13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours

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MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

Vingt et unième cours

13/11/07

Rappel du dernier cours

• Solde restant d’un prêt: retrospectivement et prospectivement

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Rappel du dernier cours

• Solde restant d’un prêt: retrospectivement et prospectivement

• Portion de principal remboursé du ke paiement

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Rappel du dernier cours

• Solde restant d’un prêt: retrospectivement et prospectivement• Portion de principal remboursé du ke paiement• Portion d’intérêt du du ke paiement

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Rappel du dernier cours

• Solde restant d’un prêt: retrospectivement et prospectivement

• Portion de principal remboursé du ke paiement

• Portion d’intérêt du du ke paiement

• Amortissement dans le cas d’un prêt dont le remboursement consiste en des paiements égaux

13/11/07

Rappel du dernier cours

• Solde restant d’un prêt: retrospectivement et prospectivement• Portion de principal remboursé du ke paiement• Portion d’intérêt du du ke paiement• Amortissement dans le cas d’un prêt dont le remboursement consiste en des

paiements égaux• Amortissement négatif

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Rappel: Solde restant d’un prêt

Rétrospectivement

Bk est la valeur accumulée par L au temps tk moins la somme des valeurs accumulées au temps tk des k premiers paiements: P1, P2, ... , Pk

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Rappel: Solde restant d’un prêt

Rétrospectivement

Bk est la valeur accumulée par L au temps tk moins la somme des valeurs accumulées au temps tk des k premiers paiements: P1, P2, ... , Pk

Prospectivement

Bk est la somme des valeurs actuelles au temps tk des (n - k) derniers paiements: Pk+1 , Pk+2 , ... , Pn

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Rappel: Portion de principal remboursé dans le ke paiement Pk

Cette portion de principal remboursé est

Bk-1 - Bk .

ou encore

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Rappel: Portion d’intérêt du ke paiement Pk:

Cette portion d’intérêt est

Pk - (Bk-1 - Bk) .

ou encore

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Rappel: Pour un prêt remboursé par n paiements égaux au montant de 1$ à la fin de chaque période. Le montant emprunté est alors

La table d’amortissement est alors

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Rappel: Table d’amortissement

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Rappel: La portion de principal des paiements forment une suite en progression géométrique de raison (1 + i).Conséquemment si nous connaissons la portion de principal d’un paiement, nous pouvons alors calculer tous les autres portions de principal en escomptant ou accumulant selon le cas.

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Rappel:

Il est possible qu’il y ait de l’amortissement négatif, c’est-à-dire plutôt que le solde restant du prêt diminue avec un paiement, il augmente.

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Considérons maintenant la situation d’un prêt remboursé par n paiements égaux

pour lequel les périodes de capitalisation de l’intérêt et de paiement ne coïncident

pas. Il suffit de revenir au principe de base. Deux options s’offrent à nous, soit de convertir le taux d’intérêt à un dont la

période de capitalisation est la période de paiement, soit de développer la théorie.

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Considérons maintenant la situation d’un prêt remboursé par n paiements égaux au montant de 1$ à

la fin de chaque période de paiement. Supposons qu’il y a k périodes de capitalisation dans une période de paiement. Notons par i: le taux d’intérêt du prêt par

période de capitalisation et par n: la durée du prêt en période de capitalisation. Le montant emprunté L est

alors

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Table d’amortissement

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Exemple 1:

Un prêt de 25 000$ est remboursé par 5 versements égaux à la fin de chaque trimestre au montant de R dollars. Le taux d’intérêt est le taux nominal d’intérêt i(12) = 3% par année capitalisé mensuellement. Déterminer la table d’amortissement, le solde restant immédiatement après le 2e paiement, la portion d’intérêt et celle de principal du 3e paiement.

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Exemple 1: (suite)

Première approche: Déterminons le taux nominal d’intérêt i(4) équivalent au taux i(12) = 3%. Ce taux est i(4) = 3.00750625% par année capitalisé à tous les trimestres, c’est-à-dire 0.751876563% par trois mois. Nous obtenons donc l’équation de valeur suivante au moment du prêt.

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Exemple 1 (suite): Table d’amortissement

Période de paiement

Paiement Portion d’intérêtPortion de principal

Solde restant après le paiement

0 25000

1 5113.34 187.97 4925.37 20074.63

2 5113.34 150.94 4962.40 15112.23

3 5113.34 113.63 4999.71 10112.52

4 5113.34 76.03 5037.31 5075.21

5 5113.34 38.16 5075.18 0

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Exemple 1: (suite)

Le solde restant immédiatement après le 2e paiement est

La portion d’intérêt du 3e paiement est 15112.20 (0.00751876563) = 113.63$ et la portion de principal remboursé est 5113.34 - 113.63 = 4999.71$

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Exemple 1: (suite)

Deuxième approche: Le taux d’intérêt par mois est 0.25% par mois et il y a k = 3 périodes de capitalisation dans une période de paiement. La durée du prêt en période de capitalisation est de n = 15 mois. Nous obtenons donc comme équation de valeur au moment du prêt

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Exemple 1: (suite)

Nous obtenons la même table d’amortissement. Nous allons maintenant seulement expliquer comment obtenir le solde restant après le 2e paiement, les portions d’intérêt et de principal du 3e paiement. Le solde restant après le 2e paiement est

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Exemple 1: (suite)

La portion d’intérêt du 3e paiement est B2 [(1.0025)3 - 1] =113.63$ et la portion de principal du 3e paiement est 5113.34 - 113.63 = 4999.71$.

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Considérons maintenant la situation d’un prêt remboursé par des paiements égaux. Supposons qu’il y

a m périodes de paiement dans une période de capitalisation. Notons par i: le taux d’intérêt du prêt par période de capitalisation et par n: la durée du prêt en

période de capitalisation. Les paiements du prêt sont de (1/m) dollars et il y a mn paiements. Le montant

emprunté L est alors

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Table d’amortissement

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Exemple 2:

Un prêt de 5 000$ est remboursé par 6 versements égaux à la fin de chaque mois au montant de R dollars. Le taux d’intérêt est le taux nominal d’intérêt i(4) = 4% par année capitalisé à tous les trimestres. Déterminer la table d’amortissement, le solde restant immédiatement après le 3e paiement, la portion d’intérêt et celle de principal du 4e paiement.

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Exemple 2: (suite)

Première approche: Déterminons le taux nominal d’intérêt i(12) équivalent au taux i(4) = 4%. Ce taux est i(12) = 3.986740251% par année capitalisé à tous les trimestres, c’est-à-dire 0.332228354% par mois. Nous obtenons donc l’équation de valeur suivante au moment du prêt.

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Période de paiement

PaiementPortion d’intérêt

Portion de principal

Solde restant après le paiement

0 5000

1 843.05 16.61 826.44 4173.56

2 843.05 13.87 829.18 3344.38

3 843.05 11.11 831.94 2512.44

4 843.05 8.35 834.70 1677.70

5 843.05 5.57 837.48 840.22

6 843.05 2.79 840.26 0

Table d’amortissement

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Exemple 2: (suite)

Le solde restant immédiatement après le 3e paiement est

La portion d’intérêt du 4e paiement est 2512.44 (0.00332228354) = 8.35$ et la portion de principal remboursé est 843.05 - 8.35 = 834.70$

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Exemple 2: (suite)

Deuxième approche: Le taux d’intérêt par trois mois est 1% par mois et il y a m = 3 périodes de paiement dans une période de capitalisation. La durée du prêt en période de capitalisation est de n = 2 trimestres. Nous obtenons donc comme équation de valeur au moment du prêt

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Exemple 2: (suite)

Nous obtenons la même table d’amortissement. Nous allons maintenant seulement expliquer comment obtenir le solde restant après le 3e paiement, les portions d’intérêt et de principal du 4e paiement. Le solde restant après le 3e paiement est

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Exemple 2: (suite)

La portion d’intérêt du 4e paiement est B3 [(1.01)(1/3) - 1] =8.35$ et la portion de principal du 4e paiement est 843.05 - 8.35 = 834.70$.

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Nous allons maintenant étudier une autre situation,

celle des fonds d’amortissement.

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Dans certains prêts, l’emprunteur verse à intervalles réguliers l’intérêt dû et

remboursera complètement le principal L à l’échéance du prêt. Pour accumuler le

montant du prêt à l’échéance, l’emprunteur met en place un fonds dans lequel il dépose à intervalles réguliers des

versements de façon telle qu’il accumulera le principal L. Ce fonds est le fonds d’accumulation (« sinking fund »)

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Le montant accumulé dans le fonds peut à tout moment servir à rembourser une

partie du prêt. Conséquemment le montant net du prêt est le principal prêté

initialement auquel nous soustrayons la valeur accumulée dans le fonds.

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Considérons un prêt de 1$, qui sera remboursé par un paiement de 1$ après n périodes de capitalisation. Le

taux d’intérêt est le taux i par période de capitalisation. L’intérêt est payé à la fin de chaque période de

capitalisation. Au même moment, un dépôt est fait dans un fonds rémunéré au taux d’intérêt j. Ces dépôts sont

tous égaux et la valeur accumulée est 1$ après n périodes de capitalisation. La période de capitalisation de

l’intérêt du fonds est la même que celle du prêt. Nous obtenons le tableau suivant.

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Si nous notons par R le montant déposé dans le fonds à la fin de chaque période

de capitalisation, alors nous avons l’équation

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Exemple 3:

Un prêt de 5 000$ est remboursé par un versement de 5000$ après cinq ans. Le taux d’intérêt est le taux effectif d’intérêt i = 5% par année. Un fonds d’amortissement est mis en place pour accumuler le 5000$ à la fin de la cinquième année. Des dépôts de R dollars seront faits à la fin de chaque année pendant 5 ans. Ce fonds est rémunéré au taux effectif d’intérêt j = 4% par année. Déterminer la table pour ce fonds d’amortissement et le montant net du prêt immédiatement après le 3e dépôt.

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Exemple 3: (suite)

Pour déterminer R, il faut noter que nous avons l’équation de valeur suivante à la fin de la cinquième année:

Le montant d’intérêt payé à chaque année

est 5000 (0.05) = 250$.

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Période Intérêt payéVersement

dans le fonds

Intérêt gagné par le fonds

pendant la période

Valeur accumulée

dans le fonds

Montant net du prêt

0 5000

1 250 923.14 0 923.14 4076.86

2 250 923.14 36.93 1883.21 3116.79

3 250 923.14 75.33 2881.67 2118.33

4 250 923.14 115.27 3920.08 1079.92

5 250 923.14 156.80 5000.02 0

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Exemple 4:

Un prêt de 75 000$ est remboursé par un versement de 75 000$ après huit ans et des versements annuels d’intérêt faits à la fin de chaque année pendant 8 ans. Le taux d’intérêt est le taux effectif d’intérêt i = 5% par année. Ainsi l’emprunteur paiera 3750$ d’intérêt par année. Un fonds d’amortissement est mis en place pour accumuler le 75 000$ à la fin de la huitième année. Des dépôts de R dollars seront faits à la fin de chaque année pendant 8 ans. Ce fonds est rémunéré au taux effectif d’intérêt j = 3% par année. Déterminer R, ainsi que le montant net d’intérêt payé à la fin de la 5e année et le montant net du prêt immédiatement après le 5e dépôt.

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Exemple 4: (suite)

Nous avons l’équation de valeur suivante:

Conséquemment l’emprunteur versera 3750 + 8434.23 = 12184.23$ à chaque année,

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Exemple 4: (suite)

Le montant net d’intérêt payé à la fin de la 5e année est le montant d’intérêt 3750, auquel nous soustrayons le montant d’intérêt gagné par le fonds d’amortissement pendant la 5e année. Au début de la 5e année (c’est-à-dire après le 4e dépôt), le montant accumulée dans le fonds est

Le montant d’intérêt gagné par le fonds pendant le 5e

année est 35285.67(0.03) = 1058.57$. Donc le montant net d’intérêt payé à la fin de la 5e année est3750 - 1058.57 = 2691.43$.

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Exemple 4: (suite)

Le montant net du prêt à la fin de la 5e année est le montant emprunté 75000, auquel nous soustrayons le montant accumulé dans le fonds d’amortissement après le 5e dépôt, à savoir