Calcul de distances dans le système solaire

Groupe d’Entraînement et de Recherche

pour les Méthodes d’Education Active

25 rue Montaigne 64000 PauSite : www.germea.org

-600 à 200 : Le Miracle grec

1500 à 1700 : D’un monde clos à l’univers infini

Aristarque : • le diamètre de la Lune et du Soleil• les distances Terre Lune et Terre Soleil

Eratosthène : la circonférence de la Terre

Hipparque : amélioration des résultats d’Aristarque

Copernic : distance des planètes en U.A.

Cassini et Richer : premier calcul de l’U.A.

8 juin 2004 : le passage de Vénus devant le Soleil

-600 -500 -400 -300 -200 -100 JC 100 200

Thalès

Pythagore Aristote

Aristarque Hipparque

Eratosthène

Ptolémée

Le Miracle grec

L’état des connaissances avant Aristarque

Ecoles Ionienne et Pythagoricienne :

• Explication des éclipses.

• La sphère est la forme parfaite, c’est celle de la Terre, de la Lune, du Soleil

et de l’univers.

• Le mouvement parfait est circulaire.

Ecole d’Athènes : les trois commandements d’Aristote

• Tu garderas la Terre immobile au centre d’un monde sphérique.

• Tu n’utiliseras pour reconstituer les trajectoires des corps célestes que

des combinaisons de mouvements circulaires.

• Tu n’envisageras que des vitesses angulaires constantes.

Samos

a

Diamètre apparent de la Lune

• Comment se faire une idée concrète de a ?

• Comment obtenir a ?

Il suffit d’utiliser une règle

régle Lune

règle

bras (60 cm)

A

B

C

a

a/2

a

2tan =

BC

AC 60

0,275

0,25°d’où a

2 et a 0,5°

5,5 mm

règle

bras (60 cm)

a

a 0,5°

5,5 mm

=a

360

0,55

2 x 60 x

OA

B

C

D

ODOB

=CDAB

OD 109 CD

Distance Terre - Lune

Conclusion :

On peut mettre 109 lunes entre la Terre et la Lune.

Quelles sont les hypothèses d’Aristarque ?

En une heure la Lune se déplace de son diamètre apparent.

Le diamètre apparent de la Lune est de 0,5°

La plus longue éclipse de Lune observée a duré deux heures

L’ombre de la Terre est assimilée à un cylindre.

Comparaison des diamètresde la Terre et de la Lune

3 h

2 h

4 h

5 h

On peut mettre trois lunes dans l’ombre de la

Terre,

donc la Lune est trois fois plus petite que la

Terre

et par conséquent la distance Terre-Lune est

voisine de 36 diamètres terrestres.

Conclusion :

15 j 14,5 j

premier quartier

dernier quartier

premier quartier

dernier quartier

30 jours 360°

1 jour 12°

12 heures 6°

2 = 6°

= 3°

cos 87° =TL

TSdonc TS =

TL

cos 87° 19 TL

T

L

S

« La distance du Soleil à la Terre est plus grande que 18 fois,

mais plus

petite que 20 fois la distance de la Lune à la Terre. »

Qu’en est-il en réalité ?

On sait maintenant que cet angle mesure 89° 51’ et par conséquent :

TS = 400 TL !

Conclusion :

1 heure 21 minutesaprès le premier quartier

7 heures 30 minutesavant le dernier quartier

Taille du Soleil = 19 lunes

Taille du Soleil 6 terres

Alors, si le Soleil est 19 fois plus loin de la Terre que la Lune,il est 19 fois plus gros que la Lune.

La Lune et le Soleil ont le même diamètre apparent.

Terre = 3 lunes

Le Soleil est environ 6 fois plus gros que la Terre.

Conclusion :

Soleil

Mercure

Vénus

Lune

Terre

Mars

Jupiter

Saturne

Système d’Aristarque

AlexandrieCyrène

Alexandrie

Syène

a

a

a

a

tan a = 3,16

25

donc a 7,2°

a

25 m

3,16 m

7,2° correspondent à 1/50ème du cercle

La distance Alexandrie Syène est environ de 800 km

or 800 x 50 = 40 000

soit 40 000 km pour la circonférence terrestre.

= -

Nicée

Rhodes

Alexandrie

Terre

Lune

Soleil

d’après une idée du C.L.E.A.(Comité de Liaison Enseignants Astronomes)

DO + DL = DT

3 lunes dans l’ombre + 1 lune = 4 lunes

La Lune est quatre fois plus petite que la Terre.

Conclusion :

DO + DL = DT

on obtient :

En posant k = DL

DO

= 1+kDL

DT

Eclipse de Lune du 23/11/1993

Comment déterminer k ?

k =DL

DO 2,7

= 1+kDL

DT 3,7

CL

CO

Méthode graphique

H

A

BC

a

Par le calcul

cos

BHBA

BABC

BA² = BH x BC

A’

d’où BC = =BH aBA² BA²

Du système géocentrique…

…au système héliocentrique

1500 1550 1600 1650 1700

Copernic Tycho Brahé

Kepler

Galilée

Newton

Cassini

Richer

D’un monde clos à l’univers infini

Configurations particulièresdes planètes

Conjonction inférieure

Planète inférieure

Elongation maximale ouestConjonction supérieureElongation maximale est

vue de dessus

Terre

Quadrature estQuadrature ouestOpposition

Planète supérieure vue de dessus

Conjonction

Terre

SV

ST

Calcul du rayon d’une planète inférieure : Vénus

sin a =

d’où SV = ST x sin a

a est l’élongation maximale de Vénus

Pour Vénus a 46°,

d’où SV 0,719 ST

S T

M’

T’

M

t m

a

Calcul du rayon d’une planète supérieure : Mars

ST’

SM’cos a =

Pour Mars a 49°,

d’où SM 1,52 ST

d’où SM’ =cos a

ST’

a = t - m

opposition

quadrature

Mercure

Vénus Terre Mars Jupiter Saturne

Copernic 0,386 0,719 1 1,520 5,219 9,174

Valeurs moderne

s0,387 0,723 1 1,524 5,203 9,555

Rayons moyens des orbites planétaires

rapportés à la distance Terre Soleilc’est-à-dire en Unités Astronomiques (U.A.)

Les deux observateurs ne voient pas Marsexactement au même endroit sur le fond étoilé.

P

C

Le 5 septembre 1672,

Mars est dans les Poissons.

a

ba

b

M

P

CValeur obtenue : a+b 15"

M

P

C

a+b

a+b étant très petit, on peut en déduire la distance Terre-Mars :

dTM PCa+b

(en exprimant a+b en radians)

a

d

a+d

La troisième loi de Kepler permet d’écrire :

a3

TT2

(a+d)3

TM2=

où TT et TM sont les périodes de révolutionde la Terre et de Mars autour du Soleil.

On peut ainsi calculer a.

Cassini et Richer ont trouvé environ 140 000 000 km.

8 juin 2004

passage de Vénusdevant le Soleil,

un phénomèneexceptionnel

Plafond de la salle du conseil de l’observatoire de Paris

A

B

e

V

B

A

V

B’

A’

d

D

e

On suppose que A et B sont deux observateurs situés de façonque le plan ABV soit perpendiculaire au plan de l’orbite de Vénus.

B

A

V

B’

A’

D

e

D – d

deAB

=D - d

deAB

=D

- 1

dD

- 1e = AB( )

d

on sait que D = 3,62 x d

e = 2,62 x AB

si, par exemple, AB = 6 000 km alors e 15 700 km

0,28 U.A.

1 U.A.

0,72 U.A.

Calcul de l’écart en km

e 15 700 km

e

89 x e

1 397 000 km

1) Méthode graphique

en reportant soigneusementles deux observations sur une

même image projetée du Soleil

Comparaison de e au diamètre du Soleil et calcul de

0,28 U.A.

2) Par le calcul en utilisant les temps de passage

Calcul du déplacement apparent de Vénus vu de la Terre

T

Vénus fait 360° en 584 jours,

c’est-à-dire 360 x 60’ en 584 x 24 heures,

donc en une heure Vénus se déplace d’un angle a,

a = exprimé en minutes d’arc 360 x 60

24 x 584

V’

aS

V

Depuis la Terre,on voit Vénus se déplacer d’un angle b

b

En exprimant en radians a et b , qui sont très petits,

0,72 U.A.

d’où b = a x = a x soit b 4’SV

TV

0,280,72

Conclusion : au moment du transit, on voit de la Terre, Vénus avancer de 4’ par heure

VV’ = SV x a = TV x b

Calcul de e

O

A1

A2

B2

B1

H2

H1

On suppose que, par exemple, l’observateur A voit le passage durer 6 h

alors que B trouve 6 h 9 min 15 s, soit 6,154 h.

OA1 = OB1 = 32 : 2 = 16

Tous les calculs se font en minutes d’arc.

Le trajet A1A2 dure 6 h, il correspond à 24’

Le trajet B1B2 dure 6,154 h, il correspond à 24,616’

OH1²= 16²-12² d’où OH1 10,583

OH2²= 16²-12,308² d’où OH2 10,223

e = H1H2 0,36

89 x e car 32 : 0,36 89

Détermination du diamètre du Soleil

or e 15 700 km d’où 1 397 000 km

1 397 000 km

D

32 ’

D 150 000 000 km

D =tan 32 ’

Calcul de la distance Terre-Soleil

Remarque : cette méthode ne tient pas compte de la rotation de la Terre.

Dans la réalité, les calculs sont bien plus complexes

Fin