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ÉC OLE POLY TEC H NIQU EFÉDÉRALE D E LAUSANNE
Laboratoire de simulation en mécaniquedes solides - LSMS
Mécanique des structures I
Cours du 3ème semestre bachelorDr E. Davalle
1
BONJOUR et BIENVENUE
Intervenants : Eric DAVALLE, Dr Ingénieur civil EPFL
Chef du Service de l’électricité de la Ville de Lausanne
avec les assistants du LSMS
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Mardi 11,1 Sollicitations composées12.1 - 12.5 et 12.7 Principe des travaux virtuels et calcul des déplacements
Jeudi 12.6 , 12.8 - 12.9 Principe des travaux virtuels et calcul des déplacements
Mardi 16.1 - 16.7 Calcul de la charge limite des structures hyperstatiques simples
17.1 -17.5 Théorèmes fondamentaux de l'analyse limite
Jeudi 17.6 -17.10 Théorèmes fondamentaux de l'analyse limite
Mardi 20.1 - 20.3 Flambement des poutres
Jeudi 20.4 - 20.5 Flambement des poutres
Mardi 20,8 Flambement des poutres
Jeudi compléments / révisions
7
8
O d éfé Mé i d t t V l 2 F i FREY t Mé i d lid V l 3 MS (V3)
5
6
Programme des semaines 5 à 8
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12. Principe des travaux virtuelsCalcul des déplacements
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Structure faitede barres etde poutres
Mécanique desmilieux continues
Mécanique desstructures
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Introduction : treillis et poutresLes treillis et poutres ont un caractère discret, soit un découpage naturel
en composants simples et en nombre fini d’inconnues
Cas d’un treillis :
identification des nœuds (1, 2, …) actions nodales (P1, …) déplacements nodaux (..u6 , v6..) effort normal dans barres (.., Ni, Nj, Nk,..)
P1 P2 P3
u6
v6
1
6
57
2
3
4
j h
gk
i
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B’A’
Introduction : treillis et poutresLes treillis et poutres ont un caractère discret, soit un découpage naturel
en composants simples et en nombre fini d’inconnues
Cas d’une poutre :
actions nodales (P1, …) déplacements choisis (vA et θA..) efforts intérieurs (NA, MA, …)
P1 P2 P3
Le concept discret a été retenu dans la MEF
A BΩNA
MA
VA
NB
MBVB
Ω’
vA vBθA
θB
axe
cubique
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Introduction : treillis et poutres
Les grandeurs statiques sont les efforts intérieurs.Par le principe d’équivalence, ils s’expriment sur l’axe
(efforts intérieurs)... ...( ... ) ...V L A L
dV dA dx dx= =∫ ∫ ∫ ∫
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Introduction : treillis et poutres
Grandeurs statiques ASSOCIÉES Grandeurs cinématiquesEfforts intérieurs ↔ Déplacements Déformations
duN dudxdvV dvdx
T
ε
β
↔ =
↔ =
1 courbure
xx
dd
dxdM ddx
r
θθ χ
θθ ψ
ψ
↔ =
↔ =
=
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Forme du travail virtuel intérieurImportance du lien TRAVAIL - mécanique du solide et
de son interprétation physiqueCas d’une poutre en flexion pure (sous M)
*int ij ij
VW dVδ ε δσ= ∫ xx σσεε ≡≡ , : avec *
intV
W dVδ ε δσ= ∫
yψε −= notation nouvelle la avecet ement Cinématiqu
[ ]*int ( ) ( )
L A L AW y dAdx y dA dxδ ψ δσ δσ ψ= − = −∫ ∫ ∫ ∫
δMzIndépendamment de toute loi constitutive
Fonction poids
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Forme du travail virtuel intérieurImportance du lien TRAVAIL - mécanique du solide et
de son interprétation physiqueCas d’une poutre en flexion pure (sous M)
[ ]*int ( ) ( )
L A L AW y dAdx y dA dxδ ψ δσ δσ ψ= − = −∫ ∫ ∫ ∫
*int
L LW M dx M dδ δ ψ δ θ= =∫ ∫
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Forme intégrale de l’équilibre - Principe des déplacements virtuels
int( )d W N d u V d v M dδ δ δ δθ= + +
dxδβ=
dxδψ=dxδε=
int ( )L
W N V M dxδ δε δβ δψ= + +∫
Travail virtuel intérieur :
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Forme intégrale de l’équilibre - Principe des déplacements virtuels
dxδβ=
dxδψ=dxδε=
ext F RW F u R uδ δ δ= +∑ ∑
Travail virtuel extérieur
F pour toutes les charges extérieuresR pour toutes les réactions d’appui extériorisées
Éventuelstassements d’appui
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Forme intégrale de la cinématique - Principe des forces virtuelles
dxε=
dxβ=
dxψ=
*int
*int
( )
( )L
d W N du Vdv Md
W N V M dx
δ δ δ δ θ
δ δ ε δ β δ ψ
= + +
= + +∫Travail virtuel intérieur :
Travail virtuel extérieur : ext*
F RW F u Ruδ δ δ= +∑ ∑
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Formes intégrales - Résumé
( ) F RL
N V M dx F u Ruδ ε δ β δ ψ δ δ+ + = +∑ ∑∫
( ) F RL
N V M dx F u R uδε δβ δψ δ δ+ + = +∑ ∑∫Déplacements virtuels (forme intégrale de l’équilibre statique)
Forces virtuelles(*) (forme intégrale de la compatibilité cinématique)
Ne pas aussi oublier que : les formes intégrales sont valables pour toutes poutres droites ou courbes (dx et ds) ces expressions sont indépendantes de tout type de lois constitutives ces expressions ne sont pas une conséquence du principe de superposition !
exprime l’équilibre statique et s’applique pour déterminer le jeu des forces
exprime la compatibilité géométrique et s’applique pour calculer des déplacements
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Formes intégrales - Exemples
ext qL
W q v dxδ δ= ∫
Application aux treillis :
Charge uniforme :barres
intW N uδ δ= ∑barres
*int ( )δ δ= ∑W N u
dx
δvq
q dx q
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Tassementd’appui
Matériaulinéaire ounon linéaire
Échauffement
Théorème de la force unité
Vent
Application d’une force concentréeunique et unitaire (δFA= 1 )
δN, δV, δM
δR
δFA
A A( )δ ε δ β δ ψ δ δ+ + = +∑ ∑∫ RL
N V M dx F u Ru
Principe de Forces virtuelles (forme intégrale de la compatibilité cinématique)
Que vaut uAen A selon ΔA ?
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Tassementd’appui
Échauffement
Théorème de la force unité
Vent
N1, V1, M1
R1
A 1 1 1 1poutres
1 ( ) Ru N V M dx R uε β ψ= + + −∑∫
État statique virtuel :
Travail extérieurde la force unité
δFA=1
Application d’une force concentréeunique et unité (δFA= 1 )
Matériaulinéaire ounon linéaire
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Théorème de la force unité
A 1 1 1 1poutres
selon A)1 ( ( )ε β ψ∆ = + + −∑∫ Ru N V M dx R u
Théorème de la force unité : le déplacement d’un point d’une structure,dans une direction donnée, s’obtient en calculant, sous l’action appliquéedans la direction donnée d’une force virtuelle associée, le travail virtuel
complémentaire interne de la structure, moins celui des réactions d’appui
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Théorème de la force unité
poutresRA dx uu ε β ψ= + + −∑∫ 1 1 1 11 ( )N V M R
État statique virtuel
1, N1, V1, M1 et R1 sont les poidset sont des valeurs connues ou dumoins calculables
État cinématique réel
ε, β, ψ connus par les efforts intérieurs réelsuR ordinairement connusuA est l’inconnue
Par une seule condition (équilibre de l’état virtuel), ce théorème est d’un intérêt exceptionnel pour le calcul des déplacements en un point choisi d’une structure
en barres ou poutres
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Théorème de la force unité
poutresRA dx uu ε β ψ= + + −∑∫ 1 1 1 11 ( )N V M R
Cas d’une variation uniforme de température :
th 0du dx T dxε α= =
A 1 01L
u N T dxα= ∫ε
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Théorème de la force unité
A 1 1 1 1poutres
1 ( ) Ru N V M dx R uε β ψ= + + −∑∫
Dans le cas où le matériau accepte la loi de Hooke (élastique et linéaire)
Cas plan : N V ME A G B E I
ε β ψ= = =
Cas spatial :
y zy z
y z
y zy z
y z
V VNE A G B G B
M MTG J E I E I
ε β β
χ ψ ψ
= = =
= = =
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Calcul de déplacements particuliers
A 1 1 1 11 RL L L
N dx V dx M dxu N V M R uE A G B E I
= + + −∑∫ ∫ ∫
On n’oublie pas que l’on a des grandeurs statiques virtuelles et des grandeurs cinématiques réelles
Établir lesdiagrammesM, V, N
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Cas d’une variation linéaire de température :
A 1 1 1 11 RL L L
N dx V dx M dxu N V M R uE A G B E I
= + + −∑∫ ∫ ∫Établir lesdiagrammesM, V, N
th 0du dx T dxT dxdh
ε αα ∆θ
= =
= −
A 1 0 11 ( )L L
Tu N T dx M dxh∆α α= + −∫ ∫
0
avec :
sup inf inf supsup inf
y T y TT et T T T
h−
= ∆ = −
Calcul de déplacements particuliers
Dilatationthermique
courburethermique
même principe pour le calcul du retrait du béton
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A 1 1 1 11 RL L L
N dx V dx M dxu N V M R uE A G B E I
= + + −∑∫ ∫ ∫Établir lesdiagrammesM, V, N
Calcul de déplacements particuliers
1A 1 0 11 R
b b r
N NLu N T L R uEA
α= + −∑ ∑ ∑
Cas des treillis :
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Cas des treillis :
A 1 1 1 11 RL L L
N dx V dx M dxu N V M R uE A G B E I
= + + −∑∫ ∫ ∫Établir lesdiagrammesM, V, N
Calcul de déplacements particuliers
1A 1 0 11 R
b b r
N NLu N T L R uEA
α= + −∑ ∑ ∑
N° barres L (m) N1 N L/EA P1 αT0L P212345
Σ1 = Σ2 = Σtotale =
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Pour quel déplacement ?
(a) : connaître la variation de distance entre deux points A et B
(b) : connaître la rotation dans un angle de structure
(c) : connaître la rotation relative dans une section de poutre
(d) : connaître la rotation en bloc d’une barre de treillis
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Calcul pratique des déplacements
a) Hypothèses simplificatrices Dans les poutres, on peut négliger les déformations dues à N et V On ne peut pas le faire pour les exceptions suivantes:
Poutres à âme mince de h/L "grand" (attention à V) Arcs surbaissés (attention à N) Cadres avec cellules triangulaires (attention à N)
Dans les systèmes de barres, on ne peut pas négliger N ! (tirants, …)
b) Problèmes de signe ? Seul compte les signes relatifs entre efforts (M et M1, …) Il est donc utile d’avoir une convention de signe aux efforts intérieurs
c) Calcul des intégrales ? Cas de M : Si EI est constant, on peut utiliser une table (page 398, V2)
Si EI n’est pas constant (inertie variable), on fera un intégration numérique!
0
L M m dx∫
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Calcul pratique des déplacements
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Calcul pratique des déplacements : exemple 1
2 4
10
1 1 114 2 8
( )( )( )( )= = =∫L
vqL qLv M M dx L L
E I E I E I
* =
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Calcul pratique des déplacements : exemple 2
4 3 3224
( )qv x x L xLEI
= − +
a) Déjà fait au chapitre 10, équation (10.10),on avait calculé la déformée par dérivation:
M1(x)
1x
10
2
2 2 2
4 3 3
11
1 113 8
124
224
( ) ( )( )( )( )( )
( ) ( )
( ) ( )
Lvv M M dx
E I
x L x q L x L xv LE I L L
qv xL L x x L xEIqv x x x L xLEI
=
− −= +
= − + −
= − +
∫b) Avec le théorème de la force unité:
* =
qL2/8
1( ) ( )xM x L xL
= −
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Cas des structures hyperstatiques1
On a une structure hyperstatique, dont onconnaît la cinématique réelle, et onaimerait connaître la rotation θ en A
A A
On imagine une structure, dont onconnaît la statique virtuelle, et onaimerait connaître M1, N1, V1, R1 et 1qui soient en équilibre
En fait, on peut faire agir notre force unité 1 dans n’importe quelle structure isostatique déduite de la structure hyperstatique par coupures simples ! Cela réduit considérablement les calculs.
?
qθ ?
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qθ ?
Cas des structures hyperstatiques
1A A
Structure hyperstatique Structure "rendue" isostatique
Ici, M est réel Ici, M10 est virtuel
A 10poutres
11 M M dxE I
θ = ∫
Premier théorème de réduction
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