT

f= =1 2π

ω

186

Page 193: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 59 • Les ondes

La fréquence est imposée par la source, par suite elle ne dépend pas du milieu de propagation.

La longueur d’onde λ dépend du milieu dans lequel l’onde se propage.

d) Onde plane progressive monochromatique (O.P.P.M.)Soit la grandeur caractérisant l’onde qui se propage. Une onde est plane si, à un instant donné, la grandeur est la même en tous lespoints d’un plan perpendiculaire à la direction de propagation de l’onde. Une onde plane progressive monochromatique de pulsation ω, de célérité c et se propageantdans la direction de vecteur unitaire est donnée par :

Le module k du vecteur d’onde vérifie la relation : où λ est la longueur d’onde.

Ces ondes jouent un rôle important, car une onde quelconque peut être décrite comme lasuperposition d’ondes planes progressives monochromatiques.

e) Onde stationnaireLes dépendances d’une onde stationnaire en fonction des coordonnées d’espace et de tempssont découplées.Par exemple, dans un milieu unidimensionnel, une onde stationnaire s’écrit :

Z(x, t) = f(x) g(t).Elles sont, en général, bien adaptées pour décrire les ondes dans un milieu limité.

3. EN PRATIQUE…En juillet 1996, un tremblement de terre a provoqué à Annecy des ondes sismiques.Le tremblement de terre a été détecté à la date t1 = 7 h 50 min 52 s près de l’épicentre et à ladate t2 = 7 h 51 min 17 s dans une station située à 61 km de l’épicentre. Calculons la vitesse moyenne de l’onde sismique.

est le temps mis pour parcourir la distance Δx avec . Il est nécessaire d’exprimer

en secondes pour obtenir un résultat en m.s–1 : .

La période spatiale ou longueur d’onde, notée , enmètre, est la distance parcourue par l’onde durant unepériode T. La longueur d’onde s’observe lorsque l’onréalise une « photo » de l’onde à un instant donné.La période temporelle et la période spatiale sontliées par la relation :

: longueur d’onde en mc : célérité de l’onde en m.s–1

T : période temporelle en s

: grandeur caractérisant l’onde au point et àl’instant t

: amplitude de l’ondeω : pulsation de l’onde en rad.s–1

: vecteur d’onde dans la direction de propagation ϕ : phase à l’origine de l’onde

λ

λ

A(x,t)t fixé

x

λ = cT

λ

ψ x y z t, , ,( )ψ x y z t, , ,( )

u

ψ ψ ψr t x y z t tu r

c, , , , cos( ) = ( ) = − ⋅⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ +⎡

⎣⎢0 ω ϕ⎤⎤⎦⎥

ψ ψr t t k r, cos .( ) = − +( )0 ω ϕ

ψ r t,( ) r

ψ 0

k u

kc

= =ω πλ

2

vΔt Δt t t= −2 1 Δt

vx

t= Δ

Δ⇔ v = ×

−= × −61 10

28277 282522 4 10

33, m.s 1

187

Page 194: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

60 Équation de d’Alembert

1. EN QUELQUES MOTS…L’évolution de la grandeur caractérisant une onde vérifie une équation appelée équation ded’Alembert liant ses variations spatiales et temporelles. Cette équation est générale.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) L’équation de d’Alembertc Considérons d’abord le cas d’une onde scalaire. Dans un repère cartésien, la grandeur

caractérisant l’onde est notée .

L’opérateur Δ est donné par :

c Si l’onde se propage dans un milieu unidimensionnel (axe des x) ou si l’onde est une ondeplane se propageant suivant Ox, la fonction Ψ dépend de l’abscisse x et du temps t, on lanotera .

L’équation d’onde s’écrit : . Recherchons les solutions de cette équation.

b) Solution de l’équation de d’Alembert Les solutions de l’équation d’onde vérifient :

c La solution générale de l’équation de d’Alembert est l’ensemble de deux ondes se propa-geant en sens opposé, à la même vitesse « c ». Ces ondes sont décrites pour les fonctions« f » et « g ». La solution de l’équation s’écrit :

Les fonctions f et g sont déterminées grâce aux conditions initiales et aux conditions aux limites. c Relation de dispersionCherchons des solutions sinusoïdales de la forme . L’équationde d’Alembert étant linéaire, la notation complexe peut être utilisée :

.

L’équation permettant de décrire le phénomène de propagation d’une ondeest appelée équation d’onde ou équation de d’Alembert ; elle a été établiepar Jean Le Rond d’Alembert en 1747. Elle relie la dépendance temporelleà la dépendance spatiale de la fonction dans un milieu continu.

« c » est la vitesse de propagation de l’onde, en m.s . (fiche 59)–1

Principe de superpositionToute combinaison linéaire de solutions de l’équation est aussisolution, car l’équation d’onde est linéaire.

Principe d’unicitéLa solution unique de l’équation de d’Alembert est trouvée enutilisant les conditions aux limites et les conditions initiales.

ψ x y z t, , ,( )

ψΔψ ψ− ∂

∂=1

02

2

2c t

Δ = ∂

∂+ ∂

∂+ ∂

∂x y z2 2 2

ψ x t,( )∂

∂− ∂

∂=

2

2 2

2

2

10

ψ ψ

x tc

ψ x t tx

,( ) = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟f

c

onde se propageant dansle sens des xx croissants

onde se propageant d

c+ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟g t

x

aansle sens des x décroissants

ψ ψ ωx t t kxm, cos( ) = − +( )Φ

ψ ψ ω( , )x t mj t kx= − +( )e Φ

188

Page 195: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 60 • Équation de d’Alembert

L’équation de d’Alembert devient : .

Cela impose : c’est la relation de dispersion.

3. EN PRATIQUE…

c Établissons l’équation de propagation de ces petits mouvements le long de cette corde.Æ Système d’étude : Æ Référentiel : terrestre supposé galiléen Æ Bilan des forces s’appliquant au système :

– Tension de la corde placée avant l’abscisse x, notée – Tension de la corde placée après l’abscisse x + dx, notée – On néglige le poids devant les tensions– On néglige les frottements de l’air

Æ Principe fondamental de la dynamique : Æ Projetons cette expression vectorielle sur les axes (Ox) et (Oy) :

De plus, ⇒

L’équation devient : : Équation de d’Alembert

La vitesse de propagation de l’onde est donc : . Elle dépend du milieu.

De plus, l’onde se propageant sur la corde est transversale.

Considérons les petits mouvements d’unecorde, de masse linéique . À la date t, chaque point de la corde sedéplace de sa position d’équilibre, d’unevaleur notée . La tension de la cordeau point x et à l’instant t est notée .

Les angles sont petits, ainsi

− +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=− +( )k m

j t kx22

20

ω ψ ω

ce Φ

kc

22

2= ω

μ

ψ x t,( )T( , )x t

T(x+dx)

T(x)

x+dxxx

y

0

α(x+dx,t)

ψ(x+dx,t)α(x,t)

ψ(x,t)

petite portion de corde entre et d de masse dx x x x+{ }μ

T x t,( )T dx t+( )x,

T T d dx t x x t x a, ,( ) + +( ) = μ

sur O T T d dx x t x t x x t x x t( ) − ( ) ( ) + +( ) +( ) =, cos , , cos ,α α 00 (

,

déplacement vertical de la corde)

sur O Ty x t( ) − ( )) ( ) + +( ) +( ) = ∂

⎨⎪

⎩sin , , sin ,α α μ ψ

x t x x t x x t xt

T d d d2

2⎪⎪

cos , ,

sin , ,

α

α α α

≈ ⇒ ( ) = +( ) =

≈ ⇒ − ( ) ( ) +

1 T T d T

T T

x t x x t

x t x t xx x t x x t xt

+( ) +( ) = ∂

⎧⎨⎪

⎩⎪d d d, ,α μ ψ2

2

⇔ − ( ) + +( ) = ∂

∂α α μ ψ

x t x x t xt

, ,T d T d2

2⇔ T d d

∂∂

= ∂

α μ ψx

x xt

2

2

α α ψ≈ = ∂∂

tanx

∂∂

= ∂

α ψx x

2

2

μ ψ ψ∂

∂= ∂

2

2

2

2t xT ⇔ ∂

∂− ∂

∂=

2

2

2

20

ψ μ ψ

x tT

c = Tμ

189

Page 196: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 60 • Équation de d’Alembert

Ordre de grandeur pour une corde métallique : T = 4 N ; µ = 10-2 kg.m–1 ⇒ c = 20 m. s–1.c Considérons une corde, supposée semi infinie (suivant Ox positif), excitée sinusoïdalement

à son extrémité O (x = 0) à la pulsation ω : .Caractérisons l’onde se propageant sur cette corde.

La solution de l’équation de d’Alembert est : .

Comme il n’y a pas de source d’excitation en , la fonction g est nulle.

En utilisant la condition aux limites en x = 0, .

Par suite, la solution est : .

c Considérons une corde de guitare ; c’est une corde fixée à ses deux extrémités. Sa longueur est L. Cherchons l’expression de la solution de cette équation d’onde sous la forme d’ondes station-naires : .

L’équation différentielle devient :

Déterminons les solutions de ces deux équations.Afin d’éliminer les solutions divergentes, il faut choisir K<0. Ainsi,

La solution de l’équation de d’Alembert se met donc sous la forme :

Æ Cherchons les valeurs des constantes grâce aux conditions aux limites.

– En l’abscisse x = 0, la corde est fixée. Donc pour tout temps t.

C’est une onde progressive sinusoïdale.L’aspect de la corde est représenté à un ins-tant donné.Déterminons la fréquence f d’excitation de lacorde métallique (c = 20 m. s–1) pour que lalongueur d’onde soit λ = 10 cm.La relation entre f et λ est donnée par : λf = c.⇒ f = 200 Hz

Pour que cette égalité soit respectée, il faut que les deuxmembres soient égaux à une constante K.

et

avec A et constantes k est le vecteur d’onde :

avec B et constantes

est la pulsation :

ψ ψ ω0, cost tm( ) = ( )

ψ x t tx

tx

,( ) = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟f g

c cx = +∞

f t t( ) = ( )ψ ωm cos

ψ ψ ω ψ ωx t tx

t kx, cos cos( ) = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −( )m mc

avec c

k = =ω πλ

2

x

ψmλ=2π/k

−ψm

ψ

direction de

propagation de l'onde

ψ x t x t,( ) = ( ) × ( )f gg f f g

tx

xt

( ) ∂

∂− ( ) ∂

∂=

2

2 2

2

2

10

c

1 1 12

2 2

2

2ff

fdépend de dé

c gg

x x t t( )∂

∂= ( )

∂( )x ppend de g t( )

1 2

2ff

fdépend de

Kx x( )

∂=

( )x

Kc g

g

gdépend de

= ( )∂

∂( )

1 12

2

2t tt

⇔ ∂

∂− ( ) =

2

20

f fKx

x ⇔ ∂

∂− ( ) =

2

22 0

g gKct

t

f Ax k x( ) = +( )cos ϕ0ϕ0

k = K

g t t( ) = +( )B cos ω Φ0Φ0

ω ω = =K c c2 k

ψ ψ ϕ ωx t x t, cos cos( ) = +( ) +( )0 0 0k Φ

ψ 0 0, t( ) =

190

Page 197: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 60 • Équation de d’Alembert

Or ,

Comme et ⇒ – En l’abscisse x = L, la corde est également fixée. Donc pour tout temps t.

Or

Comme et ⇒

Le module k du vecteur d’onde ne peut prendre que certaines valeurs : :

on dit qu’il est quantifié. La quantification de k entraîne celle de la pulsation ,

avec et celle de la longueur d’onde , avec .

L’équation de d’Alembert admet une infinité de solutions appelées modes propres de la corde :

Æ Représentons l’onde stationnaire correspondant au mode p = 5. Alors et .

Cette onde stationnaire présente 5 ventres. Deux ventres consécutifs (ou deux nœuds consécutifs) sont distants de .

Æ La solution recherchée est une superposition des modes propres d’oscillations dela corde :

.

Pour déterminer les coefficients Ap, considérons deux cas :– Régime libre de la corde : par exemple, la corde est pincée en son milieu à t = 0. Les coef-

ficients Ap sont obtenus à partir de la forme de la corde à t = 0. Le mode p = 1 estappelé fondamental, les modes p > 1 sont appelés harmoniques.

– Régime sinusoïdal forcé : la corde est excitée sinusoïdalement en un de ces points à la pul-sation ω. En régime permanent, la corde vibre à la pulsation ω. Il y a résonance quand lapulsation ω est égale à une pulsation propre ωp de la corde ; cette résonance conduit àune augmentation importante de l’amplitude des ventres.

Il faut donc résoudre :

L’onde stationnaire présente :– des nœuds correspondant aux positions x oùl’amplitude de l’onde est nulle

⇒ ou où n est égal à 1,

2, 3 ou 4. – Des ventres correspondant aux positions x où l’amplitude de l’onde est extrémale

⇒ ou

où m est égal à 0, 1, 2, 3 ou 4.

ψ ψ ϕ ω0 0 0 0 0, cos cost t( ) = = ( ) +( )Φ

ψ0 0≠ cos ω t +( ) ≠Φ0 0 cos ϕ0 0( ) =ψ L, t( ) = 0

ψ ψ ϕ ωL t kL t, cos cos( ) = = +( ) +( )0 0 0 0Φ

ψ0 0≠ cos ω t +( ) ≠Φ0 0 cos kL +( ) =ϕ0 0

cos

cos

ϕ

ϕ0

0

0

0

( ) =

+( ) =⎧⎨⎩ kL

⇔ ϕ π0 2

0

=

( ) =

⎧⎨⎪

⎩⎪sin kL

⇔ϕ π

π

0 2=

=

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪k

p

Lavec entier *p N

k pLp = π

ω

ω πp pk p

L= =c c λ λ p

L

p= 2

ψ ψ π πp x t

p

Lx

p c

Lt, sin cos( ) = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟0 0Φ

λ525

= L ω55= πc

L

λ5

0

ventre

nœud

L

ψm

−ψm

ψ

x

sin5

0πL

x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = x n

L=5

sin5

1πL

x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ± x m

L= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12 5

λ5

2ψ x t,( )

ψ Α ψx t x tp pp

, ,( ) = ( )=

∑1

ψ x,0( )

191

Page 198: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

61 Ondes sonores

1. EN QUELQUES MOTS…L’onde sonore est la propagation d’une perturbation dans un milieu matériel. La grandeurqui se propage dans un fluide est une variation locale de pression, sans transport de matière.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…Une onde sonore ne se propage pas dans le vide mais a besoin d’un milieu matériel pour sepropager. La célérité du son est notée .

a) Approximation acoustique Un fluide compressible au repos est caractérisé, à l’équilibre thermodynamique, par samasse volumique et sa pression . Lors du passage de l’onde sonore dans le fluide, lesgrandeurs locales décrivant le fluide en représentation eulérienne sont modifiées. Au point

et à l’instant t, le fluide est alors décrit, par : , et la vitesse. Les écarts par rapport à l’équilibre sont :

– la variation de pression appelée pression acoustique ou surpression :

– la variation de masse volumique: – la vitesse

L’approximation acoustique suppose que les écarts par rapport à l’équilibre sont faibles :, et . Elle permet la linéarisation des équations décrivant le fluide.

b) Équations de propagation Considérons une onde sonore se propageant dans un fluide unidimensionnel selon l’axe . Au point x à l’instant t, les trois grandeurs locales décrivant le fluide sont : la vitesse

, , . Ces trois variables vérifient les 3 équations :

– Conservation de la masse (fiche 32) : (1)

– Équation d’Euler (fiche 32) : (2)

– Comme la perturbation évolue rapidement, les transferts thermiques entre particules flui-des peuvent être négligés : elles évoluent de manière adiabatique. De plus, les phénomènesdissipatifs dans le fluide sont considérés comme négligeables, l’évolution est réversible. Ilest donc possible de considérer que l’évolution des particules fluides est isentropique :l’entropie massique s de la particule fluide en x, t vérifie (3)

Utilisons l’approximation acoustique et linéarisons ces 3 équations au 1er ordre en v, pac et ρac :

– (1) ⇔ ⇒

– (2) ⇔ ⇒

– (3) ⇔ ⇒

les dérivées partielles étant prises à l’équilibre.

cs

ρ0 p0

x, y,z( ) ρ x y z t, , ,( ) p x y z t, , ,( )v x y z t, , ,( )

p x y z t p x y z t pac , , , , , ,( ) = ( ) − 0

ρ ρ ρac x y z t x y z t, , , , , ,( ) = ( ) − 0v x y z t, , ,( )

p pac 0 ρ ρac 0 v cs<<

Ox

v x t v x t i, ,=( ) ( ) p x t,( ) ρ x t,( )∂∂

+ ∂( )∂

=ρ ρt

v

x0

ρ ∂∂

+ ∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − ∂

∂v

tv

v

x

p

x

s p s pρ ρ0 0, ,( ) = ( )

∂ +( )∂

+∂ +( )( )

∂=

ρ ρ ρ ρ0 0 0ac ac

t

v

x

∂∂

+ ∂∂

ρac

t

v

x0 0

ρ ρ00+( ) ∂

∂+ ∂

∂⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

∂ +( )∂ac

acv

tv

v

x

p p

xρ0

∂∂

= −∂∂

v

t

p

xac

s p s p pac acρ ρ ρ0 0 0 0, ,( ) = + +( ) s p s ps s

pp

pacρ ρ

ρρ

ρ0 0 0 0

0 0

, ,( ) = ( ) + ∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + ∂

∂⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ aac

192

Page 199: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 61 • Ondes sonores

Or à l’équilibre ⇒ ; en utilisant

la compressibilité isentropique (fiche 18) ⇒ En éliminant ρ entre ces trois équations, on obtient :

De même, et .

La surpression pac, la vitesse et ac vérifient l’équation de d’Alembert.

La célérité de l’onde sonore est donnée par : .

Dans les conditions normales de pression et de température, la célérité du son (aussi appeléevitesse du son) est, dans l’air, de 331 m.s–1 et, dans l’eau, de 1 500 m.s–1.

c) Onde sonore plane progressive monochromatique (O.P.P.M.)Dans un milieu à 3 dimensions, considérons, au point et à l’instant t, une O.P.P.M. sonorese propageant dans la direction . En utilisant la notation complexe (fiche 60), la surpression,

par exemple, s’écrit : où ω est la pulsation de l’onde, son

amplitude et son vecteur d’onde. Cette notation simplifie les calculs. Après linéarisation, exprimons les relations couplant les grandeurs complexes :

c , or et ⇒

c , or et ⇒

⇒ La vitesse est parallèle à la direction de propagation : l’onde sonore est longitudinale.Posons . En notation réelle : , et .

d) Intensité sonore et niveau sonorec Considérons une O.P.P.M. sonore se propageant dans la direction , la force

acoustique s’exerçant sur un élément de surface dS normale à est donnéepar (fiche 19).

D’où l’on déduit la puissance de cette force (fiche 7) :.

Comme la vitesse est colinéaire à , . La densité surfacique de puissanceacoustique (W.m–2) est l’énergie traversant l’unité de surface pendant l’unité de temps :

Or et ⇔ ⇒ .L’énergie est transportée par l’onde dans la direction de propagation à la célérité cs.c L’intensité sonore I est la valeur moyenne de la densité surfacique de puissance acoustique.Or la vitesse d’amplitude v0 est :

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − ∂

∂⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ρρ ρp

s p

ss p0 0 0

ρ ρac

Sacp

p= ∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ χ

ρρ

SSp

= ∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

0 0

ρ ρ χac S acp= 0

χ

ρ

Sac

ac

p

t

v

x

v

t

p

x

∂∂

+ ∂∂

=

∂∂

+∂∂

=

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

0

00

Dérivons par rapport à :

D

t χSacp

t

v

x x

∂= − ∂

∂ ∂

2

2

2

éérivons par rapport à : 0x ρ ∂∂ ∂

= −∂

2 2

2

v

x x

p

x

ac

⎬⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

⇒En éliminant ,

∂∂ ∂

∂−

∂=

2

2

20

2

2

10

v

x t

p

t

p

x

ac

S

ac

ρ χ

∂− ∂

∂=

2

20

2

2

10

v

t

v

xSρ χ∂

∂−

∂=

2

20

2

2

10

ρρ χ

ρac

S

ac

t xv

csS

= 1

0ρ χ

ru

p r t p eac act k r( , ) = − ⋅ +( )0 j ω ϕ

pac0

k ku=p vac ac, et ρ

ρ0∂∂

= −v

tpacgrad

∂∂

=v

tvjω grad jp kpac ac= − j jρ ω0 v k pac=

∂∂

+ =ρ

ρac

tv0 0div

∂∂

ωρacact

j div jv k v= − ⋅ j jωρ ρac k v− ⋅ =0 0

v r t,( ) uv r t v r t u, ,( ) = ( ) ρ ω0 v kpac= ωρ ρac kv− =0 0 ω = c ks

p p0

dSu

uu

d dF p Suac ac=

d d dPac ac acF v p v u S= ⋅ = ⋅v u d dPac acp v S=

j p vuac ac=ρ ω0 v kpac= ω = c ks p c vac s= ρ0 j v c uac s= ρ0

2

v r t v t ku r, cos( ) = − ⋅ +( )0 ω ϕ

193

Page 200: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 61 • Ondes sonores

⇒ (fiche 40)

L’oreille se comportant comme un détecteur logarithmique, le niveau sonore, noté N en décibels,est défini par :

Par exemple, un baladeur au maximum a un niveau sonore de 105 dB.

3. EN PRATIQUE…c Déterminons la célérité du son cs à température ambiante dans l’air assimilé à

un gaz parfait de rapport des capacités thermiques molaires à pression et à volume constants (fiche 22) et de masse molaire .

La célérité des ondes sonores est donnée par avec .

L’évolution des particules fluides étant isentropique, ds = 0. Le gaz étant parfait, à l’équilibre,

⇒ ⇒ ⇔

La célérité du son dans l’air augmente avec la température. c Considérons une onde sonore plane monochromatique de fréquence f = 1 500 Hz se propa-

geant dans l’air de masse volumique ρ0 = 1,3 kg.m-3. La célérité de l’onde dans l’air à lapression atmosphérique et à température ambiante est

Æ Déterminons l’amplitude de surpression , celle de la vitesse locale v0 et celle de lavariation de masse volumique , lorsque le niveau sonore de l’onde est N = 120 dB.

L’intensité sonore I est : . Or

⇒ , et .

• L’oreille humaine est sensible aux fréquencescomprises entre 20 Hz et 20 000 Hz. En dessousd’une intensité sonore de I0 = 10–12 W.m–2 pour unefréquence de 1 500 Hz, aucun son n’est audible :c’est le seuil d’audibilité. Au-dessus d’une intensitéde 1 W.m–2, le son provoque une sensation doulou-reuse : c’est le seuil de douleur.

N : niveau sonore en dBI : intensité sonore en W.m–2

I0 : intensité sonore seuil I0 = 10–12 W.m–2

Iv c

Tt ku r ts

T

= − ⋅ +( )∫ρ

ω ϕ0 02

2

0

cos d I v cs= 12 0 0

L en dB

120

f en Hz0

2000020

10-12

seuil d'audition

1

I en w.m-2

seuil de douleur

NI

I= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

100

log

T0 298= KCp CV

γ = 1 4, M = 29 g.mol-1

csS

= 1

0ρ χχ

ρρ

SSp

= ∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

0 0

CT

TR

p

p

pM Tp

p

T

T

pd d

(fiche 24)

R d d d

− =

= ⇔ = +

⎨⎪ 0

ρ ρρ⎩⎩

⎪⎪

En éliminant dT et en utilisant R (fichC Cp V− = ee 22),

dp

p

d

p s= ⇔ ∂

∂⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =γ ρ

ρρ ρ

γ0

0

pp0

⎨⎪

⎩⎪

χγS p

= 1

0c

p T

Ms = =γρ

γ0

0

0Rcs = × × =

−−1 4 8 31 298

29 10346

31, ,

.m.s

cs = −346 1m.spac

0

ρac0

I IN

= = × =− −0

10 12 12 210 10 10 1. W.m I v cs= 12 0 0

vI

cS0

0

2 126 7 10= = − −

ρ, . m.s p c vac s

00 0 30= =ρ Pa ρ ρac

s

v

c0

00 4 32 5 10= = − −, . kg.m

194

Page 201: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 61 • Ondes sonores

→ Comparons ces valeurs aux valeurs à l’équilibre : p0 = 105 Pa et ρ0 = 1,3 kg.m–3

On constate que , et . L’approximation acoustique est bien vérifiée.

La caisse de résonance contient de l’air excité par la vibration du diapason. Le milieu étant limité,l’onde sonore dans la caisse est une onde stationnaire. Le champ de vitesse est donné par :

(fiche 60).Déterminons les constantes ϕ et Φ à l’aide des conditions aux limites :

– En x = 0, l’extrémité étant fermée, la paroi est fixe ⇒ pour tout t :

C’est un nœud de vitesse. ⇒

Comme et ⇒ ⇒

– En x = L, l’extrémité est ouverte : c’est un ventre de vitesse

⇒ . C’est un ventre, si

⇒ ⇔ .

Le mode fondamental correspond à m = 0. Son vecteur d’onde est .

Sa fréquence est

et sa longueur d’onde .

À un nœud de vitesse correspond un ventre de surpression et à un ventre de vitesse corres-pond un nœud de surpression.

• Frappons un diapason métallique, vibrant à la fréquencef = 440 Hz (note « la »). Le son émis est inaudible. Fixons ce diapason sur une caisse de résonance, qui estune boîte en bois creuse de longueur L = 19,6 cm dontune extrémité est fermée et l’autre est ouverte. Le sonest alors audible.La caisse sera supposée unidimensionnelle suivant Ox. Montrons que le mode fondamental de la caisse derésonance est excité.

Le mode excité est bien le mode fondamental, ce qui expliquele rôle de la caisse de résonance permettant d’amplifier le sonémis par le diapason quand on le frappe. Représentons l’enveloppe de l’onde stationnaire correspon-dant à ce mode fondamental.Les conditions aux limites pour la surpression sont :– En x = 0, l’extrémité étant fermée, il y a un ventre de surpression.– En x = L, l’extrémité étant ouverte, l’atmosphère impose lapression p0, par suite la surpression est nulle, il y a un nœud desurpression.

p pac0

0 ρ ρac0

0 v cs0 <<

xL0

air

v x t v kx t, cos cos( ) = +( ) +( )0 ϕ ω Φ

v t0 0,( ) =

v t v t0 00, cos cos( ) = +( ) =ϕ ω Φ

v0 0≠ cos ω Φt +( ) ≠ 0 cosϕ = 0 ϕ π=2

v L t v kL t, cos cos( ) = +( ) +( )0 ϕ ω Φ v kL v0 0cos +( ) =ϕ

cos sinkL kL+( ) = =ϕ 1 kL m m= +π π2

avec entier *

kL0 2

= π

fc k c

Ls s

00

2 4349

4 0 196440= = =

×=

π , Hz

λ0 4 78 4= =L , cm

xL0 vitesse

surpression

195

Page 202: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

62 Ondes électromagnétiques dans le vide

1. EN QUELQUES MOTS…Les ondes électromagnétiques permettent la transmission d’un grand nombre d’informations,sans support matériel. Elles sont très utilisées dans le domaine de la télécommunication. L’ondeélectromagnétique est caractérisée par deux grandeurs vectorielles : le champ électrique et lechamp magnétique , celles-ci se propagent dans le vide à la vitesse de la lumière.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Équations de Maxwell :Considérons une région de l’espace loin des sources où il n’y a aucune charge et aucun cou-rant. Celle–ci est appelée vide. Les équations de Maxwell (fiche 58) s’écrivent alors :

b) Équation de propagation

Pour obtenir l’équation de propagation de , éliminons des équations de Maxwell :

Comme , (1)

(2)

En coordonnées cartésiennes, . se décompose

en ses composantes ⇒ . À l’équation d’onde vectorielle, correspondent trois équations scalaires.

De même, en éliminant , le champ magnétique vérifie : .

La propagation du champ électrique et du champ magnétique est décrite par l’équation

de d’Alembert à 3 dimensions. La vitesse de propagation est .

c) Structure des ondes planes progressives monochromatiques (O.P.P.M.)c Les solutions de ces deux équations vectorielles peuvent se mettre sous la forme d’ondes planes

progressives harmoniques de pulsation ω se propageant dans la direction . Les équations depropagation étant linéaires, la notation complexe peut être utilisée (fiche 59) ; par exemple, le

champ électrique en un point M et à l’instant t s’écrit : où est l’amplitude de l’onde et le vecteur d’onde .

(1) (2)

: champ électrique au point et à l’instant t (V.m–1) : champ magnétique au point et à l’instant t (T) : perméabilité magnétique du vide (H.m–1) : permittivité électrique du vide (F.m–1)

c : célérité de l’onde électromagnétique dans le vide (m.s–1)

EB

div

rot

E

EB

t

=

= − ∂∂

⎧⎨⎪

⎩⎪

0 div

rot

B

BE

t

=

= ∂∂

⎧⎨⎪

⎩⎪

0

0 0ε μ

E rB rμ0ε0

E B

rot rot grad divE E E( ) = ( ) − Δ ⇒ rot − ∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −B

tEΔ ⇔ − ∂

∂ ( ) = −t

B Erot Δ

⇒ − ∂∂

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −t

E

tEε μ0 0 Δ ⇔ − ∂

∂= −ε μ0 0

2

2

E

tEΔ ⇔ ΔE

E

t− ∂

∂=ε μ0 0

2

20

⇔ ΔEE

t− ∂

∂=1

02

2

2cΔE r,t

E r,t

x

E r,t

y

E2 2

( ) = ∂ ( )∂

+ ∂ ( )∂

+ ∂2 2 2 rr,t

z2

( )∂

E r t,( )

E r t E r t E r tx y z, , , , ,( ) ( ) ( ) Δ Δ Δ ΔE E e E e E ex x y y z z= + +

E B ΔBB

t− ∂

∂=1

02

2

2c

E B

c = 1

0 0ε μ

u

E tM,( ) E t E emj t k r

M,.( ) = −( )ω

Emk k ku=

196

Page 203: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 62 • Ondes électromagnétiques dans le vide

c Avec la notation complexe : , et

Les équations de Maxwell peuvent donc s’écrire,

c Les O.P.P.M. électromagnétiques ont les propriétés suivantes :

– Elles sont transversales, car et ⇒ et sont orthogonaux à

– La relation de dispersion est , car en remplaçant dans

c L’énergie de l’onde électromagnétique dans le vide est transportée dans la direction de pro-pagation et est proportionnelle au carré du module du champ électrique.

3. EN PRATIQUE…Considérons une O.P.P.M. de pulsation ω et de vecteur d’onde de module k dont le champélectrique est donné par : .Les vecteurs unitaires suivant les axes Ox, Oy et Oz sont respectivement .Représentons cette onde :– Le vecteur d’onde se trouve dans le plan xOy avec et . Il fait un

angle α avec l’axe Ox tel que ⇒ α = 45˚.

– et sont orthogonaux, car

En prenant la partie réelle, on obtient :

– forment un trièdre direct

– Le champ électrique et le champ magné-tique se propagent en vibrant en phase avec

et ⇒

• La longueur d’onde dans le vide est :

Le domaine des ondes électromagnétique est très vaste :

– Le champ électrique est suivant la direction Oz, orientée suivant lanormale sortante au plan de la figure.

– Le champ magnétique est orthogonal au champ électrique et au

vecteur d’onde , le trièdre étant direct.

divE ⇔ − jk E. rotE ⇔ − ∧jk E∂∂E

t⇔ jωE

− =

− ∧ = −

⎧⎨⎪

⎩⎪

j

j j

ku E

ku E B

. 0

ω

− =

− ∧ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

j

j j

ku B

ku B E

. 0

0 0ε μ ω

u E. = 0 u B. = 0 E B u

E B − ∧ = −j jku E Bω ⇔ Bku E= ∧

ω

Bku E= ∧

ωE B u, ,{ }

E(t)

B(t) udirectionde propagation

k22

2= ω

cB − ∧ =j jku B Eε μ ω0 0

− ∧ ∧⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⇔ − ( )j jc

k uu E

E k u E u22

2

ω. + = ⇔ =k E E k

c

22

22

2

2

ω ω

c

EB

Bku E= ∧

ωk

cu= ω

E B= c

kE(t)

B(t)

λ π πω0

2 2= =k

cλ0

en mrayo

n γ

rayon X

ultr

avio

let

infr

arou

ge

rada

rté

lévi

sion

onde

s ra

dio

10-12

10-9 -6

10

visible

-3

10 1 103

E E e t k x yz= − +( )( )0 0 707 0 707cos , ,ωe e ex y z, et

k k kx = 0 707, k ky = 0 707,

cos ,α =+

=k

k k

x

x y2 2

0 707

B E

k E B k, ,{ }x

y

E

B

k

197

Page 204: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

63 L’optique

1. EN QUELQUES MOTS…L’optique est le domaine de la physique décrivant les phénomènes de propagation d’ondeslumineuses auxquelles est sensible l’œil.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…La dualité onde-corpuscule de la lumière illustre sa double nature. L’aspect ondulatoiredécrit correctement les effets liés à la propagation de la lumière, tandis que l’aspect corpuscu-laire est adapté pour décrire les interactions lumière-matière.

a) Modèle ondulatoire Les ondes lumineuses sont des ondes électromagnétiques qui vérifient les équations deMaxwell. Les grandeurs se propageant sont le champ électrique et le champ magnétique

(fiche 62).c La lumière visibleLes longueurs d’onde dans le vide λ0 de la lumière visible sont comprises entre 0,4 µm et 0,7 µm.

Les fréquences des ondes lumineuses sont comprises entre 4,3 1014 Hz et 7,5 1014 Hz.En optique, l’onde lumineuse est caractérisée par sa longueur d’onde dans le vide λ0, ce quiéquivaut à connaître la fréquence de l’onde qui ne dépend pas du milieu.c Ondes lumineuses planes monochromatiques dans un milieu diélectrique LHI Æ Dans la suite, les seuls milieux considérés sont des milieux LHI qui sont :

– transparents : ils n’absorbent pas les ondes lumineuses ;– linéaires : les propriétés du milieu varient linéairement avec le champ électrique de l’onde ;– homogènes : les propriétés sont indépendantes du point considéré du matériau ;– isotropes : les propriétés sont indépendantes de la direction considérée dans le matériau.

Æ Vitesse de propagation et structure de l’onde dans un milieu LHILes ondes lumineuses vérifient les équations de Maxwell ; l’équation de propagation duchamp électrique est une équation de d’Alembert où intervient la vitesse de propagation v dela lumière dans le milieu (fiche 62). Cette vitesse v est une constante indépendante du point considéré (milieu homogène), de ladirection (milieu isotrope) et de l’énergie transportée par l’onde (milieu linéaire). La vitesse vest toujours inférieure à la vitesse de la lumière dans le vide c. La vitesse de la lumière v décroît avec la fréquence f de l’onde, c’est le phénomène de dispersion. La structure de l’onde dans un milieu LHI est la même que dans le vide (fiche 62). De même,l’énergie de l’onde est transportée dans la direction de propagation et est proportionnelle aucarré du module du champ électrique.Æ Indice optique du milieu

UV violet indigo bleu vert jaune orangé rouge IR

400 430 480 540 580 600 650

n : indice optique du milieu, sans dimension v : vitesse de propagation de la lumière dans le milieu (m.s–1) c : vitesse de propagation de la lumière dans le vide (m.s–1)

EB

nv

= c

198

Page 205: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 63 • L’optique

L’indice optique est toujours supérieur à 1. Pour une onde lumineuse monochromatique de longueur d’onde dans le vide λ0 = 589 nm,l’indice optique est par exemple :

L’indice optique de l’air est approximé, dans certains cas, par celui du vide.La relation approchée, appelée relation de Cauchy, liant l’indice optique à la longueur d’ondedans le vide λ0, est applicable à de nombreux milieux :

, où A et B sont des constantes positives. Ainsi ⇒ nrouge < nbleu.

La longueur d’onde dépend du milieu de propagation :

c Les ondes utilisées en optique Ce sont des ondes monochromatiques. Les surfaces d’onde sont les surfaces équiphases. Æ Onde sphérique monochromatiqueUne source ponctuelle S monochromatique émet, dans un milieu LHI, une onde sphériquedans tout l’espace, dont l’amplitude complexe au point M à la distance r de la source est :

Une onde lumineuse est polarisée rectilignement si la direction de est fixe dans le temps. Cette onde présente une infinité de directions de propagation. Son amplitude décroît en r–1 où r estla distance à la source. Cela traduit la conservation de l’énergie lumineuse lors de la propagation ; lapuissance émise par la source est égale à la puissance traversant toute surface d’onde. La surface d’onde est une sphère centrée sur la source, ce qui donne le nom à l’onde. Æ Onde plane monochromatiqueTrès loin de la source, les directions de propagation sont pratiquement parallèles et les surfacesd’onde sont localement planes. L’onde s’écrit alors, en notation complexe (fiche 59) :

avec le vecteur , où est le vecteur unitaire dans la directionde propagation et k le module du vecteur d’onde.

b) Modèle corpusculaireLa lumière monochromatique de fréquence f est formée de quanta de lumière appelés photons. Le photon est une particule sans masse, d’énergie où h = 6,62·10–34 J·s est la constantede Planck.

c) Optique géométrique C’est une approximation de l’optique ondulatoire : la longueur d’onde est très petite devanttoutes les autres échelles spatiales de l’onde, en particulier son extension spatiale. L’optique géométrique utilise la notion de rayons lumineux qui sont les trajectoires de l’énergielumineuse. Une onde plane est représentée, en optique géométrique par un faisceau de rayonsparallèles à la direction de propagation de l’onde.

vide air eau verre diamant

n 1 1,00029 1,333 1,5 -1,8 2,41

n : indice optique du milieuλ0 : longueur d’onde dans le vide

ω : pulsation de l’onde (rad.s–1): amplitude : vecteur unitaire dans la direction

de (polarisation)

n AB= +

λ02

λ λ0 0bleu rouge<

λ =λ0

n

E r tE

re t kr,( ) = − −( )0 j ω

kn= 2

0

πλ

E E e0 0 0=E0e0

E0e0

E r t E e t k r( , ) ( )= − ⋅0

j ω k ku= u

E f= h

199

Page 206: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

64 Rayons lumineux, images optiques

1. EN QUELQUES MOTS…L’optique géométrique est l’étude de la formation des images d’objets lumineux par des ins-truments d’optique dont le rôle est de permettre d’observer des reproductions des objetsaussi fidèles que possible.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) DéfinitionsLa lumière est issue d’une source lumineuse ; on distingue :

– Les sources lumineuses primaires : certains objets, comme une lampe ou le Soleil, émet-tent spontanément de la lumière.

– Les sources lumineuses secondaires : d’autres objets, comme une feuille de papier ou unmur, diffusent la lumière qu’ils reçoivent.

La lumière est analysée par un détecteur optique, sensible à l’énergie transportée par lalumière, proportionnelle à la moyenne quadratique de l’amplitude du signal lumineux. L’œil,une caméra CCD (dispositif à transfert de charge) ou une plaque photographique constituentdes détecteurs usuels. Ce sont des détecteurs discrets c’est-à-dire que leur résolution spatialeest limitée : la taille d’un récepteur est de l’ordre de 3 mm pour l’œil, 7 μm pour une caméraCCD et 4 mm pour une plaque photographique.Les rayons lumineux représentent la trajectoire de l’énergie lumineuse. Il s’agit d’une notion abs-traite qui symbolise le trajet de la lumière en provenance d’une source lumineuse au travers demilieux transparents. Il n’est pas possible en effet d’isoler un rayon lumineux. Expérimentale-ment, un pinceau fin de lumière parallèle issu d’un laser peut être assimilé à un rayon lumineux.Un ensemble de rayons lumineux constitue un faisceau lumineux. On distingue trois types defaisceaux :

b) Principe de Fermat On appelle chemin optique la longueur du trajet qui serait parcouru par la lumière dans levide pendant le temps de parcours de la portion de trajectoire dans le milieu considéré :

Faisceau convergent Faisceau parallèle Faisceau divergent

soit

L : chemin optique (m).AB : portion de trajectoire parcourue par la lumière (m).t : temps mis par la lumière pour parcourir la trajectoireAB dans le milieu considéré (s).c : vitesse de la lumière (m.s–1).n : indice optique du milieu considéré (sans unité)

L tv

= =c cAB L n= AB

200

Page 207: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 64 • Rayons lumineux, images optiques

c Le principe de Fermat, introduit par Pierre de Fermat au XVIIe siècle, et ses conséquences,fondent les bases de l’optique géométrique :

Le trajet suivi par la lumière entre deux points A et B est tel que la durée du parcours soitextrémale, et en général minimale.

c) Système optique c Un système optique est constitué d’un ensemble de lentilles (fiche 68), de miroirs

(fiche 66), et plus généralement de milieux transparents et homogènes, séparés par desdioptres (surfaces de séparation entre deux milieux d’indices optiques différents).

Un système optique est dit centré s’il présente un axe de symétrie appelé axe optique. Cet axeest orienté selon le sens de la lumière incidente.Dans la suite, on représentera un système optique quelconque par sa face d’entrée (E) et saface de sortie (S) :

d) Notion d’objet ponctuel et d’image ponctuelle On désigne par objet tout dispositif émettant ou diffusant de la lumière.c Un objet ponctuel correspond au point d’intersection des rayons incidents. c Image ponctuelle : Stigmatisme rigoureux Soit un objet ponctuel A. Un faisceau lumineux issu de A traverse un système optique. Le sys-tème optique est rigoureusement stigmatique pour un couple de points (A, A¢) si le faisceau issude A émerge du système optique en un faisceau passant par le point A¢. Le point A¢, intersectiondes rayons du faisceau émergent, est l’image du point objet A à travers le système optique. A etA’ sont deux points conjugués pour le système optique.Le stigmatisme rigoureux implique que le chemin optique entre A et A¢ est le même pourtous les rayons lumineux issus de A.c Nature réelle ou virtuelle d’un objet ponctuel A et de son image ponctuelle A¢ :Les différentes situations possibles pour le couple de points conjugués (A, A¢) sont schéma-tisées ci-dessous en tenant compte des conventions suivantes pour le tracé des rayons :

– Un rayon réel est effectivement parcouru par la lumière ; il sera représenté en traits pleins. – Un rayon virtuel est le prolongement d’un rayon réel, ne servant qu’à effectuer des cons-

tructions géométriques ; il sera représenté en traits pointillés.

Conséquence 1 Conséquence 2

La lumière se propage de façon rectiligne dansun milieu homogène (dont les propriétés sont lesmêmes en tout point) et isotrope (dont les pro-priétés sont les mêmes dans toutes les directions).

Principe du retour inverse de la lumière :La trajectoire suivie par la lumière entredeux points est indépendante de sonsens de propagation.

• Par convention, les distances sont définies algébriquement.Le sens de la lumière incidente, c’est-à-dire l’orientation del’axe optique définit le sens positif. De même un sens positif estdéfini dans la direction perpendiculaire à l’axe optique.

Axe optique

(S) (E) Sens de la lumière

incidente

+

+ Sens de la lumière

incidente

201

Page 208: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 64 • Rayons lumineux, images optiques

On peut ainsi déduire la représentation des espaces objet et image :

c Observation d’une image : une image réelle peut être recueillie sur un écran, ce qui n’estpas le cas d’une image virtuelle. Toute image, réelle ou virtuelle, peut être observée parl’œil d’un observateur placé dans le faisceau émergent.

c Objet ponctuel à l’infini, image ponctuelle à l’infini : Un objet ponctuel A à l’infini est tel qu’un observateur observant cet objet reçoit un faisceaude rayons parallèles dans la direction de l’objet.

A¢ est une image réelle :le faisceau émergeant du sys-tème optique est convergent

A¢ est une image virtuelle :le faisceau émergeant du système

optique est divergent

A est un objet réel :le faisceau incident

sur le système optique est divergent

A est un objet virtuel :le faisceau incident

sur le système optique est convergent

Image réelle recueillie sur un écran

Image réelle observée par l’œil d’un observateur

Image virtuelle observée par l’œil d’un observateur

Objet ponctuel à l’infini sur l’axe optique Objet ponctuel à l’infini vu sous un angle α

(S) (E)

A’ A

(S) (E)

A’ A

(S) (E)

A A’

(S) (E)

A A’

Espace objet réel

(S) (E)

Espace objet virtuel

(S) (E)

Espace image virtuel

Espace image réel

(S) (E)

A’

écran (S) (E)

A’

(S) (E)

A’

(S) (E)

α

(S) (E)

202

Page 209: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 64 • Rayons lumineux, images optiques

L’image ponctuelle A¢ d’un objet ponctuel A est à l’infini si le faisceau émergeant du systèmeoptique est un faisceau de lumière parallèle. La direction du faisceau parallèle émergent indi-que l’angle sous lequel un observateur voit l’image A¢.

e) Objet étendu :Un objet est dit étendu s’il est formé d’un ensemble de points. Il sera noté .Un objet étendu à l’infini donne lieu à un ensemble de faisceaux parallèles de directions diffé-rentes, chaque faisceau parallèle étant issu d’un point de l’objet. L’objet étendu à l’infini estcaractérisé par son diamètre angulaire défini par l’angle sous lequel est vu l’objet depuis laface d’entrée du système optique.

c Aplanétisme : Un système optique est aplanétique si la propriété de stigmatisme est conservée

dans un plan perpendiculaire à l’axe optique. Ainsi l’image d’un objet plan perpendi-culaire à l’axe optique est plane et perpendiculaire à l’axe optique.

f) Conditions de Gauss La condition de stigmatisme rigoureux est rare. Elle n’est rencontrée pour tout point objetque dans le cas du miroir plan. Cependant, tout système optique peut vérifier un stigmatismeet un aplanétisme approchés si les deux conditions, dites de Gauss, sont réunies :

Par la suite, on se placera dans ces conditions.Il faut noter que le stigmatisme rigoureux n’est pas nécessaire à cause de la nature discrètedes détecteurs optiques, comme l’œil ou une caméra CCD. Dans le cas de l’œil par exemple,une image située sur la rétine est considérée comme ponctuelle si ses dimensions n’excèdentpas celles d’une cellule photo-réceptrice de l’œil (cône ou bâtonnet).

Image ponctuelle à l’infini sur l’axe optique

Image ponctuelle à l’infini vue sous un angle α¢

On trace les deux faisceaux parallèles issus desdeux points extrêmes de l’objet. Le diamètre angu-laire de l’objet étendu à l’infini est 2α.

– les rayons sont peu écartés de l’axe optique ;– les rayons sont peu inclinés par rapport à l’axe optique.

Les rayons sont dits paraxiaux.

(S) (E)

α'

(S) (E)

AB

(S) (E)

A'B' AB

203

Page 210: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

65 Réflexion et réfraction

1. EN QUELQUES MOTS…Lorsque la lumière passe d’un milieu transparent à un autre, sa trajectoire est déviée. De plus,une partie de la lumière est réfléchie dans le milieu d’origine. Ces phénomènes appelés res-pectivement réfraction et réflexion sont décrits par les lois de Snell-Descartes.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Lois de la réflexion et de la réfraction : lois de Snell-DescartesOn appelle dioptre la surface séparant deux milieux transparents d’indices optiques différents. On note n1 l’indice optique du milieu 1 et n2 celui du milieu 2. Un rayon lumineux dans le milieu 1 intercepte le dioptre en un point noté I appelé pointd’incidence. Ce rayon, dit incident, donne lieu à un rayon réfracté dans le milieu 2 et à unrayon réfléchi dans le milieu 1.On appelle plan d’incidence le plan contenant le rayon incident au point I et la normale audioptre en ce point.

Les lois de Snell-Descartes régissent la réflexion et la réfraction de la lumière sur le dioptre :Æ Lois de la réflexion :

– Le rayon réfléchi est dans le plan d’incidence.– Le rayon réfléchi est le symétrique du rayon incident par rapport à la normale au

dioptre ; l’angle de réflexion i¢ est égal à l’angle d’incidence i.Æ Lois de la réfraction :

– Le rayon réfracté est dans le plan d’incidence.– L’angle d’incidence i et l’angle de réfraction r sont liés par la relation :

b) Phénomène de réflexion totalePrenons l’exemple d’un dioptre plan séparant deux milieux d’indices optiques n1 (milieu 1) etn2 (milieu 2). Considérons un rayon incident sur ce dioptre dans le milieu 1. Deux cas peuventse présenter suivant que le milieu 1 est plus réfringent (plus réfracteur) ou moins réfringentque le milieu 2 :

Rayon réfracté

Rayon réfléchi

Rayon incident n1

n2

Milieu 2

i’

i

I

r

Milieu 1 Dioptre

n i n r1 2sin sin=

204

Page 211: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 65 • Réflexion et réfraction

3. EN PRATIQUE…c Un rayon lumineux se propageant dans l’eau arrive avec un angle d’incidence i = 45˚ sur un

dioptre eau-air. On donne les indices de réfraction de l’eau n1 = 1,33 et de l’air n2 = 1,00. Cherchons s’il existe un rayon réfracté. Le rayon passe d’un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent ; il peut donc êtretotalement réfléchi si i ≥ ilimoù ilim est l’angle limite de réflexion totale. Calculons ilim :

n1 < n2 n1 > n2

Comparaison entre les angles

d’incidence et de réfraction

La 2e loi de la réfraction, , implique : i > r .

Ainsi, le rayon réfracté se rapproche de la normale.

La 2e loi de la réfraction, , implique : i < r .

Ainsi, le rayon réfracté s’écarte de la normale.

Schéma

Angle limite

Le rayon réfracté existe donc quel que soit l’angle d’incidence i compris

entre 0 et .

L’angle de réfraction limite rlim

est obtenu pour :

Lorsque i varie de 0 à , il existe un

angle d’incidence limite ilim au-delà duquel il n’y a plus de rayon réfracté.L’angle d’incidence limite ilim est

obtenu pour :

.

Ainsi, si i > ilim, il n’y a pas de rayon réfracté ; on dit qu’il y a réflexion totale.

n i n r1 2sin sin= n i n r1 2sin sin=

Rayon réfracté

n2

I

i’

r

iMilieu 1

n1

Milieu 2

Rayon réfléchi Rayon incident

Rayon réfracté

n1

n2

I

i’

r

iMilieu 1

Milieu 2

Rayon réfléchi Rayon incident

π2

i = π2

n n r1 22sin sin lim

π =

⇔ rn

nlim sin= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Arc 1

2

π2

r = π2

n i n1 2 2sin sinlim = π

⇔ in

nlim sin= Arc 2

1

205

Page 212: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 65 • Réflexion et réfraction

c Étudions le stigmatisme du dioptre plan.Un dioptre plan sépare deux milieux d’indices optiques n1 (milieu 1) et n2 (milieu 2) avec n1 < n2.Considérons un point objet A réel dans le milieu 1 et H son projeté orthogonal sur la surface dudioptre. Traçons l’image A¢ de A.

Æ Étudions le stigmatisme rigoureux du dioptre plan :La propriété de stigmatisme rigoureux est vérifiée si la position de l’image ponctuelle A¢ estindépendante de l’angle d’incidence i du rayon AI.On a les relations géométriques suivantes :

Sachant que , on peut exprimer HA’ en fonction de HA et i :

.

i < ilim il existe un rayon réfracté.Calculons l’angle de réfraction r :

r = 70,1˚On peut donc tracer le rayon réfracté, en rougesur la figure.

Le rayon AH normal à la surface du dioptre seréfracte sans déviation. L’image A¢ de A setrouve donc sur la droite (AH). Traçons un second rayon AI arrivant sur le diop-tre en I avec un angle d’incidence i et se réfrac-tant avec un angle de réfraction r tel que :

.

Les deux rayons émergents étant divergents,l’image A’ est virtuelle et située à l’intersectiondes prolongements des rayons émergents.On note que A et A¢ sont du même côté dudioptre : si l’objet A est réel, l’image A¢ est vir-tuelle et inversement.

i

r

n 1

I

air

n 2

eau

in

nlim sin ,= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= °Arc 2

148 8

n i n r1 2sin sin= ⇔ sin ,,

sinr = °1 331 00

45

r

A

I

A’

n2H

i

n1n i n r1 2sin sin=

tan

tan

tantan

i

r

i

r

=

=

⎨⎪

⎩⎪

⇒ =

HIHAHI

HA'

HA' HA

n i n r1 2sin sin=

HA' HA= sinsin

coscos

i

r

r

i⇔ HA' HA= −n

n

r

i2

1

21 sincos

206

Page 213: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 65 • Réflexion et réfraction

.

Cette expression montre que lorsque l’angle d’incidence i varie, la distance HA¢ ne reste pasconstante. Ainsi, la position de l’image de A n’est pas unique : le dioptre plan n’est pas rigou-reusement stigmatique pour un point objet A quelconque.Le stigmatisme rigoureux n’est obtenu que pour deux positions particulières de l’objet ponc-tuel A : à l’infini et sur la surface du dioptre.Æ Étudions les conditions de stigmatisme approché du dioptre plan :Si l’angle d’incidence i est faible, alors : et .

L’équation précédente devient : .

Ainsi, lorsque l’angle d’incidence i est faible, la distance HA¢ est indépendante de i : la posi-tion de A¢ devient unique. Il y a stigmatisme approché pour tout point objet à distance finie qui n’envoie sur la surfacedu dioptre qu’un faisceau de rayons peu inclinés par rapport à la normale.c Étudions l’image par une lame à faces parallèles d’un point objet à l’infini. Une lame à faces parallèles en verre, d’épaisseur e, d’indice optique n = 1,5, est placée dansl’air. Déterminons la position de l’image ponctuelle A¢ d’un objet ponctuel A à l’infini.

On obtient ainsi en sortie de la lame un faisceau parallèle dont la direction est la même quecelle du faisceau incident. L’image d’un objet ponctuel à l’infini par une lame à faces paral-lèles est à l’infini, dans la même direction que l’objet.

L’objet ponctuel A envoie un faisceauparallèle incliné d’un angle i = 40˚ parrapport à la normale à la lame.Les rayons sont réfractés sur le premierdioptre air-verre. On obtient donc dansla lame un faisceau parallèle incliné d’unangle r tel que :

Les rayons sont incidents sur le dioptreverre-air avec un angle d’incidence

. L’angle d’émergence r¢ desrayons est donc donné par la relation :

Ainsi .

⇔ HA' HA=− ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟n

n

n

ni

i2

1

1

2

221 sin

cos⇔ HA' HA=

−n n i

n i22

12 2

1

sin

cos

cos i ≈ 1 n i n12 2

22sin

HA' HA=n

n2

1

i

r

r

i

air n

verre air

sin sini n r= ⇒ r = °25 4,

r = °25 4,

n r rsin sin '=

r i' = = °40

207

Page 214: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

66 Miroir plan

1. EN QUELQUES MOTS…Le stigmatisme rigoureux du miroir plan en fait un élément d’optique fréquemment utilisédans la vie de tous les jours puisqu’il rend de l’objet une image non déformée.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Définition et propriétés

b) Formation des images Construisons l’image ponctuelle A¢ d’un objet ponctuel A par le miroir ; il faut tracer aumoins deux rayons issus de A (ou semblant se diriger vers A). L’image A¢ est le point d’inter-section des rayons émergents ou de leurs prolongements. Deux cas sont possibles :

c) Taille de l’image Chaque point d’un objet étendu plan parallèle au plan du miroir donne lieu à une imageponctuelle symétrique par rapport au plan du miroir. L’image est donc symétrique del’objet par rapport au plan du miroir et de même taille, quelle que soit la position de l’objet.

Un miroir plan est une surface plane réfléchissante. D’après la loi de la réflexion de Snell-Descartes, un rayon lumineuxincident sur un miroir plan donne lieu à un rayon réfléchi symé-trique du rayon incident par rapport à la normale au plan du miroir.Le miroir plan est le seul système optique qui soit rigoureusementstigmatique pour tout point objet.

A est un objet ponctuel réel A est un objet ponctuel virtuel

Schéma

Les rayons issus de A arrivent sur lemiroir.

Les rayons incidents sur le miroirsemblent se diriger vers A.

Nature de l’image

L’image ponctuelle A¢ est virtuelle.Elle ne peut être recueillie sur unécran. Par contre un observateur Oplacé de manière à recevoir lesrayons émergents verra l’image A¢.

L’image ponctuelle A¢ est réelle. Ellepeut être recueillie sur un écran. Unobservateur O placé de manière àrecevoir les rayons émergents pourraégalement voir l’image A¢.

ConclusionL’objet ponctuel A et son image ponctuelle A¢ sont symétriques par rapportau plan du miroir.

Rayon incident

Rayon réfléchi

A’ A

Sens de la lumière incidente

O

Sens de la lumière incidente

O A A’

ABA'B'

AB

208

Page 215: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 66 • Miroir plan

d) Champ de vision à travers un miroir plan Le champ de vision à travers un miroir plan est l’espace rendu visible à un observateur grâceau miroir. Un observateur fixe O, supposé ponctuel, regardant dans un miroir plan verra un objet si unrayon issu de cet objet atteint son œil après réflexion sur le miroir. Pour déterminer le champ de vision à travers un miroir, il faut :

– tracer le faisceau lumineux entrant dans l’œil après réflexion sur le miroir ;– utiliser le principe du retour inverse de la lumière pour déduire le faisceau incident. Celui-ci

délimite le champ de vision de l’observateur O, correspondant à la région hachurée.

3. EN PRATIQUE…Un mannequin de haute-couture dont la taille est H = 180 cm dispose d’un miroir plan pourajuster sa toilette. Ses yeux sont à une hauteur H0 = 170 cm du sol. Déterminons la hauteurminimale h du miroir et sa position pour que le mannequin se voie totalement.

Æ Déterminons la hauteur minimale del’extrémité supérieure du miroir.Le mannequin doit voir le sommet S de satête : un rayon issu de S doit être réfléchi endirection de ses yeux. Le rayon correspon-dant définit le triangle isocèle (SIO).

L’extrémité supérieure du miroir doit êtreplacée à une hauteur minimale égale à :

.

Æ Déterminons la hauteur minimale h dumiroir.Le mannequin doit voir ses pieds P : unrayon issu de P doit être réfléchi en direc-tion de ses yeux. Le rayon correspondantdéfinit le triangle isocèle (OI¢P).

La hauteur minimale du miroir est donc :

.

O O

I S

O

H0

H

P

H HH H

0 00

2 2175+ = +

−=SO

cm

P

I’

O

H0

H

h

hH H= + = =0

2 2 290

SO cm

209

Page 216: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

67 Prisme

1. EN QUELQUES MOTS…Un prisme est un élément d’optique utilisé pour réfracter la lumière, la réfléchir ou la disper-ser. Il permet de mettre en évidence la dispersion de la lumière blanche liée à la variation del’indice optique du milieu avec la longueur d’onde.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Définition d’un prisme Un prisme est un milieu transparent d’indice optique n limité par au moins deux faces planesnon parallèles. L’intersection de ces faces est l’arête du prisme. Un plan normal à l’arête estun plan de section principale.Représentons un prisme d’arête perpendiculaire au plan de la figure, d’angle au sommet A etd’indice n, et traçons le cheminement d’un rayon à travers ce prisme placé dans l’air (indiceoptique nair = 1). On note I le point d’incidence du rayon et I¢ son point d’émergence.

b) Relations du prismeÉcrivons la loi de Snell-Descartes (fiche 65) pour la réfraction sur les deux faces du prisme :– sur la face d’entrée, le rayon passe de l’air au prisme : – sur la face de sortie, le rayon passe du prisme à l’air : La somme des angles du triangle (I I’ J) permet d’établir une relation entre A, r et r’ :

.

De même, en considérant le triangle (I I’ K), on obtient une relation entre l’angle de dévia-tion D et les angles i et i¢ : .

En utilisant la relation précédente entre A, r et r¢, on obtient :

Ainsi les quatre relations du prisme sont :

Conventions : Aux points I et I¢, les angles i, i¢, ret r¢ sont définis positifs lorsque les normalesextérieures au prisme sont situées entre lesrayons lumineux et l’arête du prisme (commesur la figure). On appelle angle de déviation D, l’angle entrele rayon incident et le rayon émergent.

face de sortie face d’entrée

r’

I’ K

J A

rI

D

ii’

A

n i n rair sin sin= ⇔ sin sini n r=n i n rair sin ' sin '= ⇔ sin ' sin 'i n r=

A r r A r r+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = ⇔ = +π π π

2 2' '

π π− + −( ) + −( ) =D i r i r' '

D i i A= + −'sin sin

sin ' sin '

'

i n r

i n r

A r r

==

= +

D i i A= + −

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪ '

210

Page 217: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 67 • Prisme

c) Conditions d’émergence Examinons les conditions d’émergence du rayon sur la face de sortie du prisme. La lumière passed’un milieu plus réfringent (prisme) à un milieu moins réfringent (air). Le phénomène de réflexiontotale (fiche 65) peut donc se produire si l’angle d’incidence r’ sur cette face est supérieur à un angle

limite correspondant à : . La réflexion totale sera

évitée et un rayon émergera du prisme si l’angle d’incidence r’ du rayon sur la face de sortie

vérifie : . Examinons les conditions sur l’angle de réfraction r sur la face d’entrée du prisme.

– D’une part,

– D’autre part, la loi de Snell-Descartes sur la face d’entrée permet d’obtenir une autre

condition sur l’angle r :

Ainsi,

Les conditions d’émergence donnent donc deux intervalles de variation pour r :

Il n’y aura émergence d’un rayon que si les deux intervalles représentés sont disjoints, c’est-à-dire si ¤ . Ainsi, si , il n’y a pas de rayon émergent.Dans la suite, on se place dans le cas où . Examinons les conditions sur l’angle d’inci-dence i du rayon sur le prisme pour avoir émergence.L’existence d’un angle d’incidence limite sur la face de sortie induit une condition surl’angle d’incidence i :

L’angle d’incidence i limite, noté i0, est obtenu pour :

Choisissons des angles positifs pour simplifier le problème :

. Le domaine de variation de

i pour obtenir l’émergence est donc : avec .

d) Minimum de déviation Considérons un rayon incident issu d’une source monochromatique : l’indice n du prisme estfixé. Lorsqu’on fait varier l’angle d’incidence i de i0 à , on constate que l’angle de déviation D

passe par un minimum. Cette plus petite valeur de D, notée Dm, s’appelle minimum de dévia-tion. Pour déterminer Dm, différentions les relations du prisme précédemment établies :

rlim' i ' = π

2n rsin sinlim

' = π2

⇔ sin lim'r

n= 1

− ≤ ≤r r rlim'

lim''

A r r r A r

r r rA r r

= + ⇔ = −

− ≤ ≤

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒ − ≤ ≤

' '

'lim'

lim' lim

' AA r+ lim'

sin sin

sinsin sin sin

lim' lim

'i n r

rn

r r i=

=

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒ =1

− ≤ ≤π π2 2

i ⇒ − ≤ ≤r r rlim'

lim'

r

A – 'limr A + '

limr

'limr- '

limr

r

A r r− ≤lim'

lim' A r≤ 2 lim

' A r> 2 lim'

A r≤ 2 lim'

rlim'

sin sin

'sin sin '

i n r

r A ri n A r

== −{ ⇒ = −( )

r r'lim'= sin sin lim

'i n A r0 = −( )r r' lim

'≤ ⇒ r A r≥ − lim'

⇒ sin sin lim'r A r≥ −( ) ⇒ sin sin sinlim

'i n A r i≥ −( ) = 0 ⇒ i i≥ 0

i i0 2≤ ≤ π

i n A r0 = −( )⎡⎣ ⎤⎦arcsin sin lim'

π2

211

Page 218: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 67 • Prisme

Ainsi,

D passe par un minimum lorsque

.

Puis en utilisant les lois de Snell-Descartes sur les faces d’entrée et de sortie, on obtient :

.

L’unique solution est i = i¢, ce qui conduit à r = r¢. Notons respectivement im et rm ces angles.

Les relations géométriques du prisme donnent donc : et

Traçons les variations de l’angle de déviation D en fonction de l’angle d’incidence i pour

En reportant les expressions des angles im et rm dans les lois de Snell-Descartes, on obtient larelation entre l’angle de déviation minimum Dm et l’indice n du prisme d’angle au sommet A :

Au minimum de déviation, les rayons incident etémergent sont symétriques par rapport au planbissecteur du prisme.

sin sin

sin ' sin '

'

i n r

i n r

A r r

==

= +

d

D i i A

i di n r r

i

= + −

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

=

'

cos cos

cos ' ddi n r r

r r

D i i

' cos ' '

'

'

== +

= +

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

d

d d

d d d

0

ddD

i

r i

r i= −1

cos 'coscos cos '

ddD

i= 0 ⇔ cos 'cos cos cos 'r i r i=

⇔ 1 1 1 12 2 2 2−( ) −( ) = −( ) −( )sin sin ' sin ' sini r i r

1 1 1 122

22

2

2−( ) −

⎝⎜⎞

⎠⎟= −( ) −

⎝sin

sin 'sin '

sini

i

ni

i

n⎜⎜

⎠⎟⇔ n i i2 2 21 0−( ) −( ) =sin sin '

iA D

mm=

+2

rA

m =2

Plan bissecteur

I

Dm

im imrm rm

I’

A

i i0 2≤ ≤ π

i i0 im2

π

d

d

D

i−∞ − 0 + 1

D0 2

π+ −i A

0 2

π+ − Ai

2 −m

i A

D

Dm

0 2

π+ −i A

i0

2

πim

i

sin sinD A

nAm +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

=2 2

212

Page 219: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 67 • Prisme

L’indice du prisme peut être déterminé, pour une radiation monochromatique donnée, enmesurant l’angle de déviation minimum.

3. EN PRATIQUE…Éclairons un prisme en verre, d’angle au sommet A = 60˚, avec une lampe à vapeur de mer-cure. Le tableau ci-dessous indique les valeurs de l’angle minimum de déviation Dm obtenuesexpérimentalement pour les raies principales de longueurs d’onde connues.

On constate que la raie violette est plus déviée que la raie rouge. Ainsi, le prisme décomposela lumière blanche : on dit qu’il y a dispersion de la lumière par le prisme.

Calculons l’indice du prisme pour chacune des raies : .

Les valeurs obtenues sont reportées dans le tableau ci-dessous. Vérifions qu’elles suivent laloi phénoménologique de Cauchy décrivant les variations de l’indice optique du matériau enfonction de la longueur d’onde (fiche 63) :

où A et B sont des constantes dépendant du matériau utilisé.

Traçons la courbe donnant l’indice optique n en fonction de :

Les points sont alignés ; la droite obtenue est affine, d’équation , avec

et . La loi de Cauchy donnant les variations de l’indice du matériau enfonction de la longueur d’onde est vérifiée.

raie (µm) Dm

rouge 0,6907 39˚06’jaune 0,5790 39˚22’jaune 0,5770 39˚28’verte 0,5461 39˚33’

bleu-vert 0,4916 39˚43’bleu-indigo 0,4358 40˚05’

violet 0,4047 40˚21’

raie l(µm) n .(µm–2)

rouge 0,6907 1,522 1,45

jaune 0,5790 1,525 2,98

jaune 0,5770 1,526 3,00

verte 0,5461 1,527 3,35

bleu-vert 0,4916 1,529 4,14

bleu-indigo 0,4358 1,533 5,27

violet 0,4047 1,536 6,11

rouge

violet

A

i

n

D A

A

m

=

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sin

sin

2

2

n AB= +

λ212λ

12λ

1 2 3 4 5 61,520

1,522

1,524

1,526

1,528

1,530

1,532

1,534

1,536

1,538

n

1/λ2 (μm-2)

n AB= +

λ2A = 1 517,

B = −3 06 10 3, . m2μ

213

Page 220: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

68 Lentilles minces

1. EN QUELQUES MOTS…Si les lentilles en verre telles les lunettes de vue sont les plus couramment utilisées, d’autresmilieux peuvent former des lentilles. Ainsi, le cristallin de l’œil ou encore les gouttes d’eau dela rosée constituent des lentilles naturelles.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…a) Lentille

Les lentilles peuvent se classer en deux catégories :

b) Lentille mince L’épaisseur e d’une lentille est la distance entre les sommets des deux dioptres : e = S1S2.Une lentille est dite mince si son épaisseur e vérifie les deux conditions suivantes :

– e est négligeable devant les rayons de courbure R1 et R2 des deux dioptres.

– e est négligeable devant la distance entre les centres des dioptres.

S1 et S2 peuvent alors être assimilés à un même point O appelé centre optique de la lentille. Les lentilles minces sont représentées de la manière suivante :

Une lentille est un milieu transparent homo-gène et isotrope, d’indice optique n, limité pardeux dioptres dont l’un au moins est sphéri-que. On appelle R1 et R2 leurs rayons de cour-bure. L’ensemble présente un axe de symétrie,l’axe optique, passant par les centres C1 et C2

des deux dioptres. Les sommets S1 et S2 desdeux dioptres correspondent aux pointsd’intersection des dioptres avec l’axe optique.

Les lentilles convergentesLes bords sont plus minces que le centre.

Les lentilles divergentesLes bords sont plus épais que le centre.

Lentille mince convergente Lentille mince divergente

R2R1

Axe optique C1

S1

C2

S2

n

biconvexe plan-convexe ménisque convergent

biconcave plan-concave ménisque divergent

C C1 2

O O

214

Page 221: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 68 • Lentilles minces

c) Foyers et vergence d’une lentille mincec Foyers principaux

c Plans focaux : Le plan focal objet est le plan perpendiculaire à l’axe optique passant par F.Le plan focal image est le plan perpendiculaire à l’axe optique passant par F’.

c Foyers secondaires :Chaque point du plan focal objet s’appelle un foyer objet secondaire. L’image d’un foyersecondaire FS est à l’infini, dans la direction donnée par le rayon FSO.Chaque point du plan focal image s’appelle un foyer image secondaire. Chaque foyer imagesecondaire F¢S est l’image ponctuelle d’un objet ponctuel à l’infini dans la direction OF’S.

Lentille convergente Lentille divergenteFoyer principal objet FUn objet ponctuel en Fdonne une image ponc-tuelle à l’infini dans ladirection de l’axe optique.

Foyer principal image F¢Un objet ponctuel àl’infini dans la directionde l’axe optique donneune image ponctuelle F¢.

Propriété : F et F¢ sont symétriques par rapport au centre optique O de la lentille.

Lentille convergente Lentille divergente

Lentille convergente Lentille divergente

Image d’un foyer objet secondaire FS

Image d’un objet ponc-tuel à l’infini en dehors

de l’axe optique

F est un point objet réel

O F

F est un point objet virtuel

O F

F' est un point image réel

O F'

F' est un point image virtuel

O F'

F

Plan focal imagePlan focal objet

O F' F'

Plan focal objetPlan focal image

O F

F

FS

F

FS

F' S

F' F'

F'S

215

Page 222: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 68 • Lentilles minces

c Les distances focales sont définies par :

Pour une lentille convergente, ; pour une lentille divergente, .La vergence V d’une lentille mince est définie par :

Pour une lentille convergente, ; pour une lentille divergente, .

d) Construction de l’image d’un objet Pour que les propriétés de stigmatisme et d’aplanétisme approchés soient vérifiées, les condi-tions de Gauss doivent être respectées (fiche 64). Considérons un objet plan , A étant sur l’axe optique. Pour déterminer la position de sonimage par la lentille mince, il faut construire l’image ponctuelle B’ de l’objet ponctuel B.Il suffit pour cela de tracer au-moins deux rayons particuliers issus de B (ou semblant se diri-ger vers B) parmi les trois suivants :

– Rayon 1 : le rayon issu de B et passant par le centre optique O n’est pas dévié : le centreoptique est sa propre image.

– Rayon 2 : le rayon issu de B parallèle à l’axe optique émerge de la lentille en passant parle foyer principal image F¢ (ou en semblant provenir de F¢).

– Rayon 3 : le rayon issu de B et se dirigeant vers le foyer principal objet F émerge parallè-lement à l’axe optique.

B¢ est le point d’intersection des rayons émergeant de la lentille ou de leurs prolongements.Cela fixe la position de l’image ponctuelle A¢ de l’objet ponctuel A sur l’axe optique.

3. EN PRATIQUE…Construisons l’image d’un objet plan perpendiculaire à l’axe optique, pour différentespositions de l’objet. Par convention, les objets et images sont représentés en traits pleins s’ilssont réels et en pointillés s’ils sont virtuels.

avec f¢ : distance focale image (grandeur algébrique) (m)f : distance focale objet (grandeur algébrique) (m)

V : vergence de la lentille mince (m–1 ou dioptries (δ)).f¢ : distance focale image (grandeur algébrique) (m)

Lentille convergente Lentille divergente

f

f

' =

=

OF'

OFf f' = −

f ' > 0 f ' < 0

Vf

= 1'

V > 0 V < 0

ABA'B'

Rayon 3 B’

A’ A

B

F O F’

Rayon 2 Rayon 1

A'B' AB

AB est un objet réel situé à une distance de la lentille supérieure à la distance focale

A 'B' est une image réelle renversée.

O

B'

A' F

F' A

B

AB est un objet réel

A 'B' est une image virtuelle droite, plus petite que l’objet.

O

'

A' F' F A

B B

216

Page 223: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 68 • Lentilles minces

Les constructions ci-dessus montrent que :– Pour un rayon incident ne passant pas par le centre optique, le rayon émergent se rapproche

de l’axe optique si la lentille est convergente et s’en éloigne si la lentille est divergente.

– Les mesures algébriques et sont toujours de signe contraire.

c Mettons concrètement en œuvre un objet virtuel.

Il faut former l’image réelle d’un objet réel par une lentille convergente (L1) et enutiliser l’image réelle en tant qu’objet virtuel pour la lentille d’étude (L2).

→ Première étape : On forme l’image réelle de l'objet réel par la lentille (L1) de centreoptique O1 et de points focaux F1 et .

→ Deuxième étape : On place la lentille étudiée (L2) de telle manière que les rayons arrivent

sur (L2) en convergeant et en semblant se diriger vers . Pour la lentille (L2), devientun objet virtuel. Prenons l’exemple d’une lentille (L2) divergente, de centre optique O2 et de

points focaux F2 et . On construit l’image de l’objet virtuel en traçant deuxrayons particuliers issus de B’.

Lentille convergente Lentille divergente

AB est un objet réel situé entre le centre optique O et le foyer objet F

A 'B' est une image virtuelle droite, agrandie.

A'

B'

F' F O A

B

AB est un objet virtuel situé entre le centre optique O et le foyer objet F

A 'B' est une image réelle droite, agrandie.

A'

B'

F F' O A

B

AB est un objet virtuel

A 'B' est une image réelle droite, plus petite que l’objet.

F'A' A

B

F O

B'

AB est un objet virtuel situé à une distance de la lentille supérieure à la distance focale

A 'B' est une image virtuelle renversée.

A'

B'

B

F O AF'

FA F'A'

A'B' AB

A'B'

A'B' ABF1

'

L1

O1

B'

A' F1

'1F

A

B

A'B' A'B'

F2' A''B'' A'B'

'2F

B' '

A' ' A' '

1FF2

L2

O2

L1

O1F1A

B

B'

217

Page 224: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

69 Relations des lentilles minces

1. EN QUELQUES MOTS…La relation de conjugaison permet de déterminer la position de l’image d’un objet par une len-tille mince et le grandissement donne accès à la taille de l’image. Les relations peuvent s’expri-mer en prenant comme origine le centre optique O de la lentille ou les foyers principaux F et .

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Relation de conjugaisonLa relation de conjugaison s’exprime de deux manières :

Les grandeurs sont des mesures algébriques exprimées en m.

b) Grandissement Le grandissement, noté γ, permet de comparer la taille de l’image à celle de l’objet ainsi que son sens. Il est défini par :

Si γ est positif, l’image et l’objet sont dans le même sens : l’image est dite droite.Si γ est négatif, l’image et l’objet sont de sens opposés : l’image est dite renversée.Le grandissement γ peut s’exprimer de deux manières :

Ainsi, γ est positif si l’objet et l’image sont de nature différente (objet réel et image virtuelle ouobjet virtuel et image réelle) tandis que γ est négatif si l’objet et l’image sont de même nature.

3. EN PRATIQUE…c Un objet réel perpendiculaire à l’axe optique, A étant sur l’axe optique, est placé à 12 cm

d’une lentille mince divergente de centre optique O et de distance focale image . Lataille de cet objet est . Déterminons la position et la taille de son image .

Appliquons la relation de conjugaison :

Relation de DescartesOrigine au centre optique O

Relation de NewtonOrigine aux foyers principaux F et

: taille de l’objet (m).

: taille de l’image (m).γ : grandissement (sans unité).

Origine au centre optique O Origine aux foyers principaux F et

F'

F'

1 1 1

OA' OA− =

f ' FA F'A' OF OF'= = − f '2

A'B' AB

γ = A'B'

AB

AB

A'B'

F'

γ = OA'

OAγ = − = −f

fFA

F'A''

ABf ' = −6 cm

AB cm= 2 A'B'

1 1 112

1 112

16OA' OA

avec OA cm OA'

− = = − ⇒ −−

=−f ' ( ) ( ))

OA' cm⇔ = −4

218

Page 225: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 69 • Relations des lentilles minces

c Étudions le système centré constitué par deux lentilles minces convergentes (L1) et (L2) de dis-

tances focales images respectives et , placées à une distance

. Ce type d’association de lentilles est utilisé dans certains instruments d’optique

(fiche 72). Plaçons un objet réel à 6 cm du centre optique O1 de la lentille (L1).→ Déterminons la position de son image par le système centré.

L’objet donne une image par la lentille (L1). Appliquons la relation de conjugaison :

est une image virtuelle qui devient un objet pour la lentille (L2). Sa position par rapport

à (L2) est : : est un objet réel.

L’objet donne l’image par la lentille (L2). Appliquons la relation de conjugaison :

.

→ Construisons l’image en traçant un pinceau lumineux issu de B.

→ Calculons la taille de l’image : où et sont

les grandissements respectifs des deux lentilles.

Ainsi : l’image est renversée et plus grande que

l’objet . On en déduit sa taille : .

est donc une image virtuelle. Exprimons le grandissement γ :

: l’image est

droite et plus petite que l’objet. Sa taille est :

.

O

B'

A' F' F A

B A'B'

γ γ== −

= −

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒ =OA'

OA avec

OA' cm

OA cm

4

12

13

A'B' AB cm= =γ 0 66,

f1 10' = cm f2 15' = cm

O O =3 cm1 2 0

AB cm= 1

A'B'

AB A Bi i

1 1 1

6

1 1 11

1

O A O A

O A cm

O A O A

1 i 1

11 i 1

− =

= −

⎨⎪

⎩⎪

⇒ = +ff

'

'==

−+ = − ⇔ = −1

61

101

1515cm O A cm-1

1 i

A Bi i

O A O O O A cm2 i 2 1 1 i= + = − − = −30 15 45 A Bi i

A Bi i A'B'

1 1 1

2O A O A2

'2 i

− =f '

⇔ 1 1 1 145

115

245

2O A O Acm

2'

2 i

-1= + =−

+ =f '

⇔ O A' cm2 = 22 5,

A'B'

Ai

Bi

'1FF1 O1A '

2FF2O2

B'

A'B

L1 L2

A'B' γ γ γ= = =A'B'

AB

A'B'

A B

A B

AB

i i

i iL L1 2

γ L1γ L2

γ = =−

× −−

= −O A'

O A

O A

O A2

2 i

1 i

1

22 545

156

1 25,

, A'B'

AB A'B'= 1,25 cm−

219

Page 226: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

70 Focométrie

1. EN QUELQUES MOTS…La mesure des distances focales est appelée « focométrie ». Les distances focales des lentillesconvergentes peuvent être mesurées par de nombreuses méthodes, en particulier les méthodesde Bessel et Silberman. Dans le cas des lentilles divergentes, les méthodes sont moins nom-breuses et plus complexes ; néanmoins il est souvent possible de coupler la lentille divergente àune lentille convergente de distance focale connue afin d’obtenir un système convergent.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Lentilles convergentes : Méthodes de Bessel et de Silberman

Un objet réel plan perpendiculaire à l’axe optique, A étant sur l’axe optique, donne une

image par la lentille convergente (L) de centre optique O et de distance focale image f’.Soit D la distance entre l’objet et l’écran : . Écrivons la relation de conjugaison et exprimons la mesure algébrique en fonctionde D et f’ :

avec

On obtient ainsi l’équation du second degré suivante : dont le discri-

minant est : .c Premier cas : méthode de Bessel Lorsque , l’équation admet deux solutions. Il existe donc deux positions dela lentille (L), notées O1 et O2, qui permettent la formation d’une image nette sur l’écran :

Appelons d la distance entre les deux positions de la lentille : .

Ainsi la distance focale image f’ cherchée est :

AB

A'B'AA' = D

AO > 0

1 1 1

OA' OA− =

f '

OA' OA AA' AO

OA AO

= + = − +

= −

⎧⎨⎪

⎩⎪D ⇒ 1 1 1

D f−+ =

AO AO '

AO AO2

0− + =D Df '

Δ = − = −( )D Df D D f2 4 4' '

Δ > 0 ⇔ D f> 4 '

AO1 = − −D D f D2 42

'AO2 = + −D D f D2 4

2'

écran

O1

B’

F F’ A

B

A’

D

écran

O2 B’ F

F’ A

B

A’

D

d = O O1 2

d D f D= = + = − = −O O O A AO AO AO1 2 1 2 2 12 4 '

fD d

D' = −2 2

4

220

Page 227: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 70 • Focométrie

Concrètement, la distance D entre l’objet et l’écran est fixée ; on mesure alors la distance dentre les deux positions de la lentille fournissant une image sur l’écran, on en déduit f¢.Il faut noter que les grandissements mesurés pour les deux positions de la lentille sont inver-ses l’un de l’autre :

et

c Deuxième cas : méthode de SilbermanLorsque , l’équation n’admet qu’une solution. Il n’existe qu’une seule posi-tion de la lentille donnant une image nette sur l’écran :

b) Lentilles divergentesLa méthode la plus simple consiste à accoler la lentille divergente (L) dont on souhaite déter-

miner la distance focale image f¢ à une lentille convergente (L0) de distance focale connue.

Cherchons quelle condition doit remplir pour que la lentille équivalente à (L) + (L0) soitconvergente ; il sera alors possible d’appliquer l’une des méthodes décrites précédemment.

Un objet donne une image par la lentille (L). devient alors un objet pour la len-

tille (L0). Appelons l’image finale. Les deux lentilles ayant le même centre optique O, les relations de conjugaison s’écrivent :

L’association des deux lentilles conduit donc à une lentille équivalente de distance focale

image telle que les vergences de deux lentilles accolées s’ajoutent :

La lentille mince équivalente doit être convergente : .

¤ : la distance focale de la lentille convergente (L0)

doit donc être plus petite en valeur absolue que celle de la lentille divergente.

La lentille est à égale distance de l’objet et del’écran ; le grandissement est : . Concrète-ment, il faut placer la lentille et l’écran de tellemanière que l’image soit de même taille que l’objetmais renversée. En mesurant la distance D séparant

l’objet de l’écran, on peut déduire la distancefocale image de la lentille :

γ1

2

2

4

4= =

−= − + −

− −

O A'

O A

AO

AO1

1

1

1

D D D f D

D D f D

'

γ21

1= =−

=O A'

O A

AO

AO2

2

2

2

D

Δ = 0 ⇔ D f= 4 '

AO = D

2γ = −1

AB

fD

' =4

écran

O

B’

F F’

A

B

A’

D

f0'

f0'

AB A'B' A'B'

A''B''

1 1 1

1 1 11 1 1

0

OA' OA

OA'' OA'OA'' OA

− =

− =

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⇒ − =f

ff

'

'00

1' '

+f

féq' 1 1 1

0f f féq' ''

= +

10

féq'

> ⇔ 1 10

0f f' '

+ >

f

f0 0

0

'

'

>

<

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒ − + >1 1

00

f f' 'f f0

' '<

221

Page 228: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

71 L’œil

1. EN QUELQUES MOTS…L'œil constitue un système optique élaboré capable de s’adapter pour observer un objet prochepuis, instantanément, un objet éloigné. Il supporte également de grandes variations d'intensitélumineuse.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Description de l’œil L’œil est composé du cristallin qui est assimilable à une lentille convergente et permet la for-mation des images sur la rétine, membrane constituée de cellules photosensibles (cônes etbâtonnets). L’iris joue le rôle d’un diaphragme en limitant l’intensité lumineuse pénétrantdans l’œil. Ainsi le rayon de l’ouverture circulaire correspondant à la pupille varie de 1 à4 mm. Les images, renversées, se formant sur la rétine sont transmises par le nerf optique aucerveau qui se charge de les interpréter : renversement, correction de la distorsion.L’œil a une sensibilité maximum pour une longueur d’onde de 550 nm (vert).

b) Modèle de l’œil L’œil peut être assimilé à une lentille mince convergente de distance focale variable (le cristal-lin) placée à une distance fixe de 16 mm d’un écran (la rétine). Ce modèle est appelé œil réduit.

c) Accommodation L’œil ne voit nettement un objet que si son image se forme sur la rétine. La distance lentille-écran étant fixe et les objets situés à des distances variables, le cristallin doit adapter sa cour-bure et donc modifier sa vergence pour que les images se forment sur la rétine. On dit que l’œil

accommode. Le cristallin est donc une lentille de distance focale image adaptable.c Punctum remotum : lorsque le cristallin est au repos, la position du point objet vu nettement

par l’œil est appelée punctum remotum et notée PR. Un œil normal, dit emmétrope, voit net-

tement les objets situés à l’infini : PR = ∞. On a donc (F′ est sur la rétine). c Punctum proximum : pour voir des objets situés à distance finie, le cristallin augmente sa cour-

bure, il se bombe de façon à accroître la convergence de l’œil ; la distance focale du cristallindiminue. Le point objet le plus proche vu distinctement est appelé punctum proximum et noté

humeur aqueuse

cornée

humeur vitrée

nerf optique

iris rétine

cristallin

16 mm

cristallin

iris

rétine

O

f ' = OF'

f ' = =OF' mm16

f '

222

Page 229: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 71 • L’œil

PP. La distance œil-PP, notée dm, est appelée distance minimale de vision distincte. Pour unœil normal, .

d) Pouvoir séparateur angulaire

e) Les défauts de l’œil

3. EN PRATIQUE…Calculons les valeurs extrêmes de la vergence d’un œil emmétrope (normal).Elles sont obtenues pour un objet placé au PR et au PP :Æ Lorsque l’objet est au PR = ∞, la distance focale image f¢ correspond à la distance cristallin-rétine :

f¢ = 16 mm = 16.10-3 m

Æ Lorsque l’objet est au PP, f¢ est obtenu en appliquant la relation de conjugaison de la len-tille mince pour un objet ponctuel A à 25 cm de l’œil donnant une image A¢ sur la rétine :

avec f¢ = 15 mm = 15.10-3 m

L’œil ne peut distinguer deux objets que si leurs images se for-ment sur des cellules différentes de la rétine. La résolution angu-laire correspondante, appelée pouvoir séparateur angulaire, estde l’ordre d’une minute (α = ).

L’œil myope : un œil trop convergent

L’œil hypermétrope : un œil pas assez convergent

L’image d’un objet à l’infini se forme enavant de la rétine : le foyer image de l’œilau repos est en avant de la rétine.

L’image d’un objet à l’infini se forme enarrière de la rétine : le foyer image de l’œilau repos est en arrière de la rétine.

Le PR est à distance finie. Le PP est plusrapproché que pour un œil normal.

Le PR est virtuel. Le PP est plus éloignéque pour un œil normal.

La myopie est corrigée par une lentilledivergente.

L’hypermétropie est corrigée par une len-tille convergente.

dm = 25 cm

PR = PP = 25 cm

Zone de vision distincte

cristallin

iris

rétine

O

3.10 rad4−α

O

cristallin rétine

O

cristallin rétine

PR PP

Zone de vision distincte

cristallin rétine

OPR PP

Zone de vision distincte

cristallin rétine

O

⇒ Vf

= = =−

1 1

16 1062 5

3' ., δ

1 1 1

OA' OA− =

f '

OA m

OA' m

= −

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

25 10

16 10

2

3

.

.⇒ ⇒ V

f= =1

66 5'

, δ

223

Page 230: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

72 Loupe

1. EN QUELQUES MOTS…Une lentille convergente peut, dans certaines conditions, jouer le rôle de loupe, c’est-à-dire per-mettre l’observation d’un objet sous un angle plus grand. La loupe est l’instrument d’optique leplus simple.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Définition d’une loupe

Pour que l’œil observe sans fatigue, donc sans accommodation, un objet à travers une loupe,

l’image doit être à l’infini. L’objet est ainsi dans le plan focal objet de la lentille.

L’image étant à l’infini, la position de l’œil n’a pas d’importance.b) Diamètre apparent

La loupe sert à augmenter le diamètre apparent sous lequel est vu un objet :

C’est une lentille convergente, de courte dis-tance focale (1 à 10 cm), utilisée pour former

d’un objet réel une image virtuelle droite

agrandie. L’objet doit être ainsi placé entrele plan focal objet et la loupe. Dans la suite, onmodélisera la loupe par une lentille mince.

Objet vu à l’œil nu

α : angle ou diamètre apparent sous

lequel l’objet est vu à l’œil nu (rad).

Objet vu à travers une loupe

α′ : angle ou diamètre apparent sous

lequel l’objet est vu à travers laloupe, c’est-à-dire angle sous lequel

est vue l’image (rad).

Cas particulier : lorsque l’œil se trouve au foyer image F¢ de la lentille, α¢ne dépend pas de la position de l’objet mais seulement de sa taille.

En effet, dans les conditions de l’approxi-mation de Gauss :

AB

AB A’

B’

B

F’ F O A

A'B' AB

A'B'

AB

ABB

A α AB

AB

A’

B

B’

F’ F O A α'

AB

A'B'

A’

B’

B

F’ F O A

B

F A≡A’

B’

F’

α’O

α’α α' tan

'≈ ='

ABf

224

Page 231: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 72 • Loupe

c) Puissance d’une loupec La puissance, notée P, est définie par :

c Puissance intrinsèque Pi : Lorsque l’image est à l’infini, la puissance est dite intrinsèque. D’après les schémas précédents et compte-tenu des conditions de Gauss :

: la puissance intrinsèque est égale à la vergence de la loupe.

d) Grossissement d’une loupeLe grossissement commercial, noté Gc, est défini par :

.

De plus, l’image étant à l’infini, P = Pi. Ainsi,

e) Latitude de mise au point

L’image est vue nettement si elle est située entre le PR et le PP de l’œil. Cela définit

deux positions extrêmes AR et AP pour l’objet . La distance ARAP est appelée latitude demise au point. La région de l’espace objet située entre AR et AP, permettant l’observationd’images nettes, est appelée profondeur de champ de la loupe.

3. EN PRATIQUE…

Une lentille mince convergente de distance focale image est utilisée comme loupe.

L’œil, placé au foyer image F’ de la loupe, observe un objet à travers celle-ci. Détermi-nons la latitude de mise au point de la loupe pour un œil emmétrope.Pour cela, il faut déterminer les positions de l’objet, AR et AP, correspondant respectivement à :

– l’image au PR (à l’infini) : l’objet doit être dans le plan focal objet de la loupe.

Ainsi,

– l’image au PP : on applique la relation de conjugaison .

On en déduit la latitude de mise au point :

α¢ : angle sous lequel l’objet est vu à travers la loupe (rad).

: taille de l’objet (m).P : puissance de la loupe (dioptries, δ).

Lorsque l’œil est situé au foyer image de la lentille, P = Pi.

α’ : angle sous lequel l’objet est vu à travers la loupe lorsque l’imageest au punctum remotum PR de l’œil (à l’infini) (rad)αPP : angle sous lequel l’objet est vu à l’œil nu, l’objet étant placé aupunctum proximum PP de l’œil (à une distance de l’œil) (rad)Gc : grossissement commercial (sans unité)

P = α '

AB

AB

AB

A'B'

α α' tan ''

≈ = ABf

⇒ Pf

Vi = =1'

Gc = αα

'

PP

AB

ABdm = 25 cm

α αPP PPAB≈ =tandm

⇒ G d P dc m m= =α '

AB

G P dd

fc i mm= = '

A'B'

AB

f ' = 5 cm

AB

A'B' AB

A FR ≡ ⇒ A O FO cmR = = =f ' 5

A'B'1 1 1

OA' OAP

− =f '

OA' OF' F'A' OF' cm= + = − = −dm 20 ⇒ OA cmP =−

= −( ' ) 'f d f

dm

m

4

A A A O OA cm= + = 1225

Page 232: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

73 Instruments d’optique

1. EN QUELQUES MOTS…Certains instruments d’optique utilisent l’œil comme récepteur et permettent l’observationd’objets difficiles à visualiser à l’œil nu. Les conditions d’observation doivent être optimiséeset l’œil doit en particulier éviter de se fatiguer en accommodant. D’autres instruments ontpour but de former une image sur un écran ou une surface photosensible.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Définitions On distingue deux grands types d’instruments d’optique :

b) Grandeur de l’image par rapport à celle de l’objetc Pour les instruments subjectifs, on se placera par la suite dans le cas le plus fréquent où l’œil

n’accommode pas : l’image est au punctum remotum PR de l’œil (l’infini pour un œilnormal).

Les grandeurs significatives utilisées pour caractériser l’instrument dépendent de la positionde l’objet :

– Lorsque l’objet est proche, on utilise la puissance et le grossissement commercial de l’ins-trument définis dans la fiche relative à la loupe :

Lorsque image est à l’infini, la puissance correspondante est la puissance intrinsèque Pi.

Les instruments subjectifs Les instruments objectifs

DéfinitionIls donnent d’un objet une image

virtuelle observable par l’œil.

Ils donnent d’un objet une image

réelle pouvant être recueillie sur unécran ou une surface photosensible.

Exemplesla loupe, le microscope, la lunetteastronomique, le télescope

le rétroprojecteur, l’appareil photo, la camé-ra vidéo, le projecteur de diapositives

α′ : angle sous lequel l’objet est vu à travers l’instrument (rad).

: taille de l’objet (m).P : puissance de l’instrument (dioptries, δ).

α′ : angle sous lequel l’objet est vu à travers l’instrument lorsquel’image est au punctum remotum PR de l’œil (à l’infini) (rad).

αPP : angle sous lequel l’objet est vu à l’œil nu, l’objet étant placé au

punctum proximum PP de l’œil (à une distance de l’œil) (rad).Gc : grossissement commercial (sans unité).

AB

A'B'

AB

A'B'

A'B'

P = α '

AB

AB

AB

A'B'

Gc = αα

'

PP

AB

AB

dm = 25 cm

226

Page 233: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 73 • Instruments d’optique

– Si l’objet est éloigné, il est caractérisé par son diamètre apparent α. On utilise le grossis-sement de l’instrument défini par :

Pour les instruments objectifs, la grandeur significative est le grandissement de l’instrument :

c) La lunette astronomiquec La lunette astronomique permet l’observation d’objets à l’infini sous un angle plus grand et

avec plus de luminosité. Elle associe les deux systèmes convergents suivants :

– un objectif de grande distance focale (plusieurs mètres) donnant d’un objet à l’infini

une image réelle agrandie . Par la suite, l’objectif sera modélisé par une lentille

mince convergente (L1) de centre optique O1, de foyers objet F1 et image (distance

focale ).

– un oculaire jouant le rôle de loupe et donnant de l’image intermédiaire une image

finale virtuelle observable par l’œil. Par la suite, l’oculaire sera modélisé par une len-tille mince convergente (L2) de centre optique O2, de foyers objet F2 et image (dis-

tance focale ).c Pour que l’observation visuelle soit confortable, l’image finale doit être à l’infini (PR

de l’œil normal). Ainsi la lunette astronomique est un système afocal : elle donne d’un objetà l’infini une image à l’infini. Le foyer image de l’objectif est donc confondu avec le foyerobjet F2 de l’oculaire.

c Effectuons la construction d’un faisceau provenant d’un objet à l’infini vu sous un diamètreangulaire 2α. Pour cela, traçons le cheminement des deux faisceaux issus des points extrê-mes B et C de l’objet vus respectivement sous les angles α (en rouge) et – α (en noir) :

– L’objet étant à l’infini, son image par la lentille (L1) est dans le plan focal imagede l’objectif. Pour construire Bi, on trace le rayon particulier arrivant sous un angle α enpassant par le centre optique O1. Ce rayon intercepte le plan focal image de la lentille(L1) en Bi. De la même façon, on trace l’image Ci de C par la lentille (L1).

– étant dans le plan focal objet de l’oculaire, l’image finale est à l’infini. La direc-tion des deux faisceaux parallèles émergents issus des deux points extrêmes Bi et Ci del’objet est obtenue en traçant les deux rayons passant par le centre optique.

α′ : angle sous lequel l’objet est vu à travers l’instrument (rad).

α : angle sous lequel l’objet est vu à l’œil nu.G : grossissement (sans unité).

: taille de l’objet (m).

: taille de l’image (m).γ : grandissement (sans unité).

G = αα

'AB

AB

γ = A'B'

AB

AB

A'B'

AB

A Bi i

F1'

f1'

A Bi i

A'B'

F2'

f2'

A'B'

F1'

BC B Ci i

B Ci i B'C'

227

Page 234: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 73 • Instruments d’optique

c L’objet étant éloigné, on caractérise la lunette par son grossissement :

Pour et , on obtient .c Le cercle oculaire est défini comme l’image de la monture de l’objectif donnée par l’ocu-

laire. Ainsi tous les rayons passant par l’objectif se concentrent dans ce cercle voisin du planfocal image de l’oculaire.

Avec les valeurs numériques précédentes, déterminons la position O du cercle oculaire surl’axe optique ; par définition, O est l’image de O1 par la lentille (L2). Utilisons la relation deconjugaison de Newton :

Le cercle oculaire est donc pratiquement dans le plan focal image de l’oculaire. Soit D0 le diamètre du cercle oculaire et le diamètre de l’objectif. Déterminons D0

en exprimant le grandissement :

Le diamètre du cercle oculaire est inférieur à celui de la pupille de l’œil. Ainsi, si l’œil est posi-tionné au niveau du cercle oculaire, il collecte toute la lumière issue de l’objectif : la lunetteastronomique permet l’observation d’objets non visibles à l’œil nu par manque de luminosité. Il faut noter que la luminosité de l’objet vu à travers la lunette est d’autant plus grande que lediamètre de l’objectif est grand. La dimension des lentilles étant limitée, l’objectif peut êtreremplacé par un miroir ; c’est le principe du télescope.

2α’

L2

Cercle oculaire

L1

O2O1F1

B∞

'1 2F F≡

Bi

2α'B∞

C∞

Ci

'C∞

'2F

O

Gf

f f

f= = − =α

α'

'

' '

'

F B

F B2 i

2 i2

1 1

2

f1 20' = m f2 2' = cm G = 1 000

F O F O2 1 2' = − f2

2' ⇔ F O F O2 1 2' = − f2

2' ⇔ F O m cm2' = −

( )−

= =−

− −2 10

202 10 2 10

2 2

5 3.

. .

D = 50 cm

γ = =+

=−

= −−O O

O O

O F F O

O O2

2 1

2 2'

2'

2 1

2 002 1020 02

1 102, .

,. −−

=

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⇒ =

3

0

0 0 5

γD

D

D mm,

228

Page 235: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 73 • Instruments d’optique

3. EN PRATIQUE…Un microscope permet l’observation d’objets proches de très petite taille. Sa puissance est eneffet nettement supérieure à celle d’une loupe. Il associe : c Un objectif de très courte distance focale (quelques millimètres) qui sera modélisé par une

lentille mince convergente (L1) de centre optique O1, de foyers objet F1 et image , de dis-

tance focale . Cet objectif donne de l’objet une image réelle agrandie . c Un oculaire jouant le rôle de loupe qui sera modélisé par une lentille mince convergente

(L2) de centre optique O2, de foyers objet F2 et image , de distance focale . Cet

oculaire donne de l’image intermédiaire une image finale virtuelle observablepar l’œil.

La distance entre le foyer image de l’objectif et le foyer objet F2 de l’oculaire, appelée

intervalle optique Δ, est fixée : .

→ Déterminons la position de l’objet permettant une observation visuelle confortable(sans accommodation).

L’œil n’accommode pas l’image finale est à l’infini (PR de l’œil normal) l’image

intermédiaire est dans le plan focal objet de l’oculaire. La position de l’objet est donc obtenue en appliquant la relation de conjugaison pour la len-tille (L1) :

→ Réalisons le schéma de construction de l’image en traçant un pinceau lumineux issu de B :

F1'

f1 5' = mm AB A Bi i

F2' f2 2' = cm

A Bi i A'B'

F1'

Δ = =F F cm1'

2 15

AB

⇔ A'B' ⇔

A Bi i

1 1 1

15 5

1

2 1

O A O A

O A O F O F F F

1 i 1

1 i 1 2 1 1'

1'

− =

= = + = + =

f

f

'

' ,Δ cm

O A mm1

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⇒ = −5 2,

A'B'

'B

F1

B

Bi

'1F

O1 A

'2F

O2

L1

L2

i 2A F≡

229

Page 236: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 73 • Instruments d’optique

→ L’objet étant proche, l’instrument est caractérisé par sa puissance P :

or

L’instrument est également caractérisé par son grossissement commercial Gc :

P = =α α' '

AB A B

A B

ABi i

i i

α '

A B est la puissance de l'oculaire

A B

i iocul

i i

= P

AAB est le grandissement de l'objectif obj=

γ

⎪⎪

⎪⎪

⇒ = ocul objP P γ

L’image étant à l'infini,

F A

ocul

obj1'

i

Pf

=

= −

1

2'

γff f f1 1 1

' ' '= − = −

⎪⎪

⎪ F F (origine aux foyers)1

'2 Δ

⎪⎪

⇒ = = Pf f

Δ

1 2

1500' '

δ

G P

d

G Pc

m

c

= = =

=

⎪⎪

⎪⎪

⇒ =

αα

α

α α

α

' '

PP PP PP

PP

AB

AB AB

AB ddm = 375

230

Page 237: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

74 Interférences lumineuses

1. EN QUELQUES MOTS…Le modèle scalaire de la lumière est introduit afin de déterminer les conditions d’obtentiond’interférences lumineuses à deux ondes.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Sources lumineuses

– Lumière blanche (lampe à incandescence) : t = 3 10–15 s et L = 1 mm. – Lampe spectrale par exemple raie verte du mercure λ0 = 546 nm : t = 10–15 s et L = 3 mm.

est très grande devant la longueur d’onde, par suite le nombre d’oscillations dans le traind’ondes est grand (5,5 103). L’onde émise par un atome peut être considérée comme quasimonochromatique.

c Laser : t = 10–7 s et L = 30 m. Le laser est assimilé à une onde plane monochromatique.

b) Détecteurs optiques c Les détecteurs dans le domaine optique sont tous sensibles à l’énergie de l’onde.Citons quelques exemples : œil, pellicule photographique, photodiode, caméra vidéo.Ces détecteurs sont caractérisés par un temps de réponse τr, par exemple pour l’œil : τr = 0,05 s, pour une photodiode : τr = 10–7 s et pour les plus rapides : τr = 10–9 s.Ce temps est beaucoup plus grand que la période de l’onde.

c) Intensité lumineuse c Considérons un détecteur de surface unité, recevant un faisceau lumineux. Le signal délivré

par le détecteur est proportionnel au carré du module du champ électrique moyenné sur letemps de réponse τr du détecteur. Par définition, ce signal est l’intensité lumineuse I au point M

où se trouve le détecteur : où C est le facteur de proportionnalité.

L’intensité lumineuse est l’équivalent des grandeurs efficaces en électrocinétique (fiche 40).c Intensité lumineuse d’une onde monochromatique polarisée rectilignement Soit le vecteur unitaire dans la direction de la polarisation.

Le champ électrique en M s’écrit : où ,

étant la phase de l’onde au point M. Par suite, l’intensité lumineuse en M est :

; or .

c Source classique : Les atomes de la source émet-tent des trains d’ondes de durée limitée qui ontune phase à l’origine aléatoire et une polarisationaléatoire. L’étendue spatiale dans le vide du traind’ondes est où c est la vitesse de lalumière dans le vide. Un train d’ondes est sché-matisé par une sinusoïde tronquée.

t

L t= c

x

L = c t

L

IC

E t tr

r

( ) ( , )M M d= ∫τ

τ2

0

e

E t E t eM M, ,( ) = ( ) E t E tmM M, cos( ) = − ( )( )ω ϕϕ M( )

IC

E t tC

E t tr r

m

r

( ) ( , ) cosM M d M d= ( ) = − ( )( )∫τ τ

τ2

0

2 2

0

ω ϕττ r

∫ τ πωr >> ⇒2

IC

Em( )M =2

2

231

Page 238: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 74 • Interférences lumineuses

Utilisons la notation complexe : où est l’amplitude

complexe de l’onde au point M : .

L’intensité lumineuse I(M) au point M est proportionnelle au module carré de l’amplitude

complexe de l’onde : .

d) Modèle scalaire de la lumière c Ce modèle simplifié associe au champ électrique une vibration scalaire. Pour étudier la superposition de plusieurs ondes lumineuses, le modèle scalaire peut être uti-lisé dans de nombreux cas, par exemple, lors de :

– la superposition d’ondes de polarisations rectilignes quasi-parallèles ;– la superposition d’ondes non polarisées (dont la polarisation rectiligne a une direction

aléatoire) se propageant suivant des directions faisant un angle petit entre elles. Dans la suite, une vibration scalaire monochromatique est notée en notation complexe :

où est l’amplitude complexe de la vibration au point M.c En optique ondulatoire, seules les variations relatives d’intensité lumineuse sont étudiées.

L’intensité lumineuse au point M ne tiendra pas compte du facteur de proportionnalité etsera donnée par : .

e) Interférences de deux ondes monochromatiquesc Introduisons les définitions suivantes :

– Deux ondes sont cohérentes, si elles ont la même fréquence et une différence de phaseconstante. La différence de phase peut aussi être une fonction certaine du temps.

– Deux ondes sont synchrones, si elles sont cohérentes avec une différence de phase nulle. – Dans les autres cas, les deux ondes sont incohérentes. Par exemple, deux ondes de fré-

quences différentes sont incohérentes ; deux ondes émises par deux points différentsd’une source classique sont incohérentes (différence de phase aléatoire).

L’observation a lieu à une distance des deux sources ponctuelles très grande devant la longueurd’onde de la lumière λ0 (r1 >> λ0, r2 >> λ0) dans une portion de l’espace peu étendue. La varia-

tion de l’amplitude de l’onde, , au point M en fonction de la distance est alors négligeable.

⇒ L’amplitude complexe de l’onde émise par S1 au point M s’écrit : où a1 est l’amplitude de l’onde émise par S1. De même, l’amplitude complexe de l’onde émise par S2 au point M est :

c Considérons la superposition au point M, dans un milieu transpa-rent, de deux ondes monochromatiques de même fréquence émisespar deux sources S1 et S2 ponctuelles. Seules les amplitudes complexessont utiles pour déterminer l’intensité lumineuse en M.

– La source ponctuelle S1 émet une onde sphérique dont l’amplitude

complexe au point M est : avec

où n est l’indice optique du milieu, λ0 la longueur d’onde dans levide et ϕ1 la phase de la source S1.

E t E e E emt tM j M j,( ) = =− ( )( )ω ϕ ω

0 E0 M( )

E E em0 M j M( ) = − ( )ϕ

IC

E EM M M( ) = ( ) ( )2 0 0

*

s t a e t( , )M M j= ( ) ω a M( )

I a aM M M( ) = ( ) ( )*

aA

re k r

11

1

1 1M j( ) = − +( )ϕk

n= 2

0

πλ S

M

S1 2

r r1 2

A

r1

1

r1

a a e k r1 1

1 1M j( ) = − +( )ϕ

a a e k r2 2

2 2M j( ) = − +( )ϕ

232

Page 239: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 74 • Interférences lumineuses

– Ces deux ondes se superposent au point M. L’amplitude complexe en M est la somme desamplitudes complexes de chacune des ondes en M :

– L’intensité lumineuse au point M est :

Introduisons et , les intensités respectives des deux ondes.

c Conditions d’interférences : – Si les deux sources sont incohérentes, ϕ2 − ϕ1 est une fonction aléatoire du temps. Les

deux ondes sont alors incohérentes. La différence de phase ϕ1 − ϕ2 prend toutes lesvaleurs entre 0 et 2π pendant le temps d’intégration τr du détecteur, par suite l’intensitéau point M est : .

– Si les deux sources sont cohérentes, par exemple ϕ1 − ϕ2 est constant, les deux ondes sontalors cohérentes. L’intensité au point M est donnée par :

Il y a interférence des deux ondes cohérentes au point M, car ; le terme est appelé terme d’interférence.

– Généralisons ces résultats :

c Obtention de deux ondes cohérentes en optique :Pour observer des interférences en optique, il est nécessaire que les deux sources S1 et S2soient obtenues à partir d’une même source primaire S. Deux types de dispositif sont utilisés :

superposition d’ondes sommation descohérentes amplitudes complexes

incohérentes intensités

Dispositif à division de front d’onde : Le dispositif interférentiel modifie la directionde deux faisceaux (1) et (2) issus de la mêmesource S et émis dans deux angles solides diffé-rents. Les deux faisceaux émergents du dispositifse superposent dans la région de l’espace repré-sentée en rouge grisé. Le dispositif interférentielutilise la réfraction, la réflexion ou la diffraction.Dispositif par division d’amplitude : Le dispositif interférentiel utilise des surfacespartiellement réfléchissantes permettant ladivision énergétique du faisceau incident (parexemple une lame semi-réfléchissante). Lesdeux faisceaux émergents sont alors superpo-sés après avoir parcouru des trajets différents.

a a a a e a ekr krM M M j j( ) = ( ) + ( ) = +− +( ) − +( )1 2 1 2

1 1 2 2ϕ ϕ

I a a a e a e a ekr krM M M j j( ) = ( ) ( ) = +( )− +( ) − +( )*1 2 1

1 1 2 2ϕ ϕ −− − +( ) − − +( )+( )= + +

j j

j

kr kr

k r

a e

a a a a e

1 1 2 2

1

2

12

22

1 2

ϕ ϕ

−−( )+ −( ) − −( )+ −( )+( )r k r re2 2 1 1 2 2 1ϕ ϕ ϕ ϕj

I a1 12= I a2 2

2=

I I IM( ) = +1 2

I I I I I k r rM( ) = + + − + −( )1 2 1 2 1 2 2 12 cos ( ) ϕ ϕI I IM( ) ≠ +1 2

2 1 2 1 2 2 1I I k r rcos ( )− + −( )ϕ ϕ

S

(1)

(1)

(2)

(2)

dispositifinterférentiel

dispositifinterférentielS

(1) (2)

(1)

(2)lame

233

Page 240: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 74 • Interférences lumineuses

c Franges d’interférences – Le champ d’interférence est la zone où les deux ondes se superposent (rouge grisé). C’est

dans cette zone qu’il faut placer l’écran ; sur celui-ci, des franges d’interférence peuventêtre observées. Ces interférences sont non localisées, car il y en a dans tout le champd’interférences.

– Au point M, l’intensité est : où est le déphasage de l’onde (2) issue de S2 par rapport àl’onde (1) issue de S1 au point M. Ce déphasage est positif si l’onde (2) est en avance surl’onde (1) et négatif si l’onde (2) est en retard sur l’onde (1).

– L’intensité lumineuse varie sinusoïdalement en fonction de Δϕ, avec une période égale à 2π.

La période de l’intensité lumineuse en fonction de δ est la longueur d’onde λ0 dans le vide.

– L’ordre d’interférence p est défini par :

À une valeur de l’ordre d’interférence p correspond un déphasage Δϕ(M) = 2π p, ce qui défi-nit une surface dans le champ d’interférence : ce sont les surfaces d’égale intensité.

– La différence de marche d(M) est définie par :

D’où :

δ fait intervenir la différence de chemin optique

(fiche 64).

δ : différence de marche (m)δgeom : différence de marche géométrique (différence de chemin optique)δphys : différence de marche physique (liée au déphasage des sources)

Ordre d’interférence Intensité Interférences

p entier Maximum constructives

p demi entier Minimum destructives

I I I I IM M( ) = + + ( )( )1 2 1 22 cos ΔϕΔϕ ϕ ϕM( ) = −( ) + −k r r1 2 2 1

Δϕ πδλ

MM( ) = ( )2

0

δλ

πϕ ϕM( ) = −( ) + −( )n r r1 2

02 12

n r r1 2−( )

I

0

Imax

Imin

I1+I2

Δϕπ 2π 3π 4π

δ δ δ= +geom phys

p = =Δϕπ

δλ2 0

I I I I Imax = + +1 2 1 22

I I I I Imin = + −1 2 1 22

234

Page 241: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 74 • Interférences lumineuses

– Le contraste V des franges est défini par : ; 0 ≤ V ≤ 1

Le contraste V est maximum (V = 1), lorsque les deux ondes ont la même intensité (I1 = I2).

3. EN PRATIQUE…c Deux sources cohérentes de lumière monochromatique visible ont une phase relative

variant sinusoïdalement de 0 à 2π à la fréquence de 500 Hz. Æ Décrivons l’observation visuelle en un point du champ d’interférence.La période du déphasage (2 ms) étant très inférieure au temps de réponse de l’œil (τr = 50 ms),l’œil observe une intensité constante au point du champ d’interférence.Æ Décrivons le courant donné par une photodiode placée en un point du champ d’interférence.La photodiode a un temps de réponse τr = 10–7 s beaucoup plus petit que la période du déphasage.Le courant délivré par la photodiode varie sinusoïdalement à la fréquence de 500 Hz. c Les miroirs de Fresnel sont constitués de deux miroirs plans faisant un petit angle α entre

eux. Ces deux miroirs ont une arête commune (perpendiculaire au plan de la figure). Ilssont éclairés par une source S ponctuelle.

Le champ d’interférence est la zone de recouvrement des deux faisceaux réfléchis.Tous les rayons du faisceau réfléchi par le miroir incliné passent par S1, image de S dans cemiroir. Le faisceau réfléchi par l’autre miroir est issu de S , image de S dans celui-ci (fiche 66).2

Le champ d’interférence est donc la partie rouge commune à ces deux faisceaux réfléchis.

Æ Déterminons si ce système est à divi-sion de front d’onde ou à divisiond’amplitude.Les deux faisceaux issus de S qui éclai-rent chacun des miroirs (faisceau à bordnoir et faisceau à bord rouge) sont émisdans deux angles solides différents. Les miroirs de Fresnel constituent doncun dispositif à division de front d’ondeÆ Déterminons le champ d’interférence.

VI I

I I

I I

I I=

−+

=+

max min

max min

2 1 2

1 2

α

S

S

S

1

2

235

Page 242: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

75 Interférences à deux ondes

1. EN QUELQUES MOTS…Le dispositif des trous d’Young est étudié afin d’illustrer certaines propriétés des interférences àdeux ondes, en particulier la caractérisation de la figure d’interférence obtenue sur un écran.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Principe d'Huygens

b) Dispositifs des trous d’YoungUne plaque plane (P) opaque est percée de deux trous fins identiques S1 et S2. Elle est éclai-rée par une source S ponctuelle monochromatique de longueur d'onde λ0 (dans le vide) ;cette source est sur la médiatrice de S1S2. La figure d’interférence est observée sur un écranplan (E) parallèle à (P). L’ensemble est dans l’air d’indice optique n = 1.

Notons : 2a = S1S2, d = SH et D = HO avec d >> 2a et D >> 2a.

Huygens considère que la lumière se propage de proche en proche. Considérons une source ponctuelle S dans un milieu homogène etisotrope. L’onde sphérique émise a une surface d'onde Σ à l'instant tqui est une sphère de centre S et de rayon , où v est la vitesse depropagation de l’onde dans le milieu. Chaque point M de Σ se com-porte comme une source secondaire émettant une onde sphérique,que l’on appellera ondelette, ayant l’amplitude et la phase de l’ondeincidente en M. À l’instant t + τ, la surface d’onde ΣM de l’ondeletteest une sphère de rayon et de centre M. À cet instant, la surfaced’onde Σ de rayon enveloppe toutes ces ondelettes. Parsuite, tout phénomène lumineux se produisant à l'instant t + τ peutêtre décrit à partir de la surface d’onde Σ et non plus de la source S.

vt

vτv t +( )τ

M

S

ΣM

ντ

M

(E)

(P)

SS2

S1

H

0

X

Y

y

x

z

x

y

Z

236

Page 243: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 75 • Interférences à deux ondes

c La source S émet une onde sphérique. En utilisant le principe d’Huygens, les deux trousémettent également deux ondes sphériques. S étant sur la médiatrice de S1S2, SS1 = SS2⇒ les deux trous S1 et S2 sont sur la même surface d’onde et ont donc la même phase.

Les deux sources secondaires S1 et S2 sont synchrones. Ce dispositif est à division de front d’onde. Le champ d’interférence est l’espace Z > 0.c Les trous étant identiques, l’amplitude des deux ondes émises par S1 et S2 est la même a0.

L’amplitude complexe en M de l’onde issue de S1 est : où L’amplitude complexe en M de l’onde issue de S2 est : où

k étant le vecteur d’onde : .

Les ondes étant cohérentes, l’amplitude complexe en M est la somme des amplitudescomplexes :

.

L’intensité lumineuse en M est :

⇒ en posant , .

Le déphasage au point M est :

= L(S1M) – L (S2M) où L(AB) est le chemin

optique entre deux points A et B.

Comme n = 1, δ = S1M – S2M.La différence de marche est géométrique.c Plaçons-nous dans le repère (Oxyz) : M (x ,y ,0), S1 ( ) et S2 ( ).

⇒ et

Effectuons un développement limité en fonction de x, y et a qui sont petits par rapport à D :

; de même,

⇒ .

La différence de marche ne dépend que de x.

c L’intensité au point M devient : .

– L’intensité ne dépendant que de x, les surfaces d’égale intensité correspondent à x = cste dansla zone étudiée. Par suite, des franges rectilignes parallèles à y sont observées sur l’écran.

a a1 01M j( ) = −e k r

r1 = S M1a a2 0

2M j( ) = −e k r r2 = S M2

kn= 2

0

πλ

a a a a aM M M j j( ) = ( ) + ( ) = +− −1 2 0 0

1 2e ek r k r

I e e e ekr kr krM M M j j j j( ) = ( ) ( ) = +( ) × +− −a a a a a a*0 0 0 0

1 2 1 kkr2( )I0 0

2= a I I k r rM( ) = + −( )( )[ ]4 10 1 2cos

Δϕ π δλ

δM ( ) = −( ) = ⇔ = −( )k r r n r r1 20

1 22

− −a D, ,0 a D, ,0 −

r x a y D12 2 2

1 2= = +( ) + +⎡

⎣⎤⎦S M1 r x a y D2

2 2 21 2

= = −( ) + +⎡⎣

⎤⎦S M2

r Dx a y

DD

x a y

D1

2 2

2

1 2 2 2

21 1

2= + +( ) +⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

+ +( ) +⎡

⎣⎢⎢

⎤⎤

⎦⎥⎥

r Dx a y

D2

2 2

21

2+ −( ) +⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

δ = − +( ) − −( )⎡⎣

⎤⎦r r

Dx a x a

ax

D1 22 21

22

I Iax

DM( ) = +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

2 1 22

00

cos πλ

237

Page 244: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 75 • Interférences à deux ondes

Les franges brillantes correspondent à , les franges noires à ⇒ le contraste des franges est V = 1.La frange centrale correspond à une différence de marche nulle : δ = 0 ⇒ son abscisse est xC = 0 ; c’est une frange brillante suivant l’axe Oy.

3. EN PRATIQUE…Considérons le dispositif des trous d’Young tel que 2a = 3,00 mm, D = 100,0 cm et d = 50 cm. c La source S est sur la médiatrice de S1S2. On mesure la largeur L de m interfranges consécutifs : m = 25, L = 5,0 mm. Déterminons la longueur d’onde λ0 de la lumière émise par la source.

L’interfrange est donnée par :

Or l’interfrange s’écrit :

La lumière émise par la source est de couleur orangée (fiche 62).c La source, notée S’, n’est plus sur la médiatrice de S1S2. Considérons un plan (C) parallèle

aux plans (P) et (E) passant par le point S’. Soit S le point du plan (C) sur la médiatrice deS1S2. Le repère dans (C) est SXS et SYS, où SXS est parallèle à Ox.

La source se trouve au point S’ (b, 0) avec b = 0,15 mm (b << d). Déterminons la figure d’interférence observée sur l’écran.Représentons le dispositif dans le plan Oxz.

Ce résultat peut être obtenu directement en calculant la différence de chemin optique entreles deux chemins S’S1M et S’S2M :

L’intensité est une fonction sinusoïdalede x, de période spatiale i, appelée inter-

frange et donnée par : .

Utilisons l’ordre d’interférence p : ⇔ .

La source étant en S’, les deuxsources secondaires S1 et S2 nesont plus synchrones, mais ellessont cohérentes avec undéphasage constant.Traçons la surface d’onde pas-sant par S2. Comme d >> 2a,elle peut être approximée loca-lement par un plan perpendicu-laire à S’H. L’onde émise par la

source secondaire S2 est en avance sur celle émise par la source secondaire S1. En prenantcomme origine des phases la phase de l’onde émise par S1, la phase de l’onde émise par S2 est :

iD

a=

λ0

2

δ λ= p 0 x pi= 0 x

I(x)4I0

2I0

I Imax = 4 0 Imin = 0

iL

m= = =5

250 20, mm

iD

a

a i

D= ⇔ = = × = =

− −−λ

λ00

3 36

22 3 10 0 2 10

10 6 10 0 m

. , ., . ,,6 m.μ

(C)

S

S'

XS

b

(P)

S2

S1

X

H

x

O zZ

M

I J

(E)d D

x

xC

ϕ2

ϕ ω πλ

πλ

δ20 0

2 22=

( )=

( )= ⇒ ( ) =

L

c

LM

a x

D

IS IS IS 1 1 1 ++ IS1

δ = ( ) − ( ) = + + +( ) − +( )L LS'S M S'S M S'I IS S J JM S'S S M1 2 1 1 2 2

238

Page 245: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 75 • Interférences à deux ondes

Comme .Pour calculer et , utilisons les triangles et .

b << d ⇒ l’angle α est petit :

De même, x << D ⇒ l’angle β est petit :

Cette méthode permet de retrouver rapidement le résultat établi au b).

; la dépendance de la différence de marche en x ne change pas.

L’intensité I’ au point M est :

Ce point est à l’intersection de la droite S’H avec l’écran E. Le déplacement des franges est ensens inverse de celui de la source.

En O, l’ordre d’interférence est : ; la frange est noire.

c Considérons une lampe spectrale, de longueur d'onde λ0. C’est une source étendue qui est pla-cée contre la plaque (C) placée en S. Cette plaque (C) est percée de deux trous fins identiques.Dans le repère SXSYS dans (C), un trou est en S (0,0), l’autre en S’ (b,0) avec b = 0,15 mm.Ces deux trous donnent deux sources d'égale intensité.

Déterminons la figure d’interférence observée sur l’écran.Les deux sources S et S’ correspondent à deux points différents d’une source classique(fiche 73). Ces deux sources sont incohérentes.Les deux sources S et S’ donnent, respectivement, au point M sur l’écran une intensité I(M) etI’(M). Les deux sources étant incohérentes, l’intensité en M est Itot(M) = I(M) + I’(M) (fiche 73).

Portons et sur le même graphique.

La dépendance en x de la différence de marche étantinchangée, l’interfrange est identique :

.

Déterminons la position xC de la frange centrale brillante :

δ = 0 ⇒ .

Les deux intensités étant en opposition de phase,la somme des intensités est constante.Il n’y a plus de franges rectilignes, le contraste estalors nul. On dit qu’il y a brouillage des franges.Une source réelle a toujours une étendue finie.Cet exemple montre que cette taille doit êtrepetite afin d’observer des franges bien contras-tées. Cette taille dépend de la géométrie du dis-positif interférentiel utilisé.

S'I S'S et JM S M, alors IS S J2 2 1 1= = = +δIS1 S J1 IS S21 S JS21

α α α αtan sin= ⇒ =b

da a

a b

d IS1 2 2

2

β β β βtan sin= ⇒ =x

Da a

a x

D S J1 2 2

2

⇒ ( ) = + δ Ma x

D

a b

d

2 2

I Iax

D

ab

dI' cosM( ) = + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= +2 1 22 2

2 100 0

0πλ λ

ccos 22

0π x

i

ab

d+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟λ

iD

a=

λ0

2

x bD

dc = −0 x

I'(x)4I0

pa b

dOO= ( ) = = ×

×=

− −

−δ

λ λ0 0

3 3

6

2 3 10 0 15 10

0 5 0 6 10

3. , .

, , . 22

I Ix

iM( ) = +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

2 1 200

cos π I Ix

i' cosM( ) = + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 1 2

320 π

0 x

I'(x)

4I0

ItotI(x)

239

Page 246: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 75 • Interférences à deux ondes

c Le dispositif des trous d’Young est éclairé par une onde plane monochromatique de longueurd'onde λ0 se propageant suivant Oz. Une lame de verre transparente, à faces parallèles, d’indiceoptique nV = 1,5 mm et d’épaisseur e = 0,3 mm, est collée sur la plaque (P) devant le trou S2.

Æ Décrivons le montage expérimental utilisé pour réaliser une onde plane.

Æ Déterminons la figure d’interférence observée sur l’écran.Les points K1 et K2 appartiennent au même plan d’onde. Par suite, ils sont en phase. Déterminons la différence de marche δ entre les deux ondes interférant en M à partir despoints K1 et K2 :

.

La figure d’interférence est toujours formée de franges rectilignes suivant Oy. L’interfrange iest inchangé. L’introduction de la lame entraîne seulement une translation de la figure sui-vant Ox.Æ Déterminons la position de la frange centrale qui correspond à :

L’ordre d’interférences en O est : .

Il est possible de mesurer, en un point, le déplacement d’une frange d’un demi-interfrange etmême mieux. Ceci montre que l’utilisation des interférences permet des mesures relativesd’une grande sensibilité. Par exemple, la mesure de l’indice optique de l’air est réalisée parinterférométrie.

Une onde plane se propa-geant suivant est associéeà un faisceau de lumièreparallèle à cette direction. Pour réaliser une ondeplane se propageant sui-vant Oz, une source ponc-tuelle est placée au foyerprincipal objet d’une lentilleconvergente d’axe optiqueOz (fiche 67).(P)

S2

S1

X

H

x

O zZ

M

J

(E)D

x

K1

e

K2

ββ

u

δ = ( ) + ( )[ ] − ( ) + ( )[ ]L L L LK S S M K S S M1 1 1 2 2 2

L L e L L n eVK S S M S J JM et K S S M1 1 1 1 2 2 2( ) + ( ) = + + ( ) + ( ) = ++ S M2

⇒ = − −( )δ 21

a x

Dn eV

δ = 0

⇔ =−( )

= × =−

− .10 m =-2x

n e

aDC

V 1

20 5 0 3 10

3 101 5

3

3

, , .

. 5 cm.

pn eV

00

3

6

1 0 5 0 3 10

0 6 10250= −

−( )= − × = −

−λ, , .

, .

240

Page 247: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

76 Diffraction

1. EN QUELQUES MOTS…Le phénomène de diffraction est étudié dans les conditions de Fraunhofer qui expliquent, enparticulier, l’effet de la diffraction dans la formation des images.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…Quand les dimensions d’un diaphragme traversé par un faisceau lumineux monochromatiquene sont plus très grandes devant la longueur d’onde, de la lumière apparaît en dehors du fais-ceau correspondant à l’optique géométrique. On dit qu’il y a diffraction de l’onde par l’obstacle,ce qui se traduit par la violation de la loi de la propagation rectiligne.

a) Principe d’Huygens-FresnelL’ouverture plane (D) est éclairée par une source ponctuelle monochromatique. Découponsl’ouverture (D) en éléments de surface centrés sur le point courant P. Le principe d’Huygens-Fresnel permet de calculer l’intensité en un point M à l’aide de deuxhypothèses :

Les ondes arrivant au point M étant cohérentes, l’amplitude complexe de l’onde en M estl’intégrale sur toute la surface de l’ouverture de l’amplitude complexe de l’onde émise en P.La diffraction est un phénomène d’interférences à ondes multiples.

b) Diffraction de Fraunhofer L’ouverture est éclairée par une onde plane et l’observation se fait à l’infini.

– chaque élément de surface se comporte commeune source ponctuelle fictive en P, émettant une ondelette(onde sphérique) dont l’amplitude complexe en P est pro-portionnelle à l’amplitude complexe de l’onde émise par Sen P et à l’élément de surface .– les différentes sources fictives sont cohérentes entre elles.

L’ensemble est dans un milieu d’indice optique n. Donnons l’expression du vecteur d’onde de :

– l’onde plane incidente dans la direction :

– l’onde plane diffractée dans la direction : .

d S P( )

d S P( )

d S P( )

(D)

P

M

S

d S (P)

(D)

P

O

ui kn

ui i= 2

0

πλ

ud kn

ud d= 2

0

πλ

241

Page 248: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 76 • Diffraction

Supposons l’ouverture transparente, par exemple un trou. L’amplitude de l’onde incidenteétant , l’amplitude de l’onde diffractée au point P est proportionnelle à . Soit Ccette constante de proportionnalité. L’amplitude complexe de l’onde au point M s’écrit donc :

c) Diffraction de Fraunhofer d’une fente

L’amplitude complexe se factorisant suivant X et Y, étudions l’intégrale suivant X.Notons l’angle orienté, avec l’axe OZ, de la projection de dans le plan (YOZ).

Pour des angles petits :

De la même façon, notons , supposé petit, l’angle avec l’axe OZ de la projection de dans

le plan (XOZ). Par suite, en introduisant la fonction « sinus cardinal » : ,

l’amplitude complexe diffractée en est : .

Considérons l’OPPM (1) incidente en O, puis diffractéedans la direction et l’OPPM (2) incidente en P, puis dif-fractée dans la direction . Pour calculer le déphasage

de (2) par rapport à (1) au point , traçons leplan d’onde en O de l’onde incidente et le plan d’onde en Pde l’onde diffractée. Les points O et J sont en phase ; demême les points P et K sont en phase. En prenant comme sens positif le sens de propagation de lalumière, le déphasage s’écrit :

• Éclairons une fente de largeur a et de longueur b ( ) par uneonde plane tombant normalement au plan de la fente. L’ensembleest dans l’air ( ). Dans le plan de la fente, le point courant P estrepéré par les axes OX et OY, O étant le centre de symétrie de lafente. L’axe OZ est perpendiculaire au plan de la fente. L’amplitude

complexe diffractée au point M à l’infini dans la direction s’écrit :

(1)

plandu diaphragme

O

PJ

K

(1)

(2)

udud

ϕ M∞( ) M∞

ϕ M∞( )

ϕ M OP OP OP∞( ) = − ⋅ + ⋅ = −( ) ⋅k k k ki d d i

a0 a S0d P( )

a a SM d Pj OP∞( ) = ( )−( )⋅∫∫C e k k

D

d i0

a b<

n = 1

ud

a aM d dj j

∞( ) =−( )

−( )−

∫C e X e YX k k

a

aY k k

b

bd X i X d Y iY

02

2

2

22

OX

Y

a2

a2

b2

b2

θX kd

θX k ki X d X XX= =0

2 2

0 0 et

πλ

θπθλ

sin

e X e e

X X XX

a

a

X

a aj j j

dj

2

2

20

2

2 20 0 0

2

πλ

π

θ πθλ

2πθλλ

θ−∫ = −

⎝⎝

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a

a

a

X

X

sinπ θ

λπ θ

λ

0

0θY kd

sinsin

c xx

x( ) =

M∞ a aθ θX YX YC ab

a b, sin sin( ) = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟0

0 0c c

π θλ

π θλ

242

Page 249: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 76 • Diffraction

L’intensité diffractée au point est :

.

c Étudions la fonction :

Cette fonction décroit rapidement : l’ordonnée du premier maximum secondaire (m = 1) est0,045. Cette fonction n’a des valeurs notables que si .

c Les directions comprises entre et contiennent l’essentiel

de l’intensité lumineuse diffractée. L’intensité diffractée par une fente est maximum dans ladirection incidente, ce qui correspond à l’optique géométrique.

c Cas d’une fente fine et longue de largeur a et de longueur b ( ) Comme a << b, la lumière est diffractée uniquement suivant que nous noterons .

– La lumière est diffractée dans le plan normal en O à l’axe de la fente : plan (XOZ).

La zone angulaire comprise entre les deux minima est appelée frange centrale.

L’intensité diffractée est essentiellement contenue dans celle-ci.

– La frange centrale a une largeur angulaire double des autres franges.

x

0m entier

maximum principal = 1

0

maximum secondaire

m entier

I(θ) : intensité diffractée dans la direction θ, la fente étantéclairée sous incidence normale a : largeur de la fenteλ0 : longueur d’onde dans le vide

: direction diffractée perpendiculaire à l’axe de la fente

I θ( ) M∞ I X Y X Y X Yθ θ θ θ θ θ, , ,( ) = ( ) × ( )a a*

⇒ ( ) = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝

θ θπ θ

λπ θ

λI I

a bX Y

X Y, ( , ) sin sin0 00 0

c c2 2⎜⎜

⎞⎠⎟

sin c2 x( )

sin c2 x( )

O

1

x–π–2π–3π π 2π 3π

sin C2 (x)

x m= π≠ 0

x m= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

π

≠ 0

− < <π πx

− < <λ

θλ0 0

a aX − < <λ

θλ0 0

b bY

a b<<θX θ

I Iaθ π θ

λ( ) = ( ) ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

00

sin c2

θ

±λ0

a

243

Page 250: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 76 • Diffraction

3. EN PRATIQUE…c Considérons le montage suivant. Une source ponctuelle S de longueur d’onde λ0 = 589 nm

(raie jaune du sodium) est placée au foyer principal objet d’une lentille mince convergente(L1) de distance focale f1 = 10 cm.

Un écran est placé dans le plan focal image de (L2).Æ Déterminons la figure de diffraction observée sur l’écran.

C’est donc une onde plane se propageant suivant O1Z et frappant normalement le plan de la fente.

La fente diffracte dans les conditions de Fraunhofer.

Or ⇒ en utilisant le résultat précédent, .

Æ La source ponctuelle est déplacée dans le plan focal objet de (L1) de telle manière que

. Déterminons la figure de diffraction observée sur l’écran.

Le vecteur d’onde incident fait un angle β orienté avec OZ : .

Le faisceau lumineux issu de(L1) éclaire une fente fine etlongue de largeur a = 20 µm. La lumière diffractée par lafente traverse une lentillemince convergente (L2) demême axe optique que (L1)et de distance focale f2 =20 cm.

La figure de diffraction est uniquement suivant l’axe des x.La figure est centrée sur F’2, qui est l’image de la source S par l’ensemble des deux lentilles. La largeur de la frange centrale est :

(1) ⇒ l’amplitude complexe en x est donnée par :

Par suite, l’intensité en x est :

F1

x

O

X

(L2)(L1)

O2O1 ZF'2

fente écran

za

S

M

objet ponctuel S F image ponctuelle à 1 L1≡ ⎯ →⎯⎯

( )ll' dans la direction O∞ Z

objet ponctuel à l' dans la direction O M2 L2∞

( )⎯⎯ →⎯⎯ image ponctuelle M dans le plan focal imagge

θ = =F' M

O F'2

2 2 2

x

fI x I

ax

f( ) = ( ) ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

00 2

sin c2 πλ

Δxa

f= = × × =−

−2

2 589 10 0 2

20 10

02

9

6

λ . ,

. 1,18.10 m = 1-2 ,,18 cm.

F'2

x

y

F S1 = X '

ki kX

fi X = = = −2

0 1 2

πλ

β β avec F S

O F2

1

'

a ax C e XX

x

f

X

f

a

a

( ) =+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−∫0

2

2

20 2 1

j

d

πλ

'

I x Ia x

f

X

f( ) = ( ) +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

00 2 1

sin'

c2 πλ

F1

x

O

X

(L2)(L1)

O2

O1 ZF'2

fente écran

zS

S'

(+)X'

244

Page 251: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 76 • Diffraction

La figure de diffraction est toujours sur l’axe des x, la largeur de la frange centrale étant lamême. Mais le centre de la frange centrale (intensité maximale) est en xC :

. Le point correspondant est S’, image de S à travers (L1) et (L2).

L’intensité liée aux interférences à deux ondes d’interfrange i est modulée par l’intensité dif-

fractée par une fente. Or et qui est la largeur de

la frange centrale de diffraction.Seul un petit nombre de franges d’interférence sont observables, essentiellement celles quisont dans la frange centrale de diffraction. Dans , il y a 12 interfranges.

c Le dispositif des bifentes d’Young est consti-tué de deux fentes identiques, fines, longues etparallèles. Leur largeur est a = 50 µm et leurdistance est : d = 300 µm.

Ce dispositif est éclairé par une onde plane (λ0 = 633 nm) se propageant perpendiculai-rement au plan des bifentes.

Déterminons la figure de diffraction observée sur un écran placé dans le plan focal imaged’une lentille mince convergence de distance focale f2 = 1 m.

(1) ⇒ l’amplitude complexe au point M s’écrit :

Faisons le changement de variable dans la première

intégrale et dans la seconde .

Les deux intégrales sont identiques et correspon-dent à l’amplitude complexe diffractée par uneseule fente, d’où :

x

f

X

fx X

f

fC

C2 1

2

10+ = ⇔ = −'

'

X

Y

d2

a2

d2

a2

d2

a2

+ d2

a2

+

a ax C e X eX

x

f

d a

d a Xx

f( ) = +− +( )

− −( )

∫0

2

2

2 2

0 2 0 2

j j

d d

πλ

πλ XX

d a

d a

−( )

+( )

∫⎡

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥2

2

y Xd

+ = +2

y Xd

− = −2

x

O

X

(L2)

O2 ZF'2

bifente écran

zd

M

a ax e e y e

dx

fy

x

f

a

a dx

f( ) = +−

+−

+

∫0

2

2

20 2 0 2 0 2

j j j

d

πλ

πλ

πλ ee y

yx

f

a

a j

d−

−−∫

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

2

2

20 2

πλ

a ax e e

dx

f

dx

f( ) = +⎡

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

00 2 0 2

j j

interféren

πλ

πλ

cce entre les 2 ondes traversant les 2 fentes

sin c0

intensité diffractéep

πλ

ax

f2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

aar une seule fente

⇒ ( ) = + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛I x I

dx

f

ax

f2 1

20

0 2 0 2cos sin

πλ

πλ

c2

⎝⎝⎜⎞⎠⎟ F'2

I/I0

(cm)1 2

i

4

x

id

f= =λ0

2 2,1 mm Δxa

f= =2 02

λ25,3 mm

Δx

245

Page 252: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

246

1. EN QUELQUES MOTS ...Les réseaux sont très utilisés en spectrométrie. L’étude d’un réseau de fentes en transmissionpermet de mettre en évidence quelques propriétés des réseaux.

2. CE QU’IL FAUT RETENIR…

a) Réseau optiqueC’est une surface transparente ou métallique, plane ou concave sur laquelle est tracé ungrand nombre de motifs identiques disposés de façon périodique.Les réseaux en réflexion réfléchissent la lumière. La surface des CD, constituée d’un grandnombre de sillons équidistants en est un exemple ; la lumière blanche est dispersée parréflexion.Les réseaux en transmission transmettent la lumière. Ils sont constitués de fentes parallèles.

b) Réseau de fentesc Ce réseau est formé de N fentes fines, longues, parallèles et équidistantes.La période spatiale ou pas a du réseau est la distance entre deux fentes consécutives. Cette

périodicité est usuellement exprimée en nombre de traits ntraits par unité de longueur : .

Un réseau optique classique a un nombre de traits ntraits = 300 mm–1⇔ pas a = 3,3 μm.

Si la largeur éclairée du réseau estL = 2 cm, le nombre de fentes utilisées estN = ntraitsL = 6 000.c Considérons un réseau dans l’air, utilisé dans les conditions dediffraction de Fraunhofer. Le faisceau incident dans la direc-

tion frappe le réseau sous un angle d’incidence θ0. Les

rayons diffractés sont observés dans différentes directions ,correspondant à un angle θ avec la normale du réseau.

Représentons le trajet des faisceaux dans un plan perpendiculaireau réseau et aux fentes. Tous les angles sont algébriques. Le senspositif est le sens trigonométrique.c Dans chaque direction d’émergence, il y a superposition de Nondes cohérentes : ce sont donc des interférences à ondes mul-tiples.

Déterminons la différence de marche δà l’infini entre deux faisceaux voisins dans la direction d’émer-gence θ.Les points J et Fm+1 appartiennent au même plan d’onde de l’ondeincidente, ils sont donc en phase. De même, les points Fm et K sonten phase, car ils appartiennent au même plan d’onde de l’ondeémergente.

.

natraits =1

u0↘

u↘

a

θ

θ

(+)"u0

"u

Fm

KJ

Fm + 1θ0

θ0θ a

plan réseau

= ( )− ( ) = − = −( )L L aF K IF F K IFm + 1 m m + 1 m sin sin 0δ θ θ⇒

77 Réseaux optiques

Page 253: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 77 • Réseaux optiques

247

– Si (k entier), les N ondes issues des N fentes sont en phase, il y a donc interfé-rences constructives. L’intensité dans cette direction est I =N2I0 où I0 est l’intensité émisepar une seule fente.

La relation des réseaux donne les directions correspondant aux maxima principaux d’inten-sité.

k = 0 correspond à l’ordre 0, la lumière n’est pas déviée et pas disperséePour k ≠ 0, il y a dispersion de la lumière, le rouge étant plus dévié que le bleu.– Si (k entier), toutes les ondes inter-férant sont déphasées entre elles ; le nombreN d’ondes étant grand, l’intensité décroît trèsrapidement autour des maxima principaux. Àchaque ordre correspond un pic dont la lar-geur est inversement proportionnelle aunombre N de fentes éclairées.

3. EN PRATIQUE…c Déterminons le nombre m d’ordres obser-vables pour un réseau (ntraits = 500 mm–1) éclairé par un laser (λ0 = 0,63 μm) sous une inci-dence θ0= 30°.

Les directions des maxima principaux θk sont don-

nées par :

Un ordre k est observable, si , ce

qui nécessite .

Pour déterminer m, utilisons une méthode gra-phique. Considérons un cercle de rayon unité cen-tré à l’origine O dans le plan (Oxy). L’axe des y estl’axe des sinus.Traçons les droites parallèles à Ox d’équations :

. Leurs points d’intersection avecle demi-cercle x > 0 donnent les solutions. Il y a doncm = 6 ordres observables.c Un réseau est éclairé par un faisceau de lumière parallèle normal à son plan. La longueurd’onde est λ0 = 0,5461 μm (raie verte du mercure). Pour les différentes valeurs de l’ordre kdu spectre, les angles θ des faisceaux diffractés sont mesurés. Les résultats suivants sontobtenus :

→ Déterminons le pas a du réseau, ainsi que le nombre de traits ntraits par millimètre.

a : pas du réseau (m)θ : angle d’émergence des maxima principaux d’intensité (rad)θ0 : angle d’incidence (rad)λ0 : longueur d’onde dans le vide (m)k : ordre du spectre (entier positif, négatif ou nul)

k – 3 – 2 – 1 0 1 2 3θ – 63,67° – 36, 67’ – 17,40° 0° 17,37° 36,66° 63,62°

= k 0δ λ

a ksin sin−( ) =0 0θ θ λ

N2I0

– 2 – 1 0 1 2 k

lk 0δ ≠ λ

k = 1

k = – 1

k = – 2

k = – 3

k = 4

k = 0

x

λ0

θ0

a

y

O

sin sink k a= +00θ θ λ

− +1 1sin k≤ ≤θλ λ0 0

01a a n< = =, or 0,315λ

y knk = +sin 0 0θ λ

Page 254: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche 77 • Réseaux optiques

248

Traçons sinθ en fonction de k. Ladroite passe par l’origine aux incerti-tudes de mesures près. La pentedonne :

→ Le réseau est éclairé par unelumière de longueur d’onde incon-nue λ1. Pour l’ordre 2, la mesure

donne .Déterminons λ1.

.

La couleur de la lumière est bleue.

000= =sin k aθ θ⇒ λ

ordre ksi

n(θ

)

– 3 – 2 – 1 0 1 2 3

ordonnée à l’origine1,14.10–4

1,00,80,60,40,20,0

– 0,2– 0,4– 0,6– 0,8– 1,0

0

1 1

0 60 299a

a

n a

= = =

= =− −

0,299 1,83 µm

et 547 mm .traits

,,

λ ⇒

2 32 50= °,θ

12 1 83 32 5

20 492= =

( )=

ak

sin , sin ,, µmλ

×θ

Page 255: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

A Systèmes de coordonnées et vecteur position

A. COORDONNÉES CARTÉSIENNES

où , et sont des fonctions du temps qui représentent les coordonnées du point M à

l’instant t ( , et représentent les projections orthogonales du vecteur position, res-

pectivement sur les axes , et ).Le système de coordonnées cartésiennes est le système de coordonnées le plus naturel et leplus fréquemment utilisé.

B. COORDONNÉES CYLINDRIQUES (OU POLAIRES)

En coordonnées cylindriques la position d’un point M de l’espace est repérée par la distance

(où q est la projection orthogonale de M dans le plan ), l’angle polaire

, et la cote du point M, notée . Les paramètres et sont les

coordonnées polaires de q. Par définition la position d’un point M, à un instant t, en coordon-

nées cylindriques est donnée par :

Dans un système de coordonnées cartésiennes l’espace estrapporté à un système de trois axes orthogonaux, , ,

, d’origine O, muni d’une base directe (règle du

trièdre direct de la main droite : = pouce ; = index et

= majeur) (Cf. figure ci-contre). Dans un système cartésien la position d’un point M, à un

instant t, est donnée par son vecteur position , tel que :

Dans un système de coordonnées cylindriques (ou polai-res) l’espace est rapporté à un système de trois axesorthogonaux, , , , d’origine O, muni d’une base

directe . Pour les systèmes de coordonnées

cylindriques les vecteurs , (vecteurs formant labase polaire) sont des fonctions du temps t, par consé-quent leur dérivée par rapport au temps n’est pas nulle.

ij

k

x

y

z

O

q

M

Ox Oy

Oz i j k, ,( )i j

k

OM

OM t t t tx i y j z k( ) ( ) ( ) ( )= + +

x t( ) y t( ) z t( )

x t( ) y t( )z t( )

Ox Oy Oz

k

ruuθ

z

y

x

( )tz

( )θ t

H

M

qr

O

Ox Oy Oz

u u kr , ,θ( )ur uθ

r t( ) = Oq O, ,x y( )θ( )t x= O ,Oq⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ z t( ) = OH r t( ) θ( )t

OM( ) ( ) ( )t r ur

z kt t= +

249

Page 256: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche A • Systèmes de coordonnées et vecteur position

Les systèmes de coordonnées cylindriques sont en général utilisés lorsque que le mobile étu-dié décrit un mouvement de rotation autour d’un axe.

C. COORDONNÉES SPHÉRIQUES

Il n’est pas rare que pour le système de coordonnées sphériques la base soit direc-

tement lié au système étudié. Dans un tel système de coordonnées la direction des 3 vecteursunitaires varie au cours du temps, ce qui implique que leur dérivée respective par rapport autemps n’est pas nulle. Dans un système de coordonnées sphériques, la position d’un point M de l’espace est repérée par

sa distance par rapport à l’origine , l’angle , et l’angle .

L’angle sert à repérer la direction du vecteur position dans le plan alors

que l’angle fixe le plan autour de l’axe . Par définition la position d’un

point M, à un instant t, en coordonnées sphériques est donnée par :

Les systèmes de coordonnées sphériques sont peu utilisés car ils conduisent à des systèmesd’équations difficiles à résoudre analytiquement. Cependant, leur utilisation est parfois perti-nente, notamment lorsque les propriétés du mobile étudié ne dépendent que de la distance àun point (exemple : étude du mouvement d’un mobile, astreint à se déplacer à la surface de laTerre, par rapport au centre de la Terre).

Dans le système de coordonnées sphériques l’espace est

rapporté à un système de trois axes orthogonaux, , ,

, d’origine O, muni d’une base directe .

Le vecteur est appelé vecteur radial, le vecteur est

le vecteur orthoradial tel que et le vecteur

est tel que la base soit directe (c’est-à-diretelle que : ).

ru

u

ϕ

y

z

x

( )θ t

( )tϕ

O

q

r

M

Ox Oy

Oz u u ur , ,θ ϕ( )ur uθ

u ur , θπ( ) =2

uϕ u u ur , ,θ ϕ( )u u ur ∧ =θ ϕ

u u ur , ,θ ϕ( )

r t( ) = OM ϕ( )t x= O ,Oq( ) θt

z( ) ( )= O ,OM

θ( )tOM O, OM, k( )

ϕ( )t O, OM, k( ) Ok( )OM( ) ( )t tr u

r=

250

Page 257: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche A • Systèmes de coordonnées et vecteur position

D. RELATIONS ENTRE LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES DE COORDONNÉESLes 3 systèmes de coordonnées précédents permettent de repérer la position d’un point maté-riel M à un instant t dans l’espace. Ils sont tous équivalents et il est très facile de passer de l’unà l’autre grâce aux relations suivantes :

Cartésien Cylindrique Cylindrique Cartésien

Cartésien Sphérique Sphérique Cartésien

→ →

r x y

y

xz z

= +

=

=

2 2

tan θ

x r

y r

z z

===

cos

sin

θθ

→ →

r x y z

y

x

x y

z

= + +

=

=+

2 2 2

2 2

tan

tan

ϕ

θ

x r

y r

z r

===

sin cos

sin sin

cos

θθθ

ϕϕ

251

Page 258: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

B Éléments d’analyse vectorielle

Le gradient, le rotationnel et la divergence constituent les trois principaux opérateurs diffé-rentiels du premier ordre. En physique, ils sont particulièrement utilisés en électromagné-tisme et en mécanique des fluides. Leur définition est introduite ainsi que l’énoncé desthéorèmes de Stokes et de Green-Ostrogradski.

A. DIFFÉRENTIELLE TOTALE ET OPÉRATEUR GRADIENT

c Différentielle totale : Soit une fonction scalaire de trois variables admettant desdérivées partielles, donc différentiable. Pour y et z fixés (maintenus constants au cours dutemps), une variation infiniment petite de x, notée dx, impose une variation de , notée

, telle que : . est appelée différentielle partielle de par rapport à x. Le

terme est la dérivée partielle de par rapport à x. Par analogie, pour une variation infi-

niment petite de y et de z, on obtient : et .

On appelle différentielle totale de , notée ou plus simplement , la somme destrois variations de par rapport à x, y et z :

c Gradient : Dans la base cartésienne orthonormée directe , la différentielle totale

apparaît comme le produit scalaire entre le vecteur déplacement élémentaire de compo-

santes et un vecteur, nommé gradient de , noté , et défini par :

Dans les systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques, le gradient s’écrit :

: gradient de la fonction scalaire ;c’est un vecteur

: différentielle totale de la fonction scalaire ; c’est un scalaire.

Coordonnées cylindriques (r, θ, z) Coordonnées sphériques (r, θ, ϕ)

f x, y,z( )f

dfx dfxf

xx= ∂

∂d dfx f

∂∂f

xf

dff

yyy = ∂

∂d df

f

zzz = ∂

∂d

f df x y z, ,( ) dff

d df x y z ff

xx

f

yy

f

zz, ,( ) = = ∂

∂∂∂

∂∂

d + d + d

i, j,k( ) df

dl

d , d , dx y zi, j,k

( )( ) f grad f

grad ff

xi

f

yj

f

zk= + +

∂∂

∂∂

∂∂

df f lf

xx

f

yy

f

zz= = ∂

∂∂∂

∂∂

grad d d + d + d.

grad f f

dff

OM = ru + zkr

d d dl r u r u z kr= d + +θ θ

grad ff

ru

r

fu

f

zkr= + +

∂∂

∂∂

∂∂

1θ θ

df f lf

rr

f f

zz= = ∂

∂∂∂

∂∂

grad d d + d + d.θ

θ

OM = rur

d d sin d l r u r u r ur= d + +θ θ ϕθ ϕ

grad sin

ff

ru

r

fu

r

fr= + +

∂∂

∂∂

∂∂

1 1θ θθ ϕϕ ϕ u

df f lf

rr

f f= = ∂∂

∂∂

∂∂

grad d d + d + d.θ

θϕ

ϕ

252

Page 259: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche B • Éléments d’analyse vectorielle

c Opérateur gradient : le gradient est un opérateur, noté (nabla), que l’on peut appliquer àune fonction. Ses composantes dans les différents systèmes de coordonnées sont :

B. ROTATIONNEL ET DIVERGENCE

c Divergence : la divergence d’une fonction vectorielle est le produit scalaire de l’opéra-

teur nabla et du vecteur :

Par exemple en coordonnées cartésiennes, on obtient :

c Rotationnel : Le rotationnel d’une fonction vectorielle est le produit vectoriel de l’opéra-teur nabla et du vecteur :

Par exemple en coordonnées cartésiennes, on obtient :

C. THÉORÈME DE STOKES Considérons un contour fermé (C) et une surface fermée S s’appuyant sur ce contour. La cir-

culation de tout vecteur sur le contour s’écrit sous la forme :

D. THÉORÈME DE GREEN-OSTROGRADSKI Considérons une surface fermée S délimitant un volume V. Le flux de tout vecteur à traversla surface S peut s’écrire sous la forme :

Coordonnées cylindriques Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques

: divergence de la fonction vectorielle ; c’est un scalaire

: opérateur nabla

: divergence de la fonction vectorielle ; c’est un vecteur

: opérateur nabla

∂∂∂∂∂∂

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

x

y

z

∂∂

∂∂

∂∂

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

r

r

z

∂∂

∂∂

∂∂

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

sin

r

r

r

1

θ ϕ

A

A

div A A= ∇.div A A

div AA

x

A

y

A

zx y z=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

AA

rot A A= ∇ ∧rot A A

rot AA

y

A

zi

A

z

A

xz y x z=

∂∂

−∂

⎝⎜

⎠⎟ +

∂∂

−∂∂

⎝⎜⎞

⎠⎟⎟+

∂−

∂∂

⎝⎜

⎠⎟j

A

x

A

yky x

A

A l rot A SS

. .d d ( )C

∫ ∫∫=

A

A dS div A dVS

.∫∫ ∫∫∫=V

253

Page 260: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

C Notation complexe

Un signal est périodique lorsque son amplitude se reproduit au cours du temps. Celui le plusutilisé est sinusoïdal, comme la tension délivrée par une prise de courant. Afin de faciliter lesrésolutions mathématiques, un signal sinusoïdal peut s’écrire en représentation complexe.

1. A) LE SIGNAL SINUSOÏDAL

f : fréquence en Hertz (Hz), nombre de périodes en une secondeϕ : phase à l’origine en radian (rad), comprise entre et , c’est la phase à l’origine dusignal.

B. LA NOTATION COMPLEXE

À correspond le signal complexe

obtenu en ajoutant au signal réel le terme « imaginaire » .

Or .

Le nombre complexe est appelé amplitude complexe du signal.

Un signal x (t) est sinusoïdal lorsque l’amplitude variesinusoïdalement. Il peut alors s’écrire sous forme

mathématique : .

Xmax : amplitude du signal. Elle s’exprime dans lamême unité que le signal. Le signal oscille donc entre– Xmax et + Xmax

T : Période en seconde (s), durée d’une oscillation : x (t + T) = x (t).

ω : pulsation du signal en rad.s–1. Elle est liée à la

période T par :

Signal réel Représentation complexe

avec

La représentation complexe n’a pas de sens phy-sique. Seule la partie réelle en a une.

x t X t( ) = +( )max cos ω ϕ

ω π π= =22

Tf

x (t)

Xmax

-- Xmax

Xmax cos(ϕ)

T

t

−π +π

x t X t( ) = +( )max cos ω ϕ

x t X t t( ) = +( ) + +( )⎡⎣max cos sinω ϕ ω ϕj

jX tmax sin ω ϕ+( )x t X t t X e

t( ) = +( ) + +( )⎡⎣ ⎤⎦ = =+( )max maxcos sinω ϕ ω ϕ ω ϕ

jj

XX e e tmax

j jϕ ω

x t X t( ) = +( )max cos ω ϕ x t Xe t( ) = jω X X e= maxjϕ

x x( ) ( ( ))t t= ℜe

X

254

Page 261: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche C • Notation complexe

c Rappels : Un nombre complexe , désigné par un trait sous son expression, s’écrit :

Ce nombre peut également s’écrire :

– Exponentielle complexe : ; ;

; .

c La notation complexe permet de calculer facilement les dérivées et les intégrales :

C) LA REPRÉSENTATION DE FRESNELCelle-ci correspond à la représentation du signal complexe dans le plan complexe.

La grandeur physique étudiée est la projection de ce vecteur sur l’axe .La représentation de Fresnel est utilisée pour visualiser facilement le déphasage de différentssignaux de même pulsation. L’ensemble des vecteurs tournant à la pulsation sans se défor-mer, les amplitudes complexes sont représentées dans la construction de Fresnel.Considérons le signal et sa dérivée.

En utilisant les notations complexes : d’amplitude complexe . Sa dérivée

est : d’amplitude complexe

a : partie réelle de .

b : partie imaginaire de .

j, nombre complexe tel que

: module de , noté

: argument de , noté

Opération Écriture temporelle Écriture complexe

Dérivation de x (t)

Intégration de x (t)

Soit le signal . Le signal complexe associé est :

Dans le plan complexe, ce signal complexe estreprésenté par un vecteur dont :– la norme est égale à l’amplitude A du signal – l’angle par rapport à l’axe est égal à la phasedu signal .Ce vecteur tourne avec une vitesse angulaire .

z

z a b= + j

z a z= ℜ ( )ez b z= ℑ ( )m

j2 1= −

z ze

z z z

== +

j

j

ϕ

ϕ ϕcos sin

z z z z a b= +2 2

ϕ z arg z( ) ϕ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Arcb

atan

e jϕ ϕ ϕ= ⇒ =0 1e j ϕ π π πϕ= ⇒ = + = − e j jcos sin 1

ϕ π π πϕ= ⇒ = + =2 2 2

e j j jcos sin ϕ π π πϕ= − ⇒ = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − =2 2 2

1e jj j

jcos sin

dd

d

dx xt

tt

t( ) = ℜ

( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

e d

dj

xx

tt

t( )

= ( )ω

x xt t t t( )∫ = ℜ ( )∫[ ]d de xx

t tt( )∫ =

( )d

x(t)(x)

A

ωt + ϕ

+

Im(x) x t A t( ) = +( )cos ω ϕ

x t A t A t( ) = +( ) + +( )cos sinω ϕ ω ϕj

ℜeω ϕt +( )

ωx t( ) ℜ e

ω

x t A t( ) ( )= +cos ω ϕ

x t Ae t( ) = +( )j ω ϕ X = Ae jϕ

z t Aex t

tj t( ) == +( )d

d( )

jω ω ϕ Z = =+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟j Ae Aeω ϕ ω

ϕ πj

j2

255

Page 262: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Fiche C • Notation complexe

Représentons ces deux amplitudes complexes enreprésentation de Fresnel.

Un angle de + est observé entre les deux vecteurs.

On dit que le signal est en avance de phase de

par rapport au signal .

Représentons ces deux signaux au cours du temps :

un déphasage de est observé.

π2

z t( ) π2

x t( )

+

ϕ

AωωωA

mI

T

4t

x(t)

z(t)T/4

256

Page 263: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

257

AAbscisse curviligne 7Accélération 4

absolue 16d’entraînement 16relative 16de Coriolis 16de la pesanteur 9

Analogie électromécanique 125Angle

de déviation 210de réfraction 204d’incidence 204

Approximationacoustique 192des régimes quasistationnaires 105

BBande passante 138, 143Base de Frenet 7

CCalorimétrie 63Capacité

thermique 59d’un condensateur 112, 162

Caractéristiquedynamique 113statique 110

Centrede gravité 3d’inertie 3

Chaleur latente 79Champ

d’interférence 234de vision 209électrostatique 148magnétostatique 166

Circulation 154, 170Coefficient de frottement 10

Compositiondes accélérations 16des vitesses 16

Compressibilité 54Condensateur 112, 162

charge du 121énergie électrostatique du 165

Conditions de Gauss 203Conducteur 146

en équilibre électrostatique 160Conducteur ohmique 111Conduction thermique 88Conductivité thermique 88Constante de temps 123Contact thermique 68Convention

générateur 108récepteur 108

Courant électrique 104Courbe de saturation 76

DDébit massique 99Décrément logarithmique 42, 127Densité de charge 149Densité de courant 99Dérivée particulaire 93Détecteurs optiques 231Détente

de Joule-Gay Lussac 72de Joule-Thomson 73

Diagramme de Bode 142Diagramme de Clapeyron 76Diagramme de Raveau 84Différence

de chemin optique 234de marche 234

Diffraction de Fraunhofer 241Diffusion thermique 88Dilatation thermique 54Diode à jonction 112Dipole

Index alphabétique

Page 264: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Index alphabétique

électrocinétique 108électrostatique 156magnétique 178

Dispersion 198relation de 189

Diviseurde courant 117de tension 117

EÉcoulement parfait 100Effet Venturi 103Efficacité 86Électrolyseur 111Énergie

cinétique 24électrique 126électrostatique 164interne 58magnétique 126mécanique 30potentielle 26potentielle de pesanteur 28potentielle élastique 29totale 58

Enthalpie 62Entropie 64

créée 64échangée 64

Équationde d’Alembert 188de diffusion thermique 89de Maxwell 184de Maxwell-Ampère 184de Maxwell-Faraday 184de Maxwell-flux 184de Maxwell-Gauss 184de propagation 192d’état 52d’Euler 100

État stationnaire 52État d’équilibre 36

thermodynamique 52

FFiltre 142Flux

du champ électrostatique 158

du champ magnétique 180Focométrie 220Fonction d’état 58Fonction de transfert 142Force 3

centrale 34conservative 26de frottement 9de gravitation 9de Laplace 174de liaison 11de Lorentz 174de rappel 10extérieure 49intérieure 49non conservative 26

Foyerimage 215objet 215

GGain 142Générateur

de courant 111de tension 110

Grandissement 218Grossissement commercial 225

IIdentité thermodynamique 66Image

réelle 202virtuelle 202

Impédance complexe 131, 137Indice optique 198Inductance 112

mutuelle 182propre 182

Induction électromagnétique 180Inertie 2Influence

partielle 161totale 161

Intensité électrique 104efficace 134complexe 131

Inténsité lumineuse 231Intensité sonore 193

258

Page 265: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Index alphabétique

259

Interactionfaible 8forte 8gravitationnelle 8électromagnétique 8

Isolant 146

LLentille mince

convergente 214divergente 214

Lignede champ 154, 166de courant 101

Loide Biot et Savart 168de Coulomb 146de Faraday 180de Fourier 88de Kirchhoff 106de Lentz 180de Newton 12de Snell-Descartes 204des aires 35d’Ohm 111d’Ohm complexe 131

Longueur d’onde 187Loupe 224Lunette astronomique 227

MMasse 2Méthode

de Bessel 220de Silbermann 221

Microscope 229Minimum de déviation 211Miroir plan 208Modèle

corpusculaire 199ondulatoire 198

Momentcinétique 32d’inertie 18dipolaire 156d’une force 18magnétique 178

Moteur 85

NNiveau sonore 193Nœud 191

OObjet

réel 202virtuel 202

Œil 222accommodation 222hypermétrope 223myope 223pouvoir séparateur 223réduit 222

Ondeélectromagnétique 196longitudinale 186lumineuse 198monochromatique 186plane 187progressive 186sonore 192sphérique 199stationnaire 187transversale 186

Ondessynchrones 232cohérentes 232incohérentes 232

Ordre d’interférence 234

PParticule fluide 92Période temporelle 186Permittivité électrique 147Plan

d’incidence 204focal 215

Poids 9Point

critique 75triple 75

Point matériel 2isolé 12

Pompe à chaleur 86Potentiel électrostatique 152Poussée d’Archimède 96

Page 266: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Index alphabétique

Pression 56électrostatique 161

Principede superposition 188d’unicité 188de Fermat 200des actions réciproques 14d’Huygens 236d’Huygens-Fresnel 241d’inertie 12fondamental de la dynamique 13premier 59second 64

Prisme 210Puissance

électrique 108moyenne 135d’une force 21Facteur de 135de la loupe 225

QQuadripôle 142Quantité de mouvement 12

RRéférentiel 2

barycentrique 48du centre de masse 48fixe (ou absolu) 16galiléen 3mobile (ou relatif) 16

Réflexion totale 204Réfrigérateur 86Régime

apériodique 41critique 41forcé 45permanent 45pseudo-périodique 41transitoire 46

Relationde Bernouilli 101de Clapeyron 80de conjugaison 218de la statique des fluides 95des réseaux 247

Rendement 85

Repère 3Représentation

de Fresnel 131, 255eulérienne 93lagrangienne 92

Réseau optique 246Résonance

d’amplitude 47de vitesse 47en intensité 138en tension 139

SSources lumineuses 231Stigmatisme 201Surface

équipotentielle 154fermée 158ouverte 158

Systèmediphasique 74fermé 52isolé 52ouvert 52homogène 52

TTempérature thermodynamique 55Temps 2Tension 104

efficace 134complexe 131

Théorèmed’Ampère 171d’Archimède 96de Coulomb 160de Gauss 158de Koenig 51de la quantité de mouvement 49de l’énergie cinétique 24, 50de l’énergie mécanique 50de Millman 117de Pascal 95de superposition 116de Thevenin 116du moment cinétique 50

Thermostat 64Transfert thermique 53

260

Page 267: Maxi fiches de physique   2e +éd - mécanique, thermodynamique, +électricité, ondes, optique

Index alphabétique

261

Transformationirréversible 64quasi statique 53réversible 64spontanée 53, 64

Travaild’une force constante 20élémentaire 20

VVariable

extensive 52intensive 52

Variance 74

Ventre 191Vitesse

absolue 16aréolaire 35d’entraînement 16de la particule fluide 92instantanée 4moyenne 4relative 16

YYoung

bifentes d’ 245trous d’ 236