Analyse Numérique - WordPress.com · 2020. 3. 17. · Nous avons présenté dans ce cours une...

ESCE UM AVEIRO

Analyse Numérique

Saiida LAZAAR

ENSA de TangerUniversité AbdelMalek Essaadi, Maroc

Méthodes numériques pour la résolution d’équations différentielles

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Plan

1 Introduction

2 Méthode d’Euler

3 Méthodes à un pas

4 Définitions générales

5 Méthode de Runge Kutta

6 Conclusion

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Introduction

Plan

1 Introduction

2 Méthode d’Euler

3 Méthodes à un pas

4 Définitions générales

5 Méthode de Runge Kutta

6 Conclusion

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Introduction

- Certaines équations différentielles ne peuvent pas être résolues sousforme explicite. Ex. : dy

dt = y2 − t

- Cependant, on peut approximer la solution de ces équations par desméthodes numériques.

- Nous allons nous concentrer sur le problème de Cauchy et nousallons voir des méthodes d’approximation de type Euler, et RungeKutta.

- Par soucis de simplicité, nous allons nous restreindre aux méthodesà un pas.

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Introduction

Problème de Cauchy

HypothèsesSoit I un intervalle de IR non réduit à un point, soit t0 ∈ I.f désigne une fonction continue sur I × IR à valeurs dans IR. Soity0 un réel donné.

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Introduction

Problème de Cauchy

DéfinitionOn appelle problème de Cauchy le problème suivant : Trouver y unefonction continue et dérivable sur I à valeurs réelles telle que :

∀t ∈ I, y′(t) = f (t , y(t)), y(t0) = y0

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Méthode d’Euler

Plan

1 Introduction

2 Méthode d’Euler

3 Méthodes à un pas

4 Définitions générales

5 Méthode de Runge Kutta

6 Conclusion

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Méthode d’Euler

Méthode d’Euler

IntroductionSoit le problème différentiel suivant : trouver y telle que∀t ∈ [t0, t0 + T ] y

′(t) = f (t , y(t)), y(t0) = y0

Nous supposons que f est continue sur [t0, t0 + T ]× IR et vérifie unehypothèse de Lipshitz :

∃L/∀t ∈ [t0, t0 + T ], |f (t , y)− f (t , z)| ≤ L|y − z|, ∀y , z ∈ IR

Nous allons voir que le problème de Cauchy admet une solutionunique qu’on va approcher de façon discrète.

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Méthode d’Euler

Solution du problème de Cauchy

DiscrétisationOn se donne une subdivision de [t0, t0 + T ] soit :

t0 < t1 < ... < tN = (t0 + T )

On pose hn = tn+1 − tn pour n = 0, ...,N − 1 le pas de discrétisation eton note h = maxhn

Solution numériqueSi y désigne la solution du problème de Cauchy, on :

y(tn+1) = y(tn) +

∫ tn+1

tny

′(t)dt = y(tn) +

∫ tn+1

tnf (t , y(t))dt

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Méthode d’Euler

Solution du problème de Cauchy

Schéma d’Euler

La méthode d’Euler s’écrit en remplaçant∫ tn+1

tn f (t , y(t))dt parf (tn, yn).hn dans l’équation précédente.On remarque ici une approximation de l’intégrale par une méthode dequadrature.

Schéma d’Euler explicite et impliciteDans la solution précédente, on change seulement le terme f (., yn), onintroduit tn ou tn+1

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Méthode d’Euler

Solution du problème de Cauchy

Schéma d’Euler explicite

yn+1 = yn + hnf (tn, yn)

Schéma d’Euler implicite

yn+1 = yn + hnf (tn+1, yn+1)

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Méthodes à un pas

Plan

1 Introduction

2 Méthode d’Euler

3 Méthodes à un pas

4 Définitions générales

5 Méthode de Runge Kutta

6 Conclusion

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Méthodes à un pas

Méthodes à un pas

DéfinitionConsidérons le problème de Cauchy avec la condition de Lipshitz et lamême subdivision de l’intervalle I.

Une méthode à un pas s’écrit :{yn+1 = yn + hnΦ(tn, yn,hn),n ≥ 0y0 = η

On suppose que Φ est continue et ne dépend que de f .

Remarque : Φ(t , y ,h) = f (t , y) pour la méthode d’Euler.

ThéorèmeSi la méthode à un pas est stable et consistante, alors elle estconvergente.

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Définitions générales

Plan

1 Introduction

2 Méthode d’Euler

3 Méthodes à un pas

4 Définitions générales

5 Méthode de Runge Kutta

6 Conclusion

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Définitions générales

Consistance, convergence, stabilité

ConsistanceLa méthode à un pas est consistance avec l’équation différentielleinitiale si pour toute solution du problème de Cauchy, on ait :

∑N−1i=0 |y(tn+1)− y(tn)− hnΦ(tn, y(tn),hn)| → 0 quand hn → 0.

Convergencemaxn|y(tn)− yn| → 0.

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Définitions générales

Ordre d’une méthode à un pas

DéfinitionLa méthode à un pas est d’ordre p > 0 s’il existe un réel Kindépendant de y et de Φ tel que :

N−1∑n=0

|y(tn+1)− y(tn)− hnΦ(tn, y(tn),hn)| ≤ Khp

pour toute solution y ∈ Cp+1[t0, t0 + T ¸] de l’équation y′(t) = f (t , y(t))

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Définitions générales

Exemple de méthodes à un pas

Méthode du développement de Taylor

voir les détails au tableau.

*Pour p = 1, on retrouve la méthode d’Euler.

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Méthode de Runge Kutta

Plan

1 Introduction

2 Méthode d’Euler

3 Méthodes à un pas

4 Définitions générales

5 Méthode de Runge Kutta

6 Conclusion

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Méthode de Runge Kutta

Méthode de Runge Kutta

Les méthodes de Runge-Kutta sont des méthodesd’approximation de solutions d’équations différentielles.En 1901, elles ont été nommées en l’honneur des mathématiciensCarl Runge et Martin Wilhelm Kutta.Ces méthodes reposent sur le principe d’itération : Une 1èreestimation de la solution est utilisée pour calculer une secondeplus précise.

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Méthode de Runge Kutta

Méthode de Runge Kutta d’ordre q

Définition

tn,i = tn + cihn

yn,i = yn + hn∑

1≤j<i

aijpn,j

pn,i = f (tn,i , yn,i)tn+1 = tn + hn

yn+1 = yn + hn∑

1≤j<q

bjpn,j

On a toujours :∑

1≤j<i aij = ci ,∑

1≤j<q bj = 1.

**Pour les méthodes d’ordre 2 et 4, voir explications au tableau.

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Conclusion

Plan

1 Introduction

2 Méthode d’Euler

3 Méthodes à un pas

4 Définitions générales

5 Méthode de Runge Kutta

6 Conclusion

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Conclusion

ConclusionNous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analysenumérique.Une introduction à la discrétisation numérique a également étéprésentée.Les schémas numériques présentés ont été illustrés sur unmodèle mathématique régi par une équation de typey

′(t) = f (t , y(t)).

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