TIPE Les milieux granulaires

Les milieux granulaires : entre fluide et solidedossier personnel

Benoit Halinger, Steren Giannini

20 juin 2006

Table des matieres

Introduction 2

Notions preliminaires 20.1 Definition d’un milieu granulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2 Tenseurs de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 L’effet de voute 31.1 La propagation des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 L’experience du silo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Modelisation physique : Approche de Janssen . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Les Ecoulements denses 92.1 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1 Experience du plan incline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.2 Experience du tambour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Modelisation des ecoulements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.1 le tas de sable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2 Equations moyennees dans l’epaisseur . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Conclusion 18

Bibliographie 19

Contacts 19

Annexe 20

1

0.1 Definition d’un milieu granulaire TABLE DES MATIERES

Introduction

Au repos ou en ecoulement, la matiere en grains ne manque pas de surprendre par sesproprietes particulieres entre solides et liquides...

Les enjeux

Les materiaux granulaires sont presents dans de nombreux secteurs industriels, cepen-dant leur etude reste tres recente. La description de leur comportement et la comprehen-sion des phenomenes observes est donc primordiale.

Une dualite Liquide/Solide

Le grand nombre de particules constituantes et la complexite des interactions decontact conduisent a une multitude de comportements differents. Ainsi les milieux gra-nulaires existent sous plusieurs etats.

On observe donc un comportement solide sous certaines solicitations, liquide sousd’autres, mais egalement des comportements ayant simultanement les proprietes de cesdeux etats.

Le sablier

L’observation anodine d’un sablier souleve a elle seule de multiples interrogations :Contrairement a la clepsydre, pourquoi le sablier conserve-t-il un debit constant ? Pour-quoi le tas inferieur garde-t-il le meme angle de talus au cours du remplissage ?

Notions preliminaires

0.1 Definition d’un milieu granulaire

On appelle ici un milieu granulaire un milieu forme d’une collection de particulesmacroscopiques de taille superieure a 100µm. En minorant la taille de ces grains, on peutnegliger les forces de Van der Walls, les ponts capillaires, les mouvements browniens etles forces electrostatiques entre les particules.

0.2 Tenseurs de contraintes

On souhaite decrire le milieu granulaire comme un materiau continu. On introduitalors le tenseur des contraintes, qui represente les forces surfaciques s’exercant sur lui.On le definit pour un element rectangulaire elementaire de materiau.[cf schema 1]

En deux dimensions, les composantes du tenseur des contraintes sont les suivantes :– σxx la composante normale, selon −→ex , des forces surfaciques s’exercant sur les faces

verticales– σzz la composante normale, selon −→ez , des forces s’exercant sur les faces horizontales– σxz la composante tangentielle (force de cisaillement), selon −→ez , des forces s’exercant

sur les faces verticales

2

1 L’EFFET DE VOUTE

Fig. 1 – Le tenseur des contraintes en 2 dimensions

– σzx la composante tangentielle (force de cisaillement), selon −→ex , des forces s’exercantsur les faces horizontales.

D’un point de vue mecanique, c’est le mode de transmission des contraintes qui de-termine l’etat physique du milieu. Dans le cas d’un liquide, les contraintes tangentes sontnulles, et les contraintes normales sont egalement transmises dans toutes les directions etdans tout le milieu. Dans le cas d’un solide, au contraire, les contraintes tangentes sontsouvent non-nulles et σxx peut etre different de σzz (une telle difference, la contraintedeviatorique, met systematiquement un liquide en mouvement : les liquides ne peuventpas transmettre de contrainte deviatorique).

Les contraintes dans un milieu granulaire

Le caractere bivalent des milieux granulaires, entre solides et liquides, se manifeste auniveau des contraintes, puisque la contrainte deviatorique y est generalement non-nulle,mais il existe une valeur limite au-dela de laquelle le milieu s’ecoule. (cette valeur estproportionnelle a la pression moyenne σxx+σzz

2qui s’exerce sur le milieu, ce qui explique

que lorsque l’on appuie sur un tas de sable, on s’enfonce, mais au fur et a mesure lapression est de plus en plus importante, le milieu s’ecoule de moins en moins, le sabledevient solide sous la pression du doigt !)

1 L’effet de voute

1.1 La propagation des contraintes

Lorsqu’un ensemble de grains est mis sous contrainte, la transmission des forces esttres inhomogene. Certains grains ne sont pratiquement pas sous contrainte, alors quetoute la charge repose sur d’autres. Ces derniers font parties de ”chaines de forces” bienmarquees.

Une experience consiste a exercer une pression sur un empilement de cylindres consti-tue d’un materiau birefringeant. (voir photo 2. On peut observer les chaınes de forces entre

3

1.2 L’experience du silo 1 L’EFFET DE VOUTE

Fig. 2 – Experience de photoelasticite

deux polariseurs croises : les cylindres sont d’autant plus lumineux qu’ils sont soumis aune contrainte importante. La repartition des forces est manifestement tres heterogene.

experience en direct : effet de voute dans le tube d’efferalgan

1.2 L’experience du silo

Nous allons ici observer une consequence de cette propagation particuliere des forcesdans un materiau granulaire. L’experience consiste a mesurer le poids a la base d’unsilo contenant un volume determine de matiere en grains. Les materiaux sont egalementun parametre d’etude : Nous avons utilise du sable sec dont les grains sont d’un dia-metre moyen autour du millimetre pour notre premiere manipulation (photo 3a). Pourla seconde, nous avons utilise des granules de plastique de forme cylindrique dont lesdimensions sont de quelques millimetres.(photo 3b)

Apres de multiples remaniments, le dispositif final de la manipulation est le suivant(voir schema de la figure 4) :

– un silo transparent gradue en ”diametres” relie solidement et d’une maniere tresrigide au sol.

– une balance presice capable de soutenir un poids maximal d’environ 4kg.– un systeme de piston qui transmet les forces de pression a la base du silo vers la

balance. Celui-ci doit coulisser sans frotter dans le silo. Il est present pour eviter lesfuites de grains.

4


Fig. 3 – Presentation des dispositifs

Fig. 4 – Schema du dispositif

5


Mesure Hauteur Photo Schema Poids apparent mesuresable grains plastiques

n 1 D 420g 150g

n 3 2D 624 200g

n 5 3D 700g 200g

Tab. 1 – Recapitulatif des observations

On observe alors plusieurs phases lors du remplissage progressif du silo (voir tableau1 et courbes de la figure 5) : Pour de faibles hauteurs de grains, le poids mesure augmentelineairement avec le volume de grains verse. Ce qui est tres naturel car c’est le cas desfluides. Cependant au dela d’une hauteur de l’ordre de deux fois le diametre du silo, lepoids mesure reste casiment toujours le meme. Il tend vers une valeur constante, ce quidiffere des fluides ordinaires.

Ces phenomenes observes decoulent de la dualite liquide/solide qui regit un materiaugranulaire : Une telle matiere ne peut etre decrite comme un fluide classique dont le poidsest directement mesurable a la base du recipient qui le contient, le materiau presente doncsimultanement des caracteristiques d’un liquide et d’un solide.Sur le principe de la voute architecturale, le poids des grains est en partie supporte parles paroies du silo.

6


Fig. 5 – Poids apparent a la base du silo

7

1.3 Modelisation physique : Approche de Janssen 1 L’EFFET DE VOUTE

1.3 Modelisation physique : Approche de Janssen

On considere un silo cylindrique de diametre D remplit d’un materiau granulaire. Lemodele choisit a ete propose par Janssen en 1895, il reste d’une grande simplicite.

il est base sur 3 hypotheses :

1. les contraintes verticales σzz ne dependent que de la variable d’espace z

2. le milieu frotte sur les parois laterales et se trouve sur le point de glisser : T = µsN(avec µs le coefficient de frottement statique)

3. la contrainte verticale σzz appliquee sur le materiaux engendre une contrainte hori-zontale σxx qui lui est directement proportionnelle : σxx = Kσzz. (K etant constante,pour un fluide la pression est isotrope on aurait K = 1)

Equilibre d’une tranche elementaire de materiau [z, z + dz] :

Fig. 6 – Systeme etudie : tranche cylindrique de diametre D

bilan des efforts : poids, forces de pression en z et en z +dz, forces de frottement avecla paroie.

En projetant le theoreme fondamental de la statique sur l’axe vertical :

ρgdzπD2

4+

πD2

4(σzz|z − σzz|z+dz) − πDdzT = 0 (1)

ce qui devient en utilisant les hypotheses :

dσzz

dz= ρg − 4Kµs

Dσzz (2)

Sachant que σzz est nulle a la surface z = 0, on en deduit que la contrainte verticaleσzz est donne par :

σzz(z) = ρgλ(1− ez/λ) (3)

8

2 LES ECOULEMENTS DENSES

Fig. 7 – Contrainte verticale

avec λ =4D

µsKqui represente une longueur caracteristique du systeme. Pour des

valeurs classiques de K ' 0, 5 et µs ' 1, on a λ ' 2D.on observe l’existence de deux regimes :– un regime hydrostatique (z << λ) : la pression augmente lineairement avec la

hauteur comme pour un fluide classique (σzz = ρgλ)– un regime sature (z >> λ) : la pression sature et devient constante (σzz = ρgz)

On peut egalement remarquer que la longueur caracteristique diminue quand le coefficientde frottement augmente. Ce qui est plutot naturel car ce dernier traduit la capacite qu’ala paroie a retenir la masse de grains.

Poids apparent :

On remarque alors que la contrainte verticale reste constante au dela des hauteurssuperieures a λ (c’est a dire deux fois le diametre du silo). Ainsi une fois depasse lahauteur λ tout ajout de materiau dans le silo n’affecte plus la pression au fond : lesurplus de poids est supporte entierement par la friction sur les paroies. On observe alorsun poids apparent constant a la base du silo.

Nos resultats experimenteux sont en accord avec la modelisation theorique. Le simplemodele de Janssen permet donc de justifier les observation pratiques realisees.

2 Les Ecoulements denses

On entend par ecoulements denses des ecoulements s’effectuant le long d’une surface,de maniere ”coulante”, par oppposition aux ecoulements tres rapides lors desquels le milieugranulaire s’apparente a un gaz (avalanche en aerosol).

9

2.1 Observations 2 LES ECOULEMENTS DENSES

2.1 Observations

Duplicite des angles

On constate experimentalement que pour chaque type de grains, tous les tas formesde ces grains ont un meme angle, appele angle de talus. Mais, au-dela de ce point devue statique, on remarque aussi que lors d’un ecoulement, sur un plan incline ou dans untambour par exemple, il existe deux angles : un angle de depart ou d’avalanche, et unangle d’arret, plus petit.

Fig. 8 – L’angle de talus reste constant quelle qeue soit l’echelle

2.1.1 Experience du plan incline

Pour mettre en evidence ces deux angles, nous avons realise un dispositif de plan in-cline.On depose une couche de sable sur une plaque de bois recouverte de toile Emeri (pour larugosite), dont on modifie l’inclinaison, jusqu’a ce que le milieu s’ecoule. L’angle mesurea la fin de l’avalanche est plus petit que l’angle de depart.

Fig. 9 – L’experience du plan incline - Principe

Ainsi on mesure un angle de stabilite maximum de 38 , et un angle de repos (oud’arret) de 34 .

10

2.1 Observations 2 LES ECOULEMENTS DENSES

Fig. 10 – Dispositif utilise

Fig. 11 – Resultats - angle de depart et angle d’arret

11

2.2 Modelisation des ecoulements 2 LES ECOULEMENTS DENSES

Fig. 12 – Experience du tambour, dispositif de l’ENSIC

2.1.2 Experience du tambour

particularites.. 2 zones apparaissent : une zone importante ou les grains tournent deconcert avec le tambour, et une zone en forme de croissant ou les grains s’ecoulent a lamaniere d’un fluide. / 2 angles differents directmt visibles par experience a effectuer dvtjury.

2.2 Modelisation des ecoulements

2.2.1 le tas de sable

Nous allons tenter dans ce paragraphe de simuler sommairement le comportementd’un tas de sable.

Le systeme etudie est un demi tas en 2 dimensions. Celui-ci est discretise, il esten realite represente par une liste de valeurs, ces valeurs etant les hauteurs de chaque”collonne de grains”.

Il est regit par quelques regles simples qui vont determiner son evolution :Une boucle dans le programme determine s’il doit y avoir effondrement ou non. Se-

lon la figure 13, la colonne de grains est jugee instable si elle depasse au moins de troisgrains sa voisine. Dans ce cas l’effondrement entraine avec lui deux grains (voir plus sila difference etait superieure a 3). Ceci traduit l’existence de friction entre les grais : ungrain qui s’effondre entraine avec lui d’autres grains.

On genere ensuite un tas initialement stable avec un algorithme base sur des choixaleatoirs. Ce tas va maintenant etre utilse pour diverses simulations.

12


Fig. 13 – Regles simples regissant le systeme

ecrans observations

Tas initial genere, au repos.

Tas apres le declanchement d’une avalanche, au repos.

Superposition des deux resultats precedents :on constate que l’angle du tas apres l’avalancheest inferieur a l’angle initial.

Tab. 2 – Angles du tas avant et apres une avalanche

La premiere simulation est la suivante : nous creons une perturbation en ajoutant unou deux grains a une hauteur donnee. Ainsi cette perturbation va, a l’iteration suivante,declancher une avalanche suivant les regles initiales. Le systeme evolue alors jusqu’a unesituation de repos apres un certain nombre d’iterations.

L’objectif est ici de comparer l’angle avant l’avalanche et l’angle apres l’avalanche. Lesresultats de la simulation sont presentes dans la tableau 2.Cette simple simulation numerique aboutit ainsi au meme resultat que nos observationsinitiles du plan incline.

La seconde simulation consiste a ”deverser”en continue une certaine quantite de grainsau sommet du tas. Nos observations se limitent a l’observation de la geometrie du tas.

13


ecrans observations

Tas initial genere, au repos.

Tas apres l’ajout d’une grandequantite de grains a son sommet.

Tab. 3 – Angle de talus a differente echelles

Comme pour la simulation precdedente, des avalanches ont lieu. On constate cepen-dant (voir tableau 3) que les tas ainsi crees possedent regulierement le meme angle quele tas initial. Il sagit de l’angle maximal observable.Ceci n’est autre que l’observation de l’existence d’un angle de talus : peu importe la tailledu tas considere, l’angle maximal qu’on peu esperer atteindre reste le meme.

14


2.2.2 Equations moyennees dans l’epaisseur

Les equations moyennees de l’epaisseur, etablies en 1989, permettent de rendre comptede l’evolution de l’ecoulement d’un milieu granulaire sur un plan incline d’un angle θ.

Fig. 14 – description du systeme etudie

Conservation de la masse

On considere un volume virtuel τ , fixe dans l’espace, limite par une surface fermee Σ,et plonge dans un fluide en deplacement dont la densite est ρ et la vitesse −→v . Pendantun temps dt, la masse m presente dans ce volume varie donc d’une quantite

dm

dt=

d

dt

∫∫∫τ

ρdV =

∫∫∫τ

∂ρ

∂tdV (4)

puisque le volume est fixe dans l’espace.

de plus l’hypothese d’incompressibilite assure que∂ρ

∂t= 0. Donc immediatement

dm

dt= 0 (5)

or l’element de surface−−→d2S de Σ est traverse par un flux de masse ρ

−−→d2S−→v dt. On peut

donc ecrire

dm

dt= −

∫∫Σ

ρ−→v−−→d2S (6)

15


D’ou en utilisant le theoreme d’Ostrogradsky∫∫∫τ

div(ρ−→v )dV = 0 (7)

ceci etant valable pour tout volume τ , on en deduit

div−→v = 0 (8)

ce qui s’ecrit encore dans le cas de notre probleme plan, avec−→v = u(x, z, t, )−→ex +v(x, z, t)−→ez ,

∂u

∂x+

∂v

∂z= 0 (9)

Conservation de la quantite de mouvement

∫∫∫τ

∂ρ−→v∂t

dV︸︷︷︸quantite de mouvement

= −∫∫

Σ

ρ−→v (−→v .−−→d2S)︸︷︷︸

flux de la quantite de mouvement

+

∫∫Σ

[σ]−−→d2S︸︷︷︸

forces de surface

+

∫∫∫τ

−→F dV︸︷︷︸

forces de volume (poids ρ−→g )

(10)Nous allons ramener chaque integrale surfacique en integrale volumique en utilisant

le theoreme d’Ostrogradsky

Concernant les forces de surface :∫∫Σ

[σ]−−→d2S =

∫∫∫τ

−→div[σ]dV (11)

ou (−→div[σ])x =

∂σxx

∂x+

∂σxy

∂y+

∂σxz

∂z

Concernant le flux de la quantite de mouvement :

∫∫Σ

ρ−→v (−→v .−−→d2S) =

∫∫∫τ

(div(ρvx

−→v)−→ex +div(ρvy

−→v )−→ey +div(ρvz−→v )−→ez

)dV )(12)

=

∫∫∫τ

(ρ(−→v .

−−→grad)(−→v ) +−→v div(ρ−→v )

)dV (13)

=

∫∫∫τ

ρ(−→v .−−→grad)(−→v )dV (14)

Ainsi on tire de (10) :

∂ρ−→v∂t

= −ρ(−→v .−−→grad)(−→v ) +

−→div[σ] +

−→F (15)

on reconnait ici la derivee particuliere

Dρ−→vDt

=−→div[σ] +

−→F (16)

16


Equations des ecoulements

la conservation de la masse et de la quantite de mouvement donnent donc les troisequations suivantes dans le cas de notre probleme plan

∂u

∂x+

∂v

∂z= 0 (17)

ρ(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂z

)= ρg sin θ − ∂σxx

∂x− ∂σxz

∂z(18)

ρ(∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂z

)= −ρg cos θ − ∂σxz

∂x− ∂σzz

∂z(19)

L’obtention des equations moyennees s’effectue en deux etapes. La premiere etapeconsiste a utiliser l’hypothese de couche mice pour negliger des termes dans les equationsprecedentes. La seconde etape consiste a integrer les equations le long de z.

Afin de pouvoir comparer les ordres de grandeur des differents termes des equationsprecedentes, des variables adimensionnees notees avec une tilde sont introduite. L’echellede grandeur selon x est notee L et l’echelle de l’epaisseur de la couche est H. l’hypothesede couche mince signifie que le parametre ε = H/L est petit. l’adimensionnement estchoisi comme suit :

x = xL z = zH t = t√

g/L

u = u√

g/L v = v√

g/L

σxx = σxxρgH cos θ σzz = σzzρgH cos θ σxz = σxzρgH sin θ

l’addimentionnement permet donc de transformer les equations de conservation de laforme :

∂u

∂x+

∂v

∂z= 0 (20)

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂z= sin θ − ε cos θ

∂σxx

∂x− sin θ

∂σxz

∂z(21)

ε(∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂z

)= − cos θ − ε sin θ

∂σxz

∂x− cos θ

∂σzz

∂z(22)

Si on neglige ε la derniere equation (22) devient

∂σzz

∂z= −1 (23)

par integration de cette equation, en considerant que la pression est nulle a l’interface,on obtient l’expression de la pression verticale dimensionnee :

σzz = ρg cos θ(h− z) (24)

17


Obtention des equations finales

Dans le but d’obtenir les equations finale, il faut maintenant integrer les equationssuivant z.

En ce qui concerne l’equation (20) qui traduit la conservation de la masse, on utilise

le fait que v =∂h

∂t, ainsi en integrant suivant z :

∂h

∂t+

∂(hu)

∂x= 0 (25)

Pour les equations de la conservation de la quantte de matiere,nous supposons de plusque la contrainte normale horizontale est proportionnelle a la contrainte normale verti-cale : σxx = kσzz. Pour une pression isotrope : k = 1, ce qui est le cas pour les fluides.Concernant les milieux granulaires cette hypothese n’a rien d’evident.

Donc en utilisant σzz = ρg cos θ(h− z) et σxx = kσzz, l’equation (18) devient donc :

ρ(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂z

)= ρg cos θ

(tan θ − k

∂h

∂x− ∂τ

∂z

1

ρg cos θ

)(26)

en notant τ = σxz

On utilise enfin le fait que dans l’hypothese de la couche mince, la vitesse selon ex estindependante de z. Ainsi par integration suivant z :

ρh(∂u

∂t+ u

∂u

∂x

)= ρgh cos θ

(tan θ − k

∂h

∂x− τ

ρgh cos θ

)(27)

La contrainte interfaciale τ qui traduit la rheologie du materiau peut, a l’aide d’uneloi de friction, etre remplacee par µρgh cos θ, ie une contrainte tangentielle proporionnellea la contrainte normale. µ represente ici le coefficient de friction.

Finalement les equations moyennees dans l’epaisseur sont :

∂h

∂t+

∂(hu)

∂x= 0 (28)

ρh(∂u

∂t+ u

∂u

∂x

)= ρgh cos θ

(tan θ − k

∂h

∂x− µ

)(29)

On interprete aisement la derniere equation (29) : l’acceleration est compensee parune force de gravite, une force de friction au fond et une force d’etalement.

Conclusion

Finalement, les milieux granulaires, de par leur mode particulier de transmission descontraintes, par les voutes qui les soudent mais qui sont boulerversees a la moindre per-turbation, font preuve d’une dualite liquide/solide. Tas solide ou grains qui s’ecoule dans

18


un sablier, les comportements etranges des milieux granulaires se rencontrent aussi auniveau de leurs ecoulements, que ce soit sur un plan ou dans un tambour.

D’autres domaines d’etude concernant les milieux granulaires existent. Parmis euxfigurent l’etude des interactions entre particules, les phenomenes de segregation, de com-paction, de dilatance, de resistance au cisaillement...

On parvient a modeliser des avalanches, et a approcher les equations qui regissentces ecoulements, neanmoins, leur portee est tres limitee. Les conditions d’applications,les approximations utilisees empechent toute generalisation. Par exemple, on s’est renducompte que des modelisations effectuees pour des ecoulements en tambour pour une cer-taine tranche de rapports rayon du tambour

dimension des grainsn’avaient plus de valeur pour des rapports

differents. De nombreuses difficultes restent a surmonter, et aucune theorie generale n’aencore ete etablie dans cette science tres jeune mais tres dynamique.

Et pour cause, ses applications dans l’industrie sont considerables : on estime que70 % des produits fabriques passent a un moment au moins de leur elaboration par unstade granulaire. De l’activite miniere a la fabrication du beton, de l’industrie chimique oupharmaceutique a l’agroalimentaire, en passant par la modelisation des ecoulements py-roclastiques et meme le broyage [(dont le cout global est superieur a celui du transport !)],tous les domaines sont concernes.

Bibliographie

– La physique des tas de sable - Ph. Claudin - EDPscience - 1999– Les milieux granulaires - O.Pouliquen - Cours de l’ENSTA - 2001– Du sac de billes au tas de sable - Etienne Guyon, Jean-Paul Troadec - Odile

Jacob - 1994– Mecanique generale : Elastostatique - Ecole nationale superieure de l’aeronau-

tique et de l’espace - 1973– sujets de concours : ecole polytechnique - 1999 - ecole normale superieure de

Cachan - 2002

Contacts

Veronique Falk, Enseignant-chercheur a l’ENSIC Nancy

19


Annexe

Code source du programme ”avalanche” ti-89

:Prgm

:

:EffDess

:0->ymin :hauteur->ymax

:0->xmin :hauteur->xmax

:

:{hauteur}->l

:Lign 1,0,1,hauteur

:

:hauteur->h

:While h <> 1: h-nbrAleat(2)->h: augmente(l,{h})->l: dim(l)->di: Lign di,0,di,l[di]

:EndWhile

:Pause

:

:Prompt perturb :Lbl c

:l[perturb]+2->l[perturb] :Lign perturb,0,perturb,l[perturb]

:

:For i,2,dim(l),1

:If l[i-1]-l[i]=3 Then

:l[i-1]-2->l[i-1] :Lign i-1,l[i-1],i-1,l[i-1]+2,0 :l[i]+2->l[i]

:Lign i,l[i]-2,i,l[i],1

:

:ElseIf l[i-1]-l[i]=4 Then



:

:ElseIf l[i-1]-l[i]>4 Then



:EndIf

:EndFor

:

:Goto c

:

:EndPrgm

∵

20

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