29/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt-quatrième cours

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MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

Vingt-quatrième cours

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Rappel du dernier cours

• Formule basique du prix d’une obligation

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Rappel du dernier cours

• Formule basique du prix d’une obligation• Formule Prime/escompte du prix d’une

obligation

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Rappel du dernier cours

• Formule basique du prix d’une obligation• Formule Prime/escompte du prix d’une

obligation• Formule du montant de base du prix d’une

obligation

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Rappel du dernier cours

• Formule basique du prix d’une obligation• Formule Prime/escompte du prix d’une

obligation• Formule du montant de base du prix d’une

obligation• Formule de Makeham du prix d’une obligation

29/11/07

Rappel du dernier cours

• Formule basique du prix d’une obligation• Formule Prime/escompte du prix d’une

obligation• Formule du montant de base du prix d’une

obligation• Formule de Makeham du prix d’une obligation• Valeur comptable d’une obligation

29/11/07

Rappel du dernier cours

• Formule basique du prix d’une obligation• Formule Prime/escompte du prix d’une

obligation• Formule du montant de base du prix d’une

obligation• Formule de Makeham du prix d’une obligation• Valeur comptable d’une obligation • Amortissement d’une obligation

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Rappel:

La formule basique pour le prix d’une obligation est

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Rappel:

La formule prime/escompte pour le prix d’une obligation est

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Rappel:

La formule du montant de base pour le prix d’une obligation est

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Rappel:

La formule de Makeham pour le prix d’une obligation est

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Rappel:

Si P > C, nous disons que l’obligation est vendue à prime.

Si P < C, alors nous disons que l’obligation est vendue à escompte.

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Rappel de notations:

• la valeur comptable de l’obligation après le versement du ke coupon sera notée par Bk

• la portion d’intérêt du ke coupon sera notée par Ik

• l’ajustement à être apporté à la valeur comptable de l’obligation dans le ke coupon sera notée Pk

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Rappel:

Si l’obligation a n versements de coupon, alors B0 = P et Bn = C .

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Rappel:

La valeur comptable Bk immédiatement après le ke coupon est obtenue en utilisant une des formules (formule basique ou encore formule prime/escompte ou les deux autres) du prix de l’obligation au taux de rendement i obtenu lors de l’achat de l’obligation. Il faut considérer la somme des valeurs actuelles des coupons et de la valeur de remboursement.

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Rappel: La portion d’intérêt Ik du ke coupon estiB(k- 1) . C’est ce que doit nous rapporter l’obligation pour une période au taux i.

L’ajustement Pk à apporter à la valeur comptable dans le ke coupon est Pk = Fr - Ik .

Nous avons Bk = Bk-1 - Pk .

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Considérons maintenant la table d’amortissement d’une obligation dont la valeur de remboursement C = 1$ et les montants des coupons sont égaux. Par la définition de taux modifié d’intérêt, les coupons sont au montant de g dollars. Le prix de l’obligation est (1 + p) dollars, où p

peut être négatif ou positif.

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À cause de la formule prime/escompte, nous avons

où i est le taux de rendement .

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Mais nous aurions aussi pu utiliser la formule basique et obtenir

où i est le taux de rendement .

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Exemple 1:

Considérons l’obligation 5.625 May 08n du Département du Trésor américain achetée le 22 novembre 2004 au prix de 107.80 pour un taux de rendement de 1.625% par six mois. Le coupon est de 5.625/2 = 2.8125$ à chaque semestre. La table d’amortissement est alors

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Période de capitalisation

Coupon Intérêt Ik

Ajustement Pk

Valeur comptable Bk

0 107.80

1 2.8125 1.75175 1.06075 106.74

2 2.8125 1.734525 1.077975 105.66

3 2.8125 1.716975 1.095525 104.56

4 2.8125 1.6991 1.1134 103.45

5 2.8125 1.6810625 1.1314375 102.32

6 2.8125 1.6627 1.1498 101.17

7 2.8125 1.6440125 1.1684875 100

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Exemple 2:

Considérons une obligation dont la valeur nominale est 1000$, la valeur de remboursement de 1100$, le taux facial est de 5% par année et les coupons sont versés une fois par année. La durée de vie de cette obligation est de 7 ans. Celle-ci est achetée pour obtenir un rendement de 6% par année. Déterminons son prix et sa table d’amortissement. Le coupon est de 1000 (0.05) = 50$ à chaque année.

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Exemple 2: (suite)

En utilisant la formule basique, nous obtenons pour le prix

Cette obligation est achetée à escompte, car son prixP = 1010.68 est inférieur à sa valeur de remboursementC = 1010.

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Période de capitalisation

Coupon Intérêt Ik

Ajustement Pk

Valeur comptable Bk

0 1010.68

1 50 60.6408 -10.6408 1021.32

2 50 61.2792 -11.2792 1032.60

3 50 61.956 -11.956 1044.56

4 50 62.6736 -12.6736 1057.23

5 50 63.4338 -13.4338 1070.66

6 50 64.2396 -14.2396 1084.90

7 50 65.094 -15.094 1010

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Dans l’exemple précédent, si nous voulons calculer la valeur comptable B4,

nous utilisons la formule basique et obtenons puisqu’il reste 3 périodes de capitalisation et 3 coupons de 50$ . Donc

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Nous aurions aussi pu calculer cette valeur comptable B4, retrospectivement. Dans ce cas nous utilisons la valeur accumulée du prix au taux de rendement à la date du 4e coupon, auquel nous soustrayons la somme des valeurs accumulées des coupons versés à la même date, à savoir celle du 4e coupon. Il faut inclure le 4e coupon. Donc

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Ainsi nous avons deux approches pour calculer la valeur comptable Bk d’une

obligation: prospectivement ou encore rétrospectivement.

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Prospectivement il suffit d’utiliser une des formules du prix pour calculer la somme des valeurs actuelles des (n - k) coupons

non versés et la valeur actuelle de la valeur de remboursement pour (n - k)

périodes de capitalisation. Ces calculs sont faits avec le taux de rendement i

obtenu lors de l’achat

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Rétrospectivement il suffit de calculer la valeur accumulée du prix d’achat P de l’obligation après le ke coupon, auquel

nous soustrayons la somme des valeurs accumulées des k premiers coupons. Ces calculs sont faits avec le taux de rendement i obtenu lors de l’achat

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Exemple 3:

Reprenons l’exemple 1 du 23e cours. Considérons une obligation dont la valeur nominale est 75000$ d’une durée de vie de 15 ans ayant des coupons semestriels au taux facial: le taux nominal de 8% par année capitalisée semestriellement et qui sera remboursé à 78000$ si cette obligation est achetée pour que le taux de rendement soit 10% par année capitalisé semestriellement.

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Exemple 3: (suite)

Avec nos notations précédentes, nous avons

F = 75000$

C = 78000$

r = 8%/2 = 4% par semestre

n = 15 x 2 = 30 semestres

i = 10%/2 = 5% par semestre

Nous avons aussi calculé le prix P = 64164.79$

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Exemple 3: (suite)

Déterminons la valeur comptable B17 immédiatement après le 17e coupon, la portion d’intérêt I18 de la 18e période et l’ajustement à apporter P18 à la valeur comptable au 18e coupon.

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Exemple 3: (suite)

Prospectivement nous obtenons que

Rétrospectivement nous obtenons que

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Exemple 3: (suite)

La portion d’intérêt I18 de la 18e période est

L’ajustement P18 à apporter à la valeur comptable est

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Exemple 3: (suite)

Conséquemment la valeur comptable à la fin de la 18e période est

B18 = B17 - P18 = 69545.78 - (-477.29) = 70023.07.

Nous pourrions vérifier aussi ceci. Prospectivement

ou encore rétrospectivement

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Lorsque les coupons de l’obligation sont égaux, nous pouvons remarquer que les

ajustements Pk de la valeur comptable forment une suite géométrique de raison

(1 + i).

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L’amortissement est tout à fait similaire à ce qui se produit pour l’amortissement des prêts. Lorsque les coupons sont

égaux pour l’obligation et que les paiements sont égaux pour le prêt. La valeur comptable de l’obligation au ke

coupon est similaire au solde restant du prêt après le ke paiement. La portion

d’intérêt de la ke période pour l’obligation correspond à la portion d’intérêt du ke

paiement.

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Finalement l’ajustement pour l’obligation est similaire à la portion de principal.

Cependant pour l’obligation, l’ajustement peut être négatif ou positif; alors que la portion de principal pour les prêts est

toujours positive.

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Nous avons décrit jusqu’à maintenant la méthode actuarielle pour la construction

de la table d’amortissement de l’obligation. Il existe une seconde méthode beaucoup plus simple: la

méthode linéaire.

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Dans la méthode linéaire, l’ajustement à apporter à chaque valeur comptable est constant à chaque période et est égal à

s’il y a n coupons. La portion d’intérêt de chaque coupon est constante et égale à Fr - Pk = Fr - [(P-C)/n].

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Exemple 4:

Reprenons l’exemple de l’obligation 5.625 May 08n du Département du Trésor américain considérée à l’exemple 1. Cette obligation achetée le 22 novembre 2004 au prix de 107.80 pour un taux de rendement de 1.625% par six mois. Le coupon est de 5.625/2 = 2.8125$ à chaque semestre. Dans ce cas, l’ajustement sera toujours

(107.80 - 100)/7 = 1.1143$

La table d’amortissement est alors

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Période de capitalisation

Coupon Ajustement Pk

Valeur comptable Bk

0 107.80

1 2.8125 1.1143 106.69

2 2.8125 1.1143 105.58

3 2.8125 1.1143 104.47

4 2.8125 1.1143 103.36

5 2.8125 1.1143 102.25

6 2.8125 1.1143 101.11

7 2.8125 1.1143 100

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Nous allons maintenant considérer le prix d’une obligation entre des paiements de coupon. Avant d’analyser plus en détail

ceci, nous allons illustrer ce prix en faisant l’hypothèse que le taux de rendement

demeure constant pour toute la durée de vie de l’obligation.

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Considérons le prix P(x) d’une obligation au moment x de sa durée de vie dont les valeurs nominale et de remboursement

sont de 100$, le taux facial est r = 4% par période de capitalisation, d’une durée de

vie de 8 périodes de capitalisation en supposant que le taux de rendement est

6% par période de capitalisation. Ici x est compris entre 0 et 8.

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Alors P(x) est obtenu prospectivement en considérant la somme des valeurs actuelles des coupons de 4$ et de la valeur actuelle de la valeur de remboursement de 100$. Nous obtenons donc que

Nous avons illustré cette fonction sur le graphe suivant:

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Notons qu’il y a un saut à chaque x égal à un entier et il est égal à -4. En effet,

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À cause de ces sauts, il est nécessaire de considérer deux prix: le prix uniforme (« flat price ») et le prix du marché

(« market price ») ou encore la valeur comptable de l’obligation.