Probabilités et statistiques 1ère partie

Probabilités et Statistiques

Otheman Nouisser

Ecole Nationale de Commerce et GestionKénitra

20 septembre 2012

Otheman Nouisser ENCG-Kénitra

Plan

1. Chapitre I : Analyse Combinatoire. Dénombrement

1. Chapitre II : Calcul des probabilités

2. Chapitre III : Variables Aléatoires

3. Chapitre IV : Lois usuelles de Probabilités


I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie des ensembles

Introduction

Exemple

Un sac contient 10 boules indiscernables au toucher : 4 boulesblanches, 6 boules noires. On tire simultanément du sac 3 boules.Calculer la probabilité d’avoir : 3 boules blanches.des boules différentes.Les boules sont indescernables, les tirages sont équiprobables.Pour calculer la probabilité il faut d’abord calculer :

Le nombre de tirages possibles de 3 boules parmi 10 : Caspossibles.Le nombre de tirages de trois 3 boules blanches parmi les 4 :cas favorables.



Chap I : Analyse Combinatoire. Dénombrement

DéfinitionL’analyse combinatoire est le développement de quelques techniquespermettant de déterminer le nombre de résultat possibles d’uneexperience particulière. Elle permet de recenser les dispositions qu’ilest possible de former à partir d’un ensemble donné d’éléments.une disposition est un sous ensembles ordonnées ou non d’unensemble.

Les techniques de dénombrements sont utiles pour le calcul deprobabilité des événements équiprobables.



I- Principe multiplicatif

Soit une expérience qui comporte 2 étapes : la 1ère qui a p résultatspossibles et chacun de ces résultats donne lieu à q résultats lors dela 2ème étape. Alors l’expérience a p × q résultats possibles.Autrement dit : Le principe multiplicatif peut s’énoncer ainsi : si unévénement A peut se produire de p façons et si un événement B peutse produire de q façons, la réalisation de A suivie de B peut seproduire de p × q façons.

Remarque

- Si chacune des étapes d’un choix séffectue avec chacune desautres, on applique alors la règle de multiplication.Par contre,- Si un choix peut peut se faire ou bien d’une façon ou bien d’uneautre, on applique la règle d’addition.




Conséquence

Si une expérience consiste à répéter n fois de façons indépendantesune même expérience qui a p résultats possibles, alors on apn = p × p × p · · · × p( n fois) résultats possibles.

Exemple

Une urne contient 4 boules, une noire, une blanche, une rouge et uneverte. On effectue deux tirages successifs avec remise. Combieny-a-t-il de résultats possibles ? Au total il y a 4× 4 = 16.




Conséquence

Si une expérience consiste à répéter n fois de façons indépendantesune même expérience qui a p résultats possibles, alors on apn = p × p × p · · · × p( n fois) résultats possibles.

Exemple

Une urne contient 4 boules, une noire, une blanche, une rouge et uneverte. On effectue deux tirages successifs avec remise. Combieny-a-t-il de résultats possibles ? Au total il y a 4× 4 = 16.




Exemple

Jacques arrive au restaurant. Il désire prendre un repas complet(c’est à dire un potage, un plat de résistance, un légume, un dessertet une boisson). On lui présente un menu à la carte offrant un choixde 6 potages, 4 plats de résistance, 3 légumes, 5 desserts et 8boissons.Combien de repas complets différents jacques peut-il composer ?

Ici, la composition d’un repas complets suppose un choix de potageavec un choix de plat de résistance avec un choix de légume avec unchoix de dessert avec enfin un choix de boisson. Pour calculer lenombre de repas complet qu’il est ainsi possible de composer, onutilise le principe de multiplication.




Illustration de la règle de multiplicationSouvent lorsque on a un problème qui fait appel à la règle demultiplication, on en présente la solution à l’aide de cases adjacentesà l’intérieure on inscrit le nombre de possibilités pour chacune desétapes de choix. Ainsi dans notre exemple on a :

6 4 3 5 8

- on a effectué 5 choix successifs.- Ces choix s’effectuent les uns avec les autres.- Il existe 6 façons d’effectuer le premier de ces choix.- 4 façons pour le deuxième,- 3 façons pour le troisième,- 5 façons pour le quatrième et- 8 façons pour le cinquième ;enfin, le nombre total de possibilités de repas correspond au produitdes nombres qu’on retrouve dans chacune de ces cases, àsavoir :6× 4× 3× 5× 8 = 2880.




Exemple

Jacques vient au restaurant pour prendre une collation ( c’est-à-direou bien un potage, ou bien un sandwich, ou bien un dessert). On luiprésente un menu offrant un choix de 5 potages, 7 sandwiches et 4desserts. Combien de collations différentes peut-il choisir ?

Dans ce cas-ci, comme jacques doit effectuer son choix de la façonsuivante :

P ou bien S ou bien D

P1 ou P2 ou · · ·P5 ou S1 ou · · ·S7 D1 ou · · ·D4.

On doit faire appel à la règle d’addition pour calculer qu’il a5 + 7 + 4 = 16 possibilités de collations différentes.



II- Permutations

DéfinitionUne permutation de n éléments distincts est une dispositionordonnée de ces n éléments.

Exemple

Considérons 4 personnes qui prennent places successivement surun bac à 4 places. Combien de dispositions ordonnées (c.à.dpermutations) existe-t-il ?



II- Permutations

- La première personne a le choix entre 4 places =⇒ 4 dispositionspossibles pour cette personne.- La deuxième personne n’a le choix qu’entre 3 places =⇒ 4× 3dispositions possibles pour ces deux personnes.- La troisième personne n’a le choix qu’entre 2 places =⇒ 4× 3× 2dispositions possibles pour ces trois personnes.- La quatrième personne n’a le choix qu’entre une seule place =⇒4× 3× 2× 1 dispositions possibles pour ces personnes.Ainsi, le nombre de dispositions ordonnées (permutations) est donc :P4 = 4× 3× 2× 1 = 24.



II- Permutations

ThéorèmeLe nombre de permuations de n éléments distincts noté Pn est donnépar :

Pn = n(n − 1)(n − 2) · · · × 3× 2× 1 = n!.

Preuve.Soit n éléments a1, a2, · · · , an.a1 : on peut le mettre dans n’importe qu’elle case, donc on a npossibilités.a2 : on peut le mettre dans n − 1 cases, donc il y a n − 1 possibilités....an : on peut le mettre dans une case, donc une seule possibilités.D’où il y a n(n − 1) · · ·2 = n! dispositions ordonnées.



II- Permutations

Exemple

1- Donner le nombre des permutations qu’il est possible de formeravec les éléments a, b, c.2- Une étudiante a reçu 5 livres différents en cadeau. De combien defaçons peut-elle les disposer entre des appuis-livres ?

L’étudiante doit simplement disposer ses livres différents l’un à cotéde l’autre., c.à.d., une permutation de 5 éléments. Ainsi le nombre dedispositions est le nombre de permutation qui égale à 5!.



II- Permutations

Exemple

1- Donner le nombre des permutations qu’il est possible de formeravec les éléments a, b, c.2- Une étudiante a reçu 5 livres différents en cadeau. De combien defaçons peut-elle les disposer entre des appuis-livres ?

L’étudiante doit simplement disposer ses livres différents l’un à cotéde l’autre., c.à.d., une permutation de 5 éléments. Ainsi le nombre dedispositions est le nombre de permutation qui égale à 5!.



Arrangement (Sans répétition)

DéfinitionUn arrangement de p éléments parmi n, désigne toute dispositionordonnée de p éléments distincts parmi n éléments distincts (larépétition n’étant pas permise). C’est une façon de ranger p élémentsdistincts pris parmi n éléments distincts en tenant compte de l’ordre.

Remarque

Si p ≤ n (répétition non permise)Si p = n : un arrangement est une permutation.



III- Arrangement (Sans répétition)

Exemple

Considérons 7 personnes qui sont condidats pour occuper 3 postes.De conbien de façon différentes peut-on pourvoir ces 3 postes.- Pour le 1er poste on a 7 possibilités.- Pour le 2ème poste on a 6 possibilités.- Pour le 3ème poste on a 5 possibilités.Au total, il y a 7× 6× 5 = 210 possibilités.




D’une manière général, on a le résultat suivant

Théorème

Le nombre d’arrangements de p éléments choisis parmi n noté Apn est

donné par :

Apn = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − p + 1) =

n!

(n − p)!.

PreuvePour la première place on a n possibilités.Pour la deuxième place on a n − 1 possibilités.de proche en proche on a :Pour la pième place on a :n − p + 1 possibilités.

Ainsi, au total il y a n × (n − 1)× · · · × (n − p + 1) =n!

(n − p)!.




Exemple

Combien de tiercés peut-on fomrer si une course comporte 12cheveaux ?C’est un arrangement de 3 parmi 12 donc le nombre de tiercés estA3

12 = 12!9! = 1320.

Remarque

Un arrangement avec répétition de p éléments parmi n est unedisposition ordonnée de p éléments avec autant de répétition que l’onsouhaite.Le nombre d’arrangements avec répétition est de np.



IV- Combinaisons (sans répétition)

DéfinitionUne combinaison de p éléments parmi n est une dispositionnon-ordonnée de p éléments distincts choisis parmi n élémentsdistincts.

Remarque

L’ordre n’intervient pas ici. Par exemple les ensembles suivants sontpareils : a,b,c=a,c,b=b,a,c=b,c,a.

Exemple

Considérons l’ensemble E = 1, 2, 3. Le nombre des combinaisonsde deux éléments choisis parmi les 3 éléments est 3 à savoir1, 2; 1, 3; 2, 3.




D’une manière générale, on a le résultat suivant.

ThéorèmeLe nombre de combinaisons de p éléments choisis parmi n éléments,noté Cp

n , est donné par :

Cpn =

n!

p!(n − p)!.

PreuveA partir d’une combinaison de p éléments on peut faire p!arrangements, c.à.d.,

Apn = p!Cp

n =⇒ Cpn =

1p!

Apn.




Proposition

C0n = Cn

n = 1

C jn+1 = C j−1

n + C jn

(a + b)n =n∑

k=0

Ckn ak bn−k Formule de Binôme de Newton.




Exemple

Une "main" est constituée de 13 cartes placées dans un ordrequelconque. Calculer le nombre de "mains" distinctes susceptiblesd’être formées à partir d’un jeu de 52 cartes ?C’est une combinaison de 13 parmi 52, donc le nombre de mainsest :

C1352 =

52!

39!13!= 635013560000.



V- Permutation avec répétition

ThéorèmeLe nombre de permutation de n objets dont n1 sont semblables, n2

sont semblables, · · · , nk sont semblables est :n!

n1!n2! · · ·nk !.

Exemple

Quel est le nombre d’anagrammes différents ayant un sens ou nonqu’il est possible de former avec les lettres du mot : SES.Ce mot comporte deux fois la lettre S. On notera S1, S2, E, alors lespossibiltés qu’on a sont :

ESS =

ES1S2ES2S1

, SSE =

S1S2ES2S1E , SES =

S1ES2S2ES1

Le nombre d’angrammes avec les lettres indexées est P3 = 3! = 6,mais si on élimine la répétition on a : 3!

2! = 3.



V- Permutation avec répétition

Exemple

Refait le même exemple avec les mots : TETE et CASABLANCA.



VI- Echantillonage

DéfinitionSoit une population de n éléments. On appelle un échantillon de taillek, toute suite ordonnée de k éléments de cette population.

Exemple

On extrait r boules l’une après l’autre d’une urne contenant n boules.On considère deux cas :i) Echantillon non-exhaustifs (avec remise) : Dans ce cas avant detirer une nouvelle boule, on remet dans l’urne la boule qu’on vientd’extraire, il y a n façons différentes d’extraires chaque boule, et doncil y a n × n × n × · · · × n = nr exhantillon non-exhaustif difféfents detaille r .ii) Echantillons exhaustifs ( sans remise) : ici on ne remet pas laboule tirée, c’est donc un arrangement sans répétition de r objetsparmi n, il y a donc Ar

n échantillon exhaustif de taille r .



VI- Echantillonage

Exemple

De combien de façon peut-on tirer l’une après l’autre, 3 cartes d’unjeu de 52 cartes.i) Si le tirage est non-exhautif : il y a (52)3 façons.ii) Si le tirage est exhaustif : il y a A3

52 façons.



VII- Notion sur la théorie des ensembles

Définitions et propriétés

- Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments.- L’ensemble vide noté ∅ est l’ensemble qui ne contient aucunélément.- Soit Ω un ensemble.Un ensemble A est dit un sous-ensemble de Ω ou une partie de Ω sitous les éléments de A sont des éléments de Ω.L’ensemble des parties de Ω est noté P(Ω).

Exemple

Donner l’ensemble des parties de Ω = a, b, c.

P(Ω) = a, b, c, a, b, a, c, b, c, a, b, c, ∅.





Soient Ω, A, B ∈ P(Ω)

Inclusion : A ⊂ B signifie que tous les éléments de A sontdans B.

A * B signifie qu’il existe au moins un élément de An’appartient pas à B.

Complémentaire : A est l’ensemble des éléments de Ω quin’appartiennent pas à A appelécomplémentaire de A.

Union : A ∪ B : (x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ou x ∈ B).Intersection : A ∩ B : (x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A et x ∈ B).




Remarque

1- A ∪ A = A; A ∩ A = A; A ∪ ∅ = A; A ∩ ∅ = ∅,2- Si A ⊂ B alors A ∪ B = B et si A ⊂ B alors A ∩ B = A.


A et B sont dits disjoints si et seuleument si A ∩ B = ∅.A\B = A ∩ B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à Aet qui n’appartiennent pas à B.




Proposition

Soient A, B, C des parties de Ω, on a :

A ∪ B = B ∪ AA ∩ B = B ∩ AA ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)A ∩ (B ∪ c) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∩ B = A ∪ BA ∪ B = A ∩ B



VIII- Notion de cardinal

Si Ω a un nombre fini d’éléments, alors pour tout A ∈ P(Ω), alors A aégalement un nombre fini d’éléments.cardinal de A, noté card(A) est le nombre d’éléments de A.

Proposition

card(A) = card(Ω)− card(A)card(A ∪ B) = card(A) + card(B)− card(A ∩ B)card(A \ B) = card(A)− card(A ∩ B)card(∅) = 0


Science

Probabilités et statistiques 1ère partie