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DEUG SV 2DEUG SV 2èmeème année (u.e.42) année (u.e.42)
MATHEMATIQUESMATHEMATIQUESOutils pour la BiologieOutils pour la Biologie
Sandrine CHARLES
scharles@biomserv.univ-lyon1.frLa Doua – Bât. G. Mendel - 1er étage
2
Chapitre 1Chapitre 1
Espaces vectoriels Espaces vectoriels
ALGEBRE LINEAIREALGEBRE LINEAIRE
3
Un premier exempleUn premier exemple
4
Deux opérationsDeux opérations
5
Un deuxième exempleUn deuxième exemple
6
Un deuxième exempleUn deuxième exemple
23 lieux (pré-Alpes) et 7 variables physico-chimiques
23 « points » avec 7 coordonnées :
7 « points » avec 23 coordonnées :
723
7
La notion d’espace vectorielLa notion d’espace vectoriel
Historiquement c’est à PEANO que revient le mérite d’avoir défini de façon axiomatique le concept d’espace vectoriel sur un ensemble de scalaires.
Le terme « scalaires » (du latin scalaris = escalier, échelle) est utilisé au sens de numérique.
8
Exemples d’e.v.Exemples d’e.v.
1. L’ensemble des vecteurs du plan
2.
3. L’ensemble
4. L’ensemble
n n
,nC
nP
9
s.e.v.s.e.v.
Tout s.e.v. est un e.v.
Si E est un e.v., alors et E lui-même sont des s.e.v. de E.
0
, , 0F x y z z
10
Famille génératriceFamille génératrice
La famille des vecteurs , et est une
famille génératrice de .
L’ensemble est engendré par les polynômes .
1 1,0,0e
2 0,1,0e
3 0,0,1e3
nP21, , , , nX X X
11
DimensionDimension
Une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E est une base de E si elle est à la fois libre ET génératrice.
La famille des vecteurs , et est une base de Base canonique
1, , pu u
1 1,0,0e
2 0,1,0e
3 0,0,1e
3
12
Le champ de bléLe champ de blé
Trois formes A1, A2, A3 :
P n’est pas un s.e.v. de dim(P) = 2
iNombre de plantes ANombre total de plantesif 1 2 3 1ff f
3, , 1x y z x y zP3
13
Chapitre 2Chapitre 2
Applications linéaires Applications linéaires
ALGEBRE LINEAIREALGEBRE LINEAIRE
14
ApplicationsApplications
E F
15
E F ,F ,E
morphismesmorphismes
16
,E
Applications linéairesApplications linéaires
,F , ,E , ,F
E et F sont des espaces vectoriels
17
Applications linéairesApplications linéaires
On conserve + et x
L’ensemble des applications linéaires
de E vers F est noté .
0 0f
,E FL
18
ExemplesExemples
: , ,n nD C C
f D ff
:E
E
I d E E
x I d x x
19
Image et NoyauImage et Noyau
FE
0E
0F
kerf
I mf
20
INjectivitéINjectivité
FE
NONNON OUIOUI
21
SURjectivitéSURjectivité
FE
NONNON OUIOUI
22
BIjectivitéBIjectivité
FE
23
DéfinitionsDéfinitions
Endomorphisme : A.L. de E dans E
Isomorphisme: A. L. bijective
Automorphisme : endomorphisme bijectif
24
OpérationsOpérations
est un espace vectoriel.
et quand elles existent sont des applications linéaires ; en général
,E FL
f g g f f g g f
1f
: gfh E G
u f u g f u h u
F
1
1
:: FF
v
EE
u u ff v
f
u
f
v
quand elle existe est une application linéaire.
25
Projecteur / InvolutionProjecteur / Involution
Un endormophisme f de E est dit idempotent lorsque .
On appelle projecteur de E tout endomorphisme idempotent de E.
Un endomorphisme s de E est une involution linéaire lorsque .
ff f
Es s I d
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