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chapitre VI

allongement de la période propre des pendules

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estimation de la résolution des pendules (1)

• quelles doivent-être les caractéristiques d’un sismomètre pour qu’il enregistre les plus petites vibrations terrestres  ?????

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estimation de la résolution de pendule (2)

• reprenons l’équation de pendule simple en considérant que la force extérieure qui agit ad minima est due uniquement à l’agitation thermique.

• la densité spectrale du bruit Brownien s’écrit :

• développé par Husher et Melton, années 1970.

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estimation de la résolution de pendule (3)

• à température ambiante et pour un bruit de fond de 10-10 m/s² (~-200 dB), on écrit :

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estimation de la résolution de pendule (4)

mais on constate que ce n’est pas vrai surtout pour une forte valeur de Q qui compense une faible masse (< 1 kg) et une période propre pas très longue (~ 1 s).

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le facteur de qualité, quand il est supérieur à l’unité, n’agit qu’aux alentours de la période propre

et de plus Q est fixé à l’unité par le shunt

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nouvelle approche de l’estimation de la résolution des pendules

• reprenons l’équation du pendule

• en sismométrie,

• le théorème des fluctuations-dissipations

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illustration du théorème fluctuation-dissipation

(Pour la Science, n°388, février 2009)

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nouvelle formule pour la résolution des sismomètres

• cette nouvelle formule autorise l’utilisation de masse encore plus petite, de l’ordre de la centaine de grammes, à condition d’avoir des périodes propres un peu longue.

• exemples : STS-2 : M=0.3 kg, T=3.3 s, MT² ~ 3

• STS-1 : M=0.6 kg, T~30 s, MT²>>8

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résolution de différents sismos (5)

Berger et al. (2004)

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pour résoudre le bruit de fond à la surface de la Terre,

il faut augmenter la période propre des sismomètres

• pendule simple, garden-gate et pendule inverse ;• pendule vertical, méthode de LaCoste, méthode de

Lippmann ;• atténuateur VIRGO ;• méthode super-spring.

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le pendule simple et la force auxiliaire

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la force auxiliaire est utilisée sur les sismomètres Willmore

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période du pendule horizontal du type Garden-Gate

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évolution de l’amortissement en

fonction de la période conserve la même valeur

~23°

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pendule inverse• Wiechert horizontal (~1 tonne)

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pendule vertical simple• minimisation du rapport M/R

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filtre élargisseur de bande, méthode

NoéMax de Agecodagis

(voir désormaisvibrato.staneo.fr)

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période du pendule verticalméthode de LaCoste (1934) (1)

les conditions terrestres ne permettent pas de dépasser une période de ~2 secondes

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• le moment de la masse s’écrit :

• le moment du ressort s’écrit :

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période du pendule verticalméthode de LaCoste (1934) (3)

• l’équilibre est atteint quand la somme des moments est nulle :

• si l0 est nulle et la potence parfaitement verticale (d=0), on écrit :

• toutes les positions sont en équilibre : la période est théoriquement infinie.

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période du pendule verticalméthode de LaCoste (1934) (4)

• quand l0 = 0, la période s’écrit :

• ~ 30 s

• c’est la même formule que pour le sismomètre horizontal du type Garden-Gate

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période du pendule verticalméthode de LaCoste (1934) (5)

• la force exercée par un ressort s’écrit :

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période du pendule verticalméthode de LaCoste (1934) (6)

• un ressort dont la longueur au repos égale à zéro est appelé ressort de longueur nulle.

• un ressort à lame est un ressort de longueur nulle

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réalisation d’un ressort

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période du pendule verticalméthode de LaCoste (1934) (8)

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période du pendule verticalméthode de LaCoste (1934) (10)

• photos illustrant le retournement des spires d’un ressort légèrement conique pour facilité l’opération

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période du pendule verticalméthode de LaCoste (1934) (7)

• dans le cas d’un ressort de longueur nulle, la formule de la période est identique à celle du pendule horizontal (garden-gate).

• pratiquement, une période de ~30 secondes est un bon résultat.

• un ressort à lame est par définition un ressort de longueur nulle

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application aux sismomètres STS-1V de Wielandt-Streckeisen

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atténuateurs de l’interféromètre VIRGO

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différentes bandes passantes pour l’isolation horizontale et verticale

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l’atténuateurs AIGO (Australien International Gravitational Observatory)utilise un pendule inverse et un système de LaCoste

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méthode de Lippmannsismomètres Lennartz (1)

• repartons d’un pendule équipé d’un transducteur du type aimant-bobine, caractérisé par sa masse (m en kg), sa période propre (T0 en seconde), un faible amortissement mécanique (bmeca) et la constante du transducteur (s en N/A ou V/m/s)

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méthode de Lippmannsismomètres Lennartz (2)

l’amortissement du pendule varie en fonction de la valeur de la somme des résistances : la résistance interne de la bobine (500 W) et le shunt (variable).

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méthode de Lippmannsismomètres Lennartz

• résistance : le tension monte, le courant monte.• résistance négative : la tension monte, le

courant baisse.• la résistance négative fournit de l’énergie au

circuit alors qu’une résistance en consomme.

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méthode de Lippmannsismomètres Lennartz

• si on utilise une résistance de shunt négative, la bande passante suit les courbes rouges

ACC

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méthode de Lippmannsismomètres Lennartz

ACC

VEL

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méthode de Lippmannaccéléromètre GEOSIG AC-23

• accéléromètre construit à partir d’un géophone SM6*-B, 4.5 Hz , m=11.1 g, 375 W, 28.8 V/m/s de chez Input/Output Inc.

• la notice du AC-23 donne beaucoup d’information sur l’amplitude réglable entre +/-0.2, +/-0.5, +/-1 et +/-2 g, mais rien sur la largeur de la bande passante.

• une autre notice, plus générale, indique une bande passante entre 0.1 et 100 Hz, indiquant 1 seul pôle pour chaque fréquences.

• pas beaucoup d’information….

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accéléromètre GEOSIG AC-23• bandes passantes du même pendule à 4.5 Hz avec

deux amortissement différents : 0.07 en noir puis 16 en rouge.

ACC

VEL

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Pôles et Zéros

• dans cette configuration, les pôles sont réels (partie imaginaire nulle)

• ZEROS 1• 0.0 0.0• POLES 2• -905.217 0.0• -0.883124 0.0• CONSTANTE 0.909E3

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• la méthode de Lippmann est particulièrement simple et pourrait avantageusement remplacer la méthode utilisée pour le sismomètre Noémax.

• la bande passante serait bien plus large et mieux définie.

• la résolution du capteur bien meilleur.

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ressort super-spring

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ressort super-spring

• l’ équation d’un ressort s’écrit :

• par analogie, on écrit :

• et si on imagine un ressort de 1 km de long !!!

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ressort super-spring

• si x(t) est le déplacement au bout du ressort, x(t)/2 est le déplacement à mi-hauteur …etc

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ressort super-spring

• on se fixe « n » qui divise la longueur du ressort

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ressort super-spring

• en rouge, F(t)=0

• en bleu, F(t) équivalente à une force de rappel

• en vert, F(t) équivalente à une force de frottement

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gain obtenu avec une plateforme de mesure isolée

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conclusion : méthode super-spring

• la méthode du ressort super-spring est utilisé avec succès pour le gravimètre absolue ou les mesures gagnent en qualité ;

• par contre, l’utilisation de cette plateforme de mesure comme sismomètre ne donne pas des enregistrements très satisfaisant, pour des raisons mal connues.

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conclusion

• résolution des pendules • garden-gate• pendule inverse• pendule vertical (méthode Noémax)• méthode de LaCoste• atténuateur VIRGO• Lippmann (Lennartz)• ressort super-spring