c hapitre VI allongement de la période propre des pendules

1

chapitre VI

allongement de la période propre des pendules

2

estimation de la résolution des pendules (1)

• quelles doivent-être les caractéristiques d’un sismomètre pour qu’il enregistre les plus petites vibrations terrestres  ?????

3

estimation de la résolution de pendule (2)

• reprenons l’équation de pendule simple en considérant que la force extérieure qui agit ad minima est due uniquement à l’agitation thermique.

• la densité spectrale du bruit Brownien s’écrit :

• développé par Husher et Melton, années 1970.

4

estimation de la résolution de pendule (3)

• à température ambiante et pour un bruit de fond de 10-10 m/s² (~-200 dB), on écrit :

5

estimation de la résolution de pendule (4)

mais on constate que ce n’est pas vrai surtout pour une forte valeur de Q qui compense une faible masse (< 1 kg) et une période propre pas très longue (~ 1 s).

6

le facteur de qualité, quand il est supérieur à l’unité, n’agit qu’aux alentours de la période propre

et de plus Q est fixé à l’unité par le shunt

7

nouvelle approche de l’estimation de la résolution des pendules

• reprenons l’équation du pendule

• en sismométrie,

• le théorème des fluctuations-dissipations

8

illustration du théorème fluctuation-dissipation

(Pour la Science, n°388, février 2009)

9

nouvelle formule pour la résolution des sismomètres

• cette nouvelle formule autorise l’utilisation de masse encore plus petite, de l’ordre de la centaine de grammes, à condition d’avoir des périodes propres un peu longue.

• exemples : STS-2 : M=0.3 kg, T=3.3 s, MT² ~ 3

• STS-1 : M=0.6 kg, T~30 s, MT²>>8

10

résolution de différents sismos (5)

Berger et al. (2004)

11

12

pour résoudre le bruit de fond à la surface de la Terre,

il faut augmenter la période propre des sismomètres

• pendule simple, garden-gate et pendule inverse ;• pendule vertical, méthode de LaCoste, méthode de

Lippmann ;• atténuateur VIRGO ;• méthode super-spring.

13

le pendule simple et la force auxiliaire

14

la force auxiliaire est utilisée sur les sismomètres Willmore

15

période du pendule horizontal du type Garden-Gate

16

évolution de l’amortissement en

fonction de la période conserve la même valeur

~23°

17

pendule inverse• Wiechert horizontal (~1 tonne)

18

pendule vertical simple• minimisation du rapport M/R

19

filtre élargisseur de bande, méthode

NoéMax de Agecodagis

(voir désormaisvibrato.staneo.fr)

20

période du pendule verticalméthode de LaCoste (1934) (1)

les conditions terrestres ne permettent pas de dépasser une période de ~2 secondes

21

• le moment de la masse s’écrit :

• le moment du ressort s’écrit :

22

période du pendule verticalméthode de LaCoste (1934) (3)

• l’équilibre est atteint quand la somme des moments est nulle :

• si l0 est nulle et la potence parfaitement verticale (d=0), on écrit :

• toutes les positions sont en équilibre : la période est théoriquement infinie.

23

période du pendule verticalméthode de LaCoste (1934) (4)

• quand l0 = 0, la période s’écrit :

• ~ 30 s

• c’est la même formule que pour le sismomètre horizontal du type Garden-Gate

24

période du pendule verticalméthode de LaCoste (1934) (5)

• la force exercée par un ressort s’écrit :

25

période du pendule verticalméthode de LaCoste (1934) (6)

• un ressort dont la longueur au repos égale à zéro est appelé ressort de longueur nulle.

• un ressort à lame est un ressort de longueur nulle

26

réalisation d’un ressort

27

période du pendule verticalméthode de LaCoste (1934) (8)

28

période du pendule verticalméthode de LaCoste (1934) (10)

• photos illustrant le retournement des spires d’un ressort légèrement conique pour facilité l’opération

29

période du pendule verticalméthode de LaCoste (1934) (7)

• dans le cas d’un ressort de longueur nulle, la formule de la période est identique à celle du pendule horizontal (garden-gate).

• pratiquement, une période de ~30 secondes est un bon résultat.

• un ressort à lame est par définition un ressort de longueur nulle

30

application aux sismomètres STS-1V de Wielandt-Streckeisen

31

32

33

atténuateurs de l’interféromètre VIRGO

34

35

différentes bandes passantes pour l’isolation horizontale et verticale

36

l’atténuateurs AIGO (Australien International Gravitational Observatory)utilise un pendule inverse et un système de LaCoste

37

méthode de Lippmannsismomètres Lennartz (1)

• repartons d’un pendule équipé d’un transducteur du type aimant-bobine, caractérisé par sa masse (m en kg), sa période propre (T0 en seconde), un faible amortissement mécanique (bmeca) et la constante du transducteur (s en N/A ou V/m/s)

38

méthode de Lippmannsismomètres Lennartz (2)

l’amortissement du pendule varie en fonction de la valeur de la somme des résistances : la résistance interne de la bobine (500 W) et le shunt (variable).

39

méthode de Lippmannsismomètres Lennartz

• résistance : le tension monte, le courant monte.• résistance négative : la tension monte, le

courant baisse.• la résistance négative fournit de l’énergie au

circuit alors qu’une résistance en consomme.

40

méthode de Lippmannsismomètres Lennartz

• si on utilise une résistance de shunt négative, la bande passante suit les courbes rouges

ACC

41

méthode de Lippmannsismomètres Lennartz

ACC

VEL

42

méthode de Lippmannaccéléromètre GEOSIG AC-23

• accéléromètre construit à partir d’un géophone SM6*-B, 4.5 Hz , m=11.1 g, 375 W, 28.8 V/m/s de chez Input/Output Inc.

• la notice du AC-23 donne beaucoup d’information sur l’amplitude réglable entre +/-0.2, +/-0.5, +/-1 et +/-2 g, mais rien sur la largeur de la bande passante.

• une autre notice, plus générale, indique une bande passante entre 0.1 et 100 Hz, indiquant 1 seul pôle pour chaque fréquences.

• pas beaucoup d’information….

43

accéléromètre GEOSIG AC-23• bandes passantes du même pendule à 4.5 Hz avec

deux amortissement différents : 0.07 en noir puis 16 en rouge.

ACC

VEL

44

Pôles et Zéros

• dans cette configuration, les pôles sont réels (partie imaginaire nulle)

• ZEROS 1• 0.0 0.0• POLES 2• -905.217 0.0• -0.883124 0.0• CONSTANTE 0.909E3

45

• la méthode de Lippmann est particulièrement simple et pourrait avantageusement remplacer la méthode utilisée pour le sismomètre Noémax.

• la bande passante serait bien plus large et mieux définie.

• la résolution du capteur bien meilleur.

46

ressort super-spring

47

ressort super-spring

• l’ équation d’un ressort s’écrit :

• par analogie, on écrit :

• et si on imagine un ressort de 1 km de long !!!

48

ressort super-spring

• si x(t) est le déplacement au bout du ressort, x(t)/2 est le déplacement à mi-hauteur …etc

49

ressort super-spring

• on se fixe « n » qui divise la longueur du ressort

50

ressort super-spring

• en rouge, F(t)=0

• en bleu, F(t) équivalente à une force de rappel

• en vert, F(t) équivalente à une force de frottement

51

gain obtenu avec une plateforme de mesure isolée

52

conclusion : méthode super-spring

• la méthode du ressort super-spring est utilisé avec succès pour le gravimètre absolue ou les mesures gagnent en qualité ;

• par contre, l’utilisation de cette plateforme de mesure comme sismomètre ne donne pas des enregistrements très satisfaisant, pour des raisons mal connues.

53

conclusion

• résolution des pendules • garden-gate• pendule inverse• pendule vertical (méthode Noémax)• méthode de LaCoste• atténuateur VIRGO• Lippmann (Lennartz)• ressort super-spring