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Absorption par résonateurs de Helmholtz distribués pour application automobile.

Olivier TANNEAU ALTRAN AIT

Olivier SAUVAGE PSA Dir. Innovation

Pierre LAMARY ALTRAN AIT / Volage-ltd

ISMEP (essais)

Volage-ltd (code OpenCavok)

Colloque Vibrations Chocs et Bruit Lyon 2008

Introduction

Contexte- Actuellement de nombreux systèmes d’absorption

acoustique sont étudiés, notamment les systèmes acoustiques résonnants,

- Notre rôle est un accompagnement théorique et de modélisation.

Plan

- Partie A : présentation des milli-résonateurs de Helmholtz et leur modélisation classique,

- Partie B : développement d’une approche (complémentaire) éléments finis.

A : Les milli-résonateurs de Helmholtz

fonction et intérêt pratique

cavités d’air

Plaque perforée (trous de petits diamètres < 2 mm)

Famille des résonateurs à plaque micro-perforée

Cas moyennes et hautes fréquences : petites cavités

Moins courant

Exemples (très classiques) : Nacelles de réacteur d’avion,Batiment,

Et de plus en plus de cas automobiles.

Raisons :- remplacement matériaux poreux (coûts, normes, …),- encombrement réduit,- environnement difficile (température par ex.),- aspect esthétique.

Notamment, PSA a déposé un nombre important de brevets d’invention depuis quelques années.

L = 10cm , BF < 800hz

L = qq. mm , HF > 2000Hz

A : Les milli-résonateurs de Helmholtz

principe

Inertie => MDissipation => C

Raideur => KDissipation => C’

1) Entre en résonance sqrt(K/M) opp. phase2) Dissipe de l’énergie (C et/ou C’)

Absorption acoustique � puissance dissipée dans le résonateurRq : ajuster K/M avec C et C’ = 0 produit un résultat nul en

absorption …

Fréquence

Absorption α100%

~sqrt(K/M)

~C

volumecol

Cas classique :Cols de « grandes » dimensions, C’ domine par ajout de matériau absorbant.

Cas micro-perforé (ici ) : C domine (pas besoin d’absorbant dans le volume )

Configuration « 1 ddl »

Courbe d’absorption typiqueDans la pratique, des combinaisons de ce type de cellules sont envisagées (cas multi-ddls) pour élargir la bande d’efficacité

Αlpha = Wd/Wi

A : Les milli-résonateurs de Helmholtz

modélisation traditionnelle (I)

1) Homogénéisation pore ∞

Profil de vitesse (vibratoire)Sol. analytique équ. Navier-Stokes lin.+ thermo

2) Corrections de bouches

Densité et incompressibilités (complexes) apparentes d’un fluide équivalent(Crandall 1927, Stinson 1991). Modèle très prédictif si comportement 1D …

δe = 0.85 r

Différentes approches (Sivian 1935, Ingard 1953) +/- équivalentes à un allongement δe du pore (Melling 1973, Dupont 2002).

+ corrections empiriques (Fok 1941) si proximité des trous

Forte amplitude vitesse

Couche limite (viscosité)

Rq : ne règle pas tout (pb. pour très faibles épaisseurs, nécessite autres corrections de viscosité)

A : Les milli-résonateurs de Helmholtz

modélisation traditionnelle (II)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )Dkjz

jk

xxJ

xJxF

rkF

r

rkF

e

c

jz

zLzR

zLjRvz

pz

ocavite

oS

o

SSoperfos

perfosperfos

cavitéo

cot

,2

1

'3

16

'

/,

1

−=

−=−=

+=

ℑ=ℜ=

++==

µωρ

φπψφω

ωε

ωφ

( ) ( )

( )2max

22

2

1

4

cot1

411

1

R

R

DkLR

R

z

z

W

W

oi

a

+=

−++=

+−−==

α

ωα

p

Sv

zperfoszcavité

z : Impédance de paroi normaliséeφ = Sperfos / Smotif : porosité

ψ’ : fonction de correction de Fok (cor. interactions entre trous)Ji : fonction de Bessel

µ :viscosité dynamique (=1.85e-5 Pa.s)kS’ comme kS avec µ’ ≈ 2µco, ko, zo, ρo : célérité, nombre

d’onde, impédance caractéristique et masse volumique de l’airε : correction type Dupont

Rq : l’absorption maximale ne dépend que de la résistance (terme dissipatif)

Absorption (onde plane incidence normale) :

3) Réduction à un assemblage d’impédances ou de matrices de transfert

L’impédance de saut de la perforation se décompose en une réactance (masse) et une résistance (amortissement).

L’impédance de cavité se réduit à une raideur (rq. ici elle incorpore les résonances de cavité dans la profondeur).

Rq : des alternatives permettant d’éviter l’usage des fonctions de Bessel sont souvent proposées (Maa 1998, Melling 1973).

Formulaire de calcul d’absorption pour un système plaque perforée + cavité

A : Les milli-résonateurs de Helmholtz

exemple sur un cas simple (I)

1-90 mm

Cavité air

HPBruit blanc

Pastilles d = 2 mm, p = 3.5%

Pastilles d = 1 mm, p = 2.5%

Joint « patafix »

2 micros

D tube = 35 mmFréq. lim: 5.5kHz

Coeff. réflexion puis absorption

Essais au tube de Kundt

A : Les milli-résonateurs de Helmholtz

exemple sur un cas simple (II)

102

103

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1r = 0.5mm, φ = 2%, e = 2mm L = 47mm, cor. Melling µ' = 2.35µ

Fréquences (Hz)

α

ech. 1ech. 2calcul

103

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Fréquences (Hz)α

Vert : Ech I -D 1mm - L ~2-3mm Rouge : Ech II -D 1mm - L ~3.5mm Cyan : Ech II - D 1 mm - L ~2.5mm Magenta : Ech II - D 1mm - L ~1.5-1.8 mmJaune : Ech I - D 1mm - L ~4.5 mm Rouge -- : Ech I - D 1mm - L ~3.5-3.7 mm Cyan -- : Ech I - D 1 mm - L ~2.5mm Noir : Ech I - D 1 mm - L ~1mm

calculs r=0.5mm, φ =2%, e=2mm, L=1mm, 2.5mm et 4.5mmµ' = 2.34 µε = 3, 2 et 1.7

Courbes d’essais et calcul pour cas de « grande cavité » (5 cm environ) et plaque perforée (diamètre 1 mm)

Rq : corrections classiques

Idem mais « Petites cavités » (de 1 à 5 mm).

Correction de résistance importante ! (facteur 1.7 à 3 sur R alors que les corrections de longueur et de viscosité étaient déjà appliquées).

⇒ modélisation (dissipation dans la cavité ?)⇒ montage (sensibilité joint, ajustement, etc …)

B : Modélisation éléments finis

Objectifs

• Etude des modèles classiques– cas des petites perforation « courtes » : la solution de champ de vitesse

utilisée est à prioti valable pour un pore 1D infini, Pour pore fini, il y a le problème du calcul de la résistance (amortissement) ?

– cas de perforation de forme plus complexe (cf. Randeberg 2000 : modélisation perforations de type fentes et pavillons par différences finies).

• Modéliser des réseaux de cavités reliées par des cols – valider des modélisations analytiques (impédances) plus rapides,– proposer des concepts avancés.

B : Modélisation éléments finis

Formulations variationnelles

( )kk

ijijkkij

jiji

Kp

jjK

u

εµεωδεωµσ

σρω

=−

+−=

=−

232

,2

3-

5

kg.m 1.224

Pa.s10.84.1

Pa140000

===

−

ρµK

( )

ijijkkij

V S iiiiV

V V V S jijiiiijijii

jj

pudSnpudVupdVK

pp

dSnudVpudVdVuu

ωµεδωµεσ

δδδδδ

σδδσδερωδ

2~

et

~~

32

,

,2

+−=

∀=+−

=++−

∫ ∫∫

∫ ∫ ∫ ∫

Equation d’équilibre et comportement

Échelle très différente entre phénomènes de compression (élastique) et cisaillement (visqueux) => blocages numériques

Choix d’une formulation mixte pression-déplacement :

Couplage par gradients de pressiondissipationsinertie

compression

A 1 kHz :

mm07.02

mm3402

==

===

ρωµ

ρωπλ

µd

K

f

c

B : Modélisation éléments finis

Discrétisation

Tétrahèdre T10

Interpolation quadratique standard :

Rq. : d’autres formulations et discrétisations ont été tentées : T10 déplacement (=> blocage), éléments mixtes à pression condensée (=> instable)ou sous-interpolée (couplages en p.div (u) au lieu de u.grad(p)) (=> instable sur maillages complexes)

{ }{ }PNp

UNu

p

u

=

=

Mêmes interpolations pour u et p

4 ddls / Noeuds

Gauss complet

B : Modélisation éléments finis

Premiers résultats

Absorption calculée

0,00E+00

1,00E-01

2,00E-01

3,00E-01

4,00E-01

5,00E-01

6,00E-01

7,00E-01

8,00E-01

9,00E-01

1,00E+00

0,00E+00 1,00E+03 2,00E+03 3,00E+03 4,00E+03 5,00E+03 6,00E+03 7,00E+03

Fréquence (Hz)

Alp

ha solution numériquesolution analytique

Maillage 53400 ddlsDistance nœuds dans le col : environ 100 µm

À 3 kHz, couche limite : 40 µm⇒ Maillage insuffisant sur les parois⇒ cependant les résultats sont comparable au modèle analytique jusque 3 kHz ici

Modèle analytique sans correction de viscosité ou de résistance autres que les corrections de longueur

cavité du résonateur10x10x1mm3

Milieu d’excitationP=1 imposé

Col (d=1mm, L=2mm)

OpenCavok V4

Conclusion et perspectives

Moyens de calculs développés pour les systèmes résonant utilisant de petits perforations

- Calculs par impédances standards - développement d’une approche en éléments finis directe

Perspectives

- Recherche d'éléments finis robustes / formulations variationnelles Dont: Extension au couplage à la thermique ( systèmes d’équations de Kirchhoff)- Etude de la convergence en maillage (critère et méthode de maillage à établir), - Etude de l’influence de la géométrie des perforations,- Modélisation d’enchevêtrements de cavités complexes, - Homogénéisation numérique

- Transmissibilité

Merci de votre attention