PERPENDICULAIRESjl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Perpendiculaires... · Angel Montesdeoca et...

PERPENDICULAIRES

À

TROIS CÉVIENNES CONCOURANTES

Jean - Louis AYME 1

A

B C

M

P

Q

R

Résumé. Cet article traite de perpendiculaire à trois céviennes concourantes dans un triangle. Une preuve originale permet d'englober tous les cas. Une ouverture est présentée enfin

de l'article ce qui permet d'envisager un possible développement. Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.

Remerciements. Ils vont tout particulièrement aux professeurs Ercole Suppa (Italie), Kostas Vittas et Nikolaos Dergiades (Grèce), Angel Montesdeoca et Francisco Garcia Capitan (Espagne), Elhassan Rhomari (Maroc) et Mark Tudosi (États-Unis). Leur passion pour la Géométrie du Triangle mérite d'être remarquée et soulignée par les Géomètres contemporains.

Abstract. This article deals with perpendicular to three concurrent cevians in a triangle.

An original proof allows proving all cases. An opening is finally presented at the end of the article which allows considering a possible development.

The figures are all in general position and all cited theorems can all be proved synthetically.

Aknowledgment. They go particularly to professors Ercole Suppa (Italy), Kostas Vittas and Nikolaos Dergiades (Greece), Angel Montesdeoca and Francisco Garcia Capitan (Spain), Elhassan Rhomari (Marroco), Mark Tudosi (United States). Their passion for the geometry of the Triangle should be noticed and underlined by the contemporary Geometers.

1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan Indien, France), le 11/03/2018 ; jeanlouisayme@yahoo.fr

2

2

Sommaire

I. Terminologie 5

II. Point M 6

L'élève Félix Laroche au lycée de Versailles en 1849

1. Le théorème de ''Collinéation'' 2. Une courte biographie de Félix Laroche 3. Archives

III. Premier segment de Céva 9

(1) M est le point O 10

A. Joseph Jean Baptiste Neuberg de Liège (Belgique) en 1884 10

1. Dans son Mémoire sur le Tétraèdre 2. Une courte biographie de Joseph Neuberg

B. John Rogers Musselman et René Goormaghtigh en 1939 13

1. Le problème 3928 du Monthly 2. Courtes biographies de John Musselman et de Joseph Neuberg 3. Archive

(2) M est le point I 16

A. Telv Cohl de Taïwan en 2014 16

1. Le problème 2. Archive

B. L'auteur 19

IV. Second segment de Céva 21

A. Nikolaos Dergiades de Thessalonique (Grèce) en 2003 22

1. Le problème 2. Une courte biographie de Nikolaos Dergiades 3. Archives

B. Luis Gonzalez et Cosmin Pohoata en 2012 28

C. Minh Lam Nguyen en 2009 ; cas particulier de Gonzalez où M est en O 30

V. Ouverture I 31

(1) M est le point I 32

A. Nathan Altshiller-Court en 1952 32

1. L'exercice 1 2. Rappel du théorème utilisé 3. Une autre approche 4. Une courte biographie de Nathan Altshiller-Court 5. Archive 6. Note historique

(2) M est le point Na 37

A. L'auteur

VI. Ouverture II 41

VII. Appendice ou des résultats de l'auteur 42

1. Trois droites concourantes 2. Un quaterne harmonique 3. Deux perpendiculaires 4. Deux perpendiculaires 5. Un milieu 6. Trois parallèles entre elles

3

3

RÉCAPITULATION

EN

IMAGES

DE SIX SITUATIONS

A

B C

M

P

Q R

II

III

A

B C

I A'

B'

C'

Q

R

P

Pb'

Pa'

Pc'

A

B C

O

A'

B'C'

P

R

Q

Pa'

Pc'

Pb'

4

4

A

B C

0 M C'

B'

A'

A"

B"

P

Q

R

C"

IV

V

A

B C

I C'

B'

A'

A"

C"B"

Q

P

R

Pb"

Pa"

Pc"

A

B C A'

B'C'Na

A"

C"B"

P

Q

R

5

5

I. TERMINOLOGIE

VISION

Figure :

A

B C

0

M

A''

A'

Finition : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, M un point, A' le point d'intersection de (AM) avec (BC) et A'' le second point d'intersection de (AM) avec 0. Définitions : (1) [MA] est le premier segment de Céva de ABC (2) [MA''] est le second segment de Céva de ABC (3) [AA'] est le A-segment de Céva de ABC.

6

6

II. POINT M

L'ÉLÈVE FÉLIX LAROCHE

AU

LYCÉE DE VERSAILLE EN 1849

1. Le théorème de ''collinéation''

VISION

Figure :

A

B C

M

P

Q

R

Traits : ABC un triangle, M un point, P le point d'intersection de la perpendiculaire à (MA) en O, avec (BC), Q le point d'intersection de la perpendiculaire à (MB) en O, avec (CA) et R le point d'intersection de la perpendiculaire à (MC) en O, avec (AB). Donné : P, Q et R sont alignés. 2 Commentaire : une preuve synthétique peut être vue sur le site de l'auteur. 3 Note historique : ce résultat4 de Félix Laroche de 1849 a été démontré par son auteur en recourrant au

théorème de Ménélaüs. Jacques Hadamard 5 a prouvé ce résultat par la technique des polaires réciproque et Paul Yiu par les coordonnées barycentriques.

Scolies : (1) (MP), (MQ) et (MR) sont "les A, B, C-orthocéviennes de M relativement à ABC" 2 Laroche F., Théorème de Collinéation sur le triangle rectiligne, Nouvelles Annales de Mathématiques, 1e série, tome 8 (1849)

295-296 ; http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?j=NAM&sl=0. 3 Ayme J.-L., Pôle et ortho-transversale, G.G.G. vol. 9, p. 2-6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 4 Q, R, S collinear, Mathlinks du 05/09/2010 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=365492. 5 Hadamard J., Leçons de Géométrie Élémentaire (1898)

7

7

(2) P, Q et R sont resp. "les A, B, C-orthotraces de M sur ABC"

(3) (PQR) est "l'orthotransversale de M relativement à ABC". 2. Une courte biographie de Félix Laroche Félix Auguste Théodore Laroche est né le 2 juillet 1830 à Saint-Cyr-l'École (Yvelines, Île-de-France). Élève au lycée de Versailles, il entre en 1849 à l'École polytechnique et termine sa carrière comme Inspecteur général des ponts et chaussées. 3. Archives

8

8

6

6 Nouvelles Annales de Mathématiques ; http://www.numdam.org/article/NAM_1849_1_8__295_1.pdf

9

9

III. PREMIER SEGMENT DE CÉVA

L'auteur :

ABC un triangle, M un point de ABC, A', B', C' trois points resp. de [MA], [MB], [MC]

tels que le triangle A'B'C' soit M-homothétique à ABC, Pa', Pb', Pc' les perpendiculaires à (MA), (MB), (MC) resp. en A', B', C' et P, Q, R les points d'intersection de Pa', Pb', Pc' resp. avec (BC), (CA), (AB). Question : rechercher les points M tels que P, Q et R soit alignés. 7 Réponse :

7 Ayme J.-L., A locus, Advanced Plane Geometry du 27/02/2018

https://groups.yahoo.com/neo/groups/AdvancedPlaneGeometry/conversations/messages/4400

10

10

(1) M EST LE POINT O

A. JOSEPH JEAN BAPTISTE NEUBERG

DE

LIÈGE (BELGIQUE) EN 1884

1. Dans son Mémoire sur le Tétraèdre

VISION

Figure :

A

B C

O

A'

B'C'

P

R

Q

Pa'

Pc'

Pb'

Traits : ABC un triangle, O le centre du cercle circonscrit à ABC, A', B', C' trois points resp. de [OA], [OB], [OC]

tels que le triangle A'B'C' soit O-homothétique à ABC, Pa', Pb', Pc' les perpendiculaires à [OA], [OB], [OC] resp. en A', B', C'

11

11

et P, Q, R les points d'intersection de Pa', Pb', Pc' resp. avec (BC), (CA), (AB). Donné : P, Q et R sont alignés. 8

VISUALISATION

A

B C

O

A'

B'C'

P

R

Q

Pa'

Pc'

Pb'

B*

C*

A*

Commentaire : se référer à celle présentée en IV. A.

2. Une courte biographie de Joseph Neuberg

8 Neuberg J., Mémoire sur le Tétraèdre (1884), Bulletin de l'Académie royale de Belgique ;

https://gdz.sub.unigoettingen.de/id/PPN578424835?tify={%22pages%22:[5],%22panX%22:0.517,%22panY%22:0.764,%22view %22:%22info%22,%22zoom%22:0.495}

12

12

Son nom est associé à ceux de Lemoine et de Brocard, comme le troisième cofondateur de la géométrie moderne 9

Joseph Jean Baptiste Neuberg est né à Luxembourg, le 30 octobre 1840. Élève de l'Athénée de Luxembourg, puis de l'École normale de la faculté des sciences de Gand en 1859, il en sort diplômé en 1862. Enseignant dans de nombreux collèges, il devient professeur de l'École normale de Nivelle de 1862 à 1865, puis de l'Athénée Royal d'Arlon de 1865 à 1867 et de l'École normale de Bruges de 1868 à 1878. Professeur à l'Athénée royal de Liège de 1878 à 1884, puis professeur à l'Université de Liège de 1884 à 1911, Joseph Neuberg enseigne les mathématiques... En 1906, il prend la nationalité belge et préside, à partir de 1911, l'Académie royale de Belgique. C'est avec Paul Mansion et Eugène Catalan qu'il fonde en 1874 la Nouvelle correspondance de mathématique qui sera publiée entre 1874 et 1880. C'est aussi avec Mansion qu'il édite en 1881, la célèbre revue Mathesis. Très actif et dynamique dans le domaine de la Géométrie du triangle, l'érudit Neuberg influencé par les idées de Möbius, découvre de nombreux résultats mais n'ouvre aucune voie de recherche. Rapidement, il comprend la nécessité de fixer une certaine terminologie; c'est lui qui propose en particulier, le terme de médiatrice, de triangle complémentaire (médian), de contre-parallélogramme, nomme les cercles de Toricelli, introduit les centres isodynamiques, les droites et points isogonaux, le point de Lemoine... Pour la petite histoire, Joseph Neuberg est né luxembourgeois et est devenu belge en 1906. Il décède à Liège, le 22 mars 1926.

9 Court-Altshiller N.

13

13

B. L'AMÉRICAIN JOHN ROGERS MUSSELMAN

ET

LE BELGE RENÉ GOORMAGHTIGH

EN 1939

1. Le problème 3928 du Monthly

VISION

Figure :

A

B C

O

A'

B'C'

P

Q

R

Pa'

Pb'

Pc'

Traits : ABC un triangle, O le centre du cercle circonscrit à ABC, A', B', C' les milieux resp. de [OA], [OB], [OC], Pa', Pb', Pc' les médiatrices resp. de [OA], [OB], [OC] et P, Q, R les points d'intersection de Pa', Pb', Pc' resp. avec (BC), (CA), (AB). Donné : P, Q et R sont alignés. 10 Note historique : leur preuve a recours aux nombres complexes et celle proposée par

Darij Grinberg 11, à l'inversion.

10 Musselman J. R. and Goormaghtigh R., Advanced Problem 3928. American Mathematics Monthly, vol. 46 (1939) 601 11 Grinberg D., On the Kosnita Point and the Reflection Triangle, Forum Geometricorum, vol. 3 (2003) 105–111

14

14

Commentaire : c'est un cas particulier du résultat exposé en III. (1) A .

Une autre preuve synthétique peut être vue sur le site de l'auteur. 12 2. Courtes biographies de

René Goormaghtigh

René Goormaghtigh est né à Ostende (Flandre-Occidentale, Belgique) le 13 octobre 1893. Èlève de l'Athénée Royal d'Ostende, il obtient son diplôme de fin d'étude en juillet 1910 ainsi que le prix du Gouvernement. Étudiant à l'université de Gand, il obtient en 1919 le diplôme d'Ingénieur des Constructions civiles qui lui permet d'être employé à l'usine La Brugeoise. En 1928, il réorganise les usines de Bruges et en 1943, en devient le directeur général. En 1956, il est nommé vice-président de la Société lors de la fusion de celle-ci avec les Ateliers Métallurgiques. En 1952, il est nommé conseiller de la Société Générale de Belgique et remplit des mandats d'administrateur de plusieurs sociétés industrielles. En 1958, une première crise cardiaque l'oblige à prendre un long repos et à cesser ses activités en 1959 suite aux recommandations de ses médecins. Il se retire à Saint-André-des-Bruges oú il joue du piano et continue ses travaux mathématiques dans le domaine de la Géométrie du Triangle qu'il avait commencé en 1910 et fait part dans les revues comme Mathesis, American Mathematical Monthly et Nouvelles Annales de Mathématiques. Il décède d'une crise cardiaque à Ixelles le 10 février 1960. Un article consacré à sa vie et à son œuvre a été écrit en 1961 par l'éditeur de Mathesis, Roland Deaux 13 et une communication vivante en a été donnée par le professeur Francisco Bellot-Rosado 14 en 2010 lors du 36e Congrès de la SBPMef.

12 Musselman J. R. and Goormaghtigh R., Solution to Advanced Problem 3928. American Mathematics Monthly,

vol. 48 (1941) 281–283 Ayme J.-L., Le point de Kosnitza, G.G.G. vol. 1, p. 5-7 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

13 Deaux R., René Goormaghtigh, Mathesis 69 (1961) 257-273 14 Bellot-Rosado F., René Goormaghtigh, ingénieur et géomètre de MATHESIS, 36e Congrès de SBPMef, Dinant (2010)

15

15

John Rogers Musselman

John Rogers Musselman est né le 1er décembre 1890 à Gettysburg (Pennsylvania, USA). Après avoir été élève au Pennsylvania College, il entre à l’université John Hopkins où il passe sa thèse en 1916. Assistant au Gettysburg Academy de 1910 à 1912, puis ''instructor'' de mathématique à l'université de l'Illinois de 1916 à 1918, il rejoint l’'université Washington de St-Louis de 1920 à 1928. En 1928, il est nommé Professeur à la Western Reserve University et y restera jusqu'à sa retraite. Il décède le 8 août 1968 à Cleveland (Ohio, USA). 3. Archives

16

16

(2) M EST LE POINT I

A. TELV COHL

DE

TAÏWAN EN 2014

1. Le problème

VISION

Figure :

A

B C

I

A'

B'

C'

Q

R

P

Pb'

Pa'

Pc'

Traits : ABC un triangle,

17

17

I le centre de ABC, A', B', C' trois points resp. de [IA], [IB], [IC]

tels que le triangle A'B'C' soit I-homothétique à ABC, Pa', Pb', Pc' les perpendiculaires à IA, IB, IC resp. en A', B', C' et P, Q, R les points d'intersection de Pa', Pb', Pc' resp. avec (BC), (CA), (AB). Donné : P, Q et R sont alignés. 15

VISUALISATION

A

B C

I

A'

B'

C'

Q

R

P

Pb'

Pa'

Pc'

B*

C*

A*

• Notons A*, B*, C* les points d'intersection resp. de Pb' et Pc', Pc' et Pa', Pa' et Pb'. • Scolies : A*, B*, C* sont resp. les A', B', C'-excentres de A'B'C'. • D'après Simon L'Huilier, A, I et A* sont alignés. • Par hypothèse, A, A' et I sont alignés ;

15 Telv Cohl, Coaxal circles again ?, AoPs du 07/12/2014 ;

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=616652

18

18

• Conclusion partielle : d'après l'axiome d'incidence Ia, A, I et A* sont alignés. • Mutatis mutandis, nous montrerions que B, I et B* sont alignés C, I et C* sont alignés. • Conclusion : le triangle A*B*C* étant I-perspectif à ABC, d'après Girard Desargues ''Le théorème des deux triangles'' 16, P, Q et R sont alignés. 2. Archive :

16 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 40 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

19

19

B. L'AUTEUR

VISION

Figure :

A

B C

I

A'

B'

C'

Q

R

P

Pb'

Pa'

Pc'

Traits : ABC un triangle, I le centre du cercle inscrit à ABC, A', B', C' les milieux resp. de [IA], [IB], [IC], Pa', Pb', Pc' les médiatrices resp. de [IA], [IB], [IC] et P, Q, R les points d'intersection de Pa', Pb', Pc' resp. avec (BC), (CA), (AB). Donné : P, Q et R sont alignés. 17 Commentaire : c'est un cas particulier du résultat exposé en III (2) A . Archive :

17 Coaxal circles again ?, AoPs du 07/12/2014 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=616652

20

20

18

18 Coaxal circles again ?, AoPs du 07/12/2014 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=616652

21

21

IV. SECOND SEGMENT DE CÉVA

L'auteur : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, M un point, A'B'C' le triangle M-circumcévien de ABC, A'', B'', C'' trois points resp. de [MA'], [MB'], [MC']

tels que le triangle A''B''C'' soit M-homothétique à A'B'C', Pa'', Pb'', Pc'' les perpendiculaires à (MA), (MB), (MC) resp. en A'', B'', C'' et P, Q, R les points d'intersection de Pa'', Pb'', Pc'' resp. avec (BC), (CA), (AB). Question : rechercher les points M tels que P, Q et R soit alignés. 19 Réponse :

19 Ayme J.-L., A locus, Advanced Plane Geometry du 27/02/2018

https://groups.yahoo.com/neo/groups/AdvancedPlaneGeometry/conversations/messages/4400

22

22

A. NIKOLAOS DERGIADES

DE

THESSALONIQUE (GRÈCE) EN 2003

1. Le problème

VISION

Figure :

A

B C

0

M C'

B'

A'

A"

B"

P

Q

R

C"

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, M un point, A'B'C' le triangle M-circumcévien de ABC, A'', B'', C'' trois points resp. de [MA'], [MB'], [MC']

tels que le triangle A'B'C' soit M-homothétique à ABC, Pa'', Pb'', Pc'' les perpendiculaires à (MA), (MB), (MC) resp. en A'', B'', C'' et P, Q, R les points d'intersection de Pa'', Pb'', Pc'' resp. avec (BC), (CA), (AB). Donné : P, Q et R sont alignés. 20 Commentaire : ce résultat a été redécouvert 2018 par Elhassan Rhomari. 21

20 Dergiades N., Othogonal colinearity theorem, Message Hyacinthos # 6466 du 02/02/2003 ; https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/messages/6466

Ayme J.-L., Three collinear points, # 5 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1590900_three_collinear_points 21 Elhassan Rhomari, just an essay ; https://artofproblemsolving.com/community/c617103_just_essay

Three collinear points, # 5 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1590900_three_collinear_points

23

23

VISUALISATION

A

B C

0

M C'

B'

A'

A"

B"

P

Q

R

C''

1

• Par hypothèse, (B''C'') // (B'C'). • Le cercle 0, les points de base B et C, les moniennes naissantes (B''BB') et (C''CC'), les parallèles (B'C') et (B''C''), conduisent au théorème 0'' de Reim ; en conséquence, B, C, B'' et C'' sont cocycliques. • Notons 1 ce cercle. • Commentaire : dans une vision triangulaire, nous retrouvons la formulation de Nikolaos Dergiades. 22

22 Dergiades N., Othogonal colinearity theorem, Message Hyacinthos # 6466 du 02/02/2003 ; https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/messages/6466

24

24

A

B C

0

M C'

B'

A'

A"

B"

P

Q

R

C''

A*

C*

B*

• Notons A*, B*, C* les points d'intersection resp. de (B''Q) et (C''R), (C''R) et (A''P), (A''P) et (B''Q).

• Par définition, M est le pôle d'orthologie de ABC relativement au triangle A*B*C*.

A

B C

0

M

C'

B'

A'

A"

B"

P

Q C''

A*

C*

B*

C+ B+

M*

1

2

• Notons 2 le cercle circonscrit au triangle A''B''C'' i.e. le M-cercle de Mathieu,

25

25

B+, C+ les seconds points d'intersection de 2 resp. avec (A*C*), (A*B*) et M* le point d'intersection des perpendiculaires à (A*C*), (A*B*) en B+, C+.

• D'après Mathieu ''Le M-cercle'' 23 M et M* sont deux points isogonaux de A*B*C*, • Conclusion partielle : d'après Vigarié, (A*M)⊥ (B+C+). 24

A

B C

0

M C'

B'

A'

A"

B"

P

Q C''

A*

C*

B*

C+ B+M*

1

U V

2

• Notons U, V les antipôles de B, C relativement à 1. • Scolie : (UV) // (BC). • Par une chasse angulaire en considérant les angles à côtés perpendiculaire, <BC''C+ = <CB''B+. • D'après ''Une généralisation du théorème de Reim'' 25 appliqué à 1 et 2, (B+C+) // (BC) ; • Conclusion partielle : (A*M)⊥ (BC). • Mutatis mutandis, nous montrerions que (B*M) ⊥ (CA) (C*M)⊥ (AB). • Les triangles ABC et A*B*C* étant bilogiques, sont perspectifs. 26 • Conclusion : d'après Desargues ''Le théorème des deux triangles'' 27, M étant le perspector de ABC et A*B*C*, P, Q et R sont alignés.

23 Ayme J.-L., Pedal-Cevian Lines go through the de Longchamps's point, G.G.G. vol. 6, p. 34-37 ;

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 24 Ayme J.-L., Mantel * Noyer…, G.G.G. vol. 12, p. 29-31 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 25 Ayme J.-L., Deux cercles sécants, G.G.G. vol. 12, p. 9-11 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 26 Ayme J.-L., Le théorème de Sondat, G.G.G. vol. 1, p.1-4 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 27 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 40 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

26

26

2. Une courte biographie de Nikolaos Dergiades

Nikolaos Dergiades est né en Grèce le 13 février 1950. Professeur de mathématiques au Experimental School de Thessalonique (Greece), actuellement à la retraite, il continue à se passionner pour la Géométrie en participant au site Forum Geometricorum 28 et aux groupes Hyacinthos 29 et Advanced Plane Geometry 30. Son ami, l'architecte grec Kostas Vittas 31, passionné aussi pour la Géométrie en parle de la façon suivante

in my opinion he is one of the most strong geometers in Greece today. 3. Archives

(1) Nikolaos Dergiades

28 http://forumgeom.fau.edu/ 29 https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/info 30 https://groups.yahoo.com/neo/groups/AdvancedPlaneGeometry/info 31 Ayme J.-L., Der Mittenpunkt, G.G.G. vol. 12, p. 43-44 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

27

27

32

(2) Elhassan Rhomari

33

32 https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/messages/6466

28

28

B. LUIS GONZALEZ DU VÉNÉZUELA

ET

COSMIN POHOATA DES ÉTATS-UNIS EN 2012

VISION Figure :

A

B C

0

M C'

B'

A'

A"

B"

P

Q

R

C"

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, M un point, A'B'C' le triangle M-circumcévien de ABC, A'', B'', C'' les milieux resp. de [MA'], [MB'], [MC'] Pa'', Pb'', Pc'' les médiatrice de [MA'], [MB'], [MC'] et P, Q, R les points d'intersection de Pa'', Pb'', Pc'' resp. avec (BC), (CA), (AB). Donné : P, Q et R sont alignés. 34

Commentaire : c'est un cas particulier du résultat exposé en IV A .

33 Elhassan Rhomari # 5 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1590900_three_collinear_points 34 Luiz Gonzalez and Cosmin Pohoata, On the Intersections of the Incircle and the Cevian Circumcircle of the Incenter,

Forum Geometricorum, Volume 12 (2012) 141–148, 144 ; http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201211.pdf Ayme J.-L., Coaxal circles, AoPS du 07/12/2014 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=616638 Ayme J.-L., Coaxal again, AoPS du 17/02/2015 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=625580

29

29

Archive :

35

35 Luiz Gonzalez and Cosmin Pohoata, On the Intersections of the Incircle and the Cevian Circumcircle of the Incenter,

Forum Geometricorum, Volume 12 (2012) 141–148, 144 ; http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201211.pdf

30

30

C. MINH LAM NGUYEN EN 2009

CAS PARTICULIER DE LUIS GONZALEZ

M EST EN O

VISION Figure :

A

B C

O

A'

B'C'

A"

B"C"

P

Q

R

Pc" Pb"

Pa"

0

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0, A'B'C' le triangle O-circumcévien de ABC, A'', B'', C'' les milieux resp. de [OA'], [OB'], [OC'], Pa'', Pb'', Pc'' les médiatrice de [OA'], [OB'], [OC'] et P, Q, R les points d'intersection de Pa'', Pb'', Pc'' resp. avec (BC), (CA), (AB). Donné : P, Q et R sont alignés. 36

36 Nguyen Lam Minh, 4 concurrent circles, AoPS du 28/11/2009 ;

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=314688 coaxial, AoPS du 28/10/2011 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=441644

Problem 450, Mathematical Excalibur, vol. 19, n° 2 (sept.-oct. 2014) ; http://www.math.ust.hk/excalibur/v19_n1.pdf Ayme J.-L., Cercles coaxiaux III, G.G.G. vol. 24, p. 10-12 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

31

31

V. OUVERTURE I

L'auteur : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, M un point, A'B'C' le triangle M-cévien de ABC, A'', B'', C'' les milieux resp. de [AA'], [BB'], [CC'], Pa'', Pb'', Pc'' les perpendiculaires à (MA), (MB), (MC) resp. en A'', B'', C'' et P, Q, R les points d'intersection de Pa'', Pb'', Pc'' resp. avec (BC), (CA), (AB). Question : rechercher les points M tels que P, Q et R soient alignés. 37 Réponse :

Rappel : X(1), (X(4) et (X(8) sont resp. dans la nomenclature de Clark Kimberling 38

le centre, l'orthocentre et le point de Nagel d'un triangle.

37 Ayme J.-L., Another locus, Advanced Plane Geometry du 27/02/2018

https://groups.yahoo.com/neo/groups/AdvancedPlaneGeometry/conversations/messages/4405 38 Kimberling C., Encyclopedia of Triangle Centers (ETC) ; http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html

32

32

(1) M EST LE POINT I

A. NATHAN ALTSHILLER-COURT

DES ÉTATS-UNIS EN 1952 1. Exercice 1

VISION

Figure :

A

B C

I C'

B'

A'

A"

C"B"

Q

P

R

Pb"

Pa"

Pc"

Traits : ABC un triangle, I le centre de ABC, A'B'C' le triangle M-cévien de ABC, A'', B'', C'' les milieux resp. de [AA'], [BB'], [CC'], Pa'', Pb'', Pc'' les perpendiculaires à (MA), (MB), (MC) resp. en A'', B'', C'' et P, Q, R les points d'intersection de Pa'', Pb'', Pc'' resp. avec (BC), (CA), (AB). Donné : P, Q et R sont alignés. 39

39 Altshiller-Court Nathan, College Geometry, Richmond (1923), exercice 1 p.266 ;

33

33

VISUALISATION

A

B C

I C'

B'

A'

A"

C"B"

Q

P

R

Pb"

Pa"

Pc"

A+

• Notons A+ le point d'intersection de (B'C') et (BC), B+ le point d'intersection de (C'A') et (CA), et C+ le point d'intersection de (A'B') et (AB). • D'après Pappus d'Alexandrie ''Diagonales d’un quadrilatère'' 40 appliqué au quadrilatère BCB'C', le quaterne (B, C, A', A+) est harmonique. • Scolie : A+ est le conjugué harmonique de A' relativement à [BC]. • D'après Apollonius de Perge 41, le pinceau (A ; B, C, A', A+) étant harmonique et

(AA') la A-bissectrice intérieure de ABC, (AA+) est la A-bissectrice extérieure de ABC.

• (AA+) étant perpendiculaire à (AA'), d'après Thalès de Milet ''La droite des milieux'' appliqué au triangle AA'A+, P est le milieu de [A'A+]. • Mutatis mutandis, nous montrerions que Q est le milieu de [B'B+] R est le milieu de [C'C+].

http://www.isinj.com/mtusamo/An%20Introduction%20to%20the%20Modern%20Geometry%20of%20the%20Triangle%20and% 20the%20Circle%20-%20Altshiller-Court%20N.%20College%20Geometry%20(Dover%202007).pdf

40 Pappus d'Alexandrie, Collections, Livre 7, proposition 131 41 Apollonius, Plane Loci, Livre 2

34

34

• Conclusion : P, Q et R sont alignés. 2. Rappel du théorème utilisé

si, A'B'C' est le triangle M-cévien de ABC, A+, B+, C+ les conjugués harmoniques de A', B', C'sur les côtés de ABC

alors, les milieux P, Q, R de [A'A+], [B'B+], [C'C+] sont alignés. 42 3. Une autre approche par les cercles d'Apollonius initiée par Vecten 43 vers 1819.

4. Une courte biographie de Nathan Altshiller-Court

Nathan Court est né le 22 janvier 1881 à Varsovie (Pologne). Après l'obtention de son doctorat en sciences en 1911 à l'université de Gand (Belgique), il s'installe aux Etats-Unis et se marie en 1912 avec Sophie Ravltch qu'il avait connue à Varsovie. Il occupe alors un poste d'assistant à l'université de Washington, puis à celle du Colorado, puis à celle d'Oklahoma en 1918. L'année suivante, il obtient la nationalité américaine et décide d'intégrer le nom Altshiller dans son nom. En 1935, il devient professeur dans la même université et se retire en 1951. EN 1952, il écrit un grand classique intitulé College Geometry-An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Il est aussi connu pour avoir écrit un grand nombre d'articles dans l'American Monthly, le Boletin matematico de Buenos Aires (Argentine), le Bulletin of the American Mathematical Society, le Duke Mathematical Journal et dans Mathematical Gazette. Il décède le 20 juillet 1968 à Norman. 5. Archive

42 Ayme J.-L., 7 Quickie 3, G.G.G. vol. 15, p. 10-11 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 43 Vecten, Annales de Gergonne X (1819-20) 202-204 ; http://www.numdam.org/item/AMPA_1819-1820__10__202_0 Ayme J.-L., Cercles coaxiaux II , G.G.G. vol. 24, p. 26-29 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

35

35

44

6. Note historique

A

B C

I C'

B'

A'

A"

C"B"

Q

P

R

Pb"

Pa"

Pc"

B*

A*

C*

Le résultat de Nathan Altshiller-Court a été repris par Igor Sharygin 45 en 1976 ; il demandait de montrer l'alignement de P, Q et R à partir des triangles perspectifs A*B*C* et ABC.

44 Altshiller-Court N., College Geometry, Richmond (1952), exercice 1 p.266 45 Sharygin I., Théorème de Céva et de Ménélaüs, Kvant (nov.1976) ; http://kvant.mccme.ru/

36

36

7. Archive

46

Cette référence ''Problème 3'' a été précisé par Mark Tudosi.

46 Sharygin I., Théorème de Céva et de Ménélaüs, Kvant (nov.1976) 30 ; http://kvant.mccme.ru/

37

37

(2) M EST LE POINT Na

A. L'AUTEUR

VISION Figure :

A

B C A'

B'C'

Na

A"

C"B"

P

Q

R

Pc"

Pb"

Pa"

Traits : ABC un triangle, Na le point de Nagel de ABC, A'B'C' le triangle Na-cévien de ABC, A'', B'', C'' les milieux resp. de [AA'], [BB'], [CC'], Pa'', Pb'', Pc'' les perpendiculaires à (NaA), (NaB), (NaC) resp. en A'', B'', C'' et P, Q, R les points d'intersection de Pa'', Pb'', Pc'' resp. avec (BC), (CA), (AB). Donné : P, Q et R sont alignés. 47

VISUALISATION

47 Ayme J.-L, Three collinear points, AoPS du 02/03/2018 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1600998_three_collinear_points

38

38

A

B C A'

B'C'Na

A"

C"

B"P

Q

R

Pc"

Pb"I

A*

1c

• Notons I le centre de ABC, A* le point d'intersection de Pc'' et (AI), et 1c le cercle circonscrit au triangle ACC'.

• Scolie : A* est sur 1c.

39

39

A

B C A'

B'C'Na

A"

C"

B"P

Q

R

Pc"

Pb"I

A*

1c

• Scolies : (1) A*C = A*C'

(2) CB' = BC' 48 (3) <B'CA* = <BC'A*.

• D'après ''Le théorème c.a.c. '' appliqué au triangle A*CB' et A*C'B, A*B' = A*C'. • D'après ''Le théorème de la médiatrice'', A* est sur Pb''. • Conclusion partielle : (AA*) passe par I. • Mutatis mutandis, nous montrerions que (BB*) passe par I (CC*) passe par I. Commentaire : ce dernier résultat a été proposé par Elhassan Rhomari.49

48 Ayme J.-L., Two equal segment, AoPS du 04/03/2018 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1602683_two_equal_segments 49 Two perpendiculars, # 9 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1602190_two_perpendiculars

40

40

A

B C A'

B'

C'

Na

A"

C"

B"

P

Q

C*

A*

B*

I

• Notons B*, C* les points d'intersection resp. de (C''R) et (A''P), (A''P) et (B''Q). • Conclusion : d'après Girard Desargues ''Le théorème des deux triangles'' 50 appliqué aux triangles I-perspectifs ABC et A*B*C*, P, Q et R sont alignés.

50 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 40 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

41

41

VI. OUVERTURE II

L'auteur : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, M un point, A'B'C' le triangle M-cévien de ABC, A'', B'', C'' trois points resp. de [MA'], [MB'], [MC']

tels que le triangle A''B''C'' soit M-homothétique à A'B'C', Pa'', Pb'', Pc'' les perpendiculaires à (MA), (MB), (MC) resp. en A'', B'', C''

et P, Q, R les points d'intersection de Pa'', Pb'', Pc'' resp. avec (BC), (CA), (AB). Question : rechercher les points M tels que P, Q et R soient alignés. 51 Réponse :

52

51 Ayme J.-L., Another locus, Advanced Plane Geometry du 27/02/2018

https://groups.yahoo.com/neo/groups/AdvancedPlaneGeometry/conversations/messages/4407 52 Garcia Capitan F. J. ; https://groups.yahoo.com/neo/groups/AdvancedPlaneGeometry/conversations/messages/4409

42

42

VII. APPENDICE

OU

DES RÉSULTATS DE L'AUTEUR

1. Trois droites concourantes

VISION Figure :

A

B C A'

B'C'

Na

A"

C"B"

P

Q

R

Pc"

Pb"

Pa"

Traits : ABC un triangle, Na le point de Nagel de ABC, A'B'C' le triangle Na-cévien de ABC, A'', B'', C'' les milieux resp. de [AA'], [BB'], [CC'], Pa'', Pb'', Pc'' les perpendiculaires à (NaA), (NaB), (NaC) resp. en A'', B'', C'' et P, Q, R les points d'intersection de Pa'', Pb'', Pc'' resp. avec (BC), (CA), (AB). Donné : (B''C'') passe par P. 53

VISUALISATION

53 Ayme J.-L., Three concurrent lines, AoPS du 04/03/2018 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1603984_three_concurrent_lines

43

43

A

B C A'

B'

C'

Na

A"

C"B"

P

C*I

Sp

Pa"

Pb" Pc"

B*

• Notons I, Sp le centre, le point de Spieker de ABC et B*, C* les points d'intersection de Pa'' resp. avec Pb'', Pc''. • D'après Theodor Spieker 54, Sp est le milieu de [INa]. • D'après Girard Desargues ''Le théorème des deux triangles'' 55

(ISpNa) étant l'arguésienne des triangles BB*B'' et CC*C'', (BC), (B*C*) et (B''C'') concourent en P. • Conclusion : (B''C'') passe par P. Scolies : (C''A'') passe par P et (A''B'') passe par P. 2. Un quaterne harmonique

VISION Figure :

54 Ayme J.-L., Le cercle de Spieker, G.G.G. vol. 13, p. 9-11 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 55 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 40 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

44

44

A

B C A'

B'

C'

Na

A"

C"

B"

P

Q

C*

A*

Pa"

Pb" Pc"

B*

Traits : ABC un triangle, Na le point de Nagel de ABC, A'B'C' le triangle Na-cévien de ABC, A'', B'', C'' les milieux resp. de [AA'], [BB'], [CC'], Pa'', Pb'', Pc'' les médiatrices resp. de [AA'], [BB'], [CC'], B*, C* les points d'intersection resp. de Pa'' resp. avec Pb'', Pc'' et P le point d'intersection Pa'' avec (BC). Donné : le quaterne (B*, C*, A'', P) est harmonique. 56

VISUALISATION

56 Ayme J.-L., Harmonic division, AoPS du 08/03/2018 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1604767_harmonic_division

45

45

A

B C A'

B'

C'

Na

A"

C"

B"

P

Q

C*

A*

Pa"

Pb" Pc"

B*

• Conclusion : d'après Pappus d'Alexandrie ''Diagonales d'un quadrilatère'' 57 appliqué au quadrilatère B''C''B*C*, le quaterne (B*, C*, A'', P) est harmonique 3. Deux perpendiculaires

VISION Figure :

A

B C

B'

C'

NaC"

B"

I

Traits : ABC un triangle, I le centre d eABC, 57 Pappus d'Alexandrie, Collections, Livre 7, proposition 131

46

46

Na le point de Nagel de ABC, B', C' les pieds resp. des B, C-nageliennes de ABC et B'', C'' les milieux resp. de [BB'], [CC']. Donné : (AI) est perpendiculaire à (B''C''). 58

VISUALISATION

A

B C

B'

C'

NaC"

B"

Z

X

Y

I

X'

• Notons XYZ le triangle médian de ABC et X' le pied de la X-bissectrice intérieure du triangle XB''C''. • Scolie : BC' = CB'. • D'après Thalès de Milet ''La droite des milieux'' appliqué aux triangles BCB' et CBC', XB'' = XC''. • Les triangles ABC et XYZ étant homothétiques, (AI) // (XX'). • Le triangle XB''C'' étant X-isocèle, (XX')⊥ (B''C'') ; en conséquence, (AI) ⊥ (B''C''). • Conclusion : (AI) est perpendiculaire à (B''C''). Scolies : (1) vision triangulaire

58 Ayme J.-L., Two perpendiculars, AoPS du 04/03/2018 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1602677_two_perpendiculars

47

47

A

B C

B'

C'

NaC"

B"

Z

X

Y

I

X'

A'

A"

• Notons A' le pied de la A-nagelienne de ABC et A'' le milieu de [AA']. • Conclusion : mutatis mutandis, nous montrerions que (BI)⊥ (C''A'') et (CI)⊥ (A''B''). (2) Le point de Spieker de ABC

A

B C

B'

C'

NaC"

B"

Z

X

Y

I

X'

A'

A"

Y'Z'

Sp

• Notons Y', Z' les pieds des Y, Z-bissectrices intérieures de XYZ et Sp le point de concours de (XX’), (YY’) et (ZZ’) i.e. le point de Spieker de ABC. • Conclusion : A'', B'' et C'' étant les point de contact du cercle inscrit à XYZ, (A''Sp)⊥ (YZ). 4. Deux perpendiculaires

VISION Figure :

48

48

A

B C A'

B'

C'

Na

A"

C"

B"

A*

Pa"

Pb" Pc"

Traits : ABC un triangle, Na le point de Nagel de ABC, A'B'C' le triangle Na-cévien de ABC, A'', B'', C'' les milieux resp. de [AA'], [BB'], [CC'], Pb'', Pc'' les médiatrices resp. de [BB'], [CC'] et A* le point d'intersection de Pb'' et Pc''. Donné : (A*A'') est perpendiculaire à (BC). 59

VISUALISATION

59 Ayme J.-L., Two perpendiculars, AoPS du 04/03/2018 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1602190_two_perpendiculars

49

49

A

B C A'

B'

C'

Na

A"

C"

B"

A*

Z

X

Y

I

I'

• Notons XYZ le triangle médian de ABC

et I' le symétrique de I par rapport à X. • D'après J. G. Boubals 60, Na étant le centre du triangle antimédian de ABC, (I'Na) // (AI). • Conclusion : d'après Jakob Steiner 61,

le triangle I'BC considéré avec le point Na étant orthologique

au triangle A''B''C'' considéré avec le point A*, (A''A*) ⊥ (BC). Scolies : (1) vision triangulaire

60 Ayme J.-L., Le cercle de Fuhrman, G.G.G. vol. 5, p. 3-5 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 61 Steiner J., Problème 54, Journal de Crelle vol. 2, 3.

50

50

A

B C A'

B'

C'

Na

A"

C"

B"

C*

A*

B*

I

• Notons B*, C* les points d'intersection resp. de (C''R) et (A''P), (A''P) et (B''Q). • Conclusion : mutatis mutandis,

nous montrerions que (B''B*)⊥ (CA) (C''C*)⊥ (AB. (2) Trois droites concourantes

51

51

A

B C A'

B'

C'

Na

A"

C"

B"

C*

A*

B*

Z

X

Y

I

Sp

• Notons Sp le point de Spieker de ABC. • D'après VII. 3. scolie 2 (A''Sp) ⊥ (YZ) (YZ) // (BC) en conséquence, (A''Sp) ⊥ (BC) ; nous savons que (BC) ⊥ (A''A*) d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (A''Sp) // (A''A*) d'après le postulat d'Euclide, (A''Sp) = (A''A*) ; en conséquence, (A''A*) passe par Sp. • Mutatis mutandis, (B''B*) passe par Sp (C''C*) passe par Sp • Conclusion : (A''A*), (B''B*) et (C''C*) sont concourantes en Sp.

5. Un milieu

VISION Figure :

52

52

A

B C A'

B'C'

Na

A"

C"B"

A*

Pb" Pc"

Ia

Traits : ABC un triangle, Na le point de Nagel de ABC, A'B'C' le triangle Na-cévien de ABC, A'', B'', C'' les milieux resp. de [AA'], [BB'], [CC'], Pb'', Pc'' les médiatrices resp. de [BB'], [CC'], A* le point d'intersection de Pb'' et Pc'', et Ia le centre du A-excentre de ABC. Donné : A* est le milieu de [AIa]. 62 Commentaire : ce résultat a été proposé par Elhassan Rhomari.

VISUALISATION

62 Ayme J.-L., Two perpendiculars, AoPS du 04/03/2018 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1602190_two_perpendiculars Elhassan Rhomari # 4

53

53

• D'après VII. 4 , (A''A*) ⊥ (BC) ; A' étant le point de contact du A-excercle, (BC) ⊥ (IaA') d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (A''A*) // (IaA'). • Conclusion : A'' étant le milieu de [AA'], d'après Thalès de Milet ''La droite des milieux''

appliqué au triangle A'AIa, A* est le milieu de [AIa]. 6. Trois parallèles entre elles

VISION Figure :

54

54

A

B C A'

B'

C'

Na

A"

C"B"

A*

B*

X

Y

Pa"

Pc"

Pb"

Traits : ABC un triangle, Na le point de Nagel de ABC, A'B'C' le triangle Na-cévien de ABC, A'', B'', C'' les milieux resp. de [AA'], [BB'], [CC'], Pa'', Pc'' les médiatrices resp. de [AA'], [CC'], A*, B* le point d'intersection de Pb'' et Pc'', Pc'' et Pa'', et X, Y les milieux resp. de [BC], [CA]. Donné : (XB*), (A''B'') et (A*Y) sont parallèles entre elles. 63

VISUALISATION

63 Ayme J.-L., Two Parallels, AoPS du 09/03/2018 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1605427_two_parallels

55

55

A

B C A'

B'C'

Na

A"

C"B"

A*

B*

X

Y

I

Ia

• Notons I, Ia le centre, le A-excentre de ABC. • D'après VII. 5 , A, I, A* et Ia sont alignés. • D'après VII. 3 , (A''B'') ⊥ (CI) ; Nous savons que (CI) ⊥ (CIa) ; d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (A''B'') // (CIa). • Conclusion partielle : Y, A* étant les milieux resp. de [AC], [AIa] d'après Thalès de Milet ''La droite des milieux''

appliqué au triangle CAIa, (A''B'') // (A*Y).

56

56

A

B C A'

B'C'

Na

A"

C"B"

A*

B*

X

Y

I

Ia

Ib

• Notons Ib le B-excentre de ABC. • Scolies : (1) B, I, B* et Ib sont alignés (2) Ia, C et Ib sont alignés. • Conclusion partielle : X, B* étant les milieux resp. de [BC], [BIb] d'après Thalès de Milet ''La droite des milieux''

appliqué au triangle BCIb, (A*Y) // (CIb) i.e. (CIa). • D'après ce qui précède, (CIa) // (A''B''). • Conclusion : par transitivité de //, (A''B''), (A*Y) et (XB*) sont parallèles entre elles