1. Introduction

1

Prévision à court terme

MIID-LicenceFaculté des sciences Economiques et de

Gestion

Module proposé par Alexandre VercassonOctobre 2004

2

1. Introduction

L’étude d’informations historisées sous différents aspects ( tendance centrale, saisonnalité, extra-saisonnalité, accidents, bruit blanc…) est une des méthodes disponibles utilisées afin d’évaluer le futur immédiat.

3

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5

• Tendance centrale

y = 0,9347x + 1,9425

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20

• Variations saisonnières

4

• Extra-saisonnalité

• Accidents et bruit blanc

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 5 10 15 20 25 30

5

• Valeurs historisées (extrait du CA de CELAX SA)

Lundi

14 766,78

14766

04/11/02 11937

Mardi

11 937,70

17224

05/11/02 14192

Cumul 26 704,48 20541

Mercredi

17 224,14

25223

06/11/02 11256

Cumul 43 928,62 11611

Jeudi

14 192,59

12451

07/11/02 14942

Cumul 58 121,21 11573

Vendredi

20 541,36

21168

08/11/02 22672

Cumul 78 662,57 11106

Colonne 2 Colonne 3Colonne 1

L’information est reçue comme indiqué colonnes 1 et 2. Elle doit être transformée comme indiqué colonne 3; puis traitée.

6

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

0 2 4 6 8 10 12 14 160

5000

10000

15000

20000

25000

30000

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Première semaine du

mois

Troisième semaine du

mois

7

0000000000105PATES.CHIEN. 0027

0000000000131FRISKI.10KG. 0027

3010470170421GOURMET GOLD SOLE 0027

3010470170438GOURMET GOLD DINDE 0027

3010470170445GOURMET GOLD BOEUF 0027

3010470170452GOURMET GOLD FOIE/VO0027

3010470172142GOURMET CHAT X3 0027

3010470172180GOURMET.X.3. 0027

3010470172258GOURMET.X3.. 0027

3010470172470GOURMET 3X195G 0027

1 0 1 0 0 0 0 1 2 6 0

2 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0

3 0 1 0 0 0 0 4 2 0 0

4 2 4 0 0 0 0 0 1 3 0

5 0 9 0 0 0 0 5 6 10 0

6 0 1 0 0 0 0 5 2 2 0

7 0 2 0 0 0 0 1 0 1 0

8 0 3 0 0 0 0 0 2 13 0

9 0 4 0 0 0 0 1 2 4 0

10 0 6 0 0 0 0 1 3 4 0

11 0 2 0 0 0 0 0 7 7 0

12 0 2 0 0 0 0 4 0 1 0

• Valeurs historisées: volumes pour certains codes à faible rotation de la famille 27

8

3010470181120400GR.FRISK. 0027

3010470181137FRIS.CROQ.PO 0027

3010470181199CROKALINS.BO 0027

7 7 12

4 11 6

7 13 9

7 12 4

22 16 25

12 18 21

6 8 4

3 11 6

7 13 10

6 10 4

13 16 18

13 16 11

• Valeurs historisées: volumes pour certains codes de la famille 27 à rotation plus importante: tableau 1 et à rotation forte: tableau 2

30472055125603/2.PATEE VI 0027

30472057665673/2.BOUL.BOE 0027

6 45

3 54

9 126

25 73

32 43

21 36

27 35

16 23

8 43

5 44

22 54

34 64

Tableau 1 Tableau 2

9

Ce passé est disponible dans des bases de

données générées par les systèmes

d’information des entreprises.

C’est ce passé qu’il faut étudier et comprendre

par l’étude, entre autre, des séries

chronologiques.

10

2. Méthodes classiques utilisables

Parmi les méthodes permettant de faire des

prévisions à court terme on trouve :

1. Les méthodes simples qui s’appliquent à des

phénomènes réguliers.

11

Dans cette catégorie il y a deux mouvements, l’un

est dit additif et est caractérisé par la relation

suivante :

ASYY ˆ

l’autre est dit multiplicatif et est caractérisé par la

relation :

ASYY ˆ

12

Notons que:

Y représente la variable pour laquelle on veut faire des prévisions;

Y représente la tendance centrale de l’évolution;

représente la variable saisonnière;S

A représente la variable accidentelle.

13

2. Les méthodes des moyennes mobiles

Applicables si l’historique est suffisamment

riche.

Nous trouvons également 2 mouvements :

Additif: ASYY ˆ

Multiplicatif : SAYY ˆ

14

3. Autres méthodes.31. Méthodes de Box-Jenkins32. Méthodes de lissage exponentiel.

Ces méthodes doivent être citées mais ne seront pas étudiées dans cette présentation.

15

Remarque: Choix entre un mouvement additif et un mouvement multiplicatif.

14

15

16

17

18

19

20

21

0 2 4 6 8 1014

15

16

17

18

19

20

21

0 2 4 6 8 10

Mouvement additif

[Les deux droites sont parallèles]

Mouvement multiplicatif

[Les deux droites sont sécantes]

Points hauts de la sériePoints hauts de la série

Points bas de la série

Points bas de la série

16

21. Les méthodes simples: le mouvement additif

211. Exemple

Le Chiffre d ’affaires en milliers d ’euros d ’une entreprise distribuant des articles de sport est donné dans le tableau suivant:

17

CA 2002 2003Janvier 4650 5026Février 4350 4725Mars 5070 5450Avril 5000 5430Mai 5300 5690Juin 5500 5870

Juillet 5350 5740Août 4950 5340

Septembre 5140 5530Octobre 4900 5300

Novembre 5250 5650Décembre 5210 5600

18

4000

4200

4400

4600

4800

5000

5200

5400

5600

5800

6000

J F M A M J J A S O N D

Mois

CA

Une représentation des évolutions des 2 années superposées nous permet de constater qu ’il y a une saisonnalité fortement marquée.

19

4000

4500

5000

5500

6000

0 5 10 15 20 25 30

Chiffre d'affaires

2 années d'étude en continu

Une représentation des 2 années l ’une après l ’autre nous permet de choisir un mouvement (ici additif) et d ’identifier la tendance centrale (ici linéaire).

20

La tendance centrale s ’obtient en utilisant la procédure Excel adaptée. Ici la tendance est égale à:

1.48075,35ˆ tY

Temps

C.A.

Y

21

Procédure Excel de calcul de la tendance centrale.

Plusieurs possibilités:

Si l’on dispose d’une représentation graphique

• Cliquer l’image réalisée avec nuage de points.

• Aller dans graphique;

• Sélectionner « ajouter une courbe de tendance »;

• Choisir le modèle;

• Aller dans options;

• Choisir « afficher l’équation sur le graphique ».

22

Dans le cas où la tendance est linéaire ou si

elle se ramène au linéaire, si l’on n’a pas à

disposition la représentation graphique, on peut

utiliser les deux relations:

a = index(droitereg(plage Y; plage t); 1)

b = index(droitereg(Plage Y; plage t); 2)

Calcul direct

23

Lorsque la tendance centrale est calculée, on détermine les coefficients saisonniers additifs de la manière suivante:

24

ikYikY ikik YY ˆ

kS

Chiffre d’affairesTendance centrale

Ecarts Coefficients saisonniers

Mois2002 2003 2002 2003 2002 2003

1 4650 5026 4842,6 5268,6 -192,6 -242,6 -217,62 4350 4725 4878,1 5304,1 -528,1 -579,1 -553,63 5070 5450 4913,6 5339,6 156,4 110,4 133,44 5000 5430 4949,1 5375,1 50,9 54,9 52,95 5300 5690 4984,6 5410,6 315,4 279,4 297,46 5500 5870 5020,1 5446,1 479,9 423,9 451,97 5350 5740 5055,6 5481,6 294,4 258,4 276,48 4950 5340 5091,1 5517,1 -141,1 -177,1 -159,19 5140 5530 5126,6 5552,6 13,4 -22,6 -4,610 4900 5300 5162,1 5588,1 -262,1 -288,1 -275,111 5250 5650 5197,6 5623,6 52,4 26,4 39,412 5210 5600 5233,1 5659,1 -23,1 -59,1 -41,1

25

Nous constatons que la somme des coefficients saisonniers est égale à 0 (Principe de conservation des aires). Si cela n ’était pas le cas il faudrait corriger chacun de ces coefficients de telle sorte que ce principe soit respecté.

Les coefficients étant définis, on peut orienter l’étude dans 2 directions:

• Corriger les données brutes des variations saisonnières et étudier le phénomène désaisonnalisé.

• Engager le calcul de prévisions.

26

4000

4500

5000

5500

6000

0 10 20 30

Valeurs désaisonnalisées.

Données brutes

Représentation des valeurs corrigées des variations saisonnières et des données brutes.

27

4000

4500

5000

5500

6000

6500

0 10 20 30 40

Représentation des valeurs prévisionnelles.

Valeurs prévisionnelles

28

Remarques

1. Si le mouvement choisi est multiplicatif:

• la tendance centrale s ’obtient de la même façon que précédemment;

• les différences entre les données brutes et les valeurs de tendance centrale sont remplacées par des quotients;

• on fait ensuite la moyenne arithmétique des quotients pour obtenir les coefficients saisonniers.

29

Si la somme des nombres obtenus n ’est pas égale au nombre d ’unités de temps dans une période, il faut corriger ces nombres de telle sorte que que ce principe soit respecté.

Pour corriger les données brutes des variations saisonnières, il suffit ensuite de diviser la donnée brute par le coefficient saisonnier correspondant.

30

Les prévisions seront obtenues en extrapolant la courbe de tendance centrale pour les unités de temps concernées et chaque valeur extrapolée sera multipliée par le coefficient saisonnier adapté.

212. Exercices

31

An 1 An 2 An 3

94 107 124

81 87 103

114 124 149

175 191 220

108 119 144

85 95 114

75 80 93

48 52 61

142 162 182

173 212 310

170 200 210

120 140 158

1. Le chiffre d’affaires de la société BSA est donné (en milliers d’euro) dans le tableau suivant:

Donner toute information intéressante concernant ces divers chiffres avec l’objectif d’évaluer les chiffres d’affaires mensuels pour l’année 4.

32

Correction

Les informations concernent les ventes en valeur exprimées en 1000 € de la société BSA.

33

La première chose à faire consiste à représenter les différentes années en les superposant ; puis de réaliser une représentation des années les unes après les autres.

Le premier graphe permet d’identifier :• la saisonnalité si elle n’est pas connue ;• les valeurs qu’il est souhaitable de corriger.

Le deuxième graphe permet d’identifier :• la tendance centrale ;• le mouvement à traiter.

34

0

50

100

150

200

250

300

350

0 5 10 15

La superposition des ventes annuelles

35

Cette image nous indique que les diverses prévisions ne peuvent être faites sans corriger la valeur du mois 10 de l’année 3. Cette valeur est extra-saisonnière. La correction étant faite, le mouvement est additif et la méthode à utiliser reste une méthode simple.

36

An 1 An 2 An 3 Somme des ventes

ans 1 et 2

Part moyenne associée à chaque

unité de temps 94 107 124 201 0,068 81 87 103 168 0,057

114 124 149 238 0,081 175 191 220 366 0,124 108 119 144 227 0,077 85 95 114 180 0,061 75 80 93 155 0,052 48 52 61 100 0,034

142 162 182 304 0,103 173 212 310 385 0,130 170 200 210 370 0,125 120 140 158 260 0,088

2954 1,000

37

Si les ventes du mois avaient été normales, elles auraient représenté 13 % en moyenne des ventes de l’année 3, soit :

(1558/ 0,87)*0,13 = 233C’est la valeur que nous utiliserons dans la suite en

remplacement de 310. Cette valeur nous permet de définir un coefficient

d’extra-saisonnalité correspondant aux diverses actions qui ont été menées pour atteindre ce niveau de chiffre d’affaires :

33,1233

310exsC

38

La progression en chiffre est de l’ordre de 33 %. A comparer avec le différentiel de marges : marges normales et marges promotionnelles.

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15

Graphique avec correction

39

0

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40

Le modèle est additif

Le graphe en continu autorise une tendance affine et un mouvement additif simple.

40

y = 1,8004x + 98,498

0

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40

La tendance est linéaire et les coefficients ont été calculés de la manière suivante:

A=index(droitereg(Y;X); 1)

B=index(droitereg(Y;X); 2)

41

Le jeux de coefficients à utiliser pour faire des prévisions est donné ci-après avec la méthode qui a permis de les calculer. Ce jeux de coefficients doit être normalisé c’est à dire doit vérifier le principe de conservation des aires: la somme des coefficients saisonniers additifs sur une période est égale à 0

42

Valeurs réelles Valeurs de tendance

centrale

Ecarts entre les valeurs réelles et les valeurs de la

tendance centrale

An1 An 2 An 3 An1 An 2 An 3 An1 An 2 An 3

Coefficients à appliquer

94 107 124 100,30 121,90 143,51 -6,30 -14,90 -19,51 -13,57 81 87 103 102,10 123,70 145,31 -21,10 -36,70 -42,31 -33,37 114 124 149 103,90 125,50 147,11 10,10 -1,50 1,89 3,50 175 191 220 105,70 127,30 148,91 69,30 63,70 71,09 68,03 108 119 144 107,50 129,10 150,71 0,50 -10,10 -6,71 -5,44 85 95 114 109,30 130,91 152,51 -24,30 -35,91 -38,51 -32,91 75 80 93 111,10 132,71 154,31 -36,10 -52,71 -61,31 -50,04 48 52 61 112,90 134,51 156,11 -64,90 -82,51 -95,11 -80,84 142 162 182 114,70 136,31 157,91 27,30 25,69 24,09 25,69 173 212 233 116,50 138,11 159,71 56,50 73,89 73,29 67,89 170 200 210 118,30 139,91 161,51 51,70 60,09 48,49 53,43 120 140 158 120,10 141,71 163,31 -0,10 -1,71 -5,31 -2,37

43

Les prévisions peuvent être ensuite établies pour une année : 

An 4 j f m a m j j o s o n d Prévisions 152 134 172 239 167 141 126 97 205 249 237 183

0

50

100

150

200

250

300

0 10 20 30 40 50 60

44

Pour analyser la croissance il est souhaitable de donner les valeurs corrigées des variations saisonnières, c’est à dire des valeurs réelles auxquelles ont a enlevé l’influence des saisons.

0

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40

45

La croissance des ventes en moyenne mensuelle peut être définie par :

soit une croissance mensuelle moyenne de 1,15 %

0115,135

1

50,107

37,1601

t

46

2. Prévision utilisant des coefficients existants:

La société montagnarde de fonderie est une PME familiale

héritière d’une longue tradition métallurgique comme on en

trouvait au début du siècle dans maintes vallées isolées.

Cependant, elle a su évoluer avec dynamisme jusqu’à devenir

leader européen de sa spécialité. Celle-ci consiste à produire des

pièces aéronautiques en aluminium par un procédé dit «  à la

cire perdue ».

47

La Direction a dû réagir à une détérioration de la rentabilité en

raison d’une baisse des prix, consécutive à l’entrée de nouveaux

opérateurs sur le marché. Elle a décidé de réduire les coûts qui

peuvent l’être. Notamment, le service achats a reçu la mission

de réduire le coût du stockage des matières premières, matières

consommables et produits intermédiaires. L’entreprise

travaillant à la commande, les produits finis n’ont pas à être

stockés.

48

Le responsable du service achats a entrepris une étude

préparatoire à la mise en place d’une gestion optimale des stocks,

au début de l’année N. Il a dressé une liste des articles stockés

avec l’indication du coût unitaire et de la quantité annuelle

consommée. Il a ensuite classé les articles en fonction de

l’intensité de la surveillance qu’ils requièrent.

Une fois le travail réalisé, le responsable de service achats peut

établir le budget des approvisionnements du premier semestre de

l’année N + 1.

49

Classer les références en 2, et 3 catégories ;

Prévoir la consommation des 6 premiers mois de l’année N + 1,

pour l’article C.

50

Informations annexes mises en évidence par le responsable des achats.

Annexe 1 : Consommation des articles.

Référence de l’article.

Coût unitaire (€). Quantité annuelle consommée

(unités).

A 7,14 2 800

B 2,8 3 600

C 51,4 7 200

D 3,34 6 000

E 9,4 3 200

F 5,5 3 600

G 7,82 6 400

H 12,5 3 200

I 7,1 2 800

J 350,0 1 200

51

Annexe 2 : Consommation mensuelle de l’article C pour l’année N.

Mois J f m a m j

Consommation

532 518 583 586 443 660

Mois j a s o n d

Consommation

481 245 796 715 754 878

Annexe 3 : Coefficients saisonniers concernant l’article C.

Mois J f m a m j

Coefficient

0,95 0,9 1 1 0,75 1,1

Mois j a s o n d

Coefficient

0,85 0,4 1,3 1,15 1,2 1,4

52

Mois J f m a m j

Consommation

532 518 583 586 443 660

Mois j a s o n d

Consommation

481 245 796 715 754 878

53

Mois J f m a m j

Coefficient

0,95 0,9 1 1 0,75 1,1

Mois j a s o n d

Coefficient

0,85 0,4 1,3 1,15 1,2 1,4

54

Produits Prix unitaire nombre valeur valeur en %A 7,14 2 800 19992 2,0B 2,8 3 600 10080 1,0C 51,4 7 200 370080 37,0D 3,34 6 000 20040 2,0E 9,4 3 200 30080 3,0F 5,5 3 600 19800 2,0G 7,82 6 400 50048 5,0H 12,5 3 200 40000 4,0I 7,1 2 800 19880 2,0J 350 1 200 420000 42,0

1000000 100,0

Correction

Classification

Du tableau initial on déduit la valeur; puis la valeur en pourcentage (colonne 5 du tableau).

La méthode ABC se construit en utilisant la colonne 5.

55

Produits Prix unitaire

nombre valeur valeur en %

A 7,14 2 800 19992 2,0 B 2,8 3 600 10080 1,0 C 51,4 7 200 370080 37,0 D 3,34 6 000 20040 2,0 E 9,4 3 200 30080 3,0 F 5,5 3 600 19800 2,0 G 7,82 6 400 50048 5,0 H 12,5 3 200 40000 4,0 I 7,1 2 800 19880 2,0 J 350 1 200 420000 42,0

1000000 100,0

56

Produits

% valeur ordonnés de

manière croissante

Cumul des % ordonnés

J 42,0 42 C 37,0 79 G 5,0 84 H 4,0 88 E 3,0 91 D 2,0 93 A 2,0 95 I 2,0 97 F 2,0 99 B 1,0 100

Comme nous pouvons le constater:

• deux produits représentent sensiblement 80 % de la valeur: J et C;

• trois produits représentent sensiblement 13 % de la valeur:G, H, E;

• cinq produits représentent 7 % de la valeur.

57

Produits

% valeur ordonnés

de manière décrois -sante

Cumul des %

ordonnés

J 42,0 42 C 37,0 79 G 5,0 84 H 4,0 88 E 3,0 91 D 2,0 93 A 2,0 95 I 2,0 97 F 2,0 99 B 1,0 100

58

Si nous le souhaitons, nous pouvons tracer la courbe de Pareto significative de ce type de distribution.

J C G H E D A I F B

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

A B C

59

Prévision des ventes pour l ’article C

Le problème consiste à:

• Corriger les valeurs réelles des variations saisonnières;

• à extrapoler la tendance obtenue;

• puis à intégrer les coefficients saisonniers pour disposer de prévisions à six mois.

60

Semestre 1 1 2 3 4 5 6 Ventes 532 518 583 586 443 660

Coefficients 0,95 0,9 1 1 0,75 1,1 Corrections 560 575,555556 583 586 590,666667 600 tendance 565,24 571 576,76 582,52 588,28 594,04

Semestre 2 7 8 9 10 11 12 Ventes 481 245 796 715 754 878

Coefficients 0,85 0,4 1,3 1,15 1,2 1,4 Corrections 565,882353 612,5 612,307692 621,73913 628,333333 627,142857 tendance 599,8 605,56 611,32 617,08 622,84 628,6

Semestre 3 13 14 15 16 17 18 Prévisions 602 575 645 651 492 728

61

2. Les moyennes mobilesLa tendance centrale est calculée par un

filtre centré qui pour notre exemple est donné par la relation:

62

121)

621...

1...

5621(ˆ

iy

iyiyi

yi

yiY

i variant de 7 à 18

Lorsque les moyennes mobiles sont calculées, on détermine les coefficients saisonniers de la même façon que pour le cas simple, mouvement additif; puis on désaisonnalise la chronique et on ajuste les valeurs désaisonnalisées par une droite. Cette droite sera extrapolée et les prévisions pourront être établies.