Paris 7DEUG SSMQA 215-216–

EXAMEN PARTIEL D’ELECTROMAGNETISMEt0 = Samedi 17 Mars , 9h.

∆t = 3h., sans documents

Les problemes I et III representent le minimum de ce que nous estimons etre maintenant en droitd’attendre de vous ; ils peuvent vous assurer la moyenne. Les problemes II et IV exigent un peu plusde jugement. Les commentaires explicatifs, montrant que vous avez compris, seront apprecies. Boncourage.

I. Equations de Maxwell-Lorentz (5,25 points)1)(1,25 pt.) Ecrire les equations de Maxwell et Lorentz constituant l’enonce formel de l’electro-

dynamique classique.2)(1 pt.) Soient ~E et ~B des champs vectoriels qui, dans la region ou y et z sont strictement

positifs, sont definis par

~E(~r, t) = E0e−( y

D+ t

τ)y

~B(~r, t) = B0Dzy + B0

Dy

z ,

ou t represente le temps, (x, y, z) les composantes cartesiennes du vecteur position ~r, (x, y, z) lesvecteurs unitaires associes, et ou E0, B0, D et τ sont des constantes non nulles. Le couple de champs( ~E, ~B) peut-il representer un champ electromagnetique et, si oui, preciser les densites volumiques decharge et de courant qui lui sont associees ?

3)(0,5 pt.) Determiner, par la methode qui vous paraıt la plus rapide, la circulation de ~E le longdu chemin ferme triangulaire PQRP defini par les points P, Q et R, de coordonnees respectivesP(0, D, D), Q(0, 2D, D) et R(0, 2D,2D), lorsque ce chemin est parcouru dans le sens PQRP.

4)(1 pt.) Calculer la circulation de ~B le long du meme chemin, parcouru dans le meme sens.5)(0,5 pt.) Calculer le flux de ~B a travers la surface plane PQR orientee par le vecteur unitaire x.6)(1 pt.) Calculer effectivement le flux de ~∇ ∧ ~B a travers cette meme surface et comparer le

resultat obtenu avec celui de la question 4.

II. Vu au labo (2 points)Expliquer clairement (avec des phrases et des dessins) comment l’on peut determiner experimenta-lement la valeur de la composante horizontale du champ magnetique terrestre en utilisant seulementune regle graduee, une boussole, un rheostat, un amperemetre , une batterie et du fil electrique.

III. L’un dans l’autre (7,75 points)Un cable dit coaxial, “rectiligne”, “infini”, est constitue de deux conducteurs

concentriques, le conducteur central, de rayon R1, et le conducteur exterieur,faisant retour, de rayons R2 et R3. On suppose que les densites de courant serepartissent a peu pres uniformement dans les sections de ces conducteurs.

1)(0,5 pt) On desire faire passer l’intensite I dans ce cable. Pour des raisonsevidentes, le module de la densite de courant est limite a la valeur maximale jM .Quel valeur minimale doit-on donner au rayon R1 du conducteur central ? Onadoptera cette valeur pour la suite.

2)(0,5 pt) Le rayon interieur du conducteur exterieur vaut R2 = 2R1.Quelle valeur minimale doit-on donner au rayon exterieur R3 du conducteur exterieur ? On adopteracette valeur pour la suite.

3)(1,75 pt) Analyser soigneusement toutes les consequences — en ce qui concerne le champmagnetique cree — des symetries et invariances de cette source de courants.

4)(1 pt) Enoncer, soigneusement, le theoreme d’Ampere.5)(2 pt) Achever — a l’aide du theoreme d’Ampere — de

determiner entierement (direction, sens et module) le champmagnetique en tous points.

6)(1 pt) Representer graphiquement le module du champmagnetique en un point, en fonction de la distance de ce pointa l’axe du cable.

7)(1 pt) Calculer le flux du champ magnetique a traversle circuit carre, de cote 0,6 R1, represente oriente ci-contre.

IV. Pour celles, et ceux, qui ont compris (6 points)Une plaque “infinie”, d’epaisseur a, est le siege d’une densite de

courant ~j(~r) uniforme, a savoir

~j(x, y, z) ={

jz, si y ∈] − a/2, a/2[ ;0, autrement.

1)(1,75 pt.) Analyser soigneusement les symetries et les inva-riances dont jouit cette source, et leurs consequences sur le champmagnetique cree.

2)(2,25 pt.) En deduire, au moyen du theoreme d’Ampere,les valeurs des composantes cartesiennes du champ, Bx(x, y, z),By(x, y, z) et Bz(x, y, z), en tous points.

3)(0,75 pt.) A l’aide de ces expressions, calculer les com-posantes de ~∇∧ ~B. Comparer ces dernieres aux composantes de ~j.

4)(0,5 pt.) Un circuit carre, de cote c, parcouru par lecourant I , est dispose parallelement a la plaque et a sa densitede courant, comme indique ci-contre. Calculer les composantesdes forces magnetiques s’exercant sur chacun des cotes du circuit.

5)(0,5 pt.) Qu’en concluez-vous en ce qui concerne la resul-tante et le moment des forces magnetiques s’exercant sur cecircuit ?

6)(0,25 pt.) Pouviez-vous prevoir ces derniers resultats, sansguere de calculs, a l’aide de formules que — quoiqu’elles aient eterecemment demontrees en cours — vous devriez deja connaıtrepar cœur.

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