Analyse fréquentielle Cours 6.1. Plan Série de Fourier Transformé de Fourier Théorème de...

Analyse Analyse fréquentiellefréquentielle

Cours 6.1Cours 6.1

PlanPlan• Série de Fourier• Transformé de Fourier• Théorème de convolution• Filtrage fréquentiel

Analyse fréquentielleAnalyse fréquentielle• Idée maîtresse:

– Convertir du domaine spatial vers le domaine fréquentiel pour effectuer des manipulations.

– Ensuite, on convertit (conversion inverse) la solution du domaine fréquentiel vers le domaine spatial!

• Et voila

Série de FourierSérie de Fourier• Toute fonction périodique

– Sommation de fonctions sinus et cosinus de fréquences diverses

– Chacune multipliée par un coefficient différent

Série de Fourier

Transformée de FourierTransformée de Fourier• Toute fonction, même apériodique,

mais dont l'aire sous la courbe est finie,– L'intégrale de fonctions sinus et

cosinus– Chacune multipliée par un coefficient

différent

Transformée de Fourier

Transformée de FourierTransformée de Fourier• Caractéristique importante:

– Toute fonction peut être "transformée" du domaine Fourier au domaine original par une transformée inverse

• sans perte d'information

Transformée de FourierTransformée de Fourier• En imagerie

– Pas de fonction cyclique en général– Mais fonctions finies

aires sous la courbe finies!

Transformé de Fourier

Transformé de FourierTransformé de Fourier

1

ˆ

2

2

2

j

dueuFxf

dxexfuF

uxj

uxj

Transformé de FourierTransformé de Fourier

1,,1,0 avec

1,,1,0 avec 1

1

0

2

1

0

2

MxeuFxf

MuexfM

uF

M

u

M

uxj

M

x

M

uxj

Transformé de FourierTransformé de Fourier• Formule d'Euler

1

0

1

0

2

2sin

2cos

1

1

sincos

M

x

M

x

uxj

j

M

uxj

M

uxxf

M

exfM

uF

je

Transformé de FourierTransformé de Fourier• Coordonnés polaires

Spectre(Magnitude)

Phase(angle de phase)

uR

uIu

uIuRuF

euFuF uj

arctan

2/122

Transformé de FourierTransformé de Fourier

Transformé de FourierTransformé de Fourier• Spectre de puissance densité spectrale

• Mesure de l'énergie

22

2ˆ

uIuR

uFuP

Transformé de FourierTransformé de Fourier

1

,,

,,

2

2

2

j

dvduevuFyxf

dydxeyxfvuF

vyuxj

vyuxj

Transformé de FourierTransformé de Fourier

1,,1,0

1,,1,0 avec

,,

1,,1,0

1,,1,0 avec

,1

,

1

0

1

0

2

1

0

1

0

2

Ny

Mx

evuFyxf

Nv

Mu

eyxfMN

vuF

M

u

N

v

N

vy

M

uxj

M

x

N

y

N

vy

M

uxj

Transformé de FourierTransformé de Fourier

Spectre

Phase

Spectre depuissance

22

2

2/122

,,

,,

,

,arctan,

,,,

vuIvuR

vuFvuP

vuR

vuIvu

vuIvuRvuF

Transformé de FourierTransformé de Fourier• Multiplier la fonction d’entrée par (-1)x+y pour

«centrer» la transformée

• D'où

• Et

2,

2 avec

1

00

2

)(

00 Nv

Mue

e

N

yv

M

xuj

yxjyx

2,

2, positionen 1, 00

NMvuyxfOrigine yx

00 ,1, vvuuFyxf yx

Transformé de FourierTransformé de Fourier• F(0,0) est la moyenne des niveaux de

gris

1

0

1

0

,1

0,0M

x

N

y

yxfMN

F

Transformé de FourierTransformé de Fourier

Transformé de FourierTransformé de Fourier• Si f(x,y) est réel

– La transformé est conjugué symétrique

– Le spectre est symétrique!

F u v F u v( , ) ( , )

Transformé de FourierTransformé de Fourier• Échantillonnage dans le domaine spatial et

dans le domaine fréquentiel

• Relation inverse des dimensions– Toute mesure faite dans un domaine peut être

directement vue dans l’autre domaine

uM x

1

v

M y

1et

Transformé de FourierTransformé de Fourier• Interprétation intuitive du spectre ?

– Chaque terme de F(u,v) est fonction de TOUTES les valeurs de f(x,y) pondérées par l'exposant

– Impossible de faire une relation entre les éléments de chaque fonction

Transformé de FourierTransformé de Fourier• Interprétation intuitive du spectre ?

– Les fréquences sont reliées directement aux taux de changements de tons de gris dans l'image

– La valeur de F(0,0) est la moyenne, à la fréquence nulle• composante DC (Direct Current)

– Plus on s'éloigne du centre, plus la fréquence augmente

Transformé de FourierTransformé de Fourier

Transformé de FourierTransformé de FourierSpectre

Phase

Transformé de FourierTransformé de Fourier

• Correspondance entre filtres spatial et fréquentiel ?

• Pour deux fonctions f(x,y) et h(x,y)1 de dimension M X N, la convolution discrète est définie par

Théorème de ConvolutionThéorème de Convolution

f x y h x y

MNf m n h x m y n

n

N

m

M

( , ) * ( , )

( , ) ( , )

1

0

1

0

1

1(pour une fonction h(x,y) symétrique à l'origine)

Théorème de ConvolutionThéorème de Convolution

f x y h x y F u v H u v( , ) * ( , ) ( , ) ( , )

f x y h x y F u v H u v( , ) ( , ) ( , ) * ( , )Convolution

Convolution

Multiplication

Multiplication

Domainespatial

Domainefréquentiel

Théorème de ConvolutionThéorème de Convolution• Soit une fonction filtre fréquentielle• Il existe un filtre spatial associé

– Calculer la transformé inverse du filtre fréquentiel

• Et vice-versa !