Math: systems (French)

MM001

Ch1.

Aperçugénéral

LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

CURRICULUM VITAE STEVE DE RIDDER

Fmn Civ suivie:. . . - 1998 : gréco-latine

(Sint-Maarteninstituut à Alost)2008 - 2010 : Master Informatique Appliquée

(Vrije Universiteit Brussel)Fmn Mil suivie:

18 Sep 1998 - 01 Déc 2002 : Formation ERM(138ième Prom ”Toutes Armes” - SSMW)

01 Déc 2002 - Jan 2004 : Ecole d’arme Inf, CIS, . . .25 Oct 2004 - 18 Nov 2004 : AI EPS30 Jan 2006 - 17 Fév 2006 : FBEM phase joint12 Mar 2007 - 30 Mar 2007 : FBEM phase composante de terre

Fonctions:Jan 2004 - 20 Feb 2006 : 2 Gp CIS (HAASDONK)

Comd Pl SLD (Short and Long Distance)26 Sep 2004 : nomination lieutenant20 Fév 2006 - 16 Avr 2007 : 2 Gp CIS (HAASDONK) AS3 Ops15 Sep 2006 - 12 Féb 2007 : BELUFIL I (TIBNIN - LEB) S616 Avr 2007 - . . . : ERM (BRUXELLES)

répétiteur militaire Dépt Mathématiques26 Sep 2009 : nomination capitaine

MM001

Ch1.

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LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

CHAPITRE 1: EQUATIONS LINÉAIRES ET

QUADRATIQUES - SYSTÈME LINÉAIRE

MM001

Ch1.

Aperçugénéral

LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

APERÇU

FONCTIONS LINÉAIRES:linéaritééquation de la droite dans le plan

FONCTIONS QUADRATIQUES:définitionrésoudre une équation quadratique

SYSTÈME D’ÉQUATIONS LINÉAIRES:

MM001

Ch1.

Aperçugénéral

LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

APERÇU

FONCTIONS LINÉAIRES:linéaritééquation de la droite dans le plan

FONCTIONS QUADRATIQUES:définitionrésoudre une équation quadratique

SYSTÈME D’ÉQUATIONS LINÉAIRES:

MM001

Ch1.

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LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

APERÇU

FONCTIONS LINÉAIRES:linéaritééquation de la droite dans le plan

FONCTIONS QUADRATIQUES:définitionrésoudre une équation quadratique

SYSTÈME D’ÉQUATIONS LINÉAIRES:

MM001

Ch1.

Aperçugénéral

LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

APERÇU

FONCTIONS LINÉAIRES:

FONCTIONS QUADRATIQUES:

SYSTÈME D’ÉQUATIONS LINÉAIRES:définitionsignificationrésolution

par substitutionpar combinaison linéairepar Gausspar Gauss-Jordan

système avec paramètre

MM001

Ch1.

Aperçugénéral

LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

LINÉARITÉ

DÉFINITION

y dépend linéairement de x0, x1, . . . , xn s’il y a desconstantes a0, a1, . . . , an tel que

y = a0x0 + a1x1 + . . . anxn

ex. 1.y = 3 +

14

x − 2z

ex. 2. non linéaire

y = 3 +14

x − 2xz

y = 3 +14

x2 − 2z

MM001

Ch1.

Aperçugénéral

LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

LINÉARITÉ

DÉFINITION

y dépend linéairement de x0, x1, . . . , xn s’il y a desconstantes a0, a1, . . . , an tel que

y = a0x0 + a1x1 + . . . anxn

ex. 1.y = 3 +

14

x − 2z

ex. 2. non linéaire

y = 3 +14

x − 2xz

y = 3 +14

x2 − 2z

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Ch1.

Aperçugénéral

LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

LINÉARITÉ

DÉFINITION

y dépend linéairement de x0, x1, . . . , xn s’il y a desconstantes a0, a1, . . . , an tel que

y = a0x0 + a1x1 + . . . anxn

ex. 1.y = 3 +

14

x − 2z

ex. 2. non linéaire

y = 3 +14

x − 2xz

y = 3 +14

x2 − 2z

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Ch1.

Aperçugénéral

LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

EQUATION D’UNE DROITE DANS LE PLAN

DÉFINITION

y = ax + by − y1

x − x1=

y1 − y2

x1 − x2

y = y1 + a(x − x1)

REMARQUE 1.

a =∆y∆x

=y2 − y1

x2 − x1est le coefficient angulaire (la pente).

a > 0→ droite croissante.a < 0→ droite décroissante.a = 0→ droite ‖ à l’axe des X .

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LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

EQUATION D’UNE DROITE DANS LE PLAN

DÉFINITION

y = ax + by − y1

x − x1=

y1 − y2

x1 − x2

y = y1 + a(x − x1)

REMARQUE 1.

a =∆y∆x

=y2 − y1

x2 − x1est le coefficient angulaire (la pente).

a > 0→ droite croissante.a < 0→ droite décroissante.a = 0→ droite ‖ à l’axe des X .

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Ch1.

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LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

EQUATION D’UNE DROITE DANS LE PLAN

DÉFINITION

y = ax + by − y1

x − x1=

y1 − y2

x1 − x2

y = y1 + a(x − x1)

REMARQUE 1.

a =∆y∆x

=y2 − y1

x2 − x1est le coefficient angulaire (la pente).

y1 = a1x + b1 ‖ y2 = a2x + b2 ⇐⇒ a1 = a2.

y1 = a1x + b1 ⊥ y2 = a2x + b2 ⇐⇒ a1 = − 1a2

.

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Ch1.

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LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

EQUATION D’UNE DROITE DANS LE PLAN

DÉFINITION

y = ax + by − y1

x − x1=

y1 − y2

x1 − x2

y = y1 + a(x − x1)

REMARQUE 2.b est la constante.

b > 0→ intersection avec l’axe des Y : (0, +).b < 0→ intersection avec l’axe des Y : (0,−).b = 0→ droite par l’origine.

MM001

Ch1.

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LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

EQUATION D’UNE DROITE DANS LE PLAN

DÉFINITION

y = ax + by − y1

x − x1=

y1 − y2

x1 − x2

y = y1 + a(x − x1)

REMARQUE 3.

(−ba , 0) est l’intersection avec l’axe des X .

ex. 1: y = 2x − 3ex. 2: 2y = −x + 1

MM001

Ch1.

Aperçugénéral

LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

EQUATION D’UNE DROITE DANS LE PLAN

DÉFINITION

y = ax + by − y1

x − x1=

y1 − y2

x1 − x2

y = y1 + a(x − x1)

REMARQUE 3.

(−ba , 0) est l’intersection avec l’axe des X .

ex. 1: y = 2x − 3ex. 2: 2y = −x + 1

MM001

Ch1.

Aperçugénéral

LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

TEMPS POUR UNE PAUSE

MM001

Ch1.

Aperçugénéral

LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

EQUATION D’UNE PARABOLE DANS LE PLAN

DÉFINITION

y = ax2 + bx + c

REMARQUE 1.a détermine l’ouverture de la parabole:

a > 0→ parabole vallée.a < 0→ parabole colline.a = 0→ droite.

MM001

Ch1.

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LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

EQUATION D’UNE PARABOLE DANS LE PLAN

DÉFINITION

y = ax2 + bx + c

REMARQUE 1.a détermine l’ouverture de la parabole:

a > 0→ parabole vallée.a < 0→ parabole colline.a = 0→ droite.

MM001

Ch1.

Aperçugénéral

LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

EQUATION D’UNE PARABOLE DANS LE PLAN

DÉFINITION

y = ax2 + bx + c

REMARQUE 2.

D = b2 − 4ac détermine les zéros (racines) de la parabole

D = 0→ (x , y) = (−b2a

, 0).

D > 0→ (x , y) = (−b ±

√D

2a, 0).

D < 0→ pas de zéros dans R (pourtant, dans C . . .).

MM001

Ch1.

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LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

DÉFINITION D’UN SYSTÈME LINÉAIRE

DÉFINITION

Un système (ensemble) d’équations linéaires:a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

1 m équations et n inconnues2 aij , bi ∈ R

MM001

Ch1.

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LinéairLinéarité

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SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

INTERPRÉTATION

Pour un système à deux équations et deux inconnues:{a1x + b1y = c1 (1)a2x + b2y = c2 (2)

Valable en même temps!

(1) = (2)→∞ solutions

(1) ‖ (2)→ @ solutions

(1) 6‖ (2)→ 1 solution

MM001

Ch1.

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LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

RÉSOLUTION PAR SUBSTITUTION

DÉFINITION

1 Mettre en évidence une variable en une équation2 Substituer celle-ci dans les autres équations3 Répéter si nécessaire

{3x − y = 1 (1)x + 2y = 5 (2){

y = 3x − 1 (1)x + 2y = 5 (2)

(1) en (2)→ x + 2(3x − 1) = 5→ x = 1x = 1 en (1) ou (2)→ y = 2⇒ (x , y) = (1, 2)

MM001

Ch1.

Aperçugénéral

LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

RÉSOLUTION PAR SUBSTITUTION

DÉFINITION

1 Mettre en évidence une variable en une équation2 Substituer celle-ci dans les autres équations3 Répéter si nécessaire

{3x − y = 1 (1)x + 2y = 5 (2){

y = 3x − 1 (1)x + 2y = 5 (2)

(1) en (2)→ x + 2(3x − 1) = 5→ x = 1x = 1 en (1) ou (2)→ y = 2⇒ (x , y) = (1, 2)

MM001

Ch1.

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LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

RÉSOLUTION PAR COMBINAISON LINÉAIRE

DÉFINITION

1 Multiplier une équation par une constante2 Aditionner deux équations

n’a aucune influence sur l’ensemble des solutions.Donc: faire des combinaisons linéaires sur les équations dusystème.

{3x − y = 1 (V1)x + 2y = 5 (V2)

(V1)− 3(V2) ⇐⇒ 0x − 7y = −14 ⇐⇒ y = 22(V1) + (V2) ⇐⇒ 7x + 0y = 7 ⇐⇒ x = 1⇒ (x , y) = (1, 2)

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Ch1.

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LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

RÉSOLUTION PAR COMBINAISON LINÉAIRE

DÉFINITION

1 Multiplier une équation par une constante2 Aditionner deux équations

n’a aucune influence sur l’ensemble des solutions.Donc: faire des combinaisons linéaires sur les équations dusystème.

{3x − y = 1 (V1)x + 2y = 5 (V2)

(V1)− 3(V2) ⇐⇒ 0x − 7y = −14 ⇐⇒ y = 22(V1) + (V2) ⇐⇒ 7x + 0y = 7 ⇐⇒ x = 1⇒ (x , y) = (1, 2)

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Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

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Types de systèmes

Paramètre

Exercices

RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE GAUSS

DÉFINITION

Appliquer par itération une de ces opérations:1 Changer deux équations de place2 Multiplier une équation avec un nombre ∈ R0

3 Additionner un multiple d’une autre équation (ousoustraire . . . )

Garder toujours une équation (la ligne pivot) et faire ensorte que les autres éléments dans la colonne pivotau-dessous du pivot deviennent 0.On obtient alors un triangle supérieur.

MM001

Ch1.

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LinéairLinéarité

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Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE GAUSS

2x + y − z = 1 (V1)3x + y − z = 3 (V2)

5x − y − 3z = 0 (V3)

2 x + y − z = 1 (V ′1 = V1)

−y + z = 3 (V ′2 = 2V2 − 3V1)

−7y − z = −5 (V ′3 = 2V3 − 5V1)

2x + y − z = 1 (V ′′

1 = V ′1)

-1 y + z = 3 (V ′′2 = V ′

2)8z = 26 (V ′′

3 = −V ′3 + 7V ′

2)

MM001

Ch1.

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LinéairLinéarité

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Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

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Types de systèmes

Paramètre

Exercices

RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE GAUSS

2x + y − z = 1 (V1)3x + y − z = 3 (V2)

5x − y − 3z = 0 (V3)

2 x + y − z = 1 (V ′1 = V1)

−y + z = 3 (V ′2 = 2V2 − 3V1)

−7y − z = −5 (V ′3 = 2V3 − 5V1)

2x + y − z = 1 (V ′′

1 = V ′1)

-1 y + z = 3 (V ′′2 = V ′

2)8z = 26 (V ′′

3 = −V ′3 + 7V ′

2)

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LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE GAUSS

2x + y − z = 1 (V1)3x + y − z = 3 (V2)

5x − y − 3z = 0 (V3)

2 x + y − z = 1 (V ′1 = V1)

−y + z = 3 (V ′2 = 2V2 − 3V1)

−7y − z = −5 (V ′3 = 2V3 − 5V1)

2x + y − z = 1 (V ′′

1 = V ′1)

-1 y + z = 3 (V ′′2 = V ′

2)8z = 26 (V ′′

3 = −V ′3 + 7V ′

2)

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Ch1.

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Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE GAUSS

(x , y , z) = (2,14,134

)

Interprétation: intersection unique de trois plans dansl’espace.

MM001

Ch1.

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LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE GAUSS

(x , y , z) = (2,14,134

)

Interprétation: intersection unique de trois plans dansl’espace.

MM001

Ch1.

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LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE

GAUSS-JORDAN

DÉFINITION

Appliquer par itération une de ces opérations:1 Changer deux équations de place2 Multiplier une équation avec un nombre ∈ R0

3 Additionner un multiple d’une autre équation (ousoustraire . . . )

Garder toujours une équation (la ligne pivot) et faire ensorte que les autres éléments dans la colonne pivotau-dessous et au-dessus du pivot deviennent 0.On obtient ainsi une diagonale principale d’éléments.

MM001

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Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE

GAUSS-JORDAN

2 x +y −z = 1 (V1)3x +y −z = 3 (V2)5x −y −3z = 0 (V3)

2x +y −z = 1 (V ′

1 = V1)

0x -1 y +z = 3 (V ′2 = 2V2 − 3V1)

0x −7y −z = −5 (V ′3 = 2V3 − 5V1)

−2x +0y +0z = −4 (V ′′

1 = −V ′1 − V ′

2)0x −1y +z = 3 (V ′′

2 = V ′2)

0x +0y + 8 z = 26 (V ′′3 = −V ′

3 + 7V ′2)

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Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE

GAUSS-JORDAN

2 x +y −z = 1 (V1)3x +y −z = 3 (V2)5x −y −3z = 0 (V3)

2x +y −z = 1 (V ′

1 = V1)

0x -1 y +z = 3 (V ′2 = 2V2 − 3V1)

0x −7y −z = −5 (V ′3 = 2V3 − 5V1)

−2x +0y +0z = −4 (V ′′

1 = −V ′1 − V ′

2)0x −1y +z = 3 (V ′′

2 = V ′2)

0x +0y + 8 z = 26 (V ′′3 = −V ′

3 + 7V ′2)

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LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE

GAUSS-JORDAN

2 x +y −z = 1 (V1)3x +y −z = 3 (V2)5x −y −3z = 0 (V3)

2x +y −z = 1 (V ′

1 = V1)

0x -1 y +z = 3 (V ′2 = 2V2 − 3V1)

0x −7y −z = −5 (V ′3 = 2V3 − 5V1)

−2x +0y +0z = −4 (V ′′

1 = −V ′1 − V ′

2)0x −1y +z = 3 (V ′′

2 = V ′2)

0x +0y + 8 z = 26 (V ′′3 = −V ′

3 + 7V ′2)

MM001

Ch1.

Aperçugénéral

LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE

GAUSS-JORDAN

−16x +0y +0z = −32 (V ′′′

1 = 36V ′′1 + 4V ′′

3 )0x −8y +0z = −2 (V ′′′

2 = 36V ′′2 − 10V ′′

3 )0x +0y +8z = 26 (V ′′′

3 = V ′′3 )

(x , y , z) = (2,14,134

)

Interprétation: intersection unique de trois plans dansl’espace.

MM001

Ch1.

Aperçugénéral

LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE

GAUSS-JORDAN

−16x +0y +0z = −32 (V ′′′

1 = 36V ′′1 + 4V ′′

3 )0x −8y +0z = −2 (V ′′′

2 = 36V ′′2 − 10V ′′

3 )0x +0y +8z = 26 (V ′′′

3 = V ′′3 )

(x , y , z) = (2,14,134

)

Interprétation: intersection unique de trois plans dansl’espace.

MM001

Ch1.

Aperçugénéral

LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE

GAUSS-JORDAN

−16x +0y +0z = −32 (V ′′′

1 = 36V ′′1 + 4V ′′

3 )0x −8y +0z = −2 (V ′′′

2 = 36V ′′2 − 10V ′′

3 )0x +0y +8z = 26 (V ′′′

3 = V ′′3 )

(x , y , z) = (2,14,134

)

Interprétation: intersection unique de trois plans dansl’espace.

MM001

Ch1.

Aperçugénéral

LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

TYPES DE SYSTÈMES

DÉFINITION

Ramener deux équations identiques à une seule équation.

DÉFINITION

On appelle m le nombre d’équations et n le nombred’inconnues. Alors on a (dans la plupart des cas)

1 m = n⇒ solution unique.2 m > n⇒ @ solution.3 n > m⇒∞ solutions.

{2x +y −z = 13x y +z = 3

MM001

Ch1.

Aperçugénéral

LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

TYPES DE SYSTÈMES

DÉFINITION

Ramener deux équations identiques à une seule équation.

DÉFINITION

On appelle m le nombre d’équations et n le nombred’inconnues. Alors on a (dans la plupart des cas)

1 m = n⇒ solution unique.2 m > n⇒ @ solution.3 n > m⇒∞ solutions.

{2x +y −z = 13x y +z = 3

MM001

Ch1.

Aperçugénéral

LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

SYSTÈME AVEC PARAMÈTRES

DÉFINITION

Déterminir la ou les paramètre(s) pour que notre systèmeaît

1 une solution unique2 @ solution3 ∞ solutions

.

{x +2y = 1

2x +ky = 2

MM001

Ch1.

Aperçugénéral

LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

SYSTÈME AVEC PARAMÈTRES

DÉFINITION

Déterminir la ou les paramètre(s) pour que notre systèmeaît

1 une solution unique2 @ solution3 ∞ solutions

.

{x +2y = 1

2x +ky = 2

MM001

Ch1.

Aperçugénéral

LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

EXERCICES DE SYNTHÈSE

ON DONNE:trois points: A(1, 3), B(5, 1), C(2, 7)

ON DEMANDE:1 établir l’équation des droites AB, AC et BC2 dessiner le triangle ABC3 établir l’équation des trois lignes de hauteur de ABC4 déterminer le point d’intersection de ces trois lignes de

hauteur

Pour votre info: ligne de hauteur = ligne à travers unsommet et ⊥ au côté opposé (cfr Ch. 3)

SOLUTION:

MM001

Ch1.

Aperçugénéral

LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

EXERCICES DE SYNTHÈSE

ON DONNE:trois points: A(1, 3), B(5, 1), C(2, 7)

ON DEMANDE:1 établir l’équation des droites AB, AC et BC2 dessiner le triangle ABC3 établir l’équation des trois lignes de hauteur de ABC4 déterminer le point d’intersection de ces trois lignes de

hauteur

Pour votre info: ligne de hauteur = ligne à travers unsommet et ⊥ au côté opposé (cfr Ch. 3)

SOLUTION:

MM001

Ch1.

Aperçugénéral

LinéairLinéarité

La droite

Quadratique

SystèmesDéfinition

Signification

Substitution

Combination

Gauss

Gauss-Jordan

Types de systèmes

Paramètre

Exercices

EXERCICES DE SYNTHÈSE

ON DONNE:trois points: A(1, 3), B(5, 1), C(2, 7)

ON DEMANDE:1 établir l’équation des droites AB, AC et BC2 dessiner le triangle ABC3 établir l’équation des trois lignes de hauteur de ABC4 déterminer le point d’intersection de ces trois lignes de

hauteur

Pour votre info: ligne de hauteur = ligne à travers unsommet et ⊥ au côté opposé (cfr Ch. 3)

SOLUTION: